2-4 镜象法

Q
电荷分布和电场分布： 电荷分布和电场分布： 点电荷Q使导体表面产生 点电荷 使导体表面产生 异号的感应电荷。 异号的感应电荷。整个电 场是由Q和感应电荷共同 场是由 和感应电荷共同 产生的。 产生的。 由于导体表面是等势面， 由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体 表面，而且电场具有轴对称性。 表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应 电荷的假想电荷为Q’。 问题是： 应该放在什 电荷的假想电荷为 。 问题是 ： Q’应该放在什 么位置？电量是多少？ 么位置？电量是多少？
二、镜象法应用举例 接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q， 例1 接地无限大平面导体板附近有一点电荷 ， 距 离为a。求空间中的电场。 离为 。求空间中的电场。 Q 分析：电荷分布：一个点电荷。 分析：电荷分布：一个点电荷。 边界面：接地无穷大导体。 边界面：接地无穷大导体。
a
求解区域：上半空间（下半空间电势为零） 求解区域：上半空间（下半空间电势为零） 已知电荷分布和界面电势(等于零 ， 已知电荷分布和界面电势 等于零)，满足唯一 等于零 性定理的要求，可以确定电势。 性定理的要求，可以确定电势。
+Q
根据电场的轴对称性， 必在对称轴上 必在对称轴上， 解：根据电场的轴对称性，Q’必在对称轴上，即在 Q到球心的连线上。设Q’到球心的距离为 ，以 到球心的连线上。 到球心的距离为b， 到球心的连线上 到球心的距离为 球心为坐标原点， 对称轴为Z轴建立球坐标系 轴建立球坐标系， 球心为坐标原点 ， 对称轴为 轴建立球坐标系 ， 球外空间的电势为： 球外空间的电势为： 电势为
ϕ2 =
Q 2π (ε1 + ε2 ) x2 + y2 + (z − h)2
只要选Q’的位置， 即可， 只要选 的位置，使∆OPQ~∆OQ’P即可，此时 的位置 即可
r′ R0 b = = = 常数 r a R0
b R0 = R0 a
RR0 =− = r Q a
球外任一点P的电势为： 球外任一点 的电势为： 的电势为
1 Q R0Q ϕ= − 4πε0 r ar′
真空中有一半径为R 的接地导体球，距球心为a 例2 真空中有一半径为 0的接地导体球，距球心为 处有一点电荷Q， （a>R0）处有一点电荷 ，求空间各点的电势 （如图）。 如图）。 电荷分布：一个点电荷。 解： 电荷分布：一个点电荷。 边界面：导体球面。 边界面：导体球面。 求解区域：球面外区域。 求解区域：球面外区域。 已知电荷分布和界面电势(等于零 ， 已知电荷分布和界面电势 等于零)，满足唯一 等于零 性定理的要求，可以确定电势。 性定理的要求，可以确定电势。
一、镜象法的基本思想 设点电荷Q附近有一导体， 设点电荷 附近有一导体，在点电荷的电场作 附近有一导体 用下，导体表面上出现感应电荷。 用下，导体表面上出现感应电荷。我们要计算 导体外的电场，这电场是Q和感应电荷共同激 导体外的电场 ， 这电场是 和感应电荷共同激 发的。我们设想，导体表面上的感应电荷对导 发的。我们设想， 体外空间电场的作用， 体外空间电场的作用，能否用导体内部某个或 某几个假想的点电荷来代替？ 某几个假想的点电荷来代替？ 如果存在这种可能性的话， 如果存在这种可能性的话，作这种代换并没有 改变求解区域的电荷分布，因而并不影响泊松 改变求解区域的电荷分布，因而并不影响泊松 方程。 方程。
§2.4 镜象法
Method of images
用分离变量法解拉普拉斯方程， 用分离变量法解拉普拉斯方程，只适用于所考 虑的区域没有自由电荷的情况。 虑的区域没有自由电荷的情况。若区域内有自 由电荷，则必须解泊松方程。 由电荷，则必须解泊松方程。一种重要的特殊 情形是：区域内只有一个或者几个点电荷， 情形是：区域内只有一个或者几个点电荷，区 域的边界是导体或者介质的简单界面。 域的边界是导体或者介质的简单界面。 上述特殊情形的泊松方程边值问题， 上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用 一种比较简洁的特殊方法来求解。 一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就 是镜象法。 是镜象法。
如果这种代换所得到的电场同时又满足边界条件， 如果这种代换所得到的电场同时又满足边界条件 ， 则用假想的点电荷代替感应电荷所得到的解， 则用假想的点电荷代替感应电荷所得到的解 ， 就 是该问题的唯一正确的解。 是该问题的唯一正确的解。 所以，镜象法的基本思想就是： 所以，镜象法的基本思想就是： 在我们所研究的区域之外，用一些假想的电荷 在我们所研究的区域之外， 代替场问题的边界， 代替场问题的边界 ， 假如这些电荷和场区域原 有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条 那么， 件 ， 那么 ， 它们的电势叠加起来便得到我们所 要求的电势解。 要求的电势解。
Q
于导体表面对称， 好象镜面成像一样， 于导体表面对称 ， 好象镜面成像一样 ， 这就是镜象 法的由来，并称假想电荷 为 的镜象电荷。 法的由来，并称假想电荷Q’为Q的镜象电荷。 注意： 注意 ： 镜象电荷的位置和电量跟介质及边界面的形 状有关。 对于其它形状的边界面， 状有关 。 对于其它形状的边界面 ， 镜象电荷并不等 或与Q关于界面对称 于-Q或与 关于界面对称。 或与 关于界面对称。
Q
-Q
Q -Q
Q
设电容率分别为ε1和ε2的两 种均匀介质， 种均匀介质，以无限大平面 为界。在介质1 为界。在介质1中有一点电荷
介质1 介质 介质2 介质
z h Q Q’
Q，求空间电势分布。 求空间电势分布。
1 Q Q' ϕ1 = + 4πε1 r r'
-h
ε1 ε2
1 Q Q' = + 2 2 2 4πε1 x + y + (z − h) x2 + y2 + (z + h)2
Q − Q′ = Q′′
ε1
=
Q′′
ε2
(5) (6)
ε1 −ε2 Q ε1 + ε2 2ε2 ′′ = Q Q ε1 + ε2
Q′ =
所以
1 Q ε1 −ε2 ϕ1 = + 2 2 2 4πε1 x + y + (z − h) ε1 +ε2 x2 + y2 + (z + h)2 1

(1)
ϕ2 =
′ Q′ 4πε2r
(2)
边界条件为： 边界条件为：
ϕ1 z=0 = ϕ2 z=0
∂ϕ1 ∂ϕ2 = ε2 ε1 ∂z z=0 ∂z
可得： 由(3)可得： 可得 可得： 由(4)可得： 可得 联立(5)、 解得 解得： 联立 、(6)解得：
z=0
(3) (4)
Q + Q′
1 Q Q′ ϕ(P) = + 4πε0 r r′ 1 Q Q′ = + 4πε0 x2 + y2 + (z − a)2 x2 + y2 + (z + b)2
该式在导体表面应满足边界条件： 该式在导体表面应满足边界条件： z=0 = 0 ϕ
所以， 所以，
Q x2 + y2 + a2
+
Q′ x2 + y2 + b2
=0
Q =− Q′ x2 + y2 + b2
x2 + y2 + a2
注意到上式对任意x、y都成立，所以 注意到上式对任意 、 都成立， 都成立
b = a，Q′ = −Q
导体板上方的电势为： 导体板上方的电势为：
Q 1 1 ϕ= − 4πε0 x2 + y2 + (z − a)2 x2 + y2 + (z + a)2
电荷分布和电场分布： 电荷分布和电场分布： 点电荷Q使导体表面产生 点电荷 使导体表面产生 异号的感应电荷。 异号的感应电荷。整个电 场是由Q和感应电荷共同 场是由 和感应电荷共同 产生的。 产生的。 由于导体表面是等势面， 由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体 表面，而且电场具有轴对称性。 表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应 电荷的假想电荷为Q’。 问题是： 应该放在什 电荷的假想电荷为 。 问题是 ： Q’应该放在什 么位置？电量是多少？ 么位置？电量是多少？
注意： 注意： 1. 镜象法不仅可以计算导体边界的情况，也可以计 镜象法不仅可以计算导体边界的情况， 算绝缘介质分界面的情况。 算绝缘介质分界面的情况。 2. 镜象电荷的位置由边界面的形状决定，所以各种 镜象电荷的位置由边界面的形状决定， 边界情况下的镜象电荷位置应该记住， 边界情况下的镜象电荷位置应该记住，以后不必 重新推导。 重新推导。 3. 镜象电荷的电量由边界面的形状、介质的性质及 镜象电荷的电量由边界面的形状、 给定电荷的电量有关， 给定电荷的电量有关，要根据边界条件及边值关 系确定。 系确定。 4. 给定电荷与镜象电荷互为镜象。 给定电荷与镜象电荷互为镜象。 5. 一个电荷的镜象电荷可能不止一个。 一个电荷的镜象电荷可能不止一个。
R0 Q′ = − Q a
R0 Q a 1 Q = − 4πε0 R2 + a2 − 2Racosθ R2 + b2 − 2Rbcosθ
物理结果讨论： 物理结果讨论： 根据高斯定理， 根据高斯定理 ， 收敛于球面的 电通量为−Q’。 Q’为球面的总 。 为球面的总 电通量为 感应电荷， 它是受电荷Q的电 感应电荷 ， 它是受电荷 的电 场的吸引而从接地处传至导体 球上的。 球上的。 然而|Q’|<Q， 由电荷 发出的电场线只有一部 ， 由电荷Q发出的电场线只有一部 然而 分收敛于球面上， 分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远 处。
1 Q Q′ ϕ(P) = + 4πε0 r r′