Dijkstra&floyd
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法是图论中的一种贪心算法，用于求解最短路径问题。
该算法的贪心策略是：每次选择当前距离起点最近的节点作为中间节点，并更新起点到其它节点的距离。
通过不断选择距离起点最近的节点，并逐步更新起点到各个节点的距离，最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的具体实现包括以下几个步骤：
1. 初始化：将起点到各个节点的距离记为无穷大或者一个较大的值，将起点到自己的距离记为0。
2. 选择当前距离起点最近的节点作为中间节点。
这个过程可以通过维护一个距离起点最近的节点集合来实现，初始时集合中只包含起点。
3. 更新起点到与中间节点相邻的节点的距离，即对于每个与中间节点相邻的节点，如果从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离小于起点到该节点的距离，则更新起点到该节点的距离为从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到起点到终点的距离不再更新。
5. 最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为节点的数目。
如果使用优先队列来维护距离起点最近的节点集合，则算法的时间复杂度可以降为O(NlogN)，但是实际应用中优先队列的实现可能较为复杂。
Dijkstra算法可以用于有向图和无向图，但是不能处理带有负权边的图。
如果图中存在负权边，则可以使用Bellman-Ford算法来求解最短路径。
dijkstra算法
Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。
每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。
请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。
例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。
显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。
3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。
因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。
该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。
最短路径dijkstra算法流程
最短路径dijkstra算法流程最短路径算法是计算在带权有向图或者无向图中起点到所有其他点最短路径的一种算法，其中最短路径指的是边权值之和最少的路径。
目前最常用的算法是Dijkstra算法，它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1959年提出的。
下面将介绍Dijkstra算法的流程。
1. 初始化首先，需要将起点到每个点的最短距离都初始化为无穷大，除了起点自己的最短距离为0。
其中，起点是指算法的起点节点。
同时，需要创建一个集合S，用于记录已经确定了最短距离的点。
2. 找出未确定最短路径的节点中最小的距离，并将其标记为已确定最短路径在第一步中，只有起点节点的最短距离是确定的。
接下来，在集合S中找出剩余未确定最短路径的节点中距离最小的节点u，并将其标记为已经确定了最短路径。
在第一次执行该步骤时，节点u即为起点节点。
3. 更新最短距离将节点u所有邻居的距离进行更新。
假设节点v是节点u的邻居，其距离为d(u,v)，则：如果 d(u,v) + dist(u) < dist(v)，则更新节点v的最短距离为d(u,v) + dist(u)，其中dist(u)表示起点节点到节点u的最短距离。
重复执行上述步骤，直到集合S中包含所有节点。
4. 输出每个节点的最短距离执行完第三步之后，每个节点的最短距离都已经确定。
此时，可以输出每个节点的最短距离。
以上就是Dijkstra算法的流程。
此外，这个算法还可以通过堆优化来提高效率。
具体来说，可以将还未确定最短距离的节点按照距离从小到大存储在堆中，每次取出堆中距离最小的节点。
（这部分由于是在原算法的基础之上的优化模型，所以该模型不友好于百科网站的格式要求，如果您有需要，也可以决定不包括，并以此作为描述结尾）总的来说，Dijkstra算法是求解最短路径问题的有效方法之一。
它适用于只有正权边的有向或者无向图，并且能够计算出起点到所有其他节点的最短路径。
因此，它可以用于路线规划、制订地图等应用情景中。
简述dijkstra算法原理
简述dijkstra算法原理Dijkstra算法是一种用于寻找最短路径的算法,通常用于网络规划和搜索引擎等领域。
该算法的基本思想是将节点的度数图转换为度数图的优化,以最小化图中所有节点之间的最短距离。
Dijkstra算法的基本流程如下:1. 初始化:将起点到起点的最短距离设置为0,其他节点的度数设置为0。
2. 遍历:从起点开始,依次将相邻的未服务的节点加入集合中。
每个节点都将其度数加1,并将其连接到已服务集合中最小的节点。
3. 计算:计算每个节点到所有其他节点的最短距离。
4. 更新:更新集合中所有节点的度数和连接它们的最短距离。
5. 重复步骤2到步骤4,直到集合为空。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogE),其中E是节点数。
该算法的优点是简单易懂,并且可以处理大规模数据集。
除了基本的Dijkstra算法外,还有许多变种,如Dijkstra算法的优化版本,用于处理有向图中的最短路径,以及基于贪心算法的优化版本。
这些变种可以用于不同的应用场景,并提供更高的效率和更好的性能。
拓展:Dijkstra算法的应用非常广泛,包括搜索引擎、路由协议、网络规划、路径查找和图论等领域。
例如,在搜索引擎中,Dijkstra算法可以用于查找最短路径,以确定搜索查询的正确路径。
在路由协议中,Dijkstra算法可以用于确定到达目的地的最佳路径。
在网络规划中,Dijkstra算法可以用于建立网络拓扑结构,以最小化图中所有节点之间的通信距离。
除了计算最短路径外,Dijkstra算法还可以用于其他任务,如找到最短路径中的最大公约数、最小生成树等。
Dijkstra算法的优化版本可以用于处理有向图中的最短路径,并提供更高的效率和更好的性能。
此外,Dijkstra算法的变种可以用于不同的应用场景,以满足不同的需求。
dijkstra算法步骤例题表格
Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。
它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。
以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。
一、算法步骤1. 初始化- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。
- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。
2. 更新- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。
- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。
二、算法实例为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。
假设有以下带权重的图，起始顶点为A：顶点 A B C D EA 0 3 4 ∞ ∞B ∞ 0 ∞ 1 7C ∞ 4 0 2 ∞D ∞ ∞ ∞ 0 5E ∞ ∞ ∞ ∞ 0表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。
我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
1. 初始化起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。
将A加入已访问的顶点集合。
2. 更新选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。
更新A到C和A到D的最短路径长度。
3. 重复更新依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。
通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：顶点 A B C D E最短路径长度 0 3 4 5 9三、总结通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。
dijkstra算法
Dijkstra算法是荷兰计算机科学家Dijkstra在1959年提出的，因此也称为Dijkstra算法。
它是从一个顶点到其他顶点的最短路径算法，解决了加权图中最短路径的问题。
Dijkstra算法的主要特征是它从起点开始使用贪婪算法策略。
每次，它遍历最近的顶点的相邻节点，直到起点延伸到终点，该节点才被访问。
算法思路
该算法是根据路径长度的递增顺序生成的
顶点集V分为两组
（1）S：一组计算的顶点（最初仅包含源点V0）
（2）V-s = t：一组不确定的顶点
T中的顶点以递增顺序添加到，以确保：
（1）从源点v0到S中其他顶点的长度不大于从v0到t的任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中的顶点：从v0到顶点的长度
t中的顶点：从v0到顶点的最短路径长度，仅包括s中的顶点作为中间顶点
基础：可以证明，t中从v0到VK的直接路径的权重是从v0到VK的直接路径的权重，或者是从v0到VK的路径权重之和，即通过S中的顶点。
（可以通过相反的证明方法证明）
寻找最短路径的步骤
算法步骤如下：
G = {V，E}
1.初始条件为s = {V0}，t = V-s = {其他顶点}，相应的顶点距离值以t为单位
如果存在<V0，VI>，则D（V0，VI）是<V0，VI> arc的权重如果没有<V0，VI>，则D（V0，VI）为∞
2.从t中选择一个具有与S中的顶点关联的边且权重最小的顶点W，并将其添加到s
3.修改t中其余顶点的距离值：如果将W添加为中间顶点，则缩短了从v0到VI的距离，然后修改了距离值
重复上述步骤2和3.直到s包含所有顶点，即w = VI。
dijkstra反证法
Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种经典算法，用于找到图中从一个源节点到所有其他节点的最短路径。
Dijkstra算法基于贪心策略，但不使用反证法。
反证法通常用于证明某个命题的真假，而不是用于设计和分析算法。
然而，有一种和Dijkstra算法相关的证明方法，被称为"最优子结构性质"的证明，这与动态规划的思想有关。
最优子结构性质指的是，问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。
这种证明方法并非反证法，而是一种归纳推理方法，用于证明算法的正确性。
下面是关于Dijkstra算法最优子结构性质的简要解释：最优子结构性质：Dijkstra算法的正确性基于最优子结构性质。
具体来说，对于图中的任意节点v，其最短路径可以通过从源节点到v的最短路径上的节点来构造。
这意味着，如果我们知道从源节点到所有其他节点的最短路径，那么对于每个节点v，从源节点到v 的最短路径也是已知的。
证明思路：1.假设从源节点s到节点v的最短路径不是从源节点到v的某个节点u上的最短路径构造而来。
2.通过反证法，假设存在一条比当前最短路径更短的路径P。
3.考虑路径P上的第一个节点u，使得从源节点s到u的路径不是最短路径。
4.然而，根据我们的假设，从源节点s到u的路径是最短路径，与我们的假设矛盾。
5.因此，假设不成立，从源节点s到节点v的最短路径必然是从源节点到v的某个节点u上的最短路径构造而来。
通过这种证明思路，我们可以证明Dijkstra算法具有最优子结构性质，从而确保算法的正确性。
这种证明方法通常是基于归纳推理和逻辑推导的，而不是典型的反证法。
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的区别
迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的区别迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）是两种经典的图论算法，用于解决带权有向图中的最短路径问题。
它们在算法思想、应用场景和时间复杂度等方面存在一些区别。
以下是对两者的详细解释。
一、算法思想：1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法采用贪心的策略，通过一步一步地逐渐扩展路径，找到所有结点的最短路径。
它将所有结点分为两个集合，一个是已找到最短路径的结点集合S，一个是还未找到最短路径的结点集合V-S。
算法每一次从V-S中选择与起点到达路径最短的结点加入到S中，并更新起点到V-S中剩余结点的最短路径。
2.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过逐步优化计算出任两个结点之间的最短路径。
算法维护一个二维数组，其中每个元素表示两个结点之间的最短路径长度。
算法通过不断更新这个数组，使得其中的每个元素都表示它们之间的最短路径长度。
二、应用场景：1.迪杰斯特拉算法：2.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法适用于解决多源最短路径问题，即找到任意两个结点之间的最短路径。
它可以处理带负权边的图，但是不能处理带有负权环的图。
它常被应用于计算多结点之间的最短距离、网络环路检测和最佳连通性等问题。
三、时间复杂度：1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的结点数。
在每次循环中，需要选取一个结点加入S集合，并对其相邻结点进行松弛操作，因此需要进行V次循环。
在每次循环中，需要找到V-S集合中距离最短的结点，这需要遍历V个结点。
总的时间复杂度为O(V^2)。
2.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图中的结点数。
算法通过三重循环遍历所有结点对，对每个结点对进行松弛操作。
总的时间复杂度为O(V^3)。
综上所述，迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法在算法思想、应用场景和时间复杂度等方面存在一些区别。
一步一步深入理解Dijkstra算法
⼀步⼀步深⼊理解Dijkstra算法先简单介绍⼀下最短路径：最短路径是啥？就是⼀个带边值的图中从某⼀个顶点到另外⼀个顶点的最短路径。
官⽅定义：对于内⽹图⽽⾔，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最⼩的路径。
并且我们称路径上的第⼀个顶点为源点，最后⼀个顶点为终点。
由于⾮内⽹图没有边上的权值，所谓的最短路径其实是指两顶点之间经过的边数最少的路径。
我们时常会⾯临着对路径选择的决策问题，例如在中国的⼀些⼀线城市如北京、上海、⼴州、深圳等，⼀般从A点到到达B点都要通过⼏次地铁、公交的换乘才可以到达。
有些朋友想⽤最短对的时间，有些朋友想花最少的⾦钱，这就涉及到不同的⽅案，那么如何才能最快的计算出最佳的⽅案呢？最短路径求法在⽹图和⾮⽹图中，最短路径的含义是不同的。
⽹图是两顶点经过的边上权值之和最少的路径。
⾮⽹图是两顶点之间经过的边数最少的路径。
我们把路径起始的第⼀个顶点称为源点，最后⼀个顶点称为终点。
关于最短路径的算法，我们会介绍以下算法：迪杰斯特拉算法（Dijkstra）求V0到V8的最短路径你找到了吗好了，我想你⼤概明⽩了，这个迪杰斯特拉算法是如何⼯作的。
它并不是⼀下⼦就求出了V0到V8的最短路径，⽽是⼀步步求出它们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得到你要的结果。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法1. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法简介迪杰斯特拉（dijkstra）算法是典型的⽤来解决最短路径的算法，也是很多教程中的范例，由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出，⽤来求得从起始点到其他所有点最短路径。
该算法采⽤了贪⼼的思想，每次都查找与该点距离最近的点，也因为这样，它不能⽤来解决存在负权边的图。
解决的问题⼤多是这样的：有⼀个⽆向图G(V,E)，边E[i]的权值为W[i]，找出V[0]到V[i]的最短路径。
2.迪杰斯特拉算法的原理(附上⼩图⼀张)①⾸先，引⼊⼀个辅助向量D，它的每个分量D[i]表⽰当前所找到的 Dijkstra算法运⾏动画过程 Dijkstra算法运⾏动画过程从起始点（即源点）到其它每个顶点的长度。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
dijkstra最短路径算法
图解迪杰斯特拉（Dijkstra）最短路径算法目录前言一、最短路径的概念及应用二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是Dijkstra2.逻辑实现总结前言无论是什么程序都要和数据打交道，一个好的程序员会选择更优的数据结构来更好的解决问题，因此数据结构的重要性不言而喻。
数据结构的学习本质上是让我们能见到很多前辈在解决一些要求时间和空间的难点问题上设计出的一系列解决方法，我们可以在今后借鉴这些方法，也可以根据这些方法在遇到具体的新问题时提出自己的解决方法。
（所以各种定义等字眼就不用过度深究啦，每个人的表达方式不一样而已），在此以下的所有代码都是仅供参考，并不是唯一的答案，只要逻辑上能行的通，写出来的代码能达到相同的结果，并且在复杂度上差不多，就行了。
一、最短路径的概念及应用在介绍最短路径之前我们首先要明白两个概念：什么是源点，什么是终点？在一条路径中，起始的第一个节点叫做源点；终点：在一条路径中，最后一个的节点叫做终点；注意！源点和终点都只是相对于一条路径而言，每一条路径都会有相同或者不相同的源点和终点。
而最短路径这个词不用过多解释，就是其字面意思：在图中，对于非带权无向图而言，从源点到终点边最少的路径（也就是BFS广度优先的方法）；而对于带权图而言，从源点到终点权值之和最少的路径叫最短路径；最短路径应用：道路规划；我们最关心的就是如何用代码去实现寻找最短路径，通过实现最短路径有两种算法：Dijkstra迪杰斯特拉算法和Floyd弗洛伊德算法，接下来我会详细讲解Dijkstra迪杰斯特拉算法；二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是DijkstraDijkstra迪杰斯特拉是一种处理单源点的最短路径算法，就是说求从某一个节点到其他所有节点的最短路径就是Dijkstra；2.逻辑实现在Dijkstra中，我们需要引入一个辅助变量D（遇到解决不了的问题就加变量[_doge]），这个D我们把它设置为数组，数组里每一个数据表示当前所找到的从源点V开始到每一个节点Vi的最短路径长度，如果V到Vi有弧，那么就是每一个数据存储的就是弧的权值之和，否则就是无穷大；我们还需要两个数组P和Final，它们分别表示：源点到Vi的走过的路径向量，和当前已经求得的从源点到Vi的最短路径（也就是作为一个标记表示该节点已经加入到最短路径中了）；那么对于如下这个带权无向图而言，我们应该如何去找到从V0到V8的最短路径呢；在上文中我们已经描述过了，在从V0到V8的这一条最短路径中，V0自然是源点，而V8自然是终点；于是我根据上文的描述具现化出如下的表格；在辅助向量D中，与源点V0有边的就填入边的权值，没边就是无穷大；构建了D、P和Final，那么我们要开始遍历V0，找V0的所有边中权值最短的的边，把它在D、P、Final中更新；具体是什么意识呢？在上述带权无向图中，我们可以得到与源点有关的边有（V0，V1）和（V0，V2），它们的权值分别是1和5，那么我们要找到的权值最短的的边，就是权值为1 的（V0，V1），所以把Final[1]置1，表示这个边已经加入到最短路径之中了；而原本从V0到V2的距离是5，现在找到了一条更短的从V0 -> V1 -> V2距离为4，所以D[2]更新为4，P[2]更新为1，表示源点到V2经过了V1的中转；继续遍历，找到从V0出发，路径最短并且final的值为0的节点。
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径. 算法具体的形式包括：(１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点,求最短路径的问题.（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
(４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A＊算法、Bellman—Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法.本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等.2。
2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为:设G=（V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
c++ 遍历所有点且距离最短_最短路径问题dijkstra算法详解
c++ 遍历所有点且距离最短_最短路径问题dijkstra算法详解一、问题概述在图论中，最短路径问题是一个重要的研究课题，它涉及到从一个节点到另一个节点的最短路径的寻找。
Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法，它可以高效地遍历图中的所有节点，并找到从起始节点到目标节点的最短路径。
二、Dijkstra算法详解1. 算法思想Dijkstra算法的基本思想是：对于图中的每个节点，选择距离起始节点最近的节点，并将其标记为已访问。
然后，从已访问的节点中选择下一个距离起始节点最近的节点，并将其标记为已访问。
重复这个过程，直到遍历完所有的节点。
在每一步中，算法都会更新节点之间的距离信息，以使得结果更加精确。
2. 算法步骤(1) 初始化：将起始节点的距离设置为0，将所有其他节点的距离设置为无穷大。
将起始节点标记为已访问。
(2) 遍历所有相邻节点：对于每个已访问的节点，遍历其所有相邻节点，并更新它们到起始节点的距离。
对于每个相邻节点，如果通过该相邻节点到达起始节点的距离比当前距离更短，则更新该相邻节点的距离。
(3) 终止条件：当没有未访问的节点时，算法终止。
此时，每个节点的最短路径已经确定。
3. C语言实现以下是一个简单的C语言实现Dijkstra算法的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_VERTICES (100) // 最大顶点数int minDistance[MAX_VERTICES]; // 存储最小距离的数组int dist[MAX_VERTICES]; // 存储每个节点到起点的实际距离的数组bool visited[MAX_VERTICES]; // 标记每个节点是否已访问的数组int src; // 起点int V; // 顶点数void dijkstra(int G[MAX_VERTIXE][MAX_VERTICES], int src) {V = G[0].size(); // 获取顶点数for (int i = 0; i < V; i++) {dist[i] = INT_MAX; // 初始化所有顶点到起点的距离为无穷大visited[i] = false; // 所有顶点未访问}dist[src] = 0; // 起点的距离为0for (int count = 0; count < V - 1; count++) {int u = vertex_selection(G, dist, visited); // 选择当前距离最小的顶点uvisited[u] = true; // 将u标记为已访问for (int v = 0; v < V; v++) { // 遍历u的所有邻居顶点if (!visited[v] && (dist[v] > dist[u] + G[u][v])) { // 如果未访问且通过u到达v的距离更短dist[v] = dist[u] + G[u][v]; // 更新v的距离信息}}}}int vertex_selection(int G[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int dist[], bool visited[]) {int minIdx = 0, minDist = INT_MAX;for (int v = 0; v < V; v++) { // 遍历所有顶点vif (!visited[v] && minDist > dist[v]) { // 如果未访问且当前距离更短minDist = dist[v];minIdx = v; // 记录最小距离和对应的顶点索引}}return minIdx; // 返回最小距离对应的顶点索引}```三、应用场景与优化方法Dijkstra算法适用于具有稀疏权重的图，它可以高效地找到最短路径。
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理， 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
dijkstra最短路径例题
dijkstra最短路径例题Dijkstra算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径的经典算法。
该算法通过迭代的方式逐渐确定源节点到其他所有节点的最短路径。
下面我们来看一个使用Dijkstra算法解决最短路径问题的例题。
假设有一个城市的公交站点图，其中包含A、B、C、D、E五个站点。
我们需要计算从起点站点A到终点站点E的最短路径，并输出最短路径上的所有中间站点。
给出的公交站点图如下：```A ----2---- B/ \ / \3 1 6 4/ \ / \D----3---- E----2---- C```上述图中，节点之间的数字代表了两个节点之间的距离。
根据Dijkstra算法的步骤，我们首先需要初始化起点A到所有其他节点的距离。
初始时，我们假设起点A到其它节点的距离均为无穷大，只有起点A到自身的距离为0。
同时，我们需要维护一个空的节点集合S，用于存放已经确定最短路径的节点，初始时S中没有任何节点。
接下来，我们需要在节点集合V中选择一个距离起点A最短的节点加入集合S，并更新其周边节点的距离值。
在这个例题中，起点A到节点B的距离为2，到节点D的距离为3，到节点E的距离为1，而到节点C的距离为无穷大。
因此，我们首先将节点E加入节点集合S，并更新节点B和节点D的距离值。
更新后的情况如下：```A ----2----B (2)/ \ / \3 1 6 4/ \ / \D----3---- E (0)----2---- C```然后，我们选取集合V中距离A最短的节点B加入集合S，并更新其周边节点的距离值。
根据上面的距离图，我们可以得到节点B到节点C的距离为6。
由于节点D和节点C的距离暂时无法确定，我们暂时将它们的距离设为无穷大。
更新后的情况如下：```A (0)----2----B (2)/ \ / \3 1 6 4/ \ / \D----3---- E (0)----2---- C (∞)```接下来，我们选取集合V中距离A最短的节点D加入集合S，并更新其周边节点的距离值。
dijkstra算法 原理
dijkstra算法原理Dijkstra算法原理Dijkstra算法是一种用于计算加权图中最短路径的算法，它以荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra的名字命名。
该算法的核心思想是通过逐步确定起点到各个顶点的最短路径来实现。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 创建两个集合S和U，其中S是已确定最短路径的顶点集合，U 是未确定最短路径的顶点集合。
2. 初始化起点的最短路径为0，其他顶点的最短路径为正无穷大。
将起点加入到集合S中，将其他顶点加入到集合U中。
3. 对于集合U中的每个顶点，计算从起点出发经过该顶点到达所有其他顶点的路径长度，并更新最短路径和前驱顶点。
4. 从集合U中选择路径最短的顶点加入到集合S中，并从集合U中移除。
5. 重复步骤3和步骤4，直到集合U为空。
Dijkstra算法的核心在于每次从集合U中选择最短路径的顶点加入到集合S中。
通过这种方式，可以逐步确定起点到其他顶点的最短路径，并且保证每次加入集合S的顶点都是当前最短路径的顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中顶点的个数。
这是因为在每次迭代中，需要对集合U中的每个顶点进行更新操作。
当顶点数量较大时，Dijkstra算法的效率可能较低。
然而，可以通过使用优先队列来优化Dijkstra算法的时间复杂度。
优先队列可以在插入和删除操作中保持元素的有序性，从而减少查找最短路径的时间。
通过使用优先队列，可以将Dijkstra算法的时间复杂度优化为O((V+E)logV)，其中E是图中边的个数。
Dijkstra算法广泛应用于网络路由、地图导航和资源调度等领域。
在网络路由中，Dijkstra算法可以用来寻找从源节点到目标节点的最优路径，从而实现数据包的快速传输。
在地图导航中，Dijkstra 算法可以用来计算最短路径，指导驾驶员选择最佳路线。
在资源调度中，Dijkstra算法可以用来分配有限资源，以最大程度地满足各个任务的需求。
dijkstra最短路径算法步骤
dijkstra最短路径算法步骤Dijkstra最短路径算法是一种用于在加权图中查找两个节点之间最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出的。
该算法通过维护一个距离数组，记录每个节点到源节点的距离，并不断更新距离数组来寻找最短路径。
一、基本概念在介绍Dijkstra算法的具体步骤之前，我们需要了解一些基本概念。
1.加权图：加权图是指每条边都有一个权值的图。
2.距离数组：距离数组是指记录每个节点到源节点的当前最短距离的数组。
3.已访问集合：已访问集合是指已经找到最短路径的节点集合。
二、算法步骤1.初始化首先，我们需要将所有节点的距离初始化为无穷大，表示当前还没有找到任何一条路径。
同时，将源节点的距离设为0，表示从源节点到自己的距离为0。
2.选择最小值接下来，在未访问集合中选择一个当前距离最小的点，加入已访问集合中。
这个点就是当前最优解所在位置。
3.更新邻居节点然后，我们需要更新所有与该节点相邻的节点的距离。
具体来说，对于每个相邻节点，我们需要计算从源节点到该节点的距离是否比当前距离更短。
如果更短，则更新距离数组中该节点的值。
4.重复步骤2和3重复执行步骤2和3，直到所有节点都被加入已访问集合中。
此时，距离数组中存储的就是源节点到所有其他节点的最短路径。
三、示例假设我们有以下加权图：现在我们要从A点出发，找到到达其他各点的最短路径。
1.初始化首先，我们将所有点的距离初始化为无穷大，除了A点为0。
2.选择最小值我们从未访问集合{B,C,D,E}中选择当前距离最小的B点，并将其加入已访问集合中。
3.更新邻居节点接下来，我们需要更新与B相邻的所有点（C和D）的距离。
Dijkstra算法
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Dijkstra算法
Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。 它是由Dijkstra于1959年提出的。实际它能出始点到 其它所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法是一种标号法：给赋权图的每一个顶 点记一个数，称为顶点的标号〔临时标号，称T标号， 或者固定标号，称为P标号〕。T标号表示从始顶点 到该标点的最短路长的上界；P标号那么是从始顶点 到该顶点的最短路长。
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பைடு நூலகம்
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7.3 最短路径算法
最短路径算法在数学建模的应用相当广泛，数学建模竞赛中的赛题目中也经常出现，如2007年的“乘公交，看奥运”、2011年的“交巡警服务平台的设置与调度”等。
在一个网络中，如果两个结点之间有直接的因果关系，则这两个结点直接连通，在连接两个结点的弧上标上它的代价或权，值得注意的是这样的代价不一定是对称的，即A 到B 的代价不一定等于B 到A 的代价，实际问题中以行船为例，有顺水和逆水的区别。
在图Ｇ中，给出两个结点求这样一条最短的路径，使经过这条路径上的代价之和最小，这就是最短路径问题。
7.3.1 Dijkstra 算法
A 基本概念
在无向图 G=(V ,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。
迪克斯特拉算法用来解决从顶点v0出发到其余顶点的最短路径，该算法按照最短路径长度递增的顺序产生所以最短路径。
B 算法描述
迪克斯特拉（Dijkstra ）算法的基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用)}()(),({min uv w u l v l i S u +∈代替)(v l 。
计算)}({min v l i
S v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-<V i ，用1+i 代替i ，转(ii)。
算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号，v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。
C Matlab 程序
function [weight,path]=dijkstar(a)
pb(1:length(a))=0; %pb 记录是否标号 pb(1)=1;
index1=1; %index1记录标号顺序
index2=ones(1,length(a)); %index2记录标号的前一结点号，便于最后录找路径d(1:length(a))=inf; %d中初始为inf，最后用11步中的结果替换
d(1)=0; %第一个顶点到自身的距离自然是0
temp=1; %初始由第一点开始录找
while sum(pb)<size(a,2) %终止条件为pb中的点全部标号（用1表示已标号，0表示未标号）
tb=find(pb==0); %找出未标号的点向量
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); %替换过程默认1号点为始发点
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); %找出最小的距离进行标号
temp=tb(tmpb(1)); %同上可能有多个点的权值达到最小，故取1号点对应的点号
pb(temp)=1; %正式标号
index1=[index1,temp]; %将标号的点归入index1中，在下次搜索中失去候选资格
index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1)));%以下程序全为找到路由的向量
if length(index)>=2
index=index(1);
end
index2(temp)=index;
end
weight=d;path=index2;
D 实例
例：对下列带权图，利用上述函数进行计算1点到其它各点的距离和路径。
M=inf;
a=[0 2 4 M M M
2 0 1 4 2 M
4 1 0 M 3 M
M 4 M 0 3 2
M 2 3 3 0 2
M M M 2 2 0] %邻接矩阵
[e,t]=dijkstar(a)
%
e = 0 2 3 6 4 6
t = 1 1 2 2 2 5
e给出了从1点到其他点的最短距离，t给出了从1点到其他点的路线，t的第6个元素
是5，第5个元素是2，第2个元素是1，故1—6的路径为1-2-5-6
7.3.2 Floyd算法
A基本概念
Floyd算法是求任意两结点间的最短路径。
显然，Floyd算法可以使用dijkstra算法n次完成，时间复杂度是O(n^3)。
Floyd还提出过另一个算法，同样是O(n^3)的复杂度，但形式上更简单些。
要求的解是一个矩阵Ｓ[N][N]，其中S[i][j]表示结点i到j的最短路径，算法很像动态规划算法，甚至更简单些，不同的是这里规划的是一个矩阵，而不是简单的数组。
B Floyd算法过程
Floyd算法过程描述如下：
Step1：首先Ｓ以边集Ｍ初始化，得到所有的直接连通代价；
Step2：依次考虑第k个结点，对于Ｓ中的每一个Ｓ[i][j]，判断是否满足：S[i][j]>S[i][k]+S[k][j]，如果满足则用S[i][k]+S[k][j]代替Ｓ[i][j]，此为第k步；
Step3：k循环取遍所有结点，算法结束时，Ｓ为最终解。
C Floyd的Matlab程序
function [shortpath,nextnode]=floyd(vex,k)
%vex是邻接矩阵，shortpath返回最短路径矩阵，nextnode返回路线经过的结点构成的矩阵。
sp=vex; %初始化最短路径矩阵。
nn=zeros(k,k); %初始化路线经过的结点构成的矩阵。
for j=1:k
nn(:,j)=j;
end
%以下是核心代码
for m=1:k
for i=1:k
for j=1:k
if(sp(i,j)>sp(i,m)+sp(m,j)) %有更小的吗？
nn(i,j)=nn(i,m); %有的话用新结点替换上述两矩阵
sp(i,j)=sp(i,m)+sp(m,j);
end
end
end
end
shortpath=sp;
nextnode=nn;
D 实例
对于上述例子，用floyd算法计算任意两点的最短路径和路线。
M=inf;
a=[ a = 0 2 4 M M M
2 0 1 4 2 M
4 1 0 M 3 M
M 4 M 0 3 2
M 2 3 3 0 2
M M M 2 2 0] %邻接矩阵，假设是无向图，邻接矩阵为对称矩阵。
[S,R]=floyd(a,6);
通过上程序计算得：
S = 0 2 3 6 4 6
2 0 1 4 2 4
3 1 0 5 3 5
6 4 5 0 3 2
4 2 3 3 0 2
6 4 5 2 2 0
R = 1 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 5
2 2
3 2 5 5
2 2 2 4 5 6
2 2
3
4
5 6
5 5 5 4 5 6
结果说明：
S矩阵第1行，第6列的值为6，表示从第1点到第6点的最短路径为6。
R矩阵第1行第6列的值为2，第2行第6列的值为5，而第5行第6列的值为6，因此，1—6的最短路线为：1—2—5—6。
S矩阵第3行，第4列的值为5，表示从第3点到第4点的最短路径为5。
R矩阵第3行第4列的值为2，第2行第4列的值为4，因此，3—4的最短路线为：3—2—4。