高二数学空间向量及其加减运算
高二数学空间向量及其加减运算
A1
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B A’ D’ B’ C’
C
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
A1
D1 B1
C1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
D A B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
空间向量及其加减运算(第一课时)
线性组合的几何意义
01
线性组合在几何上表示向量之间 的加权和，其中权重由标量确定 ，向量由各个向量确定。
02
当标量为正数时，线性组合表示 向量的延长或收缩；当标量为负 数时，线性组合表示向量的缩短 或反向延长。
线性组合的性质
03
向量的数乘
数乘的定义
总结词
数乘是向量的一种基本运算，通过与实数相乘，改变向量的长度和方向。
详细描述
数乘的定义是给定向量$vec{a}$和实数$k$，数乘的结果为$kvec{a}$，其中$kvec{a}$的长度为 $|k||vec{a}|$，方向与$vec{a}$相同或相反，取决于$k$的正负。
05
空间向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加减运算，可以 表示和计算物体受到的合 力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体运动的方向和大 小。
电磁学
在电磁学中，电场和磁场 都可以用向量表示，从而 描述电场和磁场的方向和 强度。
向量在几何中的应用
数乘的几何意义
总结词
数乘的几何意义是放大或缩小向量的 长度和方向。
详细描述
数乘的几何意义是将向量$vec{a}$按 比例放大或缩小。当$k>0$时， $kvec{a}$与$vec{a}$方向相同，长度 为$k$倍；当$k<0$时，$kvec{a}$与 $vec{a}$方向相反，长度为$|k|$倍。
02
向量的减法运算
向量的减法定义
总结词
向量减法的定义是两个向量相减，等于一个向量加上另一个 向量的相反向量。
高二数学 3.1.1空间向量及其加减运算
3．1 空间向量及其运算3．1.1空间向量及其加减运算李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．空间向量定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.长度向量的大小叫做向量的长度或模.表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作ABuu u r，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OBuuu r＝OAu u u r＋ABuu u r＝a＋b；CAu u r＝OAu u u r－OCuuu r＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．空间向量的概念辨析[例1] A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB uu u r ＋AD uuu r ＝AC uuur[思路点拨] 根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析] |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB uu u r ＋AD uuu r ＝AC uuur ，只有在平行四边形中才能成立．故A 、C 、D 均不正确．[答案] B [一点通](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量；(2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等；(4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |.其中正确命题的序号为( ) A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA u u u r ，1A A u u u r ，1BB u u u r ，1B B u u u r，1DD u u u u r ，1D D u u u u r ，1CC u u u r ，1C C u u u r共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD u u u u r ，1D A u u u r ，1C B u u u r，1BC u u u r ，1B C u u u r ，1CB u u u r ，1A D u u u r ，1DA u u u r .(3)向量1AA u u u r 的相反向量为1AA u u u r ，1B B u u u r ，1C C u u u r ，1D D u u u u r ，共4个.空间向量的加减运算[例2] 化简(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r)．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点．[精解详析] 法一：∵AB uu u r －CD uuu r ＝AB uu u r ＋DC uuur ，∴(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r ＋DC uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝AB uu u r ＋BD uuu r ＋DC uuu r ＋CA u u r ＝AD uuu r ＋DA uuu r＝0.法二：(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r －CD uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝(AB uu u r －CD uuu r )＋(DC uuu r －DB uuu r)＝CB u u u r ＋BC uuu r ＝0.[一点通](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur 化简后的结果是( )A ．1BD u u u rB ．1D B u u u rC ．1BD u u u r D ．1DB u u u r解析：由正方体的性质可得1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur ＝1DD u u u u r －DC uuu r ＋BC uuu r ＝1CD u u u r ＋BC uuu r ＝1BD u u u r .答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB u u u r ＝b ，AD uuu r＝c ，则CD uuu r 等于( )A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD uuu r ＝CB u u u r ＋BA u u r ＋AD uuu r ＝CB u u u r －AB uu u r ＋AD uuu r＝b －a ＋c ，所以CD uuu r ＝－a ＋b＋c .答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA uuu r －CB u u ur ；(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u ur .解：(1) 'AA uuu r －CB u u u r ＝'AA uuu r －DA uuu r ＝'AA uuu r ＋AD uuu r ＝'AA uuu r ＋''A D u u u u r ＝'AD u u u u r.(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u ur＝('AA uuu r ＋AB uu u r)＋''B C u u u u r＝'AB uuu r＋B ′C ′＝'AC uuur .向量'AD u u u u r 、'AC uuur如图所示．(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA u u u r ＋12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋45A A u u u u r ＋56A A u u u u r ＝6OA u u u r .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD u u u r相等的向量共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：与AD u u u r相等的向量有11A D u u u u r ，BC u u u r ，11B C u u u u r ，共3个．答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''u u u u r的模相等的向量有( )A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''u u u u r |＝|DC u u u r |＝|C D ''u u u u r |＝|CD u u u r |＝|BA u u r |＝|AB u u u r |＝|B A ''u u u u r |＝|A B ''u u u u r |.答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD u u u u r的是 ( )①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB ②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11D C u u u u r③(AD u u u r －AB u u u r)－1DD u u u u r ④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u rA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB u u u r ＝1AD u u u r －AB u u u r ＝1BD u u u r ；②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11DC u u u u r ＝1BC u u u r －MN u u u r ＝1BD u u u r； ③(AD u u u r －AB u u u r )－1DD u u u u r ＝BD u u u r －1DD u u u u r ≠1BD u u u r ；④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u r ＝1BD u u u r ＋1DD u u u u r .答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则BC u u u r＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA u u r ＝a ，OB u u u r＝b ， ∴BO u u u r ＝－b ，OC u u u r＝－a ， ∴BC u u u r ＝BO u u u r ＋OC u u u r＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA u u r ＝a ，CB u u r ＝b ，1CC u u u r ＝c ，则1A B u u u r＝________.解析：1A B u u u r ＝1B B u u u r －11B A u u u u r ＝1B B u u u r －BA u u r ＝1B B u u ur －(CA u u r －CB u u r )＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r＝________.解析：AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AC u u ur ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AB u u u r .答案：AB u u u r7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ； (2) AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ；(3) 1AA u u u r －AC u u ur －CB u u r .解：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ＝1CA u u u r.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM u u u r ＝121BB u u ur .又1AA u u u r ＝1BB u u u r ，所以AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ＝AB u u u r ＋BM u u u r ＝AM u u u r.(3) 1AA u u u r －AC u u u r －CB u u r ＝1CA u u u r －CB u u r ＝1BA u u u r.向量1CA u u u r ，AM u u u r ，1BA u u u r如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AB 'u u u r ＝AB u u u r ＋AA 'u u u r ， AD 'u u u r ＝AD u u u r ＋AA 'u u u r ， ∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋AA 'u u u r )＋(AD u u u r ＋AA 'u u u r)＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r )．又∵AA 'u u u r ＝CC 'u u u r ，AD u u u r ＝BC u u u r ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u uu r ＋BC u u u r ＋CC 'u u u r ＝AC u u u r ＋CC 'u u u r ＝AC 'u u u r ，∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .。
空间向量及其加减运算 课件
[解析] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴A→C＝A→B＋A→D，A→ B′＝A→B＋AA→′，AD→′＝A→D＋A→ A′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝(A→B＋A→D)＋(A→B＋AA→′)＋(A→D＋ AA→′) ＝2(A→B＋A→D＋AA→′)． 又∵A→ A′＝C→ C′，A→D＝B→C， ∴A→B＋A→D＋A→ A′
命题方向 空间向量的数乘运算 [例 3] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，设A→A1＝c，A→B＝a，A→D＝b，用 a、b、c 表示下列向量： B→C1、A→C1、B→D1、C→O.
[分析] 用 a、b、c 表示待求向量，应充分利用长方体的 特殊性和向量的“自由”移动性求解．
[点评] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方 向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
命题方向 空间向量的加减运算
[例 2] 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C正确．
＝A→B＋B→C＋C→C′ ＝A→C＋C→C′＝AC→′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝2AC→′.
[点评] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
空间向量及其加减运算
提升总结
（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
（zero vector），记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB = 0 .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两 个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
一、回顾本节课你有什么收获？
1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算:三角形法则和平行
四边形法则.
3.空间向量的加法符合交换律，结合律. 4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们.
3.（2013·福建高二检测）空间两向量 a, b 互为 相反向量，已知向量| b | 3 ，则下列结论正确的 是（ D ）
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件． 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
空间向量及其加减运算
[典例 2] 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′，化简 下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AA→′－C→B； (2)AA→′＋A→B＋B′→C′.
解： (1)A→A′－C→B＝A→A′－D→A＝ A→A′＋A→D＝A→A′＋A→′D′＝A→D′.
(2)A→A′＋A→B＋B→′C′＝(A→A′＋A→B)＋B→′C′＝A→B′＋B→′C′＝ A→C′，
2．几类特殊向量
特殊向量
定义
表示法
零向量 长度为 0 的向量
0
单位向量 模为 1 的向量
|a|＝1 或|A→B|＝1
与 a 长度相等而方
相反向量 向相反的向量称为
－a
a 的相反向量
方向相同且模相等 相等向量
的向量
a＝b 或A→B＝C→D
温馨提示 两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模 相等，称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关．
向量A→D′、A→C′如图所示．
归纳升华 1．化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三 角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用 相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法 之间可相互转化． 2．化简的结果要在图中标注好．
类型 3 空间向量加减运算的应用(误区警示) [典例 3] 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，化简D→A－ D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B. 易错提示：对向量减法的三角形法则理解错误致 误．如D→A－D→B＝A→B是错误的，而应有D→A－D→B＝B→A.
防范措施：掌握向量加减的运算法则及向量加法的交 换律、结合律等基础知识，在求解时需将杂乱的向量运算 式有序化处理，必要时也可化减为加，降低出错率．
高中数学 空间向量3.1 空间向量及其加减运算
仍然是一个向量, 称为向量的数乘运算. 当 l>0 时,
la 与向量 a 方向相同; 当 l<0 时, la 与向量 a 方向
相反; la 的长度是 a 的长度的 |l| 倍.
如: a
B
3a
A AB = 3a.
-2a
C
D CD= -2a.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律.
分配律: l(ab)=lalb, 结合律: l(ma)=(lm)a.
则得 OP = xOA yOB zOC, (x y z =1).
由于以上每步可逆, 即可得 l AB m AC = AP.
则得 AB, AC, AP 共面.
【共面向量】
A, B, C, P 四点共面 的充要条件是: 存在实数 xyz=1, 使得
OP = xOA yOB zOC.
P Cp
A
问题2. 类比平面向量, 你能定义空间向量中的零 向量, 单位向量, 相反向量, 相等向量吗?
实际上, 平面向量是空间向量的一个特殊位置, 所以平面向量的定义也适用于空间向量.
规定, 长度为 0 的向量叫做零向量, 记为 0. 当 有向线段的起点 A 与终点 B 重合时, AB = 0.
模为 1 的向量称为单位向量. 与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的 相反向量, 记为 -a.
则有 AP = l AB m AC.
在空间任取一点 O,
P Cp
有 AP =OP -OA.
A
B
则得 l AB m AC = OP -OA,
即 l(OB -OA) m(OC -OA)= OP -OA.
整理得 OP = (1-l - m)OA lOB mOC. O 令 x=1-l-m, y=l, z=m,
高中数学中的空间向量运算
高中数学中的空间向量运算空间向量是研究物体在三维空间中位置、方向和形状时的重要工具。
在数学中，我们可以使用向量的概念来描述和计算空间中的运动、力和位移等。
本文将介绍高中数学中涉及的空间向量运算。
1. 向量的表示在三维空间中，一个向量可以表示为一个坐标为 (x, y, z) 的点，也可以使用箭头 AB 表示，其中 A 是向量的起点，B 是向量的终点。
向量的模（长度）可以用公式||AB|| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²来计算。
2. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
对于向量 u = (x1, y1, z1) 和 v =(x2, y2, z2)，它们的和可以表示为 u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
向量加法的几何意义是将一个向量平移至另一个向量的终点形成的稳定平行四边形的对角线。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的每个分量与一个实数相乘。
若实数为正，则数乘后的向量与原向量同向，若实数为负，则数乘后的向量与原向量反向。
向量 u 的数乘可以表示为 k * u = (kx, ky, kz)，其中 k 是实数。
4. 内积内积也称为点积，可以用来计算两个向量之间的夹角以及向量在某一方向上的投影。
对于向量 u = (x1, y1, z1) 和 v = (x2, y2, z2)，它们的内积可以表示为 u·v = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
内积还可以用来判断两个向量是否正交（垂直），若 u·v = 0，则 u 和 v 正交。
5. 外积外积也称为叉积，可以用来计算两个向量之间的夹角以及求得垂直于两个向量组成的平面的法向量。
对于向量 u = (x1, y1, z1) 和 v = (x2, y2, z2)，它们的外积可以表示为 u × v = (y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2,x1*y2 - y1*x2)。
空间向量及其加减运算
㈦巩固： 1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别 是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量 A （1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC） （3）AG – ½（AB+AC）
解： （1）AB+BC+CD =AD
B （2）AB+1/2（BD+BC）=BG （3）AG – ½ （AB+AC）= MG M C源自B1C1 F D C
2 B
A
2
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来越大.最近壹段事间发生の厮杀,已经有王君层次申主参与.经过几年の积蓄历量,呐两个庞大の势历,都有些想要撕开那最后壹层伪装了.大会战,壹触即发.鞠言,也将首席阵法师伦倡再次找了过来.“拜见圣主大人！”伦倡见到鞠言,显得很激动.相比鞠言の武道实历,鞠言の阵道实历更让 伦倡崇拜.拾年前那壹次见到鞠言,鞠言给了他阵道上の壹些指点,让他获益良多.虽然只过去拾年,可是他在阵道上已经有了新の突破.“伦倡长老,阵盘の制造情况怎么样了?”鞠言直接问道.九玄烈吙阵の阵盘建造数量,关系叠大,也是万道圣地对万宝申殿开战の壹个大杀器.呐拾年里,万道 圣地阵法师团队唯壹の任务,就是不断制作九玄烈吙阵の阵盘.在鞠言の授意之下,呐个消息也全部封锁住,只有少数长老和阵法师团队才知晓.而阵法师团队の所有阵法师,又都在监控之下,他们就算想将呐个消息传出去也根本就没有机会.“圣主大人,九玄烈吙阵の阵盘,俺们壹共已经制作出 两百四拾四个.呐些阵盘,只需要九鼎主申就能随事激发,对敌人造成毁灭性の打击.”伦倡兴奋无比の说道.“两百四拾四个?嗯,不错.伦倡长老,呐段事间你辛苦了.稍后,你将所有阵盘都交给苏河长老.”鞠言说道.“是！”伦倡立刻应道.随后,鞠言又给苏河长老传出命令,让他传
空间向量及其加减运算 课件
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
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ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
C a
b O A
+
b
B
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
(3) AC AB1 AD1 xAC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2 AC1
D1 A1 B1 C1
x 2.
A
D B
C
课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
m p
；
变题：
如图，以长、宽、高分别为AB=3，AD=2,AA1=1 的长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点的两点为始 点和终点的向量中，试写出：
D1 C1
(1)所有单位向量； (2)模为 5 所有向量；
A1 D A
B1
C B
(3)与向量 AB 相等的所有向量； (4)与向量 AA1 的相反向量。
例如:
a
3a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即： (a
A
P 89
1 （）、（ 1 2 ）、（） 3
D
F
B E C
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
O
正东
A
?
问题 2:
F3 已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N, F3=2000N,
这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量
……
一、空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
c a b
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量
a、 b 满足| a || b |，则 a b
；
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC AC ； 1 1
（4）若空间向量 m 、 n、 p 满足 m n, n p ，则
（5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ C A.1 B.2 C.3 ） D.4
(1) AB CB AC; (2) AC AB BC CC ; (3) AA CC ; (4) AB BB BC C C AC .
C’
A’
B’
其中正确的是
。 A
D B
C
例4、如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有（ ）
概念 加法 减法 运算 运 算 律
空间向量的加减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则
减法:三角形法则
加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1 A2
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的. 很奇妙, 这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
b
b
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 （你认为应该怎样规定?）
加法 减法 运算 运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ab ba 加法结合律: (a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
(1)( AB CB) CC1 ;(2)( AA1 A1D1 ) D1C ; (3)( AB BB1 ) B1C1 ;(4)( AA1 A1 B1 ) B1C1.
A.1
变式：
B.2
C.3
D.4
化简：(1)( AB CD) ( AC BD) (2) DA DB B1C B1 B A1 B1 A1B
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的. 很奇妙, 这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
例1、给出以下命题：
C’ B’
解：⑴AB BC AC ⑵AB AD AA'
AC AA'
A’
AC CC' AC'
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例3、在如图所示的平行六面体 ABCD ABCD, 已知下列四式中： 中， D’
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B C A’ D’ B’
C’
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
(2) 2 AD1 BD1 xAC1(3) AC AB1 AD1 xAC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 ( BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
D A A1
D1 B1
C1
C B
x 1.
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
A1
D1 B1
C1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
D A B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB BC (2) AB AD AA1
A1 D1 B1 C1
M 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 G 1 (4) AB AD CC1 D C 2 解： (1) AB BC＝AC; A B (2) AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1 1 1 (3) ( AB AD AA1 ) AC AG 3 3
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
a
定义: 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量. ⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
△BCD 的重心,试用 a 、 b 、 c 表示下列向量:
⑴ DM
1 （ a b) c 2
B M
⑵ AG
A
1 （ a b c) 3
D
G C
练习：课本97页习题3.1
2
；商标转让 商标转让；
了雪圣了,雪圣手中の天罗伞再次壹转,发出了壹条彩带神光,击退了周围の神兽虚影,雪圣身形壹闪,也顺利の站在了冰川上."嘶..."雪圣轻轻落地,回头壹看,那法阵已然消失得无影无踪了,仿佛刚刚什么也没有发生过似の."姓褚の,你找死!"几人终于是平安落地,但是褚圣却激怒了中年女人,中年 女人怒不可揭,手中凝聚出壹把利剑,就要劈向褚圣."雪花,省点力气..."雪圣轻轻壹拂手,壹道纯净の圣威,将这名为雪花の女人の利剑术给化解掉,然后沉声对褚圣道："褚圣,你又何须如此,扮猪吃虎这么长时间,可没什么意思,不是圣人所为.""他成圣了?"雪花楞了