近世①

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日本近世文学

• 《八犬传》在开篇，行文结构和结局都借鉴了《水浒传》的写法。小说都以有宿命关系的魔星或念珠的散落为引子，最终以这些具有宿命关联的英雄豪杰的团聚为结局。
总结
• 曲亭马琴可谓江户读本第一人，他的作品大量的借鉴了明清小说。可见虽然当时中日都实行闭关自守的政策，但明清小说给了江户文学很大影响。首先该时期的日本读本作品大都取材于中国的白话文小说。并把日本历史上的人物和时间通过巧妙的手法嫁接起来。产生了不少源自原典又散发独特色彩的作品。所以日本近世末期创作的大量读本本身是带有浓重中国明清小说的味道，但绝不是纯粹的借用，更大特征在于作者运用华丽流畅的文体，结合日本史实和町人的文化需求，创造出的一种通俗的作品。这可以说是日本文艺史上对中国文化一个极其成功地受容。
参考资料来源
• 李树果：《八犬传》和《水浒传》1995
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?日本近世文学概况?曲亭马琴简介?曲亭马琴代表作品南总里见八犬传?南总里见八犬传与水浒传的联系?总结日本近世文学概况近世文学的范围近世文学又被称为江户时代文学从1603年江户幕府建立到1868年明治维新为止的260年间的文学被称为近世文学
日本近世文学
——曲亭马琴
万子君
• 日本近世文学概况 • 曲亭马琴简介
• 复仇小说：《月冰奇缘》、《稚枝鸠》、《石言遗响》、《三国一夜物语》、《云妙间雨月夜》 • 巷谈小说：《三七全传南柯梦》、《丝樱春蝶奇缘》 • 传记小说：《劝善常世物语》、《新累解脱物语》和《墨田川梅柳新书》
曲亭马琴代表作品《南总里见八犬传》（なんそうさとみはっけんでん）
• 《南总里见八犬传》是日本古典文学史上最长篇的巨著，被称为日本江户文学之冠。曲亭马琴从文化十一年（1814年）到天保十三年（ 1842年），历时二十八年才完成的。 • 《南总里见八犬传》共二百余万字，长达一百九十回。这部巨著以足利幕府末期为历史背景；以嘉吉之乱中里见义实从结城逃回安房，并在安房开创一片基业的这段史实为依据；以里见一家及虚构的八犬士为主要人物，展开了一段起伏跌宕的传奇故事。故事前后延续长达六十余年，活动的舞台遍及半个日本，登场人物四百余人，可谓是洋洋大观。这本书具有作为读本小说所固有的两个特点，即以“惩恶劝善 ”为主旨，和对中国明清小说的模仿与借鉴，不过马琴却凭借他超群的能力和毅力，创作出了超越以往任何一部读本小说的杰作，为江户文学写下了最为浓墨重彩的一笔。

近世代数复习(1)

第一章基本概念1.1 集合1.集合：由一些事物所组成的一个整体.通常用大写拉丁字母,,,A B C L L 表示.2.组成一个集合的各个事物称为这个集合的元素，通常用小写拉丁字母,,,a b c L L 表示.常见符号：;,.a A a A a A ∈∉∈3.子集：若,a A a B ∀∈⇒∈则称A 是B 的子集，B 是A 的扩集，或A 包含于B ， B 包含A ，记作,A B B A ⊆⊇.当A 不是B 的子集时，记作“A B ⊄”.4.真子集：若A B ⊆，且b B ∃∈，而b A ∉，则称A 是B 的真子集，记作A B ⊂.5.幂集：由给定集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作()2A P A =.6.设,A B 是全集U 的两个子集.{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且A 的余：{}=|A x x U x A '∈∉，B 在A 中的余：{}{}\||.A B x x A x B x x A x B A B ''=∈∉=∈∈=⋂且且例. 设},,,,,{},,,,{},,,,,,,,{g f e d a N h e c a M h g f e d c b a U ===求,\,.M N M N M N ''⋃⋂解：{}{}{}{}{},,,,,,;\,;,,,,,,;.M N a c d e f g h M N c h M b d f g N b c h M N b ⋃==''''==⋂=1.2 映射1.映射：设,A B 是两个给定的非空集合，若有一个对应法则f ，使a A ∀∈，通过f ，!b B ∃∈与其对应，则称f 是A 到B 的一个映射，记作:f A B →或f A B −−→A 称为f 的定义域，B 称为f 的陪域.b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像，记作()b f a =或:.f a b a2.映射相等：设f 是1A 到1B 的映射，g 是2A 到2B 的映射，若1122,,A B A B ==且1x A ∀∈，都有()()f x g x =，则称f 与g 相等，记作f g =.3.设,,A B C 是三个集合，f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，规定:(()),,h x g f x x A ∀∈a则h 是A 到C 的映射，称为f 与g 的合成（或乘积），记作h g f =o ，即()(()),.g f x g f x x A =∀∈o4.设f 是A 到B 的一个映射.（1）若12,a a A ∀∈，当12a a ≠时，有12()()f a f a ≠，则称f 是A 到B 的一个单射；（2）若,b B a A ∀∈∃∈，使()f a b =，则称f 是A 到B 的一个满射；（3）若f 既是单射，又是满射，则称f 是一个双射.例如，映射:,2,,f x x x →+∀∈　a ?是从¡到¡的一一映射.设f 是A 到B 的映射，g 是B 到C 的映射，若g f o 有左逆映射，则f 有左逆映射.但是g 没有.1.3 卡氏积与代数运算1.设,A B 是两个集合，作一个新的集合：{}(,)|a b a A b B ∈∈,称这个集合是A 与B 的笛卡尔积（简称卡氏积），记作A B ⨯.例如，集合A 中含有m 个元素，集合B 中含有n 个元素，则A 与B 的卡氏积 A B ⨯中含有mn 个元素.n 个集合的卡氏积12,,,n A A A L 定义为{}12(,,,)|1,2,,,n i i a a a a A i n ∈=L L ,并记作12n A A A ⨯⨯⨯L ，或1ni i A =∏.2.设,,A B D 是三个非空集合，从A B ⨯到D 的映射称为,A B 到D 的代数运算.特别，当A B D ==时，,A A 到A 的代数运算简称为A 上的代数运算.3.设o 是集合A 上的一个代数运算，若123,,a a a A ∀∈，都有123123()(),a a a a a a =o o o o则称o 适合结合律.若12,a a A ∀∈，都有1221,a a a a =o o则称o 适合交换律.设e 是集合,B A 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),b a a b a b a ⊕=⊕e e e则称e 对于⊕适合左分配律.设⊗是集合,A B 到A 的代数运算，⊕是A 上的代数运算，若12,,a a A b B ∀∈∈，都有1212()()(),a a b a b a b ⊕⊗=⊗⊕⊗则称⊗对于⊕适合右分配律.4.设o 是集合A 上的一个代数运算，（1）若,,a b c A ∀∈，有,a b a c b c =⇒=o o则称o 适合左消去律.（2）若,,a b c A ∀∈，有,b a c a b c =⇒=o o则称o 适合右消去律.例. 在实数集¡上规定一个代数运算ο：,2b a b a +=ο问这个代数运算ο是否适合结合律、交换律？解：（1）由于,11325353)221(3)21(,1782181)322(1)32(1=⋅+==⋅+==⋅+==⋅+=οοοοοοοο 二者不等，代数运算ο不适合结合律.（2）由于,722323,832232=⋅+==⋅+=οο 二者不等，代数运算ο不适合交换律.1.4 等价关系与集合的分类1.设,A B 是两个集合，则A B ⨯的子集R 称为,A B 间的一个二元关系.当(,)a b R ∈时，称a 与b 具有关系R ，记作aRb ；当(,)a b R ∉时，称不具有关系R ，记作aR b '.,A A 间的二元关系简称为A 上的关系.2.设:是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质：（1）自反性：,;a A a a ∀∈:（2）对称性：,,;a b A a b b a ∀∈⇔::（3）传递性：,,,,;a b c A a b b c a c ∀∈⇔:::则称:是A 上的一个等价关系.当a b :时，称a 与b 等价.例如,定义为“8|a b a b ⇔-:”的二元关系“:”是偶数集2¢上的一个等价关系.3.设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个元素，则这些子集的全体称为A 的一个分类.每个子集称为一个类.类里任何一个元素称为这个类的一个代表.集合A 上的等价关系与集合的分类之间有着本质的联系，它们可以互相决定：{}[]|.a x x A x a =∈:,4.设:是集合A 上的一个等价关系，由A 的全体不同:等价类所组成的集合族称为A 关于:的商集，记作/A :.例. 若设,,A m =∈ⅴ令 {}(,)|,,|,m R a b a b m a b =∈-¢证明m R 是整数集¢上的一个等价关系，并给出由这个等价关系所确定的¢的一个分类.证明：显然m R 是⨯ⅱ的一个子集，所以m R 是¢上的一个关系.又（1）,|,a m a b ∀∈-¢所以m aR a ；（2）,,a b ∀∈¢若m aR b ，则|m a b -，于是|m b a -，所以m bR a ；（3）,,,a b c ∀∈¢若,m m aR b bR c ，则|,m a b -|m b c -，于是|()()m a b b c -+-，即|m a c -，所以.m aR c因此，m R 是整数集¢上的一个等价关系.由这个等价关系m R 所确定的m R 等价类为：{}[0],2,,0,,2,,m m m m =--L L{}[1],21,1,1,1,21,,m m m m =-+-+++L L{}[2],22,2,2,2,22,,m m m m =-+-+++L L………{}[1],1,1,1,21,.m m m m -=-----L L第二章群2.1 半群1.设S 是一个非空集合，若（1）在S 中存在一个代数运算ο；（2）ο适合结合律：()(),a b c a b c =o o o o ,,,a b c S ∀∈则称S 关于ο是一个半群，记作),(οS .若半群S 的运算还适合交换律：,,,a b b a a b S =∀∈o o则称S 是交换半群.半群的代数运算“ο”通常称为乘法，并将符号“ο”省略，即b a ο记作ab ，称为a 与b 的积.一个交换半群S 的代数运算常记作“+”，并称为加法，此时结合律、交换律分别为：()(),,,,,,.a b c a b c a b c S a b b a a b S ++=++∀∈+=+∀∈2.设S 是半群，,n a S ∈∈¥，n 个a 的连乘积称为a 的n 次幂，记作n a ，即.n n a aa a =678L且有：(),,,,.nm n m n m mn a a a a a a S m n +==∀∈∈¥ 如果S 是交换半群，且代数运算是加法时，a 的n 次幂应为a 的n 倍，表示n 个a 的和，记作na ，即.n na a a a =+++6447448L相应运算性质具有下列形式：,,.a S m n ∀∈∈¥(),()(),().ma na m n a n ma nm a n a b na nb +=+=+=+2.2 群的定义1.设(,)G g 是一个有单位元的半群，若G 的每个元都是可逆元，则称G 是一个群.适合交换律的群称为交换群或阿贝尔群.交换群G 的运算常用“+”号表示，并称G 是加群.2.设G 是半群，则下列四个命题等价：（1）G 是群；（2）G 有左单位元l ，而且G a ∈∀关于这个左单位元l 都是左可逆的；（3）G 有右单位元r ，而且G a ∈∀关于这个右单位元r 都是右可逆的；（4）G b a ∈∀,方程b ya b ax ==,在G 中都有解.3.若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群，称G 所包含元素的个数G 是G 的阶.4.群G 的运算适合左、右消去律.2.3 元素的阶1.设G 是一个群，e 是G 的一个单位元，a G ∈，使m a e =成立的最小正整数m 称为元素a 的阶，记作a m =.若使上式成立的正整数m 不存在，则称a 是无限阶的，记作a =∞.每个元素的阶都是无限的群不存在.当G 是加群时，其运算是加法，单位元为零元0，所以上式具有下列形式：0.ma =2.设G 是一个群，a G ∈，若,b G n ∀∈∃∈¢，使n b a =则称G 是由a 生成的循环群，a 是G 的生成元，记作().G a =循环群一定是交换群.3.设()G a =是一个循环群，（1）若a m =，则G 是含有m 个元素的有限群，有()m ϕ个生成元：,(,)1,r a m r =且{}0121,,,,;m G e a a a a -==L（2）若a =∞，则G 是无限群，有两个生成元：1,a a -，且{}21012,,,,,,.G a a a a a --=L L4.设G 是m 阶群，则G 是循环群当且仅当G 有m 阶元.例. 求出模12的剩余类加群12¢的每一个元的阶与所有生成元.解：12个元素：],11[],10[],9[],8[],7[],6[],5[],4[],3[],2[],1[],0[ 阶分别为：.12,6,4,3,12,2,12,3,4,6,12,1 由于12¢是由[1]生成的12阶循环群，所以12¢的生成元为：].11[],7[],5[],1[2.4 子群1.设G 是一个群，H G ∅≠⊆，若H 对G 的乘法作成群，则称H 是群G 的一个子群，记作.H G ≤2.设G 是群，H G ∅≠⊆，则下列各命题等价：（1）H G ≤（即H 对G 的乘法构成群）；（2）,a b H ∀∈，有1,ab a H -∈；（3）,a b H ∀∈，有1.ab H -∈3.（1）无限循环群G 的子群，除单位元子群外，都是无限循环群.而且G 的子群的个数是无限的；（2）m 阶循环群G 的子群的阶是m 的因数；反之，若n|m ，则G 恰有一个n 阶子群，从而G 的子群的个数等于m 的正因数个数.任何一个群都不能是它的两个真子群的并.例1. 设12¢是一个模12的剩余类加群，证明：{}[0],[4],[8]H =是12¢的一个子群.证明：首先[0]H ∈，从而H ≠∅.又[0][0][0],[0][4][4],[0][8][8],[4][4][8],[4][8][0],[8][8][4],+=+=+=+=+=+= 而12¢是一个交换群，所以H 对12¢的加法运算封闭. 因此12.H <¢ 例2. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是：1，2，4.1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身；2阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群. 因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.5 变换群1.非空集合A 到A 自身的映射称为A 的变换，A 到A 自身的满射称为A 的满变换，A 到A 自身的单射称为A 的单变换，A 到A 自身的双射称为A 的一一变换，A A ={A 的所有变换}.()E A ={A 的所有一一变换}.()E A 称为A 的一一变换群，()E A 的子群称为A 的变换群.2.（1）一个包含n 个元的有限集合的一一变换称为（n 次）置换；（2）一个包含n 个元的有限集合的所有置换作成的群称为n 次对称群，记作n S ；对称群的子群称为置换群.3.设在n 次置换σ下，1j 的像是2j ，2j 的像是31,,r j j -L 的像是r j ，r j 的像是1j ，其余的数字（如果还有的话）保持不变，则称σ是一个r 项循环置换，记作()12,,,,r j j j σ=L也可以记作()()23111,,,,,,,,,.r r r j j j j j j j σσ-==L L L1项循环置换()j 是恒等置换，2项循环置换()12j j 又称为对换.4.（1）n S 中的所有偶置换作成n S 的子群（称为n 次交错群，记作n A ）；（2）n 次交错群n A 的阶是!.2n例1. 写出三次对称群3S 的所有元素.解：.123321,312321,231321,213321,132321,321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例2. 设两个六次置换： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=416532654321,526413654321τσ求.,,12-στστστ 解：123456,142536στ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2123456,134652τσ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1123456.231546στ-⎛⎫= ⎪⎝⎭例3. 将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积.()()()4251314234563解：记(3654),(3241),(31524)σδη===，则:1554,2411,3136,4322,5243,6665,σδηa a a a a a a a a a a a a a a a a a从而，(3654)(3241)(31524)(142)(365).=2.6 群的同态与同构1.设G 与G '都是群，f 是G 到G '的映射，若f 保持运算，即()()(),,,f xy f x f y x y G =∀∈则称f 是G 到G '的同态.若同态f 是单射，则称f 是单同态；若同态f 是满射，则称f 是满同态，并称G 与G '同态，记作G G ':；若同态f 是双射，则称f 是同构，并称G 与G '同构，记作.G G '≅2.设f 是群G 到群G '的同态，e '是G '的单位元，则称{}Im ()()|f f G f x x G ==∈是f 的同态像，称{}1()|()Kerf f e x G f x e -''==∈=是f 的同态核.3.设f 是群G 到群G '的同态，e 是G 的单位元，则（1）f 是满同态当且仅当Im ;f G '=（2）f 是单同态当且仅当{}.Kerf e =4.任意一个群G 都与一个变换群同构.5.设()G a =是循环群，则（1）若a m =，则(,);m G ≅+¢（2）若a =∞，则(,).G ≅+¢2.7 子群的陪集1.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系l R ：1,,.l aR b b a H a b G -⇔∈∀∈由等价关系l R 所决定的类称为H 的左陪集.包含元素a 的左陪集等于aH .2.设H G ≤，则下列各命题成立：（1）a aH ∈；（2）1.aH bH aH bH a b H b aH bH aH -=⇔⋂≠∅⇔∈⇔∈⇔⊆ 特别，;.aH H a H eH H =⇔∈=（3）在aH 与H 之间存在一个双射.3.设H G ≤，在G 中定义一个（等价）关系r R ：1,,.r aR b ab H a b G -⇔∈∀∈由等价关系r R 所决定的类称为H 的右陪集.包含元素a 的左陪集等于Ha .4.（Lagrange 定理）设G 是有限群，H 是G 的子群，则||[:]||.G G H H =5.有限群G 的每一个元素的阶都是||G 的因数；素数阶的群都是循环群.例如，6阶有限群的任何子群的阶数都是其正因子：1，2，3，6. 设G 是有限群，H 是G 的正规子群，若||H 与[:]G H 互素，则H 是G 中唯一的||H 阶子群.例. 求出Klein 四元群{}4,,,K e a b ab =的所有子群.解：由Lagrange 定理，{}4,,,K e a b ab =的子群的阶只能是1，2，4，而1阶子群是单位元群{}e ，4阶子群是4K 自身.二阶（素数阶）子群是由二阶元生成的循环群，因此4K 的子群有且只有下列5个：1阶子群：{}e ；2阶子群：{}{}{}(),,(),,(),a e a b e b ab e ab ===；4阶子群：4.K2.8 正规子群与商群1.设N G ≤，若a G ∀∈都有,aN Na =则称N 是G 的正规子群或不变子群，记作.N G <2.设N G ≤，则下列各命题等价：（1）N G <（即,aN Na a G =∀∈）；（2）1,,;ana N a G n N -∈∀∈∈（3）1,;aNa N a G -⊆∀∈（4）1,;aNa N a G -=∀∈（5）N 的每一个左陪集也是N 的右陪集.3.设G 是群，记作N G <，令{}/|,G N aN a G =∈规定：(),,/,aN bN ab N aN bN G N =∀∈g则(/,)G N g 是一个群，称为G 关于N 的商群.4.商群/G N 的阶是N 在G 中的指数[:]G N ，且当G 是有限群时，/G N 的阶是||.||G N 2.9 正规子群与商群1.一个群G 与它的每一个商群/G N 同态.:/,,G G N a aN a G π→∀∈a称为自然（满）同态.自然同态π的核为N.2.（同态基本定理）设f 是群G 到群G '的同态，则（1）;Kerf G <（2）/Im .G Kerf f ≅3.（第一同构定理）设f 是群G 到G '的满同态，N G ''<，1()N f N -'=，则N G <，并且//.G N G N ''≅例. 设(6),(30)是整数加群¢的两个子群，证明：5(6)/(30).≅¢ 证明：令5:(6),6[6],f n n →则f 是到的一个满同态，且{}{}{}{}6(6)|(6)[0]6(6)|[6][0]6(6)|5|630|(30).Kerf n f n n n n n m m =∈==∈==∈=∈=¢因此，(30)(6)<，且5(6)/(30).≅¢ 第三章环3.1 环的定义1、设R 是一个非空集合，具有两种代数运算：加法（记作“+”）与乘法（记作“g ”），若（1）(,)R +是一个加群；（2）(,)R g 是一个半群；（3）,,a b c R ∀∈都有乘法关于加法的左右分配律：(),(),a b c a b a c b c a b a c a +=++=+g g g g g g 则称R 是一个结合环，简称环，记作(,,)R +g .2、常见环（1）数环：数集关于数的加法、乘法所作成的环.例如2.⊂⊂⊂⊂ⅱぁ?（2）R 上的n 阶全矩阵环()n M R ：数环R 上全体n 阶矩阵关于矩阵加法、乘法.（3）R 上的一元多项式环[]R x ：数环R 上全体一元多项式关于多项式的加法、乘法.（4）高斯（Gauss ）整数环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ关于数的加法、乘法作成一个环.（5）设G 是一个加群，()E End G =是G 的所有自同态所组成的集合，规定：,,E x G στ∀∈∈，()()()(),()()(()),x x x x x στστστστ+=+=g 则(,,)E +g 是一个环，称为G 的自同态环.（6）商集{}[0],[1],,[1]m m =-关于加法运算[][][],a b a b +=+与乘法运算[][][],a b ab =g作成一个环(,,)m +，称为模m 的剩余类环.3、环的初步性质环R 关于加法是一个加群，R 具有加群的运算性质：（1）00,;a a a a R +=+=∀∈（2）()()0,;a a a a a a a R -=+-=-+=∀∈（3）(),;a a a R --=∀∈（4）,,,;a b c b c a a b c R +=⇔=-∀∈（5）(),(),,;a b a b a b a b a b R -+=----=-+∀∈（6）()(),(),,,,;m na mn a n a b na nb m n a b R =+=+∀∈∈¢其次，环R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法通过左右分配律相联，从而R 还具有如下性质：（7）(),(),,,;a b c ac bc c a b ca cb a b c R -=--=-∀∈（8）000,;a a a R ==∀∈（9）()(),()(),,;a b a b ab a b ab a b R -=-=---=∀∈00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡00,,x y x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭¡（10）121212121111(),(),,;,,;n n n n i m n mn i j i j i j i j i j a b b b ab ab ab b b b a b a b a b a a b R a b a b a b R ====+++=++++++=+++∀∈⎛⎫⎛⎫=∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑L L L L（11）()()(),,,.na b a nb n ab n a b R ==∀∈∈¢4、若环R 的乘法运算g 适合交换律，则称R 是交换环.5、若在环R 中，半群(,)R g 有单位元，则称R 是有单位元环，或称R 是带1的环.6、设R 是一个环，0a R ≠∈，若0b R ∃≠∈，使0(0),ab ba ==则称a 是R 的一个左（右）零因子.当a 既是R 的左零因子，又是R 的右零因子时，则称a 是R 的零因子. 例如，模12的剩余类环12¢是有零因子环：[3][4][12][0]==.例1. 求所有形如的矩阵组成的环R 的零因子.解：对任意的由于00000,0a x y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以环R 的每个非零元素都是R 的右零因子，且每个形如00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的元素都是R 的左零因子.又当0≠a 时，如果0000000,*a x y ax ay ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则有0,0==y x .所以00,0*a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭不是环R 的左零因子.所以环R 的左右零因子分别是00,00a a ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 与 00,x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x ,不全为0. 7、设环R 不含左、右零因子，则称R 是无零因子环.8、一个有单位元、无零因子的交换环称为整环.9、设R 是一个环，若（1）R 至少包含两个元素；（2）R 有单位元；（3）R 中每个非零元都可逆；则称R 是一个除环（或体，斜域）.一个交换除环称为域.除环具有以下性质：（1）设R 至少包含两个元素，则R 是除环R ⇔中全体非零元组成的集合R *关于乘法作成一个群；（2）除环R 是无零因子环；（3）在除环R 中，,,0a b R a ∀∈≠，方程ax b =与ya b =都有唯一解.（4）一个至少含有两个元素，且没有零因子的有限环是除环.（5）一个有限整环是域.11、设R 是一个环，若存在最小正整数n ，使对于所有a R ∈，都有0na =，则称n 是环R 的特征（数）.若这样的n 不存在，则称环R 的特征（数）是零.环R 的特征（数）记作chR .在一个无零因子环R 中，所有非零元（对于加法）的阶全相等.12、设R 是一个环，且0chR n =>，则（1）当R 是有单位元时，n 是满足10n =g 的最小正整数；（2）当R 是无零因子时，n 是素数.13、域F 的特征或是素数，或是零.3.2 子环1、设R 是一个环，S R ∅≠⊆，若S 关于R 的加法、乘法作成环，则称S 是R 的一个子环，R 是S 的扩环，记作S R ≤.平凡子环：{0},.R非平凡子环：,{0},.S R S S R ≤≠≠2、(1)设R 是一个环，S R ∅≠⊆，则S 是R 的子环,a b S ⇔∀∈，有,.a b ab S -∈(2)设R 是一个除环（域），S R ∅≠⊆，则S 是R 的子除环（子域）,a b S ⇔∀∈，有1,(0).a b ab b S --≠∈3、当S 是R 的一个子环时，S 与R 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则S 也是交换环.②当S 是交换环时，R 未必是交换环. 例如20|,,().0a a b M b ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （2）在有无零因子上.①若R 是无零因子环，则S 也是无零因子环.②当S 是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如12¢有零因子[3],[4]等，但{}[0],[4],[8]没有零因子.（3）在有无单位元上.①若R 有单位元，S 可以没有单位元. 例如¢有单位元1，但其子环2¢没有单位元.②若S 有单位元，R 可以没有单位元. 例如0|,,|,.0000a b a R a b S a b ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭ ③若R 与S 都有单位元，它们的单位元可以不同. 例如210(),;01010|,,.0000M a S a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭¡¡ 4、设R 是环，I 是一个指标集，()i S R i I ≤∈，则i i I S R ∈≤I .5、设R 是环，T R ∅≠⊆，令{}12|,n i S x x x x T n =±∈∈∑L ?则S R ≤.上述子环S 称为由T 生成的子环，记作[]T .并称T 中元素是[]T 的生成元，T 是[]T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称[]T 是有限生成的，并可以记作12[,,,]l t t t L .特别地，1[]|,m i i i i t n t n m =⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∑ⅴ. 6、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M S T S R i I =⊆≤∈是R 的所有包含T 的子环族，则i i IT S ∈=I .3.3 环的同态与同构1、设R 与R '都是环，f 是R 到R '的映射，若f 保持运算，即,x y R ∀∈，有()()(),()()(),f x y f x f y f xy f x f y +=+= 则称f 是R 到R '的同态.单同态：同态f 是单射.满同态：同态f 是满射，并称R 与R '同态，记作R R ':. 同构：同态f 是双射，并称R 与R '同构，记作R R '≅. 环R 的自同态：R 与R 的同态；环R 的自同构：R 与R 的同构.2、设f 是环R 到环R '的同态.（1）若0是R 的零元，则(0)f 是R '的零元；（2）,()()a R f a f a ∀∈-=-；（3）若S R ≤，则()f S R '≤；（4）若S R ''≤，则1()f S R -'≤.3、当:f R R '→是满同态时，R 与R '在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致.（1）在交换性上.①若R 是交换环，则R '也是交换环.②当R '是交换环时，R 未必是交换环. 例如0:.00a b a f c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2）在有无零因子上.①当R 是无零因子环时，R '未必是无零因子环. 例如:m f ，¢没有零因子，m 是合数时，m ¢是有零因子环.②当R '是无零因子环时，R 未必是无零因子环. 例如 0:;00001010.0000a b a f c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a （3）在有无单位元上.①若R 有单位元1，则R '有单位元(1)f .②当R '有单位元时，R 未必有单位元. 例如010:;000000a b a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a 4、设环R R '≅，则R 是整环（除环，域）R '⇔是整环（除环，域）.5、设f 是环R 到环R '的同态，g 是环R '到环R ''的同态，则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的同态.6、设f 是环R 到环R '的满同态（单同态，同构），g 是环R '到环R ''的满同态（单同态，同构），则f 与g 的合成g f o 是环R 到环R ''的满同态（单同态，同构）.7、设f 是环R 到环R '的同态，0'是R '的零元，则称{}|()0Kerf x R f x '=∈=是的同态核.8、设f 是环R 到环R '的同态，0是R 的零元，则f 是单同态{}0.Kerf ⇔=3.4 理想与商环1、设(,,)R +g 是一个环，(,)A +是(,)R +的一个子加群，（1）若,r R a A ∀∈∈有ra A ∈，则称A 是R 的左理想；（2）若,r R a A ∀∈∈有ar A ∈，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，又是R 的右理想，则称A 是R 的（双侧）（双边）理想，记作A R <.若A R <，且A R ≠，则称A 是R 的真理想.理想是子环，子环不一定是理想.2、只有零理想{}0与单位理想R 的环R 称为单环. 除环是单环.3、设R 是一个环，I 是一个指标集，()i A R i I ∈<，则i i IA R ∈<I .注：理想的并集一般不是理想.5、设R 是环，T R ∅≠⊆，{}|,i i M A T A R i I =⊆∈<是R 的所有包含T 的理想族，则称i i IA ∈I 是由T 所生成的理想，记作()T .并称T 中元素是()T 的生成元，T 是()T 的生成元集.若12{,,,}l T t t t =L 是有限集，则称()T 是有限生成的，并可以记作12(,,,)l t t t L . 特别地，由一个元素a 生成的理想()a 称为主理想.3、设R 是一个环，a R ∈，T R ∅≠⊆，则{}()|,,,,i i i i a x ay sa at na x y s t R n =+++∈∈∑¢.且有（1）若R 是有单位元环，则{}()|,i i i i a x ay x y R =∈∑；（2）若R 是交换环，则{}()|,a ra na r R n =+∈∈¢；（3）若R 是有单位元的交换环，则{}()|a ra r R =∈；（4）{}()|(),i i i i T x x t t T =∈∈∑.例1. 求整数环¢上一元多项式环[]x ¢的理想(2,)x ，并证明(2,)x 不是主理想. 证明：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈¢¢ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.若(2,)(()),()[],x p x p x x =∈¢则2(()),(()),2()(),()(),(),()[],(),(),1(2,)p x x p x p x q x x p x h x q x h x x p x a x ah x a x ∈∈==∈=∈==±∈¢¢这与1(2,)x ±∉矛盾.得证.4、设R 是环，A R <，在商群{}{}(,)/(,)[]||R A x x R x A x R ++=∈=+∈中再规定：[][][],[],[]/x y xy x y R A =∀∈g ，则(/,,)R A +g 是一个环，/R A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[]x x A =+称为R 模A 的剩余类.5、（1）若R 是交换环，则/R A 也是交换环；（2）若R 是有单位元1的环，则/R A 有单位元[1].6、一个环R 与它的每一个商环/R A 同态.自然同态：:/,[],R R A x x x A x R π→=+∀∈a . 且有.Ker A π=7、（同态基本定理）设f 是环R 到环R '的同态，则（1）Kerf R <；（2）/Im R Kerf f ≅.8、（第一同构定理）设f 是环R 到环R '的满同态，A R ''<，1()A f A -'=，则A R <，并且//R A R A ''≅.9、设f 是环R 到环R '的满同态，若A R <，则()f A R '<.3.5 素理想与极大理想1、设R 是交换环，P 是R 的一个理想，若,,a b R ab P a P ∀∈∈⇒∈或b P ∈，则称P 是R 的素理想.单位理想是素理想.当R 是无零因子交换环时，零理想也是素理想；当R 有零因子时，零理想不是素理想.2、设P 是有单位元的交换环R 的一个理想，则P 是R 的素理想/R P ⇔是整环.例1. 试求模18的剩余类环18¢的所有素理想.解：（1）18¢有6个子加群：{}{}{}{}{}18{[0]},[0],[1],,[17],([2])[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14],[16],([3])[0],[3],[6],[9],[12],[15],([6])[0],[6],[12],([9])[0],[9].=====它们也是18¢的所有子环，也是18¢的所有理想.（2）因为[2][3][6]([6]),=∈但是[2],[3]([6]),∉所以([6])不是18¢的素理想.同理可证，{0},([9])都不是18¢的素理想.（3）对于([3])，设18[],[],[][]([3])a b a b ∈∈¢，则[][]([3]),[3][0],18|3a b r ab r ab r =-=-，从而存在m ∈¢，使318,183.ab r m ab m r -==+因为3|18，所以3|ab ，从而3|a 或3|b ，因此[]([3])a ∈或[]([3])b ∈，所以([3])是18¢的素理想.同理可证，([2])也是18¢的素理想.（4）显然单位理想18¢是18¢的素理想.3、设M 是环R 一个真理想，若对于的理想N ，M N N R ⊂⇒=，则称M 是R 的极大理想.R 中包含极大理想M 的理想只有R 与M .环R 本身不是的极大理想.若R 只有平凡理想，则零理想是R 的极大理想. 一个环可以有多个极大理想，也可以没有极大理想.4、设M 是有单位元的交换环R 的一个理想，则M 是R 的极大理想/R M ⇔是域.5、在有单位元的交换环中，极大理想一定是素理想.例2. 证明：在整数环¢上一元多项式环[]x ¢中，(2,)x 是一个极大理想. 证：因为[]x ¢是有单位元的交换环，所以12120(2,){2()()|(),()[]}{2()|()[]},x f x xf x f x f x x a xf x f x x =+∈=+∈ⅱ 即(2,)x 是由[]x ¢中常数项为偶数的多项式组成.令[0],2|(0),(())[1],f f x ϕ⎧=⎨⎩其它 …………(3分) 则ϕ是满同态，且ker {()[]|(())[0]}{()[]|2|(0)}(2,),f x x f x f x x f x ϕϕ=∈==∈=¢¢ 由同态基本定理，2[](2,)x x ≅¢¢，2¢是域，则 [](2,)x x ¢ 也是域，(2,)x 是[]x ¢的极大理想. 3.6 商域1、（挖补定理）设S 是环R 的子环，S S '≅，S R '⋂=∅，则存在S '的扩环R '，使R R '≅.2、每一个无零因子交换环R 都可以扩充为一个域F .3、无零因子交换环R 的扩域F 的构造为{}1|,F ab a R b R -*=∈∈.4、设R 是无零因子交换环，F 是R 的扩域，且{}1|,F ab a R b R -*=∈∈则称F 是R 的商域（或分式域）.5、（1）设F 是环R 的商域，F '是环R '的商域，若R R '≅，则F F '≅.（2）设F 与F '都是环R 的商域，则F F '≅.即，在同构的意义下，环的商域是唯一的.（3）环R 的商域是R 的最小扩域.例如¤是¢的商域，¡不是¢的商域.3.7 多项式环1、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，R α'∈，则R '中形如()2012,{0}n n i a a a a a R n ααα++++∈∈⋃L ?的元素称为R 上α的一个多项式，记作()f α；i a 称为()f α的系数，i i a α称为()f α的项.2、用[]R α表示全体R 上α的多项式所组成的集合，[]R α称为R 上α的多项式环.3、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，x R '∈，若()201201,{0}0,nn i n a a x a x a x a R n a a a ++++∈∈⋃⇒====L ?L则称x 是R 上的未定元.称x 的多项式 ()2012(),{0}n n i f x a a x a x a x a R n =++++∈∈⋃L ?是一元多项式.当0n a ≠时，称n n a x 是()f x 的首项；称n a 是()f x 的首项系数；称n 是()f x 的次数，记作deg ()f x ，零多项式0没有次数.[]R x 称为R 上的一元多项式环.4、设(),()f x g x 是[]R x 中两个非零多项式，则（1）(){}deg ()()max deg (),deg ()f x g x f x g x +≤，（2）()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x ≤+，且当()f x 与()g x 的最高次项系数不是零因子时，有()deg ()()deg ()deg ()f x g x f x g x =+5、设R 是一个有单位元的交换环，则一定存在R 上的未定元x ，从而存在一元多项式环[]R x .6、设(),()[]f x g x R x ∈，且()0g x ≠，若()g x 的首项系数是可逆元，则存在唯一的一对多项式(),()[]q x r x R x ∈，使()()()(),()0f x g x q x r x r x =+= 或 deg ()deg ()r x g x <.7、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n R ααα'∈L ，把环12[][][]n R αααL 称为R 上的12,,,n αααL 的多项式环，记作12[,,,]n R αααL .12[,,,]n R αααL 中的元素称为R 上12,,,n αααL 的多项式，它们都可以表示为()1212n n i i i i i i a a R ∈∑L L 其中仅有有限个120n i i i a ≠L ，12n i i i a L 称为这个多项式的系数.8、设R '是一个有单位元1的交换环，1R R '∈≤，12,,,n x x x R '∈L ，若()1212121212000,1,2,;1,2,,n n n n i i i i i i n i i i i i i j a x x x a i j n =⇒===∑L L L L L L则称12,,,n x x x L 是R 上的无关未定元.称12,,,n x x x L 的多项式()1212121212n n n n i i i i i i n i i i i i i a x x x a R ∈∑L L L L 是n 元多项式.称12[,,,]n R x x x L 是n 元多项式环.9、设R 是一个有单位元的交换环，n ∈¥，则一定存在R 上的无关未定元12,,,n x x x L ，从而存在n 元多项式环12[,,,]n R x x x L .第四章整环里的因子分解在本章中，I 都表示整环，其单位元是1.4.1 不可约元、素元、最大公因子1、整环I 中的可逆元ε称为I 的单位.ε是单位()I ε⇔=.一个元素个数大于2的整环中至少有两个单位：1和1-.整数环只有两个单位，即1和1-.域F 中的每一个非零元都是单位.2、整环I 的全体单位关于I 的乘法构成一个交换半群.3、设,a b I ∈，若c I ∃∈，使a bc =则称b 整除a ，或b 是a 的因子，记作|b a .4、整除关系具有下列性质.（1）|,||c b b a c a ⇒；（2）|()()b a a b ⇔⊆；（3）|,|,a b b a b a εε⇔=是I 的单位()()b a ⇔=；（4）ε是I 的单位|1ε⇔；（5）设b I ∈，ε是I 的单位，若|b ε，则b 也是I 的单位；（6）设a I ∈，ε是I 的单位，则|,|a a a εε.5、设,a b I ∈，若|a b 且|b a ，则称a 与b 相伴，记作a b :.6、设,,a b c I ∈，则下列各个命题等价：（1）a b :；（2）,b a εε=是I 的单位；（3）()()a b =.7、相伴关系是整环I 上的一个等价关系.8、设,a b I ∈，若|b a ，但b 不是单位，且b 与a 不相伴，则称b 是a 的真因子.9、设,a b I ∈，则b 是a 的真因子()()a b I ⇔⊂⊂.10、单位没有真因子.11、设a I ∈，且a bc =，若b 是a 的真因子，则c 也是a 的真因子.12、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，若a 在I 中没有真因子，则称a 是I 的一个不可约元；若a 在I 中有真因子，则称a 是I 的一个可约元.13、设a I ∈，且0a ≠，a 不是单位，则a 是I 的可约元a bc ⇔=，且,bc 都不是单位.14、一个不可约元的相伴元也是不可约元.15、设p I ∈，且0p ≠，p 不是单位，若由|p ab 可推出|p a 或|p b ，则称p 是I 的一个素元.16、在整环I 中，每一个素元都是不可约元.17、设,a b I ∈，若d I ∃∈，使（1）|,|d a d b ；（2）,|,||c I c a c b c d ∀∈⇒；则称d 是a 与b 的最大公因子. 18、最大公因子有以下基本性质：（1）(,0)a a :；（2）(,)00a b a b ⇔==:；（3）a I ∀∈与单位ε，有(,)a εε:.19、设,a b I ∈，a 与b 的最大公因子存在，且是单位，则称a 与b 互素.a 与b 互素，当且仅当除单位外，a 与b 无其他公因子20、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则,,a b c I ∈，有（1）(,(,))((,),)a b c a b c :；（2）(,)(,)c a b ca cb :；（3）(,)1,(,)1(,)1a b a c a bc ⇒:::.4.2 唯一分解环1、设a I ∈满足：（1）有一个因子分解式12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（1）若同时又有因子分解式12s a q q q =L （j q 是I 中不可约元）；那么s r =，并且可以适当调换因子的次序，使(1,2,,)i i q p i r =:L . 则称a 为I 中的唯一分解元，并称r 是a 的长.2、设a 是唯一分解元，若在a 的分解式中，有t 个不可约因子12,,,t p p p L 互不相伴，且其他的不可约因子都与某个i p 相伴，则a 的分解式可以写作：1212t e e e t a p p p ε=L ，其中ε是单位，i e ∈¥.这个式子称为a 的标准分解式.3、若整环I 中每一个既不是零又不是单位的元都是唯一分解元，则称I 是唯一分解环.4、在一个唯一分解环I 中，若元a 的不可约因子已知，则可确定出a 的所有真因子（至多相差单位因子），且元a 的长大于其任一真因子的长.5、在一个唯一分解环I 中，任意两个元都有最大公因子，每一个不可约元都是素元.7、若整环I 中任意两个元的最大公因子都存在，则I 中的每一个不可约元都是素元.8、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的每一个不可约元p 都是素元；则I 是唯一分解环.9、若整环I 满足：（1）I 中每一个既不是零又不是单位的元a 都有一个因子分解：12r a p p p =L （i p 是I 中不可约元）；（2）I 的任意两个元都存在最大公因子；则I 是唯一分解环.例1. 设[3]{3|,}{3|,}I m n m n m n i m n =-=+-∈=+∈ⅱ?（1）ε是I 的单位2||11εε⇔=⇔=±；（2）求2的相伴元；（3）I 中适合条件2||4a =的元a 是I 的不可约元；（4）2是I 的不可约元，但不是I 的素元；（5）I 不是唯一分解环.证：（1）循环论证法.若ε是I 的单位，则I ε'∃∈，使1εε'=.两边取模的平方，得22||||1εε'=. 设3m n ε=+-，则222||3m n εεε==+是正整数.同理2||ε'也是正整数，于是2||1ε=.若2||1ε=，则2231m n +=，所以0,1n m ==±，即1ε=±.显然1±是I 的单位.（2）由（1）及相伴元的定义，2的相伴元只有2与2-.（3）因为2||4a =，所以0a ≠且不是单位.设3b m n I =+-∈是a 的一个因子，则a bc =，c I ∈，于是2224||||||a b c ==.但是对于任何正整数222,,||32m n b m n =+≠，所以2||1b =或4.若2||1b =，则b 是单位；若2||4b =，则2||1c =，于是c 是单位，所以b a :.从而a 只有平凡因子，因此a 是不可约元.（4）因为2|2|4=，由（1）知，2是I 的不可约元.下面证2不是I 的素元.首先2|(13)(13)+---.若2|13+-，则存在c I ∈，使132c +-=.于是222|13||2|||c +-=，即244||c =，从而2||1c =，1c =±，但这是不可能的.所以2/|13+-.同理2/|13--.因此2不是I 的素元.（5）I 的单位只有1与1-，从而4是I 中一个既不是零元也不是单位的元，而且422(13)(13)=⋅=+--- 因为222|2||13||13|4=+-=--=，所以都是I 的不可约元.又因为213/+-:，213/--:，所以4有两种本质上不同的不可约元的因子分解，从而4不是唯一分解元.因此[3]I =-¢不是唯一分解环.4.3 主理想环1、若整环I 的每一个理想都是主理想，则称是主理想环.例如，整数环¢和域F 上的一元多项式环[]F x 都是主理想环；但¢上的一元多项式环[]x ¢不是主理想环：(2,)x 不是主理想.2、设是一个主理想环，若在序列123,,,(,1,2,3,)i a a a a I i ∈=L L中每一个元都是前面一个元的真因子，则这个序列一定是有限序列.3、每一个主理想环都是唯一分解环.4、设I 是主理想环，,a b I ∈，则(,)()a b d d =⇔是a 与b 的一个最大公因子.5、设I 是主理想环，12,,,s a a a I ∈L ，则12(,,,)()s a a a d d =⇔L 是12,,,s a a a L 的一个最大公因子.6、设I 是一个主理想环，p 是I 中的非零元，则()p 是I 的极大理想p ⇔是I 的不可约元.4.4 欧氏环1、设I 是整环，若（1）存在一个由\{0}I I *=到非负整数集{0}⋃¥的映射ϕ；（2）,,,a I b I q r I *∀∈∈∃∈，使,0b aq r r =+=或()()r a ϕϕ<；则称I 是一个欧氏环.例如，整数环¢，高斯整（数）环[]{|,}i m ni m n =+∈ⅱ，域F 上的一元多。

近世代数发展简史

近世代数发展简史近世代数是数学领域中一门重要的学科，它研究的是数和运算的结构。

近世代数的发展经历了数百年的演变和探索，涵盖了众多的数学家和理论。

本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和相关的重要成果。

1. 古代代数的起源古代代数的起源可以追溯到公元前2000年摆布的古埃及和古巴比伦时期。

在这个时期，人们开始使用符号和方程式来解决实际问题，如土地测量和贸易计算。

然而，古代代数的发展相对较为有限，主要集中在线性方程和几何问题的解决上。

2. 文艺复兴时期的代数革命文艺复兴时期（14世纪至17世纪）是近世代数发展的关键时期。

在这个时期，代数学开始脱离几何学的束缚，成为独立的学科。

重要的代数学家如意大利数学家斯卡拉潘尼、法国数学家维阿塔、德国数学家费尔马等，为近世代数的发展奠定了基础。

3. 代数方程的解法研究在文艺复兴时期，数学家们开始研究代数方程的解法。

其中最著名的是意大利数学家卡尔达诺的工作。

他发现了一种求解三次方程的方法，被称为“卡尔达诺公式”。

这个发现对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。

4. 群论的发展群论是近世代数的一个重要分支，它研究的是集合和运算的结构。

群论的发展起源于19世纪，德国数学家高斯和狄利克雷等人对数论中的整数运算进行了深入研究。

后来，法国数学家瓦埃斯特拉斯和德国数学家诺伊曼等人对群的性质进行了系统的研究，奠定了群论的基础。

5. 现代代数的发展20世纪是近世代数发展的黄金时期。

在这个时期，代数学的研究范围不断扩大，涉及到了更多的领域。

线性代数、抽象代数、代数几何等分支学科相继发展起来。

现代代数的发展离不开一些重要的数学家的贡献，如德国数学家埃米尔·阿尔蒂因、法国数学家布尔巴基等。

总结：近世代数的发展可以追溯到古代，但真正的突破发生在文艺复兴时期。

代数方程的解法研究为代数学的发展带来了重要的推动。

群论的浮现和发展进一步丰富了代数学的研究内容。

而现代代数的发展则在20世纪达到了巅峰，形成为了更为完整的理论体系。

日本的历史——近世

2.桃山時代
開始：織田家重臣羽柴秀吉击败明智光秀，确立了自己的继承人地
位，並被天皇賜姓「丰臣」
发展：
1583年建立大阪城
完成織田信長未能成功的統一大業
振兴商业、规范金融
以「刀狩」征收了全国农民的武
器，有效避免了农民叛变。
大阪城
两次入侵朝鮮遭明朝重创（李舜臣自制龟船，连败日军結束：
1598年，丰臣秀吉临终前将5岁的儿子丰臣秀赖托付于“五大老”。作为五大老之首的德川家康，立即策划夺权。丰臣秀吉病逝，丰臣家裂分为近江（西軍）和尾張（東軍）兩派
1603年，德川家康建立江戶幕府，战国時代結束。
江户幕府(1603年-1867年)
1.开始：1603年德川家康在江戶（今东京）
建立幕府2.統治：德中央集权川家
阶级封锁武士、农民、工匠、康商人、
秽多
海外貿易确立「朱印船」制度，与
台湾、东南亚等地贸易
锁国政策只容許荷兰人及中国人在长崎进行贸易提倡儒学朱子学发展出庶民文化歌舞伎、浮世绘
安土桃山时代（1573年至1603年）
安土时代开始：1573年，織田信長放逐了最后一个室町幕府將軍足利義昭，並在琵琶湖畔的安土建造了七层的用石头墙壁围着的城堡盛世：通過大规模的战争控制了全日本約三分之一地区結束：1582年，明智光秀叛变，織田信長被迫於本能寺燒殿自焚而亡
織田信長像
安土城
復原後的本能寺
3.沒落：內部分化將軍继嗣之争外国冲击1853年，一支由佩里领导的美国
舰队进入江戶湾（由称黑船事件），倒幕思想开始兴起。
德川幕府統治下的日本社會，分為（武）士、农、工（艺人）、商四級。他们当中，士为四民之首。商人身份最低，仅高于秽多。

近世代数简介ppt

若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I，则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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近世の文学

9/28/2014
文体：和漢混交、雅俗折衷の文体で書かれ、長編読本の最高水準を示している。
内容：「水滸伝」からヒントを得て、南総の里見家の後興を目指す家臣の八勇士の武勇伝である。
八犬士：《南总里见八犬传》的主角是八个由念珠转生的武士，他们在出生时随身就携带着里面会浮现文字的念珠，分别代表仁、义、礼、智、忠、信、孝、悌八种美德，并且在身上的某部位会存在一牡丹形状的痣。八犬士的出身地各有不同也互不相识，但姓氏都是以“犬”字起头，且同样都会背负一种与本身所持美德相违背的悲剧背景，而被迫离开原本的生活步上流浪之途，并且逐一相遇结识并且同行。八犬传的作者曲亭马琴在这些人物的个性与遭遇中埋入许多与儒家或佛家意念相关的伏笔或隐喻，因此这些错综复杂的人际关系也成为日后一些文学分析者津津乐9/28/2014 道的话题。
一．時代の背景朱子学）鎖国政策（さこく）
木版印刷（もくばん）
平和の到来
文化・経済の発展
文学の繁栄
木版印刷や寺子屋（てらこや）の普及文学の読者層の広がり
江戸時代の寺子屋
作者（武士→町人）
作品（手書き→印刷）
町人文学の繁栄
読者（教育の広がりと共に）
山形領内に、立石寺という山寺がある。慈覚大師が開いたお寺で、まことに清らかで静かな土地である。「一度は見てみたほうが良い」と人々にすすめられたので、尾花沢から引き返してきたのであるが、その距離は七里ほどである。
日はまだ暮れていない。山のふもとの宿坊に宿を借りて、山上にあるお堂に登っていく。岩に巌が重なって山となり、松や柏の木は年齢を重ね、土や石も年が経って苔がなめらかに覆っており、岩の上に建てられたお堂の扉は閉じられていて、物の音が聞こえない。崖のふちをまわって、岩をはうようにして登り、仏閣を拝んだのだが、すばらしい景色は静寂につつまれ、自分の心が澄んでいったことだけが感じられる。

日本文学史-近世

近世文学キーワード：町人文学上方（かみがた・かみかた）は、江戸時代に大坂や京都を初めとする畿内（きない、きだい、うちつくに）を呼んだ名称である。

元禄（げんろく、旧字体では元祿）は、日本の元号（げんごう）の一つ。

貞享（じょうきょう）の後、宝永（ほうえい）の前。

1688年から1703年までの期間を指す。

この時代の天皇は東山天皇（ひがしやまてんのう）。

江戸幕府将軍は徳川綱吉（とくがわつなよし）。

山崎宗鑑（やまざきそうかん、寛正（かんしょう）6年（1465年）? - 天文（てんぶん、てんもん）22年10月2日（1553年）?）は、戦国時代の連歌師・俳諧作者。

本名を志那範重、通称を弥三郎と称し、近江国（おうみのくに、現在の滋賀県）の出身とされるが、本名・出自については諸説あり定かではない。

荒木田守武とともに、俳諧の祖と称される。

貞門派（ていもんは）は、江戸時代前期の歌人・俳人で連歌も行った松永貞徳（まつながていとく）（1571年－1654年）によって提唱された俳諧の流派。

貞徳は、俳諧が和歌・連歌を詠むにあたっての基礎であると考え、俗語や漢語などのいわゆる俳言（はいごん）を使うことを主唱した。

貞門派の俳風は言葉遊びの域を出ず、その後西山宗因（にしやまそういん）が主張した談林派俳諧に押されるようになるが、江戸時代後期まで影響力を有した。

談林派（だんりんは）は、西山宗因（にしやまそういん）らを中心にして江戸時代に栄えた俳諧の一派。

松永貞徳門下による貞門派に代わって俳壇の中心を占めた。

連歌師でもあった西山宗因のほか、浮世草子作者でもある井原西鶴（いはらさいかく）、京の菅野谷高政、江戸の田代松意らが活躍した。

後に衰えて松尾芭蕉による蕉風が盛んになる。

談林派の作風は「心付」と呼ばれた。

松尾芭蕉（まつおばしょう、寛永（かんえい）21年（1644年） - 元禄7年10月12日（1694年11月28日））は現在の三重県伊賀市出身の江戸時代前期の俳諧師である。

大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件

即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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日本的历史——近代

日本的历史
01 从上古到大和王权时代
CONTENTS
02 古代 03 中世 04 近世 05 近代
05
近代
近代史
近代史分为:
明治时代大正时代昭和时代前,中,后期
明治时代（1868年－1912年）近代
1.1867年末代幕府德川慶喜將政权交还给明治天皇
2.明治維新的推動
明
造成武士阶级的沒落
治
大正时期的日本人
昭和时代前期（1926年至1945年）
➢1.大正時代：公元1913~1925年被「不幸的大正」，在位15年，政绩还不如明治
1923年发生「关东大地震」一生为脑病所困，最后被迫让权疗养
2.昭和時代：在位前20年致力于侵略扩张全面侵华战争太平洋战争
1945年8月15日，日军投降。美军占领日本，改日本专制天皇制为君主立宪制
奠定國家发展的基础
天皇
引进西方科技事物
废除不平等条约
提高国际地位成为帝国主义列强之一
Hale Waihona Puke 1894年，甲午战争击败中国
1905年，日俄战争击败俄国
大正时代（1912年－1926年）
明治天皇于1912年驾崩，子嘉仁继位，改元大正，是为大正时代。大正元年，因为陆军倒阁而引起了第一次护宪运动（即：大正民主运动，日语：大正デモクラシー），开始出现政党政治。
THANKS
1946年元旦，发布《人间宣言》否定天皇的神圣地位，承认自己与平民百姓一样也是人
1964 10 1
昭和时代中期日本经济复活期（1945年至1972年）
年月日新干线开业
1970年世界博览会
现代史
就是现在的平成时代

近世代数教学PPT(精品)

两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设是给定的集合 .由 A1 , A2 ,, A n
A1 , A2 ,, 的一切元素 An
所成的集合叫做
A1 , A2 ,, 的并； An
由 A1 , A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
A1 , A2 ,, An 的交. A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支。 1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996）根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。
近世代数理论的三个来源

近世十方丛林剃度制度的形成

一些新的措施,来应对其漏洞,但仍不足以解决
问题;于是又尝试直接禁止剃度,经过反复试
验,最终形成了十方丛林不剃度的制度,成为近
世丛林的主流规制。
二、遵循旧制及其问题
剃度僧侣是中国佛教寺院一直以来的传统。
以住持及其徒弟为中心的房头形成后,想要在寺
院长期维持下去,就必须突破丛林中住持一人剃
度收徒的制度,使房头得以享有剃度僧侣的资
了年龄辈分的区别。需要说明的是为何要如此?
可以想见,倘若年龄相差甚多的僧人同为一辈,
其中年龄较大僧人的处境就很微妙。年龄较小的
僧人亦有与之相抗衡的资本,不免在僧团内部造
成分裂,因此让年龄较小的僧人往下顺延一
派辈。
但是这样会引发另一问题,即皆为云栖之徒
的僧人 “私自认师认徒”。为此采取预防措施,
倘有真心归向者,许议禀方丈”;东序首领监寺,
“不可私收徒众,滥授法名,倘有真心皈依者,
当会议知客,禀白方丈”⑧ 。明末清初,杭州理
安寺的《箬庵禅师同住规约》中也提及,“不许
私立徒众,收畜年少沙弥,违者出院”⑨ 。
明末常熟的三峰清凉禅寺在相关规约中对此
有较多的说明。在汉月法藏制定的《三峰久远清
规》中,第一条便是: “三峰立法,禅律并宏。
其间收徒自然不少,“宏” “济”两辈应已经使
用,故开始以 “上”字辈命名。而且,在法藏逝
世后,以 “上”字辈命名的僧人还要降一等,以
“德”字辈命名,以维护已有的代际序列。
在禅宗寺院中,除了剃度收徒外,更为重要
的还有传法。尽管在剃度收徒上根据年龄,降低
了不少辈分,但倘若其人在禅学领悟上有一定的
能力,也能获得传法而改名,以提升辈分。法藏

近世文学

近世文学の为な文学様式：詩歌、小説、劇文
学１、詩歌文学 ①和歌中世末から硬直化(こうちょくか)した和歌は、近世に入っても因襲的(いんしゅうてき)に続いていた。武将である細川幽斎(ほそかわゆうさい)が伝統的な二条派の中心として活躍。十七世紀後半に、戸田茂睡(とだもすい)は歌論書『梨本集(なしもとしゅう)』を持って、和歌革新を目指す。
赤本(あかほん)・黒本(くろほん)・青本(あ
おほん)：赤本は子供婦人向きであるが、黒本・青本はもう少し読書力(どくしょりょく)のある者を対象にしている。赤本には『桃太郎』『かちかち山』『さるかに合戦』『花咲爺(はなさきじじい)』『文福茶釜(ぶんぶくちゃがま)』『舌切雀(したぎりすずめ)』『酒呑童子(しゅてんどうじ)』などがある。

⑤洒落本(しゃれぼん)・人情本(にんじょうぼん)・滑稽本(こっけいぼん)
十八世紀後半には、遊里を洒落と「通」の精神で描く洒落本が現れた。田舎老人多田爺(ただのじじい)の『遊子方言(ゆうしほうげん)』、山東京伝『通言総籬(つうげんそうまがき)』などがある。しかし、寛政の禁令（1790）で洒落本が禁じられると、心理描写を为とした人情本に移った。人情本は庶民の人情・恋愛を中心にした風俗小説で、為永春水(ためながしゅんすい)の『春色梅児誉美(しゅんしょくうめごよみ)』が代表作である。1842年の風俗取締以後衰退した。洒落本が衰えた後、会話・行動の面白さで、当時の庶民の生活をユーモラスに描いた滑稽本が現れる。十九世紀初めから幕末にかけ盛んに書かれ、十返舎一九(じっぺんしゃいっく)の『東海道中膝栗毛(とうかいどうちゅうひざくりげ)』、式亭三馬(しきていさんば)の『浮世床(うきよどこ)』などが有名である。

近世代数作业一

近世代数作业(一)1 若C A B A ⋂=⋂。

问：是否有C B =？把⋂改成⋃是又如何？2 设A 是有限集合，且n A =||。

证明：n A P 2|)(|=。

3 设B A ,是两个有限集合。

证明：||||||||B A B A B A +=⋂+⋃。

4 设}5,4,3,2,1{=X ，}10,8,6,4,2,0{=Y 。

试给出X 到Y 的两个单射。

5 设X 数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：||:A A →α是否为X 到F 的一个映射？其中||A 为A 的行列式。

是否为满射？6 设A 与B 是数域F 上两个n 阶相似方阵，][A F 为系数属于F 的关于A 的一切多项式作成的集合。

问：法则)()(:B f A f →ϑ是否为][A F 到][B F 的映射？其中)(x f 是系数属于F 的任意多项式，是否为单射或满射？7 设M 是自然数集。

下列各法则哪些是M 的代数运算？(1) b a b a = ；(2)2-+=b a b a ；(3)a b a = 。

8设},,{c b a M =，试对M 规定两不同的代数运算。

9 设与_集合M 的两个代数运算，如果在M 中存在元素使b a ,b a b a _≠则称与_ 是M 的两个不同的代数运算。

如果n M =||。

问：可以为M 规定出多少不同的代数运算？10 设M 为实数集，问： b a b a 32+= ),(M b a ∈ 是否满足结合律和交换律？11设M 为实数集，代数运算是普通率乘法。

问：以下各映射是否为的自同态映射？是否为自同态满射？说明理由。

(1) ||x x →；(2)2x x →；(3)x x 2→；(4)x x -→。

12设Q 是有理数集，代数运算是普通加法。

试给出Q 的一个除恒等变换以外的自同构。

13 令}10,6,4,2,1{=M 规定||4b a aRb +⇔。

问：R 是否M 为的一个关系？是否满足反射性、对称性和传递性？14 问：整数集Z 对运算1=b a 是否作成群？为什么？15 设}0,|),{(≠=a b a b a G 为实数且，并规定),(),(),(b ad ac d c b a += 。

近世代数第一章分析

第一章基本概念
1.1 集合 1.2 映射与变换 1.3 代数运算 1.4 运算律 1.5 同态与同构 1.6等价关系与集合的分类
运城学院
应用数学系
1.1 集合 1.2 映射与变换
教义和性质
映射，单射，满射，双射，逆
映射的定义及例子
变换，置换等的定义及例子
φ是单射 φ是满射 φ 是双
射
7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A 是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。
并称 στ
为 σ 与 τ 的合成或乘积。
x →σ（τ(x)）
12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，φ ：A → Bφ 它是一个一一变换。 x → x，
例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
A B表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素
A B表示A不是B的子集
A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为 |A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B|
4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A
10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相

近世代数知识点

近世代数知识点第一章基本概念1.1 集合A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A.1.2 映射证明映射：单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark ：映射满足结合律！1.3 卡氏积与代数运算{ (a,b ) la € A,b € B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4 等价关系与集合的分类★等价关系： 1 自反性：? a€ A,a~a;2 对称性：? a,b€ R, a~b=>b ~a€R;3 传递性：? a,b,c€ R,a~b,b ~c =>a ~c€ R.Remark :对称+传递工自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。

第二章群2.1 半群1. 半群=代数运算+结合律，记作（S,°）Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii. 若半群中的元素可交换，即a°b=b °a, 则称为交换半群。

2. 单位元i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元= 单位元。

iii. 在有单位元的半群中，规定a0=e.3. 逆元i. 在有单位元e 的半群中，存在b, 使得ab=ba=e, 则a 为可逆元。

ii. 逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。

iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。

4. 子半群i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个子半群ii. T是S的子半群？？a,b ET,有ab ET2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark ：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel 群.ii. 加群=代数运算为加法+ 交换群iii. 单位根群Um={ ??€??|?叨=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL（n,P）,数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL（n,p）.2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+ 单位元+逆元=代数运算+结合律+ ? a,b €G,ax=b,ya=b 有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii. 设G是群，则？ a,b €G,ax=b,ya=b 在G中有唯一解iii. e 是G 单位元? e2=eiv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用|??表示。

中国历史分期中的“近世”

中国历史分期中的“近世”经过东汉后期到西晋的第一过渡期，中国历史的发展进入了中世；中世社会历经了五胡十六国隋唐，到唐末五代迎来了第二过渡期；宋代以后，中国历史的发展进入了近世。

这一学说经其门人弟子的完善与发展，最终形成了魏晋以前为古代，魏晋隋唐为中世，宋代以后为近世的中国史分期学说。

这一学说是“京都学派”的核心内容，是其认识中国历史以及东亚历史的出发点。

内藤中国史学的核心，是把握中国文化发展变化的脉搏，探讨中国自身的历史发展及其与周边地区历史发展的相互影响。

内藤将上古时期分为前后两期，认为前期是中国文化在本土上形成并进行充实的时期，后期则是中国文化向边境各民族传播，并向东亚发展，演变为“东洋史”的时期。

第一过渡期是中国文化暂时停止向外发展的时代。

而中世则是接受了中国文化熏陶的外部种族开始觉醒，其势力反作用于中国内部的时代。

第二过渡期的唐末五代，是外部势力在中国本土达到顶峰的时代。

从北宋开始，中国历史的发展进入了“近世”阶段。

“近世”一词原是中国古典用语，如《史记·货殖列传》篇首所言“輓近世塗民耳目，则几无行矣”是其典型用例，简单说，就是离言者的生活年代较近的时代。

然而，历史分期中的“近世”，绝非单纯的时代上的早晚，它必须具有充实且明显的时代特征。

京都大学教授内田银藏在1903年出版的《日本近世史》一书的序言中，已明确指出：“宋元明的文化就是近世中国的文化”。

由1918年的讲演稿整理而成的《日本的近世》中，内田银藏阐述了自己对中国历史分期的看法：“汉末是古代的终结，三国时期是古代向中世纪的过渡时期，晋南北朝隋代到唐末是中国历史上的中世，将五代视为从中世到近世的过渡时期，宋元明清则可称为中国历史上的近世。

隋唐从政治上来讲与此前南北分裂时代大相径庭，但从文明的性质上来看，是就此继承了前代的特征。

而到了宋代，加进了许多新的色彩，学问艺术一体的风气总算摆脱了传习的束缚，开始带有一种轻松明快的新感觉。

近世代数答案(一、二三章)

Chapter 11、proof Let A,B,C be sets .Suppose that x ∈B,we get x ∈A ∩B orx A B A ∈- ,and x A C ∈ or x A C A ∈- since A B A C = and A B A C = .so x ∈C and B C ⊆.Similarly ,we have C B ⊆and so B=C .2、proof ① First,consider ()x A B A ∈- .Then x A ∈ or x B ∈,but x A ∉.Thisimplies if x is not an element of A ,then x B ∈.Hence x A B ∈ and()A B A - ⊆A B .Conversely, if x A B ∈ ,then by definition , x A ∈ or x B ∈.This generates two cases:(a1) If x A ∈,clearly ()x A B A ∈- ;(b2) If x B ∈,then either x A ∈ or not . i.e.,either x B ∈ and x A ∈ orx B∈ but x A ∉, in either case, we have ()x A B A ∈- .Hence A B ⊆()A B A - .Therefore ()A B A - =A B .② Suppose that ()x A B C ∈- .Then x A ∈ but x B ∉ and x C ∉. Sox A ∈-B and x A C∈- and ()()x A B A C ∈-- by definition .Hence ()A B C - ⊆()()A B A C -- .Converssely , Assume that ()()x A B A C ∈-- ,then x A ∈-B andx A C∈-,and we have ,x A ∈but x B ∉ and x C ∉.Hencex B C ∉ , x A ∈, i.e., ()x A B C ∈- .Therefore ()()A B A C -- ⊆()A B C - and,so ()A B C - =()()A B A C --3.(a) surjective (b) bijective (c) bijective4.proof if f: X →Y and g: Y →Z are functions,then their composite denoted byg ︒f, is the function X →Z given by g ︒f: X →g(f(x)) (i)suppose that (g ︒f)(a)= (g ︒f)(b), where a,b ∈X. we have g(f(a))=g(f(b)) by definition, and f(a)=f(b) since g is injective, similarly , a=b for f is injective. Therefore, g ︒f is injective.(ii)For each Z ∈Z, there is y ∈Y with g(y)=z since g is surjective, and for each y ∈ Y , there exists a ∈ x with f(a)=y since f is surjective. So for ∀z ∈Z, there is a ∈ x with (g ︒f)(a)=g(f(a))=g(y)=z. which implies g ︒f is surgective.5. proof clearly , α:R →R is a function. Suppose that α(a)= α(b) where a, b∈R are distinct. Then332211aba b =++, cross multiplying yields332323a ab b a b +=+, which simplifies to 33a b = and hence a b =,so α isinjective. for ∀given y ∈ R,321xy x =+from,we get equation320x yx y --=, which can be solved for x, i.e .for each y ∈ R,there is at leastx ∈x such that 321xy x =+.whic implies α is surjective. Therefore α isbijective.6、(a) R is reflexive, symmetric, transitive. (b) R is reflexive, not symmetric, transitive.(c ) R is reflexive, symmetric, transitive.(d) R is reflexive, symmetric, transitive.7、proof (1) For every a ∈R-{0}，we have 20aa a =>, and so ,aRa (2) IfaR b, where ,{0}a b R ∈-, i.e.,0,ab > then 0ba >,i.e., bR a ,(3) If ,aRb bRc , where ,,a b c ∈{0}R -, i.e. 0,ab >0b c >,then 0a c >.i.e.,aR c .Therefore, the relation ～ is an equivalence relation .8、 There are 1,3,5,15 equivalence relations on a set S with 1,2,3 or 4 elements,separately.9、 We can list the elements of the residue classes of modulo 3: [0]={…,-9,-6,-3,0,6,9,…} [1]={…,-8,-5,-2,1,4,7,10,…} [2]={…，-7,-4,-1,2,5,8,11,…}Chapter 21、proof i)ii ）For every x,y ,z ∈G ,(x*y)*z=(xy-x-y+2)*z=(xy-x-y+2)z-z-(xy-x-y+2)+2=xyz-xz-yz+z-xy+x+y x*(y*z)=x*(yz-y-z+2)=x(yz-y-z+2)-x-(yz-y-z+2)+2=xyz-xy-xz+x-yz+y+z we have (x*y)*z=x*(y*z). And so the associative law holds.3、Solution Straightforward calculation shows that 46A IB ==. ()nAB I ≠,since 1()01n n A B I -⎛⎫=≠⎪⎝⎭(0)n ≠.4、proof Suppose 222()ab a b = for all,a b G∈，then2()ab =()()ab ab =22a b =()()aa bb ,i.e., abab aabb =. Applying left cancellation , this becomes bab abb =,and by right cancellation, this reduces to ba ab =. 5、proof For every a G ∈, there is a ,1a G -∈ such that 1a a e -=(identity)So 11()nabaaba--=1aba- (1)aba-1aba-=1naba-。

近世文学大纲整理

近世文学一、歴史的背景――太平の世• 一六〇三年ー一八六七年• 幕藩体制• 参勤交代さんきんこうたい（各藩の大名を定期的に江戸に出仕させる江戸幕府の制度である） • 士農工商の身分制度• 鎖国政策二、近世文学概説ー町人の文学• 中世の戦乱期を脱してようやく民心が安定し、文学・芸能が盛んになった。

町人文学の担い手――経済力をつけた町人教育の普及による読者層の増大版木はんぎ印刷が出現して、大量出版することができる。

町人たちの文学――商業によって経済力を身につけ、生活を楽しみながら自らの文化を形成していく積極的な生き方。

庶民的・娯楽的１、上方かみがた文学期（十七世紀初期――十八世紀初期）• 上方文学期（元禄文学期）• 仮名草子――公卿・僧侶などが仮名で書いた読み物で、民衆の啓蒙・教訓・娯楽などを狙いとしていた。

• 浮世草子 ―――井原西鶴いはらさいかく町人の旺盛な経済活動や享楽的な官能の世界代表作：『好色一代男こうしょくいちだいおとこ』『世間胸算用せけんむねさんよう』• 俳諧ー松永貞徳まつながていとく（貞門派ていもんは）：滑稽性を強調し、俳諧を連歌から独立した文学とした。

西山宗因にしやまそういん（談林派だんりんは）：自由軽妙な表現をし、内容のおかしみをねらった。

松尾芭蕉まつおばしょう（蕉門派しょうもんは）：俳諧を芸術性豊かなものとして完成させた。

代表作：紀行文『奥おくの細道ほそみち』俳諧七部集『冬ふゆの日ひ』『猿蓑さるみの』 • 俳論―――向井去来さかいきょらい『去来抄きょらいしょう』服部土芳『三冊子』• 演劇―――歌舞伎、浄瑠璃浄瑠璃―――近松門左衛門ちかまつもんざえもん：義理と人情代表作：『曽根崎心中そねざきしんじゅう』『冥途めいとの飛脚ひきゃく』２、江戸文学期（十八世紀初期ー十九世紀中期）•黄表紙きびょうし • 読本よみほんー上田秋成うえだしゅうせい『雨月物語うげつものがたり』滝沢馬琴たきざわばきん『南総里見八犬伝なんそうさとみはっけんでん』•洒落本しゃれぼん •人情本にんじょうぼん • 滑稽本こっけいぼん―十返舎一九じっぺんしゃいっく『東海道中膝栗毛とうかいどうちゅうひざくりげ』• 俳諧ー与謝蕪村よさぶそん、小林一茶こばやしいっさ• 演劇ー歌舞伎鶴屋南北つるやなんぼく『東海道四谷怪談とうかいどうよつやかいだん』• 国学―――賀茂真淵かものまぶち『万葉考まんようこう』本居宣長もとおりのりなが『古事記伝こじきでん』３、文学理念•粋すいー社交的に洗練された享楽精神 • 通つうー遊里の事情によく通じていて失敗しないことを誇りとする • 意気いきー都会風に洗練された、江戸っ子のさっぱりした意気地をさす• さびー閑寂・枯淡の境地•軽かるみー平俗なものを私的な美へ高める三、学習のポイント• 近世では小説と俳諧が出題の中心である。

第二章近世代数简介

对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这里表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得的元素一定位于子环内。环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o