苏教版高中数学(必修4)1.3《三角函数的图象与性质》(三角函数的图象和性质)word教案

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苏教版高中数学必修4-1.3《三角函数的图像与性质(第1课时)》参考课件

小结一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
跟踪训练 2 求函数 f(x)＝lg cos x＋ 25－x2的定义域．
解由题意，x 满足不等式组c2o5s－xx>20≥0 ，即c－os5≤x>x0≤5 ，本作出 y＝cos x 的图象，如图所示．
目开
1－sin x
1
0
1
2
1
关
描点连线，如图所示．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
小结作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作本图．“五点”即 y＝sin x 或 y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高
课
时点、最低点和与 x 轴的交点．“五点法”是作简图的常用
栏
目方法．
数的图象．
本
课
时
栏
目开
在精度要求不高时，要画出 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，
关
可以通过描出 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)
五个关键点，再用光滑曲线将它们连结起来，就可以得到
余弦函数的简图．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.2（一）
探究点二五点法作正弦曲线
在精度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出
本课时
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) 五关键点，再
栏用光滑曲线将它们连结起来，就可得正弦函数的简图．
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效

苏教版必修4高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(3)教学案

高中数学第1章《三角函数》三角函数图象和性质(3)教学案
苏教版必修4
教学目标：能借助正切线画出正切函数的图象，并能通过图象理解正切函数的性质。

注重渗透
数形结合的数学思想。

教学重点：正切函数的图象和性质教学难点：正切函数的性质的应用
教学过程：
一、问题情境：前面我们研究了正、余弦函数的图象，正切函数的图象又是怎样的呢？你能用类似的方法进行研究吗？
二、学生活动：
探究：（1）单位圆中，tan α=________；你能在单位圆中作出
8π，4π，38π的正切线吗？
（2）y=tanx 是以________为周期的周期函数，所以我们可以先研究正切函数在[2π-，2
π]上的图象。

三、知识建构：
1、图象：
2、性质：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）周期性：
（4）奇偶性：
（5）单调性：
四、知识运用： x y O
例1、求函数y=tan (2x )4π
-的定义域
小结：
例2、求f(x)=tan2x 的周期
小结：
例3、不求值，比较下列各组值大小。

（1）tan138°， tan143° （2）tan(134π-)， tan(175π-)。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教

第二十三页，共42页。
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____．解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2，所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．

高中数学 1.3.2三角函数的图象与性质课件苏教版必修4

第二步将得到的图象向左和右平移，即可得到完整的曲线．
变式训练
1．作函数 y＝tan1 x·sin x 的图象．
分析：首先将函数的解析式变形化为最简形式，然后作出函数
的图象．
解析：要 tan x 有意义必须有 x≠kπ＋π2 (k∈Z)，
栏目
链
当 tan x≠0，即 x≠kπ(k∈Z)时，
接
有 y＝tan1 x·sin x＝cos x，
栏目
_三__角___函__数___线___来画的几何法．
链接
4．作正弦函数的图象可分两步：一是画出
_y__＝__s_i_n__x__，__x_∈___[_0_,_2_π__]_____
的图象，二是把这一图象向__左___右___连续平行移动(每次平移 2π个
单位长度)．
5．正弦曲线关于___原__点___对称；正弦函数是_奇___函__数__；余弦曲
上都是减函数，其值从 1 减小到－1.
栏
目
7．余弦函数在每一个闭区间[_2_k_π__－__π__，__2__k_π__](_k__∈__Z_)_上都是
链接
增函数，其值从－1 增大到 1；在每一个闭区间
__[_2_k_π__，__2__k_π__＋__π_]_(_k_∈___Z_)__上都是减函数，其值从 1 减小到－1.
_x_＝__k_π __－__π_2_(_k__∈_Z__)_.
15．正切函数 y＝tan
x 的对称中心为k_2π__，_0__(k_∈_．Z)
栏目
它被1无6数．正条、垂余直弦于函x 轴数的的直图线象x_是＝__连k_π_续_＋_的_π2_，_x_而＝__正k_π_切_－_函_π2_数(_k_的∈__图Z_)分象不隔连开来续．，

高中数学 1.3 三角函数的图象和性质教材梳理素材苏教版必修4

高中数学 1.3 三角函数的图象和性质教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.三角函数的周期性 (1)周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，每一个非零常数2kπ(k∈Z ,k≠0)都是它们的周期.深化升化周期函数x∈定义域M ，则必有x+T∈M,且若T ＞0则定义域无上界；T ＜0则定义域无下界，且如果一个函数是周期函数，它的周期T 往往是多值的(如y=sinx,2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期).对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正、余弦函数所有周期中的最小正数，则2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期.但应注意并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如函数f(x)=1，对于任意实数T 都有f(x+T)=f(x)=1，所以只要T 是非零常数，则T 就是函数f(x)=1的周期，而在实数中并不存在最小的正数，则函数f(x)=1不存在最小正周期.联想发散由正切线可知，正切函数也是周期函数，它的每一个周期为非零常数kπ(k∈Z ,k≠0)，它的最小正周期为π.(2)函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期. 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期T=ωπ2.误区警示公式T=ωπ2求周期只适用于函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期且应具有条件“ω＞0”，比如要求y=3sin(-2x+1)的最小正周期,若利用公式T=ωπ2，所求的最小正周期为T=22-π=-π，结论是错误的.其正确结果应为T=||2ωπ=|2|2-π=π.因此，在求y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期时还应注意具体问题具体分析，即应注意题目中所给的条件是否有条件“ω＞0”，若有，则它们的最小正周期为T=ωπ2，否则它们的最小正周期为T=||2ωπ. 联想发散函数y=Atan(ωx+φ)及函数y=Acot(ωx+φ)(其中A 、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期为T=ωπ. 2.三角函数的图象和性质 (1)正弦函数的图象对于一类函数，我们主要研究它们的性质，而在三角函数中，正、余弦函数的性质是重点.为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.由于余弦函数y=cosx=sin(x+2π)，则余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状相同，它可由正弦函数的图象经过平移得到，则只要画出正弦函数的图象，就可以得到余弦函数的图象.由上述内容可知，正弦函数y=sinx 是以2π为最小正周期的周期函数，则只要画出y=sinx 在区间［0,2π］上的图象，就可以得到整个图象，而y=sinx 在区间［0,2π］上的图象可由单位圆中的有向线段得到.画y=sinx 在区间［0,2π］上的图象的思路如下：①先作单位圆，把⊙O 1十二等分(当然分得越细，图象越精确)； ②十二等分后得对应于0,6π,3π,2π,…,2π等角，并作出相应的正弦线； ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”； ④取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合； ⑤描图(连结)得y=sinx,x∈［0,2π］. 其具体步骤如下：在直角坐标系的x 轴上任意取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从⊙O 1与x 轴的交点起把⊙O 1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，图象越精确).过⊙O 1上各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0,6π,3π,2π,…,2π等角的正弦线(如图1-3-2，有向线段O 1B 对应于2π角的正弦线)，相应地，再将x 轴从0到2π分为12等份(如图1-3-2，从原点起向右的第四个点就是对应于2π角的点).把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合(如图1-3-2，把正弦线O 1B 向右平移，使点O 1与x 轴上的点2π重合).再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了y=sinx ，x∈［0,2π］的图象(如图1-3-2).图1-3-2由终边相同的三角函数性质知y=sinx,x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z ,k≠0的图象，与函数y=sinx ，x∈［0,2π］图象形状相同，只是位置不同——每次向左(右)平移2π单位长就得到正弦函数y=sinx,x∈R 的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线(如图1-3-3).图1-3-3上面是借助正弦线描点来作出正弦曲线，此外，也可以通过列表描点来作出正弦曲线.由上面的图1不难发现，函数y=sinx ，x∈［0,2π］的图象上起关键作用的点有五个：(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).事实上，描出五点后，函数y=sinx ，x∈［0,2π］的图象形状就基本确定了.此种画法称为“五点(画图)法”.这种画法的优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后且在精确度要求不高的情况下才可以用此种方法画正弦函数的图象.作三角函数的图象时，自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，x 、y 轴的单位就可以统一了，作图时不要以比较习惯的角度制作为自变量的单位，这一点应引起注意. 联想发散利用五点法作正弦函数的图象时，这五个点的选择与函数自变量的取值范围有关，一般地，当自变的取值范围是［0,2π］时，这五个点取(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0)；当自变量的取值范围为［-2π,23π］时，这五个点取(-2π,0),(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1).总之，这五个点的横坐标都使正弦函数值取得最大值、最小值和零值.(2)余弦函数的图象由上面内容可知余弦函数与正弦有如下关系： y=cosx=2sin(x+2π), 所以，只要将正弦函数的图象向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线(如图1-3-4).图1-3-4辨析比较正弦曲线和余弦曲线的共同点：都是波浪状曲线，且都夹在直线y=1和y=-1之间，既是中心对称图形又是轴对称图形.它们的不同点：正弦曲线的对称中心为(kπ,0),k∈Z ，对称轴方程为x=kπ+2π,k∈Z ，而余弦曲线的对称中心为(kπ+2π,0)，k∈Z ,对称轴方程为x=kπ,k∈Z .(3)正弦函数、余弦函数的性质由正弦函数和余弦函数的图象，可得正弦函数、余弦函数的性质如下： ①定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R . ②值域由正弦曲线、余弦曲线可以发现： -1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1,即｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1〔我们把满足条件｜f(x)｜≤M 的函数f(x)称为有界函数〕.而且sinx,cosx 都可以取［-1，1］中的一切值，所以正弦函数和余弦函数的值域都是［-1，1］.由正弦函数图象的画法过程可知，角2π的正弦线最长，它等于单位圆的半径为1，所以，当x=2π正弦函数取最大值为1，又角2kπ+2π(k∈Z )与角2π的终边相同，则角2kπ+2π(k∈Z )的正弦值也是1，所以正弦函数当且仅当x=2kπ+2π(k∈Z )时取得最大值1.同理，当且仅当x=2kπ-2π(k∈Z )时取得最小值-1.而由单位圆中的有向线段可知当x=0时，余弦函数取最大值为1，又角x=2kπ(k∈Z )与角0的终边相同，所以余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z )时取最大值 1.同理,当且仅当x=2kπ+π(k∈Z )时取最小值-1. ③周期性由诱导公式一可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z ,k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期为2π.正、余弦函数的周期性也可以通过它们的图象体现出来，它们的图象都是由在［0,2π］上的图象向左或向右平移2π的整数倍个单位得到的. ④奇偶性对于正弦函数y=sinx,x∈R ，其图象任意一点(x ，y)即(x,sinx)关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)，又由诱导公式sin(-x)=-sinx 可知，这个对称点就是(-x,sin(-x))，它也在正弦函数的图象上.这就是说将正弦曲线绕原点旋转180°后，曲线与原来的曲线重合，所以正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称.对于余弦函数y=cosx,x∈R ，其图象任意一点(x ，y)即(x,cosx)关于y 轴的对称点是(-x,y)即(-x,cosx)，又由诱导公式cos(-x)=cosx 可知，这个对称点就是(-x,cos(-x))，它也在余弦函数的图象上.这说明，将余弦函数沿y 轴折叠，y 轴两旁的部分能够互相重合，所以，余弦函数是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称. ⑤单调性由正弦曲线可以看出，当x 由-2π增大到2π时，曲线逐渐上升，sinx 的值由-1增大到1；当x 由2π增大到23π时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.所以，每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈R )是正弦函数的增区间，每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )是正弦函数的减区间.误区警示正弦函数在第一象限是增函数这种说法是错误的，这是因为第一象限中终边相同的角的正弦值是相等的，而终边相同的角具有大小关系，所以这并不满足单调性的定义.正确的说法是：正弦函数在每一个区间(2kπ,2π+2kπ)(k∈Z )上是增函数. 类似地，由余弦曲线可以看出，当x 由0增大到π时，曲线逐渐下降，cosx 的值由1减小到-1；当x 由π增大到2π时，曲线逐渐上升，cosx 的值由-1增大到1，由余弦函数的周期性可知：余弦函数在每一个闭区间［2kπ,π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1；在每一个闭区间［π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1.所以，每一个闭区间［2kπ,π+2kπ］(k∈Z )是余弦函数的减区间，每一个闭区间［π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )是余弦函数的增区间.利用正、余弦函数的单调性，可以比较三角函数的大小，可以求三角函数的单调区间，还可以借助三角函数的图象解简单的三角不等式.辨析比较函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，而函数的单调性是相对于函数定义域内某个区间来说，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质.深化升华奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.记忆要诀对于正、余弦函数的性质，要结合它们的图象进行记忆. (4)正切函数的图象同正弦函数的图象的画法相同，画正切函数的图象也利用单位圆的有向线段.画它的图象可分以下几步进行： ①首先考虑定义域：不论是研究函数的性质还是画函数的图象都应首先考虑它的定义域，由正切函数的定义可知，正切函数的定义域为{x|x≠kπ+2π(k∈Z )}. ②为了研究方便，再考虑一下它的周期： ∵tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx(x∈R ,且x≠kπ+2π,k∈Z )，∴y=tanx(x∈R ,且x≠kπ+2π,k∈Z )的周期为T=π(最小正周期). ③选择(-2π,2π)的区间作出它的图象(如图1-3-5).图1-3-5根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R ，且x≠2π+kπ(k∈Z )的图象，并把它称为正切曲线(如图1-3-6).图1-3-6正切曲线是被互相平行的直线x=kπ+2π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的，且正切曲线是中心对称图形，它的对称中心为(2πk ,0)，其中k∈Z .深化升化正切函数的定义域是{x|x≠kπ+2π(k∈Z )}，所以正切曲线被x=±2π，±23π23π，…等与y 轴平行的直线隔开，且这些直线成为正切曲线的渐近线，在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的.辨析比较作正弦函数的图象可以利用“五点法”作图.而作正切函数的图象可用“三点两线法”，“三点”即为(kπ,0)，(kπ+4π,1)，(kπ-4π,-1)，其中k∈Z ，“两线”指的是直线x=kπ±2π,k∈Z . (5)正切函数的性质由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下： ①定义域由正切函数的定义不难得出正切函数的定义域为{x ｜x∈R 且x≠2π+kπ,k∈Z }. ②值域由图象可观察到：当x 从小于kπ+2π(k∈Z )趋向于kπ+2π时，tanx 趋于+∞. 当x 从大于kπ+2π(k∈Z )趋向于kπ+2π时，tanx 趋于-∞.所以，正切函数的值域为实数集R .③周期性由正切函数的图象可知，正切函数是以π为周期的周期函数.此外，正切函数的周期性也可由诱导公式得出. ④奇偶性由诱导公式可得tan(-x)=-tanx ，所以正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称. ⑤单调性由正函数的图象可知在每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 内都是增函数,即每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 都是正切函数的单调增区间. 利用正切函数的单调性可以解决以下问题:①比较不同角的三角函数值的大小；②求三角函数的单调区间；③解三角不等式. 记忆要诀充分利用正切函数的图象来掌握正切函数的性质.误区警示虽然正切函数在每一个开区间(-2π+kπ,2π+kπ),k∈Z 内都是增函数.但正切函数在它的定义域内是增函数是错误的，比如3π和45π都在正切函数的定义域内，且3π＜45π，但tan 3π＞tan 45π，与单调增函数的定义不符.所以，不能说正切函数在其定义域内是增函数.辨析比较正切函数y=tanx,x≠kπ+2π,k∈Z 的定义域不是R ，又正切函数与正、余弦函数的对应法则不同，因此一些性质与正、余弦函数的性质有较大的差别.如正、余弦函数是有界函数，而正切函数则是无界函数；正、余弦函数是连续曲线，反映在图象是连续无间断点的，而正切函数在R 上不连续，它有无数条渐近线，它的图象被这些渐近线分割开来；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数只有单调增区间.它们也有大量的共同性质.比如它们都是周期函数，它们的图象都是中心对称图形等. 3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间T=ωπ2，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f=T1，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. (2)函数y=sin(x+φ)和y=sinx 的图象的关系在前面内容的学习过程中我们研究过函数y=2x 和函数y=2x+a图象之间的关系，我们知道函数y=2x+a 的图象是由函数y=2x左右平移得到的.那么函数y=sin(x+φ)和y=sinx 的图象的关系又是怎样的呢？下面就以实例来说明. 画出函数y=sin(x+3π)(x∈R )；y=sin(x-4π)(x∈R )的简图. 画上面两个函数的简图同画正弦函数的简图相同，可以利用五点作图.其步骤如下：作图：由图1-3-7不难发现，函数y=sin(x+3π)的图象是由函数y=sinx 的图象向左平移了3π个单位得到的；函数y=sin(x-4π)的图象是由函数y=sinx 的图象向右平移了4π个单位得到的.图1-3-7由此我们可以得到一般结论如下：一般地，函数y=sin(x+φ)的图象可以看作将函数y=sinx 的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度而得到的.深化升华在利用五点法作函数y=sin(x+φ)的图象时，需要将x+φ看成一个整体，使x+φ分别取0、2π、π、23π、2π，解出相应的x ，然后描点，连线即可.联想发散函数y=f(x+a)的图象，可以看作是把y=f(x)图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移｜a ｜个单位得到的.记忆要诀对于左右的平移，可简记为“加左减右”,即当自变量x 加上一个正数向左平移，减去一个正数向右平移.(3)函数y=Asinx 和y=sinx 的图象间的关系画出函数y=2sinx,x∈R ；y=21sinx,x∈R 的图象(简图). 由于这两个函数的周期T=2π，所以不妨在［0,2π］上作它们的简图，方法还是利用五点法.步骤如下：列表：x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -2 0 21sinx 021 0-21 0由图1-3-8可以看出，函数y=2sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标等于函数y=sinx的图象上横坐标为t 的点的纵坐标的2倍；而函数y=21sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标的21倍.所以，函数y=2sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)而得到的；而函数y=21sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的21倍(横坐标不变)而得到的.图1-3-8由此可得一般结论如下：一般地，函数y=Asinx(A ＞0且A≠1)的图象，可以看作将函数y=sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.此外，由上面的图象还不难发现，函数y=Asinx(A ＞0且A≠1)的值域［-A,A ］，最大值是A ，最小值是-A.它是一个周期函数，周期T=2π.它也是一个奇函数，图象关于原点对称.在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数，其值从-A 增大到A ；在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数，其值从A 减小到-A.所以，每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )是它的增区间，每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )是它的减区间.若A ＜0,可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折即可. 联想发散函数y=Af(x)(A ＞0,A≠1)的图象，可以看作是把y=f(x)图象上点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的. (4)函数y=sinωx 和函数y=sinx 的图象的关系画出函数y=sin2x,x∈R ；y=sin21x,x∈R 的图象(简图). 函数y=sin2x 的周期T=π，∴在［0,π］上利用五点法作其简图. 令X=2x,则x=2X,从而sinX=sin2x. X=2x 0 2π π23π 2π x 0 4π 2π 43π π sin2x 01-1函数y=sin 2的周期T=4π，∴在［0,4π］上利用五点法作其简图. 列表：X=2x 0 2π π 23π 2π x0 π 2π 3π 4π sin2x 01-1由图1-3-9可以看出，函数y=sin2x 的图象上横坐标为2t的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标；而函数y=21sinx 的图象上横坐标为2t 的点的纵坐标等于函数y=sinx 的图象上横坐标为t 的点的纵坐标.所以，函数y=2sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)而得到的；而函数y=21sinx 的图象可以看作函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.图1-3-9由此我们可以得到一般结论如下：函数y=sinωx,x∈R (ω＞0且ω≠1)的图象，可看作将函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的. 此外，由上图我们还不难发现，函数y=sinωx,x∈R (ω＞0且ω≠1)具有以下性质： ①值域为［-1，1］； ②它是一个周期函数，周期T=ωπ2；③它是一个奇函数,图象关于原点对称；④在每一个闭区间［-ωπ2+ωπk 2,ωπ2+ωπk 2］(k∈Z )上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间［ωπ2+ωπk 2,ωπ23+ωπk 2］(k∈Z )上都是减函数，其值从1减小到-1.所以，每一个闭区间［-ωπ2+ωπk 2,ωπ2+ωπk 2］(k∈Z )是它的增区间，每一个闭区间［ωπ2+ωπk 2,ωπ23+ωπk 2］(k∈Z )是它的减区间. 若ω＜0,则可用诱导公式将符号“提出”再作图.联想发散函数y=f(ωx)(ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=f(x)图象上点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的.(5)函数y=sinωx 和y=sin(ωx+φ)(ω＞0,φ≠0)的图象的关系. 画出函数y=sin(2x+3π)(x∈R )的简图. 列表：2x+3π 0 2π π23π 2πx -6π 12π 3π 127π 65π sin(2x+3π) 01-1作图：由图1-3-10可知，函数y=sin(2x+3π)的图象是由函数y=sin2x 的图象上所有的点向左平移6π个单位而得到的.类似地，将函数y=sin2x 的图象上所有的点向右平移6π个单位就可以得到函数y=sin(2x-3π)的图象.图1-3-10一般地，函数y=sin(ωx+φ)(ω＞0,φ≠0)的图象，可以看作将函数y=sinωx 的图象上所有的点向左(φ＞0时)或向右(φ＜0时)平移｜ωϕ｜个单位而得到的. 联想发散函数y=f(ax+b)(a ＞0,a≠1)的图象是由函数y=f(ax)的图象向左(b ＞0)或向右(b ＜0)平移｜ab｜个单位得到的. (6)函数y=sinx 和y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图象的关系一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).此外，y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0),x∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 其示意图如下：误区警示横坐标的伸缩变换，实际是变换自变量x 的系数，与自变量x 后的常数无关，如将函数y=sin(x+1)图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)所得图象对应的解析式应为y=sin(2x+1)而不是y=sin2(x+1). 4.三角函数的应用三角函数能够模拟许多周期现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究许多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”.通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器.解答应用题的关键在于审题上，而要准确理解题意必须过好三关：事理关，通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；文理关，将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.数理关，在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化. 典题·热题知识点1 三角函数的周期例1 求下列三角函数的周期： (1)y=sin(x+3π)；(2)y=3sin(2x +5π).思路分析：利用函数的定义及函数周期性. 解：(1)令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz. 即f(2π+z)=f(z). 所以有f ［(2π+x+3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π. (2)令z=2x +5π，则有 f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(24π+x +5π)=f(x+4π). ∴T=4π.方法归纳求函数的最小正周期或证明一个函数是周期函数通常利用周期函数的定义，即利用式子f(x+T)=f(x)，此式子的意思是：将函数解析式中的自变量x 用x+T 替代后，函数的解析式不变.例2 (1)设f(x)是定义在R 上的函数，其最小正周期为23π,若f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-,0,sin ,02,cos ππx x x x 求f(-415π)的值. (2)已知函数f(x)的最小正周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=2x，求f(23log 21)的值.思路分析：对于(1)由于T=23π，则有f(x+23π)=f(x)，多次利用周期函数定义进行化简，即获得结果.对于(2)可利用f(x+2)=f(x)及f(-x)=-f(x)，将23log 21转化到开区间(0，1)上，再利用f(x)=2x求值. 解：(1)由于T=23π，则k·T=k·23π(k∈Z ,k≠0)都是函数的周期. 所以f(-415π)=f ［(-3)×23π+43π］=f(43π)=sin 43π=sin 4π=22.(2)∵24＜23＜25,∴4＜log 223＜5,则0＜log 223-4＜1. 又∵2为f(x)的周期, ∴2k(k∈Z )也是f(x)的周期.∴f(23log 21)=f(-log 223)=-f(log 223)=-f(log 223-4)=423log 22--=23log 22-·2-4=-1623. 方法归纳若T 为一个函数的最小正周期，则kT(k 为非零整数)也是函数的周期.深化升华周期性不是三角函数的专有性质，只要一个函数的性质满足周期函数的定义，则它就是一个周期函数.如：y=(x-2k)2,x∈［2k-1,2k+1］.(k∈Z )就是一个以2为最小正周期的周期函数.知识点2 三角函数的图象与性质例3 画出下列函数的简图:(1)y=1+sinx,x∈［0,2π］;(2)y=-cosx,x∈［0,2π］. 思路分析：利用五点法作出它们的图象. 解：(1)按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点画图(如图1-3-11):图1-3-11(2)按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1利用余弦函数的性质描点画图(如图1-3-12):图1-3-12方法归纳利用五点法作正、余弦函数图角的关键是找出五个关键的点，一般地，对于正弦函数应取一个最大值点和一个最小值点及三个与x 轴的交点；对于余弦函数应取两个最大值点、一个最小值点及两个与x 轴的交点. 例4 求使下列函数取最大值的x 的集合: (1)y=1-cos2x,x∈R ；(2)y=2sin(2x+3π),x∈R . 思路分析：应用正、余弦函数的性质.解题时(1)中将2x 看成一个整体；(2)中将2x+3π看成一个整体.解：(1)若函数y=1-cos2x ，x∈R 取最大值,则函数y=cos2x,x∈R 取最小值，令z=2x ，由于x∈R ，则z∈R ，且使函数y=cosz,z∈R 取得最小值的z 的集合是{z ｜z=π+2kπ,k∈Z }. 由2x=π+2kπ,k∈Z ,得x=2π+kπ,k∈Z . 这就是说使函数y=1-cos2x,x∈R 取最大值的x 的集合是{x ｜x=2π+kπ,k∈Z }. (2)令z=2x+3π,由于x∈R ,则z∈R ,且使函数y=sinz ,z∈R 取得最大值的z 的集合是{z ｜z=2π+2kπ,k∈Z }. 由2x+3π=2π+2kπ,k∈Z ,得x=12π+kπ,k∈Z .这就是说使函数y=2sin(2x+3π),x∈R 取最大值的x 的集合是{x ｜x=12π+kπ,k∈Z }.深化升华函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0)的最大值为A+b ，最小值为-A+b ，取最大值时ωx+φ=2kπ+2π(k∈Z )，取最小值时ωx+φ=2kπ-2π(k∈Z )；函数y=Acos(ωx+φ)+b(A ＞0)的最大值为A+b ，最小值为-A+b ，取最大值时ωx+φ=2kπ(k∈Z )，取最小值时ωx+φ=2kπ+π(k∈Z ).例5 不求值，该如何判断下列各式的符号？(1)sin500°-sin134°；(2)cos(447π-)-cos(944π-)； (3)tan138°-tan143°；(4)tan(413π-)-tan(517π-).思路分析：应用三角函数的单调性，解题时首先利用诱导公式将角化到各三角函数的同一个单调区间内，再利用单调性比较大小，从而得出差与0的大小关系.解：(1)由于sin500°=sin140°，又90°＜134°＜140°＜180°，由正弦函数的性质,可知在90°—180°范围内，正弦值随自变量的增大而减小，所以sin500°＜sin134°，从而sin500°-sin134°＜0.(2)由于cos(447π-)=cos 4π,cos(944π-)=cos 98π. 又0＜4π＜98π＜π，由于［0,π］是余弦函数的单调减区间，则有cos(447π-)＞cos(944π-).从而cos(447π-)-cos(944π-)＞0.(3)由于tan138°-tan143°=tan(180°-42°)-tan(180°-37°)=tan37°-tan42°.又37°角的终边和42°角的终边都在第二象限，根据正切函数的单调性,可知tan37°＜tan42°.所以，tan37°-tan42°＜0，即tan138°-tan143°＜0. (2)由于tan(413π-)-tan(517π-)=tan 517π-tan 413π=tan(3π+52π)-tan(3π+4π)=tan 52π-tan 4π, 由于0＜4π＜52π＜2π，根据正切函数的单调性,可知tan 52π＞tan 4π.所以tan 52π-tan 4π＞0，即tan(413π-)-tan(517π-)＞0.方法归纳在比较几个角同名三角函值的大小时，一定要注意将这些角利用诱导公式转化到同一个单调区间内，再进行比较.在比较的过程中也要注意不等式基本性质的应用. 例6 写出下列函数的单调增区间: (1)y=3sin(2x-6π)；(2)y=2cos(2x+6π)；(3)y=log i ［sin(2x+3π)］.思路分析：应用正、余弦函数的单调性.(1)设z=2x-6π，则y=sinz 在［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上是增函数，即2x-6π∈［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ).由此可写出x 的范围；(2)与(1)类似；(3)根据复合函数同增异减的原则进行求解.解：(1)设z=2x-6π，则y=sinz 在［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上是增函数，即2x-6π∈［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z ).由-2π+2kπ≤2x -6π≤2π+2kπ(k∈Z )，得-3π+2kπ≤2x≤32π+2kπ(k∈Z )，即-6π+kπ≤x≤3π+kπ(k∈Z ).所以，函数y=3sin(2x-6π)的单调增区间为［-6π+kπ, 3π+kπ］(k∈Z ).(2)由-π+2kπ≤2x+6π≤2kπ(k∈Z ),得-67π+2kπ≤2x≤-6π+2kπ(k∈Z ), 即-127π+kπ≤x≤-12π+kπ(k∈Z ).所以，函数y=2cos(2x+6π)的单调增区间为［-127π+kπ,-12π+kπ］(k∈Z ). (3)设u=sin(2x+3π)，由y=log 2u 是增函数,可知y=log 2［sin(2x+3π)］的增区间就是u=sin(2x+3π)(u ＞0)的增区间.由y=sinx(y ＞0)的图象,可知y=sinx(y ＞0)的增区间为(2kπ,2kπ+2π］(k∈Z )，因此，对于u=sin(2x+3π)(u ＞0)有2kπ＜2x+3π≤2kπ+2π(k∈Z )，即-3π+2kπ＜2x≤2kπ+6π(k∈Z ).所以-6π+kπ＜x≤kπ+12π(k∈Z ).所以，函数y=log 2［sin(2x+3π)］的单调增区间为(-6π+kπ,kπ+12π］(k∈Z ).方法归纳本题的关键在于转化思想的应用，使用了整体换元法.函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，因此，要求函数的单调区间，应首先求函数的定义域.此外，函数的单调区间应写成区间的形式. 例7 讨论函数y=tan(x+4π)的性质. 思路分析：本题主要应用正切函数的性质，只需设z=x+4π即可.。

苏教版数学高一必修4学案 1. 3.2 三角函数的图象与性质

1．3.2 三角函数的图象与性质情景：前面我们学习了三角函数的诱导公式，我们是借助于单位圆推导出来的．思考：我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢？1．“五点法”作正弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．答案: (0，0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫32π，－1 (2π，0)2．“五点法”作余弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．答案: (0，1) ⎝⎛⎭⎫π2，0 (π，－1) ⎝⎛⎭⎫32π，0 (2π，1)3．作正、余弦函数图象的方法有二：一是________；二是利用________来画的几何法．答案: 描点法三角函数线4．作正弦函数的图象可分两步：一是画出_________________________________________________________的图象，二是把这一图象向________连续平行移动(每次平移2π个单位长度)．答案: y ＝sin x ，x ∈ 左右5．正弦曲线关于________对称；正弦函数是________；余弦曲线关于________对称，余弦函数是________．答案: 原点奇函数 y 轴偶函数6．正弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: ⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z) ⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k ∈Z)7．余弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: (k ∈Z) (k ∈Z)8．正弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2kπ＋π2(k ∈Z) 2kπ－π2(k ∈Z)9．余弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2kπ(k ∈Z) 2kπ＋π(k ∈Z)10．正切函数y ＝tan x 的定义域是______________，值域为________；正、余弦函数的定义域是________，值域是________．答案: ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π2，k ∈Z R R11．正切函数为________函数(填“奇”或“偶”)．答案: 奇12．正切函数y ＝tan x 在每一个区间________内均为________．答案: ⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k ∈Z) 增函数13．利用正切线可以得到y ＝tan x 在________内的图象，把所得图象左右连续平移________个单位，可得y ＝tan x 在整个定义域内的图象．答案: ⎝⎛⎭⎫－π2，π2 π14．正切曲线的简图可以用“三点两线法”，这里的三个点为__________、________、________；两直线为________、________．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ－π4，－1 (kπ，0) ⎝⎛⎭⎫kπ＋π4，1(k ∈Z) x ＝kπ＋π2 x ＝kπ－π2(k ∈Z)15．正切函数y ＝tan x 的对称中心为________．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k ∈Z)16．正、余弦函数的图象是连续的，而正切函数的图象不连续，它被无数条垂直于x 轴的直线________________分隔开来．答案: x ＝kπ＋π2(k ∈Z)17．正、余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间，而正切函数在每一个_______________________________________________上都是增函数．答案: ⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2(k ∈Z)五点法画图函数y ＝sin x 在x ∈的图象上，起着关键作用的点只有以下五个： (0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．事实上，描出这五个点后，函数y ＝sin x 在x ∈的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到正弦函数的简图．今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”．同样，在函数y ＝cos x ，x ∈的图象上，起着关键作用的点是以下五个： (0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．与画函数y ＝sin x ，x ∈的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y ＝cos x 在x ∈的简图．正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的性质： (1)定义域．正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R. (2)值域．正弦函数、余弦函数的值域都是．正弦函数当且仅当x ＝π2＋2kπ(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π2＋2kπ(k ∈Z)时取得最小值－1；而余弦函数当且仅当 x ＝2kπ(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π＋2kπ(k ∈Z)时取得最小值－1.(3)周期性．正弦函数、余弦函数都是周期函数，并且周期都是2π. (4)奇偶性．正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于y 轴对称． (5)单调性．正弦函数在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1. 类似地，余弦函数在每一个闭区间(k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.正切函数的图象与性质正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，x≠π2＋kπ，k ∈Z 的图象，叫做正切曲线．如下图所示．正切函数的性质：(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋kπ，k ∈Z . (2)值域为实数集R.(3)周期性．正切函数是周期函数，周期是π. (4)奇偶性．奇函数，图象关于原点对称．(5)单调性．每个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k ∈Z)都是函数y ＝tan x 的单调增区间．难点释疑：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的，直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 是图象的渐近线．由于正切函数的定义域必须去掉x ＝π2＋kπ，k ∈Z 各点，故正切函数图象与直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z无交点；又由于正切函数的值域为R ，无最大值、最小值，故其图象向上、下无限延伸；由于周期是π，所以图象每隔π长度重复出现；因为正切函数的单调性表现为在每一个单调区间内只增不减，故图象是由一系列重复出现的上升曲线构成，而在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当x 向右无限接近于x ＝π2时，函数值不断增大，趋于正无穷大，图象无限接近于x ＝π2，但永不相交；当x 向左无限接近于x ＝－π2时，函数值不断变小，趋于负无穷大，图象无限接近于x ＝－π2，但永不相交，故x ＝±π2为正切函数图象的渐近线，由周期性知，直线x ＝π2＋kπ，k ∈Z 是图象的渐近线．基础巩固1．下列函数的图象相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(π＋x) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x) D ．y ＝sin(2π＋x)与y ＝sin x 答案：D2．函数y ＝1－sin x ，x ∈上的大致图象是( ) 答案：B3．把函数y ＝sin x 的图象向________平移________个单位长度可得y ＝cos x 的图象．答案：左 π24．函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2的奇偶性为________．答案：偶函数5．已知a ∈R ，函数f(x)＝sin x －|a|，x ∈R 为奇函数，则a 等于________．答案：06．使函数y ＝sin(2x ＋φ)为奇函数的φ值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2答案：C7．y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 D ．(0，0) 答案：C8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案：A9．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.π4B ．0C ．1D ．2解析：∵y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，∴y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象的交点中相邻两点间的距离为πω，故πω＝π4，ω＝4，∴f(x)＝tan 4x.∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎫4×π4＝tan π＝0，故选B. 答案：B10．函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2kπ≤x ＜2kπ＋π2，k ∈Z ∪{}x|x ＝2kπ＋π，k ∈Z11．函数y ＝lg tan x ＋16－x 2的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，4]能力升级12．已知f(x)＝x·sin x ，x ∈R.则f ⎝⎛⎭⎫－π4，f(1)及f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系为______________．解析：f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝π4sin π4<sin π4，sin π4<sin 1<sin π3， f ⎝⎛⎭⎫π3＝π3sin π3>sin π3.∴f ⎝⎛⎭⎫－π4<f(1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 答案：f ⎝⎛⎭⎫π3>f(1)>f ⎝⎛⎭⎫－π413．已知f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集是________________．解析：∵f(x)是(－3，3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x 是(－3，3)上的偶函数，从而观察图象可知解集为：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 答案：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝⎛⎭⎫π2，314．求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3，x ∈的单调递增区间．解析：令z ＝12x －π3.函数y ＝cos z 的单调递增区间是，k ∈Z.由2kπ－π≤12x －π3≤2kπ得4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k ∈Z)．取k ＝0，得－4π3≤x≤2π3，而⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3，因此，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3，x ∈的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3.15．求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的单调区间．解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x 3－π4. 故由2kπ－π2≤2x 3－π4≤2kπ＋π2(k ∈Z)⇒3kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k ∈Z)，由2kπ＋π2≤2x 3－π4≤2kπ＋3π2(k ∈Z)⇒3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k ∈Z)．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3kπ－3π8，3kπ＋9π8(k ∈Z)，单调递增区间为(k ∈Z)．16．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由题意知，ω＝2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.由三角函数图象知： f(x)的最小值为3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，∴f(x)的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，317．使sin x≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．解析：作出它们的图象，在四个选项中，只有A 选项才能满足正弦图象在余弦图象下方．答案：A18．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3的值域是________．解析：y ＝3⎝⎛⎭⎫cos 2x －43cos x ＋49＋1－43＝ 3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 当cos x ＝23时，y min ＝－13；当cos x ＝－12时，y max ＝154，∴函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤－13，154. 答案：⎣⎡⎦⎤－13，15419．若函数y ＝sin x ＋2|sin x|，x ∈的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________．解析：y ＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，sin x≥0，－sin x ，sin x<0，图象如下：显然，当k ∈(1，3)时，两曲线有且仅有两个不同的交点．答案：(1，3)20．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1解析：ω只是变换函数的周期并将函数图象进行伸缩，若ω使函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上递减，则ω必小于0，而当|ω|＞1时，图象将缩小周期，故－1≤ω＜0.答案：B21．已知函数f(x)＝log 12(sin x －cos x)．(1)求它的定义域； (2)判定它的奇偶性；(3)判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．解析：(1)sin x －cos x ＞0，由三角函数线可知，f(x)定义域为⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k ∈Z)． (2)由f(x)的定义域不关于原点对称，可得f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(2π＋x)＝log 12＝log 12(sin x －cos x)，∴f(x)最小正周期为2π.22．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos(2π－x)－x 3·sin x ； (2)f(x)＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x≤π3； (3)f(x)＝lgtan x ＋1tan x －1.解析：利用函数奇偶性定义判断．(1)函数f(x)的定义域为R 且关于原点对称．又∵f(x)＝cos x －x 3·sin x ，∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x)＝cos x －x 3·sin x ＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．(2)∵函数定义域⎣⎡⎦⎤－π4，π3不关于原点对称， ∴它是非奇非偶函数． (3)由tan x ＋1tan x －1＞0，所以tan x ＞1或tan x ＜－1.故函数的定义域为⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ－π4∪⎝⎛⎭⎫kπ＋π4，kπ＋π2，k ∈Z ，关于原点对称．又f(－x)＋f(x)＝lg tan （－x ）＋1tan （－x ）－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg（tan x －1）（tan x ＋1）（tan x ＋1）（tan x －1）＝0.∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．23．求函数y ＝sin 2x ＋acos x －12a －32的最大值为1时a 的值．解析：y ＝1－cos 2x ＋acos x －12a －32＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12. 因为cos x ∈，要使y 最大，则必须满足⎝⎛⎭⎫cos x －a22最小． ①当a2＜－1，即a ＜－2时，若cos x ＝－1，则y max ＝－32a －32.由题设，令－32a －32＝1得a ＝－53＞－2(舍去)；②当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，若cos x ＝a 2，则y max ＝a 24－a 2－12.由题设，令a 24－a 2－12＝1得a ＝1－7(舍去正值)；③当a 2＞1即a ＞2时，若cos x ＝1，则y max ＝a 2－32. 由题设，令a 2－32＝1得a ＝5. 综上所述a ＝5或a ＝1－7.24．求函数y ＝tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋tan x ＋1的最大值与最小值．解析：令t ＝tan x ∈R ，则原函数化为：y ＝t 2－t ＋1t 2＋t ＋1(t ∈R)．即(1－y)t 2－(1＋y)t ＋(1－y)＝0.∵y ＝1时，适合题意．∴y≠1时，有Δ＝2－4(1－y)(1－y)≥0(判别式法求最值)．∴3y 2－10y ＋3≤0.解得13≤y≤3且y≠1. 综上，函数的最大值为3，最小值为13.25．已知函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3，g(x)＝btan ⎝⎛⎭⎫kx －π3 (k>0)的周期之和为3π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1，求这两个函数，并求g(x)的单调增区间．解析：由条件得2πk ＋πk ＝32π，∴k ＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，得a ＝2b.①由f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1，得a ＝2－2b.② 由①②解得a ＝1，b ＝12. ∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， g(x)＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∴当－π2＋kπ<2x －π3<π2＋kπ，k ∈Z 时，g(x)单调递增．∴g(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫kπ2－π12，kπ2＋512π(k ∈Z)．26．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解析：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，∵－1≤sin θ≤1，∴－2≤sin θ－1≤0.∴0≤(sin θ－1)2≤4.∴1≤(sin θ－1)2＋1≤5.∴m 2<1.∴－1<m<1.∴m 的取值范围是(－1，1)．。

苏教版高中数学(必修4)1.3《三角函数的图象与性质》(三角函数的应用)word教案

第 14 课时：§1.3.4 三角函数的应用（一）【三维目标】：一、知识与技能1. 会由函数)sin(ϕω+=x A y 的图像讨论其性质；能解决一些综合性的问题。

2.会根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习，使学生能根据函数图象写出解析式；能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．2.并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

三、情感、态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

【教学重点与难点】：重点：待定系数法求三角函数解析式;难点：根据函数图象写解析式；根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题复习：1.由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

2.如何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象？ 3.ϕω、、A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中)0,0>>ωA 的物理意义：函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T ：ωπ=2T 往复振动一次所需的时间，称为“周期” f ：πω==21T f 单位时间内往返振动的次数，称为“频率”ϕ+ωx ：称为相位ϕ：x = 0时的相位，称为“初相”三、质疑答辩，排难解惑，发展思维1．根据函数图象求解析式例1 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。

高中数学苏教版必修4课件第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质课件1

函数
y ＝ sin
x ， x ∈ [0,2π] 的图象与直线
y＝
－
1 2
的交
点
有
________个．
解析：如图所示．
答案：2
第二十一页，编辑于星期一：点二十七分。
误区解密：
作出函数 y＝ta1n x·sin x 的图象．【常见错误】 (1)在化简过程中，易忽视该函数
的定义域，造成化简前后不等价，从而所画图象不正确． (2)正、余弦函数五点坐标互混而出错．
自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.
我们今天就学习
第四页，编辑于星期一：点二十七分。
自学导引
作函数图象最原始的方法是什么？答：列表、描点、连线
描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可
第二十二页，编辑于星期一：点二十七分。
【解】 tan x≠0，即 x≠kπ(k∈Z)，此时有 y＝ta1n x·sin x＝cos x，即 y＝cos x(x≠k2π，k∈Z)．其图象如下图所示：
第二十三页，编辑于星期一：点二十七分。
纠错心得：
• 【失误防范】
• (1)首先观察所给表达式是否需
要化简，化简后是否与原函数等价．
• (2)牢记正、余弦函数五个关
第二十四页，编辑于星期一：点二十七分。
课堂总结
1、正弦函数、余弦函数图象的几种不同的画法以及其优缺点 2、五点法作简图
第二十五页，编辑于星期一：点二十七分。
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1＋cos x 2 1
0

高中数学《三角函数的图象和性质》教案1 苏教版必修4

第 9 课时：§1.3.2 三角函数的图象和性质（一）【三维目标】：一、知识与技能1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；2.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系；记住正弦、余弦函数的特征；3.会用五点画正弦、余弦函数的图象；4.通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。

掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

二、过程与方法借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。

三、情感、态度与价值观1.通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习精神；2.会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.，激发学生的学习积极性；3.培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

【教学重点与难点】：重点：用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线. 难点：正弦曲线、余弦曲线的画法。

教具：多媒体、实物投影仪【学法与教学用具】：1.学法：在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当角是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数x y sin 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

2.教学用具：多媒体、实物投影仪、三角板.3.教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题问题：怎样作出三角函数的图象？二、研探新知用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．1.函数y=sinx 的图象（几何法）用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n (这里n =12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n (这里n =12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线。

高中数学苏教版必修四《1.3.2三角函数的图象与性质(1)》课件

y=sinx，x[0, 2]
1.3.2
谢谢大家
苏教版高中数学
-
-
4
6
x
由于终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
-
余弦函数 y cos x, x R的图象
y
1-
图象最高点 ( ,1)
2
与x轴交点
-
-
-1
o6
3
2 3
2
5
6
7 6
3 4
y 1
o
2
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
y=cosx，x[0, 2]
3
2
x
2
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2]
和 y= cosx，x=[
2
,
3 2
]的简图：
向左平移个单位长度 2
y 2
1
o
2
-1
3
2
2
y= cosx，x [ , 3 ]
22
如：x ,查表y sin 0.8660
y
3描点(
3 , 0.8660)
怎样才能方便地把单
1-
3
位圆中角x的正弦线
移到直角坐标系内，
-
0
2
1 -
3 2
2
x 从而肯定对应的点 (x,sinx)呢？
几何法：作三角函数线得三角函数值,描点 (x,sin x), 连线.
y
P
3
OM
1x
如：x

苏教版数学高一-必修4教师用书 1.3.2三角函数的图象与性质(2)

第2课时正切函数的图象与性质(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)能画出y ＝tan x 的图象，并能借助图象理解y ＝tan x 在(－π2，π2)上的性质．(2)会利用正切函数的单调性比较函数值大小．(3)理解正切函数的对称性．2．过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．●重点难点重点：正切函数的图象与性质．难点：理解正切函数在(－π2，π2)上的性质，并会运用性质解决简单问题．(教师用书独具)●教学建议 1．正切函数的性质建议教师引导学生根据正、余弦函数的图象和性质研究正切函数的性质． 2．正切函数的图象建议教师在教学中，让学生先画出在区间(－π2，π2)内的图象，体会正切函数图象的形态，并对图象进行平移，观察函数的性质，有条件的话，可以借助多媒体演示作图的过程和图象的变化趋势．提醒学生对正切函数图象的理解并记忆正切函数的性质．●教学流程创设问题情境，引导学生探究正切函数的图象和性质.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握正切函数定义域、值域的应用，并总结在求定义域、值域时注意的事项.⇒通过例2及其变式训练，解决利用正切函数的单调性求函数的单调区间和比较正切值大小问题.⇒通过例3及其互动探究，掌握与正切函数有关的函数图象变换问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能画出y＝tan x的图象．2.理解正切函数y＝tan x在(－π2，π2)上的性质．(重点)3.能够熟练应用正切函数y＝tan x的性质．(难点)正切函数的图象与性质1．说出正切函数y＝tan x的定义域与值域．【提示】定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，值域为R.2．正切函数的奇偶性如何？【提示】正切函数的定义域关于原点对称，又由tan(－x)＝－tan x可知，正切函数y＝tan x为奇函数．正切函数的图象与性质解析式y＝tan x图象定义域{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上都是增函数正切函数的定义域、值域(1)函数y ＝log 12tan(π4－x )的定义域是________．(2)求函数y ＝tan 2(3x ＋π3)＋tan(3x ＋π3)＋1的定义域和值域．【思路探究】 (1)列出使函数有意义的不等式，再求解即可．(2)求定义域可把3x ＋π3看成一个整体，结合函数y ＝tan x 的定义域求解，利用换元法求值域．【自主解答】 (1)由题意tan(π4－x )＞0，即tan(x －π4)＜0，∴k π－π2＜x －π4＜k π，∴k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .【答案】 (k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z )(2)由3x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠k π3＋π18(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |x ≠k π3＋π18(k ∈Z )}，设t＝tan(3x ＋π3)，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12)2＋34≥34，∴原函数的值域是34，＋∞)．1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠k π＋π2(k ∈Z )，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．2．求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．(1)函数y ＝1tan x (－π4＜x ＜π4)的值域是________．(2)求函数y ＝1lg (tan x )的定义域．【解】 (1)∵－π4＜x ＜π4，∴－1＜tan x ＜1，即1tan x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)要使y ＝1lg (tan x )有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2(k ∈Z )，tan x ＞0，tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2(k ∈Z )，k π＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )，x ≠k π＋π4(k ∈Z ).∴函数y ＝1lg (tan x )的定义域为(k π，k π＋π4)∪(π4＋k π，π2＋k π)(k ∈Z ).正切函数的单调性及其应用(1)求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．【思路探究】 (1)将函数转化为y ＝－tan(12x －π4)，然后把12x －π4看成一个整体，利用y＝tan x 单调区间求解．(2)把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较．【自主解答】 (1)y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)．由k π－π2＜12x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2＜x ＜2k π＋32π(k ∈Z )．∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )．(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)．又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0，∵π2＜3＜π， ∴－π2＜3－π＜0，显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y ＝tan x 在(－π2，π2)内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.1．求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2求得x 的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．(1)比较大小：tan 1与tan 4. (2)求函数y ＝tan(π2x ＋π3)的单调区间．【解】 (1)∵tan 4＝tan ＝tan(4－π)，－π2＜4－π＜1＜π2且y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增函数，∴tan(4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4. (2)由k π－π2＜π2x ＋π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得2k －53＜x ＜2k ＋13(k ∈Z )．∴函数y ＝tan(π2x ＋π3)的单调增区间是(2k －53，2k ＋13)(k ∈Z ).正切函数的图象及其应用画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．【思路探究】画y ＝tan x 图象→y ＝|tan x |图象→研究性质【自主解答】由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为0，π2)，(k π＋π2，k π＋32π)(k ＝0,1,2，…)；单调减区间为(－π2，0－π，π－1,0)二、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝3－tan x ；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )．【解】 (1)由3－tan x ≥0，得tan x ≤ 3.在(－π2，π2)内满足不等式的范围是(－π2，π3．又y ＝tan x 的周期为π，故原函数的定义域为(k π－π2，k π＋π3)，k ∈Z .(2)函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义，等价于⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x ＞0，所以0≤tan x ＜1.由正切曲线可得k π≤x ＜k π＋π4，k ∈Z .故原函数的定义域为{x |k π≤x ＜k π＋π4，k ∈Z }．10. 已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．【解】 ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1， f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5.11．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝tan x ＋1tan x；(2)f (x )＝lg|tan x |.【解】 (1)要使函数有意义，需满足：tan x ≠0，且tan x 有意义，即x ∈(k π－π2，k π)∪(k π，k π＋π2)，k ∈Z ，可知定义域关于原点对称．又对于定义域内的任意x ，都有 f (－x )＝－tan x －1tan x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2＋k π(k ∈Z )，|tan x |＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k π(k ∈Z )，x ≠k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的定义域为(－π2＋k π，k π)∪(k π，π2＋k π)，k ∈Z ，定义域关于原点对称．又对任意x ∈(－π2＋k π，k π)∪(k π，π2＋k π)，k ∈Z ，都有f (－x )＝lg|tan(－x )|＝lg|－tan x | ＝lg|tan x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数.(教师用书独具)观察正切函数图象，写出下列不等式的解集： (1)tan x ＞0；(2)|tan x |≤1.【思路探究】画出正切函数在(－π2，π2)内的图象，结合图象求解集．【自主解答】 (1)设y ＝tan x ，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式tan x ＞0的解集为 {x |k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z }．(2)设y ＝|tan x |，则它在(－π2，π2)内的图象如图所示．由图可知满足不等式|tan x |≤1的解集为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．解决与正切函数的图象有关的问题，关键是正确画出正切函数的图象，然后根据正切函数图象的性质进行求解，求解过程中注意整体思想的应用．不等式tan(2x －π6)≥－1的解集为________．【解析】令u ＝2x －π6，由tan u ≥－1及相应图象可知：k π－π4≤u <k π＋π2，即k π－π4≤2x －π6<k π＋π2.∴k π2－π24≤x <k π2＋π3(k ∈Z )． ∴原不等式解集为{x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }．【答案】 {x |k π2－π24≤x <k π2＋π3，k ∈Z }。

苏教版高中数学必修4三角函数的图像和性质教案

课题：三角函数的图象和性质4．图象的对称性函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x k(其中ωx k＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．二、经典例题讲解图象如图所示，则ϕ的值为8.已知函数()sin 23cos2f x a x x=-的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为9. 函数()sin 3cos f x x x =+，[]0πx ∈，的单调减区间为 ▲10.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值 11.函数()2sin()f x ωx φ=+（其中0ω>,||<2πφ），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π且过点(0,1)，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间；（3）求()f x 在(,0)2π-的值域．12.已知函数2()3cos 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.(1) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2) 设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且3A =，4b c +=,求ABC ∆的面积.()2π3cos sin()3cos 1()34f x x x x x =+-+-∈R ()f x ()f x ππ[,]44-x。

新课标苏教版高中数学(必修4)-§1.3.2三角函数的图象与性质⑴课件

⑷y=2sin(2x+ ) 6
电脑演示
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
练习:P33 2,3 小结:本课学习了三角函数图象的画法,重点是运用“五点法”画正弦,余弦函数的简图.大家要注意怎样取五点. 作业:P46 习题1.3 2 预习P29~30 三角函数的性质预习题:1. 正弦,余弦函数有哪些性质? 2.你如何理解并记住这些性质?
3 0.8660 2
0
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
这样画图象比较烦琐,我们还可以利用三角函数线中的正弦线画出函数y=sinx的图象.
电脑演示
观察函数y=sinx与y=cosx在一个周期[0,2π]上的图象,你觉得哪几个点起到了关键作用? 使函数分别取最大值,最小值,及与x轴的交点 3 (零点),这时x分别取0, ,π, ,2π 2 2
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到正弦,余弦函数的简图.这种作图方法叫“五点法”
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
例1 用“五点法”画出下列函数的简图. ⑴y=2sinx ⑵y=cos2x
⑶ 3 5 2 3 4 6
π
7 5 4 3 5 7 11 2π 6 4 3 2 3 4 6
1 2 3 2 1 3 －1 2 2 2 2 2 2
1 2 3 3 2 1 sinx 0 1 0 2 2 2 2 2 2
2 0.7071 2
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
§1.3.2三角函数的图象与性质⑴
问题1:在必修1中,我们研究指数函数,对数函数,幂函数,首先就要研究什么? 怎样画一个我们不熟悉的函数图象?

苏教版高中数学必修四三角函数的图像与性质—正、余弦函数的定义域、值域教案

1.3.2 三角函数的图像与性质（2）一、课题：正、余弦函数的定义域、值域二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。

三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。

四、教学过程：（一）复习：1．三角函数的定义。

（二）新课讲解：1（1）sin 2y x =；（2）cos()3y x π=+；（3）y =；（4）1sin 1y x =+；（5）lg sin y x =．解：（1）2x R ∈， ∴x R ∈；（2）3x R π+∈， ∴x R ∈；（3）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（4）sin 10x +≠，∴sin 1x ≠-， ∴{|x x x R ∈∈且2,}2x k k Z ππ≠-∈；（5）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--U ．2．正、余弦函数的值域例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？（1）cos 1y x =+，x R ∈；（2）sin 2y x =，x R ∈．解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x 的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1．说明：函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的最值：最大值||A ，最小值||A -．例3：求下列函数的值域：（1）21sin 1y x =+；（2）sin sin 2xy x =+．解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤ 所以，值域为1{|1}2y y ≤≤．（2）2sin 1y x y =-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111yy -≤≤-，解得113y -≤≤，所以，值域为1{|1}3y y -≤≤．五、练习：六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。

数学知识点苏教版必修4高中数学1.3.2《三角函数的图象与性质》word导学案-总结

(1) (2)
正弦函数，是函数，余弦函数，是函数。
理解：（1）由诱导公式，可知以上结论成立；
（2）反映在图象上，正弦曲线关于对称，余弦曲线关于对称。
5、单调性
（1）由正弦曲线可以知道：
①正弦函数在每一个闭区间上，都从-1增大到1，是增函数；
②在每一个闭区间上，都从1减小到-1，是减函数。
（2）由余弦曲线可以知道：
(1) (2)
2.求函数的值域
3.求下列函数的单调区间:
(1) ; (2)
4.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值得大小
(1) (2)
课题:1.3.2三角函数的图象与性质（二）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；
2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；
【课堂检测】
5.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值得大小
(1) 与 ; (2) 与
（3）与；（4）与
6.求下列函数的单调区间
(1) (2)
【课后巩固】
1.求下列函数的最小值及取得最小值时自变量的集合
(1) (2)
2.求函数的值域
7.求下列函数的单调区间:
(1) ; (2)
8.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值得大小
3、能正确求出正、余弦函数的单调区间
【课前预习】
1、定义域：
函数及的定义域
2、值域：
(1)函数，及，的值域
（2）函数在时，取最大值，当，时，取最小值；函数在，时，取最大值，当，时，取最小值。
3、周期性

苏教版高中数学必修四三角函数的图像与性质—正切函数的图象和性质教案

1.3.2 三角函数的图像与性质(5)一、课题：正切函数的图象和性质（1）二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 3．掌握正切函数的性质。

三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。

四、教学过程：（一）复习：问题：正弦曲线是怎样画的？（二）新课讲解： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭Q 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎫⎛-2,2ππ的图象说明：（（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ；（2）值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

思考：例：求函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域。

答案：,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．五、课堂练习：六、小结：1．作图的方法和图象特征； 2．正切函数的性质；七、作业：π23-π-2π-2ππ23Oxx。