异面直线所成角的求法探讨

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异面直线所成角的判定方法

异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。

在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。

我们需要了解两条异面直线的基本概念。

两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。

在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。

因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。

接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。

首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。

公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。

我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。

具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。

接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。

需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。

除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。

向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。

具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。

除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。

我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。

异面直线所成角的几种求法资料讲解

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

异面直线所成的角求法课件

答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的基础上，深入研究异面直线所成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系，从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一

异面直线所成的角求法总结加分析

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角ABC DA 1B 1C 1D 1EF连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6，cos∠GNA＝1030562556=⨯⨯-+。

从一道高考题谈异面直线所成角的求法

科选择第１０题的多种解法来体会突破这一难点的思想方法，ＢＣｌ夹角为ＭＮ和ＪｖＰ夹角或，一
理会求异面直线所成角的解法，以供参考．
其补角（异面线所成角为（０。，９０。】）
真题（２０１７年全国卷２高考数学理科选择题第１０题）可知ＭＮ：ＡＢ１：，』ｖＰ：
：
一
５
又异面直线所成角；。，９０。］，所以异面直线Ａ８ｌ与Ｂ（１
所成角的余弦值是．
解法３（借助异面直线（线段）上的端点平移）过异面直
线（线段）上的端点，做另一条直线的平行线，往往是探究异面亩线所成角优先考虑的一种方法．
在ＲｔＡＤＦＣｌ中ＦＣ１＝２，ＤＣ１＝
阿
ＡＣｌＢＤ中，
ｃｏｓ肋：丽ＢＤ２＋ＢＣ２－ＤＣ￣
解如图３，过直线ＡＢ１的端点Ｂ１作Ｂ１Ｅ／／ＢＣ１交ＣＢ的延长线于Ｅ点，连接ＡＥ，则ＡＡＢ１Ｅ或补角就是异面直线ＡＢ与ＢＧ
ｃｏｓＬＡＣＢ＝
＝
．
所成的角．因为Ｂ１Ｃｌ／／ＥＢ，所以
在 △ＢＦ中，ＣＦ＝ＡＣ＝，
解如图５，以ＡＡＢＣ为上底补接一个同样大小的三棱柱
ＡＢＣ — ＤＥＦ，则ＺＣｌＢＤ或其
Ｃ
补角就是异面直线ＡＢ１与Ｂ
所成的角，连结ＤＣｉ，则ＡＣｉＤＢＤ
为中，ＤＢ＝，ＢＣ１＝．
由余弦定理知，
图６

如何求异面直线所成的角

如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。

其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。

异面直线所成角求法总结加分析

异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。

下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。

一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。

垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。

2.两条垂直的直线称为互相垂直。

3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。

求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。

若点积为0，则两条直线是垂直的。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。

如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。

二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。

斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。

2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。

求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。

可以使用向量的点积或夹角公式求解。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。

三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。

2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。

求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。

如果夹角为0度，则两条直线是平行的。

2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。

综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。

异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算

异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。

2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。

3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。

4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。

具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。

由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。

为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。

由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。

因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。

通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。

-异面直线所成角-的求法

浅谈”异面直线所成角”的求法摘要：求异面直线所成的角，是高考常考的一个知识点。

本文通过对”异面直线所成角”求解的探讨，对”异面直线所成角”求解的两种通法的基本思路、关键点进行分析，以达到灵活运用它们。

关键词：异面直线所成的角，传统几何法，直角坐标向量法【中图分类号】g633.6一、两种求”异面直线所成角”的通法。

1.传统几何法依据：两异面直线所成角的定义步骤：作角--证明--求角关键点：异面直线所成角的顶点的选取。

取点技巧：在图形中选定两个平面，使这两个平面各自含有一条异面直线，则两异面直线所成角的顶点可在两平面交线上选取。

2.直角坐标向量法依据：异面直线所成的角与这两条异面直线方向向量所成的角相等或互补。

步骤：1.建立空间直角坐标系2.求相关点的坐标，并求出两异面直线的方向向量。

3.两异面直线所成角θ满足：二、举例说明例1.如图，正三角形abc的边长为3，过其中心g作bc边的平行线，分别交ab、ac于b1、c1．将δab1c1沿b1c1折起到δa1b1c1的位置，使点a1在平面bb1c1c上的射影恰是线段bc的中点m．求：（1）二面角a1-b1c1-m的大小；（2）异面直线a1b1与cc1所成角的大小（用反三角函数表示）．解（1）（略）（2）解法一分析：取平面a1b1c1与平面bcc1b1，它们的交线为b1c1，故可在b1c1和选取一恰当的点作为两异面直线所成角的顶点。

详解：过b1作c1c的平行线交bc于p，则∠a1b1p等于异面直线a1b1与cc1所成的角．由pb1c1c是平行四边形得b1p=c1c=1=bp，pm=bm-bp=a1b1=ab1=2．∵a1m⊥面bb1c1c于m.∴a1m⊥bc，∠a1mp=90°．在rt△a1gm中，a1m=a1g·在rt△a1mp中，在△a1b1p 中，由余弦定理得，∴异面直线a1b1与cc1所成角的大小为arccos 方法二.分析:建立空间直角坐标系，利用向量求解.详解：如图，以m为坐标原点o，ｍａ１为ｚ轴，bc所在直线ｘ轴，am所在直线为y轴建立空间直角坐标系.并设异面直线a1b1与cc1所成角为θ. ∵g为等边△abc的中心，b1c1//bc.∴∴∴∴异面直线a1b1与cc1所成角的大小为arccos剖析：技巧性大，灵活性强是使用传统几何法求异面直线所成的角的特征，体现在如何在空间中选取恰当的点作为两异面直线所成角的顶点，很多学生对此都无所适从，所以点的选取是解决此类问题的关键，也是难点之一。

异面直线所成的角的两种求法

异面直线所成的角的两种求法,求异面直线所成的角是初学立几的同学遇到的第一个难点。

难在何处？下面介绍两种求法，与大家共磋商。

一．传统求法--------找、作、证、求解。

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。

平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。

平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。

例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角.解由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝21AB ＝62， HE ＝21，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123.∴ sin∠EHG＝22,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45°注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。

（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。

因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=21 BC ，FG∥AD，且FG=21AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。

由BC=AD 知EG=GF=21AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

异面直线所成角问题的解法探究

异面直线所成角问题的解法探究作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2021年第12期[摘要] 异面直线所成角问题的难度中等，求角方法较为多样，可直接通过平移变换将异面直线转换到同一平面，也可依托空间向量法来求解. 文章深入探究异面直线所成角问题的解法，并反思总结，提出几点建议.[关键词] 异面直线;角度;平移法;空间向量异面直线所成角问题是立体几何常见问题类型，解题核心是构建异面直线所成的平面角，常用的方法也较为丰富，下面深入探究.[⇩] 引例探究例题：在正方体ABCD-ABCD中，已知点E是CC的中点，则异面直线AE和CD所成角的正切值为________.分析：充分利用正方体的特性，可得CD∥AB，通过平行或平移将异面直线问题转化为共面直线AB与AE之间的问题. 要求两者所成角的正切值，将其放置在△ABE中进行.详解：在正方体ABCD-ABCD中，可知CD∥AB，所以异面直线所成的角为∠EAB，如图1所示. 可设正方体的边长为2a，点E是CC的中点，则CE=a，进一步可求得BE=a. 在Rt△EAB中，有tan∠EAB===，即异面直线AE和CD所成角的正切值为.[⇩] 方法总结上述是一道异面直线考题，主要考查异面直线所成角的相关知识，对学生的空间想象和运算能力要求较高. 上述采用了求异面直线问题常用的平移法，掌握方法的解题策略十分重要. 平移法求异面直线所成角的基本思想是平移转换，核心内容是直线平移或探寻平行直线，以及依托三角形构造夹角，一般分三步进行，过程总结如下.第一步，对异面直线进行平移或平行转换，有两种策略：一是固定一条直线，平移另一条;二是将两条直线同时平移到某一特殊位置，构成同一平面.第二步，构建异面直线所成角，或者证明图形中某一夹角为所求角.第三步，依托所求角构造三角形，通过解三角形完成求解.另外，对于异面直线所成角问题，需要关注角度的取值范围，即取值范围为0，，故完成角度求解后，还需对其验证.[⇩] 强化拓展实际上可将平移法细分为三种，分别为中位线平移、直接平移、补形平移，上述引例的平移过程可视为直接平移，下面结合实例进一步探究其他两种平移.1. 平移破异面——中位线平移中位线平移，即把握图形的中位线，利用中位线的平行特性完成平移，解题时需要关注图形中的中点，依托中点构造中位线.例1 已知点A和B在以PC为直径的球O的表面上，并且AB⊥BC，AB=2，BC=4. 若球O的表面积为24π，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________.分析：本题目较为特殊，依托球考查异面直线所成角、球体的相关计算. 可作出图，取线段的中点，利用中位线性质来实现异面直线平移. 将异面直线放置在三角形中，利用余弦定理得到所求角的余弦值.详解：设球O的半径为R，球的表面积为24π，则半径R=.根据题意构图，分别取PA，AB，BC的中点M，N，E，连接MN，ME，NE，AE，如图2所示.分析可知，PC=2R=2，PA⊥平面ABC. 因为AB⊥BC，由勾股定理可得AC==2，PA=2，PB=2. 因为点M和N分别为PA和AB的中点，由中位线性质可知MN∥PB，并且MN=PB=. 同理可得NE∥AC，且NE=AC=. 进一步可推得AE=2，ME=3.因为MN∥PB，NE∥AC，所以异面直线PB和AC所成角为∠MNE或其补角. △MNE 中，已知MN=，ME=3，NE=，由余弦定理可得cos∠MNE==-，所以异面直线PB和AC所成角的余弦值为.2. 平移破异面——补形平移补形平移法的核心是“补形”，即通过补充图形来实现平移转换，其中“补形”的目标是为了后续的平移相交，“补形”时要注意依托图形固有特征，顺势生成.例2 如图3所示，在正方体ABCD-ABCD中，已知点M为AB的中点，点N为DD的中点，则异面直线BM与CN所成角的大小为________.分析：本题目同样依托正方体构建异面直线，在原有正方体内难以直接构建平行直接完成平移，可在正方体的右侧“补”一个正方体，再进行平移相交转换，后续通过解三角形来求角度.详解：如图4所示，在正方体的右侧“补”一个边长相等的正方体. 取CE的中点为P，由于点M为AB的中点，连接CP，则有CP∥BM，则∠NCP或其补角为异面直线BM与CN所成的平面角.再连接NP，设正方体的边长为a，可求得CN=CP=a. 由勾股定理可得NP=a. 由于△NCP的三边满足关系CN2+CP2=NP2，所以∠NCP=90°，即异面直线BM与CN所成角的大小为90°.[⇩] 解法另探上述深入探究了求异面直线所成角问题的平移法，从建模角度来看，还可采用空间向量法来求解. 下面解读方法原理，并结合实例探究.空间向量法，即依托所求图形构建空间坐标系，分别求出异面直线的向量坐标，然后利用向量之间的角度关系来求解，基本原理如下：设直线l，m方向的向量分别为a和b，则两直线所成角θ的余弦值为cosθ=.例3 如图5所示，已知四边形BCCB为正方形，且AB=BC=2，平面BCCB⊥平面ABC，∠ABC=120°，则异面直线BC与AC所成角的余弦值为________.解析：本题直接构建了两个相交平面，求异面直线所成角的大小，可以使用空间向量法.可以点B为坐标原点，BC为y轴，BB为z轴，在平面ABC中，作x轴⊥y轴，建立图6所示的空间直角坐标系.由题意知∠ABC=120°，AB=BC=2，所以点A（，-1，0），点B（0，0，0），点C（0，2，0），C（0，2，2）. 所以向量=（-，3，0），=（0，2，2），则异面直线BC与AC所成角的余弦值cos〈，〉==.评析：上述在求异面直线所成角的余弦值时采用了空间向量法，该方法通常分三步进行：第一步是建坐标系，求关键点坐标;第二步，求所涉异面直线的向量坐标;第三步，利用定理求夹角的余弦值. 从解题过程来看，空间向量法的程序性更强，思维难度较低，只需根据方法流程求解即可.[⇩] 总结思考上述充分探究了求异面直线所成角的两种解法，平移法是基于平移变换所构建，空间向量法更侧重几何体系的构建，程序性更强，两种解法各具特色，实际解题时可根据问题情景灵活选取.异面直线所成角的解法探究教学中，建议关注以下几点：关注解法本质，理解方法原理. 开展解法探究，要立足方法本質，让学生充分掌握方法原理，如平移法的知识本质就是平行线的性质，通过平移来实现线段代换.关注方法的构建思路，应重点教学方法的使用过程，引导学生合理使用，严谨论证，如空间向量法分三步进行解题构建，每一步环环相扣.倡导方法拓展，提升学生思维的灵活性. 上述仅列举了该类问题的两种常用方法，但不局限于此. 教学中要注重培养学生的思维，合理拓展解法，可利用“一题多解”进行解法探究，促进学生的思维发展.。

求异面直线所成角的步骤

求异面直线所成角的步骤
1. 确定直线的方向向量：首先找到直线上的两个点，计算这两个点的坐标差值，得到直线的方向向量。

2. 求两个面的法向量：找到两个平面的方程，然后将方程转化为法向量的形式。

3. 计算直线与两个平面的法向量的夹角：使用向量的点乘公式，计算直线的方向向量与两个平面的法向量的点乘，得到两个夹角的余弦值。

4. 通过余弦值得到角度：使用反余弦函数，计算出两个夹角的角度值。

注意：根据夹角的符号可判断当异面直线存在时，夹角的位置关系。

异面直线所成角的求法探讨

异面直线所成角的大小是通过空间一点分别引它们的平行线所成的锐角或直角来定义的。求异面直线所成角通常通过平移直线，形成平面角，然后在某个三角形中求出角的大小。平移直线是这一方法的关键，要求学生具备良好的空间感和作图能力。新教材对立体几何的处理淡化了作图能力的要求，更多介绍方法，特别是引进了空间向量的方法，避免了一些繁杂的作图，求异面直线所成角时运用空间向量方法有很大优越性。另外，还可以借用一些固定的模型或已知公式来求出角的大小。例如，可以建立空间直角坐出这两条异面直线所成的角的大小。

求异面直线所成角的方法一览

求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。

1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。

所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。

2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。

3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。

总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。

基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。

求异面直线所成角的基本方法

求异面直线所成角的基本方法
答案：几何法和向量法求所成角
一、几何法
1.平移法。

将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。

一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。

2.三余弦定理法。

运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。

3.三棱锥法。

三棱锥（四面体）中两条相对的棱互为异面直线，设有四面体ABCD，其中AD与BC互为异面直线，那么它们所成角θ满足以下关系：
运用该公式也可以求异面直线所成角。

二、向量法
1.向量几何法。

运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。

当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。

如何求异面直线所成的角
在高一阶段，我们常用的方法有以下三种：
（1）直接平移法：通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。

（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

最新异面直线所成的角求法-总结加分析

直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。