等腰三角形5

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等腰三角形教案设计5篇

等腰三角形教案设计5篇等腰三角形教案设计5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。

(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。

八年级数学(人教版)最困难考点5 等腰(等边)三角形(解析版)

等腰（等边）三角形★★★○○○○等腰（等边）三角形的定义有两边相等，且底角相等的三角形叫等腰三角形(等边三角形)，相等的两个边称为这个三角形的腰。

细微区别在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。

（简称：三线合一）。

主要特点1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，最少有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

等边三角形的定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。

等边三角形的性质1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。

2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）等边三角形的判定⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

等腰直角三角形的定义有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。

等腰三角形

各位同学，今天给大家讲解等腰三角形的专题。

这节课分为两个部分，第一部分为知识回顾，第二部分为例题的讲解和练习，帮助大家巩固等腰三角形的知识。

一：知识回顾：第二列示等腰三角形的判定，第三列是等腰三角形的性质。

首先看等腰三角形的判定，我们可以用多种方法判断，最简单的是根据角和边判定：两边相等、两角相等，这是毋庸置疑的。

然后可以根据中线判定，如两边上中线相等的三角形是等腰三角形，证明如下：三角形ABC，BD、CE是三角形上的两条中线，BD交AC于D，CE交AB于E，BD等CE，那么三角形BCE的面积等三角形BCD的面积等于二分之一三角形ABC的面积。

做三角形BCE的高EN交BC于N，做三角形BCD的高DM交BC于M。

那么，EN等于DM等二分之一三角形ABC的面积除BC。

BM平方等BD平方减DM平方，CN平方等于CE平方减EN平方。

因为BD＝CE，EN＝DM，所以BM＝CN。

那么，BN＝CM。

因为EN＝DM，BN＝CM，角BNE等于角CMD等90度，所以三角形BNE等于三角形CMD，则BE＝CD，因为E、D分别是AB、AC的中点，所以AB＝AC，即三角形ABC是等腰三角形。

另一种证明方法，如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形，这个可以用全等三角形证明(SAS)。

还可以根据角平分线证明，如第5个，如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形。

这个可以全等三角形证明（ASA）。

也可以用第6种，三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形（这个证明较为复杂，而且用的不多，我们就不说证明方法了）。

还可以根据三角形的高证明，如第7条，如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形，这个可以用全等三角形证明(SAS)。

如第8条，有两条高相等的三角形是等腰三角形，这个可以用直角三角形的全等证明(HL)。

初中等腰三角形综合知识归纳

初中等腰三角形综合知识归纳几何是数学学习中的一道难题，想要学好初中等腰三角形，没有那么容易。

为了帮助大家更好的学习初中等腰三角形。

以下是店铺分享给大家的初中等腰三角形综合知识，希望可以帮到你!初中等腰三角形综合知识1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

等腰三角形问题的求解误区一、腰和底不分例1、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______.误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则x+4×2=14，，∴x=6，所以底边长为6.思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论：(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4+4>6，6-4 <4，满足三角形三边关系定理;(2)当底是4时，另两边长是5，5，又5+4>5，5-4 <5，满足三角形三边关系定理.所以等腰三角形的底边为4或6.二、顶角和底角不分例2、已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是( )(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°.思路分析等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论：(1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°;(2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y+70×2=180，∴y=40，所以另外两个内角的度数是70°、40°.故选C点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论.另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在.三、顶角顶点和底角顶点不分例3、如图2，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5误区警示若三角形是等腰三角形，则OP=OA，所以符合符合条件的动点P有两个.思路分析根据题意，结合图形，分三种情况讨论：(1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO=OA，符合条件的动点P有一个;(2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP=OA，符合条件的动点P有两个;(3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP=AO，符合条件的动点P有一个;综上所述，符合条件的动点P的个数共4个.故选C.点拨判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整.四、锐角三角形和钝角三角形不分例4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_______.误区警示不少学生想当然地误解为：如图所示，图3(1)中顶角为50°.思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角为50°;(2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三角形外，此时顶角为130°.故顶角为50°或130°.点拨等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论.初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。

等腰三角形

AG
C
3
1
B2
D
39
练习1
在△ABC中,已知 ∠A=40°,∠B=70°,判断 △ABC是什么三角形,为什么?
40
开启智慧
思2:考等腰下三例角各形两说底么法角？对的吗平分？线为相什等.
等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.AAA
E
D
N MQ
P
●
●●
B ● C ●● B
CB
M2020/2/14
18
练习2
如图,已知 ∠A=36°,∠DBC=36°,∠C =72°,则∠1=,∠2=, 图中的等腰三角形有.
1
B
A
D
2
2020/2/14
C
19
综合运用
1、如图△ABC中AB=AC,∠B=36°，
D、E分别是BC边上两点，且 ∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有（）个。
∴∠__1_=∠___2，__B__D=__C__D；
（2）∵AB=AC，AD是中线
∴∠＿1=∠＿2，__A__D⊥__B__C；
B
DC
（3）∵AB=AC，AD是角平分线
2020/2/14
∴__A__D⊥__B_C_，_B__D_=__C__D。
13
试一试
•1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm, 则它的周长是；
11
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等
A
（简写成“等边对等角”）
用符号语言表示为： B C
在△ABC中，
∵AC=AB（）已知 ∴∠B=∠C(）等边对等角2020/2/14
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等腰三角形的顶角平分线、底边上

考点12 等腰三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)

考点12 等腰三角形【命题趋势】等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。

在浙江中考中，等腰三角形可以以选择题、填空题出现，来考察其性质；也可以以解答题出题，来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

【中考考查重点】一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定考向一：等腰三角形的性质和判定【方法提炼】1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠B＝（180°﹣70°）＝55°．故选：C．2．等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（）A．10B．21C．27D．21或27【分析】因为等腰三角形的两边分别为11和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为11，11、11、5可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5，因为5+5＝10＜11，所以不能构成三角形，故舍去．所以答案只有27．故选：C．3．在直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），在y轴负半轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，1）D．（0，﹣）【分析】由勾股定理得OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点：（0，﹣）．【解答】解：∵点A（﹣1，1），∴OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点，此点P的坐标为（0，﹣）．故选：D．4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长（）A．大于9B．等于9C．小于9D．不能确定【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN ＝MN即可解答．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，∴MB＝ME，NE＝NC，∵BM+CN＝9，∴ME+NE＝9，∴MN＝9，故选：B．6．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG ＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝m，则△MGQ周长是（）A．8+2m B．8+m C．6+2m D．6+m【分析】根据等边三角形的判定得出△PMN是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN ＝30°，求出∠G＝∠GQN＝30°，根据等腰三角形的性质得出GQ＝MQ＝m，再求出答案即可．【解答】解：∵∠P＝60°，MN＝NP，∴△PMN是等边三角形，∵△MNP的周长是12，∴∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，∵MQ⊥PN，∴PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN＝30°，∵NG＝NQ，∴∠G＝∠GQN，NG＝2，∵∠G+∠∠GQN＝∠PNM＝60°，∴∠G＝∠GQN＝30°，即∠QMN＝∠G＝30°，∴GQ＝MQ＝m，∴△MGQ是周长＝MQ+GQ+MG＝m+m+4+2＝6+2m，故选：C．7．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．8．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，则顶角的度数为．【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的顶角为40°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴三角形的顶角为140°，故答案为：40°或140°．9．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．【分析】分三种情况，CA＝CB，AB＝AC，BA＝BC．【解答】解：如图：当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个，当AB＝AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个，当BA＝BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个，综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个，故答案为：10．10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．11．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A 在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．【分析】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案．【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），∵CD∥BE，∴∠1＝∠CBE＝40°，∵∠ACD＝20°，∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20海里，答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝8，∴AB＝2AE＝16，∵△CBD的周长为24，∴AC+BC＝24，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+24＝40．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE ＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．考向二：角平分线的性质与判定一．角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

专题5 等腰三角形的边角关系（含答案）

第二章等腰三角形专题5 等腰三角形的边角关系知识解读讨论等腰三角形的三边，只有腰和底边长两个未知数，当告知三角形两边长时，需要分情况讨论，哪个数据是腰长，哪个数据是底边长。

等腰三角形有三个角，要求出三个角的度数，需要三个相等关系，三角形内角和提供了一个相等关系，等腰三角形两个底角相等提供了一个相等关系，因此题日中一般提供一个相等关系即可。

培优学案典例示范一、等腰三角形的边长常需要分情况讨论例1根据下列条件求等腰三角形的周长.（1）两条边长分别为2和5；（2）两条边长分别为3和5.【提示】本题没有说明两条边为腰和底时，只有通过讨论可能存在的两种情况来求解，所得的答案要满足三角形三边的条件.【解答】【技巧点评】（1）没有指明腰和底时，一定要分类讨论，不要丢了解；（2）所得三角形三边的长一定要满足三角形三边的条件。

没有用三边关系定理来检验的答案可能是错误的。

跟踪训练1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A.17cmB.22cmC.17cm或22cmD.18cm二、利用两底角相等，求等腰三角形的角的度数例2 填空题.（1）在ABC∠=︒，求BA=，若50∆中，AB AC∠的度数；（2）在ABC∠=︒，求AB∆中，AB AC=，若50∠的度数；（3）若等腰三角形的一个角为80︒，求顶角的度数；（4）若等腰三角形的一个角为100︒，求顶角的度数。

【提示】本题的各小题中都有三个未知教，除了三个角的和为180︒这个条件外，题目应该还有两个条件才能求出这三个角的度数，准确找出这两个条件，是解决此类问题的关键.【解答】【技巧点评】求角时，一定要看给出的角是否定为顶角或底角，在没有指出所给的角为顶角或底角时，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理，避免漏解或多解。

跟踪训练2.如图2-5-1，在ABC∠=︒，则BDAC==，80∆中，AC AD BD∠的度数是（）图2-5-1A.40︒B.35︒C.25︒D.20︒三、角平分线+平行线=等腰三角形例3如图2-5-2.AD是ABC∆的角平分线，点E在AB上，且AE AC=，EF BC交AC于点F.求证：EC平分DEF∠.【提示】要证明EC平分DEF∆是等腰三角形。

等腰三角形的性质5

A
B
D
C
例1 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º , 过屋顶A的立柱 AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数. A 解：在△ABC中 ∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
D
C
∴∠B=∠C= (180°－∠A) =40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 70°,40°或55°,55° __________________.
35 °，35 ° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
推论1 底边形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
“三线合一”
在△ ABC中，AB=AC=BC，利用已有的知识，如何推导出 ∠A、 ∠B 、∠C 的度数.
A
B
C
推论2 等于60 º.
12
作底边中线证明：等腰三角形的两个底角相等已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中， B D C A
AB=AC ( 已知 ), BD=CD ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
∴∠BAD=∠CAD=50°
已知：如图， △ ABC中， ∠ABC=50 º , ∠ACB=80 º ,延长 CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE. 求∠D、∠E、∠DAE的度数 .

等腰三角形

等腰三角形讲练知识详解知识点1 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图14－62所示，在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB，AC叫做腰，BC叫做底边，∠A叫做顶角，∠B和∠C叫做底角.知识点2 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【说明】等腰三角形的两个性质都可以由证明两个三角形全等而证实.例如：如图14－63所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.证明：过点A作BC边上的中线AD.∴BD=DC.∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.探究交流上例中并没有直接全等的三角形，而是通过作辅助线“BC边上的中线AD”来构造出两个全等的三角形，再用全等三角形的性质证明出“∠B=∠C”.想一想，本题还有没有作其他辅助线的方法？在本题中能否进一步证明AD是∠BAC的平分线和BD边上的高？试试看.点拨由等腰三角形的性质2可知，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线.知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.例如：图14－64所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证AB=AC.证明：作AD⊥BC，垂足为D.∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.知识点4 等边三角形的概念三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.知识点5 等边三角形的性质和判定Ⅰ.等边三角形的性质和判定.（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形Ⅱ.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.典例剖析师生互动基础知识应用题本节知识的基础应用主要包括：（1）等腰三角形的性质和判定；（2）等边三角形的性质；（3）三角形的内角和；（4）三角形三边关系.例1已知三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数.分析因为等腰三角形的内角和是180°，若110°是底角，则110°×2=220°＞180°，所以110°只能是顶角.故底角是2110180︒-︒=35°.解：由题意可知，110°是顶角，设底角为α，则2α+110°=180°，∴α=35°.∴这个三角形另外两个角是35°，35°.例2 等腰三角形的一个内角是80°，求它的另外两个角.分析用分类讨论的思想方法来思考本题.若顶角是80°，则设底角为α，由三角形内角和得2α+80°=180°，∴α=50°.若底角是80°则设项角为β，由三角形内角和得2×80°+β=180°，∴β=20°.解：①若顶角是80°，设底角为α，则有2α+80°=180°，∴α=50°.②若底角是80°，设顶角为β，则有80°×2+β=180°，∴β=20。

等腰三角形的五个模型(最新整理)

1等腰三角形1．（1）已知：等腰三角形的一个内角为140°，那么另外两个角的度数为：__________（2）等腰三角形有一个内角是70，那么它的顶角为：__________（3）等腰三角形的周长为30，其中一边长为14，那么底边的长：__________（4）等腰三角形,它的两条边长分别为2和4,那么它的周长为: 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O,过点O 作EF ∥BC,交AB 于E,交AC 于F,AB=9,AC=8.求：(1)图中有几个等腰三角形，(2)AEF 的周长。

并说明理由。

模型一：角平分线+平行线→等腰三角形3、如图，已知平分，平分，，且过点，若BO CBA ∠CO ACB ∠MN BC ∥O ，，则的周长是．12AB =14AC =AMN △4、如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．5、如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB ，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．6、如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．模型二角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．1、如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．2、如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求CABE DO图3图4B FCD EA图2F BACPE 图6BFDCA E图5AB CD2证：BF ＝2CD ．模型三作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．1、如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．2、如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．　模型四 “以角平分线为轴翻折”构造全等三角形如图，在中，平分，AB=AC+CD ，求：的值．ABC △AD BAC ∠B C ∠:∠模型五 “角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形1．根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任意一点向角的两边作垂线，得到两个全等的直角三角形；2．根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上任意一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．如图4，在四边形中，，，平分．ABCD BC BA >AD DC =BD ABC ∠求证：．180A C ︒+=∠∠CB图7DA图8CBAABCDA BCD（图4）。

2.5第1课时等腰三角形的性质与判定(十一大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。

五种特殊的等腰三角形

五种特殊的等腰三角形（一）顶角是36°的等腰三角形1、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC,问：图中有几个等腰三角形？或者说明④AD＝BD＝BC；2、如图，△ABC中，①AB＝AC,②∠A＝36°，点D在AC上，且④AD＝BD＝BC；问：说明③BD平分∠ABC；3、如图，△ABC中，①AB＝AC，点D在AC上，且③BD平分∠ABC；④AD＝BD＝BC；问：说明②∠A＝36°4、如图，△ABC中,②∠A＝36°，点D在AC上，且③BD平分∠ABC, ④AD＝BD＝BC；问：图中有几个等腰三角形？或者说明①AB＝AC；（二）顶角是60°的等腰三角形1、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且CD⊥AB,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）AD＝BD吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；2、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且AD＝BD,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) ∠ACD＝∠BCD吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；3、如图，△ABC中，AB＝BC＝AC，点D在AB上，且∠ACD＝∠BCD ,延长CD至E，使ED＝CD,连结AE，问：(1) AD＝BD 吗？说明理由；（2）CD⊥AB吗？说明理由；（3）AE＝AC吗？说明理由；（三）顶角是90°的等腰三角形1、如图，△ABC中，∠A＝90°,AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BC于E,DF∥AB交BC于F，问：(1)AD＝ED吗？说明理由；（2）FB＝FD吗？说明理由；2、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,试说明：（1）、AD＝DB＝DC，∠BAD＝∠CAD；（2）、DE＝DF；（3）、AE＝AF；BE＝CF；3如图，△ABC中，①∠A＝90°，②AB＝AC，试说明③∠B＝∠C＝45°4如图，△ABC中，①∠A＝90°，③∠B＝45°或∠C＝45°，试说明②AB＝AC；5、如图，△ABC中，③∠B＝∠C＝45°，试说明①∠A＝90°；②AB＝AC。

初二数学等腰三角形的性质知识精讲人教义务几何

初二数学等腰三角形的性质知识精讲人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出等腰三角形的性质定理及两个推论，并会进行有关计算．2．能运用性质和推论证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的问题．3．会证明用文字语言叙述的几何命题．【主体知识归纳】1．等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．2．三线合一性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．3．等边三角形的性质等边三角形各边都相等，各角都相等，并且每个角都等于60°．【基础知识精讲】1．为了牢固地掌握等腰三角形的性质，并能灵活地运用它们，应非常熟练地进行下面的推理．如图3—143，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．(2)∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC，BD＝CD．(3)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠1＝∠2．(4)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠1＝∠2．2．证明用文字语言叙述的几何命题是这一节的难点．首先应读懂题意，画出图形；然后分析题设和结论，结合图形写出已知、求证，最后给出证明，如果已知中有“等腰三角形”这个条件，在已知中一般要具体写出哪两条边相等，以便证明时应用．3．在等腰三角形中，作顶角的平分线或作底边上的中线或作底边上的高是一种常见的辅助线．【例题精讲】［例1］求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．剖析：本题的题设“等腰三角形顶角的外角平分线”，结论是“外角的平分线平行于底边”，因此，先作一个等腰三角形，在此基础上作出顶角的一个外角平分线，如图3—144，结合图形写出已知、求证，即已知：如图3—144，△ABC中，AB＝AC，E在BA延长线上，∠1＝∠2．求证：AD∥BC．剖析：要证平行，从角上考虑，本题的图形AD与BC既被BE所截又被AC所截，同时存在同位角、内错角和同旁内角，可证∠1＝∠B或∠2＝∠C或∠BAD＋∠B＝180°之一成立即可，结合等腰三角形的性质与三角形外角性质这并不难办到．证明：∵AB＝AC(已知)，∴∠B＝∠C(等边对等角)．又∵∠1＋∠2＝∠B＋∠C(三角形外角性质)，又∵∠1＝∠2(已知)，∴2∠1＝2∠B，∴∠1＝∠B．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．说明：其他证法请读者写出，此略．［例2］如图3—145，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E，使AE＝AD，连结DE，求证：DE⊥BC．剖析：欲证DE⊥BC，BC是等腰三角形的底边，三角形的高垂直于底边，所以想到作AF⊥BC，垂足为F，要证DE⊥BC，只需证DE∥AF，由等腰三角形的性质和外角的性质容易证明．证明：作AF⊥BC，垂足为F．∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，又∵∠BAC＝∠E＋∠ADE，∴2∠1＝∠E＋∠ADE，∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∴2∠1＝2∠E，即∠1＝∠E，∴DE∥AF，∴DE⊥BC．说明：等腰三角形的高、中线、顶角的平分线这三条辅助线，有时作哪一条效果是相同的，但有的题目需根据实际情况选择合适的辅助线．［例3］等腰△ABC中，有一内角为40°，求其余两个内角．剖析：40°的角可能是顶角，也可能是底角，所以，应分两种情况来解．解：(1)若40°角为顶角，则两底角相等，且底角为︒=︒-︒70240180，所以其余两个内角都是70°．(2)若40°角为底角，则另一底角也是40°，顶角应为180°－2×40°＝100°，所以其余两个内角度数分别为40°、100°．说明：(1)有关等腰三角形的角的计算题，一般要与三角形内角和定理及推论相结合，应注意等腰三角形的顶角可能是钝角，可能是锐角，也可能是直角，但底角一定是锐角．(2)若已知角为锐角，则此角可作顶角，也可作底角；若已知角为钝角，则此角只可能作顶角；若等腰三角形的顶角为n °，则等腰三角形的底角为2180︒-︒n ．若等腰三角形的底角为m °，则等腰三角形的顶角为(180°－2m °)．［例4］已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为18 cm 和21 cm 两部分．求：它的三边长．剖析：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是中线，BD 把周长分为18 cm 和21 cm 两部分，有可能是AB ＋AD ＝18 cm ，也有可能是BC ＋CD ＝18 cm ，所以要分两种情况进行讨论．解：在△ABC 中，设AB ＝AC ，BD 是它的中线，根据题意，设腰长为x cm ，底边长为y cm ，则有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+;11,14;15,12:;1821,2121;2121,1821y x y x x y x x x y x x 或解这两个方程组得或 ∴△ABC 的三边长AB ＝AC ＝12，BC ＝15或AB ＝AC ＝14，BC ＝11．说明：(1)有关等腰三角形的边的计算题，一般要与周长和三角形的有关概念相结合，应注意用三角形的三边关系定理检查求出的三边．(2)在一个等腰三角形中没有注明哪条边是腰，哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合题意．【同步达纲练习】 1．判断题(1)若等腰三角形腰长为4，则底边长x ＜8； (2)最大内角是60°的三角形是等边三角形． 2．填空题(1)如图3—147，在△ABC 中，①∵AB ＝AC ，∴∠_____＝∠_______；②∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴BD＝__________，__________⊥__________．(2)已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为__________．(3)在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1 cm，这条高与底的夹角是45°，则△ABC 的面积为__________．(1)如图3—148，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝__________．(5)如图3—149，B、D在AN上，C、E在AG上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEG＝__________．(6)如图3—150，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，那么∠FEM＝__________．(7)一个等腰三角形的顶角为钝角，则它的底角的取值X围是__________．(8)若等腰三角形腰上的高与底边的夹角为α，它和顶角β之间的关系是__________．3．选择题(1)等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°(2)等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°(3)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为A．45°B．40°C．55°D．50°(4)已知等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为6 cm，则它的周长为A．11 cmB．17 cmC．16 cmD．16 cm或17 cm(5)已知等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为A．13 cmB．17 cmC．22 cmD．17 cm或22 cm(6)等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm，则腰长为A．2 cmB．8 cmC．2 cm或8 cmD．以上结论都不对(7)已知：如图3—151，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为A．30°B．45°C．36°D．72°(8)如图3—152，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°且AD＝AE，则∠EDC等于A．10°B．12.5°C．15°D．20°(9)如图3—153，△ABC中，点D在AC上，且AB＝AD，∠ABC＝∠C＋30°，则∠CBD等于A．15°B．18°C．20°D．22.5°(10)如图3—154，△ABC中，D为BC上一点，而且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2的关系为A．∠1＝2∠2B．2∠1＋∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－2∠2＝180°(11)下列命题为真命题的是A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．顶角相等的两个等腰三角形全等D．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍(12)在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为A．20B．16C．16或20D．以上都不对4．如图3—155，在正三角形ABC的BC边上任取一点D，以CD为边向外作正三角形CDE．求证：BE＝AD．5．如图3—156，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使DF ＝DE ，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ．6．如图3—157，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD ＝BD ，AB ＝AC ＝CD ，求∠BAC 的度数．7．如图3—158，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，且AD ＝AE ．求∠EDC 的度数．8．如图3—159，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝CE ，B 是AD 上一点，BE ⊥CB 交CD 于E ，AC ⊥DC ．求证：BE ＝21BC ．9．已知：如图3—160，D 、E 分别为等边△ABC 的边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，连结BE 、AD ，它们交于F ．求证：∠AFE ＝60°．【思路拓展题】想一想如图3—161，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……，添加的钢管长度若都与OE 相等，那么最多能添加这样的钢管多少根？参考答案【同步达纲练习】 1．(1)× (2)√ 2．(1)①B C ②DC(或21BC ) ADBC (2)80°或20° (3)21cm 2 (4)55° (5)100° (6)75° (7)0°＜α＜45° (8)α＝21β3．(1)A (2)D (3)D (4)D (5)C (6)B (7)C (8)C (9)A (10)D (11)A (12)B 4．提示：证△ACD ≌△BCE ．5．证明：连结AD ，∵ED ＝E B ，∴∠B ＝∠EDB ∵E A ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴2∠EDB ＋2∠EDA ＝180°，∴∠EDB ＋∠EDA ＝90°，即AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ，又∵∠EDB ＝∠CDF ，ED ＝DF ，∴△BDE ≌△CDF ，∴∠F ＝∠BED ， ∵AB ＝AC ，∴∠EDB ＝∠ACB ，∵EF ∥AC ，∴∠A ＝∠BED ，∴∠F ＝∠A ．6．108°．提示：设∠B ＝x °，则∠C ＝∠BAD ＝x °，∠AD C ＝90°－21x °，利用∠AD C ＝∠B ＋∠BAD ＝2x °，可求得x ＝36．7．15°8．证明：作AF ⊥BC 于点F ，则∵AC ＝AB ， ∴AF 同时为△ABC 的中线，即CF ＝21BC ，由已知条件易证△ACF ≌△CEB ， ∴BE ＝CF ，即BE ＝21BC ． 9．提示：证明△ABD ≌△BCE (SAS ) ∴∠BAD ＝∠CBE∵∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ∴∠AFE ＝∠C B E ＋∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠ABC ＝60°【思路拓展题】想一想最多能添加这样的钢管八根．。

初二数学等腰三角形的判定知识精讲人教版

初二数学等腰三角形的判定知识精讲人教版【学习目标】1．能熟练地说出等腰三角形的判定定理及推论．2．会利用推论3进行有关计算．3．能综合利用判定定理和性质定理证明几何问题．【主体知识归纳】1．等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．2．等边三角形的判定方法(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；(3)三边都相等的三角形是等边三角形．3．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【基础知识精讲】1．为了帮助大家弄清等腰三角形的性质定理和判定定理的区别，现列表如下：等腰三角形性质定理判定定理题设两个角是等腰三角形的底角一个三角形有两个角相等结论这两个角相等这两个角所对的边也相等简写等边对等角等角对等边实质如果是等腰三角形，那么它有两个角相等如果有两个角相等，那么它是等腰三角形意义由等腰得出其“性质”由等角“判定”是等腰作用证明两个角相等的依据证明两条线段相等的依据2．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，它是三角形中边角相等关系互相转化的重要依据．判断一个三角形是等腰三角形常用以下两种方法：①定义法；②判定定理法．3．等腰三角形的判定定理的推论3是直角三角形的一条重要性质．常应用它进行有关直角三角形的计算和证明．【例题精讲】［例1］如图3—162，已知：AB＝AD，∠ABC＝∠AD C．求证：CB＝CD．剖析：须证△DCB 为等腰三角形．证明：连结BD ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠AD B ． ∵∠ABC ＝∠AD C ，∴∠CBD ＝∠CD B ， ∴CB ＝CD (等角对等边)说明：这种证法比通过△AD C ≌△ABC 来证更为简捷．［例2］如图3—163，∠AOB ＝30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，P D ∥OA 交OB 于D ，PE ⊥OA 于E ，若ＯD ＝4 cm ，求PE 的长．剖析：因为点P 是角平分线上一点，所以能把PE 转化成P F ，而易证P F ＝21P D ，由已知容易证PD ＝OD ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF ， ∵∠AOC ＝∠BOC ，∵P D ∥OA ，∵∠D PO ＝∠AOC ，∴∠DOP ＝∠DPO ，∴OD ＝PD ∵PD ∥OA ，∴∠PDF ＝∠AOB ，∴∠PDF ＝30°在Rt △PDF 中，∠PDF ＝30°，∴P F ＝21PD ，∴P F ＝21OD ＝2，∴PE ＝2(cm)．【同步达纲练习】 1．判断题(1)在等腰三角形中，两条内角平分线相等； (2)有两个外角相等的三角形是等腰三角形；(3)在△ABC 中，∠AC B ＝90°，CD 是高，∠A ＝30°，则BD ＝41AB ； (4)在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠B ＝60°，则△ABC 为等边三角形；(5)如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 2．填空题(1)以平面内不重合的两点A 、B 为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出__________个．(2)如图3—164，已知三角形ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC 分别交AB 、AC 于D 、E ，已知△ADE 的周长为24 cm ，且BC ＝8 cm ，则△ABC 的周长为___________．(3)如图3—165，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠AC B ＝61°，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，则∠DAE ＝__________．(4)已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长是__________(5)如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．(6)若等腰三角形的底角为15°，腰长为a，则腰上的高为__________(7)若一个三角形的两个内角分别为36°和72°，则此三角形为__________三角形．(8)△ABC中，AB＝AC，BD是三角形的角平分线，∠BD C＝75°，则∠A＝__________．(9)在直角三角形中，若斜边上的中线垂直斜边，则它的两个锐角度数是__________，若此三角形斜边长为8，则斜边上的高等于__________．3．选择题(1)一个三角形具备下列条件，仍不能判定为等边三角形的是A．三边都相等B．一个角的平分线与对边上的中线或高重合C．有两边相等，且有一个角为60°D．有两角相等，且这两角和等于第三个角的2倍(2)在下列命题中，其中正确的命题有①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形④三个外角都相等的三角形是等边三角形A．4个B．3个C．2个D．1个(3)一个三角形三个外角度数比为4∶4∶1，则这个三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形(4)将两个全等的各有一个角为30°的直角三角形拼成如图3—166，其中两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是A．4B．3C．2D．1(5)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于aA．2aB．3aC．4D．以上结果都不对(6)若三角形三边a、b、c满足(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形(7)能判定等腰三角形全等的一组是A．顶角相等B．底角相等C．腰相等D．底边和顶角对应相等(8)如图3—167，△ABC中，∠ACB为直角，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．已知：如图3—168，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE ＝DF，求证：△ABC是等腰三角形．5．如图3—169，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D在AC上且∠BD C＝60°，AD＝10，求AC．6．如图3—170(1)，在△ABC中，已知∠ABC＝∠AC B，BO平分∠B，CO平分∠C．图3—170(1)想想看，你能推导出什么结论呢？(2)如图3—170(2)，若过O作一直线EF和边BC平行，与AB交于E，与AC交于F，则图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF和EB、FC之间有怎样的关系？(3)如图3—170(3)，若∠B≠∠C，其他条件不变，图中还有没有等腰三角形？线段EF和BE、F C之间还有没有关系？7．如图3—171，已知△ABC中，AB＝AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE＝CF，EF 交BC于D．求证：DE＝DF．8．如图3—172，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是角平分线．求证：AB＝AC＋DC．【思路拓展题】读一读推论3的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这是等腰三角形的判定定理的推论3，它反映了直角三角形中边与角之间的关系．反过来，我们得到它的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°．下面我们来证明其逆命题是真命题．如图3—173，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC＝21AB ．求证：∠BAC ＝30°．证明：延长BC 到D ，使CD ＝BC ，连结AD ．在△ABC 和△AD C 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=DC BC ACD ACB AC AC 90．∴△ABC ≌△AD C ．∴AB ＝AD ． ∵BC ＝21BD ，BC ＝21AB ，∴BD ＝AB ＝AD ．∴△ABD 是等边三角形．∴∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°－60°＝30°．利用推论3的逆定理解答下面的问题：如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角是多少度?参考答案【同步达纲练习】1．(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．(1)2 (2)32 cm (3)127° (4)3 (5)120° (6)21a (7)等腰 (8)40° (9)45°， 45° 43．(1)B (2)C (3)A (4)B (5)C (6)A (7)D (8)B4．提示：证△BDE ≌△CDF ，得∠B ＝∠C ，再证AB ＝AC ．5．提示：易证△ABD 为等腰三角形，则得BD ＝AD ＝10，又∵DC ＝21BD ＝5，则可求AC ＝15． 6．提示：(1)∠OBC ＝∠OC B 或OB ＝OC(2)有五个等腰三角形，分别是△ABC 、△OBC 、△A EF 、△EOB 、△FOC ；EF ＝E B ＋FC (3)有两个等腰三角形：△EOB 和△FOC ；仍有EF ＝EB ＋FC 7．提示：过点E 作EM ∥AC 交BC 于M ，证△EMD ≌△FCD ． 8．提示：过点D 作ED ⊥AB 于E ，在△AD C 和△ADE 中，∠ACD ＝∠AE D ＝90°，∠DAC ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△AD C ≌△ADE ，∴AC ＝A E ，CD ＝D E ．∴AB ＝A E ＋E B ＝AC ＋CD ．【思路拓展题】读一读120°。

《等腰三角形和等边三角形》课件ppt文档(5篇)

（1）3厘米、8厘米、8厘米 √ （2）5厘米、5厘米、12厘米 × （3）7厘米、3厘米、6厘米 × （4）10厘米、5厘米、10厘米 √
顶角
腰
腰
底角底角底
等腰三角形的两条边相等，
两个底角也相等。
Hale Waihona Puke 腰底角底角腰
底
顶角
底
顶角底角腰
腰底角
一个等腰三角形的顶角是70度，它的一个底角是多少度？
√ 合。（）
• 有一个角是45°的直角三角形一定是等腰三角形。
（）√
• 有一个角是45°的三角形一定是等边三角形。（）
× × • 等腰三角形一定是锐角三角形。（） √ • 等边三角形一定是锐角三角形。（） √ • 等边三角形有三条对称轴。（）
下列几组小棒中，哪几组小棒能拼成等腰三角形？
等腰三角形和等边三角形2
顶角
腰
腰
底角底角底
等腰三角形的两条边相等，
两个底角也相等。
腰底角
底角
腰
底
顶角
底
顶角底角腰
腰底角
等腰直角三角形
你会画出一个等腰三角形吗？画等边三角形呢？
·
·
·
· ）60°
等腰锐角三角形
等腰钝角三角形
判断：
× • 等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。（） • 沿着等边三角形的一条高对折，左右两边完全重
等腰三角形和等边三角形
本节课我们主要来学习等腰三角形和等边三角形，同学们要理解并掌握两种三角形的联系和区别，能够判断哪些三角形是等边三角形，哪些是等腰三角形。能够根据它们各自的特点解决相关的实际问题。

等腰三角形5

等腰三角形教案设计5篇

八年级数学(人教版)最困难考点5 等腰(等边)三角形(解析版)

等腰三角形

初中等腰三角形综合知识归纳

等腰三角形

考点12 等腰三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)

专题5 等腰三角形的边角关系（含答案）

等腰三角形的性质5

等腰三角形

等腰三角形的五个模型(最新整理)

2.5第1课时等腰三角形的性质与判定(十一大题型)(解析版)

五种特殊的等腰三角形

初二数学等腰三角形的性质知识精讲 人教义务几何

初二数学 等腰三角形的判定知识精讲 人教版

《等腰三角形和等边三角形》课件ppt文档(5篇)

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