数列复习教案01

an = 3 4 a n -1 + 1 4 bn -1 +1 。
1 4
a n -1 +
3 4
bn -1 +1 且
（1） 令 C n = a n +b n ，求数列 C n 的通项公式； （2） 求数列 a n 的通项公式，及前 n 项和公式 S n 。 解析： （1）由题设得 a n +b n =( a n -1 +b n -1 )+2( n 2) ，即 C n =C n -1 +2
公式 2： S n na1
d；
2
2.若数列｛an｝的前 n 项和 Sn＝An ＋Bn，则数列｛an｝为 等差数列 . 3.若已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 an 可用 Sn 表示: a n
1 2 3 2 15 2
S n S n 1 ( n 2 ) S1
n
。
，求数列 b n 的通项公式
（2） 求数列 a n 的前 n 项和。 解析： （1）由已知得 a1 = b1 =1 ，且
a n +1 n +1 = an n + 1 2
n
，即 bn +1 =b n +
1 2
n
(2)由（1）知 a n = n (2n -1
1 2
n -1
)= 2 n -
17 ( a 1 a 17 ) 2
=17a9,
S17′=
=17b9,∴
a9 b9

S 17 S 17

2 17 3 3 17 1

37 50
2
.
2
【解法二】 ∵｛an｝｛bn｝是等差数列，∴可设 Sn=An +Bn,Sn′=A’n +B′ 、
n(A、B、A′、B′∈R),∵
2
Sn Sn '
1 2 ( a n a n 1 )

d 2
（常数）
（ n 2, n N ） {bn } 是等差数列。 。 【例 5】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求 Sp＋q(其中 p≠q). p ( p 1) d q 【解】由已知 Sp＝q，Sq＝p 得 pa1＋ ① 2
l (iii) 摆动数列 任 意 k, N ，

设计意 图
有 a k 1 a k ，也有 a l 1 a l ， 例如 1, 2, 4, 6, 8, ； （iv） 常数列： 任 意 n N ， a n 1 a n ； （v）有界数列：存在正整数 M 使 | a n | M ； （vi）无界数列：对任意正整数 M 总存在 a n 使 | a n | M ． 例 1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： 1 1 1 1 （1） ，， ，. 1 2 23 3 4 45 （2）0, 2, 0, 2 教学过程 分析：写出数列的通项公式，就是寻找 a n 与项数 n 的对应关系 a n f n 【解】(1) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为正， 1 n 1 偶数项为负，所以它的一个通项公式是： a n ( 1) n ( n 1) (2) 这个数列的奇数项为 0，偶数项为 2，所以它的一个通项公式是： a n 1 ( 1) 点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并; (2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号 n 相关且便于表达的关系. 【选修延伸】 例如：已知数列 a n 的通项为 a n 2 n 7 ，判断 2 m 7( m N ) 是否为数列中的项？ 提示：可把 2 m 7( m N ) 化成通项公式的形式，即 2 m 7 2( m 7) 7 ，因为 m N ， 所以 m 7 N 满足通项公式的意义，所以 2 m 7 是数列中的第 m 7 项． 【追踪训练】 1. 若数列{an}满足 a1=
3．已知数列 a n ， a n A. 9 B. 10
1 n ( n 2)
( n N ) ，那么
1 120
是这个数列的第
（
）项.
C. 11
D. 12
二、递推数列问题 例 1：在数列 a n 中， a1 =1 ， a n +1 =(1+ （1） 设 bn =
an n 1 n )a n + n +1 PPTS Learning Center
例 2】已知两个等差数列｛an｝｛bn｝ 、 ，它们的前 n 项和分别是 Sn、Sn′，若
Sn Sn
'

2n 3 3n 1
,
求
a9 b9
.
【解法一】 ∵2a9=a1+a17,
17 ( a 1 a 17 ) 2
2b9=b1+b17,∴S17=
王新敞
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d
n (a 1
2
d
分析 条件中的 8 项可分为 4 组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。 21 67 22 ， 【解】 a1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a 4 a n 3 a1 a n 4 n ( a1 a n ) Sn 11n 286 ， 2 n 26 。
1 2
n

,an=1－
1 a n 1
,n≥2，n∈N*,则 a2003 等于（
）
第1页
教学设计方案
XueDa PPTS Learning Center
A.
1 2
B.－1 C.2
D.1
a1 1 2.已知数列{an}的递推公式为 a n n∈N*,那么数列{an}的通项公式为______. a n 1 2 a 1 n
2
Sn n
} 成等差数列去求解.
（二）延伸 1.等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，那么数列 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等 2 差数列，公差为 k d. 2.在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最大值.若 a1＜0,d＞0，则 Sn 存在最小值. 3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)利用 a n :当 a n >0，d<0，前n项和有最大值 可由
要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量． 例:2】 在等差数列 an｝ 已知第１项到第 10 项的和为 310， 11 项到第 20 项的和为 910， ｛ 中， 第 求第 21 项到第 30 项的和． 【解】
即
解得
思维点拔
数列{an}是等差数列,前 n 项和是 S n ,那么 S m , S 2 m S m , , S k 1 m S km , k N 仍成
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a n ≥0，且 a n 1 ≤0，求得n的值
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当 a n <0，d>0，前 n 项和有最小值 可由 a n ≤0，且 a n 1 ≥0，求得 n 的值
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王新敞
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(2)利用 S n ：由 S n
) n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2 例 1】已知一个等差数列的前四项和为 21，末四项和为 67，前 n 项和为 286，求数列的项数 n。
等差数列,公差为 m d ( m 为确定的正整数) 例 3】根据数列｛an｝的前 n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列. 2 (1)Sn＝2n －n 2 (2)Sn＝2n －n＋1 【解】 (1)a1＝S1＝1 2 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n －n)－［2(n－1) －(n－1)］＝2(2n－1)－1＝4n－3 ∵n=1 时也成立，∴an＝4n－3 an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列 (2)a1＝S1＝2 a2＝S2－S1＝5 a3＝S3－S2＝9 ∵a2－a1≠a3－a2 ∴｛an｝不是等差数列. 点评： 已知 Sn，求 an，要注意 a1＝S1，当 n≥2 时 an＝Sn－Sn－1，
数列的概念，通项公式与前 n 项和的关系；递推数列的问题
教学目标 个性化学习问题解决 教学难点 通项公式与前 n 项和的关系；递推数列的问题 一．数列的概念及其通项公式 数列的分类： 按 a n 的增减分类： （i） 递增数列： 任 意 n N ，总有 a n 1 a n ； （ii）递减数列： 任 意 n N ，总有 a n 1 a n ；
n 2
n -1
。令 Tn =

k =1
n
k 2
k-1
，则 2Tn =

k =1
n
k 2
k-2
，
于是 Tn =2Tn -Tn =

k =0
1 2
k-1
-
n 2
n -1
，
例 2 ： 已 知 数 列 a n ， b n 满 足 a1 = 2 ， b1 = 2 ， 且 n 2 时 ， bn =
2 a n +1为 bn 与 bn +1 的等比中项， n N 。
*
（1） 求 a 2 ， b 2 的值； （2） 求数列 a n ，的通项公式。
二．等差数列 （一）基本性质运用 1. 等差数列的前 n 项和：公式 1： S n
n ( n 1) 2
n ( a1 a n ) 2
是等差数列。 【证明】设等差数列的公差为 d ，前 n 项的和为 S n ，则 S n
bn bn 1 a1 a 2 a n n
n ( a1 a n ) 2