19.2.3 三角形全等的判定(ASA)-
全等三角形的判定ASA
全等三角形的判定ASA在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个非常重要的概念。
而全等三角形的判定方法有多种，其中“ASA”（角边角）就是一种常用且重要的判定方法。
首先，咱们来理解一下什么是“ASA”。
“角边角”说的就是如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF。
如果角 A 等于角 D，角 B等于角 E，而且 AB 这条边和 DE 这条边相等，那么就能够得出三角形ABC 全等于三角形 DEF。
那为什么“ASA”能判定两个三角形全等呢？咱们来仔细想想。
如果两个角相等，那第三个角是不是肯定也相等？因为三角形的内角和是固定的 180 度嘛。
所以两个角相等了，第三个角也就跟着相等了。
再加上夹边相等，那这两个三角形的形状和大小就完全确定了。
就好像咱们用模具做东西，角度和边都确定了，做出来的东西肯定是一模一样的。
咱们通过具体的例子来感受一下“ASA”的魅力。
假设在三角形 ABC 中，角 A 是 60 度，角 B 是 40 度，AB 边的长度是 5 厘米。
然后有另一个三角形 DEF，角 D 是 60 度，角 E 是 40 度，DE 边也是 5 厘米。
那咱们就可以很确定地说，三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
在实际做题的时候，怎么运用“ASA”来证明两个三角形全等呢？这就需要我们仔细观察题目中给出的条件。
比如说，题目可能会告诉我们两个三角形中的一组对应角相等，然后再告诉我们这两个角之间的夹边相等。
这时候，我们就要敏锐地意识到，可以用“ASA”来证明全等。
又或者，题目中可能会通过一些角度的计算，让我们得出两个角相等，然后再给出夹边相等的条件。
咱们再来说说“ASA”和其他全等三角形判定方法的关系。
“ASA”和“AAS”（角角边）有时候容易让人混淆。
但其实“AAS”可以通过三角形内角和定理转化为“ASA”。
而“SSS”（边边边）则是通过三条边的相等来判定全等，和“ASA”的角度和边的结合方式有所不同。
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形全等的判定(ASA、AAS)
∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言 A
D
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
D
∵ B∠C2=＝C∠B1（公共边 ）
∠BC2=＝∠1CB
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ ASAA）S
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
∠AAB==∠DDE
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B＝∠D＝90°
在△ABC和△ADC中
A
∠1＝∠2
12
∠B＝∠D
AC＝AC
∴△ABC≌△ADC（AAS） B
D
∴AB＝AD
C
练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证：
AB=DE,AC=DF
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS） 1
∴AD＝AC
A 2B
C
变式1：已知如图，
∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC
求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
D
∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC
全等三角形的判定(ASA)
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则 这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$， 且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形 ，利用全等三角形的对应边 相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应 角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应角为 直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的 结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条 件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定 定理常用于证明两个三角形全等 ，从而可以进一步推导出其他几 何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。
19.2.3_全等三角形的判定-角边角和角角边
两角一边呢
如果两个三角形有两个角、一条边分别 对应相等，那么这两个三角形能全等吗？
全等
全等
图 19.2.6
问题：某人把一块三角形的玻璃打碎成了三 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻 璃，你认为他应该带哪块？
如图19.2.7，已知两个角和一条线段，以这 两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边， 画一个三角形．
例 3. 如图，AB∥FC， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E ， DE=FE，分别延长FD和CB交于点G． 求证：AD=CF
例 6. 如图，四边形 ABCD 中， E 点在 AD 上，其中∠ BAE ＝ ∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与 △DEC全等的理由．
已知：如图，要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含 AB=AB 根据所给的判定方法，在下 有条件是_________ 列横线上写出还需要的两个条件 （1） AC=AD ∠CAB= ∠DAB (SAS)
( 2 ) BC=BD ∠CBA= ∠DBA (SAS)
C A
B
D
当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时， 两个三角形一定全等．（SAS） 而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应 相等时，两个三角形未必一定全等．（SSA）
∠A=∠B (ASA) (ASA)
∠AEC=∠BFD ∠C=∠D ( 3) CE=DF， ( 4)∠ C= ∠D，AC=BD ∠A=∠B A
C
(ASA)
F
E B
D
AOC 与BOD 全等吗? 如图,O是AB的中点， A =B， 为什么？
C
两角和夹边 对应相等
A
O
B
在
AOC 和BOD
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
全等三角形的判定ASA
全等三角形的判定ASA在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个非常重要的概念。
而判定两个三角形全等的方法有很多，其中之一便是“ASA”，也就是“角边角”。
今天，咱们就来好好聊聊这个全等三角形的判定方法 ASA。
首先，咱们得弄清楚啥是“角边角”。
简单来说，就是如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
为了更好地理解 ASA 这个判定方法，咱们来看几个具体的例子。
比如说，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，它们的夹边是5 厘米；另一个三角形也有两个角分别是30 度和60 度，并且这两个角的夹边同样是 5 厘米。
那么根据 ASA 判定方法，这两个三角形就是全等的。
那为啥 ASA 能判定两个三角形全等呢？这就得从三角形的稳定性说起啦。
当三角形的两个角和它们的夹边确定下来后，这个三角形的形状和大小就被唯一确定了。
因为三角形的内角和是 180 度，已知两个角，就能求出第三个角的度数。
而夹边的长度也确定了，所以这个三角形就被完全确定下来了，不会再有其他的变化。
接下来咱们说说怎么用 ASA 来证明两个三角形全等。
比如说，有题目给出了两个三角形，告诉咱们其中一个三角形的∠A ＝ 30 度，∠B ＝ 50 度，AB 边的长度是 8 厘米；另一个三角形中，∠D ＝ 30 度，∠E ＝ 50 度，DE 边的长度也是 8 厘米。
那咱们就可以这样来证明：因为在三角形 ABC 中，∠A ＝ 30 度，∠B ＝ 50 度，所以根据三角形内角和为 180 度，可以算出∠C ＝ 100 度。
在三角形 DEF 中，∠D ＝ 30 度，∠E ＝ 50 度，所以∠F ＝ 100 度。
又因为∠A ＝∠D ＝ 30 度，∠B ＝∠E ＝ 50 度，AB ＝ DE ＝ 8厘米，所以根据“角边角”（ASA）判定方法，三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
再举个例子，假如有一个三角形 ABC，∠A ＝ 45 度，∠B ＝ 90 度，AB 边的长度是 6 厘米。
全等三角形的asa判定过程
全等三角形的asa判定过程嘿，咱今儿个就来唠唠全等三角形的 ASA 判定过程，这可是个相当有意思的事儿呢！你想想看哈，三角形就像是一群有着特定形状和特点的小家伙。
全等三角形呢，那就是长得一模一样的双胞胎呀！那怎么判断它们是不是全等的双胞胎呢？这 ASA 判定就是个好办法呀！就好比说，有两个三角形，它们有两个角和这两个角夹的边都分别相等。
哎呀呀，这就像是两个小朋友，一个有着和另一个相同的眼睛和鼻子，而且这眼睛和鼻子之间的距离也一样，那这不就是很像很像嘛！咱具体说说这判定过程哈。
先找到两个三角形的一组对应角，看看它们是不是相等。
如果相等了，那就再找下一组对应角，也得相等才行。
然后呢，看看这两组相等角中间夹着的那条边，是不是也一样长。
要是都满足了，嘿嘿，那这俩三角形就是全等的啦！你说这是不是挺神奇的？就这么几个条件，就能判断出它们是不是全等。
这就好像是给三角形们贴上了标签，让我们一下子就能认出它们是不是一伙的。
比如说吧，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，中间夹的边是5 厘米。
另一个三角形呢，也有30 度和60 度的角，而且它们中间夹的边也是5 厘米。
那不用想啦，它们肯定是全等的呀！这 ASA 判定在很多地方都能用得上呢！比如在解几何题的时候，要是知道了这些条件，那就能很快判断出两个三角形全等，然后就能得出很多有用的结论啦。
再想想，要是没有这样的判定方法，那我们得多头疼呀！就像在一堆长得差不多的三角形里找全等的，那可真是大海捞针。
但有了 ASA 判定，就像是有了一把钥匙，能轻松打开全等三角形的大门。
所以呀，可别小看了这全等三角形的 ASA 判定过程哦！它就像是数学世界里的一个小魔法，能帮我们解决很多问题呢！学会了它，我们就能在几何的海洋里畅游啦！你说是不是很有趣呢？。
三角形全等的判定(ASA、AAS)
A D
∠A=∠D
AB=DE ∠B=∠E
B
C F E
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B
∠A=∠B,（已知）
AO=BO （已知） ,
C
1 2
∠1=∠2（对顶角相等）
∴△AOC≌△BOD (ASA)
A
O
D
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
继续探讨三角形全等的条件： 两角一边
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？ A A
B
图1
C
B
练习:
三步走：
①要证什么；
②已有什么；
A
D
=
=
③还缺什么。
B
E C
F
大显身手
练习1：已知如图，AB⊥BC,AD⊥DC,垂足
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC ∴∠B＝∠D＝90° 在△ABC和△ADC中 ∠1＝∠2 ∠B＝∠D AC＝AC ∴△ABC≌△ADC（AAS） B ∴AB＝AD
C E ′ C D
A
B A ′
B′
观察：△A ′ B ′ C ′ 与 △ABC 全等吗？怎么验证？ 思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、概述在几何学中，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题。
判定三角形全等的方法有多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL等。
本文将介绍这些方法，并给出相应的判定条件和证明过程。
二、SSS法则SSS法则是指当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的三边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，并且满足AB = DE，AC = DF和BC = EF，则可判定这两个三角形全等。
三、SAS法则SAS法则是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的边和夹角分别为AB、AC、∠BAC和DE、DF、∠EDF，并且满足AB = DE，AC = DF和∠BAC = ∠EDF，则可判定这两个三角形全等。
四、ASA法则ASA法则是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的角和夹边分别为∠BAC，∠BCA，AC和∠EDF，∠EFD，DF，并且满足∠BAC = ∠EDF，∠BCA = ∠EFD和AC = DF，则可判定这两个三角形全等。
五、AAS法则AAS法则是指当两个三角形的两个角和一个非夹边的长度分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的两个角和非夹边的长度分别为∠BAC, ∠BCA, AB和∠EDF, ∠EFD, DE，并且满足∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠EFD和AB = DE，则可判定这两个三角形全等。
六、HL法则HL法则是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别为AC, BC和DF, EF，并且满足AC = DF和BC = EF，则可判定这两个直角三角形全等。
七、其他注意事项•在判定三角形全等时，两个三角形的对应边和对应角必须一一对应。
•如果两个三角形的边和角都相等，则这两个三角形必定全等。
初中数学 如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等
初中数学如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
下面我们将详细解释ASA判定法的原理和应用方法：假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要判断它们是否全等。
根据ASA判定法，如果它们的两对角度和一对边满足以下条件，即∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，那么三角形ABC 和DEF是全等的。
证明ASA判定法的思路是通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，如果它们满足相等的条件，那么可以推断它们是全等的。
为了更好地理解ASA判定法，我们可以通过以下步骤来证明它：步骤1：根据已知条件，假设∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF。
步骤2：比较两个三角形的对应边长和对应角度，即AC与DF，∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF。
步骤3：如果这些对应边长和角度均相等，那么我们可以得出结论，即三角形ABC和DEF 是全等的。
ASA判定法的证明思路是基于角边角的对应关系。
当两个三角形的两对角度和一对边分别相等时，它们的对应边长和对应角度也相等，从而确定了这两个三角形是全等的。
在实际应用中，ASA判定法可以用于解决与全等三角形相关的几何问题。
例如，我们可以通过已知的边长和角度来确定未知的边长和角度，或者通过已知的边长和角度来计算未知的边长和角度。
此外，ASA判定法还可以应用于证明几何定理。
例如，如果我们需要证明两个图形是全等的，我们可以通过比较它们的边长和角度来判断它们的全等性。
总结起来，ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
通过比较这些对应边长和角度，我们可以确定这两个三角形的全等性，并在实际问题中应用这个定理进行计算和证明工作。
19.2.3三角形全等的判定-边边边
课本第79页习题第1题
例1. 如下图，△ABC是一个钢架，
AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD 分析：要证明△ ABD≌ △ACD， 证明: ∵D是BC中点， 首先要看这两个三角形的三条边 ∴BD=CD. 是否对应相等。 在△ABD和△ ACD中,
AB=AC,
BD=CD, AD=AD, ∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
思考：你能用“边边边”解释三角形具 有稳定性吗？
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两 个三角形全等（ 可以简写为“边边边”或 “SSS”）。 三角形的三边长度固定，这个三角形的形状大小就完全 确定，这个性质叫三角形的稳定性。
小结：判定两个三角形全等有四种方法：“SAS”、 “ASA’’、“AAS”、“SSS”。
C
B
D
∴
△ ABC≌ △ FDE (SSS).
E
F
工人师傅常用角尺平分一个任意角， 做法 如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分 别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别 与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平 分线。为什么？
分析：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合， 则 CM=CN. 证明：在 △OMC和△ ONC中， OM= ON, OC=OC, CM=CN, ∴ △OMC≌ △ONC (SSS). ∴ ∠MOC=∠NOC (全等三角形的对应角相等) 即 OC 是∠AOB的平分线
D
D
C
C
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
证明三角形全等的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； (2)证明三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件用大括号括起来 ③写出全等结论
全等三角形的判定(ASA与AAS)(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题12.5全等三角形的判定（ASA 与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式：如图，在△ABC 和△'''A B C 中，A A AB A B B B '∠=∠⎧⎪''=⎨⎪'∠=∠⎩ABC A B C '''∴∆≅∆【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC 和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS（2）如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用ASA 和AAS 证明三角形全等【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点C 、E 在BF 上，BE CF =，AB FD ，A D ∠=∠．（1）求证：ABC DFE △≌△；（2）若50B ∠=︒，145BED ∠=︒，求D ∠的度数．【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①④【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知AC 与BF 相交于点E ，AB CF ∥，点E 为BF 中点，若9CF =，5AD =，则BD =．【题型2】用ASA 和AAS 证明三角形全等与三角形全等性质综合求值【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，D 为AB 上一点，E 为AC 中点，连接DE 并延长至点F ，使得EF ED =，连CF ．（1）求证：CF AB ∥；（2）若70A ∠=︒，35F ∠=︒，BE AC ⊥，求BED ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 中，,AD BC CE AB ⊥⊥，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 交于点H ．已知10,6AE CE BE ===，则CH 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，AC BC DC EC AC BC ⊥⊥=，，，请添加一个条件，使ACE BCD ≌△△．（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；（2）利用（1）中添加的条件，求证：ACE BCD ≌△△．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在ABC 和BDE 中，再添两个条件不能．．使ABC 和BDE 全等的是（）A ．AB BD =，AE DC=B ．AB BD =，DE AC =C ．BE BC =，E C ∠=∠D ．EAF CDF ∠=∠，DE AC=【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在ABC 和CDE 中，若90ACB CED ∠=∠=︒，且AB CD ⊥，请你添加一个适当的条件，使ABC CDE △≌△．添加的条件是：（写出一个即可）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS 证明三角形全等【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ∥．（1）ECD 与FBD 全等吗？请说明你的理由；（2）若6AD =，2DF =，BDF V 的面积为3，请直接写出AEC △的面积．【变式1】（2024·河北邯郸·二模）ABC 如图所示，甲、乙两个三角形中和ABC 全等的是（）A ．只有甲B ．只有乙C ．甲和乙D ．都不是【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断ABC 和DEF 全等的有．①AB DE =，AC DF =，BC EF =；②AB DE =，BC EF =，B E ∠=∠；③A D ∠=∠，B E ∠=∠，AB DE =；④A D ∠=∠，AB DE =，BC EF =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点E F 、在BC 上，BE CF =，B C ∠=∠，添加一个条件，不能证明ABF DCE △△≌的是（）A ．A D ∠=∠B ．AFB DEC ∠=∠C ．AB DC =D ．AF DE=【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE BF ∥，AE BF =．若________，则AB CD =．请从①CE DF ∥；②CE DF =；③E F ∠=∠这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在ABC 中，D 是BC 的中点．（1）如图1，在边AC 上取一点E ，连接ED ，过点B 作BM AC 交ED 的延长线于点M ，求证：CE BM =．（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点D 重合，另两边分别与AC AB ，相交于点E ，F ，求证：CE BF EF +>．【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线l BC ⊥于点B ，90ACB ∠=︒，点D 为BC 中点，一条光线从点A 射向D ，反射后与直线l 交于点E （提示：作法线）．（1）求证：BE AC =；（2）如图2，连接AB 交DE 于点F ，连接FC 交AD 于点H ，AC BC =，求证：CF AD ⊥；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 是AB 边上的动点，连接5ABD PC PD S = ，，，2CH =，求PC PD +的最小值．。
13.2.3 三角形全等的判定—ASA
教学过程（内容、步骤及师生行为）
备 注
⑵你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ ⑶现在两组同学按如果45°角所对的边为3cm 画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？
⑷总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
5、由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(AAS)。
6、问题3：你能说说ASA 与AAS 这两种全等识别法间的关系吗？ 评析：可由三角形的内角和得出
三、例题学习 课本例题：如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，
∠ACB ＝∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB 。
评析：已知，∠ABC ＝∠DCB ，
∠ACB ＝∠DBC 又BC 是公共边，由（ASA ）全等判定法， 可知△ABC ≌△DCB.
四、课时练习
课本练习第1、2题
五、课时小结
1、经历三角形全等的判定方法的探索过程，会在探索中总结规律。
2、会利用ASA 和AAS 判定两个三角形全等，进而得到线段或角相等。
具体应用时，在两个三角形中，只要有两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形就全等。
六、作业布置
课本习题13.2第2、3、4题
教 后 反 思
A B C D。
三角形全等的判定》(ASA)
证明过程：首先，根据边的性质，我们知道如果两条边相等，则它们所对的角也 相等。然后，利用已知的一个角和两条对应的边相等，可以推导出其他两边和角 也相等，从而证明两个三角形全等。
利用反证法证明asa
假设两个三角形不全等，然后通过一 系列逻辑推理，得出矛盾的结论，从 而证明两个三角形全等。
asa判定定理在其他几何问题中的应用
asa判定定理在解决几何问题中具有广泛的应用，例如在证明相似三角形、解决几何作图问题、确定 几何量等方面都可以利用asa判定定理。
asa判定定理还可以用于解决一些复杂的几何问题，例如通过构造适当的辅助线或利用已知条件构造 出符合asa判定定理的三角形，从而证明两个三假设两个三角形不 全等。然后，根据角的性质和边的性 质进行逻辑推理，得出矛盾的结论。 最后，根据反证法的原则，我们得出 结论：两个三角形实际上是全等的。
04
asa判定定理的拓展
asa与其他全等定理的关系
asa判定定理与sss（三边全等）、sas （两边和夹角全等）、saa（两角和 一边全等）等其他全等定理是相互关 联的，它们在证明三角形全等时可以 互相转换。
asa判定定理的基础练习题
• 答案：$90^\circ$
• 题目：已知$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$AB = 2\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为_____.
• 解析：根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times AC \times \sin 60^\circ = \frac{3}{2} \times AC$。
《三角形全等的判定》(ASA)
示例证明
示例一
以已知两角和一边相等的三角形 为例，进行全等的证明。
示例二
展示两个角相等的证明过程，以 及最后的边相等。
示例三
通过已知两个角和边相等，来证 明三角形全等的过程。
应用举例
实际测量
1. 测量两个角的大小。 2. 测量边的长度。 3. 根据ASA条件判断是否
全等。
《三角形全等的判定》 (ASA)
已知两角和一边相等。判定两个三角形全等的三个条件之一。
两角和一边相等 (ASA)
1 条件 1
两个三角形的两个角相等。
3 条件 3
两个三角形的一个边相等。
2 条件 2
两个三角形的另外一个角相等。
证明方法
步骤 1
先证明两个三角形角相等。
步骤 3
最后证明另一个角相等。
步骤 2
地图制图
• 标注已知的角和边。 • 应用ASA判定两个三角
形是否全等。 • 使用全等的三角形制作
地个三角形。 • 通过ASA条件确定其中
一个三角形的尺寸与角 • 度遵。循全等的原则，完成
建筑设计。
易错点
• 计算角度时，需要确保单位一致。 • 测量边和角时，需使用准确的工具。 • 在证明过程中，每一步都需要详细的解释。
总结和要点
1 要点 1
已知两角和一边相等的三角形可以通过ASA条件判定是否全等。
2 要点 2
证明过程需要按照角和边的顺序进行。
3 要点 3
应用举例包括实际测量、地图制图和建筑设计等领域。
三角形全等的判定定理(ASA)
∴△AOB≌△DOC（ASA）
C
D
例2：如图所示，小强测量河宽AB时，从河岸的A 点沿着和AB垂直的方向走到C，并在AC的中点E处立一根标 杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走到D，使D，E，B恰 好在一直线上，于是小强说：“CD的长就是河的宽。”你 能说出这个道理吗？
解：在△ AEB和△ CED中， B
∵ ∠ EAB= ∠ ECD=90，
AE=CE，
┓
∠ AEB= ∠ CED，(对顶角相A等)
E
┗C
∴ △ AEB≌ △ CED．(ASA)
D
于是 AB=CD．(全等三角形对应边相等)
因此，CD的长就是河的宽度．
例3：如图所示,已知△ABC≌△A′B′C′,
CF,C′F′,分别是C和C′的角平分线。
B A
一个教学用的三角形玻璃
教具被打碎为两块,如图所示， 是否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来一 样的三角形玻璃呢?如果可以, 带哪块去合适呢?为什么?
知识回顾
全等三角形性质：
全等三角形三条边对应相等，三个 角分别对应相等。
反之，这六个元素分别相等，这样 的两个三角形一定全等。
作业：
第83页习题 3.4 A组第6、7题。
120
（6）
20
88 2cm （1） 60
3cm 35
（5）
（2）
35 3cm
60 （4）
（3）
2cm 88
120
20
例题讲解：
例1：已知：如图，AB、CD相交于O，
且∠B=∠C，OB=OC
求证：△AOB≌△DOC
A
B
证明：在△AOB 和△DOC中，
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B B
本节课我们主要学习了有关 全等三角形的“两角一边” 全等三角形的“两角一边”识别 方法，有两种情况： 方法，有两种情况： 两个角及两角的夹边； 1. 两个角及两角的夹边； 2.两个角及其中一角的对边。 2.两个角及其中一角的对边。 两个角及其中一角的对边 都能够用来识别三角形全等。） （都能够用来识别三角形全等。）
到目前为此， 到目前为此，我们共学了几种 识别三角形全等的方法？ 识别三角形全等的方法？
边角边： 边角边： 有两边和它们 夹角对应相等的两 个三角形全等。
角边角 有两角和它们夹边 对应相等的两个三 角形全等。 角形全等。
角角边
如果两个三角形的两 个角及其中一个角的 对边分别对应相等, 对边分别对应相等,那 么这两个三角形全等. 么这两个三角形全等.
A
A’Bຫໍສະໝຸດ DCB’D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等。 全等三角形对应边上的高也相等。
思考题: 思考题:
是等腰三角形， 分别是∠ 5、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、 的角平分线， 全等吗？ ∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试 说明理由. 说明理由.
解 ∵ △ABC是等腰三角形 ∴ AC=BC ∠ A＝ ∠ B 又∵ AD、BE 分别是 ∠A、∠B 的角平分线 1 BAD＝ ∠A ∴ ∠BAD＝ ∠BAD =∠ABE =∠ 2 AB为公共边 ∵ AB为公共边 1 ABE＝ ∠ABE＝ 2 ∠B EAB=∠ ∠EAB=∠DBA =∠ ∴ ∠BAD =∠ABE ∴△ABD≌△BAE (A.S.A)
怎么办？可以 帮帮我吗？
问题导入 如果知道两个三角形的两个角及一条边分 如果知道两个三角形的两个角及一条边分 两个角 别对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 别对应相等，这两个三角形一定全等吗？ 这时应该有两种不同的情况： 这时应该有两种不同的情况： 两个角及两角的夹边； （1）两个角及两角的夹边； （2）两个角及其中一角的对边
（利用A.A.S定理说明） 利用A.A.S定理说明） A.A.S定理说明
思考题: 思考题:
已知：如图， A’B’C’， 4. 已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’， AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’ 分别是△ AD、 的高。 AD＝ 的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说 出你的发现。 出你的发现。
19.2.3 三角形全等的判定 (ASA)
回顾:三角形全等判定方法1 判定方法 回顾:三角形全等判定方法1
两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等。简写成“边角边” SAS” 形全等。简写成“边角边”或“SAS”
A
用符号语言表达为： 用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中∠B=∠E ABC与 DEF中 BC=EF
图 24.2.8
做一做 如图，已知两个角和一条线段， 如图，已知两个角和一条线段，以这两 个角为内角，以这条线段为两个角的夹边， 个角为内角，以这条线段为两个角的夹边， 画一个三角形. 画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的进行比 所有的三角形都全等吗？ 较，所有的三角形都全等吗？
全等三角形的判定方法2: 全等三角形的判定方法2:
思考: 思考:如果两个三角形有两个角 和其中一个角的对边分别对应相 那么这两个三角形是否全等? 等,那么这两个三角形是否全等?
A A′
B
C B′
C′
全等三角形的判定方法3: 全等三角形的判定方法3: 如果两个三角形的两个角及其中一个角 的对边分别对应相等, 的对边分别对应相等,那么这两个三角形 全等. 全等. (AAS) A A′
B B
2、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE 如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE CD相等么 为什么？ 相等么？ 和CD相等么？为什么？ 答:BE =CD
A D E E ABE与 ACD中 说明: 说明: 在△ABE与△ACD中 已知） ∠B=∠C （已知） 公共角） ∠A= ∠A （公共角） 已知) AE=AD (已知) ≌△ ） C ∴ △ABE ≌△ACD（AAS） C ∴ BE=CD 全等三角形对应边相等） （全等三角形对应边相等）
∴△ABC≌△DEF（SAS） ABC≌△DEF（SAS）
AB=DE
B
C D
E
F
如图, 如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 一样的三角形模具吗? 如果可以, 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗? 你能说明其中理由吗?
两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角角边” 三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
练 习 根据题目条件， 1. 根据题目条件，判别下面的两个三 角形是否全等，并说明理由. 角形是否全等，并说明理由.
（不全等，因 不全等， BC虽然是公 为BC虽然是公 共边， 共边，但不是 对应边。） 对应边。）
｛
(ASA)
例题：如图， 例题：如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，试说明△ABC ≌△DCB. 试说明△
A D
B
C
解 ∵ ∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，(已知) 已知) 为公共边且对应相等， 又∵ BC为公共边且对应相等， A.S.A.） ∴△ABD ≌△ACD. （A.S.A.）
试一试 1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 那么△ 、 ∠ ∠ 那么 全等吗？ 和△ACD全等吗？为什么？ 全等吗 为什么？
A D E E ≌△ 答:△ABE ≌△ACD ABE与 ACD中 说明: 说明: ∵在△ABE与△ACD中 已知) ∠B=∠C (已知) 已知） AB=AC （已知） 公共角） ∠A= ∠A （公共角） C C ∴ △ABE ≌△ACD （ASA） ≌△ ）
2.要使下列各对三角形全等， 2.要使下列各对三角形全等，需要增加什 要使下列各对三角形全等 么条件？ 么条件？ （1） （2）
∠ A=∠ D, ∠ ∠ B=∠ F, ∠ _________;
∠A=∠D, ∠ AB=DE, _________;
3.如图， 3.如图，已知AB与CD 相交于O，∠A＝ 如图 说明△ ∠D，CO＝BO，说明△AOC与△DOB全 等的理由. 等的理由.
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对 相等,那么这两个三角形全等. 应相等,那么这两个三角形全等. (ASA)
A A′
B
C
B′
C′
B'C'中 在△ABC和△ A'B'C'中 ABC和 ∠A' ∠A= ∠A' A' AB= A'B' ∠B' ∠B= ∠B' ∴ △ABC≌△ A'B'C' ABC≌△
B′ C′
B
C
B'C'中 在△ABC和△ A'B'C'中 ABC和
｛
∠A= ∠A' ∠B= ∠B' BC= B'C' ∴ △ABC≌△ A'B'C' ≌
(AAS)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等，简写成“角边角” ASA”。 形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA） ）
（AAS） ）