中考数学专题题库∶二次函数的综合题及详细答案

24
4a8
2≤t＜ 9 ． 4
【解析】
【分析】
（1）把 M 点坐标代入抛物线解析式可得到 b 与 a 的关系，可用 a 表示出抛物线解析式，
化为顶点式可求得其顶点 D 的坐标；
（2）把点 M（1，0）代入直线解析式可先求得 m 的值，联立直线与抛物线解析式，消去
y，可得到关于 x 的一元二次方程，可求得另一交点 N 的坐标，根据 a＜b，判断 a＜0，确
定 D、M、N 的位置，画图 1，根据面积和可得△ DMN 的面积即可；
（3）先根据 a 的值确定抛物线的解析式，画出图 2，先联立方程组可求得当 GH 与抛物线
只有一个公共点时，t 的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t 的值，可得：线段
GH 与抛物线有两个不同的公共点时 t 的取值范围．
【详解】
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+ 1 ）2+ 9 ， 24
y x2 x 2
由
，
y 2x
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1， ∴ G（-1，2），
∵ 点 G、H 关于原点对称，
∴ H（1，-2），
设直线 GH 平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
则 CM (1 0)2 (m 3)2 ， AC [0 1]2 (3 0)2 10 ，
AM [1 1]2 (m 0)2 ．
分三种情况考虑：
① 当 AMC 90 时，有 AC2 AM 2 CM 2 ，即10 1 (m 3)2 4 m2 ，
解得： m1 1， m2 2 ，
点 M 的坐标为 1,1 或 1,2 ；
② 当 ACM 90 时，有 AM 2 AC2 CM 2 ，即 4 m2 10 1 (m 3)2 ，
解得： m 8 ， 3
点
M
的坐标为
1,
8 3
；
③ 当 CAM 90 时，有 CM 2 AM 2 AC2 ，即1 (m 3)2 4 m2 10 ，
法求出抛物线解析式； 2 由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点 P 的位置； 3
分 AMC 90 、 ACM 90 和 CAM 90 三种情况，列出关于 m 的方程．
4．如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x﹣5 经过点 B， C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M． ①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行线交直 线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标； ②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标．
解：（1）∵ 抛物线 y=ax2+ax+b 有一个公共点 M（1，0），
∴ a+a+b=0，即 b=-2a，
∴ y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+ 1 ）2- 9a ， 24
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为（- 1 ，- 9a ）； 24
（2）∵ 直线 y=2x+m 经过点 M（1，0），
到 PD= 2 PQ=4，设 P（m，-m2+6m-5），则 D（m，m-5），讨论：当 P 点在直线 BC 上方
时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当 P 点在直线 BC 下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分
别解方程即可得到 P 点的横坐标；
②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E，如图 2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠ AM1B=2∠ ACB，再确定 N（3，-2），
抛物线的对称轴为直线 x 1 ．
设直线 BC 的解析式为 y kx d k 0 ，
将 B3,0 、 C 0,3 代入 y kx d 中，
3kd0
k 1
得： d 3 ，解得： d 3 ，
直线 BC 的解析式为 y x 3 ． 当 x 1时， y x 3 2 ，
当 PA PC 的值最小时，点 P 的坐标为 1, 2 ． 3 设点 M 的坐标为 1, m ，
【答案】（1） y x2 2x 3 ；（2）当 PA PC 的值最小时，点 P 的坐标为 1, 2 ；
（3）点
M
的坐标为
1,1
、
1,
2
、
1,
8 3
或
1,
2 3
.
【解析】
【分析】
1 由点 A、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
2 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 PA PC 取最小值，利用二次函数图象上点的坐
（2）①先解方程-x2+6x-5=0 得 A（1，0），再判断△ OCB 为等腰直角三角形得到
∠ OBC=∠ OCB=45°，则△ AMB 为等腰直角三角形，所以 AM=2 2 ，接着根据平行四边形的
性质得到 PQ=AM=2 2 ，PQ⊥BC，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，利用∠ PDQ=45°得
AMC 90 、 ACM 90 和 CAM 90 三种情况，利用勾股定理可得出关于 m
的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出 m 的值，进而即可得出点 M 的坐标． 【详解】
解： 1 将 A1,0 、 C 0,3 代入 y x2 bx c 中，
1bc0
b2
得： c 3 ，解得： c 3 ，
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+ 2 ，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝ax2+bx﹣3 可得抛物线解析式． （2）当 x＝0 时可求 C 点坐标，求出直线 AB 解析式，当 x＝0 可求 D 点坐标． （3）由题意可知 P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求 P 点横坐标．
标特征可求出点 B 的坐标，由点 B、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式， 利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的 坐标；
3 设点 M 的坐标为 1, m，则 CM (1 0)2 (m 3)2 ，
AC [0 1]2 (3 0)2 10 ， AM [1 1]2 (m 0)2 ，分
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知，抛物线 y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线 y＝2x+m 有一个公共点 M（1，0），且 a＜
b．
（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求△ DMN 的面积与 a 的关系式；
∵ 抛物线对称轴为 x a 1 ， 2a 2
∴ E（- 1 ，-3）， 2
∵ M（1，0），N（ 2 -2， 4 -6）， aa
设△ DMN 的面积为 S，
∴
1
S=S△ DEN+S△ DEM=
|（
2
-2）-1|•|- 9a
-（-3）|= 27
−3
27
−
a，
2a
4
4a8
（3）当 a=-1 时，
【详解】
解：（1）把 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
a b 3 0 y＝ax2+bx﹣3 可得 4a 2b 3 3
解得
a b
1 2
∴ y＝x2﹣2x﹣3
（2）把 x＝0 代入 y＝x2﹣2x﹣3 中可得 y＝﹣3∴ C（0，﹣3）
设 y＝kx+b，把 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
∴ 0=2×1+m，解得 m=-2，
∴ y=2x-2，
y＝2x 2
则
y＝ax2
ax
2a
，
得 ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴ （x-1）（ax+2a-2）=0，
解得 x=1 或 x= 2 -2， a
∴ N 点坐标为（ 2 -2， 4 -6）， aa
∵ a＜b，即 a＜-2a，
∴ a＜0，
如图 1，设抛物线对称轴交直线于点 E，
x2-x-2+t=0，
△ =1-4（t-2）=0，
t= 9 ， 4
当点 H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入 y=-2x+t，
t=2，
∴ 当线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是 2≤t＜ 9 ． 4
【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角 形的面积等知识．在（1）中由 M 的坐标得到 b 与 a 的关系是解题的关键，在（2）中联立 两函数解析式，得到关于 x 的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得 GH 与抛物线一 个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较 大．
抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ．
2 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 PA PC 取最小值，如图 1 所示．
当 y 0时，有 x2 2x 3 0 ， 解得： x1 1 ， x2 3 ，
点 B 的坐标为 3, 0 ．
抛物线的解析式为 y x2 2x 3 (x 1)2 4 ，
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P 点的横坐标为 4 或 5+ 41 或 2
5- 41 ；②点 M 的坐标为（ 13 ，﹣ 17 ）或（ 23 ，﹣ 7 ）．
2
66
66
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定 C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛
物线解析式；
点的坐标；作直线
BC
上作点
M1
关于
N
点的对称点
M2，
如图 2，利用对称性得到∠ AM2C=∠ AM1B=2∠ ACB，设 M2（x，x-5），根据中点坐标公式
得到
3=
13 6
+x
，然后求出
x
即可得到
M2
的坐标，从而得到满足条件的点
M
的坐标．
2
详解：（1）当 x=0 时，y=x﹣5=﹣5，则 C（0，﹣5），
解得： m 2 ， 3
点
M
的坐标为
1,
2 3
.
综上所述：当
MAC
是直角三角形时，点
M
的坐标为
1,1
、
1,
2
、
1,
8 3
或
1,
2 3
.
【点睛】
本题考查待定系数法求二次 ( 一次 ) 函数解析式、二次 ( 一次 ) 函数图象的点的坐标特征、
轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是： 1 由点的坐标，利用待定系数
（3）a＝﹣1 时，直线 y＝﹣2x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、H 关于原点对称，现
将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（t＞0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，
试求 t 的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点 D 的坐标为（﹣ 1 ，﹣ 9 a ）；（2） 27 3 27 a ；（3）
2．抛物线 y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线 y＝kx+c（k≠0）相交于 A（﹣1，0）、B（2，﹣3） 两点，且抛物线与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式；
（2）求出 C、D 两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点 P，若△ PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求出点 P 的 坐标．
k b 0 2k b 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解得
k b
1 1
∴ y＝﹣x﹣1
∴ D（0，﹣1）
（3）由 C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知 CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴ P 点纵坐标为﹣2， ∴ x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1± 2 ，∵ x＞0∴ x＝1+ 2 ．
∴ P（1+ 2 ，﹣2）
【点睛】
AC 的解析式为 y=5x-5，E 点坐标为（ 1 ，- 5 ），利用两直线垂直的问题可设直线 EM1 的 22
解析式为 y=- 1 x+b，把 E（ 1 ，- 5 ）代入求出 b 得到直线 EM1 的解析式为 y=- 1 x- 12 ，则
5
22
55
y＝x 5
解方程组
y＝
1 5
x
12 5
得
M1
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把 x＝0 代入二次函数解析式
和一次函数解析式可求图象与 y 轴交点坐标，知道点 P 纵坐标带入抛物线解析式可求点 P
的横坐标．
3．已知，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0）和 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使 PA+PC 的值最小？如果存在，请求出点 P 的 坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点 M 在抛物线的对称轴上，当△ MAC 是直角三角形时，求点 M 的坐标．