江苏省天一中学2016届高三数学晚间训练(02)Word版含答案

2016届高三数学晚间训练（02）
编写：李 伟 班级： 姓名： 1. 复数122,3z a i z i =+=+，若复数12z z z =⋅的虚部为0，则a 的取值为 2. 已知函数()sin(2)0,2
f x x πϕϕ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，若()()f x f ϕ≤对任意x R ∈恒成立，则
2f ϕ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
3. 在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱的上底面的圆心，若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则:r h 的值为
4. 已知非零向量a 与b 满足2a b =，若3a b b +≤，则向量a 与b 夹角余弦值的取值范围为
5. 已知函数()ln f x a x x =+，若曲线()y f x =在点()()
,a f a 处的切线过原点，则实数a 的取值为
6. 设,x y 满足约束条件0
0210x x y x y ≤⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，则目标函数z xy =的取值范围为
7. 已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为-4，n S 是其前n 项和，若存在*
m N ∈，使得
36m S =，则a 的最小可能值为
8. 已知函数()()2
1,12
12,1
2
x x f x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，若方程()1f x a x =-（a R ∈）有且仅有两个
不相等的实根，求实数a 的取值范围
9. 如图，已知城市O 周边有两个乡镇A 和B ，其中乡镇A 位于城市O 的正东方向21km 处，乡镇
B 与城市O 相距，OB 与OA 夹角的正切值为2. 为方便交通，现准备建设一条经过城市O 的公路l ，使乡镇A 和B 分别位于l 的两侧.过A 和B 建设两条垂直于l 的公路A
C 和B
D ，分别与公路l 交汇于,C D 两点.
（1）当两个交汇点,C D 重合时，试确定
BD 路段的长度；
（2）若AC BD =，计算此时两个交汇点,C D 到城市O 的距离之比； （3）若要求两个交汇点,C D 之间的距离不超过14
3
km ，求角AOC ∠正切值的取值范围.
10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，,A B 分别为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点和
上顶点，E 为AB 的中点，点,P Q 为椭圆上任意两动点（异于,A B ），直线PE 与椭圆交于点C ，直线QE 与椭圆交于点D . 当直线PE 与x 轴垂直且P 在x 轴下方时，点P 的坐标
为⎝⎭
. (1)求椭圆的标准方程； (2)若动点,P Q 满足
PE QE
EC ED
=,证明：//PQ AB .
11. 已知各项均为正数且公比1q ≠的等比数列{}n a ，n S 为其前n 项和. (1)若()1,2,,m
k k S q S k m k m N ->≥∈,求证：1k m m S q S ->；
(2)若数列21n n S q -⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
有最大项，求公比q 的取值范围； (3)试判断是否存在q ，使得在等比数列{}n a 中可以取出无穷多项组成等差数列，若存在，求出q 需要满足的条件；若不存在，请说明理由。

2016届高三数学晚间训练（02）答案
1. -6
2.
11,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5. e 6. 1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7. 15 8. (]{}
11,0,3786⎡⎫
-∞-⎪⎢⎣⎭
9.以O 为原点，OA 方向为x 轴
建立平面直角坐标系x O y ，因为
21,5,t a n 2
O A O B A O B ==∠=易得()()21,0,7,14A B ，设直线l 的方程为y kx =，()0,2k ∈
（1）若两个交汇点,C D 重合，则公路,AC BD 共线，AB 连线的斜率为1AB k
=-,又因为此时l AB ⊥,所以直线l 的斜率为1k =，有点到直线距离公式：
2
BD =. （2）由
AB CD =可得
=
，解得12k =
，即1
t a n
2
A O C ∠=，此时3tan 4BOD ∠=,从而tan 3
tan 2
OC BD OC BOD OD OD AC AOC ∠=⋅==∠.
（3
）因为AC =
所以AC OC k =
=，
又因为BD ==，且tan 12BOD k ∠=+
，所以tan BD OD BOD ==
∠，
所以CD OC OD =-=
14
3
≤
k ≤≤
. 答：（1
）2BD km =，（2）32OC DC =，
(3)99tan 88
AOC +≤∠≤. 10. (1)2
212
x y += (2)设()()1122,,,P x y Q x y ，且令PE QE
EC ED λ==,
由12E ⎫⎪⎪⎝⎭
，且PE EC λ=,
易得
1122y C λλ⎫
+-⎪⎪⎝⎭
，分贝将,P C 带入椭圆方程，化简可得
)()211121220x y λλλλ++++--=，
)()222121220x y λλλλ++++--=
即直线PQ
)()2121220x y λλλλ++++--=
，所以PQ k =.
从而有//.PQ AB k k PQ AB ==⇒ 11. (1)由1m
k k S q S ->可得
()()1111111111k m k m m k
a q a q q a q a q q q
q
q
---->
=
--- 即1111111m k m k a a q a q a q q q q
--->
--，故1k m m S q S ->，原命题得证. (2)由（1）易知1m k k S q S --与1k m m S q S --正负情况相同.
设21n n n S T q -=，则()2111212321
2,n n n n n n n n n S S S q S T T n n N q q q
---+-----=-=≥∈要判断1m
n n S q S --的正负，只需要判断21n
S q S -正负即可,又()
2111n n S q S a q q -=+-. ①当()0,1q ∈时，()
2111n n
S q S a q q -=+-对2,n n N +∀≥∈恒成立.
即10n n T T -->对2,n n N +∀≥∈恒成立.故数列21n n S q -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
无最大项，不符题意. ②当()1,q ∈+∞，且取()log 1q n q >+时，()
21110n n
S q S a q q -=+-<
即当()log 1q n q >+时，均有10n n T T --<成立，故数列21n n S q -⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
必存在最大项. 综上，公比q 的取值范围为1q >.
(3)假设在等比数列n a 中可以取出无穷多项组成等差数列，不妨取公差为0d > ①当()0,1q ∈时，显然有10n a a <≤对n N +∀∈恒成立，设组成的等差数列首项为
,t a t N +∈，此时取正整数1
a m d
>
，则当1n m -≥时，均有11(1)a n d a +->，即等差数列到第n 项均不在数列{}n a 中.
②当()1,q ∈+∞时，显然有1n n a a +>对2,n n N +∀≥∈恒成立.此时取正整数
21log q
d m a a >-，则当1n m -≥时，均有1212121
n n d d
a a a a d a a a a +->⋅-⋅=--，即当
1n m -≥时不存在两项差为d . 故在等比数列{}n a 中不可取出无穷多项组成等差数列；
综上，不存在q ，使得在等比数列{}n a 中可以取出无穷多项组成等差数列.。