数理物理方法考试试题11

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物理专业数理方法考试试卷及答案3

1．试计算积分

z 4
3z 1 dz 。 ( z 1)( z 3)
2．长为 l、杆身与外界绝热的均匀细杆，杆的两端保持为零度，已知其初始温度分布求在 t > 0 时杆上的温度分布。
( x) lx (l为常量），
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3．在均匀外电场 E0 中置入半径为 r0 的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势差为 u 0 ，求球内、外的电势。设导体球置入前坐标原点的电势为零。

( x xk ) ， k 1 '( xk )
N
( x2 a2 )
( x a) ( x a) 1 [ ( x a ) ( x a)] '(a) '( a) 2 a
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得分
评阅人
四、计算题：（共 4 题。第 1 题 10 分，第 2、3 题各 18 分，第 4 题 13 分，共 59 分。）
( ) f (t )e i t dt f
T
cos(2 v0t )(cos t i sin t )dt
T T
cos(2 v0t ) cos(t )dt
T
[cos(2 v0 )t cos(2 v0 )t ]dt
2u1 0 (r r0 ) 2 u2 0 (r r0 ) E0 r cos Lim r u (r ) u (r ) 1 0 2 0
（2）对称性及通解形式。本问题具有轴对称性。因为接地导体为等势体，故球内、球外电势可分别表示为
u1 u0 , u2 ( Al r l Bl r l 1 ) Pl (cos )

数学物理方法试题(卷)

数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。

数理11详解-概述说明以及解释

数理11详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数理11是指数学和物理两个学科的结合，通过运用数学的方法和原理来解决物理问题。

它涵盖了许多数学和物理的基本概念和应用，是理解和掌握数学和物理的重要基础。

在数理11中，学生将学习到一些基本的数学概念，如代数、几何、函数、微积分等。

这些数学概念在物理学中有广泛的应用，可以帮助我们分析和解释自然界中的各种现象和规律。

同时，数理11也会介绍一些物理学的基本概念，如力、能量、运动、电磁学等，通过数学的方法来描述和解决物理问题。

通过学习数理11，学生不仅可以理解数学和物理的基本原理，还可以培养一种科学思维和解决问题的能力。

数理11所学到的数学和物理的知识与技能也是许多其他高级学科和职业所必需的基础。

本篇文章将介绍数理11的概念、应用和挑战，旨在帮助读者更好地理解和应用数理11的知识。

在接下来的章节中，我们将分别对数理11的概念、应用和挑战进行详细的讨论，并对数理11的重要性和未来发展进行总结和展望。

希望通过本篇文章的阅读，读者能够加深对数理11的了解，并在实际学习和应用中更好地运用数理11的知识和方法。

数理11不仅是学习数学和物理的基础，也是培养科学素养和解决实际问题的重要途径。

1.2 文章结构文章结构的部分内容可以包括以下内容：本文将从三个方面对数理11进行详解，分别是数理11的概念、数理11的应用和数理11的挑战。

下面将对这三个方面进行具体介绍。

首先，在第二部分"2.正文"中，将详细阐述数理11的概念。

我们将探讨数理11的定义、发展历程以及其在数理领域的重要性。

通过对数理11的深入理解，读者将能够清晰地把握数理11的基本概念和相关知识。

接下来，在正文的第二个部分，即2.2 数理11的应用，我们将介绍数理11在实际应用中的重要性。

我们将通过实例和案例的分析，展示数理11在各个领域的应用情况，包括但不限于自然科学、工程技术和社会经济等。

通过这一部分的阐述，读者将能够深刻认识到数理11在现代社会中的广泛应用和重要性。

《数学物理方法》课程考试试题

《数学物理方法》课程考试试题- 学年第学期班级时量： 100分钟，总分 100 分，考试形式：闭卷1．求矢量场222A xy x yj zy k =++的矢量线方程并计算▽×A （5分) 2．求数量场22223326U x y z xy x y z =++++--在点O(o,o,o)与A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。

又问在哪些点上的梯度为0.？（5分)3．证明矢量场(2)(42)(26)A x y i y x z j y z k =+++++-为调和场，并求其调和函数（10分)4．已知332cos sin (,,),r A r e e divA r r θθθθϕ=+求（10分) 5．计算i i (5分)6．计算积分24221,,,12i i f z dz x t y t t ++==≤≤积分路径沿抛物线其中（10分) 7．在010()sin,1z f z z ==-的邻域上,把函数展开为泰勒级数,并指出它的收敛半径（10分) 8、用留数定理计算积分中2331,1(1)l z z dz l z z -+=-⎰其中是包围的任意简单闭曲线（10分)9．求矩形脉冲 0(/2)()()220()2t f t H t t ττττ⎧⎪<-⎪⎪=-<<⎨⎪⎪>⎪⎩ 的频谱（10分) 10．两端固定的长为l 的弦，用细棒敲击弦上00,x x x x ==点亦即在点施加冲力，设其冲量为I ，写出定解条件（10分)11．用分离变数法求解定解问题20(0)(0,)(,)0(,0)0,(,0)()(0)tt tt x t a U x l t U l t U x U x x x l ϕ-=<<====<<U U（15分)。

物理数学方法试题及答案

物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。

答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。

答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。

答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。

答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。

答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。

答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。

2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。

答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。

3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。

答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。

特征向量则是对应的非零向量。

例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。

数学物理方法期末考试试题

数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。

7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。

8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。

## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。

10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。

假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。

## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。

请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。

数学物理方法期末考试卷与解答

《数学物理方法》试卷（A 卷）参考答案姓名: 学号:题号一二三四五六七八总分得分注：本试卷共一页，共八大题。

答案请做在答题纸上，交卷时，将试题纸与答题纸填好姓名与学号，必须同时交齐，否则考卷作废！可能用到的公式:1). (2l +1)xP l (x )=lP l −1(x )+(l +1)P l+1(x ), 2). P 0(x )=1, P 1(x )=x ；3))(~)]([00k k f x f eF xik −=;4))]([1])([x f F ikd f F x=∫∞−ξξ; 5).])1(1[2sin )(I 333n ln l xdx l n x l x −−=−=∫ππ一、简答下列各题。

（12分，每题6分）1. 试在复平面上画出3)arg(0π<−<i z ，4Re 2<<z 点集的区域。

解：如图阴影部分为所求区域（6分）2. 填空题：函数3)2)(1()(i z z z f +−=是单值的还是多值的？多值的（1分）；若是多值，是几值？3值（2分）；其支点是什么？1，-2i ，∞（3分）。

二、 (9分) 试指出函数3sin )(zzz z f −=的奇点(含ㆀ点)属于哪一类奇点？解：22112033)12()1(])12()1([1sin )(−∞=+∞=∑∑+−=+−−=−=n n nn n n n n n z n z z z z z z f （3分） z=0为f (z )的可去奇点；（3分）z=∞为f (z )的本性奇点；（3分）三、 (9分) 已知解析函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )的虚部v (x,y ) = cos x sh y ，求f (z )= ? 解：由C-R 条件x y x v yy x u y y x v x y x u ∂∂−=∂∂∂∂=∂∂),(),(,),(),( （3分）得 u x (x,y ) = v y (x,y ) = cos x ch y u y (x,y ) = −v x (x,y ) = sin x sh y （3分）高数帮帮数帮高数帮高f (z ) = f (x +iy ) = u (x ,y ) + iv (x ,y ) = sin x ch y +i cos x sh y + c上式中令 x=z, y=0，则 f (z ) = f (z+i0) = sinz + c （3分）四、 (10分) 求积分dz z e I Lz∫−=6)1(其中曲线L 为(a)圆周21=z ；(b)圆周2=z 解：(a) 6)1()(−=z e z f z 在圆周21=z 内解析，I = 0；（5分） (b) 在圆周2=z 内有一奇点，I = 2πiRes f (1)= 2π i !52)1()1()!16(166551lim e i z e z dx d z z π=−−−→（5分）五、 (10分) 计算拉普拉斯变换?]2sin [=t t L （提示：要求书写计算过程）解：已知 42]2[sin ,][sin 222+=+=p t L p t L 也即ωωω（2分）由象函数微分定理)3(4)(4p4)(4p ]2sin []2sin )[()2(4)(4p )42(]2sin )[()3(,)()1()]()[(2222222分分分+=+−−=−=−∴+−=+=−−=−p p t t L t t L p p dp d t t L p f dp d t f t L nnnn六、 (15分) 将f (x )= (35/8)x 4 + 5x 3−(30/8)x 2 +(10/3)x +1展开为以{ P l (x ) }基的广义付里叶级数。

数理方法练习题

数理方法练习题一、填空题1．考虑长为l 的均匀杆的导热问题，若杆0=x 的一端保持为恒温零度，l x =的一端绝热，用u 表示温度，则对应的边界条件为 .2.二维泊松方程xy y x u =∆),(2的一个特解=),(y x u .3. 点00=x 是常微分方程0)41(22=-+'+''y x y x y x 的 .(选填“常点”或“正则奇点”)4. 常微分方程22(4)0x y xy x y '''++-=为阶Bessel 方程.5. 以勒让德多项式)(x P l 为基本函数族, 把定义在[1-,1]上的函数2()1f x x =+展开成广义傅里叶级数为 . [ 提示:查表得0)1P x =（，221)(31)2P x x =-（] 6. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分=⎰-dx x xP l 11)( .7.当k l ≠或n m ≠时,则关于球函数的积分=⎰⎰ϕθθϕθϕθd d Y Y n k Sm l sin ),(),( .8.勒让德多项式的正交性的关系可以表示为 .9. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分112()l P x dx -⎰= .10．数学物理方程中需要求解的定解问题是由和组成.11. 导热杆的绝热端,为第类边界条件.12.设S 为球面2221x y z ++=,则矢量场333=++x y z A i j k 穿过闭合曲面S 的通量=Φ .13.数量场23u x yz =在点(2,1,1)M -处的梯度为 .14. 设矢量场A 为调和场,则div A = 且rot A = .15.设矢量场A 为管形场,则div A = . 二、计算题1．把下面的定解问题化为齐次边界条件的定解问题（不求解）202000,0(0,0)|3,||,|tt xx x x x x l t t t u a u x l x l t u u tu x u x====⎧-=<<<<>⎪==⎨⎪==⎩ 2. 用行波法求解下列初值问题：22000,|sin ,|==⎧-=-∞<<∞⎨==⎩tt xx t t t u a u x u x u x3.求解下列定解问题：200sin (0,0)|0,|0|0π===⎧-=<<>⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩t xx x x l t x u a u x l t l u u u4．在00=x 的邻域，用级数法求解常微分方程.0=-''xy y5．在半径为a 的球的外部求解定解问题: 2(,,)014sin cos sin 2r a r u r u u θϕθϕϕ=→∞∆=⎧⎪⎪=+⎨⎪→⎪⎩（）有限 [提示: 查表得2200202cos )3sin 2(cos )2(cos )P P P θθθθ==-（]三、应用题1. 设有一长为l 两端固定的均匀弦，弦的线密度为ρ，现用细棒敲击弦上00(0)x l x x <<= 处，即在0x x = 处施加瞬时冲力，设其冲量为I ，即在弦的横向所给的初始位移为00t u ==,初始速度为00()t t Iu x x δρ==- ，求解此弦的自由横振动. [要求：用a 表示振动在弦上传播的速度，列出定解问题并求解].2. 半径为a 的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为20cos u θ，其中0u 为常数，求球形区域外部的电势分布. (要求：在球坐标系中列出定解问题并求解)3．有均匀圆柱，半径为0ρ,高为h ，柱侧面为零度，上下底面温度分别保持为12()()f f ρρ和.求解柱内的稳定温度分布.(要求: 在柱坐标系中列出定解问题并求解)四、证明题 1. 证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222cos (2+++=为有势场.2.设矢量场r rq D 34π=,其中k z j y i x r ++=,r r =,∇表示哈密顿算符. 证明: 当0≠r 时,有0=⋅∇D .。

数学物理方法复习题

第一部分:填空题1复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点z x iy =+可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______3 复变函数2()f z z z =在____z =处可导4复变函数()f z xy iy =+在____z =处可导5 ln(1)_____-=6 指数函数()z f z e =的周期为______7 221_____1()z dz z z==-⎰ 8 31_____3z z e dz z -==-⎰ 9 221_____4z dz z -==-⎰ 10 51cos _________(1)z z dz z π>=-⎰ 11 在01z =的邻域上将函数11()z f z e -=展开成洛朗级数为__________12 将1/z e 在00z =的邻域上展开成洛朗级数为_____________13 将1sin 1z -在01z =的邻域上展开成洛朗级数为________________ 14 00z =为函数sin 2z z的________________ 15 00z =为函数1sin z 的________________ 16 01z =为函数11z e-的____________________ 17 00z =为函数4cos z z 的______阶极点 18 00z =为函数4sin z z的______阶极点19 函数231()ze f z z -=在00z =的留数Re (0)________sf = 20 函数11()z f z e -=在01z =的留数Re (1)________sf =,在无限远点的留数Re ()________sf ∞=21 函数21/()z f z e =在00z =的留数Re (0)________sf =22 函数3cos ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 23 函数3sin ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 24 积分0()()______ba f t d τδττ-=⎰ ((,))t ab ∈ 25 两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点0x 受变力0(,)sin f x t f t ρρω=的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力t F Ru =-（R 为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。

数学物理方法试卷与答案

《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（）A ．0=f .B ．0=Γu .C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ的解是（）A ．) cos , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. B ．) sin , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x .D ．023=+-yy xy xx u u u .二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是_____________________________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx其特征方程为________________________________________________________. 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y x x y 的任一特解=y __________ _______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J _______________________________________.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22222000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x lt t t u ua x l t t x uu x x u x ul ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩四、（10分）用行波法求解下列问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<∞->=∂∂-∂∂∂+∂∂==.,0 ,3 , ,0 ,03202022222x y u x u x y y uy x u xu y y五、（10分）用Laplace 变换法求解定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=>==><<∂∂=∂∂===.20 ,sin ,0 ,0,0 ,20 ,02022x x u t u u t x x ut u t x x π六、（15分）用格林函数法求解下定解问题222200, y 0,() , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩七、（10分）将函数()f x x =在区间[0，1]上展成Bessel 函数系(1)11{()}m m J x μ∞=的级数，其中(1)m μ为Bessel 函数1()J x 的正零点，1,2,m = .2008—2009学年第二学期《数学物理方法》试卷B 答案一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（ C ）A ．0=f .B ．0=Γu .C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ的解是（ B ）A ．) cos , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. B ．) sin , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x .D ．023=+-yy xy xx u u u .二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是(x t cos sin 2).2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y x x y 的任一特解=y （ )21(23x J 或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r1ln），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r1）.5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J （)s i n )(1(2)cos sin 1(223xxdx d x x x x x x ππ-=- ）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22222000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u ua x l t t x uu x x u x ul ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒=此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。

数学物理方法考试试题1

课程试卷库测试试题（编号：1 ）一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，共5题，每题4分）1、在复数领域，i z e 的周期是2i π。

（ × ）2、柯西一黎曼方程是复变函数可导的充分条件。

（ × ）3、设()f x 的傅里叶变换的像函数是()F ω，则'()f x 的傅里叶变换的像函数是()i F ωω。

（ √ ） 4、在推导均匀弦的微小横振动方程时，如果我们假定弦是柔软的，那么弦中张力必沿弦的切线方向。

（ √ ）5、在波动方程的定解条件中，初始条件只有一个。

（ × ）二、填空题（共5题，每题4分）1、s ()in a ib +的模为22221()s ()c 2b b b b e e in a e e os a --++- 2、在00Z =的领域，函数1z e 的洛朗展开式为：23101111111111!2!3!!kz k e z z z k z ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 3、s t e in t λω-的拉普拉斯变换函数为()22ωρλω++ 4、若()f x 的傅里叶变换为()F ω，则()f x α的傅里叶变换为1F ωαα⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5、均匀弦的微小横振动的波动方程可写为20tt xx u a u -=三、选择题（共5题，每题4分） 1、关于1()1n f z z =-函数的极点和留数问题，正确的说法是（ 4 ） ⑴ n 阶极点00z =，留数为1。

（2）n 阶极点00z =，留数为1n。

（3）单极点00z =，留数为1n 。

（4）单极点01z =，留数为1n 。

2、回路积分212z z e dz =⎰ 的值为（ 4 ）⑴ π， ⑵ 2i π， ⑶ 2π， ⑷ 0。

3、函数n t 的拉普拉斯变换像函数为（ 4 ）⑴ 11n p +， ⑵ !n p ， ⑶ !n n p ， ⑷ 1!n n p +。

4、拉普拉斯像函数为46(1)p +，则原函数为（ 1 ） ⑴ 3t t e -， ⑵ 3t ， ⑶ t e - ⑷ 3t t e 。

高中物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题

高中物理数学物理法技巧和方法完整版及练习题一、数学物理法1．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】【分析】【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③ 由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得2cos m gB q R θ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min 2cos m gB q R θ=⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得sin cos gRv θθ=⑨2．如图所示，圆心为O 1、半径4cm R =的圆形边界内有垂直纸面方向的匀强磁场B 1，边界上的P 点有一粒子源，能沿纸面同时向磁场内每个方向均匀发射比荷62.510C/kg qm=⨯、速率5110m/s v =⨯的带负电的粒子，忽略粒子间的相互作用及重力。

其中沿竖直方向PO 1的粒子恰能从圆周上的C 点沿水平方向进入板间的匀强电场（忽略边缘效应）。

试题精选_山西省太原五中2014-2015学年高二上学期期中考试数理能力测试(物理)_精校完美版

太原五中2014-2015学年度第一学期期中高二数理能力测试（物理）命题、校对：杨喜义一、选择题（每小题4分，共28分。

1-5题只有一个选项符合题意，6、7题有二个或二个以上选项符合题意，全选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有选错的或不答的得 0 分）1．如图所示，弹簧振子沿X 轴在B 、C 之间做简谐运动，0是平衡位置，当振子从B 向O 点运动经过P 点时（X 轴正方向为正方向）（）A ．振子的回复力为负 B.振子的速度为负C ．振子的加速度为负 D.振子的位移为负2．如图所示，在张紧的绳子上挂了a 、b 、c 、d 四个单摆，摆长关系L C >L b =L d >L a ，先让d 摆动起来（摆角不超过100），则下列说法正确的是（）A ． b 摆发生振动，其余摆不动B ．由2T =c 摆的振动周期最大，a 摆的振动周期最小C ．所有摆均以相同的摆角振动D ． b 摆的振幅大于a 、c 的振幅3．用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为A ，周期为T ，初相13ϕπ=-，则振动曲线为（）4．一列简谐横波沿X 轴正方向传播，图甲是t=1s 时的波形图，图乙是波中某质点位移随时间变化的振动图象（两图用同一时间起点），则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图象（）A ．X=0处的质点 B.X=1m 处的质点C ．X=2m 处的质点 D.X=3m 处的质点5．水平面上A 、B 、C 三点固定着三个电荷量为Q 的正点电荷，将另一质量为m 的带正电的小球（可视为点电荷）放置在0点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。

已知静电力常量为k,重力加速度为g，为使小球能静止在O点小球所带的电荷量为（）6．水平放置的弹性长绳上有一系列均匀分布的质点1，2，3，。

现使质点1沿竖直方向做简谐振动，振动将沿绳向右传播，质点1的起始振动方向向上，当振动传播到质点13时，质点1恰好完成一次全振动。

物理方法考试试题及答案

物理方法考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力的关系是：A. 成正比B. 成反比C. 与作用力无关D. 无法确定答案：A2. 光在真空中的传播速度是：A. 3×10^8 m/sB. 3×10^5 m/sC. 3×10^2 m/sD. 3×10^3 m/s答案：A3. 以下哪个选项是描述能量守恒定律的？A. 能量可以被创造或消灭B. 能量可以从一种形式转化为另一种形式C. 能量在转化过程中总量不变D. 能量只能在特定条件下转化答案：C4. 根据欧姆定律，电阻、电流和电压之间的关系是：A. 电流与电压成正比，与电阻成反比B. 电流与电压成反比，与电阻成正比C. 电流与电压无关，与电阻无关D. 电流与电压和电阻都成正比答案：A5. 一个物体在水平面上受到的摩擦力大小与以下哪个因素无关？A. 物体的质量B. 物体与地面的接触面积C. 物体对地面的压力D. 物体与地面的摩擦系数答案：B6. 以下哪个选项是描述光的折射现象的？A. 光在不同介质中传播速度不同B. 光在不同介质中传播方向不变C. 光在不同介质中传播速度相同D. 光在不同介质中传播方向相同答案：A7. 根据热力学第二定律，以下哪个说法是正确的？A. 热量可以自发地从低温物体传向高温物体B. 热量不能自发地从低温物体传向高温物体C. 热量可以在没有外部作用下从高温物体传向低温物体D. 热量可以在没有外部作用下从低温物体传向高温物体答案：B8. 以下哪个选项是描述电磁感应现象的？A. 变化的磁场产生电场B. 变化的电场产生磁场C. 稳定的磁场产生电场D. 稳定的电场产生磁场答案：A9. 以下哪个选项是描述波的干涉现象的？A. 两个波相遇时，它们的振幅相加B. 两个波相遇时，它们的振幅相减C. 两个波相遇时，它们的频率相加D. 两个波相遇时，它们的频率相减答案：A10. 以下哪个选项是描述量子力学中的不确定性原理的？A. 粒子的位置和动量可以同时被精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时被精确测量C. 粒子的速度和动量可以同时被精确测量D. 粒子的速度和位置可以同时被精确测量答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 牛顿第三定律指出，两个物体之间的力是_________的。

数学物理方法期末考试大题

2
2、求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
3、两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度

u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
4、求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
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一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t

0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数，两端保持为零度，初始温度分布

数学物理方法考题汇总

第一章一维波动方程的付氏解一．简述偏微分方程，阶，线性非线性，齐次非齐次的概念答：（1）含有未知函数关于自变量的偏导数的等式称为偏微分方程，简称PDE(Partial Differential Equation)（2）偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中未知函数偏导数的最大阶数。

（3）方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，称为线性；否则称为非线性方程。

（4）不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。

二．P24(8) 指出下列微分方程的阶、线性、齐次性：①(Tricomi 方程): 0xx yy yu u += （2阶线性齐次）②(Klein-Gordon 方程): 220tt u y u c u -∆+=（2阶线性齐次）③(激波方程): 0t x u uu += （1阶非线性齐次） ④(KdV 方程 ): 60t x xxx u uu u -+= （3阶非线性齐次）⑤(多空介质方程): mt u k u =∆ （2阶非线性齐次）三．简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24(9) 对方程111222122+++++=xxxy yy x y a u a u a u b u b u cu f21211220 ()=0 ()<(Laplace,Poisson)a a a >⎧⎪∆≡-⎨⎪⎩双曲型弦振动抛物型热传导0 椭圆型（1）43260+-++=xx xy yy x y u u u u u ：双曲线型（2）22(1)(1)0+++++=xx yy x y x u y u xu yu ：椭圆型四．何谓发展方程？何谓位势方程？何谓叠加原理？(1) 发展方程: 所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等；(2) 位势方程：所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关，如：静电场、引力场等。

(3) 几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象.五．试推导一维波动方程。

数学物理方法样卷

x(t)
=
1 H(t) (2et
−
2 cos 2t
−
) sin 2t
5
三、求解初值问题:
utt = uxx uu|tt|=t=00==x12
(−∞ < x < +∞)
(本小题 15 分)
解: 由达朗贝尔公式:
1 u = [φ(x + at) + φ(x − at)] +
1
∫
x+at
ψ(ξ) dξ
2
l
Xn(x)
=
sin
nπ l
x
Tn(t)
=
Cn
cos
nπa l
t
+
Dn
sin
nπa l
t
利用解的叠加原理, 可得满足方程和边界条件的级数形式解
u(x,
t)
=
∑ ∞
( Cn
cos
nπa t
l
+
Dn
sin
nπa l
) t
sin
nπ l
x
n=0
由初始条件 ut|t=0 , 得 Dn = 0 ,
由
u|t=0
x(t)
=
1 H(t) (et
) − cos t − sin t
2
三、求解初值问题:
utt − a2uxx = 0 uu(t(xx,,00))==ceo−s1x
(−∞ < x < +∞)
(本小题 15 分)
······2 分 ······3 分 ······5 分 ······2 分 ······3 分
X′′(x) + λX(x) = 0

数学物理方法复习题答案

数学物理方法复习题答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下关于复数的表述中，错误的是：A. 复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位B. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等C. 复数的模是实部和虚部平方和的平方根D. 复数的共轭是将虚部的符号改变答案：D2. 傅里叶级数展开中，函数f(x)在区间[-L, L]上的傅里叶系数an的计算公式为：A. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)B. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)C. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)D. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)答案：C3. 以下哪个函数是偶函数：A. \(e^x\)B. \(\sin(x)\)C. \(x^2\)D. \(\cos(x)\)答案：C4. 拉普拉斯变换的定义是：A. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)B. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)C. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)D. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)答案：A5. 以下哪个积分是不定积分：A. \(\int e^x dx\)B. \(\int \frac{1}{x} dx\)C. \(\int \sin(x) dx\)D. \(\int \cos(x) dx\)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 复数 \(3 + 4i\) 的模是 ________。