外校冲刺--几何
成都武侯外国语学校数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版 含答案)
成都武侯外国语学校数学几何模型压轴题单元综合测试（Word 版含答案）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌； （2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】 【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QFCE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒， ∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =， ∴45BPQ ∠=︒， ∴135APQ ∠=︒ ∵CE 平分DCM ∠， ∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒， ∴135APQ QCE ∠=∠=︒， ∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒． ∵90AQB BAQ ∠+∠=︒． ∴BAQ CQE ∠=∠． ∴()APQ QCE ASA ∆≌． （2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌． ∴QA QE =． ∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形， ∴45QAE ∠=︒． ∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =， ∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌． ∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒． ∴QCF ∆是等腰直角三角形， ∴2CF CQ x ==-， ∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒， ∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒， ∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =， ∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=． 解这个方程，得1222x =-+， 2222x =--（舍去）． 当222x =-+时，QFCE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．2．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连结EF ，则EF=BE+DF ，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF ； （2）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE 的长．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.（3）根据和求解即可.试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG..∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴BE=DG..（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度数为45°或135°.（3）如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵，∴GE =8.∴.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴. ∴..设点G到BE的距离为h.∴.∴.∴点G到BE的距离为.考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．4．如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为（，）；（2）若二次函数的图象经过点C．①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.5．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE ， ∴∠DAB=∠EAC ， 在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE．∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ．（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．6．（1）发现如图，点A为线段BC外一动点，且BC a=，AB b=.填空：当点A位于____________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a，b的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE . ①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22） 【解析】 【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ，故答案为CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EABAC AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵22，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN 是等腰直角三角形， ∴PE=AE=2，∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2， ∴P （2-2，2）． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
成都市石室外语学校中考数学几何综合压轴题易错专题
成都市石室外语学校中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）.【详解】试题分析：(1)已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得,,,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM="PN," ∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形；（3）把绕点旋转到如图的位置，此时PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN，，所以面积的最大值为 .试题解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点，分别为，的中点∴PM是△DCE的中位线∴PM=CE，且,同理可证PN=BD，且∴PM="PN," ∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形.(3).考点：旋转和三角形的综合题.2．情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q. ∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP .∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG ∽△EAP ， 同理△ACG ∽△FAQ ， ∵AB= k AE ，AC= kAF ，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH. ∴HE=HF3．如图，E F ，分别为ABC 中AC AB ，上的动点（点、、A B C 除外），连接EB FC ，交于点P ，6BC =.我们约定：线段BC 所对的CPB ∠，称为线段BC 的张角. 情景发现（1）已知三角形ABC 是等边三角形，AE BF =， ①求线段BC 的张角CPB ∠的度数； ②求点P 到BC 的最大距离；③若点P 的运动路线的长度称为点P 的路径长，求点P 的路径长. 拓展探究（2）在（1）中，已知A BC '是圆P 的外切三角形，若点A '的运动路线的长度称为点A '的路径长，试探究点A '的路径长与点P 的路径长之间有何关系？请通过计算说明.解析：（1）①BPC ∠＝120°，②点P 到BC 的最大距离3PN =433π；（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）. 【分析】（1）①利用等边三角形的性质证△AEB 与△BCF 全等，得到∠EBA ＝∠BCF ，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB 的度数；②由题意可知当PO ⊥BC 于点N 时，点P 到BC 的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P 到BC 的最大距离；③由题意知点P 的路径长为弧BC 的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果； （2）由题意可知张角∠CPB 的度数始终为120°，可得∠CBP ＋∠BCP ＝60°，因为圆P 是△A'BC 的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，其半径为23，圆心角240°，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P 的路径长的2倍． 【详解】 解：（1）①∵ABC 是等边三角形，∴60CBAA AB BC ∠∠︒=＝＝，， ∵AE BF =， ∴AEB BCF △≌△， ∴EBABCF ∠∠＝. ∵60180EBA EBC EBC BCF BPC ∠+∠︒∠+∠+∠︒＝，＝， ∴180180BPC EBC BCF EBC EBA ∠︒-∠-∠=︒-∠-∠＝， 180********ABC ︒-∠=︒-︒︒＝＝.②（2）如图所示，由于BPC ∠始终为120︒，故过点B C P 、、作圆O, ∴120BOC ∠︒＝. 当PO BC ⊥于点N 时，点P 到BC 的距离最大. ∵OB OC =，∴1160,322BOP BOC NB BC ∠∠=︒==＝，∴3,23ON OB ==，∴点P 到BC 的最大距离2333PN =-=.③由②可知点P 的路径为BC 的长度，即x（2）点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2:1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍），理由：由（1）中题意可知张角CPB ∠的度数始终为120︒，可得60CBP BCP ∠+∠=︒， 又因为圆P 是A BC '△的内切圆， 所以120CBA BCA ''∠+∠=︒， 所以 60CA B ∠'=︒，所以A '是等边三角形ABC 外接圆上优弧BAC 上的一动点，由题意可得等边三角形ABC 外接圆的半径为23，点A '的路径是优弧BAC 的长度，即以240︒的圆心角，半径为23的弧长，如图，所以点A '的路径长=24023831801803n r πππ⋅==， 点A '的路径长与点P 的路径长的比值是：843:32:133ππ=， 所以点A '的路径长与点P 的路径长的比值是2：1（或点A '的路径长是点P 的路径长的2倍）.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆的有关性质，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形.4．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE1S2=S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移拓【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果． 【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCEABCDSS =．（2）解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9，∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ，∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ， ∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1， ∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．5．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒．（1）操作发现：如图2，固定ABC ，使DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是________；②设BDC 的面积为1S ，AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是_____．（2）猜想论证：当DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中1S 与2S 的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究：已知60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD CD =，9BC =， DE AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =△△，请求相应的BF 的长．解析：（1）DE ∥AC ；S 1=S 2；（2）成立，证明见解析；（3）BF 的长为3或6． 【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD ，然后求出△ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=12AB ，然后求出AC=BD ，再根据等边三角形的性质求出点C 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE ，AC=CD ，再求出∠ACN=∠DCM ，然后利用“角角边”证明△ACN 和△DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM ，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后勾股定理求出EG 的长，即可得解 【详解】（1）①∵△DEC 绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上， ∴AC=CD ，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD=60°， 又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE ， ∴DE ∥AC ； 故答案为：DE ∥AC ； ②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC=12AB ， ∴BD=AD=AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC 、AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1=S 2； 故答案为：S 1=S 2；（2）如图，过点D 作DM ⊥BC 于M ，过点A 作AN ⊥CE 交EC 的延长线于N，∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到， ∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM ， ∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD NAC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACN ≌△DCM （AAS ）， ∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S 1=S 2；（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形， 所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等， 此时S △DCF1=S △BDE ； 过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 2DB=90°，∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1=DF 2，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，BG=12BC=92， ∴3∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，∴∠CDE=360°-∠CDF 2-∠F 2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°，∴∠CDG=90°-∠DCG=60°，又∵3∴33， 设EG 为x ，则DE=2x,()22233+2x x =⎝⎭ , 解得x=1.5,∴BE=BG-EG=4.5-1.5 =3，∴BF 1=3，BF 2=BF 1+F 1F 2=3+3=6，故BF 的长为3或6．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个． 6．（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0,0.5)，点A 的坐标为(1,0)，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ，易知AOC CMB ∆∆≌，得到点B 的坐标为(0.5,1.5)．（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,)(0)m m >，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ．（1）求点B 的坐标．（用含m 的代数式表示）（2）求出BC 所在直线的函数表达式．（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点C 在y 轴上，将线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，连结BO 、BA ，则BO BA +的最小值为_______．解析：【探究】（1）点B 坐标为(,1)m m +；（2）1y x m m=+5 【分析】探究:（1）证明△AOC ≌△CMB （AAS ），即可求解；（2）根据点B 的坐标为（m ，m+1），点C 坐标()0,m ，即可求解；拓展：2222(1)(1)(1)m m m m ++-++BO+BA 的值，相当于求点P （m ，m ）到点M （1，-1）和点N （0，-1）的最小值，即可求解．【详解】解：探究：（1）过点B 作BM y ⊥轴，垂足为点M ．BMC 90∠∴=︒，MCB B 90∠∠∴+=︒．线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90︒至线段CB ，BCA 90CB CA ∠∴=︒=，．MCB ACO 90∠∠∴+=︒．B ACO ∠∠∴=．ACO 90∠=︒，ΔAOC ΔCMB ∴≌，MC OA,MB OC ∴==．点C 坐标()0,m ，点A 坐标()1,0，∴点B 坐标为()m,m 1+（2）∵点B 的坐标为（m ，m+1），点C 为（0，m ），设直线BC 为：y=kx+b ，1b m km b m =⎧⎨+=+⎩，解得：1k m b m⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴1y x m m=+； 则BC 所在的直线为：1y x m m =+； 拓展：如图作BH ⊥OH 于H ．设点C 的坐标为（0，m ），由（1）知：OC=HB=m ，OA=HC=1，则点B （m ，1+m ），则：BO+BA=2222(1)(1)(1)m m m m+++-++，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，相当于在直线y=x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，-1），到N（1，-1）的距离和最小，作M关于直线y=x的对称点M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，22(11)(01)5--++故：BO+BA55【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中拓展，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，是本题的新颖点7．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则EFAD＝______，sin∠ADE＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝13AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求EFAD和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）解析：（1612；（2）不变；（3）EFAD222cos sinnnαα+-sin∠ADE＝sinnα．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等边三角形，据此求得CE的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，构造直角三角形：△ADG，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E作EG⊥AD于点G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD33．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF2CE，∴EFAD 2CE3CE6．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝12．612；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝30°，AD3，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE ＝DF ＝x ，sin ∠ADE ＝12． ∵∠EDF ＝90°， ∴EF ＝2x ．∴EF AD ＝23x x＝63． ∵∠ADE ＝30°， ∴sin ∠ADE ＝12．（3）过点E 作EG ⊥AD 于点G ，设AE ＝x ，则DE ＝nx ．∵∠CAB ＝a ，∴AG ＝cosα•x ，EG ＝sinα•x ．∴DG ＝22()(sin )nx x α-⋅＝22sin n α-•x ．∴AD ＝cosα•x+22sin n α-•x ．∵∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∴EF ＝2DE ＝2nx ．∴EF AD ＝222cos sin nx x n x αα⋅+-⋅＝222cos sin n n αα+-， sin ∠ADE ＝GE DE＝sin x nx α⋅＝sin n α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点D 是射线BC 上一动点，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ，交直线AC 于点P ．（问题发现）（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系为_______；（类比探究）（2）如图2，若点D 在线段BC 上，试猜想AP ，CD ，BC 之间的数量关系，并说明理由；（拓展应用）（3）当点E 为BP 的中点时，直接写出线段CD 的长度．解析：（1）BC AP CD =+；（2）AP BC CD =+，理由见解析；（3）CD 的长为222-或222+【分析】（1）通过证明BPC ADC ≅，可得CP CD =，再根据,AP CP AC BC AC +==，即可得证AP CD BC +=；（2）通过证明()ACD BCP ASA ∆∆≌，可得CD CP =，再根据AP AC CP =+，即可得证AP BC CD =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段BC 上时；②当点D 在线段BC 的延长线上时，求解即可．【详解】解：（1）如图1，若点D 在BC 的延长线上，且点E 在线段AD 上，AP ，CD ，BC 之间的数量关系为BC AP CD =+，理由如下90ACB ︒∠=9018090PBC BPC ACD ACB ︒︒︒∴∠+∠=∠=-∠=，BE AD ⊥，垂足为点E90BED ︒∴∠=90PBC ADC ︒∴∠+∠=BPC ADC ∴∠=∠在△BPC 和△ADC 中90BPC ADC BCP ACD BC AC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩BPC ADC ∴≅CP CD ∴=,AP CP AC BC AC +==AP CD BC ∴+=（2）AP BC CD =+．理由如下，如图∵90ACB ∠=︒，BE AD ⊥∴90P PAE ∠+∠=︒，90P PBC ∠+∠=︒，∴PAE PBC ∠=∠∵90ACB BCP ∠=∠=︒，AC BC =∴()ACD BCP ASA ∆∆≌∴CD CP =∵AP AC CP =+∴AP BC CD =+ （3）CD 的长为222-或222+①当点D 在线段BC 上时∵()APE ABE SAS ∆∆≌，∴22AP AB ==∴222CP AP AC =-=-∴222CD CP ==-②当点D 在线段BC 的延长线上时222CD CP AP AC ==+=+【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 9．（基础巩固）（1）如图1，在ABC 中，M 是AB 的中点，过B 作//BD AC ，交CM 的延长线于点D ．求证：AC BD =；（尝试应用）（2）在（1）的情况下载线段CM 上取点E （如图2），已知34BE AC ==2CE =，4EM =，求tan D ；（拓展提高）（3）如图3，菱形ABCD 中 ，点P 在对角线AC 上，且2CP AP =，点E 为线段DP 上一点，BE BC =．若2PE =，3PD =，求菱形ABCD 的边长．解析：（1）证明见解析；（2）35；（3）21． 【分析】(1)证明()ACM BDM AAS △≌△，即可求解；(2)过点B 作BH CD ⊥于点H ，得到()22234253BH BD DH =-=-=，进而求解；(3) 延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ，可得BE BF BC ==，所以90CEF ∠=︒，设菱形边长为x ，进而可得出结论．【详解】解：（1）证明：//AC BD ，A MBD ∴∠=∠，ACM D ∠=∠，M 是AB 的中点，AM MB ∴=，ACM BDM ∴△≌△，AC BD ∴=．（2）由（1）得6CM MD CE EM ==+=，34BE AC BD ===，作BH CD ⊥，垂足为H ，如图所示：5EH HD ∴==，在Rt BDH △中，()22234253BH BD DH =--=，3tan 5BH D HD ∴==． （3）延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ，如图所示：//,AB CD ,APG CPD ∴∽1,2AG PG AP CD PD CP ∴=== 1113,,2222AG CD AB PG PD ∴==== 393,8,22FG DG FE ∴==+== 过B 作BH CD ⊥于,H 由//,AB CD∴ BE BF BC ==，90CEF ∴∠=︒，设菱形边长为x ，在Rt CDE △和Rt CFE ∆中22222CD DE CE CF EF -==-，即221464x x -=-，解得21x =∴菱形ABCD 21【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解直角三角形、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．10．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（概念感知）（1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=︒，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．（问题探究）（2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求ABBC的值． （拓展提升）（3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上．105AB BC =，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα︒<<︒得到A B C ''，线段A C '交1l 于点D ．①当30α=︒时，则CD =_________； ②如图4，当点B 落在直线1l 上时，求ADCD的值．解析：（1）ABC 是“准黄金”三角形，理由见解析；（2）329AB BC =3）①12515②35AD CD =． 【分析】（1）过点A 作AD BC ⊥于点D ，先求出AD 的长度，然后得到61035AD BC ==，即可得到结论；（2）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AE BC =，设3AE k =，5BC k =，由勾股定理求出AB 的长度，根据比值即可求出ABBC的值； （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，先求出AC 的长度，由相似三角形的性质，得到AF=2DF ，由解直角三角形，得到3CF DF =，则(23)35AC x ==DF 的长度，然后得到CD 的长度；②由①可知，得到CE 和AC 的长度，分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，然后根据相似三角形的判定和性质，得到DF AFAE EC=，然后求出CD 和AD 的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）ABC 是“准黄金”三角形． 理由：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， ∵12AC =，30ACB ∠=︒， ∴162AD AC ==． ∴:6:103:5AD BC ==． ∴ABC 是“准黄金”三角形．（2）∵点A ，D 关于BC 对称， ∴BE AD ⊥，AE ED =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =． 不防设3AE k =，5BC k =， ∵点C 为ABD △的重心， ∴:2:1BC CE =． ∴52k CE =，152k BE =． ∴2215329(3)22k AB k k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ∴329329:5210AB k k BC ==． （3）①作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，如图：由题意得AE=3， ∵35AE BC =，∴BC=5， ∵105AB BC =， ∴10AB，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22(10)31BE =-=， ∴156EC =+=， ∴223635AC =+=；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF ， ∴△ACE ∽△DAF ， ∴3126AE E D C F AF ===， 设DF x =，则2AF x =， ∵∠ACD=30°， ∴3CF x =，∴(23)35AC x =+=， 解得：65315DF x ==- ∴2125615CD DF ==-．②如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，则3AE =． ∵ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，∴:3:5AE BC =． ∴5BC =． ∵105AB BC =， ∴10AB．∴221BE AB AE =-=．∴6CE BE BC =+=，2236935AC CE AE =+=+=． 分别过点B '，D 作B G BC '⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点G ，F ，∴90B GC DFC '∠=∠=︒，3B G '=，5C B B C '==，则CG 4=．∵GCB FCD α'∠=∠=，∴AEC DFA ∽△△．∴::::3:4:5DF FC CD B G GC CB ''==． ∴设3DF k =，4FC k =，5CD k =． ∵12l l //，∴ACE CAD ∠=∠，且90AEC AFD ∠=∠=︒． ∴AEC DFA ∽△△． ∴DF AFAE EC=． ∴335436k k-=，解得3510k =． ∴3552CD k ==，2222959595102AF DF AD ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=． ∴9335253552AD CD ===． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答． 11．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______． 解析：（1330°；（213339+13339-【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； （2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，3cos 2BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠，又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，故答案为：32，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又3BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴32AE BE DF BF ==，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，23AB =，30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，90DAB ∠=︒， 3BE ∴=，2AD =，4DB =，30EBF ∠=︒，EF BE ⊥，1EF ∴=，D 、E 、F 三点共线，90DEB BEF ∴∠=∠=︒，2216313DE BD BE ∴=-=-=， 30DEA ∠=︒，11322DG DE ∴==， 由（2）可得：32AE BE DF BF ==， ∴32131AE =+， 3932AE +∴=， ADE ∴∆的面积11393131333922228AE DG ++=⨯⨯=⨯⨯=； 如图5，当点E 在AB 的下方时，过点D 作DG AE ⊥，交EA 的延长线于G ，同理可求：ADE ∆的面积1139********22AE DG --=⨯⨯= 13339+13339-【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．12．探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：，．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．解析：（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．【详解】试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．试题解析：（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+=，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= =，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=，y=；（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案为；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL 于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则=， =，解得x=，y=，∴M （，），∴MN= =，即△PEF的周长的最小值为．考点：一次函数综合题；阅读型；分类讨论；最值问题；探究型；压轴题．13．(1)方法选择==．求证：如图①，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，AB BC AC =+.BD AD CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM AD=，连接AM…=…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．解析：(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD =；【探究2】32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c aBD CD AD b b=+.【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD 上截取DM=AD ，连接AM ，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD ，根据全等三角形的性质得到BM=CD ，于是得到结论；（2）类比探究：如图②，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，推出△ADM 是等腰直角三角形，求得2根据全等三角形的性质得到结论； 【探究2】如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD ，根据相似三角形的性质得到3，于是得到结论；（3）如图④，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC=90°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，求得∠MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=c b CD ，DM=abAD ，于是得到结论．【详解】(1)方法选择：∵AB BC AC ==， ∴60ACB ABC ∠=∠=︒，如图①，在BD 上截取=DM AD ，连接AM ， ∵60ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM ∆是等边三角形， ∴AM AD =， ∵ABM ACD ∠=∠，∵120AMB ADC ∠=∠=︒， ∴()ABM ACD AAS ∆≅∆， ∴BM CD =，∴BD BM DM CD AD =+=+； (2)类比探究：如图②， ∵BC 是O 的直径， ∴90BAC ∠=︒， ∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∵45ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM ∆是等腰直角三角形， ∴AM AD =，45AMD ∠=︒， ∴DM =， ∴135AMB ADC ∠=∠=︒， ∵ABM ACD ∠=∠， ∴()ABM ACD AAS ∆≅∆， ∴BM CD =，∴BD BM DM CD =+=；[探究2]如图③，∵若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∵60ADB ACB ∠=∠=︒， ∴30AMD ∠=︒， ∴2MD AD =，∵ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ∴ABM ACD ∆∆，∴BM ABCD AC== ∴BM ，∴2BD BM DM AD =+=+；故答案为2BD AD =+；(3)拓展猜想：c aBD BM DM CD AD b b=+=+；理由：如图④，∵若BC 是O 的直径， ∴90BAC ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∴90MAD ∠=︒， ∴BAM DAC ∠=∠，∴ABMACD ∆∆， ∴BM AB c CD AC b ==， ∴c BM CD b=， ∵ADB ACB ∠=∠，90BAC NAD ∠=∠=︒，∴ADMACB ∆∆， ∴AD AC b DM BC a==， ∴a DM AD b =， ∴c a BD BM DM CD AD b b=+=+. 故答案为c a BD CD AD b b=+. 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ．（2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）（拓展延伸）如图3，120BOD =∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，13AB =2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=，求OC 的长．。
成都市实验外国语学校(西区)数学几何图形初步章末训练(Word版 含解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G.（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；（2）若∠GOA= ∠BOA，∠GAD= ∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA=________；（3）将（2）中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”，其它条件不变，求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1︰2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO= （30°< α <90°），求∠OGA的度数.（用含的代数式表示）【答案】（1）21°（2）14°（3）解：∵∠BOA=90°，∠OBA=α，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，∵∠BOA=90°，∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD∴∠GAD=30°+ α，∠EOA=30°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA= α.（4）解：当∠EOD:∠COE=1:2时，∴∠EOD=30°，∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∵AF平分∠BAD，∴∠FAD= ∠BAD，∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，∴2×30°+2∠OGA=α+90°，∴∠OGA= α+15°；当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°，同理得到∠OGA= α−15°，即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.【解析】解：(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°，∴∠GAD= ∠BAD=66°，∠EOA= ∠BOA=45°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°；故答案为21°；⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°，∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°；故答案为14°；【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质求出即可；（4）讨论：当∠EOD：∠COE=1：2时，利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°，则∠OGA= α+15°；当∠EOD：∠COE=2：1时，则∠EOD=60°，同理得∠OGA= α-15°. 2．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠A FC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．3．综合题（1）ⅰ问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）；ⅱ拓展研究如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，试求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅲ归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）.（2）类比探索ⅰ特例思考如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅱ一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝________（用α表示）.【答案】（1）90°＋∠α；120°＋∠α；（2）120°－∠α； .【解析】【解答】（1）ⅰ90°＋∠α；ⅱ如图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－（180°－∠α）＝180°－60°＋∠α＝120°＋∠α；ⅲ；（ 2 ）ⅰ如图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）]＝180°－ [360°－（180°－∠A）]＝180°－（180°＋∠α）＝180°－60°－∠α＝120°－∠α.；ⅱ .【分析】（1）ⅰ根据角平分线的定义，可得出∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅱ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅲ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果。
2024届浙江省杭州市英特外国语学校初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析
2024届浙江省杭州市英特外国语学校初中数学毕业考试模拟冲刺卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．小颖随机抽样调查本校20名女同学所穿运动鞋尺码，并统计如表： 尺码/cm 21.5 22.0 22.5 23.0 23.5 人数24383学校附近的商店经理根据统计表决定本月多进尺码为23.0cm 的女式运动鞋，商店经理的这一决定应用的统计量是（ ） A ．平均数B ．加权平均数C ．众数D ．中位数2．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C 3D ．33．关于8 ） A 835+B 8 C 822D 8 34．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别AB 、AC 是上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分的周长为（ ）cmA ．1B ．2C ．3D ．45．∠BAC 放在正方形网格纸的位置如图，则tan ∠BAC 的值为（ ）A ．16B ．15C ．13D ．126．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2k x的图象无交点，则有( ) A ．k 1＋k 2＞0B ．k 1＋k 2＜0C ．k 1k 2＞0D ．k 1k 2＜07．已知反比例函数y=﹣6x，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ） A ．0＜y ＜1B ．1＜y ＜2C ．﹣2＜y ＜﹣1D ．﹣6＜y ＜﹣28．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中，∠AED=∠B ，DE=6，AB=10，AE=8，则BC 的长度为( )A ．152B ．154C ．3D ．8310．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（ ）A ．1000100030x x -+=2 B ．1000100030x x -+=2 C ．1000100030x x --=2 D ．1000100030x x--=2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____． 12．如图，直线a ∥b ，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=_____．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．14．若代数式x 2﹣6x+b 可化为（x+a ）2﹣5，则a+b 的值为____． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=33x-33与x 轴交于点B 1，以OB 1为边长作等边三角形A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边三角形A 2A 1B 2，过点A 2作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，按此规律进行下去，则点A 3的横坐标为______；点A 2018的横坐标为______．16．如图，平行线AB 、CD 被直线EF 所截，若∠2=130°，则∠1=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41,?3 1.73≈≈）18．（8分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数myx=（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．求m的值；若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．19．（8分）如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；（2）ctan60°＝_____；（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctan C＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦cosB的值．20．（8分）我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.21．（8分）已知抛物线y=a（x-1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0,2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M （1）求a的值，并写出点B的坐标；（2）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C做DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式.22．（10分）如图，▱ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，求∠AEB的度数．23．（12分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．24．如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=1．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=12MN时，求菱形对角线MN的长．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．【题目详解】解：根据商店经理统计表决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋，就说明穿23.0cm的女式运动鞋的最多，则商店经理的这一决定应用的统计量是这组数据的众数．故选：C ． 【题目点拨】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 2、D 【解题分析】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D. 【题目点拨】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大. 3、D 【解题分析】根据二次根式的加法法则、实数与数轴上的点是一一对应的关系、二次根式的化简及无理数的估算对各项依次分析，即可解答. 【题目详解】选项A B 的点；选项C =选项D ． 故选D ． 【题目点拨】本题考查了二次根式的加法法则、实数与数轴上的点是一一对应的关系、二次根式的化简及无理数的估算等知识点，熟记这些知识点是解题的关键. 4、C 【解题分析】由题意得到DA ′＝DA ，EA ′＝EA ，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC 的周长即可解决问题． 【题目详解】如图，由题意得： DA ′＝DA ,EA ′＝EA ，∴阴影部分的周长＝DA ′＋EA ′＋DB ＋CE ＋BG ＋GF ＋CF ＝(DA ＋BD )＋(BG ＋GF ＋CF )＋(AE ＋CE ) ＝AB ＋BC ＋AC ＝1＋1＋1＝3(cm) 故选C. 【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系. 5、D 【解题分析】连接CD ，再利用勾股定理分别计算出AD 、AC 、BD 的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC =90°，再利用三角函数定义可得答案． 【题目详解】 连接CD ，如图：222222AD =+=CD 22112+=AC 223110+．∵22222210+=（）（）（），∴∠ADC =90°，∴tan ∠BAC =222CD AD ==12． 故选D ．【题目点拨】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC =90°． 6、D 【解题分析】当k 1，k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2k x的图象有交点；当k 1，k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2k x 的图象无交点，即可得当k 1k 2＜0时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2kx的图象无交点，故选D. 7、D 【解题分析】根据反比例函数的性质可以求得y 的取值范围，从而可以解答本题． 【题目详解】 解：∵反比例函数y =﹣6x，∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴当1＜x ＜3时，y 的取值范围是﹣6＜y ＜﹣1． 故选D ． 【题目点拨】本题考查了反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的y 的取值范围，利用反比例函数的性质解答． 8、C 【解题分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法． 【题目详解】解：由不等式①，得3x ＞5-2，解得x ＞1， 由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2， ∴数轴表示的正确方法为C ． 故选C ． 【题目点拨】考核知识点：解不等式组. 9、A 【解题分析】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ∴△ADE ∽△ACB∴AE DE AB BC=，∵DE=6，AB=10，AE=8，∴8610BC=，解得BC＝15 2.故选A.10、A【解题分析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、十二【解题分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【题目详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【题目点拨】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．12、45°【解题分析】过P作PM∥直线a，根据平行线的性质，由直线a∥b，可得直线a∥b∥PM，然后根据平行线的性质，由∠P=75°，∠2=30°，可得∠1=∠P-∠2=45°.故答案为45°.点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．13、2x=或x=-1【解题分析】由点A的坐标及AB的长度可得出点B的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．【题目详解】∵点A的坐标为（-2，0），线段AB的长为8，∴点B的坐标为（1，0）或（-10，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，∴抛物线的对称轴为直线x=262-+=2或x=2102--=-1．故答案为x=2或x=-1．【题目点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．14、1【解题分析】根据题意找到等量关系x2﹣6x+b=（x+a）2﹣5，根据系数相等求出a,b,即可解题.【题目详解】解：由题可知x2﹣6x+b=（x+a）2﹣5，整理得：x2﹣6x+b= x2+2ax+a2-5,即-6=2a,b= a2-5,解得：a=-3,b=4,∴a+b=1.【题目点拨】本题考查了配方法的实际应用,属于简单题,找到等量关系求出a,b是解题关键.15、722018212-【解题分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B1的坐标，根据等边三角形的性质可求出点A1的坐标，同理可得出点B2、A 2、A 3的坐标，根据点A n 坐标的变化即可得出结论．【题目详解】当y=0时，有3x-3=0， 解得：x=1，∴点B 1的坐标为（1，0），∵A 1OB 1为等边三角形，∴点A 1的坐标为（12．当 解得：x=52，∴点B 2的坐标为（52，2）， ∵A 2A 1B 2为等边三角形，∴点A 2的坐标为（32，2）．同理，可求出点A 3的坐标为（72），点A 2018的坐标为（2018212-． 故答案为72；2018212-． 【题目点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点A n 横坐标的变化是解题的关键．16、50°【解题分析】利用平行线的性质推出∠EFC=∠2=130°，再根据邻补角的性质即可解决问题.【题目详解】∵AB ∥CD ，∴∠EFC=∠2=130°，∴∠1=180°-∠EFC=50°，故答案为50°【题目点拨】本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．三、解答题（共8题，共72分）17、5.5米【解题分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中表示出AD ，在Rt △BCD 中表示出BD ，再由AB=4米，即可得出关于x 的方程，解出即可.【题目详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中，∠CAD=30°，则33在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，则BD=CD=x. 3﹣x=4， 解得：)x 231 5.531==≈-. 答：生命所在点C 的深度为5.5米.18、（1）-6；（2）122y x =-+． 【解题分析】（1）由点B （﹣2，n ）、D （3﹣3n ，1）在反比例函数m y x=（x ＜0）的图象上可得﹣2n =3﹣3n ，即可得出答案； （2）由（1）得出B 、D 的坐标，作DE ⊥BC ．延长DE 交AB 于点F ，证△DBE ≌△FBE 得DE =FE =4，即可知点F （2，1），再利用待定系数法求解可得．【题目详解】解：（1）∵点B（﹣2，n）、D（3﹣3n，1）在反比例函数myx=（x＜0）的图象上，∴233n mn m-=⎧⎨-=⎩，解得：36nm=⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知反比例函数解析式为6yx=-，∵n=3，∴点B（﹣2，3）、D（﹣6，1），如图，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE交AB于点F，在△DBE和△FBE中，∵∠DBE=∠FBE，BE=BE，∠BED=∠BEF=90°，∴△DBE≌△FBE（ASA），∴DE=FE=4，∴点F（2，1），将点B（﹣2，3）、F（2，1）代入y=kx+b，∴2321k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴122y x=-+．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是能借助全等三角形确定一些相关线段的长．19、（1）；（2）；（3）．【解题分析】试题分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；（2）根据余切的定义得到ctan60°=，然后把tan60°=代入计算即可；（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC ﹣CH=20﹣2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．解：（1）∵BC=3，AB=5，∴AC==4，∴ctanB==；（2）ctan60°===；（3）作AH⊥BC于H，如图2，在Rt△ACH中，ctanC==2，设AH=x，则CH=2x，∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），∴BH=20﹣2×6=8，∴cosB===．考点：解直角三角形．20、（1）60，30；；（2）300；（3）1 3【解题分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【题目详解】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：560×360°=30°；故答案为60，30；（2）根据题意得：900×15+560=300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，故答案为300；（3）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A 的情况有2种，所以P （抽到女生A ）=26=13． 【题目点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21、（1）a=-1，B 坐标为（1,3）；（2）y=-（x-3）2+3，或y=-（x-7）2+3.【解题分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3,再用m 表示点C 的坐标，需分两种情况讨论，用待定系数法即可解决问题.【题目详解】（1）把点A （0,2）代入抛物线的解析式可得，2=a+3，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+3，顶点为（1,3）（2）如图，设抛物线向右平移后的解析式为y=-(x-m)2+3，由()()22133y x y x m ⎧=--+⎪⎨=--+⎪⎩解得x=12+m ∴点C 的横坐标为12+m ∵MN=m-1,四边形MDEN 是正方形，∴C （12+m ，m-1） 把C 点代入y=-（x-1）2+3，得m-1=-2 (1)4m-+3,解得m=3或-5（舍去）∴平移后的解析式为y=-（x-3）2+3，当点C在x轴的下方时，C（12+m，1-m）把C点代入y=-（x-1）2+3，得1-m=-2 (1)4m-+3,解得m=7或-1（舍去）∴平移后的解析式为y=-（x-7）2+3综上：平移后的解析式为y=-（x-3）2+3，或y=-（x-7）2+3.【题目点拨】此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知正方形的性质与函数结合进行求解.22、135°【解题分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2x，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【题目详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x ，∠CBE=∠CEB=y ，∴∠ADE=180°﹣2x ，∠BCE=180°﹣2y ，∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x ，∠BCD=225°﹣2y，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x ）=2x ﹣45°，∴2x ﹣45°=225°﹣2y ，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质.23、（1）y=-6x，y=-2x-4（2）1 【解题分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数求出m 的值，从而得到点A 的坐标以及反比例函数解析式，再将点B 坐标代入反比例函数求出n 的值，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，根据一次函数解析式求出点C 的坐标，从而得到点OC 的长度，再根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 列式计算即可得解．【题目详解】（1）将A （﹣3，m+1）代入反比例函数y=m x得， -3m =m+1， 解得m=﹣6，m+1=﹣6+1=2，所以，点A 的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣6x， 将点B （n ，﹣6）代入y=﹣6x 得，﹣6n =﹣6， 解得n=1，所以，点B 的坐标为（1，﹣6），将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得，326k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2，所以，点C 的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S △AOB =S △AOC +S △BOC ， =×2×2+×2×6，=2+6，=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24、 (1) 21262y x x =--，点D 的坐标为(2，-8) (2) 点F 的坐标为(7，92)或(5，72)(3) 菱形对角线MN 65+1651.【解题分析】分析：（1）利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，∠FAB =∠EDB ， tan ∠FAG =tan ∠BDE ，求出F 点坐标.(3)分类讨论，当MN 在x 轴上方时，在x 轴下方时分别计算MN.详解：(1)∵OB=OC =1，∴B (1，0)，C (0，-1). ∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得26b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ∵21262y x x =--=()21282x --， ∴点D 的坐标为(2，-8).(2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA =2，则AG=x +2，FG =21262x x --. ∵∠FAB =∠EDB ，∴tan ∠FAG =tan ∠BDE ，即21261222x x x --=+， 解得17x =，22x =-(舍去).当x =7时，y =92， ∴点F 的坐标为(7，92). 当点F 在x 轴下方时，设同理求得点F 的坐标为(5，72-). 综上所述，点F 的坐标为(7，92)或(5，72-). (3)∵点P 在x 轴上，∴根据菱形的对称性可知点P 的坐标为(2，0).如图，当MN 在x 轴上方时，设T 为菱形对角线的交点. ∵PQ =12MN ， ∴MT =2PT.设TP=n ，则MT =2n . ∴M (2+2n ，n ).∵点M 在抛物线上， ∴()()212222262n n n =+-+-，即2280n n --=.解得1n =2n =舍去).∴MN =2MT =4n .当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M (2+2n ，-n ).∵点M 在抛物线上， ∴()()212222262n n n -=+-+-， 即22+80n n -=.解得1n =2n =舍去).∴MN =2MT =4n 1.综上所述，菱形对角线MN 1.点睛：1.求二次函数的解析式（1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y ＝ax 2＋bx ＋c （0a ≠）.列方程组求二次函数解析式.(2)已知二次函数与x 轴的两个交点1,0x （）(2,0)x ，利用双根式，y =()()12a x x x x --（0a ≠）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,122x x x +=. 2.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标（不能写出来的，可以用字母表示），写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是解决问题的钥匙.。
深圳深圳奥斯翰外语学校数学几何模型压轴题章末训练(Word版 含解析)
深圳深圳奥斯翰外语学校数学几何模型压轴题章末训练（Word版含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）7 7【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴34PC293∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD33，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t 37（负值舍去），∴AC＝2t＝77．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为．（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=最小值32= 【解析】【分析】（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．【详解】（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF∴DE=EB∵AB=BC，∴∠DAB=45°∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)=360°－2×135°=90°∴DE⊥EB（2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H∵ME=EB，点E是AF的中点∴四边形MFBA是平行四边形∴MF∥AB，MF=AB∴∠MHB=180°－∠ABC=90°∵∠DCA=∠FCB=a∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a∵∠DCF=45°，∠CDF=90°∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a∴∠DCB=∠DFM∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形∴DC=DF，BC=AB=MF∴△DCB≌△DFM(SAS)∴∠MDF=∠BDC，DB=DM∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°∴△DMB是等腰直角三角形∵点E是MB的中点∴DE=EB，DE⊥EB（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32∴CE=CF+FE=CF+12AF 922= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：同理，CE=EF －CF 322=【点睛】 本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．4．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）．当222x =-+QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．5．两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O 处，25AB =，17CD =．保持纸片AOB 不动，将纸片COD 绕点O 逆时针旋转(090)αα<<角度，如图2所示．()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥；()2当BD 与CD 在同一直线上（如图3）时，求AC 的长和α的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）7，725． 【解析】【分析】 (1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长，证明AOC BOD ≅，得出AC=BD ， 延长BD 交AC 于E ，证明∠AEB=90︒，从而得到BD AC ⊥.(2) 如图3中，设AC=x ，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出x ，再根据sinα=sin ∠ABC=AC AB即可解决问题【详解】 ()1证明：如图2中，延长BD 交OA 于G ，交AC 于E ．∵90AOB COD ∠=∠=，∴AOC DOB ∠=∠，在AOC和BOD中，OA OBAOC BODOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD≅，∴AC BD=，CAO DBO∠=∠，∵90DBO GOB∠+∠=，∵OGB AGE∠=∠，∴90CAO AGE∠+∠=，∴90AEG∠=，∴BD AC⊥．()2解：如图3中，设AC x=，∵BD、CD在同一直线上，BD AC⊥，∴ABC是直角三角形，∴222AC BC AB+=，∴222(17)25x x++=，解得7x=，∵45ODC DBOα∠=∠+∠=，45ABC DBO∠+∠=，∴ABCα∠=∠，∴7sin sin25ACABCABα=∠==．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.6．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝3FH；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，EDO FBOOD OBEOD BOF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝3FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，DE DEEDG EDMDG DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.7．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B 是线段PA 外一点,PB=5,连接AB,将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC 的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．∴AD=BE，AD⊥BE．故答案为AD=BE，AD⊥BE．（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BCACD BCECD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为(0180)αα<<，得到矩形AEFG ，点B 、点C 、点D 的对应点分别为点E 、点F 、点G ．()1如图①，当点E 落在DC 边上时，直写出线段EC 的长度为______； ()2如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ，①求证：ACD ≌CAE ；②直接写出线段DH 的长度为______．()3如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【答案】（1）23；（2）①见解析；34②；（3）存在，PBE 的面积的最大值为21，理由见解析 【解析】【分析】 ()1如图①中，在Rt ADE 中，利用勾股定理即可解决问题；()2①证明：如图②中，根据HL 即可证明ACD ≌CAE ；②如图②中，由ACD ≌CAE ，推出ACD CAE ∠∠=，推出AH HC =，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，根据222AD DH AH +=，构建方程即可解决问题； ()3存在.如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M.由题意：PF PC 1==，由AG EF 1==，G F 90∠∠==，推出PA PE 2==PBE 12S PE BM 2=⋅⋅=，推出当BM 的值最大时，PBE 的面积最大，求出BM 的最大值即可解决问题；【详解】 ()1四边形ABCD 是矩形，AB CD 2∴==，BC AD 1==，D 90∠=，矩形AEFG 是由矩形ABCD 旋转得到，AE AB 2∴==，在Rt ADE 中，22DE 213=-=，CE 23∴=-，故答案为23-．()2①当点E 落在线段CF 上，AEC ADC 90∠∠∴==，在Rt ADC 和Rt AEC 中，{AC CACD AE ==， Rt ACD ∴≌()Rt CAE HL ；ACD ②≌CAE ，ACD CAE ∠∠∴=，AH HC ∴=，设AH HC m ==，在Rt ADH 中，222AD DH AH +=，2221(2m)m ∴+-=，5m 4∴=， 53DH 244∴=-=， 故答案为34； ()3存在．理由如下：如图③中，连接PA ，作BM PE ⊥交PE 的延长线于M ，由题意：PF PC 1==，AG EF1==，G F90∠∠==，PA PE2∴==，PBE 12S PE BM BM2∴=⋅⋅=，∴当BM的值最大时，PBE的面积最大，BM PB≤，PB AB PA≤+，PB22∴≤+，BM22∴≤+，BM∴的最大值为22+，PBE∴的面积的最大值为21+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)，()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)，(1)求的值；(2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交；(3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．【解析】试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a 2=4+2；当AN=MN 时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a 2=4﹣2； 综上所述，P 的纵坐标为0或4+2或4﹣2．考点：二次函数综合题．10．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心． （1）求证：△ABD ≌△AFE（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24S DE π=，所以利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB = ， ∴BF=42cos cos45AB ABF =∠=8，设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2=EF 2+BF 2， 82＜BE ≤413 ，∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()222844S DE x x ππ⎡⎤==+-⎣⎦=()2482x ππ-+，∵2π＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.11．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BPBP BC=，∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4， ∴DF=CD •sin60°=23CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．12．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x ，过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则MQ=OD=x ， 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴△BMQ ∽△BCA ， ∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O 与直线BC 相切； 当x ＜时，⊙O 与直线BC 相离； x ＞时，⊙O 与直线BC 相交．考点：圆的综合题．14．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ． (1)当点F 是BC 的中点时，求DHBH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长： (3)如图2．以CF 为直径作O ．①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线：②当DHBH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，3GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【解析】【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH 的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长； （2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长； （3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件． 【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ， 在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ， 111236∴=-=-=GH GF HF AF AF AF ， 在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，8BC ∴===， 则142==CF BC ，AF ∴=16∴=⨯=GH ；（2）∵四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等，∴S 四边形DCFH +DGH S=S 四边形BEGH +DGH S ， 即S 梯形DCFG =DEB S ，∵6AC =，8BC =，DE 是ABC 的中位线，∴3CD =，4DE =，∵1143622=⋅⋅=⨯⨯=DEB S DE CD ， 设2CF a =，∵DG 为ACF 的中位线， ∴12==DG CF a ， 则S 梯形DCFG ()3(2)622+⋅==+=DG CF CD a a ， 解得：43a =， 823∴==CF a ； （3）①证明：如图2，连结、CH OH ，CF 为O 的直径，O 经过点H ，90∴∠=︒FHC ，∴90∠=∠=︒AHC FHC ，AHC 为直角三角形，D 为AC 的中点，12∴==DH AC CD ， ∠∠∴=DCH DHC ．又OC OH =，∴∠=∠OCH OHC ，∴∠+=∠+OCH DCH OHC DHC ，即90∠=∠=︒DHO ACB ，∴BH BD ⊥，即BD 是O 的切线；②如图3-1，当O 与DE 相切时，O 与线段DE 有且只有一个交点，设O 的半径为r ，圆心O 到DE 的距离为d ，∴当r=d 时，O 与DE 相切， ∵//DE CF ，90ACB ∠=︒，3CD =，∴两平行线、DE CF 之间的距离为3CD =，∴3r =，则6CF =，1862,32=-=-===BF BC CF DG CF ， 由//DE CF 得：DGH BFH ，32DH DG BH BF ∴==； 如图3-2，当O 经过点E 时，连接OE 、OG ， 设O 的半径为r ，即==OE OC r ，∵G 为AF 的中点，O 为CF 的中点，∴//OG CD ，∴四边形COGD 为平行四边形，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形COGD 为矩形，∴90∠=︒DGO ，则90∠=︒OGE ，OGE 为直角三角形，∴=3=OG CD ，==DG OC r ，则4=-=-GE DE DG r ，由勾股定理得：222+=OG GE OE ，即2223(4)+-=r r ， 解得：258r =，则258==OE OC ，2524==CF r 257258,448∴=-=-===BF BC CF DG OC ，由//DE BC 得：DGH BFH，252514874∴===DH DG BH BF， 则当2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点； 综上所述，当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质与判定、中位线的性质等知识，解题的关键是灵活添加常用的辅助线，属于中考压轴题．15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与A 、B 重合），D 为的AC 中点，过点D 作弦DE ⊥AB 于F ，P 是BA 延长线上一点，且∠PEA ＝∠B ．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）连接CA 与DE 相交于点G ，CA 的延长线交PE 于H ，求证：HE ＝HG ；（3）若tan ∠P ＝512，试求AH AG的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1310AH AG =． 【解析】【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝512OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出23AEBE=，证明△PEA∽△PBE，得出23PAPE=，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：如图1，连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠B＝90°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠B+∠AEO＝90°，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEA+∠AEO＝90°，∴∠PEO＝90°，又∵OE为半径，∴PE是⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为M，∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°，∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，∴∠AOD＝∠AGF，∵∠AEB＝∠EFB＝90°，∴∠B＝∠AEF，∵∠PEA＝∠B，∴∠PEF＝2∠B，∵DE⊥AB，∴AE AD=，∴∠AOD＝2∠B，∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，∴HE＝HG；（3）解：如图3，∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，∴∠P＝∠ODF，∴tan∠P＝tan∠ODF＝512 OFDF=，设OF＝5x，则DF＝12x，∴OD22OF DF+13x，∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，∵DE⊥OA，∴EF＝DF＝12x，∴AE22AF EF+13，BE22EF BF+13，∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，∴△PEA∽△PBE，∴41323613PA AEPE BE===，∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，∴∠HEG＝∠HGE，又∵∠FAG ＝∠PAH ，∴∠P ＝∠PAH ，∴PH ＝AH ，过点H 作HK ⊥PA 于点K ，∴PK ＝AK ，∴13PK PE =， ∵tan ∠P ＝512， 设HK ＝5a ，PK ＝12a ，∴PH ＝13a ，∴AH ＝13a ，PE ＝36a ，∴HE ＝HG ＝36a ﹣13a ＝23a ，∴AG ＝GH ﹣AH ＝23a ﹣13a ＝10a ，∴13131010AH a AG a ==． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定和性质定理及方程思想是解题的关键．16．在O 中，AB 为直径，CD 与AB 相较于点H ，弧AC=弧AD（1）如图1，求证：CD AB ⊥;（2）如图2，弧BC 上有一点E ，若弧CD=弧CE ，求证：3EBA ABD ∠=∠;（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在上，连接,//FH FH DE ，延长FO 交DE 于点K ，若165,5FK DB BE ==，求AB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）185AB =． 【解析】【分析】 （1）连接,OC OD ,根据AC AD = 得出COA DOA ∠=再根据OC OD =得出。
武汉实验外国语学校初中部数学圆 几何综合(提升篇)(Word版 含解析)
武汉实验外国语学校初中部数学圆 几何综合（提升篇）（Word 版含解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．如图①，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作⊙O ，过C 作CE 切⊙O 于E ，交AB 于F ． （1）若⊙O 半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF ＝BF ，求⊙O 的半径；（3）如图②，若CE ＝CB ，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离．【答案】（1）CE ＝42；（2）⊙O 的半径为3；（3）G 、E 两点之间的距离为9.6 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE OC BC BA =，即8610r r-= 解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可. 【详解】解：（1）如图①，连接OE ，∵CE 切⊙O 于E ，∴∠OEC＝90°，∵AC＝8，⊙O的半径为2，∴OC＝6，OE＝2，∴CE＝2242OC OE-=；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22AB A C-＝6，∵AF＝BF，∴AF＝CF＝BF，∴∠ACF＝∠CAF，∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，∴∠OEC＝∠ACB，∴△OEC∽△BCA，∴OE OCBC BA=，即8610r r-=解得r＝3，∴⊙O的半径为3；（3）如图②，连接BG，OE，设EG交AC于点M，由对称性可知，CB＝CG，∵CE＝CG，∴∠EGC＝∠GEC，∵CE切⊙O于E，∴∠GEC+∠OEG＝90°，∵∠EGC+∠GMC＝90°，∴∠OEG＝∠GMC，∵∠GMC＝∠OME，∴∠OEG＝∠OME，∴OM＝OE，∴点M和点D重合，∴G、D、E三点在同一直线上，连接AE、BE，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，又CE＝CB＝CG，∴∠BEG＝90°，∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，∴A、E、B三点在同一条直线上，∴E、F两点重合，∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，∴GB GEAB AC=，即12108GE=∴GE＝9.6，故G、E两点之间的距离为9.6．【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关2．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB +∠CKB ＝90° ∴OK ⊥ACAC ＝2CK ，CK ＝BC •sin ∠OBC ＝245∴AC ＝485【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．3．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的O 过点E ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π- 【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案. 试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形 ∵90AB AEB ∠∴=︒是直径 ∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒ ∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒ ∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒ ∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．4．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，则△ABC 和△ABD 是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同族三角形；（2）如图3，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同族三角形，AD ＞CD ，求ADCD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）AD CD 62+6【解析】 【分析】(1）由点C 是弧BD 的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD ，∠BAC=∠DAC ，又由公共边AC ，可证得：△ABC 和△ACD 是同族三角形；(2）首先连接0A ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，易得△AOB 是等腰直角三角形，继而求得答案；(3)分别从当CD=CB 时与当CD=AB 时进行分析求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵点C 是弧BD 的中点，即BC CD =， ∴BC=CD ，∠BAC=∠DAC ， ∵AC=AC ，∴△ABC 和△ACD 是同族三角形.（2）解：如图1，连接OA ，OB ，作点B 作BE ⊥AC 于点E ，∵OA=OB=32，AB=6， ∴OA 2+OB 2=AB 2，∴△AOB 是等腰直角三角形，且∠AOB=90°， ∴∠C=∠AOB=45°， ∵∠BAC=30°， ∴BE=AB=3， ∴AE=22AB BE -=33，∵CE=BE=3， ∴AC=AE+CE=33+3.（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC ﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，如图2，当CD=CB 时，∠DAC=∠BAC=30°，∴∠ACD=75°，∴3，22， ∴AD 333CD 32+==622；如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，则∠DAC=∠ACB=45°，∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°， ∴DF=CD•sin60°=6×3=33， ∴AD=2DF=36， ∴AD 36CD ==62． 综上所述：AD CD =62+或6. 【点睛】本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.5．如图1，△ABC 内接于⊙O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使DF ＝2OD ，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足AG ∥BC ，连接OC ，若cos ∠BAC ＝13，BC ＝8． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径OC ；（3）如图2，⊙O 的弦AH 经过半径OC 的中点F ，连结BH 交弦CD 于点M ，连结FM ，试求出FM 的长和△AOF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】 （1）由DF=2OD ，得到OF=3OD=3OC ，求得13OE OC OC OF ==，推出△COE ∽△FOE ，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x ，OC=3x ，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案； （3）连接BD ，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF ∽△BDM ，由相似三角形的性质，得到FM 为中位线，即可求出FM 的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1） ∵DF ＝2OD ，∴OF ＝3OD ＝3OC ，∴13OE OC OC OF ==， ∵∠COE ＝∠FOC ，∴△COE ∽△FOE ， ∴∠OCF ＝∠DEC ＝90°，∴CF 是⊙O 的切线；（2）∵∠COD ＝∠BAC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，∵BC ＝8，∴CE ＝4，∵CE ⊥AD ，∴OE 2+CE 2＝OC 2，∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠，∵BC ⊥AD ， ∴AC AB =， ∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴FM=322， ∴S △AOF : S △BDM =(32:26)2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯-=； ∴S △AOF =3424⨯=32； 【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.6．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，D 长为半径作作⊙D ．⑴求证：AC 是⊙D 的切线.⑵设AC 与⊙D 切于点E ，DB=1，连接DE ，BF ，EF.①当∠BAD= 时，四边形BDEF 为菱形；②当AB= 时，△CDE 为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE 为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴DC=2设AB=x ，则AE=x∴在Rt △ABC 中，AB=x ，AC=1+x ，BC=1+2∴()222(12)1x x ++=+ ，解得x=2+1 ∴当AB=2+1时，△CDE 为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.7．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62【解析】【分析】（1）证∠ABD=∠ACB 可得；（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长.【详解】（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA∵∠ABC=∠ABD+∠EBC又∵∠CED=∠ABC∴∠ABD=∠ACB∴弧AB=弧AD（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合∵△ALB是△AHD旋转所得∴∠ABL=∠ADB，AL=AH设∠CAG=a，则∠CBG=a∵BG⊥AC∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a∴∠LAE=∠EAH=a∵LA=AH，AE=AE∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH∵HD=LB，222=+EH BE DH∴△LBE为直角三角形∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°∴∠CAG=45°（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD由（2）得∠BAD=90°∴点O在BD上设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n∴∠AEN=2n∵SQ⊥AC∴∠TAS=∠AQS=∠DQR ，AN=QD∵QU=AE∴△AEN ≌△QUD∴∠QUD=∠AEN=2n∴UD=UR=NE ，∵△ANE 的周长为20∴QD+QR=20在△DQR 中，QD=7∵∠ENR=∠UDK=∠R=n∴△NVE ≌△RKU∴NV=KR=DK=522∴BN=5∴BD=122，OB=62r =【点睛】本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是813132+，最小值是813132- 【解析】【分析】（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；（3）△ACF的面积有最大和最小值，取AB的中点G，连接FG，DE，证明△FAG～△EAD，进而证明点F在以G为圆心1为半径的圆上运动，过G作GH⊥AC于H，交⊙G于F1，GH 反向延长线交⊙G于F2，①当F在F1时，△ACF面积最小，分别求出△ACD的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF的面积的最小值；②当F在F2时，四边形ADCF的面积有最大值，在⊙G上任取异于点F2的点P，作PM⊥AC于M，作GN⊥PM于N，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF的面积的最大值．【详解】解：（1）连接线段OP交⊙C于A，点A即为所求，如图1所示；（2）过C作CP⊥AB于Q，P，交⊙C于Q，这时PQ最短．理由：分别在线段AB，⊙C上任取点P'，点Q'，连接P'，Q'，CQ'，如图2，由于CP⊥AB，根据垂线段最短，CP≤CQ'+P'Q'，∴CO+PQ≤CQ'+P'Q'，又∵CQ＝CQ'，∴PQ＜P'Q'，即PQ最短．在Rt△ABC中22228610AB AC BC=+=+=，1122ABCS AC BC AB CP ∆=•=•，∴684.810AC BCCPAB•⨯===，∴PQ＝CP﹣CQ＝6.8﹣3.6＝1.2，∴22226 4.8 3.6BP BC CP-=-=．当P在点B左侧3.6米处时，PQ长最短是1.2．（3）△ACF的面积有最大和最小值．如图3，取AB的中点G，连接FG，DE．∵∠EAF＝90°，1 tan3AEF∠=，∴13 AFAE=∵AB ＝6，AG ＝GB ，∴AC ＝GB ＝3，又∵AD ＝9，∴3193AG AD ==， ∴DAF AE AG A = ∵∠BAD ＝∠B ＝∠EAF ＝90°，∴∠FAG ＝∠EAD ，∴△FAG ～△EAD ，∴13FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3，∴FG ＝1， ∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，连接AC ，则△ACD 的面积＝692722CD AD ⨯=⨯=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值，在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 13313BC BAC AC ∠===， 在Rt △ACH 中，313913sin 3GH AG BAC =•∠== ∴11913113F H GH GF =-=-， ∴△ACF 面积有最小值是：11191327313313(1)22132AC F H -•=⨯-=； ∴四边形ADCF 面积最小值是：273138131327--+=；②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形，∴GH ＝MN ，在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°，∴PG ＞PN ，又∵F 2G ＝PG ，∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ，∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高，∴面积有最大值，∵22913113F H GH GF =+=+， ∴△ACF 面积有最大值是21191327313313(1)22AC F H +•=⨯⨯+=； ∴四边形ADCF 面积最大值是273138131327+++=； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313+，最小值是813132-． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB =．（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）33（3）51和22【解析】【分析】（1）由题意利用弦心距即可求证结果，（2）此题关键先求出AO，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，（3）分情况讨论两种情况：OE=BE时或OB=BE时两种情况，利用三角形相似即△COE~△CBO找到相似比，利用相似比求解即可．【详解】（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，∵BO平分∠ABC，∴OP=OQ，∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，∴AB= BC；（2）∵OA=OB，∴∠A=∠OBD，∵CD=CB，∴∠CDB =∠CBD，∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，∴∠AOD =∠CBO，∵OC=OB，∴∠C =∠CBO，∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，∵AO⊥OB，∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，∴∠AOD=30°，过点D作DH⊥AO，垂足为点H，∴∠AHD=∠DHO=90°，∴tan ∠AOD =HD OH =3， ∵∠AHD=∠AOB=90°，∴HD ‖OB ， ∴D AOB H AH O = ， ∵OA=OB ，∴HD=AH ，∵HD ‖OB ，∴AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，∴OE≠OB ；若OB = EB =2时，∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ，∴△COE ~△CBO ， ∴CO CE BC CO=， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，∴BC =舍去)或，∴；若OE = EB 时，∵∠EOB =∠CBO ，∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，∴∠OEB=90°，∴cos ∠CBO=EB OB =， ∵OB=2，∴ ，∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，∴．【点睛】此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．10．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE∆恰好与坐标系中的OAB∆重合，现将CDE∆绕边AB的中点(G G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180︒到△1C DE的位置．（1）求1C点的坐标；（2）求经过三点O、A、1C的抛物线的解析式；（3）如图③，G是以AB为直径的圆，过B点作G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M，使得:16:3AMF OABS S∆∆=．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13)C；（2）23333y x x=-；（3）32333y x=+；（4）1283834,,2,33M M⎛⎫⎛-⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出．（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F，B的坐标即可求出解析式．（4）当M在x轴上方或下方，分两种情况讨论．【详解】解：（1）将等边CDE∆绕边AB的中点G按顺时针方向旋转180︒到△1C DE，则有，四边形'OAC B是菱形，所以1C的横坐标为3，根据等边CDE∆的边长是2，利用等边三角形的性质可得13)C；（2）抛物线过原点(0,0)O，设抛物线解析式为2y ax bx=+，把(2,0)A，3)C'代入，得420933a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a =b =∴抛物线解析式为233y x x =-；（3）90ABF ∠=︒，60BAF ∠=︒，30AFB ∴∠=︒，又2AB =，4AF ∴=，2OF ∴=，(2,0)F ∴-， 设直线BF 的解析式为y kx b =+，把B ，(2,0)F -代入，得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得k =3b =，∴直线BF 的解析式为33y x =+；（4）①当M 在x 轴上方时，存在2()M x ，211:[4)]:[216:322AMF OAB S S ∆∆=⨯⨯⨯=， 得2280x x --=，解得14x =，22x =-，当14x =时，244y ，当12x =-时，2(2)(2)y =--=1M ∴，2(M -；②当M 在x 轴下方时，不存在，设点2()M x x ，211:[4)]:[216:322AMF OAB S S ∆∆=-⨯⨯⨯=， 得2280x x -+=，240b ac -<无解，综上所述，存在点的坐标为1M ，2(M -． 【点睛】此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．。
武汉光谷外国语学校中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编
武汉光谷外国语学校中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编一、中考几何压轴题 1．问题发现：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ， ∠BCD 的度数是 ；线段BD ，AC 之间的数量关系是 ． 类比探究：（2）在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ，请问（1）中的结论还成立吗？； 拓展延伸：（3）如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BDC ＝90°，若点P 满足PB ＝PC ，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP 的长度．2．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重合，连接AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与BE 的数量关系是________；CM 与BE 的位置关系是________； （探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=，且2NBE ABE ∠=∠，求BCBN的值． 3．将抛物线y ＝ax 2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C ：y 2＝1ax ．（概念与理解）将抛物线y 1=4x 2和y 2=x 2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C 1：_____________；C 2：____________． （猜想与证明）在平面直角坐标系中，点M （x ，0）在x 轴正半轴上，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线C 1于点A 、B ，交抛物线C 2于点C 、D ，如图3所示． （1）填空：当x =1时，AB CD =______；当x =2时，ABCD=_______； （2）猜想：对任意x （x ＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由． （探究与应用）①利用上面的结论，可得△AOB 与△COD 面积比为 ；②若△AOB 和△COD 中有一个是直角三角形时，求△COD 与△AOB 面积之差； （联想与拓展）若抛物线C 3：y 2＝mx 、C 4：y 2＝nx （0<m<n ），M （k ，0）在x 轴正半轴上，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线C 3于点A 、B ，交抛物线C 4于点C 、D ．过点A 作x 轴的平行线交抛物线C 4于点E ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线C 3于点F ．对于x 轴上任取一点P ，均有△PAE 与△PDF 面积的比值1:3，请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是______． 4．（阅读理解）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”． （深入探究）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，请说明：四边形ABCD 是“协和四边形”． （尝试应用）（2）如图2，四边形ABCD 是“协和四边形”，BD 为“协和线”，AB AD ⊥，60ADC ∠=︒，若点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，连接BE ，BF ，EF ．求： ①DEF 与BEF 的面积的比； ②EBF ∠的正弦值． （拓展应用）（3）如图3，在菱形ABCD 中，8AB =，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，点G 、K 分别在边AB 和CD 上，点N 为BE 与GF 的交点，点M 在EF 上，连接MN ，若四边形BGEF ，DHMK 都是“协和四边形”，“协和线”分别是GF 、HK ，求MN的最小值．5．综合与实践 （问题背景）如图1，矩形ABCD 中，10,8AB BC ==．点E 为边BC 上一点，沿直线DE 将矩形折叠，使点C 落在AB 边的点C '处．（问题解决）（1）填空：AC '的长为______．（2）如图2，将DC E '沿线段AB 向右平移，使点C '与点B 重合，得到,D BE D E ''''与BC 交于点F ，D B '与DE 交于点G ．求EF 的长；（拓展探究）（3）在图2中，连接,GF EE '，则四边形GEE F '是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．6．在ABC 与CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒且CAB CDE θ∠=∠=︒，点D 始终在线段AB 上（不与A 、B 重合）．（1）问题发现：如图1，若45θ=度，DBE ∠的度数______，BEAD=______； （2）类比探究：如图2，若30θ=度，试求DBE ∠的度数和BEAD的值； （3）拓展应用：在（2）的条件下，M 为DE 的中点，当23AC =时，BM 的最小值为多少？直接写出答案．7．等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC 于F ，将腰AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过C 作CE 垂直于直线BB ′，垂足为E ，连接CB ′．（1）问题发现：如图1，当40α=︒时，CB E ∠'的度数为_______；连接EF ，则EFAB '的值为________．（2）拓展探究：当0360α︒<<︒，且120α≠︒时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②解决问题：当A ，E ，F 三点共线时，请直接写出BB BE'的值．8．问题发现：（1）正方形ABCD 和正方形AEFG 如图①放置，AB ＝4，AE ＝2.5，则DGCF＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在矩形的内部，∠BPC ＝135°，求AP 长的最小值． 问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD 中，连接对角线AC 、BD ，已知AB ＝6，AC ＝CD ，∠ACD ＝90°，∠ACB ＝45°，则对角线BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ． 填空：①线段CF 与DG 的数量关系为______； ②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为_______． （2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明． （3）（解决问题）如图③，在正方形ADBC 中，AD AC =，点M 为直线BC 上异于B ，C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，若4,2AC CM ==，直接写出CN 的长．10．探究：如图1和图2，四边形ABCD 中，已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图1，若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合，直接写出线段BE 、DF 和EF 之间的数量关系____________________；②如图2，若B 、D ∠都不是直角，但满足180B D ∠+∠=︒，线段BE 、DF 和EF 之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，22AB AC ==，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，求DE 的长．11．将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,30C B E ∠=︒∠=∠=︒．（1）操作发现:如图2，固定,ABC 使DEC 绕点C 旋转，设BDC 的面积为1,S AEC 的面积为2,S 当点D 恰好落在AB 边上时，则1S 与2S 的数量关系是 ；（2）猜想论证:当DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想()1中1S 与2S 的数量关系为相等，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中BC CE 、边上的高,DM AN 、请你证明小明的猜想，即证明:12S S ．（3）拓展探究:已知60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，,4,//BD CD BE DE AB ==交BC 于点E （如图4)．若射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长．12．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．13．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转α°，得到线段AE，连接BE．（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE与AB的数量关系是．（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明．，Q为BA延长线上的一点，将（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=332QD绕点Q顺时针旋转120°，得到线段QE，DE⊥BC，求AQ的长．14．几何探究：（问题发现）（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）（类比探究）（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A 自由旋转，若22BC =，当B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．15．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，,GE BC ⊥垂足为点,E GF CD ⊥，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为_ _； （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转a 角)045(a ︒<<︒，如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若24AB EC ==，正方形CEGF 在绕点C 旋转过程中，当A E G 、、三点在一条直线上时，则BE = ．16．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEEB =DE CB．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．17．（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．例6：如图18.2.12，G、H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，E、F分别是边AB和CD的中点．图18.2.12求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：连结EF交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．又∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF．又∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO．又∵∠AOE＝∠COF,∴AOE COF≅．请补全上述问题的证明过程．．．．．．．．．．．．．（探究）如图①，在ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO 的中点，连结DE、EF，将DEF绕点O旋转180°得到DGF△，若四边形DEFG的面积为8，则ABC的面积为．（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为．18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB 的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN ＝．（1）（类比探究）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．（2）（知识迁移）如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连结PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．（3）（拓展应用）如图4，点P（a，b）是反比例函数y=2x（x＞0）上的动点，直线2y x=-+与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点．19．[探索发现]（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．[拓展应用]（3）在（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．20．如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN.（问题发现）（1）如图(2)，当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为 .（类比探究）（2）如图(3)，当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMVP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由详见解析；（3）或．【分析】（1）过点D 作DE ⊥BC ，通过线段之间的转换得到AC 与DE 之间的关系，在直角三角形BDE 中通过BD 与DE 的关系，得到BD 解析：（1）120°，BD=72AC ；（2）不成立，理由详见解析；（3）2或32． 【分析】（1）过点D 作DE ⊥BC ，通过线段之间的转换得到AC 与DE 之间的关系，在直角三角形BDE 中通过BD 与DE 的关系，得到BD,AC 之间的关系. （2）类比（1）的解法，找线段之间的关系. (3)分情况进行讨论，画出符合题意得图形进行求解. 【详解】解：（1）如图3，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，设BC=m ．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m ，3， ∵AC=AD ，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m ， ∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt △DEC 中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m ，∴CE=CD·cos60°=m ，DE=CE·tan60°3，∴在Rt △BED 中，()()2232m m +7m ，∴BD AC 7m7，故7AC ．故答案为：120°；7AC ． （2）不成立，理由如下：设BC=n ，在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m ，22， ∵AC=AD ，∠CAD=90°，∴△CAD 为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，2， ∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt △BCD 中，()222n n +5n ，∴BD AC 52n n1010．答案为：90°；10．故结论不成立． （3）AP 2或32∵PB=PC ，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A 、B 、C 、P 四点共圆，以线段BC 的中点为圆心构造⊙O ，如图4，图5，分类讨论如下： ①当点P 在直线BC 上方时，如图4，作PM ⊥AC ，垂足为M ，设PM=x ．∵PB=PC ，∠BPC=90°，∴△PBC 为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM=PM=x ，22x ， 在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∴222+452∴PC=BC·sin45°10 在Rt △PMC 中，∵∠PMC=90°，PM=x ，10，CM=4-x ，∴()222410x x +-=，解得：11x =，23x =（舍），∴2x 2②当点P 在直线BC 的下方时，如图5，作PN ⊥AB 的延长线，垂足为N ，设PN=y ． 同上可得10△PAN 为等腰三角形，∴AN=PN=y ，∴BN=y-2， 在Rt △PNB 中，∵∠PNB=90°，PN=y ，BN=y-2，10，∴()222210y y +-=，解得：13y =，21y =-（舍），∴2=32AP 2或32 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握类比思想解题是解决本题的关键．2．（1）；；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD ，得到AB=CB ，由等腰三角形BMN ，得到BM=BN ，可证明Rt △BAN ≌Rt △BCM （HL)，又根据E 是A解析：（1）2CM BE =；CM BE ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）62-【分析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD ，得到AB=CB ，由等腰三角形BMN ，得到BM=BN ，可证明Rt △BAN ≌Rt △BCM （HL)，又根据E 是AN 的中点，即可证明CM=2BE ，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM ，∠ABE+∠BMC=90∘即可证明CM ⊥BE ．（2）【探究证明】延长BE 至F 使EF= BE ，连接AF ，先证明△AEF ≌△NEB ，再证明△FAB ≌MBC ，得到CM=BF=2BE ，∠BCM=∠ABF ，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB ⊥CM ；（3）[拓展延伸] 由a=45°得到∠ABE= 15°，由前面可得∠BMC= 30°，过C 作CG ⊥MB 于G ，设CG 为m ，则2m ，3，所以3，最后求得BCBN的值．【详解】解:【观察猜想】(1)CM =2BE ；CM⊥BE；如图1所示图1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中点，∴BE=AE=NE=1AN，2∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90∘∴∠BPM=90∘∴CM⊥BE．【探究证明】(2)CM = 2BE，CM ⊥ BE仍然成立．如图2所示，延长BE至F使EF= BE，连接AF，∵AE= EN，∠AEF=∠NEB，EF= BE，∴△AEF≌△NEB∴AF= BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF= BM，∴∠FAB+∠ABN = 180°，∵∠MBN= ∠ABC= 90°，∴∠NBC+∠ABN= 90°， ∴∠NBA+∠FAD= 90°， ∴∠CBN= ∠FAD ∴∠FAB=∠MBC ， ∵AB=BC ， ∴△FAB ≌MBC ，∴CM=BF=2BE ，∠BCM=∠ABF ， ∵∠ABF+∠FBC=90° ∴∠BCM+∠EBC=90°， ∴EB ⊥CM ；[拓展延伸] (3)由a=45°得 ∠MBA=∠ABN= 45°， ∵∠NBE= 2∠ABE ， ∴ ∠ABE= 15°，由前面可得∠MCB=∠ABE= 15°，∠MBC= 135°， ∴∠BMC= 180°-15°-135°=30°， 如图3所示，过C 作CG ⊥MB 于G ，图3 设CG 为m则2，3，所以3， ∴2623BC m BM m m-==- 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．3．【概念与理解】，；【猜想与证明】（1），；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①；②△COD 与△AOB 面积之差为或；【联想与拓展】n3=9m3． 【分析】【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案解析：【概念与理解】214y x =，2y x =；【猜想与证明】（1）12，12；（2）成立，证明见解析；【探究与应用】①12；②△COD 与△AOB 面积之差为116或12；【联想与拓展】n 3=9m 3． 【分析】【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案；【猜想与证明】：（1）当x =1时，求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案；当x =2时，求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案； （2）任意x （x ＞0），求出A ，B ，C ，D 的坐标进而得出AB ,CD 即可得出答案； 【探究与应用】：①根据已知条件表示出△AOB 与△COD 面积即可得出答案； ②设M （x ，0）（x ＞0），根据已知条件可得出2CODAOBx SS-=△AOB 是直角三角形时解得14x =，当△COD 是直角三角形时，解得1x =，把x 代入即可； 【联想与拓展】：根据题意求出AEDF 的坐标然后表示出面积再利用△PAE 与△PDF 面积的比值1:3，即可得出关系式； 【详解】 【概念与理解】 ∵y 1=4x 2∴由题意可得C 1：214y x =∵y 2=x 2∴由题意可得C 2：2y x =故答案为：C 1：214y x =，C 2：2y x =； 【猜想与证明】 （1）当x =1时， ∵点A 、B 在抛物线C 1上∴令x =1，则112y =± ∴A 1(1,)2，B 1(1,)2-∴AB =1∵点C 、D 在抛物线C 2上 ∴令x =1，则21y ==± ∴C (1,1)，D (1,1)- ∴CD =2 ∴AB CD =12当x =2时，∵点A 、B 在抛物线C 1上∴令x=2，则1y==∴A，B(2,∴AB∵点C、D在抛物线C2上∴令x=2，则2y=∴C，D(2,∴CD=∴ABCD1 2 =（2）对任意x（x＞0）上述结论仍然成立理由如下：对任意x（x＞0），1y=∴A(x，B(,x∴AB对任意x（x＞0），2y=∴C(x，D(,x∴CD=∴ABCD1 2 =【探究与应用】①连接OA，OB，OC，OD12AOBS AB OM =12CODSCD OM = ∴12AOB CODS AB SCD == 故答案为：12②设M （x ，0）（x ＞0）， ∵M （x ，0） ∴114x y x = ∴AB x ∵M （x ，0）， ∴2y x =±∴CD =x ∵122AOBx xSAB OM ==1222CODx SCD OM ==∴2COD AOBx SS-=当△AOB 是直角三角形时，由题意可知OA =OB ∴△△AOB 为等腰直角三角形 ∴OM =AM∴x =解得：14x = ∴1216CODAOBx SS -== 当△COD 是直角三角形时，由题意可知OD =OC ∴△△COD 为等腰直角三角形 ∴OM=CM ∴x =解得：1x = ∴122COD AOBx SS-== 综上所述：△COD 与△AOB 面积之差为116或12 【联想与拓展】∵M （k ，0）且点A 、B 在抛物线C 3上 ∴令x =k ，则1y == ∴A (k∵AE ∥x 轴，且交C 4于点E ∴E (kmn()km AE k n-∴= ∵M （k ，0）且点C 、D 在抛物线C 4上 ∴令x =k ，则2y == ∴D (k∵DF ∥x 轴，且交C 3于点F ∴F (knm()knDF k m=∴- ∵AE ∥x 轴，且交C 4于点E∴△PEA 的高∵DF ∥x 轴，且交C 3于点F ∴△PDF 的高∴11(22PEAkm S AE km k n ==-11(22PDFknSFD kn k m==-∵△PAE 与△PDF 面积的比值1:3 ∴1(1213(2PEA PDFkmk S n knSk m-==-∴13= ∴339n m = 故答案为：339n m = 【点睛】本题考出了抛物线性质的综合运用以及旋转等知识，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．4．（1）证明见解析；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据“协和四边形”的定义即可得证；（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的解析：（1）证明见解析；（2）①3:5；；（3） 【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得,ABD CBD ADB CDB ∠=∠∠=∠，再根据“协和四边形”的定义即可得证；（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的判定定理可得ABD CBD ≅，从而可得AD CD =，再根据等边三角形的判定与性质可得,1,2B E D EF F DE D OE EF F⊥===，然后设2EF DE DF a ===，解直角三角形可得,3BD a OD ==，从而可得OB=，最后利用三角形的面积公式即可得； ②如图（见解析），设2EF DE DF a ===，先利用勾股定理可得3BF BE a ==，再利用三角形的面积公式可得577EH a =，然后根据正弦三角函数的定义即可得； （3）如图（见解析），先解直角三角形可得43BP =，再根据菱形的性质、平行线的性质可得EBF BEP ∠=∠，从而可得NEM BEP ∠=∠，然后根据垂线段最短可得当MN EF ⊥时，MN 取得最小值，最后根据相似三角形的判定与性质即可得．【详解】证明：（1）如图，连接BD ，在ABD △和CBD 中，AB BC AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABD CBD SSS ∴≅，,ABD CBD ADB CDB ∴∠=∠∠=∠，BD ∴平分ABC ∠和ADC ∠，∴四边形ABCD 是“协和四边形”；（2）①如图，设BD 与EF 相交于点O ，BD 为“协和线”，BD ∴平分ABC ∠和ADC ∠，,ABD CBD ADB CDB ∴∠=∠∠=∠，在ABD △和CBD 中，ABD CBD BD BD ADB CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABD CBD ASA ∴≅，AD CD ∴=，∵点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点， 1122DE AD DC DF ∴===， 60ADC ∠=︒，DEF ∴是等边三角形，EF DE DF ==，1,2BD EF OE EF ∴⊥=（等腰三角形的三线合一）， 设2EF DE DF a ===，则4,AD a OE a ==， ∵在Rt ABD △中，1302ADB ADC ∠=∠=︒，83cos 3AD BD a ADB ∴==∠， 在Rt DOE 中，223OD DE OE a =-=，533OB BD OD a ∴=-=， 132152DEFBEF EF OD SOD S OB EF OB ⋅∴===⋅， 即DEF 与BEF 的面积的比为3:5；②如图，过点E 作EH BF ⊥于点H ，由（2）①知，BD 垂直平分EF ，BE BF ∴=，设2EF DE DF a ===，则4,AD a OE a ==，同（2）①可得：53OB =， 22221BF BE OE OB ∴==+=， 1122BEF S EF OB BF EH =⋅=⋅， 1531221222a ∴⨯=，解得577EH a =， 则在Rt BEH 中，57537sin 142213EH EBF BE a a ∠===； （3）如图，过点B 作BP AD ⊥，交DA 延长线于点P ，120BAD ∠=︒，18060BAP BAD ∴∠=︒-∠=︒，在Rt ABP 中，3sin 843BP AB BAP =⋅∠== 四边形ABCD 是菱形， //DP BC ∴，EBF BEP ∴∠=∠，同（2）①可证：GF 垂直平分BE ， 1,2BF EF BN EN BE ∴===， EBF NEM ∴∠=∠，NEM BEP ∴∠=∠，由垂线段最短可知，当MN EF ⊥时，MN 取得最小值，在NEM 和BEP △中，90NEM BEP NME P ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩， NEM BEP ∴~，12MN EN BP BE ∴==1243=， 解得23MN =即MN 的最小值为23【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用垂线段最短得出当MN EF ⊥时，MN 取得最小值是解题关键．5．（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC ＇=DC=10，最后运用勾股定理解解析：（1）6；（2）2EF =；（3）四边形GEE F '不是平行四边形，理由见解析．【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD =AB =10,AD =BC =8，再根据折叠的性质可得DC ＇=DC =10，最后运用勾股定理解答即可；（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得6AC '=，进而求得BE 、EC ，然后连接EE '，根据平移的性质可得////EE AB CD '，进而说明FEE FCD ECD ''∽∽，最后运用相似三角形的性质解答即可；（3）先由折叠可得CDE C DE '∠=∠，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到4DD D G ''==，过点D 作D H DG '⊥于点H ，则DH HG =且DD H DEC '∽，根据相似三角形的性质可得::1:2D H DH EC DC ='=；设D H x '=，则2DH x =，在Rt DD H '中，运用勾股定理求得D H '和DH ；然后再在Rt D CF '中求得35D F '=，可以发现DG D F ≠'即GE FE ≠'，即可发现四边形GEE F '不可能是平行四边形．【详解】解：（1）如图：∵矩形ABCD 中，10,8AB BC ==∴CD =AB =10，AD =BC =8根据折叠的性质可得DC ＇=DC =10在直角三角形ADC ＇中，AC ＇=22221086DC AD -=-=＇．（2）由折叠可知：10DC DC =='．在Rt DAC '中，根据勾股定理可求得6AC '=，∴1064BC AB AC ''=-=-=．在Rt BEC '中，设BE x =，根据勾股定理，得222(8)4x x -=+，解得3x =，即3,5BE EC EC '===．如图：连接EE '，则由平移可知，4EE C B ''==，且////EE AB CD '．于是可得FEE FCD ECD ''∽∽，∴::5:101:2EF EE EC DC ==='，又∵4EE '=，∴2EF =．（3）四边形GEE F '不是平行四边形，理由如下：由折叠可知CDE C DE '∠=∠；又∵平移可知C DE BD E ∠=∠'''，且//DE D E ''，∴BD E D GD ∠='∠''，∴CDE D GD ∠=∠'，即DD G '是等腰三角形，∴4DD D G ''==．如图，过点D 作D H DG '⊥于点H ，则DH HG =且DD H DEC '∽，∴ ::1:2D H DH EC DC ='=．设D H x '=，则2DH x =，在Rt DD H '中，根据勾股定理，得222(2)4x x +=， 解得45x =∴85DH =， ∴165DG = 而在Rt D CF '中，1046,523D C DC DD CF CE EF =-=-==-=-'='， 根据勾股定理可求得35D F '=∴DG D F ≠'，即GE FE ≠'，故四边形GEE F '不可能是平行四边形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．6．（1）90度；1；（2）的度数为90度，的值为；（3）BM 的最小值为1．【分析】（1）度，利用SAS 证明，即可得出，的值为1；（2）度，证明，即可得出，；（3）当CD 最小时，即CD 垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）DBE ∠的度数为90度，BE AD 33）BM 的最小值为1．【分析】（1）45θ=度，利用SAS 证明ACD BCE ≅△△，即可得出90DBE CBA CBE ∠=∠+∠=°，BE AD的值为1； （2）30θ=度，证明BCE ACD ∽△△，即可得出90DBE DBC EBC ∠=∠+∠=︒，BE BC AD AC ===； （3）当CD 最小时，即CD 垂直于AB 时，CD 最小，此时DE 最小，而BM 是直角三角形DBE 斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【详解】（1）①∵90ACB DCE ∠=∠=︒∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠∴ACD BCE ∠=∠∵=45CAB CDE θ∠=∠=︒︒，90ACB DCE ∠=∠=︒∴=45CBA CED ∠∠=︒∴AC BC =，CD CE =∴()ACD BCE SAS ≅△△∴BE AD =，=45CBE CAD ∠∠=︒∴90DBE CBA CBE ∠=∠+∠=°，BE AD的值为1；（2）在Rt CAB △中，30CAB ∠=︒，令BC a =，则AC =，同理令CE b =，DC =∴BC a CE b =，AC a CD b = ∴BC AC CE CD=① ∵90ACB DCE ∠=∠=︒即90ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒∴ACD BCE ∠=∠②有①②得BCE ACD ∽△△∴BE BC AD AC === 30CAD ∠=︒EBC =∠∴90DBE DBC EBC ∠=∠+∠=︒（3）在Rt CDE △中，cos30CD DE ︒==，∴DE ， 当CD 最小时，即CD 垂直于AB 时，CD 最小，此时DE 最小，而AC =∴CD =而BM 是直角三角形DBE 斜边上的中线， ∴123126BM DE CD === 【点睛】本题涉及全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、特殊的三角函数值和直角三角形的性质．是一个综合性比较强的题目，要熟练掌握各个知识点．7．（1）∠CB′E=60°，；（2）①两个结论成立，理由见解析；（3）或． 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可； （2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直解析：（1）∠CB ′E =60°，32EF AB '=；（2）①两个结论成立，理由见解析；（3）333-或333+． 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可；（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②当A ，E ，F 三点共线时，分两种情况讨论，利用三角函数解答即可．【详解】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC ，∴∠ABC =∠ACB =30°，BF =FC ，根据旋转的性质得：AB =AC =AB ′，∴∠ABB ′=∠AB ′B =180402︒-︒=70°， ∵AC =AB ′，∠B ′AC =120°-40°=80°，∴∠AB ′C =218080︒-︒=50°， ∴∠CB ′E =180°-70°-50°=60°，连接EF ，∵BF =FC ，则EF 为直角三角形BEC 斜边上的中线，∴EF = BF =FC ，在Rt △ABF 中，3cos30BF AB ︒==∴32EF AB '=； （2）①两个结论成立，理由如下： 连接EF ，根据旋转的性质得：AB =AC =AB ′，等腰△ABB ′中，∠BAB ′=α，则∠AB ′B =1802α︒-=90°−12α， 等腰△AB ′C 中，∠CAB ′=α−120°，则∠AB ′C =()1801202α︒--︒=150°−12α， ∴11150906022CB E αα⎛⎫'∠=︒--︒-=︒ ⎪⎝⎭； ∵AB =AC ，AF ⊥BC ．∴∠FAC =60°，Rt △CEB ′中，CE CB '==sin 60°=32， Rt △CFA 中，CF AC =sin 60°=32， ∴CE CF CB AC='， ∵∠FCE =∠ACB ′=30°+∠ACE ，∴△CEF ~△CB ′A∴32EF CE AB CB ='='； ②当A ，E ，F 三点共线时，分以下两种情况讨论，（Ⅰ）当点E 在FA 的延长线上时，如图，由①可知，∠B '=60°，∵CE ⊥BB '，90,CEB ∴∠=︒ 而,BF CF =∴ BC =2EF =2BF ，EB =CE ，设BF =x ，则EF =CF =x ，EB =CE =2x ， 在Rt △CB 'E 中，B 'E =CE 36tan 30x ︒=， ∴BB '=EB +B 'E =3236x +， ∴32633332x BB BE x++=='； （Ⅱ）当点E 在AF 的延长线上时，如图，同理可得，∠CB 'E =60°，BC =2EF =2BF ，∵CE ⊥BB '，∴∠CEB '=∠CEB =90°，EB =CE ，设BF =x ，则EF =CF =x ，EB =CE 2x ，在Rt △CB 'E 中，B 'E =CE 6tan 30x ︒=， ∴BB '=EB -B 'E 326-， ∴3263332x BB BE x--=='； 综上，BB BE'33-33+ 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．（1）；（2）AP 的最小值为；（3）存在，BD 的最大值为6+6【分析】（1）连接AC 、AF 、DG 、CF ，证△ADG ∽△ACF ，根据线段比例关系可求；（2）以BC 为斜边作等腰直角三角形BOC ，以解析：（1）22；（2）AP 的最小值为2922-；（3）存在，BD 的最大值为62+6 【分析】（1）连接AC 、AF 、DG 、CF ，证△ADG ∽△ACF ，根据线段比例关系可求；（2）以BC 为斜边作等腰直角三角形BOC ，以O 为圆心BO 为半径画圆，则P 的运动轨迹在矩形ABCD 内的劣弧BC 上，连接AO 交弧BC 于点P ，此时AP 最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB 为斜边向下做等腰直角三角形AEB ，连接CE ，根据△DAB ∽△CAE ，得出BD =2CE ，以AB 为斜边向上做等腰直角三角形AOB ，以O 为圆心OA 为半径画圆，根据C 点的轨迹求出CE 最大值，即求出BD 最大值．【详解】解：（1）如图①，连接AC 、AF 、DG 、CF ，在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，AB =4，AE =2.5，∴AC 2，AF 2，AG =AE =2.5，AD =AB =4，∴AD AC AG AF=， 又∵∠DAG =∠DAC -∠GAC =45°-∠GAC ，∠CAF =∠GAF -∠GAC =45°-∠GAC ，∴∠DAG =∠CAF ，∴△DGA ∽△CFA ，∴242DG AD CF AC ==， 2； （2）如图②，以BC 为斜边作等腰直角三角形BOC ，以O 为圆心BO 为半径画圆，则∠BPC 作为圆周角刚好是135°，∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=22BC=22×4=22，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO为等腰直角三角形，∴BE=OE=22OB=22×22=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴22225229AO AE OE=+=+=，∵OP=OB=22，∴AP=AO-OP=29-22，即AP的最小值为29-22；（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则∠EAB =45°，AB AE∵AC =AD ，∠ACD =90°，∴DAC =45°，AD AC = ∴AB AD AE AC=，∠DAB =∠CAE =45°， ∴△DAB ∽△CAE ， ∴BD ADCE AC = ∴BD，∴当CE 最大时，BD 取最大值，以AB 为斜边向上做等腰直角三角形AOB ，以O 为圆心OA 为半径画圆，∵∠AOB =90°，∠ACB =45°，∴点C 在优弧AB 上，由图知当C 在OE 延长线C '位置时C 'E 有最大值，此时C 'E =OE +OC '，∵AB =6，△AOB 和△AEB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴四边形AOBE 为正方形，∴OE =AB =6，OC '=OA， ∴CE 的最大值为，∵BD，∴BD（）．【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．9．（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或【分析】（1）【问题发现】连接．易证，，三点共线．易知．，推出，从而得出与所夹锐角的度数；（2）【拓展探究】连接，，延长交的延长线于点，交于点解析：（1）①CF =；②45︒；（2）仍然成立，证明见解析；（3【分析】（1）【问题发现】连接AF ．易证A ，F ，C 三点共线．易知AF ．AC =，推出)CF AC AF AD AG =-=-=，从而得出CF 与DG 所夹锐角的度数；（2）【拓展探究】连接AC ，AF ，延长CF 交DG 的延长线于点K ，AG 交FK 于点O ，根据四边形的性质得到45CAD FAG ︒∠=∠=，根据,AC AF ==得到CAF DAG ∽，根据相似三角形的性质即可解决问题；（3）【解决问题】需分两种情况讨论：①当点M 在线段BC 上时，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN ，根据2AB AM AC AN ==，可得△ABM ∽△CAN ，从而得到CN=22BM ，根据4,2AC CM ==，可得到BM=AC-CM=2，从而可求出CN 的值；②当点M 在线段BC 的延长线上时，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN ，根据2AB AM AC AN ==，可得△ABM ∽△CAN ，从而得到CN=22BM ，根据4,2AC CM ==，可得到BM=AC+CM=6，从而可求出CN 的值．【详解】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF 与DG 的数量关系为2CF DG =； ②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为45︒．理由：如图①中，连接AF ．易证A ，F ，C 三点共线．∵2AF AG =．2AC AD =，∴2()2CF AC AF AD AG DG =-=-=．故答案为2CF DG =，45︒．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC ，AF ，延长CF 交DG 的延长线于点K ，AG 交FK 于点O ．∵45CAD FAG ︒∠=∠=，∴CAF DAG ∠=∠，∵2,2AC AD AF AG ==，∴2AC AF AD AG==。
成都市实验外国语学校(西区)数学几何模型压轴题章末训练(Word版 含解析)
成都市实验外国语学校（西区）数学几何模型压轴题章末训练（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ． ①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可． 【详解】 解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ， AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=， 90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==， 6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，236182c a c =⎧∴⎨++=⎩， 解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为21322y x x =-++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+， ∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩，解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+，∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+，故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，OM m ∴=，143GM m =-+，AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GM CD ∴，1OM AGMD GC∴==， 132OM MD OD ∴===，3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)，设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩，36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去）， ∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得AF FC ==同理可得AB BC ==，AB BC CF FA ∴===， ∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=， ∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ， ∴1403x -+=， 解得，x ＝12， ∴(12,0)H ，∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=， 设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-， 第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ），∴4226,55N ⎛⎫⎪⎝⎭； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩， 解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩，∴384,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫⎪⎝⎭或384,55⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．2．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ，PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）△PDQ是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析.【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+2∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．3．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF为等边三角形，∴MN为△AEF的中位线，∴MN min=EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.4．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论.（1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了.∴DA在旋转过程中所扫过的面积为.（2）∵MN∥AC，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为.(3)不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H点，则，，∴.又∵.∴．∴．又∵, ,∴．∴.∴.∴.∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化.考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质.5．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，在△BCE 和△ACG 中，，∴△BCE ≌△ACG ，∴BE=CG=2CF ，即：BE=2CF ．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．6．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE ()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a．【解析】【分析】()1如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABC≌BDE，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABC≌BDE，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC2=，由条件可以得出AFB≌BED就可以得出BF DE=，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】()1如图1，过点D作DE CB⊥交CB 的延长线于E，BED ACB90∠∠∴==，由旋转知，AB AD=，ABD90∠=，ABC DBE90∠∠∴+=，A ABC90∠∠+=，A DBE∠∠∴=，在ABC和BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AASBC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()2BCD的面积为21a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90∠∠∴==，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，AB BD∴=，ABD90∠=，ABC DBE90∠∠∴+=，A ABC90∠∠+=，A DBE∠∠∴=，在ABC和BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AAS，BC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，AFB E90∠∠∴==，11BF BC a22==，FAB ABF90∠∠∴+=，ABD90∠=，ABF DBE90∠∠∴+=，FAB EBD∠∠∴=，线段BD是由线段AB旋转得到的，AB BD∴=，在AFB和BED中，AFB E FAB EBDAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AFB∴≌()BED AAS，1BF DE a2∴==，2BCD1111S BC DE a a a2224=⋅=⋅⋅=，BCD∴的面积为21a4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.7．已知ABC∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60得到AE，连接DE．(1).如图，猜想ADE∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC∠=；（直接写出结果）②点D在运动过程中，DEC∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE+=，证明见解析；（3）①BD为2或8时，30DEC∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE=∠=，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明ABD ACE∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE=，结合图形计算即可；（3）①分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE∆≅∆得到CE BD=，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE=∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=，AD的最小值为23，∴∆的周长的最小值为423DEC+．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．8．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为(6，6)，将正方形ABCO 绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连接CH、CG．(1)求证：△CBG≌△CDG；(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；(3)连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45°；HG= HO+BG；（3）（2，0）．【解析】试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证．（2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一问的思路容易发现△CDH≌△COH，也有对应边、角相等，即OH=DH，∠OCH=∠DCH．于是∠GCH为四角的和，四角恰好组成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．（3）四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．由上几问知DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即四边形AEBD为矩形．求H点的坐标，可以设其为（x，0），则OH=x，AH=6﹣x．而BG为AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三边都可以用含x的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出x，推得H坐标．（1）证明：∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（HL）；（2）解：∵△CDG ≌△CBG ，∴∠DCG=∠BCG ，DG=BG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中， ∵，∴△CHO ≌△CHD （HL ），∴∠OCH=∠DCH ，OH=DH ，∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°，∴HG=HD+DG=HO+BG ；（3）解：四边形AEBD 可为矩形．如图，连接BD 、DA 、AE 、EB ，四边形AEBD 若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G 为AB 中点的时候．∵DG=BG ，∴DG=AG=EG=BG ，即平行四边形AEBD 对角线相等，则其为矩形，∴当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形．∵四边形DAEB 为矩形，∴AG=EG=BG=DG ．∵AB=6，∴AG=BG=3．设H 点的坐标为（x ，0），则HO=x∵OH=DH ，BG=DG ，∴HD=x ，DG=3．在Rt △HGA 中，∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x ，∴（x+3）2=32+（6﹣x ）2，解得x=2．∴H 点的坐标为（2，0）．考点：几何变换综合题．二、初三数学 圆易错题压轴题（难）9．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、PC ，设x BP =，PC y =.（1）求证：PE //DC ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605R << 【解析】【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据平行线的判定定理即可得到结论；()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到223PH x =，13BH x =，求得163CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218655PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论．【详解】 ()1证明：梯形ABCD ，AB CD =，B DCB ∠∠∴=，PB PE =，B PEB ∠∠∴=，DCB PEB ∠∠∴=，//PE CD ∴；()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．梯形ABCD 中，//AD BC ，，BC DG ⊥，BC PH ⊥，∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ， 2AD =，6BC DC ==，2BF FG GC ∴===，在Rt ABF 中，22226242AF AB BF =-=-=， //PH AF ，PH BP BH AF AB BF∴==6242x BH ==， 223PH x ∴=，13BH x =， 163CH x ∴=-， 在Rt PHC 中，22PC PH CH =+ 22221()(6)33y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ． //PE DC ，∴四边形PDME 是平行四边形． PE DM x ∴==，即 6MC x =-， PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，PB BE EC MC ∴=，即232663x x xx =--，解得：185x =， 即125BE =， 1218655PD EC ∴==-=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365R =； 即两圆相交时，3605R <<． 【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.10．已知：在△ABC 中，AB=6，BC=8，AC=10，O 为AB 边上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆交AC 于D 点，过D 作⊙O 的切线交BC 于E.（1）若O 为AB 的中点(如图1)，则ED 与EC 的大小关系为：ED EC （填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O 过BC 中点时（如图3），求CE 长.【答案】（1）ED=EC ；（2）成立；（3）3【解析】 试题分析：（1）连接OD ，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO ，即可得到∠CDE=∠C ，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．11．如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝13，BC＝8．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OC；（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．【答案】（1）见解析；（2）32332232【解析】【分析】（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得13OE OCOC OF==，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.【详解】解：（1）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴13 OE OCOC OF==，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF 是⊙O 的切线；（2）∵∠COD ＝∠BAC ，∴cos ∠BAC ＝cos ∠COE ＝13OE OC =， ∴设OE ＝x ，OC ＝3x ，∵BC ＝8，∴CE ＝4，∵CE ⊥AD ，∴OE 2+CE 2＝OC 2，∴x 2+42＝9x 2，∴x ＝2（负值已舍去），∴OC ＝3x ＝32，∴⊙O 的半径OC 为32；（3）如图，连结BD ，由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM ，2AOF ADC ∠=∠， ∵BC ⊥AD ，∴AC AB =，∴∠ADC=∠ADB ，∴2AOF ADC BDM ∠=∠=∠，∴△AOF ∽△BDM ；∵点F 是OC 的中点，∴AO ：OF=BD ：DM=2，又∵BD=DC ，∴DM=CM ，∴FM 为中位线，∴322， ∴S △AOF : S △BDM =(326 2 34=； ∵111118(322)4222222BDM BCD S S BC DE ∆∆==⨯•=⨯⨯⨯=∴S△AOF=3424=32；【点睛】本题考查了圆的综合问题，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用勾股定理求边长，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，运用属性结合的思想进行解题.12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D．⑴求证：AC是⊙D的切线.⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.【答案】（1）见解析；（2）①30°2+1【解析】【分析】(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.【详解】⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.∴DM是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；⑵①如图：∵四边形BDEF为菱形；∴△BDF是等边三角形∴∠ADB=60°∴∠BAD=90°-60°=30°∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；②∵△CDE为等腰三角形.∴DE=CE=BD=1，∴2设AB=x，则AE=x∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，2∴()222+=+，解得2+1 x x(12)1∴当2+1时，△CDE为等腰三角形.【点睛】本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.13．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若tan F＝23，AG﹣BG＝533，求ED的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1339．【解析】【分析】（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=23=BGCG，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG•AG，可得出AG的表达式（用x表示），再根据53求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】解：（1）证明：因为BE＝DE，所以∠FBD＝∠CDB，在△BCD和△DFB中：∠BCD＝∠DFB∠CDB＝∠FBDBD＝DB所以△BCD≌△DFB（AAS）．（2）证明：连接OC．因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，所以∠COB＝∠PEC，因为PE＝PC，所以∠PEC＝∠PCE，所以∠PCE＝∠COB，因为AB⊥CD于G，所以∠COB+∠OCG＝90°，所以∠OCG+∠PEC＝90°，即∠OCP＝90°，所以OC⊥PC，所以PC是圆O的切线．（3）因为直径AB⊥弦CD于G，所以BC＝BD，CG＝DG，所以∠BCD＝∠BDC，因为∠F＝∠BCD，tanF＝23，所以∠tan∠BCD＝23＝BGCG，设BG＝2x，则CG＝3x．连接AC，则∠ACB＝90°，由射影定理可知：CG2＝AG•BG，所以AG＝229922xC xG xGB==，因为AG﹣BG＝533，所以53 2392xx-=，解得x 23，所以BG＝2x 43CG＝3x＝3所以BC ＝222393CG BG +=， 所以BD ＝BC ＝239， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ，所以△DEB ∽△DBC ， 所以BDB DC DE D =， 因为CD ＝2CG ＝43，所以DE ＝21339DB CD =． 【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．14．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ∆恰好与坐标系中的OAB ∆重合，现将CDE ∆绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180︒到△1C DE 的位置．（1）求1C 点的坐标；（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式；（3）如图③，G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式；（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ∆∆=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13)C ；（2）23333y x x =-；（3）32333y x =+；（4）124,,2,33M M ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出．（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论．【详解】解：（1）将等边CDE ∆绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180︒到△1C DE ， 则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3，根据等边CDE ∆的边长是2，利用等边三角形的性质可得1C ；（2）抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，把(2,0)A，C '代入，得42093a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得a =b = ∴抛物线解析式为233y x x =-；（3）90ABF ∠=︒，60BAF ∠=︒，30AFB ∴∠=︒，又2AB =，4AF ∴=，2OF ∴=， (2,0)F ∴-，设直线BF 的解析式为y kx b =+，把B ，(2,0)F -代入，得20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得k =b = ∴直线BF的解析式为33y x =+；（4）①当M 在x 轴上方时，存在2323(,)M x x x -， 213231:[4()]:[23]16:322AMF OAB S S x x ∆∆=⨯⨯-⨯⨯=， 得2280x x --=，解得14x =，22x =-，当14x =时，23238344y =⨯-⨯=， 当12x =-时，232383(2)(2)y =⨯--⨯-=， 183(4,)M ∴，283(2,)M -； ②当M 在x 轴下方时，不存在，设点2323(,)M x x x -， 213231:[4()]:[23]16:322AMF OAB S S x x ∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=， 得2280x x -+=，240b ac -<无解，综上所述，存在点的坐标为183(4,)M ，283(2,)M -． 【点睛】此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．15．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24105MN =． 【解析】【分析】（1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．【详解】解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，∴AB ⊥CD∴∠AEC=90°；()2连接,OM ON ，∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，∴AM CM =，FN DN =，∴,OM AC ON FD ⊥⊥，∵OM=ON ，∴M N ∠=∠，∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，MPC NQD ∴∠=∠；()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，。
北京力迈外国语学校中考数学几何综合压轴题模拟专题
北京力迈外国语学校中考数学几何综合压轴题模拟专题一、中考几何压轴题1．问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ACN ＝ °．类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使AM ＝MN ，连接CN ．添加一个条件，使得∠ABC ＝∠ACN 仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．2．（问题发现）（1）如图1所示，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 在BC 边上，且3BD CD =，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接DE 、BE ，BE BD +的值为______；（类比探究）（2）如图2所示，在（1）的条件下，点P 为AB 的中点，3BD CD =，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，连接BE ，则BE BD +的值会发生改变吗？说明你的理由； （拓展延伸）（3）如图3所示，在钝角ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点P 在边BA 的延长线上，BP k =，连接PD ．将线段PD 绕着点P 顺时针旋转，旋转角EPD α∠=，连接DE ，则BD BE +=______（请用含有k ，α的式子表示）．3．综合与实践动手操作利用旋转开展教学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．如图1，将等腰直角三角形ABC 的AB 边绕点B 顺时针旋转90°得到线段A B '，90ACB ∠=︒，1AC =，连接A C '，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ．思考探索（1）在图1中：①求证：ABC A BH '≌△△；②A BC '的面积为______；③tan A CB '∠=______．拓展延伸（2）如图2，若ABC 为任意直角三角形，90ACB ∠=︒．BC 、AC 、AB 分别用a 、b 、c 表示．请用a 、b 、c 表示：①A BC '的面积：______；②A C '的长：______；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，AB A B '⊥，10AB =，12BC =，5A B '=，连接A C '．①A BC '的面积为______；②点D 是BC 边的高上的一点，当AD =______时，A D DB '+有最小值______． 4．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．（观察猜想）（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BC BN的值． 5．（1）问题探究：如图1，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，连接BD 、CE ，试探究线段BD 与CE 的数量关系，并说明理由．（2）类比延伸如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，连接BD ，CE ，试确定BD 与CE 的数量关系，并说明理由．（3）拓展迁移如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，CD ＝4，若将线段DA 绕点D 按逆时针方向旋转90°得到DA′，连接BA′，求线段BA′的长．6．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB 与△EFC 全等，∠ADB ＝∠EFC ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝6．将直角边AD 和EF 重合摆放．点P 、Q 分别为BE 、AF 的中点，连接PQ ，如图1．则△APQ 的形状为 ．操作探究（1）若将△EFC 绕点C 顺时针旋转45°，点P 恰好落在AD 上，BE 与AC 交于点G ，连接PF ，如图2．①FG ：GA ＝ ；②PF 与DC 的位置关系为 ；③求PQ 的长；开放拓展（2）若△EFC 绕点C 旋转一周，当AC ⊥CF 时，∠AEC 为 ．7．已知：60AOC BOC ∠=∠=︒，过平面内一点P 分别向OA 、OB 、OC 画垂线，垂足分别为D 、E 、F ．（问题引入）如图①，当点P 在射线OC 上时，求证：OD OE =．（类比探究）（1）如图②，当点P 在AOC ∠内部，点E 在射线OB 上时，求证：OD OE OF +=．（2）当点P 在AOC ∠内部，点E 在射线OB 的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段OD 、OE 、OF 之间的数量关系．（知识拓展）如图④，AB 、CD 、EF 是O 的三条弦，都经过圆内一点P ，且60FPD BPD ∠=∠=︒．判断PA PD PE ++与PB PC PF ++的数量关系，并证明你的结论．8．（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ． 填空：①∠AEB 的度数为 ；②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ．（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．9．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 在斜边AB 上，点D ､E ､F 分别是线段PA ､PB ､PC 的中点，易知DEF 是直角三角形．现把DEF 以点P 为中心，顺时针旋转α，其中0360α︒<<︒．连接AD ､BE ､CF ．（1）操作发现如图2，若点P 是AB 的中点，连接PF ，可以发现=AD CF ______CF BE =______； （2）类比探究如图3，Rt ABC 中，CP AB ⊥于点P ，请判断AD CF 与CF BE的大小，结合图2说明理由； （3）拓展提高在（2）的条件下，如果30CAB ∠=︒，且4AB =，在DEF 旋转的过程中，当以点C ､D ､F ､P 四点为顶点的四边形与以点B ､E ､F ､P 四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD ､CF ､BE 的长．10．△ABC 中，∠BAC=α°，AB=AC ，D 是BC 上一点，将AD 绕点A 顺时针旋转α°，得到线段AE ，连接BE ．（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE 与AB 的数量关系是 ．（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE 与AB 的数量关系，并证明．（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=332，Q 为BA 延长线上的一点，将QD 绕点Q 顺时针旋转120°，得到线段QE ，DE ⊥BC ，求AQ 的长．11．将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,30C B E ∠=︒∠=∠=︒．（1）操作发现:如图2，固定,ABC 使DEC 绕点C 旋转，设BDC 的面积为1,S AEC 的面积为2,S 当点D 恰好落在AB 边上时，则1S 与2S 的数量关系是 ；（2）猜想论证:当DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想()1中1S 与2S 的数量关系为相等，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中BC CE 、边上的高,DM AN 、请你证明小明的猜想，即证明:12S S ．（3）拓展探究:已知60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，,4,//BD CD BE DE AB ==交BC 于点E （如图4)．若射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =△△，请直接写出相应的BF 的长．12．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．（1）概念理解：如图1，四边形ABCD 中，F 为CD 的中点，90ADB ∠=︒，E 是AB 边上一点，满足DE AE =，试判断EF 是否为四边形ABCD 的准中位线，并说明理由．（2）问题探究：如图2，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点E 以每秒1个单位的速度，从点A 出发向点C 运动，动点F 以每秒6个单位的速度，从点C 出发沿射线CB 运动，当点E 运动至点C 时，两点同时停止运动．D 为线段AB 上任意一点，连接并延长CD ，射线CD 与点,,,A B E F 构成的四边形的两边分别相交于点,M N ，设运动时间为t ．问t 为何值时，MN 为点,,,A B E F 构成的四边形的准中位线．（3）应用拓展：如图3，EF 为四边形ABCD 的准中位线，AB CD =，延长FE 分别与BA ，CD 的延长线交于点,M N ，请找出图中与M ∠相等的角并证明．13．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，ED 交直线AB 于点O ，连接BE ．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D 在边BC 上，猜想：①AF 与BE 的数量关系是 ；②∠ABE ＝ 度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D 在边BC 上，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D 在射线BC 上，且BD ＝3CD ，若AB ＝8，请直接写出BE 的长．14．如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 的中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ 与BO 的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB ∆的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求PQB ∆的面积．15．如图1所示，边长为4的正方形ABCD 与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．（问题发现）如图1所示，AE 与BF 的数量关系为________；（类比探究）如图2所示，将正方形CFEG 绕点C 旋转，旋转角为()030αα<<︒，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；（拓展延伸）若点F 为BC 的中点，且在正方形CFEG 的旋转过程中，有点A 、F 、G 在一条直线上，直接写出此时线段AG 的长度为________16．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．17．问题情境：两张直角三角形纸片中，90BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ，过点A 作BD 的垂线，分别交线段BD ，CE 于点M ，N （ABC ∆与ADE ∆在直线MN 异侧）．特例分析：（1）如图1，当AB AC AD AE ===时，求证：2BD AN =；拓展探究：（2）当12AB AD AC AE ==，探究下列问题： ①如图2，当AB AD =时，直接写出线段BD 与AN 之间的数量关系： ； ②如图3，当AB AD ≠时，猜想BD 与AN 之间的数量关系，并说明理由；推广应用：（3）若图3中，AB AD k AC AE==，设ABD ∆的面积为S ，则ACE ∆的面积为 ．（用含k ，s 的式子表示）18．探究：如图①和②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B 、∠ADC 都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，则能得EF=BE+DF ，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF ；（3）拓展：如图③，在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=22D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE 的长．19．如图l，在正方形ABCD ABCD中，8AB=AB=8，点E E在AC AC上，且22AE=，⊥于点E，交AB于点F，连接CF，DE．AE=过E点作EF AC22（问题发现）（1）线段DE与CF的数量关系是________，直线DE与CF所夹锐角的度数是___________；（拓展探究）（2）当AEF∆绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（解决问题）（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．20．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．（1）60；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN ，再利用SAS 可证明≌，继而得出结论；解析：（1）60；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，进而得到∠BAM=∠CAN ，再利用SAS 可证明BAM ≌CAN △，继而得出结论；（2）也可以通过证明BAM ≌CAN △，得出结论，和（1）的思路完全一样； （3）当∠ABC ＝∠AMN 时，ABC ∽AMN ，利用相似的性质得到AB AC AM AN =，又根据∠BAM ＝∠CAN ，证得BAM ∽CAN △，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ABC 、AMN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，∵在BAM 和CAN △中，AB AC BAM CAN AM AN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴BAM ≌CAN △（SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ；∵ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）结论∠ACN ＝60°仍成立．理由如下：∵ABC 、AMN 都是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴BAM ≌CAN △，∴∠ACN ＝∠ABM ＝60°．（3）添加条件：∠ABC ＝∠AMN ．理由如下：∵BA ＝BC ，MA ＝MN ，∠ABC ＝∠AMN ，∴∠BAC ＝∠MAN ，∴ABC ∽AMN ，∴AB AC AM AN=． 又∠BAM ＝∠BAC －∠MAC ，∠CAN ＝∠MAN －∠MAC ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴BAM ∽CAN △，∴∠ABC ＝∠ACN ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等的条件，利用全等的性质证明结论．2．（1）；（2）BE+BD 的值不会发生改变，理由见解答；（3）2k•sin【分析】（1）只要证明，即可解决问题；（2）如图2中，作交于，过点作交于．利用（1）中结论即可解决问题； （3）如图③中解析：（1）42；（2）BE +BD 的值不会发生改变，理由见解答；（3）2k •sin2α 【分析】（1）只要证明BAE CAD ∆≅∆，即可解决问题；（2）如图2中，作//DM AC 交AB 于M ，过点P 作//PN BC 交MD 于N ．利用（1）中结论即可解决问题；（3）如图③中，作//PH AC 交BC 的延长线于H ，作PM BC ⊥于M ．只要证明EPB DPH ∆≅∆，可证BD BE BH +=，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，90EAD BAC ∠=∠=︒，BAE CAD ∴∠=∠，AD AE =，AB AC =，()BAE CAD SAS ∴∆≅∆，BE DC ∴=，BE BD BD DC BC ∴+=+=，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，42BC ∴=42BE BD ∴+=，故答案为：42．（2）BE BD +的值不会发生改变，理由如下：作//DM AC 交AB 于M ，过点P 作//PN BC 交MD 于N ，AB AC =，90BAC ∠=︒，45ABC C ∴∠=∠=︒，//MD AC ，90BMD BAC ∴∠=∠=︒，BMD ∴∆是等腰直角三角形，DM BM ∴=，//PN BC ，45MPN ABC ∴∠=∠=︒， PMN ∴∆是等腰直角三角形，PM NM ∴=，BM PM DM NM ∴-=-， PB DN ∴=，由（1），知42BC =3BD CD =，32BD ∴=cos453BM BD ∴=⋅︒=，P 为AB 边上的中点，122AP BP AB ∴===， 321MN PM BM BP ∴==-=-=，222PN MN PM ∴+=90BPE DPM ∠+∠=︒，90PDM DPM ∠+∠=︒，BPE PDM ∴∠=∠，PD PE =，()PBE DNP SAS ∴∆≅∆，2BE PN ∴==23242BE BD ∴+=（3）如图3中，作//PH AC 交BC 的延长线于H ，作PM BC ⊥于M ．//AC PH ，ACB H ∴∠=∠，BPH BAC α∠=∠=，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，PBH H ∴∠=∠，PB PH ∴=，EPD BPH α∠=∠=，BPE HPD ∴∠=∠，PE PD =，PB PH =，()EPB DPH SAS ∴∆≅∆，BE DH ∴=，BE BD BD DH BH ∴+=+=， =PB PH ，PM BH ⊥，BM MH ∴=，BPM HPM ∠=∠，sin 2BM MH BP α∴==⋅．2sin 2BD BE BH k α∴+==⋅． 故答案为：2sin2k α⋅．【点睛】 本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（1）①见解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋转的性质，，然后利用AAS ，即可得到结论成立；②求出，即可求出面积；③求出，即可求出答案；（2）①过点作交延长线解析：（1）①见解析；②12；③12；（2）①22a ；2222a ab b ++3）①24；②558，265 【分析】（1）①由旋转的性质，AB A B '=，然后利用AAS ，即可得到结论成立；②求出1AC A H '==，即可求出面积；③求出2CH =，即可求出答案；（2）①过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ，由（1）可知ABC A BH '≌△△，求出A H '的长度，即可求出答案；②求出CH 的长度，利用勾股定理，即可求出答案；（3）①过点A 作AE ⊥BC ，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ，然后证明ABE BA H '△△，求出A H '，CH 的长度，即可求出面积；②点C 是点B 关于AE 的对称点，则BD =CD ，设A C '与AE 的交点为点D ，使得A D DB '+有最小值为，为线段A C '的长度，然后利用勾股定理求出A C '，再利用平行线分线段成比例求出DE 的长度即可． 【详解】解：（1）如图：①由旋转的性质，则AB A B '=，90ABA '∠=︒，∵90ACB A HB '∠=∠=︒，∴90ABC A ABC A BH '∠+∠=∠+∠=︒，∴A A BH '∠=∠，∴ABC A BH '≌△△（AAS ）；②∵1AC BC ==，∴1A H BH '==，∴A BC '的面积为111122⨯⨯=； 故答案为：12．③在直角三角形A CH '中，∵112CH =+=，1A H '=，∴1tan 2A H A CB CH ''∠==； 故答案为：12．（2）①过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ，由（1）可知，ABC BA H '≌△△， ∴A H BC a '==，BH AC b ==，∴A BC '的面积为：211222a BC A H a a '•=••= 故答案为：22a ； ②∵CH BC BH ab =+=+， 由勾股定理，则222222()22A C CH A H a b a a ab b ''=+=++=++；故答案为：2222a ab b ++；（3）①过点A 作AE ⊥BC ，过点A '作A H CB '⊥交CB 延长线于点H ，如图与（1）同理，可证BAE A BH '∠=∠，∵90AEB A HB '∠=∠=︒，∴ABE BA H '△△，∴AB BE AE BA A H BH==''， ∵AB AC =，10AB =，12BC =，5A B '=，∴1112622BE BC ==⨯=； ∴221068AE -=，∴10685A H BH=='， ∴3A H '=，4BH =，∴12416CH BC BH =+=+=，∴A BC '的面积为：11•1231822CB A H =⨯⨯'=；故答案为：18．②由题意，点C 是点B 关于AE 的对称点，则BD =CD ，设A C '与AE 的交点为点D ，则此时A D DB '+有最小值，如图：此时A D DB '+的最小值为线段A C '的长度， ∵22316265A C '+∵AE ∥A H '， ∴CE DE CH A H ='，即6163DE =， ∴98DE =， ∴955888AD =-=， ∴当558AD =时，A D DB '+265． 故答案为：558265 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．4．（1）CM=2BE ，CM ⊥BE ；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）设证明，由点是的中点，得到，进而求解；（2）证明和，得到，，进而求解；（3）证明，过点作于点，设，则，，则，即可求解析：（1）CM =2BE ，CM ⊥BE ；（2）成立，理由见解析；（362+【分析】（1）设证明()ABN CBM SAS ∆≅∆，由点E 是AN 的中点，得到1122BE AN CM ==，进而求解；（2）证明()AEF NEB SAS ∆≅∆和()FAB MBC SAS ∆≅∆，得到2CM BF BE ==，BCM ABF ∠=∠，进而求解；（3）证明30BMC ∠=︒，过点C 作CG MB ⊥于点G ，设CG m =，则2BC m ，3MG m =，则3MB BN m m =-，即可求解．【详解】解：（1）设AN 交CM 于点H ，BMN ∆为等腰直角三角形，BM BN ∴=，AB BC =，90ABN CBM ∠=∠=︒，()ABN CBM SAS ∴∆≅∆，AN CM ∴=，BAN BCM ∠=∠，点E 是AN 的中点，则1122BE AN CM ==，即2CM BE =，EBN ENB ∴∠=∠，90HBC HCB ANB BNA ∴∠+∠=∠+∠=︒， 即CM BE ⊥，故答案为：2CM BE =，CM ⊥BE ；（2）2CM BE =，CM BE ⊥，仍然成立．如图所示，延长BE 至F 使EF BE =，连接AF ，AE EN =，AEF NEB ∠=∠，()AEF NEB SAS ∴≅△△，AF BN ∴=，F EBN ∠=∠，//AF BN ∴，AF BM =，180FAB ABN ∴∠+∠=︒，而9090180MBC ABN ABC ABM ABN ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，FAB MBC ∴∠=∠，AB BC =，BM BN AF ==，()FAB MBC SAS ∴≅△△，2CM BF BE ∴==，BCM ABF ∠=∠，90ABF FBC ∠+∠=︒，90BCM FBC ∴∠+∠=︒，BE CM ∴⊥；（3）由45α=︒得45MBA ABN ∠=∠=︒，2NBE ABE ∠=∠，则15ABE ∠=︒，由（2）知15MCB ABE ∠=∠=︒，135MBC ∠=︒，30BMC ∴∠=︒，过点C 作CG MB ⊥于点G ，设CG m =，则2BC m =，3MG m =，3MB BN m m ∴=-， ∴2623BC m BN m m+- 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、直角三角形中线定理、解直角三角形、三角形全等等，综合性强，难度较大．5．（1）BD ＝CE ；理由见解析；（2）BD ＝2CE ，理由见解析；（3）A′B ＝．【分析】（1）由等边三角形的性质得AC=AB ，AE=AD ，∠EAD=∠CAB=60°，则∠EAC=∠DAB ，再证△E解析：（1）BD ＝CE ；理由见解析；（2）BD ＝2CE ，理由见解析；（3）A ′B ＝42【分析】（1）由等边三角形的性质得AC =AB ，AE =AD ，∠EAD =∠CAB =60°，则∠EAC =∠DAB ，再证△EAC ≌△DAB （SAS ），即可得出结论；（2）证△EAD ∽△CAB ，得到AE AC AD AB =，则△EAC ∽△DAB ，得BD AD CE AE==2，即可得出结论；（3）先证明△ABC 和△AA′D 为等腰直角三角形，得2AB AC =∠A ′AB =∠DAC ，从而可证明△CAD ∽△BAA '，最后利用相似三角形的性质可求得A ′B 的长度．【详解】解：（1）∵△ABC 、△ADE 均为等边三角形，∴AC ＝AB ，AE ＝AD ，∠EAD ＝∠CAB ＝60°，∴∠EAC ＝60°﹣∠CAD ，∠DAB ＝60°﹣∠CAD ，∴∠EAC ＝∠DAB ，在△EAC 与△DAB 中，,AE AD EAC DAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△DAB ，∴BD ＝CE ；（2）BD ＝2CE ，理由：∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，∴∠EAD ＝∠CAB ＝60°，AD ＝2AE ，AB ＝2AC ，∴∠EAC ＝∠DAB ，△EAD ∽△CAB ， ∴AE AC AD AB =，∴△EAC ∽△DAB ，∴2BD AD CE AE==， ∴BD ＝2CE ；（3）连接A ′A ，如图③，∵AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴2AB AC= ∵将线段DA 绕点D 按逆时针方形旋转90°得到DA ′∴△AA ′D 为等腰直角三角形．∴△ABC ∽△AA ′D ．∴AA AB AD AC ='． ∴AA AD AB AC='． 又∵∠CAB ＝∠A ′AD ，∴∠A ′AB ＝∠DAC ，∴△CAD ∽△BAA ′．∴A B AB CD AC ='，即24A B '= ∴A ′B ＝42【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证得相似三角形是解题的关键．6．等腰直角三角形；（1）①1：；②互相平行；③；（2）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根据三角形的中位线定理得出PQ//BD，PQ=，结合已知即可得出答案；（1）①先根据勾股定理得出EF解析：等腰直角三角形；（1）①1；②互相平行；③32）22.5°或67.5°【分析】特例感知：根据三角形的中位线定理得出PQ//BD，PQ=12BD，结合已知即可得出答案；（1）①先根据勾股定理得出EF=△EGF∽△BGA得出FG EFAG AB=，从而得出FG：GA的值；②过P作PM//BC交CE与点M，再证得F在PM上即可；③根据三角形的中位线定理得出PD//CE，结合已知得出P在AD上，得出PQ=12AF，再利用勾股定理得出PQ的长；（2）分点F在BC的下方和上方两种情况加以讨论即可【详解】解：特例感知：∵P、Q分别为BE、AF的中点，∴PQ//BD，PQ=12BD，∵△ABD是等腰直角三角形，∴△APQ为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（1）①∵AB=6，∠B=45°，∠ADB=90°，∴AB=，∴AD=BD=∴EF=∵∠BFC=∠BAC=90°，∴∠GFE=∠BAG，∵∠AGP=∠EGF，∴∠ABQ=∠GBF，∴△EGF∽△BGA，∴FG EF AG AB =， ∴3221622FG EF AG AB ==== 故答案为：1:2；②如图，过P 作PM //BC 交CE 与点M ，∴11EM EP CM BP ==， ∴EM =CM∴FM //BC ，∴F 在PM 上，∴PF ∥CD ，故答案为：平行；③∵BP =PE ，BD =CD ，∴DP 为△BCE 的中位线，∴PD //CE ，∵CE ⊥BC ，∴PD ⊥BC ，又∵AD ⊥BC ，∴P 在AD 上，∠APF =∠ADC =90°，∵Q 为AF 的中点，∴PQ =12AF ， 又∵∠B =45°，∠ADB =90°，∴232EF AB == ∴FC =EF =32∴AF =AC -CF =6-32∴PQ =12AF =323；（2）当点F在BC的下方时，如图∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠BCF=45°，∴点E在BC边上，由旋转的性质可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=67.5°当点F在BC的上方时，如图∵AC⊥CF∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∠FCE=45°，∴点E在BC边的延长线上，∴∠ACE=135°，由旋转的性质可得AC=CE，∴∠AEC=∠CAE=22.5°【点睛】本题考查了几何变换---旋转综合题，涉及到勾股定理、三角形中位线以及相似三角形的性质和判定，清楚准确的分析出旋转的过程是解题的关键7．【问题引入】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）图见解析，；【知识拓展】，证明见解析【分析】[问题引入]利用AAS 证明△POE ≌△POD ，即可得出结论；[类比探究]（1）过点F 作FN解析：【问题引入】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）图见解析，OD OE OF -=；【知识拓展】PA PD PE PB PC PF ++=++，证明见解析【分析】[问题引入]利用AAS 证明△POE ≌△POD ，即可得出结论；[类比探究]（1）过点F 作FN ⊥OB ，FM ⊥OA ，垂足分别为N 、M ，FM 与PE 交于点Q ，先证明△PFQ 为等边三角形，得出FG =PH ，再运用矩形性质得出OM =12OF ，ON =12OF ，即可证得结论； （2）作FN ⊥OB 于点N ，FM ⊥OA 于点M ，射线FM 交PE 于点Q ，作PH ⊥FQ 于点H ，FG ⊥PQ 于点G ，同（1）可证：NE =FG =PH =MD ，ON =OM =12OF ，即可得出结论；[知识拓展]过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥EF ，OQ ⊥CD ，垂足分别为M 、N 、Q ，利用垂径定理可得出PB -PA =2PM ，PF -PE =2PN ，PD -PC =2PQ ，再运用[类比探究]得：PM +PN =PQ ，从而证得结论．【详解】[问题引入]证明：∵AOC BOC ∠=∠，PE OB ⊥，PD OA ⊥，∴90OEP ODP ∠=∠=︒．∵OC OC =，∴OEP ODP ≅△△．∴OD OE =．[类比探究]（1）过点F 作FN OB ⊥，FM OA ⊥，垂足分别为N 、M ，FM 与PE 交于点Q ．∵60AOC BOC ∠=∠=︒，PE OB ⊥，PD OA ⊥，则PFQ △为等边三角形，FQ 、PQ 边上的高相等，即FG PH =．在矩形EGFN 、矩形DPHM 中，有NE FG =，MD PH =，∴EN MD =．∴OD OE OM ON +=+．∵90FMO ∠=︒，60FOM ∠=︒， ∴1cos 2OM OF FOM OF =⋅∠=， 同理，12ON OF =， ∴OM ON OF +=，∴OD OE OF +=．（2）结论：OD OE OF -=．作FN OB ⊥于点N ，FM OA ⊥于点M ，射线FM 与PE 的交点为Q ，作PH FQ ⊥于点H ，FG PQ ⊥于点G ，同（1）可证NE FG PH MD ===，12ON OM OF ==， ∴OF OM ON OD MD NE OE OD OE =+=-+-=-．[知识拓展]数量关系：PA PD PE PB PC PF ++=++．理由如下：过点O 作OM AB ⊥，ON EF ⊥，OQ CD ⊥，垂足分别为M 、N 、Q ．由垂径定理可得AM BM =．∴()()2PB PA PM MB MA PM PM -=+--=．同理2PF PE PN -=，2PD PC PQ -=，由[类比探究]得PM PN PQ +=，∴222PM PN PQ +=，∴PB PA PF PE PD PC -+-=-．∴PA PD PE PB PC PF ++=++．【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，角平分线性质，矩形性质，垂径定理等，熟练掌握全等三角形判定和性质及垂径定理等相关知识是解题关键．8．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE ，证明见解析；（3），【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD=BE ，∠ADC=∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB =90°，AE =2CM +BE ，证明见解析；（3）【分析】（1）由条件易证△ACD ≌△BCE ，从而得到：AD =BE ，∠ADC =∠BEC ．由点A ，D ，E 在同一直线上可求出∠ADC ，从而可以求出∠AEB 的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB 的度数，证出AD =BE ；由△DCE 为等腰直角三角形及CM 为△DCE 中DE 边上的高可得CM =DM =ME ，从而证到AE =2CH +BE ．（3）由PD =1可得：点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD =90°可得：点P 在以BD 为直径的圆上．显然，点P 是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1．∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =60°．故答案为：60°．②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ．故答案为：AD =BE ．（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD =BE ，∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE =∠CED =45°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =135°，∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =90°．∵CD =CE ，CM ⊥DE ，∴DM =ME ．∵∠DCE =90°，∴DM =ME =CM ，∴AE =AD +DE =BE +2CM ．（3）点A 到BP 的距离为312-或312+．理由如下： ∵PD =1， ∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD =90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴点P 是这两圆的交点．①当点P 在如图3①所示位置时，连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ，过点A 作AE ⊥AP ，交BP 于点E ，如图3①．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB =45°．AB =AD =DC =BC =2，∠BAD =90°，∴BD =2．∵DP =1，∴BP =3．∵∠BPD =∠BAD =90°，∴A 、P 、D 、B 在以BD 为直径的圆上，∴∠APB =∠ADB =45°，∴△PAE 是等腰直角三角形．又∵△BAD 是等腰直角三角形，点B 、E 、P 共线，AH ⊥BP ，∴由（2）中的结论可得：BP =2AH +PD ，∴3=2AH +1，∴AH =312-．②当点P 在如图3②所示位置时，连接PD 、PB 、PA ，作AH ⊥BP ，垂足为H ，过点A 作AE ⊥AP ，交PB 的延长线于点E ，如图3②．同理可得：BP =2AH ﹣PD ， ∴3=2AH ﹣1，∴AH =312+． 综上所述：点A 到BP 的距离为312-或312+． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． 9．（1）1，1；（2）结论：，理由见解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图3中，连接．利用相似三角形的性质解决问题即可． 解析：（1）1，1；（2）结论：AD CF CF BE =，理由见解析；（3）3BE =，32CF =，33AD =． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质以及全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：AD CF CF BE=．如图3中，连接PF ．利用相似三角形的性质解决问题即可． （3）分两种情形：如图41-中，当//PC DF 时，满足条件，如图42-中，当点D 落在AC 上时，四边形CDPF 是矩形，四边形PEBF 是矩形，分别求解即可．【详解】解：（1）如图2中，连接PF ，BE ．90ACB ∠=︒，AP PB =，PC PA PB ∴==，90DFE ∠=︒，PD PE =，PF PD PE ∴==，APC DPF ∠=∠，APD CPF ∴∠=∠，()APD CPF SAS ∴△≌△，AD CF ∴=， ∴1AD CF =， 同法可证，BPE CPF △≌△，CF BE ∴=，∴1CF BE=． 故答案为1，1． （2）结论：AD CF CF BE =． 理由：如图3中，连接PF ．PC AB ⊥，PF DE ⊥，90APC DPF ∴∠=∠=︒，APC DPF △∽△，∴AP PC DP PF=， ∴AP DP PC PF =，90APC DPF ∠=∠=︒，APD CPF ∴∠=∠， ∴AD PA CF PC =， 同法可证，CPF BPE △∽△，∴CF PC BE PB=， 90ACB ∠=︒，CP AB ⊥，APC CPB ∴△∽△，∴PA PC PC PB =， ∴AD CF CF BE=． （3）如图41-中，当//PC DF 时，30CAB ∠=︒，90APC ∠=︒，12PC AC ∴=， 12DF AC =， DF PC ∴=，∴四边形PCFD 是平行四边形，90EFD ∠=︒，EF DF ∴⊥，EF PC ∴⊥，PC AB ⊥，//PB EF ∴，同法可证，12BP EF BC ==，∴四边形PBEF 是平行四边形，//BE PF ∴，90BEP EPF ∴∠=∠=︒，4AB =，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，122BC AB ∴==， CP AB ⊥，60ABC ∠=︒，90CPB ∴∠=︒，30PCB ∠=︒， 112PB PB ∴==， 60EPB DEF ∠=∠=︒，3sin 602BE PB ∴=︒=， 由（2）可知，3AD CF AP CF BE PC ===， 32CF ∴=，332AD =． 如图42-中，当点D 落在AC 上时，四边形CDPF 是矩形，四边形PEBF 是矩形，此时3BE PF = 由（2）可知，3AD CF AP CF BE PC === 32CF ∴=，33AD =． 综上所述，3BE =32CF =，33AD =． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．10．（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据SAS 可证△ABE ≌△ACD ，进而可得BE=CD ，结合BD+CD=BC 可得BD+ BE=BC ，再根据等腰直角三角形中BC=即可证得；（2）过点A解析：（1）2BD BE AB +；（2）3BD BE +，见解析；（3）12【分析】（1）根据SAS 可证△ABE ≌△ACD ，进而可得BE=CD ，结合BD+CD=BC 可得BD+ BE=BC ，再根据等腰直角三角形中BC=2AB 即可证得2BD BE AB +=；（2）过点A 作AH ⊥BC ，根据∠BAC=120°，AB=AC 可得∠ABC=30°，12BH BC =，则3BC AB =，由（1）可知BD+ BE=BC ，由此即可得3BD BE AB +=； （3）过Q 点作QF ∥AC 交BC 延长线于点F ，先证∠BQF =120°，BQ=QF ，进而可由（2）同理可知，△QBE ≌△QFD ，3BD BE BQ +=，进而可证得60EBD ∠=︒，再根据cos ∠EBD=BD BE=cos60°=12可求得3223332BE BD ==⨯=，进而求得92BQ =，最后根据AQ=BQ －AB 即可得到答案．【详解】解：（1）2BD BE AB +=理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE 与△ACD 中，AB AC EAB DAC AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴BE=CD ，∵BD+CD=BC∴BD+ BE=BC∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，∴BC=2AB∴BD+ BE=2AB ；（2）结论：3BD BE AB +=，理由如下：过点A 作AH ⊥BC ，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，12BH BC =。
北京中国人民大学附属外国语中学数学几何模型压轴题章末练习卷(Word版 含解析)
北京中国人民大学附属外国语中学数学几何模型压轴题章末练习卷（Word 版 含解析）一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．2．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】【分析】（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．【详解】解：（1）结论：DE＝2DG．理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝2DG．（2）如图2中，结论成立．理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE2DG．（3）①如图3﹣1中，当E，F，C共线时，在Rt △ADC 中，AC ＝22AD CD +＝2255+＝52，在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7，∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，∴CG ＝12CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°， ∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4，∴DE ＝2DG ＝42．②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．综上所述，DE 的长为2或2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；（2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）2452cm；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x xyx x x⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B''△成为等腰三角形的x的值有：0秒、32669-．【解析】【分析】（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10B D BD cm''==，2CD B D BC cm'=''-=，利用B D A∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；（2）分类讨论，当165x≤<时和当1645x≤≤时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB A B'=''时；当AA A B'=''时；当AB AA'='时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）6AB cm=，8AD cm=，10BD cm∴=，根据旋转的性质可知10B D BD cm''==，2CD B D BC cm'=''-=，tanA B CEB D AA D CD'''''∠=='''，682CE∴=，32CE cm∴=，()28634522222A B CE A B D CEDS S S cm''''''⨯∴==-⨯÷=-；（2）①当165x≤<时，22CD x'=+，32CE x=，233+22CD ES x x'∴=△，22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+； ②当1645x ≤≤时，102BC x =-，()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+． （3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2236AN A N +'=，222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：669x -=秒，（669x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：32x =秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、669-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．4．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161A EEC=-，求nm的值．（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持BE nBG m=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5π；（2）3；（3）存在，63+【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；（2）由△BCE∽△BA2D2，推出222A DCE nCB A B m==，可得CE=2nm，由161A EEC=-推出16A CEC=，推出A1C=26nm•，推出BH=A1C=26nm•，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到33FGFFM FED==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.【详解】解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．∴AD=HA1=n=1，在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°，∴旋转角为30°，∵BD=22125+=，∴D 到点D 1所经过路径的长度=3055ππ⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2， ∴222A D CE n CB A B m==， ∴2n CE m=， ∵161EA EC=-， ∴16A C EC=， ∴A 1C=26n m⋅， ∴BH=A 1C=2226n m n m -=⋅， ∴42226n m n m -=⋅， ∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，∴242416n n m m-=•， ∴3n m =（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；由（2）可知，3BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形，∴FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，∴∠DFG=∠MFE ，∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，∴∠FDG=∠FME ，∴△FDG ∽△FME ，∴FG F FM FE D ==，∵∠DFM=90°，tan 3FD FMD FM ∠==， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，∴FM DM =；在矩形ABCD 中，有AD AB ==3AD =， ∵MN ⊥AB ，∴四边形ANMD 是矩形，∴MN=AD=3，∵∠NPM=∠DMF=30°，∴PM=2MN=6，∴NP=AB =，∴DM=AN=BP=2，∴2FM DM ===∴6PF PM MF =+=+【点睛】本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.5．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF 为正三角形．又H为EF中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN最小，只有△HMN是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF为等边三角形，∴MN为△AEF的中位线，∴MN min=EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.6．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴EG=m+3m=（1+3）m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+=3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246mEHEB m+==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，7．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，90ACB∠=，BC a=，将边AB绕点B 顺时针旋转90得到线段BD，连接.CD求证：BCD的面积为21.(2a提示：过点D作BC 边上的高DE，可证ABC≌)BDE()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC中，90ACB∠=，BC a=，将边AB绕点B顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ． 【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()2BCD的面积为21a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90∠∠∴==，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，AB BD∴=，ABD90∠=，ABC DBE90∠∠∴+=，A ABC90∠∠+=，A DBE∠∠∴=，在ABC和BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AAS，BC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，AFB E90∠∠∴==，11BF BC a22==，FAB ABF 90∠∠∴+=，ABD 90∠=， ABF DBE 90∠∠∴+=， FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.8．已知：△ABC 和△ADE 均为等边三角形，连接BE ，CD ，点F ，G ，H 分别为DE ，BE ，CD 中点．（1）当△ADE 绕点A 旋转时，如图1，则△FGH 的形状为 ，说明理由；（2）在△ADE 旋转的过程中，当B ，D ，E 三点共线时，如图2，若AB =3，AD =2，求线段FH 的长；（3）在△ADE 旋转的过程中，若AB =a ，AD =b （a ＞b ＞0），则△FGH 的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）△FGH 是等边三角形；（2）612；（3）△FGH 的周长最大值为32（a+b），最小值为32（a﹣b）．【解析】试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；（3）首先证明△GFH的周长=3GF=32BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=12BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=12EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．（2）如图2中，连接AF、EC．易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF2221-3，在Rt△ABF中，BF22AB AF-6，∴BD=CE=BF﹣DF61，∴FH=12EC=612．（3）存在．理由如下．由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=12BD，∴△GFH的周长=3GF=32BD，在△ABD中，AB =a ，AD =b ，∴BD 的最小值为a ﹣b ，最大值为a +b ，∴△FGH 的周长最大值为32（a +b ），最小值为32（a ﹣b ）． 点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．二、初三数学 圆易错题压轴题（难）9．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3331331+- 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒∵OA=OC∴OAC OCA∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31+ 设AF=x在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+-解得：331x +=∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=- 解得：331x -=∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.10．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==11．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.（1）求的取值范围；（2）当矩形的对角线长为时，求的值；（3）当为何值时，矩形变为正方形？题乙：如图，是直径，于点，交于点，且．（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当，时，求的面积．【答案】题甲（1）（2）（3）题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=【解析】试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；由得（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方程的两根，则；因为，所以；解得由得（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中，所以OB⊥BD；BD是切线（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得OF=；根据题意，，则，所以，从而，解得DF=，的面积=考点：直线与圆相切，相似三角形点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q 也停止运动，设DP=m．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10﹣433时，⊙O 与△ABC 的边相切．②点F 的运动路径的长为1136+572． 【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553AC BC EP AB ⨯⨯===3tan30(2)3EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin603OB ON ==， 4310AO ∴=-， 43123AP ∴=-， 432123m ∴+=-， 4310m ∴=-， 综上所述,当m =1或4或4310-时，O 与△ABC 的边相切。
成都树德中学(外国语校区)中考数学几何综合压轴题模拟专题
成都树德中学(外国语校区)中考数学几何综合压轴题模拟专题一、中考几何压轴题1．（问题情境）在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝α（0°＜α＜180°），点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转得到线段PQ 旋转角为α，连接CQ ．（特例分析）（1）当α＝90°，点P 在线段BC 上时，过P 作PF ∥AC 交直线AB 于点F ，如图①，易得图中与△APF 全等的一个三角形是 ，∠ACQ ＝ °．（拓展探究）（2）当点P 在BC 延长线上，AB ：AC ＝m ：n 时，如图②，试求线段BP 与CQ 的比值；（问题解决）（3）当点P 在直线BC 上，α＝60°，∠APB ＝30°，CP ＝4时，请直接写出线段CQ 的长．2．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AFEF =，求CD CG的值．（1）尝试探究在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，CDCG的值是_________． （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CD CG的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，//DC AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若ABaCD=，BCbBE=，()0,0a b>>，则AFEF的值是________（用含a、b的代数式表示）．3．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ AE⊥于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF AE⊥．求证：FG AE=；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，23BCAB=将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，若34BEBF=，10GF=CP的长．4．（1）问题发现如图1，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠ABC ＝∠ADE ＝α，∠ACB ＝∠AED ＝β，直线BD ，CE 交于点F ，AC 与BD 相交于点G ．若AB ＝kAC ，试判断线段BD 和CE 的数量关系以及直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3.0），点N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转90得到线段MP ，连接NP ，OP ．请直接写出线段OP 长度的最小值及此时点N 的坐标．5．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 上的点，且FG AE ⊥，求证：FG AE =；（2）类比应用：如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC =，FG AE ⊥，将矩形ABCD 沿FG 折叠使点A 落在E 点处，得到矩形FEPG ．①若点E 为BC 的中点，试探究FG 与AF 的数量关系； ②拓展延伸：连CP ，当32n =时，210GF =34tan CGP ∠=，求CP 的长． 6．综合与实践背景阅读：“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形ABCD 中，点O 是线段BC 上的一个动点，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．设旋转角为α（0180α<<︒）．操作猜想：（1）如图1，若点O 是BC 中点，在正方形ABCD 绕点旋转过程中，连接AA '，BB '，DD '，则线段AA '与DD '的数量关系是_______；线段AA '与BB '的数量关系是________．探究验证：（2）如图2，在（1）的条件下，在正方形ABCD 绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '，B ．判断四边形''BB CC 的形状，并说明理由．拓展延伸：（3）如图3，若2BO CO =，在正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转的过程中，设直线BB '交线段AA '于点P ．连接OP ，并过点O 作OQ BB '⊥于点Q ．请你补全图形，并直接写出OPOQ的值． 7．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ ⊥AE 于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF ⊥AE ． ①求证：DQ ＝AE ； ②推断：GFAE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BCAB＝k （k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP ＝34，GF ＝10CP 的长．8．（问题探究）（1）如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系？并加以证明． ②若AC ＝BC ＝10，DC ＝CE ＝2，求线段AD 的长． （拓展延伸）（2）如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝21，BC ＝7，CD ＝3，CE ＝1．将△DCE 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．9．（发现问题）（1）如图1， 已知CAB ∆和CDE ∆均为等边三角形，D 在AC 上，E 在CB 上， 易得线段AD 和BE 的数量关系是 ．（2）将图1中的CDE ∆绕点C 旋转到图2的位置， 直线AD 和直线BE 交于点F ①判断线段AD 和BE 的数量关系，并证明你的结论．②图2中AFB ∠的度数是 ．（3）（探究拓展）如图3，若CAB ∆和CDE ∆均为等腰直角三角形，90ABC DEC ∠=∠=，AB BC =，DE EC =， 直线AD 和直线BE 交于点F ， 分别写出AFB ∠的度数， 线段AD 、BE 之间的数量关系 ．10．等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AF ⊥BC 于F ，将腰AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过C 作CE 垂直于直线BB ′，垂足为E ，连接CB ′．（1）问题发现：如图1，当40α=︒时，CB E ∠'的度数为_______；连接EF ，则EFAB '的值为________．（2）拓展探究：当0360α︒<<︒，且120α≠︒时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②解决问题：当A ，E ，F 三点共线时，请直接写出BB BE'的值．11．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ．①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．12．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（问题理解）(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ． 求证：四边形ABCD 是等补四边形； （拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由； （升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长．13．如图1，在菱形ABCD 中，4,120AD B ︒=∠=，点E ，F 分别是AC ，AB 上的点，且1,232AE AD AF ==，猜想：①DECF的值是_______； ②直线DE 与直线CF 所成的角中较小的角的度数是_______．（2）类比探究：如图2，将绕AEF ∆点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由． （3）拓展延伸：在AEF ∆绕点A 旋转的过程中，当,,D E F 三点共线时，请直接写出CF 的长． 14．综合与实践问题情境：△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是射线AD 上的一个动点(不与点A 重合)将线段AE 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF ，连接CF 交线段AB 于点G ，交AD 于点H 、连接EG ．特例分析:(1)如图1，当点E 与点D 重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答： ①求证：AF=CD ；②用等式表示线段CG 与EG 之间的数量关系为：_______；拓展探究:(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG．请你证明；(3)如图3，当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，EGCF的值为_______；推广应用:(4)当点E在射线AD上运动时，AE mAD n，则EGCF的值为______用含m.n的式子表示)．15．（1）问题发现如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是．（2）拓展探究如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE ＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）解决问题如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以3cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的动点，DE⊥BC于点E，连接AE，CD，点F，G，H分别是AE，CD，AC的中点．（1）观察猜想：△FGH的形状是（2）探究论证：把△BDE绕点B按逆时针方向旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展延伸：把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若BC=6，BE=2，请直接写出△FGH 周长的取值范围．17．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．18．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB 与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE 的长．19．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积；（4）拓展延伸：在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．20．综合与实践操作探究（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接ME ．①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______；②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______；③ME 的最小值为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1．（1）△PQC ，90；（2）；（3）线段CQ 的长为2或8．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，PF ∥AC ，得到△BPF 是等腰直角三角形，证明AF ＝CP ，利用旋转的旋转证明AP ＝PQ ，∠PAF解析：（1）△PQC ，90；（2）BP m CQ n=；（3）线段CQ 的长为2或8． 【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，PF ∥AC ，得到△BPF 是等腰直角三角形，证明AF ＝CP ，利用旋转的旋转证明AP ＝PQ ，∠PAF ＝∠QPC ，从而可得结论，（2）过P 作PF ∥AC ，交BA 的延长线于F ，则BA BC AF CP =，再证明△AFP ≌△PCQ ，利用△ABC ∽△FBP 的性质可得答案，（3）分情况讨论：当P 在CB 的延长线上时，证明△APC ≌△QPC ，利用等边三角形的性质可得答案，当P 在BC 的延长线上时，连接AQ ，利用等边三角形的性质，证明△ACQ ≌△PCQ ，从而可得答案．【详解】解：（1）如图①，∵∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵PF ∥AC ，∴∠BPF ＝∠BFP ＝45°，∴△BPF 是等腰直角三角形，∴BF ＝BP ，∴AF ＝CP ，由旋转可得，AP ＝PQ ，∠APQ ＝90°，而∠BPF ＝45°，∴∠QPC ＝45°﹣∠APF ，又∵∠PAF ＝∠PFB ﹣∠APF ＝45°﹣∠APF ，∴∠PAF ＝∠QPC ，∴△APF ≌△PQC ，∴∠PCQ ＝∠AFP ＝135°，又∵∠ACB ＝45°，∴∠ACQ ＝90°，故答案为：△PQC ，90；（2）如图②，过P 作PF ∥AC ，交BA 的延长线于F ，则BA BC AF CP=， 又∵AB ＝BC ，∴AF ＝CP ， 又∵∠FAP ＝∠ABC +∠APB ＝α+∠APB ，∠CPQ ＝∠APQ +∠APB ＝α+∠APB ，∴∠FAP ＝∠CPQ ，由旋转可得，PA ＝PQ ，∴△AFP ≌△PCQ ，∴FP ＝CQ ，∵PF ∥AC ，∴△ABC ∽△FBP ， ∴BP FP BC AC =， ,BP BC FP AC∴= ∴.BP BP BC AB m CQ FP AC AC n==== （3）如图，当P 在CB 的延长线上时，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝1PC＝2，2∴QC＝AC＝BC＝2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∠AQP＝30°，∴∠AQC＝∠PQC＝12∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．综上所述，线段CQ 的长为2或8．【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 2．（1）；；；（2）；（3）．【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最解析：（1）3AB EH =；2CG EH =；32；（2）2m ；（3）ab ． 【分析】（1）本问体现“特殊”的情形，3AF EF =是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，AF m EF =不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．【详解】解：（1）依题意，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，如图1所示．则有ABF EHF ， ∴3AB AF EH EF==， ∴3AB EH =． ∵ABCD ，//EH AB ， ∴//EH CD ，又∵E 为BC 中点，∴EH 为BCG 的中位线，∴2CG EH =．3322CD AB EH CG CG EH ===． 故答案为：3AB EH =；2CG EH =；32． （2）如图2所示，作//EH AB 交BG 于点H ，则EFH AFB △△． ∴AB AF m EH EF==，∴AB mEH =．∵AB CD =，∴CD mEH =．∵////EH AB CD ，∴BEH BCG △△． ∴2CG BC EH BE ==， ∴2CG EH =． ∴22CD mEH m CG EH ==． 故答案为：2m ． （3）如图3所示，过点E 作//EH AB 交BD 的延长线于点H ，则有////EH AB CD ． ∵//EH CD ，∴BCD BEH △△，∴=CD BC b EH BE=， ∴CD bEH =． 又AB a CD =， ∴AB aCD abEH ==．∵//EH AB ，∴ABF EHF ， ∴==AF AB abEH ab EF EH EH=． 故答案为：ab ．【点睛】本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．3．（1）见解析；（2）；见解析；（3）【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GM解析：（1）见解析；（2）23GFAE；见解析；（3955【分析】（1）先△ABE≌△DAQ，可得AE＝DQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GM⊥AB于M．然后证明△ABE∽△GMF即可解决问题；（3）如图3中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【详解】（1）如图（1），∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四边形DQFG是平行四边形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）23 GFAE．理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD 是矩形，∴GM ＝AD ，∴GF ：AE ＝AD ：AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ，∴GF ：AE ＝BC ：AB ， ∵23BC AB =， ∴23GF AE =． （3）解：如图（3）中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．由BE ：BF ＝3：4 ，设BE ＝3k ，BF ＝4k ，则EF ＝AF ＝5k ，∵23GF AE =，210GF = ∴AE ＝310在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得222BE AB AE +=，∴222(3k)(9k)(310)+=∴k ＝1或﹣1（舍去），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB +∠PEM ＝90°，∠PEM +∠EPM ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ， ∴FB FE BE EM EP PM ==， ∴4536EM PM==， ∴EM ＝245 ，PM ＝185， ∴CM ＝EM ﹣EC ＝245﹣3＝95， ∴PC=【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．4．（1）BD ＝CE ，BD ⊥CE ，理由见详解；（2）AB=kAC ， 180°-α-β；（3）N(0，3)，OP 的最小值为3【分析】（1）先证明△ABD ≌△ACE ，从而得BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ACE解析：（1）BD ＝CE ，BD ⊥CE ，理由见详解；（2）AB =kAC ， 180°-α-β；（3）N (0，3)，OP 的最小值为3【分析】（1）先证明△ABD ≌△ACE ，从而得BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ACE ，结合∠AGB ＝∠FGC ，即可得到结论；（2）先证明ABC ∽ADE ，从而得AB AD AC AE =，结合∠BAD =∠CAE ，可得BAD∽CAE ，进而即可得到结论；（3）把OPM 绕点M 顺时针旋转90°得到O P M '' （P '与N 重合），则OM O M '⊥，OM O M '=，O '(3，3)，OP O P ''=，进而即可求解．【详解】解：（1）BD ＝CE ，BD ⊥CE ，∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∵∠BAD ＝∠BAC −∠DAC ，∠CAE ＝∠DAE −∠DAC∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ACE ，∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠CFG ＝∠BAG ＝90°，即BD ⊥CE ，故答案是：BD ＝CE ，BD ⊥CE ；（2）∵∠ABC ＝∠ADE ＝α，∠ACB ＝∠AED ＝β， ∴ABC ∽ADE ， ∴AB AD AC AE=， ∵∠ABC ＝∠ADE ＝α，∠ACB ＝∠AED ＝β，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴BAD ∽CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，BD AB k CE AC == 又∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠BFC =∠BAC =180°-∠ABC -∠ACB =180°-α-β，∴AB =kAC ，直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数为：180°-α-β；（3）由题意得：MN =MP ，∠NMP =90°，把OPM 绕点M 顺时针旋转90°得到O P M '' （P '与N 重合），则OM O M '⊥，OM O M '=，∵点M 的坐标为（3，0），∴O '(3，3)∵OPM ≌O P M ''，∴OP O P ''=，即线段OP 长度最小时，O P ''的长度最小，∴当O P ''⊥y 轴时，O P ''的长度最小，此时P '(0，3)，∴N (0，3)，OP 的最小值为3 .【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键．5．（1）见解析；（2）①；②【分析】（1）过点作于，证，即可证得；（2）①设，则，利用勾股定理求得，再利用勾股定理表示出，再证明，可得，由此可得，进而可求得答案；②过点P 作于点，先由①得，再证解析：（1）见解析；（2）①2414AF n FG +=；②955CP = 【分析】（1）过点G 作GH AB ⊥于H ，证ABE GHF ≅，即可证得FG AE =；（2）①设AF EF x ==，则FB AB AF nBC x =-=-，利用勾股定理求得2418n x BC AF n +=⋅=，再利用勾股定理表示出2221()4AE n BC =+，再证明ABE GHF ，可得AE AB AB n FG GH BC===，由此可得222n FG AE =，进而可求得答案； ②过点P 作PM BC ⊥于点M ，先由①得33102AE FG ==，再证明∠BFE ＝∠CGP ，可得34BE tan BFE BF ∠==，进而利用勾股定理可求得3BE =，4BF =，9AB =，最后根据BEF MPE △△，可得EF BF BE PE ME MP ==，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点G 作GH AB ⊥于H ，则∠AHG ＝∠FHG ＝90°，∵在正方形ABCD 中，∴∠HAD ＝∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝AB ，∴四边形AHGD 为矩形，∴AD ＝HG ，∴AB ＝HG ，∵FG AE ⊥，∴∠FQA ＝90°，∴∠AFQ ＋∠BAE ＝90°，∵∠FHG ＝90°，∴∠BAE ＝∠FGH ，∴在ABE △与GHF △中BAE HGF AB HGB FHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE GHF ≅（ASA ），∴FG AE =；()2①∵点E 为BC 的中点， ∴12BE CE BC ==， ∵折叠，∴设AF EF x ==，∴FB AB AF nBC x =-=-，在Rt BFE 中，BF 2＋BE 2＝EF 2，∴()2221()2nBC x BC x -+=， 解得：2418n x BC AF n+=⋅=， 又∵222AE AB BE =+，∴2221()4AE n BC =+， 如图，过点G 作GH AB ⊥于H ，则∠AHG ＝∠FHG ＝90°，∵在矩形ABCD 中，∴∠HAD ＝∠BCD ＝∠B ＝90°，∴四边形AHGD 为矩形，∴BC ＝HG ，∵∠FHG ＝90°，∴∠AFQ ＋∠FGH ＝90°，∵FG AE ⊥，∴∠FQA ＝90°，∴∠BAE ＝∠FGH ，又∵∠FHG ＝∠D ＝90°，∴ABE GHF ， AE AB AB n FG GH BC ∴===， AE nFG ∴=，222n FG AE ∴=，22221()4n FG n BC +∴=， 2222414n FG BC n +∴=⋅， 又∵2418n AF BC n+=⋅， 22222(41)64n AF BC n +∴=⋅， ∴2224116AF n FG +=， ∴2414AF n FG +=； ②如图，过点P 作PM BC ⊥于点M ，∵210GF =32n =， ∴由①得33102AE FG == ∵∠EPG ＝∠GCE ＝90°，∠EOC ＝∠GOP ，∴∠CGP ＝∠OEC ，∵∠FEP ＝∠B ＝90°，∴∠OEC ＋∠BEF ＝90°，∠BFE ＋∠BEF ＝90°，∴∠BFE ＝∠OEC ，∴∠BFE ＝∠CGP ，又∵34tan CGP ∠=， ∴34BE tan BFE BF ∠==， ∴设3BE x =，4BF x =，则5EF AF x ==，9AB x =，()()(22293x x ∴+=， 解得：1x =，3BE ∴=，4BF =，9AB =，263BC AB ∴==， 3CE ∴=，6PE AD ==，90FEP FAD ∠=∠=︒，BEFMPE ∴， EF BF BE PE ME MP∴==， 5436ME MP∴==， 245ME ∴=，185MP =， 249355CM ∴=-=，CP ∴==【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，题目综合性较强，有一定的难度，熟练掌握并灵活运用相关知识是解决本题的关键．6．（1）；；（2）矩形，见解析；（3）见解析，．【分析】（1）如图，连接OA 、OA′、OD 、OD′，根据旋转的性质可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根据勾股定理可得OA=O解析：（1）AA DD ''=；AA ''=；（2）矩形，见解析；（3）见解析，OP OQ 【分析】（1）如图，连接OA 、OA ′、OD 、OD ′，根据旋转的性质可得OA =OA ′、OD =OD ′，∠AOA ′=∠DOD ′=α，根据勾股定理可得OA =OD ，利用SAS 可证明△AOA ′≌△DO D′，根据全等三角形的性质可得AA ′=DD ′，根据旋转的性质可得∠BOB ′=α，根据OB OB OA OA'='△OAA ′∽△OBB ′，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据旋转的性质可得BC B C ''=，OB OB '=，OC OC '=，根据点O 是BC 中点即可得出OB OC OB OC ''===，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可证明四边形''BB CC 是矩形；（3）根据题意，补全图形，连接OA 、OA ′，作AM ⊥BP 于M ，A ′N ⊥BP 于N ，根据勾股定理可得132OA OA OB ''==，根据平角的定义及直角三角形两锐角互余的性质可得''ABM A B N ∠=∠，利用AAS 可证明△ABM ≌△A ′B ′N ，可得AM =A ′N ，利用AAS 可证明△APM ≌△A ′PN ，可得AP A P '=，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠A ′OP =12∠AOA ′=12α，∠QOB ′=1122BOB α'∠=，根据角的和差关系可得∠POQ =∠A ′OB ′，即可证明△OQP ∽△OB ′A ′，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】（1）如图，连接OA 、OA ′、OD 、OD ′，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，旋转角为α，∴OA =OA ′、OD =OD ′，∠AOA ′=∠DOD ′=α，∴△AOA ′≌△DO D′，∴AA ′=DD ′，∵点O 是BC 中点，∴OB =1122BC AB =， ∴OA =225OB AB OB +=，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，旋转角为α，∴∠BOB ′=∠AOA ′=α，∵5OB OB OA OA'=='， ∴△OAA ′∽△OBB ′，∴''AA OA BB OB==5， ∴5AA BB ''=，故答案为：AA DD ''=；5AA BB ''=（2）四边形''BB CC 是矩形；理由如下：∵正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''，∴BC B C ''=，OB OB '=，OC OC '=，∵点O 是BC 中点，∴OB OC OB OC ''===四边形''BB CC 是平行四边形，∵BC B C ''=，∴四边形''BB CC 是矩形．（3）如图，补全图形如下：连接OA 、OA ′，作AM ⊥BP 于M ，A ′N ⊥BP 于N ，∵2BO CO =，∴AB =BC =32OB ， ∴OA ′=OA 2213AB OB +'13， ∵∠OB ′A ′=90°， ∴'''90A B N OB B ∠+∠=︒，∵'OB OB =，∴''OB B OBB ∠=∠，∵'90ABM OBB ∠+∠=︒，∴ABM A B N ''∠=∠，∵''AB A B =，''AMB A NB ∠=∠，∴△ABM ≌△A ′B ′N ，∴AM =A ′N （AAS ），∵''AMB A NB ∠=∠，'APM A PN ∠=∠，∴△APM ≌△A ′PN ，∴AP=A′P ，∵OA =OA ′，∴∠A ′OP =12∠AOA ′=12α， ∵OB =OB ′，OQ ⊥BB ′，∴∠QOB ′='1122BOB α∠=， ∴∠QOB ′+∠B ′OP =∠A ′OP +∠B ′OP ，即∠POQ =∠A ′OB ′，∵∠OQP =∠OB ′A ′=90°，∴△OQP ∽△OB ′A ′，∴''13 2OP OAOQ OB==．【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定定理并正确作出辅助线构造全等三角形及相似三角形是解题关键．7．（1）①见解析；②1；（2）＝k，理由见解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD ＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠解析：（1）①见解析；②1；（2）FGAE＝k，理由见解析；（3955【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：FGAE＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【详解】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（A S A），∴AE＝DQ．②解：结论：GFAE＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴GFAE＝1．故答案为1．（2）解：结论：FGk AE=．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GFAE ＝GMAB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF AD BC kAE AB AB===．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB ∥GC ，FE ∥GP ，∴∠CGP ＝∠BFE ，∴tan ∠CGP ＝tan ∠BFE ＝34BE BF=， ∴可以假设BE ＝3k ，BF ＝4k ，EF ＝AF ＝5k ， ∵FG AE ＝23，FG ＝10， ∴AE ＝10∴（3k ）2+（9k ）2＝（102，∴k ＝1或﹣1（舍弃），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB +∠PEM ＝90°，∠PEM +∠EPM ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ， ∴EF PE ＝BF EM ＝BE PM ， ∴5436EM PM==， ∴2418,55EM PM ==， ∴249553CM EM EC =-=-=， ∴22955PC CM PM =+=【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．（1）①，证明见解析；②4；（2）画图见解析，或【分析】（1）①由“”可证，可得，可得；②过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似解析：（1）①AD BD ⊥，证明见解析；②4；（2）画图见解析，33或23【分析】（1）①由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得45ADC BEC ∠=∠=︒，可得AD BD ⊥；②过点C 作CF AD ⊥于点F ，由勾股定理可求DF ，CF ，AF 的长，即可求AD 的长； （2）分点D 在BC 左侧和BC 右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）ABC ∆和DEC ∆均为等腰直角三角形，AC BC ∴=，CE CD =，45ABC DEC CDE ∠=∠=︒=∠，90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，且AC BC =，CE CD =，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，45ADC BEC ∴∠=∠=︒，90ADE ADC CDE ∴∠=∠+∠=︒，AD BD ∴⊥，故答案为：AD BD ⊥；②如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，45ADC ∠=︒，CF AD ⊥，2CD =，1DF CF ∴==，223AF AC CF ∴-=，4AD AF DF ∴=+=，故答案为：4；（2）若点D 在BC 右侧，如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．ACD BCE ∠∠∴=，3AC CD BC CE==， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=， 3CD =，1CE =，222DE DC CE ∴=+=，ADC BEC ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，DCE CFD ∴∆∆∽，∴DE DC CE DC CF DF==， 即2313CF DF ==， 32CF ∴=，32DF =， 22532AF AC CF ∴=-=， 33AD DF AF ∴=+=，若点D 在BC 左侧，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC 7BC =3CD =1CE =．ACD BCE ∠∠∴=，3AC CD BC CE=， ACD BCE ∴∆∆∽， ADC BEC ∠∠∴=，CED CDF ∴∠=∠，3CD =1CE =，2DE ∴，CED CDF ∠=∠，90DCE CFD ∠=∠=︒，DCE CFD ∴∆∆∽， ∴DE DC CE DC CF DF==，1DF =，32CF ∴=，DF =，AF ∴=AD AF DF ∴=-=【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．9．（1）；（2）①，证明见解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性质，结合等量代换即可求解；（2）①根据SAS 证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；②由全等三角形的性质得，然后利用等解析：（1）AD BE =；（2）①AD BE =，证明见解析；②60；（3）45AFB ∠=︒，AD =【分析】（1）由等腰三角形的性质，结合等量代换即可求解；（2）①根据SAS 证明ACD BCE ≅∆∆，然后根据全等三角形的性质即可证明；②由全等三角形的性质得ACD CBF ∠=∠，然后利用等量代换即可求解；（3）首先证明ACD BCE ∆∆，然后根据相似三角形的性质得到AD AC BE BC=，和CBF CAF ∠=∠，即可求解．【详解】（1）∵CAB ∆和CDE ∆均为等边三角形∴CA=CB ，CD=CE∴AC-CD=BC-CE ，即AD=BE∴AD=BE ；（2）①AD=BE证明：∵CAB ∆和CDE ∆均为等边三角形∴CA=CB ，CD=CE ，60ACB DCE ∠=∠=︒∴ACD BCE ∠=∠∴ACD BCE ≅∆∆∴AD=BE②∵ACD BCE ≅∆∆∴ACD CBF ∠=∠设BC 和AF 交于点O ，如图2∵AOC BOF ∠=∠∴60BFO ACO ∠=∠=︒，即60AFB ∠=︒∴60AFB ∠=︒；（3）结论45AFB ∠=︒，2AD BE =证明：∵90ABC DEC ∠=∠=，AB=BC ，DE=EC∴45ACD BCD BCE ∠=︒+∠=∠，2AC DC BC EC =∴ACD BCE ∆∆ ∴2AD AC BE BC ==CBF CAF ∠=∠ ∴2AD BE =∵AFB CBF ACB CAF ∠+∠=∠+∠∴45AFB ACB ∠=∠=︒【点睛】本题考查了几何变换综合，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键证明全等和相似，并且分类讨论．10．（1）∠CB′E=60°，；（2）①两个结论成立，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可； （2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直解析：（1）∠CB ′E =60°，3EF AB '=；（2）①两个结论成立，理由见解析；（333-33+ 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可；（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②当A ，E ，F 三点共线时，分两种情况讨论，利用三角函数解答即可．【详解】。
武汉好学优课外校冲刺班课程表
武汉好学优课外校冲刺班课程表
摘要：
1.课程表简介
2.课程表内容详解
3.课程表的特点和优势
4.适合对象和报名方式
正文：
武汉好学优课外校冲刺班课程表是一款针对学生课外辅导的课程表。
该课程表内容丰富，覆盖了语文、数学、英语、物理、化学等多个学科，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提升学习能力和应试技巧。
课程表内容详解如下：
1.语文课程：包括阅读理解、写作技巧、古诗词鉴赏等，帮助学生提高阅读和写作能力，增强对文学作品的理解和分析能力。
2.数学课程：涵盖初中和高中数学知识点，包括代数、几何、函数等，通过典型例题解析，帮助学生掌握解题方法和技巧。
3.英语课程：以提高学生的听、说、读、写四项能力为目标，通过词汇、语法、阅读、听力等方面的训练，帮助学生全面提升英语水平。
4.物理和化学课程：系统讲解物理和化学的基本概念、原理和定律，通过实验操作和例题解析，培养学生的实际操作能力和解题能力。
该课程表的特点和优势如下：
1.针对性强：针对学生课堂所学知识进行巩固和提升，让学生在课外辅导中找到课堂学习的延伸和拓展。
2.系统性：课程表内容系统、完整，有助于学生建立知识体系，形成良好的学习习惯。
3.实用性：课程表注重实际操作和解题能力的培养，让学生在辅导中真正提高自己的应试能力。
适合对象：该课程表适合初中生和高中生进行课外辅导，特别是那些希望在学业上取得更大突破的学生。
报名方式：可以通过武汉好学优课外校冲刺班的官方网站进行在线报名，也可以到线下培训中心咨询报名。
北京海淀区尚丽外国语学校数学几何图形初步(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°（2）过点P作PG∥AB∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG∵∠MPN=90°∴∠NPG－∠MPG=90°∴∠PFD－∠AEM=90°；（3）设AB与PN交于点H∵∠P=90°，∠PEB＝15°∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°∵AB∥CD，∴∠PFO=∠PHE=75°∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH∵∠MPN=90°∴∠MPH＋∠NPH=90°∴∠PFD＋∠AEM=90°故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．2．在数轴上、两点分别表示有理数和，我们用表示到之间的距离；例如表示7到3之间的距离.（1）当时，的值为________.（2）如何理解表示的含义？（3）若点、在0到3（含0和3）之间运动，求的最小值和最大值.【答案】（1）5或-3（2）解：∵ = ，∴表示到-2的距离（3）解：∵点、在0到3（含0和3）之间运动，∴0≤a≤3, 0≤b≤3,当时， =0+2=2，此时值最小，故最小值为2；当时， =2+5=7，此时值最大，故最大值为7∴a=5或-3；故答案为：5或-3；【分析】（1）此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4，根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案；（2）此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;（3）此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和，而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时，的值最小；当时，的值最大.3．探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。