选修2-3--超几何分布

3个球，求取出的红球数X的分布列．并求至少有一个红球 的概率．
解 X＝0,1,2,3，X＝0 表示取出的三个球全是黑球，P(X＝ 0)＝CC3337＝315. 同理 P(X＝1)＝CC14C73 23＝1325， P(X＝2)＝CC24C73 13＝1385，P(X＝3)＝CC3437＝345.
∴X 的分布列为：
§2 超几何分布
【课标要求】 1．要了解两种常见的概率分布：两点分布和超几何分 布． 2．能通过实例，理解超几何分布及其推导过程． 3．要会用超几何分布解决一些实际问题． 【核心扫描】
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点) 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难
点)
1．超几何分布
自学导引
一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任
取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件
数，那么 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM(其中 k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X服从参数
为N ， M，n的超几何分布
2．超几何分布的特点 超几何分布的应用较两点分布广．在形式上适合超几何分 布的模型常由较明显的两部分组成 ，如“男生、女 生”；“正品、次品”；“优、劣”等．
想一想：如何通过实例说明超几何分布及其推导过程？ 提示 构造以下数学模型：一个箱子内有 N 个小球，其中有红 球 M 个，从箱中所有小球中任取 n(n≤M)个，这 n 个小球中所 含红球的个数 X 是一个随机变量．事件{X＝k}的概率 P(X＝k) ＝CkMCCnNnN－－kM(0≤k≤l，l 为 M，n 中较小的一个)，则随机变量 X 的分布即为超几何分布，推导如下：由于取到小球的概率都是 相等的，因此属于古典概型，故取 n 个小球的方法共有 CnN种， 其中含有 k 个红球的取法有 CkMCnN－－kM种，于是取得 k 个红球的概 率为CkMCCnNnN－－kM，令取到红球的个数 X＝k，即可得超几何分布列．
2．求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布列，并确定参数N，M， n； (2)确定X的所有可能取值； (3)计算P(X＝k)； (4)写出分布列(用表格或式子表示).
题型一 求超几何分布列
【例1】设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5 件，求抽得次品件数X的分布列． 题中的X服从超几何分布．确定参数N， M[思，路n探后索由]公式求概率即可．
X 0 123
P
1 5 51 12 12 12 12
规律方法 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否满足 超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何 分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决，但利 用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析，因此 要简单一些．
【训练1】现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3 张，求所得金额的分布列． 解 设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11.
解 由题意知，X 服从参数为 N＝10，M＝3，n＝5 的超几 何分布． 其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，分布列为 P(X＝k)＝Ck3CC51570－k(k＝0,1,2,3)．
∴P(X＝0)＝CC031C5057＝22512＝112， P(X＝1)＝CC131C5047＝120552＝152， P(X＝2)＝CC231C5037＝120552＝152， P(X＝3)＝CC331C5027＝22512＝112. ∴X 的分布列为
P(X＝3)＝CC31380＝175， P(X＝7)＝CC281C3012＝175， P(X＝11)＝CC18·31C0 22＝115.
故 X 的分布列为
X
3
7
11
P
7 15
7 15
1 15
题型二 利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】 在一个口袋中有30个球，其中红球10个，其余为白球， 这些球除颜色不同外完全相同．游戏者一次从中摸出5个 球，摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率有多 大？
[思路探索] 法一 由于摸到红球、白球是等可能的，因此
可利用古典概型来解．
法二 设摸到红球个数为 X，则 X 服从参数为 N＝30，M
＝ 10， n＝5
的超几何分布，且
P(X
＝
k)
＝
C1k0C520－k C530
(k
＝
0,1,2,3,4,5)，由公式可求概率．
解 法一 ≈0.029.
设“中一等奖”为事件 A，则 P(A)＝CC410C530210
即获一等奖的概率约为 0.029. 法二 设 X 为摸到红球的个数，则 X 服从参数为 N＝30，
M＝10，n＝5 的超几何分布．
由题意知，X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5，则 X 的分布列
为
P(X＝k)＝Ck1C0C53052－ 0 kFra Baidu bibliotekk＝0,1,2,3,4,5)．
∴P(X＝4)＝C41C0C350120≈0.029. 即获一等奖的概率约为 0.029.
规律方法 学习超几何分布，要与古典概型和组合知识结合起
来．在古典概型中，基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事 件个数为 m，则 P(A)＝mn，它与超几何分布列中的 P(X＝k)＝CkMCCNnNn－ －kM
是一致的．在一些复杂的问题中求概率时，就会体现出直接用 公式的方便了．
【训练2】袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取
X
0
1
2
3
P
1 35
12 18 35 35
4 35
至少有一个红球的概率为 P(X≥1)＝1－315＝3345
题型三 超几何分布的综合问题
【例 3】 (12 分)现有来自甲、乙两班的学生共 7 名，从中任选 2 名是甲班的概率为71. (1)求 7 名学生中甲班的学生数； (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X，求 X 的分布列， 并求甲班学生数不少于 1 人的概率．
名师点睛
1．对超几何分布的理解 (1)在确定为超几何分布类型的条件下，只要知道N、M和 n，就可以根据公式求出X取不同k值时的概率P(X＝k)， 从而列出X的分布列． (2)超几何分布列给出了求解这类问题的方法，即可以通过 公式直接求解，但不能机械地去记忆公式，要在理解的前 提下记忆． (3)凡类似于“在含有次品中的产品中取部分产品，问所取 出的产品中次品件数”的问题，都属于超几何分布的模 型．