宁夏银川一中2020届高三第六次月考数学(文)试题(含答案)

银川一中2020届高三年级第六次月考文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.32ii-=+（ ） A. 1i - B. 22i -C. 1i +D. 22i +【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项. 【详解】原式()()()()32551225i i i ii i ---===-+-.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2.设集合22{(,)|1},97x y M x y =+={(,)|2}x N x y y ==,则M N ⋂的子集的个数是（ ）A. 8B. 4C. 2D. 0【答案】B 【解析】 【分析】画出集合,M N 表示的图像，根据图像交点的个数，判断出M N ⋂元素的个数，由此求得M N ⋂的子集的个数.【详解】画出集合,M N 表示的图像如下图所示，由图可知M N ⋂有两个元素，故有224=故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的运算，考查子集的个数求法，考查椭圆的图像和指数函数的图像，属于基础题.3.《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第30天织布（ ） A. 7尺 B. 14尺C. 21尺D. 28尺【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用等差数列前n 项和公式列方程，解方程求得第30天织布.【详解】依题意可知，织布数量是首项为15a =，公差5d =的等差数列，且13030303902a a S +=⨯=，即()30155390a ⨯+=，解得3021a =（尺）. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题. 4.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 35-B. 10C.45D.13【答案】C【分析】由两角和的正切公式求出tan α，利用22sin cos 1αα+=化简sin 2α，代入tan α即可得解. 【详解】tan 11tan 3tan 41tan 2παααα+⎛⎫+==⇒= ⎪-⎝⎭Q ， 2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα∴===++.故选：C【点睛】本题考查两角和的正切公式，利用同角三角函数的关系进行化简，属于基础题.5.若p ：12log 1a <，q ：1113a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则p 是q 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性解不等式，由解集的包含关系即可判断.【详解】因为p ：121log 12a a <⇒>，q ：11113a a -⎛⎫<⇒> ⎪⎝⎭， 所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查必要不充分条件的辨析，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题. 6.设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. ,//m m n n αα⊥⊥⇒B. ,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥C. ,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥D.,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒【答案】B【分析】根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，直线n 可能在平面α内，故A 选项错误.对于B 选项，由于,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，所以m n ⊥正确，故B 选项正确. 对于C 选项，,αβ可能平行，故C 选项错误. 对于D 选项，,αβ可能相交，故D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行、线线垂直、面面垂直的知识，属于基础题. 7.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且甲、丙两个车间共抽取的产品数量为60，则乙、丁两车间生产的产品共有（ ） A. 1000件 B. 1200件C. 1400件D. 1600件【答案】D 【解析】 试题分析：因为280020140=，所以甲、丙两车间产品的数量为，从而乙、丁两车间产品的数量为1600. 考点：分层抽样法.8.若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A. 0B. 3-C.32D. 3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是( )A. f(x)＝sin(3x ＋3π)B. f(x)＝sin(2x ＋3π) C. f(x)＝sin(x ＋3π)D. f(x)＝sin(2x ＋6π) 【答案】D 【解析】 由图象知15-41264T πππ==，所以T π=，2ω=，又图象过点(,1)6π，代入解析式得：sin()13πϕ+=，又2πϕ<，所以6π=ϕ，故选D.10.已知()f x 在R 上是可导函数,则()f x 的图象如图所示，则不等式()223()0x x f x '-->的解集为（ ）A. (,2)(1,)-∞-+∞UB. (,2)(1,2)-∞-UC. (,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 图像判断()'fx 的符号，由此求得不等式()223()0x x f x '-->的解集.【详解】由()f x 的图像可知，在区间()(),1,1,-∞-+∞上()'0fx >，在区间()1,1-，()'0f x <.不等式()223()0x x f x '-->可化为()()()'310x x f x -⋅+⋅>，所以其解集为(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题. 11.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.34π B.24π+ C.12π+ D.324π+ 【答案】D 【解析】【详解】该几何体的体积为34的圆锥体积与三棱锥p ADB V -的体积之和，即2311113+2=13+3=.43234V ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯几何体选D.12.点P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上一点，其左，右焦点分别为1F ，2F ，直线1PF 与以原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则双曲线的离心率为（ ） A.32B.43C.53D.54【答案】C 【解析】 【分析】运用线段的垂直平分线的性质可得2122PF F F c ==，设1PF 的中点为M ，由中位线定理可得22MF a =，再由勾股定理的和双曲线的定义可得422b c a -=，结合a ，b ，c 的关系可得a ，c 的关系，即可求得离心率.【详解】因为线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，所以2122PF F F c ==， 因为直线1PF 与以原点O 为圆心，a 为半径的圆相切于A 点，所以||OA a =， 设1PF 的中点为M ，由中位线定理可得22MF a =，在直角三角形2PMF 中，22||442PM c a b =-=，则14PF b =， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+， 所以()222224()4()b ac c a a c =⇒=+-+， 解得35a c =， 所以53c e a ==. 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及垂直平分线的性质，中位线定理，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()2,1a =r ，()3,b m =r，若()a ab ⊥-r r r ，则m 等于______.【答案】1- 【解析】 【分析】求出a b -r r的坐标，由()a a b ⊥-r r r 推出()0a a b ⋅-=r r r ，列出方程即可求得m .【详解】(1,1)a b m -=--r r，()a ab ⊥-r r r Q ，()02(1)1(1)0a a b m ∴⋅-=⇒⨯-+⨯-=r r r，解得1m =-故答案为：1- 【点睛】本题考查向量的坐标表示，两垂直向量的数量积关系，属于基础题.14.已知抛物线2:8C y x =,O 为坐标原点,直线x m =与抛物线C 交于,A B 两点,若OAB ∆的重心为抛物线C 的焦点F ,则AF =___________________；【答案】5 【解析】 由题意得22,33AA x x == ，由抛物线定义得2 5.A AF x =+= 15.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==,则数列{}3log n a 的前n 项和为___________.【答案】22n n- 【解析】 【分析】先求得数列{}n a 的通项公式，由此求得数列{}3log n a 的通项公式，进而求得其前n 项和. 【详解】由于等比数列{}n a 中，253,81a a ==，所以141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得11,3==a q ，所以13-=n n a ，所以3log 1n a n =-，所以数列{}3log n a 是首项为0，公差为1等差数列，其前n项和为20122n n nn +--⋅=.故答案为：22n n-【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和，属于基础题.16.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),A a b ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”.以下函数：①12y x =，②221y x =+，③sin y x =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是______.已知点(),A a b 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则实数a 的取值范围是______.【答案】 (1). ①③ (2). 0a ≤ 【解析】 【分析】(1)当[1,1]x ∈-，求出各序号中y 的取值范围A ，若[1,1]A ⊆-则此函数是原点的“限定函数”；(2) 由题意知2a b =，当[]1,1x a a ∈-+时112[2,2]x a a y -+=∈，若2xy =是点A 的“限定函数”，则11[2,2][21,21]a a a a -+⊆-+，由集合的包含关系列出不等式组即可求得a 的取值范围.【详解】(1) ①当[1,1]x ∈-时，111[,]222y x =∈-，因为11[,][1,1]22-⊆-，所以函数①是原点的“限定函数”；②因为221y x =+在[1,0)-上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，221[1,3]y x =+∈，因为[1,3][1,1]⊄-，所以②不是原点的“限定函数”；③因为sin y x =在(,)22ππ-上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，sin [sin1,sin1]y x =∈-，因为[sin1,sin1][1,1]-⊆-，所以③是原点的“限定函数”；④因为()ln 2y x =+在(2,)-+∞上单调递增，所以当[1,1]x ∈-时，()ln 2[0,ln3]y x =+∈，因为[0,ln 3][1,1]⊄-，所以④不是原点的“限定函数”. (2)因为点(),A a b 在函数2xy =的图象上，所以2a b =，因为2xy =是点A 的“限定函数”，并且当[]1,1x a a ∈-+时，112[2,2]x a a y -+=∈，所以1111221[2,2][21,21]221a a a a aaa a--++⎧≥-⎪⊆-+⇒⎨≤+⎪⎩，解得0a ≤. 故答案为：①③；0a ≤【点睛】本题考查函数的概念与性质，涉及基本初等函数及正弦函数的单调性，根据集合的包含关系求参数，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分）17.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin()(2sin 3)(2sin 3).a B C B C b C B c +=-+（1）求角A 的大小；（2）若4a =，43b =ABC ∆的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得cos A的值，进而求得角A 的大小.（2）利用正弦定理求得sin B ，进而求得角B 的可能取值，由此求得角C ，进而求得ABC ∆的面积.详解】（1）由已知及正弦定理可得22(23)(23)a b c b c b c =-+， 整理得2223b c a bc +-=，所以22233cos 2b c bc A bc a +===-． 又(0,)A π∈，故6A π=．（2）由正弦定理可知sin sin a b A B=，又4a =，43b =6A π=，所以3sin B =． 又5(0,)6B π∈，故3B π=或23π．若3B π=，则2C π=，于是1832ABC S ab ∆==； 若23B π=，则6C π=，于是1sin 432ABCS ab C ∆==． 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点F 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）3010【解析】 【分析】（1）由中位线定理推出//FQ DC 且12FQ CD =、AE CD P 且12AE CD =，所以//AE FQ 且AE FQ =，从而推出//AF EQ ，由线线平行即可证明线面平行；（2）由（1），点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，利用等体积法列出A PEC P AEC V V --=，即可得解.【详解】（1）设PC 的中点为Q ，连接EQ ，FQ ，由题意，因为FQ 是PDC △的中位线，所以//FQ DC 且12FQ CD =， 因为底面ABCD 为菱形且E 为AB 的中点，所以AE CD P 且12AE CD =故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 则//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面AEC ， 所以，//AF 平面PEC（2）连接DE ，由（1），点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d ， 由条件易求22=PC 23AC =1,2BE BC ==，120EBC ∠=o ，在EBC V 中，22121cos 72122EC EBC EC +-∠==-⇒=⨯⨯易知ADB △为等边三角形，则DE AB ⊥，223DE AD AE =-=，因为PD ⊥平面ABCD 且DE ⊂平面ABCD ，所以PD DE ⊥, 所以227PE PD DE +=因为PE EC =，所以EPC V 为等腰三角形，EQ PC ⊥， 所以225EQ EC CQ =-=故1225102PEC S ∆=⨯=13132AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=11310233d =，解得30d =. 【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，点到平面的距离问题，属于中档题.19.2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计捐款超过500元 30捐款低于500元 6合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率. 附：临界值表0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820()P K k 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有把握；（2）218. 【解析】 【分析】(1)由直方图得到22⨯列联表，利用公式求得2K 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，得到试验的全部结果所构成的区域及事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求()78P A =，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】(1)如下表：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元 5 6 11 合计 351550()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,x y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为(){,|78,7.58.5}Q xy x x =≤≤≤≤，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A Q S P A S ==， 李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，721388E ξ=⨯=. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20.如图，已知圆E ：221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左右焦点1F ，2F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与直线OA （O 为原点）平行的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.使32OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ，若存在，求直线l 的方程，不存在说明理由.【答案】（1）2222142x y +=（2）存在，212y x =±【解析】 【分析】（1）求出圆E 与x 轴的交点即可求得c ，由1F ，E ，A 三点共线推出1F A 为圆E 的直径且13F A =，勾股定理求出2F A ，利用椭圆的定义即可求出a ，进而求出b ，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程2y m =+，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出12x x +、12x x 的表达式，对OM ON ⋅u u u u r u u u r进行数量积的坐标运算即可求得参数m .【详解】（1）令0y =，则2219024x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x =2(2,0)F ⇒2c =因为1F ，E ，A 三点共线，所以1F A 为圆E 的直径，且13F A =， 所以212F A F F ⊥.因为2222112981AF AF F F =-=-=，所以21F A =，则1224a AF AF =+=，2a =，222b a c =-=所以椭圆C 的方程为2222142x y +=.（2）由)2,1A，则22OA k =，假设存在直线l ：22y x m =+满足条件， 由2222142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22220x mx m ++-= 设直线l 交椭圆C 于点()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x m +=-，2122x x m =-，且()222420m m ∆=-->，即22m -<<，121212122222OM ON x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r()()()22212123232222222x x x x m m m m m =+++=-++ ()2322m =-，32OM ON ⋅=-u u u u r u u u r Q ，()233222m ∴-=-，解得1m =±，故存在直线l ：212y x =±满足条件 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系综合应用，涉及韦达定理求直线与椭圆的交点，向量数量积的坐标运算，属于中档题. 21.已知函数()()ln 1,f x x a x a R =--∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1x ≥时，()ln 1xf x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，1a =时，()1xf x x-'= 令()001f x x '>⇒<<，∴()f x ()0,1上单调递增；令()01f x x '<⇒<，∴()f x 在()1,+∞上单调递减 综上，()f x 的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++， 令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，()ln 12g x x ax +'=-，令()()ln 12h x g x x ax ==+-'，则()12axh x x-'=（1）若()0,0a h x '≤>，()g x '在[)1,+∞上为增函数，()()1120g x g a ≥=-'>' ∴()g x 在[)1,+∞上为增函数，()()10g x g ≥=，即()0g x ≥. 从而()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. （2）若102a <<，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()1120g x g a ''>=->，同Ⅰ），所以不符合题意 （3）当12a ≥时，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立. ∴()g x '在[)1,+∞递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'. 从而()g x 在[)1,+∞上递减，∴()()10g x g ≤=，即()ln 01xf x x -≤+. 结上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)P 作倾斜角为6π的直线l ，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，将曲线1C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，直线l 与曲线2C 交于不同的两点,M N . （1）求直线l 的参数方程和曲线2C 的普通方程；（2）求11PM PN+的值. 【答案】（1）直线l 的参数方程为31(12x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=；（2）263【解析】 【分析】（1）根据直线参数方程的知识求得直线l 的参数方程，将1C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后通过图像变换的知识求得2C 的普通方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得11PM PN+的值. 【详解】(1)直线l 的参数方程为31(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）， 由1ρ=两边平方得21ρ=，所以曲线1C 的直角坐标方程式221x y +=,曲线2C 的方程为22()12x y +=,即2214x y +=.(2)直线l 的参数方程为31(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），代入曲线2C 的方程得： 2743120,t t +-=设,M N 对应得参数分别为12,t t ,则12124312.7t t t t +==- 21212121212121212()4111126t t t t t t t t PM PN t t t t t t t t +-+-∴+=+==== 【点睛】本小题主要考查直线的参数方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查图像变换，考查直线参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 23. 选修4—5：不等式选讲 设函数()31 3.f x x ax =-++ （1）若a=1，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13{|}.24x x -≤≤；（2）33a -≤≤ 【解析】试题分析：（1）绝对值不等式3135x x -++≤，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+<是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数． 试题解析：（Ⅰ）1a =时，()313f x x x =-++．当13x ≥时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤； 当13x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -≤<．综上可得，原不等式的解集为13{|}.24x x -≤≤5分（Ⅱ）1(3)2,()3()313{1(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ++≥=-++=-+< 函数()f x 有最小值的充要条件为30,{30,a a +≥-≤即33a -≤≤10分考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值．。