第四章 中值定理与导数的应用—复习课

第四章 中值定理与导数的应用
习题课
主讲：高兵龙
第四章中值定理与导数的应用
主要内容
微分中值定理及其应用（一）
（一）微分中值定理及其应用
（二）导数的应用
洛必达法则
Rolle
定理
Rolle 定理Lagrange 中值中值定理
定理Lagrange 中值中值定理定理常用常用的
的泰勒公式
常用常用的的泰勒公式型
0,1,0∞∞型
∞−∞型
∞⋅0型00
型∞
∞Cauchy 中值定理
Cauchy 中值定理Taylor
中值定理
Taylor 中值定理)b f g
f
g f 1=
⋅f
g f
g g f 1111⋅−=
−取对数
令g
f y =单调性单调性,,极值与最值极值与最值,
,凹凸性凹凸性,,拐点拐点,,函数
图形的描绘图形的描绘;
;曲率曲率;;求根方法求根方法.
.单调性单调性,,极值与最值极值与最值,,凹凸性凹凸性,,拐点拐点,,函数图形的描绘图形的描绘;;曲率曲率;;求根方法求根方法..导数的应用
1、罗尔中值定理
罗尔（罗尔（R R olle olle）定理）定理）定理 如果函数如果函数(x
f 在闭区间在闭区间 上连续上连续,,在开区间
,(b
a 内可导内可导,,且在区间端且在区间端 点的函数值相等，即()(b
f a f =,那么在,(b
a
内至少有一点(b a <ξ<ξ,使得函数(x
f 在该在该
点的导数等于零，点的导数等于零，
即0)('=ξf
，使等式
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
)(22+n x o
6、导数的应用定理
.
],[)(0)(),(2],[)(0)(),(1.
),(],[)(00
上单调减少在，那么函数内如果在上单调增加；
在，那么函数内如果在可导内
上连续，在在设函数b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y =<′=>′=(1) 函数单调性的判定法
重点知识
设在点
处具有导数,且在x 处取得极值,那末必定.
定理定理((必要条件必要条件))定义.
)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点x f x f =′函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:
:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点临界点..
)
(3) 最大值、最小值问题
步骤
步骤::
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
注意
注意::如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
掌握方法
定理定理1
1;],[)(,0)()2(;
],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内
若在导数内具有二阶在上连续在如果b a x f x f b a x f x f b a b a b a x f <′′>′′连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2 如果
在内存在二阶导数,则点
是拐点的必要条件是.
方法方法1:
1:,
0)(,)(00=′′x f x x f 且的邻域内二阶可导在设函数;
))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁x f x x f x ′′.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁x f x x f x ′′方法方法2:
2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数x f y x f x x f x f x x f =≠′′′=′′
判断曲线拐点的方法
（6）导数在经济学中的应用
1、边际函数 边际成本 C’(x)、边际收益 R’(x)
边际成本 L’(x)= R’(x)— C’(x)
2、弹性函数 弹性、 需求弹性 .
)()(P Q P P Q EP EQ P ′==ε3、需求弹性与收益
重点掌握
例1：求.sin tan lim 2
0x x x x x −→解:注意到x sin ～原式30tan lim x x x x −=→22
031
sec lim x
x x −=→22
3tan lim
x
x x →=x
x 2
2tan 1sec +=3
1
=x
型0
典型例题
城市学院
例2: 设在)(x f ]1,0[内可导, 且
,0)1(=f 证明至少存在一点−
=′)(ξf ,)1,0(∈ξ使
上连续, 在)1,0(ξ
ξ)(2f 证: 问题转化为证.
0)(2)(=+′ξξξf f 设辅助函数
)
()(2
x f x x =ϕ显然)(x ϕ在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件,故至,)1,0(∈ξ使
)()(2)(2
=′+=′ξξξξξϕf f 即有
−
=′)(ξf ξ
ξ)
(2f 少存在一点城市学院
解:
203cos 1lim x x x −=→30 lim x
x →==
⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→x x x x 1sin 1cot lim 0原式x sin ～x 1
cos lim 0
=→x x x x sin −22
210
3lim x
x x →=
x cos
1−～221x
61
=6
1x
x x x x x 20sin )sin (cos lim −=→例3:
城市学院
证明:0
tan <−x x 令,tan )(x x
x −=ϕ则
x
x 2
sec 1)(−=′ϕx 2
tan −=),0(,02
π∈<x ,),0()(2
上递减在πϕx ∴从而0
)0()(=<ϕϕx 即
)
,0(,
0tan 2
π∈<−x x x 例4：城市学院
解:
)1292(2
+−x x 12
24)9(2
⋅⋅−−=∆09681<−=012922
>+−∴x x )(x x f =041≤≤−x 2
5
0≤
<x 04
1<≤−x 25
0≤<x 例5：求函数x
x x
x f 1292)(2
3
+−=在闭区间]
,[2541
−上的最大值和最小值 .
解: 显然,],[)(2
541−∈C x f 且⎩⎨⎧=)(x f ,
)1292(2
3x x x +−−,
12922
3
x x x +−⎩⎨⎧=′)(x f 121862
−+−x x 121862
+−x x 内有极值可疑点在],[)(2541−x f 2
,1,0321===x x x ,
3)
(321941=−f
,0)0(=f ,5)1(=f ,4)2(=f 5
)(25
=f 故函数在0=x 取最小值 0 ;在1=x
及2
5
取最大值 5.
,
)2)(1(6−−=x x ,)2)(1(6−−−=x x 2
512
4
1−城市学院
例6： 描绘22
33
1+−=
x x y 的图形.
解: 1) 定义域为,),(∞+−∞无对称性及周期性.
2),22
x x y −=′,
22−=′′x y ,0=′y 令2,0=x 得,0=′′y 令1
=x 得3)
x y ′y ′′y
01
2)
0,(−∞)
1,0()
2,1(),2(∞+0
0+
−
−
+
−−
+
+
2
3
4(极大)
(拐点）3
2(极小)
4)
x y 1−33
220
123
1−城市学院
()45-L q q
′= ()0,45L q q ′==
()-10L q ′′=<
45
max (45)812.5()
L L ==
利润最大，此利润为。