空间位置关系的判断与证明

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空间几何的点与面的位置关系

空间几何的点与面的位置关系在空间几何中，点和面是两个基本的几何概念。

它们在三维坐标系中具有不同的性质，但同时也存在着一定的位置关系。

本文将探讨点和面之间的几种常见的位置关系。

1. 点在面上在空间几何中，当一个点完全位于一个面上时，我们可以说这个点在这个面上。

要判断一个点是否在一个面上，我们可以通过判断点的坐标是否满足该面的方程。

例如，对于一个平面方程为ax+by+cz=d，如果一个点P的坐标满足该方程，即有a*x+b*y+c*z=d，那么点P就在该平面上。

2. 点在面的一侧除了在面上，一个点还可以位于一个面的一侧。

在这种情况下，点和面之间存在一定的距离。

我们可以利用面的法向量来判断点在面的一侧的具体位置。

如果点P与面的法向量的点积大于0，则说明点P在面的一侧；如果点积小于0，则说明点P位于面的另一侧。

3. 点在面的内部或外部除了位于面上或一侧，一个点还可以处于一个面的内部或外部。

这要根据面的形状和特点来判断。

例如，对于一个封闭的几何体，如立方体或球体，如果一个点位于其内部，那么该点与面的位置关系是在面的内部；相反，如果点位于几何体的外部，那么该点与面的位置关系是在面的外部。

4. 点在面的边界上在空间几何中，点还可以位于面的边界上。

这种情况下，点既不完全在面上，也不位于面的一侧，而是处于面与其它几何体的交界处。

例如，在一个立方体的边界上，点既不在立方体的内部，也不在立方体的外部，而是正好在立方体的边界上。

综上所述，空间几何中的点和面之间存在着多种不同的位置关系，包括点在面上、点在面的一侧、点在面的内部或外部以及点在面的边界上。

这些位置关系可以通过点的坐标和面的特征来进行准确的判断。

在解决空间几何问题时，我们需要理解并运用这些位置关系，以便更好地描述和分析点与面之间的关系，从而推导出几何学中的重要结论和定理。

通过研究和理解点和面的位置关系，我们可以进一步探索空间几何的其他相关概念和性质，如直线与平面的位置关系、点与直线的位置关系等。

空间几何中的平面与直线的位置关系判定

空间几何中的平面与直线的位置关系判定在我们的空间几何世界中，平面和直线是两个基本的元素，它们之间的位置关系多种多样，而准确判定这些位置关系对于解决几何问题至关重要。

首先，让我们来了解一下平面和直线的基本概念。

平面可以想象成一个无限延展的平坦表面，没有边界和厚度。

直线则是在空间中沿着一个方向无限延伸的几何图形。

平面与直线的位置关系主要有三种：平行、相交和直线在平面内。

当直线与平面平行时，意味着直线与平面没有公共点。

如何判定直线与平面平行呢？假设平面α外的一条直线 l ，如果在平面α内存在一条直线 m ，使得 l 平行于 m ，那么直线 l 就与平面α平行。

我们可以通过观察和构建相应的辅助线来进行判断。

举个例子，在一个房间里，地面可以看作一个平面，而天花板上平行于墙壁的灯管就可以看作与地面平行的直线。

接下来是直线与平面相交的情况。

这时直线与平面有且仅有一个公共点。

比如一根垂直立在地面上的旗杆，旗杆所在的直线就与地面这个平面相交，交点就是旗杆底部与地面的接触点。

要判定直线与平面相交，可以通过观察直线是否穿过平面，或者通过数学方法计算直线上的点是否在平面内来确定。

最后一种情况是直线在平面内。

这意味着直线上的所有点都在平面上。

比如说，在一张纸上画的直线，就完全在这张纸所代表的平面内。

在实际解题中，我们常常会用到一些定理和推论来帮助判定平面与直线的位置关系。

比如，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

另外，空间向量也是一个非常有用的工具。

通过建立空间直角坐标系，将直线和平面用向量表示，然后利用向量的运算和性质来判定它们的位置关系。

例如，如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么直线与平面平行；如果直线的方向向量与平面的法向量平行，那么直线与平面垂直。

在具体的问题中，我们需要综合运用各种方法和定理，灵活地进行分析和判断。

再来说说一些常见的误区。

有时候，我们可能会因为观察角度的问题或者对概念理解不够清晰，而误判直线与平面的位置关系。

推导空间解析几何的位置关系与距离公式

推导空间解析几何的位置关系与距离公式在空间解析几何中，位置关系与距离公式是研究空间中点、直线、平面之间相互位置关系与距离的重要工具。

通过推导和研究，我们可以得到一系列的位置关系与距离公式，进一步拓宽我们对空间几何关系的认识。

一、点与点之间的位置关系与距离公式在三维空间中，我们首先考虑点与点之间的位置关系与距离公式。

假设点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）是空间中的两个点，我们可以得到它们之间的距离公式如下：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)这个公式可以通过勾股定理推导得出，其中d表示两点之间的距离。

根据该公式，我们可以计算出任意两点之间的距离，从而判断它们的位置关系。

二、点与直线之间的位置关系与距离公式在空间解析几何中，点与直线之间的位置关系是一个重要的研究对象。

给定一条直线L与一个点P(x0, y0, z0)，根据点到直线的距离定义，我们可以推导出点P到直线L的距离公式。

设直线L的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为直线L的方向向量的分量。

点P到直线L的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，可以判断点和直线之间的位置关系，进一步研究空间中的几何性质。

三、点与平面之间的位置关系与距离公式接下来，让我们考虑点与平面之间的位置关系与距离公式。

给定一个平面的方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C分别为平面的法向量的分量。

对于空间中的一个点P(x0, y0, z0)，点P到平面的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)通过这个公式，我们可以判断点和平面之间的位置关系，从而进一步研究和解决空间几何问题。

空间位置关系的判断与证明

空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识内容1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉；点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α∉；直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α⊂；直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α⊄；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．2．平面的三个公理：⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．3．平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4．共面：如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面，那么我们说它们共面．<教师备案>1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面．2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们．确定一个平面的意思是有且仅有一个平面．3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到．4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性．线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．2．空间中两直线的位置关系： ⑴共面直线：平行直线与相交直线； ⑵异面直线：不同在任一平面的两条直线．3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ．其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α：直线上所有的点都在平面，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； ⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''．所以DD E E ''是平行四边形．因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆．所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，则这两个平面平行．3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画．如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面．3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直．2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．lα直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．nmA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略． 3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．点面距离与线面角（一）主要方法：本板块所学容为点面距离与线面角，求点面距离有两种方法，首先可以通过直接法作面的垂线，其次可以通过体积法转化，或者将问题转化为与面平行的直线上的点到面的距离；线面角问题属于线面关系的一种，是线面垂直与面面垂直定理的应用．１．点、斜线、斜线段及射影⑴点在直线上的射影自点A 向直线l 引垂线，垂足1A 叫做点A 在直线l 上的射影．点A 到垂足的距离叫点到直线的距离．⑵点在平面的射影自点A 向平面α引垂线，垂足1A 叫做点A 在平面α的射影，这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到这个平面的距离．.. . . .. . . . .v ⑶斜线在平面的射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这平面的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面的射影．2．直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：⑴直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面的射影所成的锐角；⑵直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90；⑶直线和平面平行或在平面时，直线和平面所成的角的大小为0．显然，直线和平面所成的角的围为0,90⎡⎤⎣⎦．由此可见，一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题），是通过斜线在平面的射影转化成两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：⑴作——作出斜线与射影所成的角；⑵证——论证所作（或找到）的角就是要求的角；⑶算——常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带作用。

空间平面的位置关系

空间平面的位置关系空间平面的位置关系是指在三维空间中，不同平面之间的相对位置和相互关系。

了解和理解空间平面的位置关系对于几何学和工程等领域的研究具有重要意义。

本文将从水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系三个方面探讨空间平面的位置关系。

一、水平位置关系所谓水平位置关系，是指在水平方向上不同平面之间的相对位置。

在三维空间中，我们可以将水平视为地平面方向。

在这种情况下，如果两个平面的法线向量的水平分量相等（即两个平面的倾斜角度相等），则可以说它们在水平位置上是平行的。

相反，如果两个平面的法线向量的水平分量不等，则可以说它们在水平位置上是交叉的。

二、垂直位置关系垂直位置关系是指不同平面之间的垂直关系。

在三维空间中，我们可以将垂直视为垂直于地平面的方向。

如果两个平面的法线向量互相垂直，则可以说它们在垂直位置上是正交的。

正交的平面之间的夹角为90度。

相反，如果两个平面的法线向量不垂直，则可以说它们在垂直位置上是斜交的。

斜交的平面之间的夹角不为90度。

三、倾斜位置关系倾斜位置关系是指在水平和垂直方向上不同平面之间的相对位置。

在三维空间中，我们可以将倾斜视为不平行也不垂直的方向。

如果两个平面既不平行也不垂直，则可以说它们在倾斜位置上是倾斜的。

倾斜的平面之间的夹角可以是任意角度。

在实际应用中，空间平面的位置关系常常与几何图形的相交关系和相切关系有着密切联系。

例如，在建筑设计中，如果两个平面相交，则会产生交线，可以用于确定建筑构件的位置和尺寸。

而如果两个平面相切，则可以用于确定曲面的接触点和接触角度。

在计算机图形学和三维建模等领域，对于空间平面的位置关系的准确描述和计算也是非常重要的。

通过合理的算法和数学模型，可以准确地判断平面之间的位置关系，从而实现各种复杂的图形操作和几何计算。

总结起来，空间平面的位置关系涉及到水平位置关系、垂直位置关系和倾斜位置关系。

这些关系在几何学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。

空间直线与平面的位置关系与判定

空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。

本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。

一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

下面将分别对这三种情况进行详细说明。

1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。

这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。

举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。

可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。

2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。

直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。

以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。

经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。

3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。

以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。

因此，直线L与平面P平行。

二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。

下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。

1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。

利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。

2021届高考数学二轮立体几何空间位置关系的判断与证明

4
15
C.5
D. 5
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解析：如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 上方放一个完全一样的三棱柱，记为 A1B1C1 A2B2C2，取 A1A2 的中点 D，连接 CD， DB2，FB2，则 C，F，B2 三点共线，则 AE 与 CF 所成的角就是 DB2 与 CB2 所成的角，易知 AC＝2 2，CD＝ 17，B2D＝
(1)求证：B′D′∥平面 AECF； (2)求三棱锥 B′AD′F 的体积．
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[解] (1)证明：作 D′M⊥AF，交 AF 于点 M，作 B′N⊥EC，交 CE 于点 N，连接 MN，如图．
∵AD′ ＝ D′F＝2， B′ C＝ B′E＝2，
∠AD′F＝∠CB′E＝90°， ∴M，N 分别为 AF，CE 的中点，且 D′M＝B′N＝ 2. ∵平面 AD′F⊥底面 AECF，平面 AD′F∩底面 AECF＝AF， D′M⊥AF，D′M⊂平面 AD′F，∴D′M⊥底面 AECF. 同理可得 B′N⊥底面 AECF.
α 与 β 可能相交，故 D 错误．故选 B、C. 答案：BC
返回
2.[异面直线所成的角](2020·深圳市统一模拟)已C＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，BB1
和 B1C1 的中点分别为 E，F，则 AE 与 CF 所成角的余弦
值为
()
A.
3 5
B.25
A．①②④
B．①③
C．②④
D．①③④
返回
解析：如图，①当 P，Q 分别是 AD1 与 B1C 的中点时，AB∥PQ，①正确． ②设正方体棱长为 2，当 P 在 A 处时， Q 在 B1 处，△BPQ 的面积为 2，当 P 在 AD1 的中点，Q 在 B1C 的中点时，△BPQ 的面积为 2，故②错误． ③当 PA＞0 时，设直线 PB1 与 AQ 是共面直线，则 AP 与 B1Q 共面，矛盾，故假设不成立，所以直线 PB1 与 AQ 是异面直线，③正确．

空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断

空间位置关系学习空间位置关系的表达和判断空间位置关系是描述不同物体或事物在空间中相对位置的概念。

学习空间位置关系的表达和判断对于我们理解和应用空间概念具有重要的意义。

本文将介绍空间位置关系的基本概念及其表达方式，并探讨如何准确地判断空间位置关系。

一、空间位置关系的基本概念在学习空间位置关系之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是“方向”，指的是物体朝向的某个确定的位置，常用的方向词有上、下、左、右、前、后等。

其次是“位置”，是指物体在空间中相对于其他物体或参考点的位置。

再次是“距离”，表示两个物体之间的间隔或接近程度。

二、空间位置关系的表达方式1. 方位词法：方位词法是一种常用的表达空间位置关系的方式。

通过使用方位词，我们可以清晰地描述物体在空间中的位置。

例如，“在左边”、“在右上方”、“在正中间”等。

2. 坐标法：坐标法是一种数学上常用的表达空间位置关系的方式。

通过设定一个固定的坐标系，我们可以用坐标来表示每个物体在该坐标系中的位置。

例如，在二维平面坐标系中，可以用(x, y)来表示一个物体的位置。

3. 图形法：图形法是一种直观的表达空间位置关系的方式。

通过绘制图形或示意图，我们可以更清楚地展示物体在空间中的相对位置。

例如，利用平面地图或建筑图纸等来描述物体的位置关系。

三、准确判断空间位置关系的方法1. 视觉判断法：视觉判断是一种通过观察物体位置和方向来判断空间位置关系的方法。

我们可以通过眼睛观察物体的位置、方向、距离等特征，来判断物体之间的相对位置关系。

2. 使用工具辅助判断法：有时候，我们可以借助一些工具来辅助判断空间位置关系，例如使用直尺、量角器等。

这些工具可以帮助我们更准确地测量和判断物体的空间位置关系。

3. 利用数学计算法：当遇到一些复杂的空间位置关系问题时，我们可以利用数学方法或计算机模拟来进行计算和判断。

通过建立几何模型或编写程序，我们能够准确地判断物体的位置关系。

四、应用案例1. 导航系统：现代导航系统利用卫星定位技术和地图信息，可以帮助我们准确地确定自己的位置和目的地的位置，实现导航功能。

空间位置的认识

空间位置的认识空间位置是指物体或事物在空间中相对于其他物体或事物的位置关系。

对于人类来说，空间位置的认识是日常生活中不可缺少的一部分。

通过空间位置的认识，人们可以判断物体的位置、方向和距离，从而更好地进行生活和活动。

一、方位词的使用方位词是用来描述物体或事物位置关系的词语，如上、下、前、后、左、右、东、南、西、北等。

正确运用方位词对空间位置的认知起着关键作用，使得人们能够准确地描述和理解某个物体在空间中的位置。

例如，在一个房间里，我们可以说：“书架在房间的北边，沙发在房间的东边，电视在房间的正中央。

”通过使用方位词，我们能够清晰地描述出物体在空间位置上的差异。

二、地图和导航的应用地图和导航是现代科技为我们提供的重要工具，也是空间位置认知的重要手段。

通过地图和导航系统，我们可以更好地了解和认识物体或事物的位置，为我们的生活和出行提供方便。

例如，当我们需要去一个陌生的地方时，我们可以使用导航仪或手机地图来确定我们的位置和目的地之间的空间位置关系。

这样，我们就能够更快地找到正确的道路并顺利到达目的地。

三、空间位置的认知与智力发展空间位置的认识对儿童的智力发展有着深远的影响。

通过培养孩子对空间位置的认知能力，可以促进他们的智力发展，提高他们的观察力、思维能力和问题解决能力。

例如，在早期教育中，儿童可以通过玩具积木拼插、图形拼贴等活动来培养他们对空间位置的认识能力。

这样的活动可以锻炼孩子的观察力和动手能力，同时帮助他们理解物体的位置和关系。

四、空间位置的认识与实际生活的应用空间位置的认识在实际生活中有着广泛的应用。

它不仅在日常生活中起着重要的作用，还在一些特定的领域中具有关键意义。

在农业领域，农民需要了解土地的位置和地形特征，以确定最适合种植的作物，并进行科学的农田规划。

在建筑设计领域，建筑师需要准确地理解建筑物的位置和方向，以确保设计的合理性和功能性。

在导航和航空领域，正确的空间位置认知是非常重要的。

导航系统需要准确地确定船舶、飞机或汽车等运输工具的位置和航向，以确保安全和准确导航。

空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习

2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类位置关系共面直线相平交行直直线线：：在在同同一一平平面面内内，，有没且有只公有共一点个公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)基本事实 4 和定理 ①基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 □01 平行． ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 □02 相等或互补．
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线．
证明 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 为 α，平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β， ∴Q 是 α 与 β 的公共点，同理，P 是 α 与 β 的公共点，∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线．
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析设正方体的棱长为 2，对于 A，如图 1 所示，连接 AC，则 MN∥AC，故∠POC 或其补角为异面直线 OP，MN 所成的角，在直角三角形 OPC 中， ∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故 MN⊥OP 不成立，故 A 错误；对于 B，如图 2 所示，取 MT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 PQ⊥MN，OQ∥TD，由正方体 SBCN－MADT 可得 TD⊥平面 SNTM，故 OQ⊥平面 SNTM，又 MN ⊂ 平面 SNTM，所以 OQ⊥MN，而 OQ∩PQ＝Q，所以 MN⊥平面 OPQ，而 OP⊂ 平面 OPQ，故 MN⊥OP，故 B 正确；对于 C，如图 3，连接 BD，则 BD∥MN，由 B 的判断可得 OP⊥BD，故 OP⊥MN，故 C 正确；对于 D，如

空间点与平面的位置关系与判定

空间点与平面的位置关系与判定空间几何学是数学的一个分支，研究了空间中点、直线、平面和立体图形的性质和相互关系。

在空间几何学中，一个重要的问题是确定一个点与一个平面的位置关系，即判定该点是否位于该平面上、平面内部还是平面外部。

本文将围绕这一问题展开讨论。

一、点与平面的位置关系在空间几何学中，我们常用坐标系表示点和平面的位置。

对于平面而言，我们可以用一个点及其法向量来确定一个平面。

一个平面可以表示为(P, n)，其中P是平面上的一个点，n是平面的法向量。

1. 点在平面内部：当一个点在平面上时，它被称为在平面内部。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面内部： n · PQ = 0其中，·表示点乘运算，PQ表示点Q到平面上的点P的向量。

这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线垂直。

2. 点在平面上：当一个点在平面上时，它被称为在平面上。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面上： n · PQ = 0PQ != 0这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线垂直，并且点Q与点P不重合。

3. 点在平面外部：当一个点在平面外部时，它被称为在平面外部。

换句话说，如果点Q与平面(P, n)满足以下条件时，点Q在平面外部：n · PQ ≠ 0这个条件的意义是点Q与平面上的点P到法向量n的连线不垂直。

二、判断点与平面的位置关系在实际问题中，我们常常需要判断一个点与一个平面的位置关系。

根据上述讨论可以写出判断点与平面位置关系的步骤如下：1. 确定平面的法向量n和平面上的某一点P。

2. 计算点Q到平面上的点P的向量PQ。

3. 计算法向量n与向量PQ的点乘 n · PQ。

a. 若 n · PQ = 0，则点Q在平面上。

b. 若n · PQ ≠ 0，则点Q在平面外部。

三、应用举例下面通过一个示例来说明如何应用这一方法判断一个点与一个平面的位置关系。

空间中位置关系的判断与证明问题

第2讲空间中位置关系的判断与证明问题高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A 项不正确.图(1)图(2)法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ 不平行.A项不正确.答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.答案②③④3.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22C.33 D.13解析如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，所以m1∥m，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.答案 A4.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AD；(2)若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积.(1)证明∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥P A，CD⊥PD. ∵AB∥CD，∴AB⊥PD.又∵P A∩PD＝P，P A，PD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD. ∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD.(2)解取AD 的中点E ，连接PE .∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 考点整合1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.(2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .(3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.热点一空间点、线、面位置关系的判定【例1】(2017·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.答案 B探究提高判断与空间位置关系有关的命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.【训练1】(2017·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()A.a⊂α，若b∥a，则b∥αB.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC.a⊥b，b⊥c，则a∥cD.a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β解析选项A中，b⊂α或b∥α，不正确.B中b与β可能斜交，B错误.C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.利用面面平行的判定定理，易知D正确.答案 D热点二空间平行、垂直关系的证明【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD.∴P A ⊥CD ，且P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PD .∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点，∴PD ∥EF .∴CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ，∴CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .【迁移探究1】在本例条件下，证明平面BEF ⊥平面ABCD .证明如图，连接AC ，设AC ∩BE ＝O ，连接FO ，AE .∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，CE ＝12CD ，∴AB 綉CE .∴四边形ABCE 为平行四边形.∴O 为AC 的中点，则FO 綉12P A ，又P A ⊥平面ABCD ，∴FO ⊥平面ABCD .又FO ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABCD .【迁移探究2】在本例条件下，若AB ＝BC ，求证：BE ⊥平面P AC . 证明连接AC ，AC ∩BE ＝O .AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且E 为CD 的中点.∴AB 綉CE .又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 为菱形，∴BE ⊥AC .又∵P A ⊥平面ABCD ，又BE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BE ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BE ⊥平面P AC .探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 热点三平面图形中的折叠问题【例3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.探究提高 1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一个平面上的图形的性质发生变化.2.在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.【训练3】(2017·成都诊断)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且DGGH＝BRRH.将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示.图1图2(1)求证：GR⊥平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径.(1)证明在正方形ABCD中，∠A，∠B，∠C为直角.∴在三棱锥P－DEF中，PE，PF，PD两两垂直.又PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF.∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PR RH ，∴在△PDH 中，RG ∥PD .∴GR ⊥平面PEF .(2)解正方形ABCD 边长为4.由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝2 5.∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4.S △DEF ＝12×22×（25）2－（2）2＝6.设三棱锥P －DEF 内切球的半径为r ，则三棱锥的体积为V P －DEF ＝13×PD ·S △PEF＝13(S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF )·r ，解得r ＝12.∴三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.1.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .3.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确.故选C.答案 C2.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案 C3.(2017·梅州质检)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A.若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB.若m⊥α，n⊥m，则n∥αC.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD.若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误.故选C.4.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案 C5.(2017·石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案 B二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是______.解析由AM MB ＝ANND ，得MN ∥BD . 而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC . 答案平行7.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号). ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.解析因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误. 答案 ①②③8.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的命题序号是________.①平面ABD ⊥平面ABC ②平面ADC ⊥平面BDC ③平面ABC ⊥平面BDC ④平面ADC ⊥平面ABC解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案④三、解答题9.(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC .10.(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体NBCM 的体积.(1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A . 如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体NBCM 的体积V NBCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.11.(2017·石家庄模拟)在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .(1)求证：AC ⊥平面FBC . (2)求四面体FBCD 的体积.(3)线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. (1)证明在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为AC ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，BC ，FB ⊂平面FBC ，所以AC ⊥平面FBC .(2)解因为AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以AC ⊥FC .因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD . 在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1. 所以△BCD 的面积为S ＝34.所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN .因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA∥平面FDM成立.。

空间位置的判断

空间位置的判断在我们的日常生活中，空间位置的判断是非常重要的。

无论是在导航时找到正确的道路、在户外活动中找到朋友、或者在设计室内空间时合理布局家具，准确判断空间位置都是必不可少的。

因此，本文将从不同角度分析空间位置的判断方法和技巧。

一、方向感的培养拥有良好的方向感是判断空间位置的基础。

有些人天生具备良好的方向感，而有些人则需要通过后天的训练来提高。

以下是一些培养方向感的方法：1.注意观察周围环境。

在日常生活中，我们要时时刻刻观察周围的街道、建筑物等，特别是那些有特点和熟悉的地方。

通过对环境的观察，我们可以更好地记住一些地方的位置。

2.勤于使用导航工具。

在现代社会，有许多导航工具可以帮助我们快速准确地找到目标位置。

但是，如果过分依赖导航工具，我们会变得对空间位置的判断能力变差。

因此，在使用导航工具的同时，我们也要多留意周围的环境，增加自己的观察力和判断能力。

3.练习方位感游戏。

例如，在户外进行方位感游戏，组织朋友之间的定向比赛等。

通过这些游戏，我们可以培养自己对方向的敏感度和判断能力。

二、使用参照物在进行空间位置判断时，使用参照物是非常有效的方法之一。

参照物通常是我们熟悉的地标或明显的物体，可以帮助我们确定自己的位置。

以下是一些常见的参照物的例子：1.建筑物：我们可以利用熟悉的建筑物来判断自己的位置。

例如，在一个陌生的城市，如果我们看到了一个著名的建筑物，那么我们可以借助这个建筑物来判断自己的方向和位置。

2.地标：地标是指那些在某个区域内非常著名的标志性建筑或物体。

例如，在一个公园中，我们可以使用公园内的喷泉、纪念碑等地标来帮助我们确定自己的位置。

3.路标：路标是指在道路上设置的指示方向和距离的标志。

我们可以依靠路标来判断自己的位置，特别是在外出旅行或者在陌生道路上驾驶时。

三、使用导航工具现代科技的发展为我们提供了许多高效的导航工具，如智能手机导航、GPS等。

通过这些工具，我们可以根据自己的需要随时获取准确的空间位置信息。

空间直线的位置关系与距离计算

空间直线的位置关系与距离计算直线是空间中最基本的几何元素之一，它在三维空间中具有重要的位置关系和距离计算方法。

在本文中，我们将探讨空间直线之间的位置关系，并介绍如何计算它们之间的距离。

一、直线的位置关系1. 平行关系：两条直线在平面或空间中没有交点，且方向相同或相反，则它们被称为平行直线。

当直线在平面中时，我们可以通过斜率来确定两条直线是否平行。

然而，在空间中，直线的平行性需要根据它们的方向向量来判断。

若两条直线的方向向量平行，则它们是平行直线。

2. 垂直关系：两条直线在平面或空间中相交，且相交角度为90度，则它们被称为垂直直线。

同样，在平面中，我们可以通过斜率来判断直线的垂直性。

在空间中，我们需要比较它们的方向向量的内积。

若两条直线的方向向量的内积为零，则它们是垂直直线。

3. 相交关系：除了平行和垂直关系以外，两条直线在平面或空间中可能相交于某一点。

在平面中，我们可以通过解方程组求解直线的交点。

在空间中，我们可以通过将直线的参数方程联立求交点的坐标。

二、直线间的距离计算直线间的距离是指直线上的两点之间的最短距离。

计算直线间的距离可以通过以下步骤进行：1. 确定两条直线上的两点：选择两条直线上的点A和B，其中A位于第一条直线上，B位于第二条直线上。

2. 求解最短距离连线的方向向量：通过将点A和点B相连，并得到连线的方向向量。

3. 求解最短距离连线的参数方程：利用点A作为参照点，得到最短距离连线的参数方程。

4. 求解最短距离：将第二条直线的参数方程代入最短距离连线的参数方程，求解参数，得到最短距离的数值。

举例来说，假设有直线l1和直线l2，它们的参数方程分别为：l1：x = a1 + t1m1, y = b1 + t1n1, z = c1 + t1p1l2：x = a2 + t2m2, y = b2 + t2n2, z = c2 + t2p2其中，(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)分别为直线的坐标点，m1, n1, p1, m2, n2, p2分别为直线的方向向量的分量。

空间几何中的位置关系

空间几何中的位置关系空间几何是研究物体在三维空间中的形状、大小和位置的数学分支。

在空间几何中，位置关系是研究不同物体之间的相对位置和排列方式的重要内容。

本文将详细介绍一些常见的位置关系，包括相交、包含、相离和共面等。

一、相交关系相交是指两个或多个物体在空间中有共同部分的关系。

在空间几何中，我们经常需要判断两个物体是否相交，这对于设计、工程和计算机图形学等领域都具有重要意义。

1. 点和线的相交在空间几何中，一条线可以与一个点相交，也可以与另一条线相交。

当一条线与一个点相交时，它们在该点处重合；当两条线相交时，它们共享一个公共点。

2. 线和面的相交一条线可以和一个平面相交，也可以和一个曲面相交。

当一条线与一个平面相交时，它们在交点处共享一个公共点；当一条线和一个曲面相交时，它们在交点处重合。

3. 面和面的相交两个面可以相交，也可以平行或重合。

当两个面相交时，它们在一条或多条线上有公共点；当两个面平行时，它们没有交点；当两个面重合时，它们完全相同。

二、包含关系包含是指一个物体完全包含另一个物体的关系。

在空间几何中，包含关系常用于描述物体的形状和大小。

下面介绍一些常见的包含关系。

1. 点在线上当一个点位于一条线上时，我们可以说这个点被线所包含。

这表示点在线的一侧，并且在线上没有其他点。

2. 点在面内当一个点位于一个平面内部时，我们可以说这个点被平面所包含。

这表示点在平面内，并且在平面内没有其他点。

3. 线在面内当一条线位于一个平面内部时，我们可以说这条线被平面所包含。

这表示线在平面内，并且在平面内没有其他点或线。

4. 面包含面一个面可以完全包含另一个面，这意味着内部的面在外部的面内，并且没有交点。

三、相离关系相离是指两个物体之间没有任何交点或重合部分的关系。

在空间几何中，相离关系常用于判断物体之间是否有交集。

1. 点与线的相离如果一条线上没有任何点与给定点重合，我们就可以说这个点与该线相离。

2. 线与面的相离如果一个平面上没有任何点或线与给定线重合，我们就可以说这个线与该平面相离。

第四节点的空间位置

第四节--点的空间位置
点的空间位置:
A点到V面的距离 =Y A点到W面的距离=X A点到H面的距离 =Z
Z
V a'
W
X
A
y
z
x
O
a"
H a
Y
空间点A在投影面上的投影
Z
Z
V
●
a
●
az
O
a
Y
a●
Z
X
●
A o
Y
●
X
ax a
●
ay
X
a
W
ay
Y Z
a● a H a Y
X
a
●
O
●
Y
a
●
Y
结论
1.点在某一投影面上时，点到这个面的距离为零即一个坐标为零，反之亦成立。 2.一个坐标为零的点的投坐标反映前后关系
B点在A点之前、之右、之下。
判断两点的空间位置
k’ k” b” p” （g） p k g’ g”
a’
S’
a” (S”)
b’ (p’)
a
S
b
判断点的空间位置
• 以下点在那个投影面上，说出判断的依据。
S’ S p g S” p’ p” g’ g”
点S在V面上
点P在H面上
点G在W面上
两点相对位置的判别：
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：
a
Z
●
●
a
●
b
●
b
X YW
a
●
x 坐标反映左右关系 y
z
b
●

高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ，即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立；而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)．答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ，则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3，解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1，延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103，又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62，则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。

空间方向与位置的判断

空间方向与位置的判断空间方向和位置的判断是一项基本的认知技能，用于描述和确定事物在空间中的相对位置和方向关系。

无论是在生活中还是学习工作中，我们都需要准确地判断物体的位置和方向，以便进行有效的操作和交流。

本文将探讨空间方向和位置的判断方法和应用。

一、判断方向的方法1. 视觉判断法视觉判断法是我们最常用的判断方向的方法。

通过观察物体在视野中的位置和相对关系，我们可以准确地判断出物体的方向。

例如，当我们看到太阳从东方升起时，我们知道东方是太阳的方向。

2. 指示物判断法指示物判断法是在现实生活中常用的方向判断方法。

通过参照物体的方向，我们可以判断其他物体的方向。

例如，当我们看到指南针上的指针指向北方时，我们可以判断出其他物体相对于北方的方向。

3. 地理位置判断法地理位置判断法主要用于判断方位和位置关系。

通过了解地理位置信息，我们可以准确地判断事物的方向和位置。

例如，当我们得知某城市位于东经120度和北纬30度时，我们就可以判断出该城市相对于其他城市的方向和位置。

二、判断位置的方法1. 直观判断法直观判断法是根据我们的感知和经验来判断物体的位置。

当我们直接观察到物体的位置时，我们可以准确地判断其位置。

例如，当我们看到一只猫在桌子上时，我们知道猫的位置是在桌子上方。

2. 运动判断法运动判断法是通过观察物体的移动过程来判断其位置。

当物体在我们的视野中移动时，我们可以根据其运动轨迹和相对位置来判断其位置。

例如，当一辆汽车从左边向右边移动时，我们可以判断出它的位置是在左边，并且正在向右边移动。

3. 坐标判断法坐标判断法是利用坐标系来判断物体的位置。

通过确定物体在坐标系中的位置，我们可以精确地描述和判断其位置。

例如，在平面直角坐标系中，当我们知道一个点的横坐标是3，纵坐标是5时，我们可以确定该点的位置在坐标系中的具体位置。

三、判断方法的应用1. 导航定位导航定位是判断方向和位置的重要应用之一。

通过使用导航设备或者地图，我们可以根据自身位置和目的地来准确导航和定位。

空间位置的认识

空间位置的认识空间位置是人类对于周围环境的感知和理解，是我们对于物体、地点以及身体在三维空间中相对关系的认知。

通过对空间位置的认识，我们可以准确地定位和导航，理解事物之间的相对位置和距离，以及进行有效的交流和协作。

在日常生活和各个领域中，空间位置的认识都扮演着非常重要的角色。

一、空间位置的基本概念空间位置的基本概念包括方向、距离和相对位置。

方向是指物体或者身体在空间中所处的朝向。

我们可以通过指南针、地标等方式来确定方向的概念，比如东、南、西、北。

方向的认识可以帮助我们迅速找到所需的目的地，进行导航和定位。

距离是指空间中两个物体或者身体之间的间隔或者长度。

我们通常使用各种单位（如米、千米等）来度量距离，从而确定物体之间的远近。

对于距离的认识可以帮助我们准确评估和计划行程，也可以帮助我们理解和解释物体之间的相互作用。

相对位置是指物体或者身体相对于其他物体或者身体的位置关系。

我们可以通过比较物体的大小、位置、高度等方面的特征，来确定它们之间的相对位置。

相对位置的认识有助于我们理解事物的相互关系，比如前后、上下、左右等。

二、空间位置的认知发展人类对于空间位置的认知是一个逐步发展的过程。

在婴儿时期，我们对于空间位置的感知主要基于直觉和感觉刺激。

随着年龄的增长和经验的积累，我们逐渐形成了对于空间位置的更加准确和复杂的认知。

儿童时期，通过感知和探索周围的环境，孩子们逐渐理解了物体之间的距离和相对位置。

他们开始学会用语言表达物体的方位和位置关系，并可以简单地进行导航和定位。

青少年时期，我们对于空间位置的认知进一步发展。

随着认知能力的提升，我们可以更加准确地判断方向、测量距离，并在复杂的环境中进行导航和定位。

同时，我们可以通过使用地图和其他工具来帮助我们理解和表达空间位置的概念。

成年期，我们对于空间位置的认知已经相对成熟。

我们可以灵活运用各种导航工具，如GPS定位系统，来获取准确的位置信息和导航路线。

我们也可以通过空间思维和图形思维，更好地理解和解释空间位置的概念。

高考数学复习：利用空间向量证明空间中的位置关系

为
.若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.
6
【解析】(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,A1D∩AD1
=F,则F是AD1的中点,又因为点E为AB的中点,连接EF,则
EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.
又因为BD1⊄平面A1DE,EF⊂平面A1DE,
所以BD1∥平面A1DE.
MN∥平面BB1C1C.
2.以下四组向量是平面α,β 的法向量,则能判断
α,β平行的是
(
)
①a=(1,2,1),b=(1,-2,3);
②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3);
③a=(0,1,-1),b=(0,-3,3);
④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3).
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
2 ,
a
3
2 1
2 2
所以M（a， a， a），N（ a， a，a）．
3 3
3 3
a 2
0， a）．
所以 MN＝（－，
3 3
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以 C1D1 =(0,a,0).
所以 MN·C1D1 =0.所以 MN⊥C1D1 .
因为C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以
【解析】选B.因为在②中a=2b,所以a∥b,所以α∥β,
③-3a=b,所以α∥β,而①④a不平行于b,所以α不平
行于β,所以只有②③能判断α,β平行.
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥CA, A1A=BA=CA,点M,N
分别是AC,AB的中点,过点C作平面α,使得α∥A1M,
α∥B1N,若α∩B1C1=P,则 C1P 的值为

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