空间向量专题练习答案
空间向量专题练习答案
空间向量专题练习答案
空间向量专题练习
一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ．【答案】
或
【解析】
解：设平面α的法向量为=（1，0，-1），平面β的法向量为=（0，-1，1），
则cos＜，＞==-，
∴＜，＞=．
∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，
∴α与β所成的角为或．
故答案为：或．
利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．
本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．
2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量可以是 ______ （写出一个即可）
【答案】
（0，1，-1）
【解析】
解：=（2，1，1），=（3，-1，-1），
设平面α的法向量=（x，y，z），
则，令z=-1，y=1，x=0．
∴=（0，1，-1）．
故答案为：（0，1，-1）．
设平面α的法向量=（x，y，z），则，解出即可．
本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．
3.已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为 ______ ．
【答案】
（-2，3，1）
【解析】
解：=（1，0，2），=（2，1，1），
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），
则，即，取x=-2，则z=1，y=3．
∴=（-2，3，1）．
故答案为：（-2，3，1）．
设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，解出即可．
本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．
空间向量专题练习详细标准答案
空间向量专题练习详细标准答案
空间向量专题练习
一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
1.平面α地法向量为（1，0，-1），平面β地法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角地大小为______ ．【答案】或【解析】解：设平面α地法向量为=（1，0，-1），平面β地法向量为=（0，-1，1），则cos＜，＞==-，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成地角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成地角为或．故答案为：或．利用法向量地夹角与二面角地关系即可得出．本
题考查了利用用法向量地夹角求二面角地方法，考查了计算能力，属于基础
题．
2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α地法向量可以是______ （写出一个即可）【答案】（0，1，-1）【解析】解：=（2，1，1），
=（3，-1，-1），设平面α地法向量=（x，y，z），则，令z=-1，y=1，x=0．∴=（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）．设平面α地法向量=（x，y，z），则，解出即可．本题考查了线面垂直与数量积地关系、平面地法向量，属于基础题．
3.已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC地一个法向量为______ ．【答案】（-2，3，1）【解析】解：=（1，0，2），=（2，1，1），设平面ABC地
法向量为=（x，y，z），则，即，取x=-2，则z=1，y=3．∴=（-2，3，1）．故答案为：
（-2，3，1）．设平面ABC地法向量为=（x，y，z），则，解出即可．本题考查了平面地法向量、线面垂直与数量积地关系，属于基础题．
空间向量单元测试题及答案
空间向量单元测试题及答案
# 空间向量单元测试题及答案
一、选择题
1. 空间向量\( \overrightarrow{AB} \)与\( \overrightarrow{CD} \)平行，那么\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \)与
\( \overrightarrow{AB} \)的关系是什么？
A. 垂直
B. 平行
C. 共线
D. 无法确定
答案：B. 平行
2. 已知空间向量\( \overrightarrow{a} = (2, 3, 1) \)，
\( \overrightarrow{b} = (1, -1, 2) \)，求\( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \)的模。
A. 0
B. 3
C. 5
D. 6
答案：C. 5
3. 空间中任意两点A和B，它们之间的向量\( \overrightarrow{AB} \)的模长是两点间的距离，这个说法：
A. 正确
B. 错误
答案：A. 正确
二、填空题
4. 若空间向量\( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的夹角为90°，则\( \overrightarrow{a} \)与
\( \overrightarrow{b} \)的点积\( \overrightarrow{a} \cdot
\overrightarrow{b} \)等于______。
答案：0
5. 空间向量\( \overrightarrow{a} = (x, y, z) \)，若
立体几何空间向量典型练习含答案
1. 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF =DE ，点M 为棱AE 的中点．
（1）求证：平面BMD ∥平面EFC ；
（2）若DE =2AB ，求直线AE 与平面BDM 所成的角的正弦值．
2如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且
PF BF ⊥.
（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
3如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
P ABC
-AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC
PAM
1【答案】证明：（1）连结AC ，交BD 于点N ， ∴N 为AC 的中点，∴MN ∥EC ．
∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN ∥平面EFC ．
∵BF ，DE 都垂直底面ABCD ，∴BF ∥DE ． ∵BF =DE ，∴BDEF 为平行四边形，∴BD ∥EF ．
∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∴BD ∥平面EFC ． 又∵MN ∩BD =N ，∴平面BDM ∥平面EFC ．
解：（2）由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形．
∴DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz ．
设AB =2，则DE =4，从而B （2，2，0），M （1，0，2），A （2，0，0），E （0，0，4）， ∴
高二空间向量练习题及答案
高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。
一、选择题
1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：
A. -11
B. 11
C. -9
D. 9
答案：A
2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 150°
答案：C
3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：
A. -17
B. 17
C. -3
D. 3
答案：B
4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：
A. 23i+2j-13k
B. -23i-12j+13k
C. 23i-12j+13k
D. -23i+2j+13k
答案：C
5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。
A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35
B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33
C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31
D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31
答案：D
二、填空题
1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。
答案：7i+j-3k
2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为
________。
答案：-1/√14
空间向量练习及答案解析
空间向量练习及答案解析
1.已知平面α的一个法向量为(2,-1,1)，且α∥β，则平面β
的一个可能的法向量是哪个？
A。(4,2,-2) B。(2,0,4) C。(2,-1,-5) D。(4,-2,2)
2.在如图所示的正方形ABCD中，过点A作线段EA垂直于平面AC，若EA=1，则平面ADE和平面BCE所成的二面
角大小是多少？
A。120° B。45° C。150° D。60°
3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,2)，向量c=(1,1,2)，点
Q在直线OP上移动，当a·Q+b·Q取得最小值时，点Q的坐标是多少？
A。B。C。D.
4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直角二面角A-BD-C，以下哪个结论是错误的？
A。AC⊥BD
B。△ACD是等边三角形
C。∠ABC与平面BCD所成的角为60°
D。∠ABD与CD所成的角为60°
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，
AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E和F分别是棱AB和BB1的中点，直线EF和BC1的夹角是多少？
A。45° B。60° C。90° D。120°
6.在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且
OM=2MA，点N为BC中点，设∠AOM=a，∠BOM=b，
∠CON=c，则a+b-c等于多少？
A。a+b-c B。-a+b+c C。a-b+c D。a+b-c
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB1和D1E所成角的余弦值是多少？
A。B。C。- D。-
初中数学解空间向量练习题及答案
初中数学解空间向量练习题及答案
1. 已知点A(1, 3, -2)，点B(4, -1, 5)，求向量AB的起点坐标和终点坐标。
解答：向量AB的起点坐标为A(1, 3, -2)，终点坐标为B(4, -1, 5)。
2. 已知点A(2, -1, 3)，点B(-3, 4, 1)，求向量BA的起点坐标和终点坐标。
解答：向量BA的起点坐标为B(-3, 4, 1)，终点坐标为A(2, -1, 3)。
3. 已知向量a(2, -1, 3)，向量b(4, 3, -2)，求向量a+b的坐标。
解答：向量a+b的坐标为(6, 2, 1)。
4. 已知向量a(2, -1, 3)，向量b(-4, 2, -6)，求向量a-b的坐标。
解答：向量a-b的坐标为(6, -3, 9)。
5. 已知向量a(1, 2, -3)，向量b(3, -2, 1)，求向量a•b的结果。
解答：向量a•b的结果为 1*3 + 2*(-2) + (-3)*1 = 3 - 4 - 3 = -4。
6. 已知向量a(2, -1, 3)，向量b(-4, 2, -6)，求向量a×b的坐标。
解答：向量a×b的坐标为(0, -24, 8)。
7. 已知向量a(2, 3, -1)，向量b(1, -2, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
解答：向量a与向量b的夹角的余弦值为 (2*1 + 3*(-2) + (-1)*4) / (sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) * sqrt(1^2 + (-2)^2 + 4^2)) = (2 - 6 - 4) / (sqrt(14)
空间向量综合测试(含答案)
空间向量综合测试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分
1．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，则线段AB 的中点坐标和|AB →
|是( )
A.⎝⎛⎭⎫2，1，52，17
B.⎝⎛⎭⎫2，－1，52，17
C.⎝⎛⎭⎫2，1，－52，17
D.⎝⎛⎭⎫2，－1，－52，17
2．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c
3．平面α的法向量u ＝(1，2，－1)，平面β的法向量v ＝(λ2，2，8)，若α⊥β，则λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D.不存在
4．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3，5，2)，CD →
＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →
的坐标为( )
A ．(2，3，3)
B ．(－2，－3，－3)
C ．(5，－2，1) D.(－5，2，－1) 5．已知四面体ABC
D 的所有棱长都是2，点
E ，
F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →
＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3 D.－ 3
6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则与直线CE 垂直的直线是( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D.A 1A
7．已知a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，则x ，y 的值为( )
空间向量专题练习答案
空间向量专题练习
一.填空题(本大题共4小题，共20.0分)
1.平而<1的法向星:为(1, 0, -1),平而B的法向虽:为(0, -1, 1),则平而u与平面B所成二而角的大小为 __________________ .
【答案】
【解析】
解：设平面0的法向量为齐=(1, 0> -1),平而B的法向量为五=(0.・1,1), [ T. lx0+0x(-l)+(-l)xl 1
则cos
A =—・
3
•••平而a与平而P所成的角与
••• 0与B所成的角为吕或乎.
S 3
故答案为：专或?・
S 3
利用法向量的夹角与二而角的关系即可得出.
本题考査了利用用法向呈:的夹角求二而角的方法，考查了计算能力，属于基础题.
2.平而a经过三点A (-1, 0, 1), B (1, 1, 2), C (2, -1, 0),则平而«的法向量处可以是 (写出一个即可)
【答案】
(0, 1, -1)
【解巴_
解：AB= (2, 1, 1), ~AC= (3, -1, -1),
设平而a的法向颤=(x, y, z),
n,.fu ・AB = 2x + y + z = 0人
则L —* ，令z=-l> y=l > x=0・
u ・ AC = 3x_y_z = 0
.\u=(0, 1> -1).
故答案为：(0, 1, -1).
设平而a的法向皈=(x, ” z),贝|j ：•竺= 2x + y+z=0,解出即可.
u ・ AC = 3x — y — z = 0
本题考査了线而垂直与数量积的关系、平而的法向量，属于基础题.
3•已知乔=(1, 0, 2), AC=(2, 1, 1),则平而ABC的一个法向量为___________________
空间向量练习及答案解析
空间向量练习
1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)
2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥
平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角
的大小是( )
A．120° B．45° C．150° D．60°
3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A． B． C． D．
4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是( )
A．① B．② C．③ D．④
5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝
AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF
和BC1的夹角是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，
点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a＋b＋c C．a－b＋c D．a＋
b－c
7.已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( ) A ．
空间向量例题及解答
C
空间向量及其坐标运算
例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，
A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
A ．1122
a b c -+- B ．++21
21
C ．1122
a b c -- D ．+--2121
练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，
N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ
例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b
求y x ,的值.
练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =
练习2：下面命题正确的个数是 （ ）
①若23p x y =+，则
p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；
③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若
151263
OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4
练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =
练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，
空间向量的习题及答案
空间向量的习题及答案
空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案
解析。
1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数
量积和向量积。
解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。
向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。
2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹
角的余弦值。
解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。
其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。
计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2
+ 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4)
= √29。
代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。
3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、
空间向量基础练习(含答案)
空间向量基础练习
班级____________姓名____________
1．已知空间四边形OABC ，点M,N 分别为OA,OB 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，
用a ，b ，c 表示N M ，则N M =_______________。1()2
b c a +- 2.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为__________。3π
3．设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则使A 、B 、C 三点共线的条件是_____________．（4）
（1）．c ＝a +b ， （2）．c ＝12a +13b （3）．c ＝3a －4b （4）．c ＝4a －3b
4．若a 、b 、c 是空间的一个基底，下列各组
①l a 、m b 、n c (lmn ≠0)； ②a +2b 、2b +3c 、3a －9c ；
③a +2b 、b +2c 、c +2a ； ④a +3b 、3b +2c 、－2a +4c
中，仍能构成空间基底的是_____________．①③
5．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、
B 、
C 一定共面的是_____________（填序号）（4）
（1） OC OB OA OM ++= （2）．OC OB OA OM --=2
（3）．OC OB OA OM 3121++= （4）．OC OB OA OM 3
13131++= 6．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=
高中数学__空间向量和立体几何练习试题(附答案解析)
空间向量练习题
1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD
的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;
（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0）
，
3(2
C 1(2
D P （0，0，2）
,E （Ⅰ）证明
因为BE =，平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PAB .
(Ⅱ)解
易知(1,0,2),0PB BE =-=u u u r u u u r
1(0,0,2),(2PA AD =-=u u u r u u u r 设1111(,,)n x y z =r 是平面PBE 的一个法向量，则由110,
n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r
g u r u u u r
g
得111122020,
000.x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===u r 故可取 设2222(,,)n x y z =u u r 是平面PAD 的一个法向量，则由220,0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r
g u u r u u u r
g
得2222220020,100.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)
高考数学复习空间向量及其运算理专题训
练（含答案）
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。
一、填空题
1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).
[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，
设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面
2.(2019济南调研)在下列命题中：
若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;
若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;
若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;
已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.
其中不正确的命题是________(填序号).
[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定
共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.
[答案]
3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且
OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则
=________.(用a，b，c表示)
[解析] =-=(+)-
=b+c-a.
[答案] b+c-a
空间向量及其运算练习题含详细答案
空间向量及其运算
一、选择题
1、与向量a =(12,5)平行的单位向量是( C )
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛135,1312 B.⎪⎭
⎫ ⎝⎛--135,13
12 C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛135,13
12135,1312或 D.⎪
⎭
⎫ ⎝⎛±±135,13
12 2、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( C ) A.1
B.2
C.3
D.4
3、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( C ) A.相交 B.垂直 C.平行
D.以上都不对
4、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( C ) A.0
B.2
5 C.2
21 D.8
5、若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则（ C ）
A.x =1，y =1
B.x =21，y =－21
C.x =61，y =－2
3
D.x =－61，y =2
3
6、a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( B )
A.0
B.6
C.-6
D.±6
7、若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则2
12121z z
y y x x ==是a 与b 同向或反向的( A )
A.充分不必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.不充分不必要条件
8、已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角（ C ） A ．0 B ．
2
π C ．π D ．32π
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题．
3.已知AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），则平面 ABC 的一个法向
量为 ______ ．
【答案】
（-2，3，1）
【解析】
解：AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），
设平面 ABC 的法向量为n=（x，y，z），
{ { 则
n n
⋅ ⋅
AB AC
= =
00，即
x + 2z 2x + y
若向量n与平面 ABC 垂直，且|n|= 21，则n的坐标为 ______ ．
【答案】
（2，-4，-1）或（-2，4，1）
【解析】
解：设平面 ABC 的法向量为m=（x，y，z），
则m ⋅ AB=0，且m•AC=0，
∵AB=（-1，-1，2），AC=（1，0，2），
{∴
−x−y + 2z x + 2z = 0
∴PQ⊥平面 ABCD，
以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），
P（0，0， 3），B（0， 3，0），C（-2， 3，0）
∴QM
=
2
3QP
+
13QC=（-23，
3，2 3），
33
设n1是平面 MBQ 的一个法向量，则n1 ⋅ QM = 0，n1 ⋅ QB = 0，
高中数学试卷第 4 页，共 11 页
【答案】
解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面 PQB，
又∵AD⊂平面 PAD，
∴平面 PQB⊥平面 PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q 为 AD 的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，
=
0，
{即
x y
= =
−4z2z，
令 z=1，则 x=-2，y=4，
即m=（-2，4，1），
若向量n与平面 ABC 垂直，
∴向量n∥m，
设n=λm=（-2λ，4λ，λ），
∵|n|= 21，
∴ 21•|λ|= 21，
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即|λ|=1， 解得 λ=±1， ∴n的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1）， 故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1） 根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结 论． 本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平 面的法向量是解决本题的关键．
PQB，由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD． （2）以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出二面角 M-BQ-C 的大小． 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
高中数学试卷第 6 页，共 11 页
二、解答题(本大题共 3 小题，共 36.0 分) 5.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底
面 ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为 AD 的中点． （1）若 PA=PD，求证：平面 PQB⊥平面 PAD； （2）点 M 在线段 PC 上，PM = 13PC，若平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角 M-BQ-C 的大小．
{∴
−23x
+
3
3y
+
233z
3y = 0
=
0
，∴n1
=
(
3，0，1)，
又∵n2 = (0，0，1)平面 BQC 的一个法向量， ∴cos＜n1，n2＞=12， ∴二面角 M-BQ-C 的大小是 60°．
【解析】
（1）由题设条件推导出 PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到 AD⊥平面
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空间向量专题练习
一、填空题(本大题共 4 小题，共 20.0 分)
1.平面 α 的法向量为（1，0，-1），平面 β 的法向量为（0，-1，
1），则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为 ______ ．
【答案】 π或2π
33
【解析】
解：设平面 α 的法向量为m=（1，0，-1），平面 β 的法向量为n=（0，-
= +
0 z
=
0，取
x=-2，则
z=1，y=3．
∴n=（-2，3，1）．
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故答案为：（-2，3，1）．
{ 设平面
ABC
的法向量为n=（x，y，z），则
n n
⋅ ⋅
AB AC
= =
00，解出即可．
本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础
题．
4.在三角形 ABC 中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），
6.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD=DC=2，点 E 是 PC 的中点，F 在直线 PA 上． （1）若 EF⊥PA，求PPAF的值； （2）求二面角 P-BD-E 的大小．
【答案】
解：（1）∵在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD，
{则
u u
⋅ ⋅
AB AC
= =
2x + y + z = 3x−y−z = 0
0，令
z=-1，y=1，x=0．
∴u=（0，1，-1）．
故答案为：（0，1，-1）．
{ 设平面
α
的法向量u=（x，y，z），则
u u
⋅ ⋅
AB AC
= =
2x + y + z = 3x−y−z = 0
0，解出即
可．
本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础
力，属于基础题．
2.平面 α 经过三点 A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平 面 α 的法向量u可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】
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（0，1，-1）
【解析】
解：AB=（2，1，1），AC=（3，-1，-1），
设平面 α 的法向量u=（x，y，z），
1，1），
则
cos＜m，n＞=1
×
0
+
0
× (−1) + 2⋅ 2
(−1)
×
1=-12，
∴＜m，n＞=23π．
∵平面 α 与平面 β 所成的角与＜m，n＞相等或互补，
∴α
与
β
所成的角为π或2π．
33
故答案为：π或2π．
33
利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．
本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能
高中数学试卷第 7 页，共 11 页
∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角
坐标系，
∵PD=DC=2，点 E 是 PC 的中点，F 在直线 PA 上，