2.4一维射影变换

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第二章射影变换-第四节一维射影变换课件ppt课件

§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. [π'], 且[π]=[π']. 则φ称为一维基本形[π]上的即若φ: [π] 一个射影变换. 注：为方便理解, 常把一个一维基本型看作两个“重叠” 的一维基本形. 据Steiner作图法, 一个一维射影变换可由3次透视对应得到.
a11 a12 0,
a21 a22
0
(2.10)
其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的.
(ad bc 0)
§ 2.4 一维射影变换
一、一维射影变换
1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a 'b c 'd 0 (ad bc 0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 b1 d b3 d (ad bc)(1 3 ) 1 '3 ' . a1 c a3 c (a1 c)(a3 c) 同法可以求出λ2'–λ4', λ2'–λ3', λ1'–λ4', 得到 (1 '3 ' )(2 '4 ' ) (1 3 )(2 4 ) . (2 '3 ' )(1 '4 ' ) (2 3 )(1 4 )

高等几何第二章2013

( P P2 , P3 P4 ) 1 (1 3 )(2 4 ) (2 3 )(1 4 )
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
2. 性质 3. 特殊情况定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有某二点相同. 证明根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, .
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i P2 . i=1,2. 1 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有1 3. 对于i=2, 同理求得 2 3. 于是， 2. 性质 3. 特殊情况
而于是
1 ( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1 2
§ 2.1 交比
二、线束中四直线的交比
1. 线束的参数表示则 2. 定义 3. 交比为射影不变量
定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4).
( p1 p2 , p3 p4 ) ( P P2 , P3 P4 ). 1
( PP2 , P P4 ) k , 1 3
(k 0,1, )
和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1. 定义
4. 调和比 5. 交比的计算 (2) 由交比求坐标例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率为1的方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标. 解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设

高等几何讲义第三章射影变换____§1 一维射影变换

{ a, b, c, d,} a/ //{a//, b//, c//, d//, } 与 //{a//, b//, c//, d//, } a /{a/, b/, c/, d/, }
的乘积．
➢ 注意：定理6的证明表明，虽然射影对应可传递，但透视一般是不可传递的．
高等几何 ( Higher Geometry )
1 1
u1 u2
t1 t2
v1 v2
1 2
u1 u2
1 2
v1 v2
t1 t2
x vI x/ v/ II
高等几何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
令
u1 u2
t1 t2
v1 v2
t1 t2
，则
/1 /2
v21 u21
v12， u12
从而
u21 u12 /2
v21 v12 /1
c
证明：如图，设
p
(ab/)(a/b)，q
(bc/)(b/c)，
b a
s
t
q
r (ca/)(c/a)， s (ac/)(ba/)， p r
t (bc/)(ca/)，d /． d
因 {a/, p, s, b} a {a/, b/, c/, d} c {t, q, c/, b}a，/ b/ / c/
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得

第四节射影对应代数表示

§4 一维射影对应的代数表示
1. 射影对应设
l (A, B, C, ……)
l ( A, B, C , )
(1) 几何表示 (2) 代数表示
(I )
（AB，CX）=（A’B’，C’X ’）
xa )( x xb ) ( xc xa )( x xb ) ( xc ; )( x xa ) ( xc xb )( x xa ) ( xc xb
（实）
标准型在解题中有重要且巧妙的应用。
习题选解例1 设A1A2A3为坐标三点形, O(1, 1, 1). A2O×A1A3=A, P是
A2A3上的动点, PO×A1A2=Q, QA×A2A3=P‘. 若P, P’的齐次坐标分
别为(0,λ,1), (0,λ',1). 求(P)到(P')的射影变换的方程和不变元素. 解. 由题设各点的坐标，可得
( II )
x xb x xb k ; x xa x xa
( III )
xx x x 0
( 0) ;
a b ax b ( IV ) x ( 0) ; cx d c d a11 x1 a12 x2 a11 a12 x1 (V ) ( 0) 。 a21 a22 2 a 21 x1 a 22 x 2 x
( XY , PQ) ( XY , P Q)
( XYP) ( XYP ) ( XYQ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ) ( XYP ) ( XYQ)
( XY , PP) ( XY , QQ)

( XY , PP' ) k （常数）。
2 x n 1 3 , x1 0, 例3 设数列的递推公式为 xn x n 1 6

高等几何讲义第三章射影变换____§1 一维射影变换

高等几何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 例1 设 abcd 为平行四边形，过顶点 a 作直线
ae 与对角线 bd 平行．证明：直线 ab、ad
与直线 ac、ae 成调和共轭．
证明：因 ae 与 bd 平行，故 a
设二者交点为无穷远点 p．
o
p e
d
记(ac)(bd) o．则
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
Hale Waihona Puke 次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
高等几何 ( Higher Geometry )
高等几何 ( Higher Geometry )
高等几何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
➢ 同类一维基本形间的透视：
若两个点列是同一线束的若两个线束是同一点列的
截影，则称这两个点列是投影，则称这两个线束是
透视的．
透视的．
线束的心称为透视中心．点列的底称为透视轴．
§1 一维射影变换
且设 I 上的动点 x 对应 II 上
的点 x/，则 (u/v/; t/x/) (uv; tx)．
u
t
设各点射影坐标分别为 u(u1,
u2)、v(v1, v2)、t(t1, t2)、 x(1,
u/
t/
2)、x/(/1, /2)，则得
11 0 0 11

一维射影变换

§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法已知两点列间射影对应的三对相异的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线的交点.

射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换

射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换射影变换组成了⼀个群，这个群被称为射影变换群。

仿射变换是射影变换的⼦群。

欧式变换（旋转+平移+等⽐缩放）是仿射变换的⼦群。

相似变换和等距变换则是欧式变换的⼦群。

0.射影变换定义由有限次中⼼射影的积定义的两条直线间的⼀⼀对应变换称为⼀维射影变换。

由有限次中⼼射影的积定义的两个平⾯之间的⼀⼀对应变换称为⼆维射影变换。

性质——交⽐不变性如果平⾯上点场的点建⽴了⼀个⼀⼀对应，并且满⾜：（1）任何共线三点的象仍是共线三点；（2）共线四点的交⽐不变。

则这个⼀⼀对应叫做点场的射影变换，简称射影变换。

矩阵表⽰⽤H表⽰，H为3×3的可逆实矩阵，虽然有9个未知数，但只有8个⾃由度（只与具体⽐率有关），其中h31与h32不为0是它与仿射变换的本质区别，它使得仿射变换的⾮线性效应。

可以把⼀个H分解为：H=SAP,其中S为相似变换，A为仿射变换，P为射影变换。

变换前后共点，共线，交⽐，相切，拐点，切线的不连续性和岐点保持不变。

注：n×n可逆实矩阵称为⼀般线性群GL(n)，当把相差⾮零纯量因⼦的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群，记为PL(n)，在平⾯射影变换时为PL(3)。

射影变换矩阵表⽰：H = { h11, h12, h13h21, h22, h23h31, h32, h33 }其中当最后⼀⾏为（0，0，1）时的变换为仿射变换，在仿射的前提下，当左上⾓2×2矩阵正交时为欧式变换，左上⾓矩阵⾏列式为1时为定向欧式变换。

1、等距变换：它相当于是平移变换和旋转变换的复合，⽤R表⽰变换矩阵，R为3×3矩阵，R={{r11,r12,tx},{r21,r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有三个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移。

等距变换前后长度，⾯积，线线之间的⾓度都不变。

2.相似变换它相当于是等距变换和均匀缩放的⼀个复合，⽤S表⽰变换矩阵，S为3×3矩阵，S={{s*r11,s*r12,tx},{s*r21,s*r22,ty},{0,0,1}}左上⾓2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因⼦，它有4个⾃由度，即旋转，x⽅向平移，y⽅向平移和缩放因⼦s。

射影变换

射影变换4.1 点列和线束点列和线束定义．两个矢量),,(321a a a 和),,(321b b b 表示不同的点当且仅当这两个矢量线性无关．在两点A ),,(321a a a 与B ),,(321b b b 的连线上任意一点),,(321x x x X 满足0321321321=b b b a a a x x x即，三点A ),,(321a a a ，B ),,(321b b b 与),,(321x x x X 共线的充分必要条件是0321321321=b b b a a a x x x以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=；以m l ,为基线的线束中，任何一直线p 都可以表示为m l p μλ+=，用齐次坐标可以表示为m l m l p λλμ'+=+=．练习4－1１．已知A 和B 的齐次坐标分别为)1,1,5(和)1,0,1(-，求直线AB 上一点C ，使1)(-=ABC ，若B A C λ+=，求出λ．解利用非齐次坐标),(y x 与齐次坐标),,(321x x x 之间的关系31x x x =，32x xy =．这时，)1,5(),(=y x A ，)0,1(),(-=y x B ，再利用BC AC ABC =)(．115-=+-x x ，解得2=x，101-=--y y ，解得21=y ．即)21,2(=C ，C 点的齐次坐标为)1,21,2(．因为B A C 2121+=，所以 1=λ．注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=．２．试证明：三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为0321321321=z z z y y y x x x 证明三点),,(321x x x ，),,(321y y y ，),,(321z z z 共线的充分必要条件为λ=--=--=--333322221111y z x z y z x z y z x z所以0332211321332211321321321=-------=y z y z y z y y y x z x z x z z z z y y y x x x４．已知直线0143=++y x 与02=+y x ，求过两直线的交点与点)0,1,2(的直线方程．解两直线0143=++y x 与02=+y x 的交点为)5,1,3(112143321--=x x x 于是点)5,1,3(--与点)0,1,2(的直线方程为05105012513321321=+-=--x x x x x x即05105321=+-x x x ．4.2 点列和线束的交比定义4.2设D C B A ,,,为点列上共线的四点，则这四点的交比为ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(．定理 4.１取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ．定理4.２若D C B A ,,,四点的坐标为)4,3,2,1(21=+i P P i λ，21,P P 点列上两个基点，则),(),(432124142313λλλλλλλλλλλλ=----=CD AB定理4.３将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变．即),(),(),(),(BA DC AB CD DC BA CD AB ===定理4.４只在一对点中互换，交比转为其倒数．即),(1),(CD AB DC AB =，),(1),(CD AB CD BA =定理4.５交换中间两点，则交比为１与原值的差，即),(1),(CD AB BD AC -= 定义4.３当1),(-=CD AB 时，称D C ,调和分割线段AB ．调和分割的关系是对等的．因为1),(),(-==CD AB AB CD ，所以，B A ,也调和分割线段CD ，有时也称D C B A ,,,为调和点列．定义4.４称21λλ为四直线d c b a ,,,的交比，记为),(cd ab ．即 =),(cd ab 21λλ．注意：用齐次坐标之间的关系定义交比，点列的交比与线束的交比在形式上完全一致．定理4.６设四直线d c b a ,,,，若b a c 1λ+=，b a d 2λ+=，则=),(cd ab 21λλ．定理4.7若四直线q p a 1μ+=，q p b 2μ+=，q p c 3μ+=，q p d 4μ+=，则 424132314321),(),(μμμμμμμμμμμμ----==cd ab ．这个比值也称为数4321,μμμμ的交比．定理4.８两个点列经过中心投影，交比不变．练习4－2１．设E D C B A ,,,,是同一直线上的五点，求证1),)(,)(,(=EC AB DE AB CD AB ．证明由交比定义ADBC BDAC CD AB ⋅⋅=),(，1),)(,)(,(=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=ACBE BCAE AE BD BE AD AD BC BD AC EC AB DE AB CD AB ．２．设C B A ,,三点的坐标分别为)1,1,1(，)1,1,1(-，)1,0,1(，且2),(=CD AB ，求点D 的坐标．解)1,1,1(=A ，)1,1,1(-=B ，则C B A ==+)1,0,1(2121，于是12=λ．设B A D 1λ+=，由2),(21==λλCD AB 可知，21=λ，所以)3,1,3(2-=+=B A D ．注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=．３．求四点)1,1,2(-A ，)1,1,1(-B ，)0,0,1(C ，)5,5,1(-D 的交比),(CD AB ．解利用定理 4.1，取A 和B 为基点，将D C B A ,,,四点的坐标依次表示为a ，b ，b a 1λ+，b a 2λ+，则四点的交比为21),(λλ=CD AB ．这里B AC +=，于是11=λ， B AD 32-=，于是232-=λ，由21),(λλ=CD AB 可知，32),(21-==λλCD AB ．注意：以B A ,为基点的点列中，任何一点X 都可以表示为B A X μλ+=，用齐次坐标可以表示为B A B A X λλμ'+=+=．７．试证：02321=+-x x x ，023321=-+x x x ，0721=-x x ，0531=-x x 所表示的四直线共点，并求这四直线的交比．解直线0721=-x x 与0531=-x x 的交点为)5,7,1(15017321=--x x x 点)5,7,1(满足四直线，所以，此四直线共点．四直线与x 轴的交点分别为211-=x ，322=x ，03=x ，514=x ，所以，21),(4321=l l l l ．4.3 完全四点形和完全四线形完全四点形和完全四线形定义．定理4.6完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边．定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个顶点．练习4－3２．设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，XY 分别交BD AC ,于M L ,，不用笛沙格定理，证明CM BL YZ ,,共点．证明由四点形ABCD ，根据定理可知，在AC 边上的四点L Y C A ,,,调和共轭，即1),(-=YL AC ．在四点形YBZL 中，LB 与YZ 交于N ，MN 与YL 交于C '，由定理可得),(-='YL CA 所以，点C 应与点C '重合，即CM BL YZ ,,共点．4.4 一维基本图形的射影对应两个点列成射影对应的定义．两个线束成射影对应的定义．点列与线束成射影对应的定义．定理4.11 设两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比相等．定理4.12 若两个一维基本图形对应四个元素的交比相等，则必成射影对应．定理 4.13 如果已知两个一维图形的任意三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应．练习4－4５．若三角形ABC 的三边AB 、BC 、C A 分别通过共线的三点P ，Q ，R ，二顶点B 与C 各在定直线上，求证顶点A 也在一条直线上．证明根据图形(见第４题图)可知，题图）（第2Λ),,,(21ΛB B B ),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线． 4.5 透视对应定义4.8点列和线束成射影对应，如果对应直线过对应点，这种特殊的射影对应称为透视对应，这时也这两个一维图形处于透视状态．定义4.9两个点列和同一个线束成透视对应，也就是说两个点列成中心射影对应，则称这两个点列成透视对应．定义4.10两个线束和同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应．定理4.14两个射影对应的点列成透视的充要条件是：两个点列的公共点自对应．定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共点自对应．定理4.16(巴卜斯定理)设C B A ,,是直线l 上互异的三点，C B A ''',,是l '上互异的三点，那么三个交点C B C B L '⨯'=，B A B A N '⨯'=，A C A C M '⨯'=共线．定理4.17对于两个不共底的且不成透视对应的射影对应点列，用两次透视对应，可把第一个点列变成第二个点列．也就是说，射影对应是两个透视对应的复合．定理4.18设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即，这时的射影对应是三个透视对应的复合．题图）（第5A１．如图四边形ABCD 被EF 分成两个四边形AFED 和FBCE ，求证三个四边形ABCD ，AFED ，FBCE 的对角线交点H G K ,,共线．证明因为D ，E ，C 直线l 上互异的三点，A ，F ，B 是直线m 上互异的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点AE DF G⨯=，AC DB K ⨯=， FC EB H ⨯=共线．4.6 对合对应对合对应定义．定理4.19两个重叠的一维图形（点列、线束）q p μ+，q p μ'+成为对合对应的充分必要条件是：对应元素的参数μ和μ'满足0)(=+'++'d b a μμμμ其中02≠-b ad ．定理4.20不重合的两对对应元素，确定唯一一个对合对应．１．求参数为21→，20→的两对对应元素所确定的对合对应．解利用定理 4.19，这里两对对应元素的参数μ和μ'分别为21,1='=μμ和2,0='=μμ，设0)(=+'++'d b a μμμμ为所求的对合对应，把两对对应参数值代入得）题图（第1DAFBCEGKHlm⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0202321d b d b a 解得2:1:1::-=d b a ，因此，这两对对应元素所确定的对合对应为02=-'++'μμμμ．。

第三章射影变换

第三章射影变换与射影坐标本章首先引入射影不变量——交比。

然后在此基础上，讨论了一维基本形之间的射影对应与射影变换，以及二维射影对应和射影变换，还定义了一维和二维射影坐标。

§1 交比与调和比点列中四点的交比与调和比定义1.1 共线的四个不同点A ，B ，C ，D 的交比等于单比（ABC ）与单比（ABD ）的比，记作：（AB ，CD ），即（AB ，CD ）=)()(ABD ABC其中A ，B 叫基点偶，C ，D 叫分点偶。

交比又称交叉比和复比。

由交比和单比的定义，我们可AD BC BDAC BDAD BC ACABD ABC CD AB ⋅⋅===)()()(，其中AC ，BC ，AD ，BD 是有向线段的数量。

我们不难得出：（1）点偶C ，D 不分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹥0；（2）点偶C ，D 分离点偶A ，B 时，交比（AB ，CD ）﹤0；（3）当C ，D 重合时，（AB ，CD ）=1；（4）当A ，C 重合时，（AB ，CD ）=0。

定理1.1 基点偶与分点偶交换，交比值不改变，即（AB ，CD ）=（CD ，AB ）证明由定义1.1，（CD ，AB ）=),(CD AB BCAD BDAC CB DA DB CA =⋅⋅=⋅⋅ 定理1.2 基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变成原来的交比值的倒数，即（BA ，CD ）=（AB ，DC ）=),(1CD AB证明（AB ，DC ）=),(1)()(1)()(CD AB ABD ABC ABC ABD == 又（BA ，CD ）=（CD ，BA ）=),(1),(1CD AB AB CD =推论同时交换每个点偶里的字母，交比的值不改变，即（AB ，CD ）=（BA ，DC ）定理1.3 交换中间的两个字母或两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即（AC ，BD ）=（DB ，CA ）=1－（AB ，CD ）证明（AC ，BD ）AD CB CD AB ⋅⋅=AD CB BD CB BC AC ⋅++=))(( AD CB BDAC CB BD CB AC ⋅⋅+++=)(AD CB BD AC ⋅⋅+=1=1+)(ADBC BDAC ⋅⋅-=1－（AB ，CD ）共线四点1，2，3，4一共有4！=24中不种的排列，所以有24个交比，根据交比的运算性质，它们只有6个不同的交比值，即（12，34）=（34，12）=（21，43）=（43，21）=m（21，34）=（34，21）=（12，43）=（43，12）=m1（13，24）=（24，13）=（31，42）=（42，31）=1－m（13，42）=（42，13）=（31，24）=（24，31）=m-11（14，23）=（23，14）=（41，32）=（32，41）=1－m 1（14，32）=（32，14）=（41，23）=（23，41）=1-m m例1 已知（P 1P 2，P 3P 4）=3，求（P 4P 3，P 2P 1）和（P 1P 3，P 2P 4）的值解（P 4P 3，P 2P 1）= （P 2P 1 ，P 4P 3）=（P 1P 2，P 3P 4）=3 （P 1P 3，P 2P 4）=1－（P 1P 2，P 3P 4）=1－3=－2下面研究交比的代数表示定理1.4 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1。

射影几何中对合问题的研究

第37卷第3期2020年6月晋中学院学报Journal of Jinzhong UniversityVol .37 No .3Jun . 2020射影几何中对合问题的研究晋琚(晋中学院数学学院，山西晋中030619)摘要:在一维射影变换的基础上对射影几何中对合的相关问题进行了研究，并对对合的一些题型进行了整理求解.关键词：射影几何；射影变换；对合;二重元素中图分类号= 0185文献标志码：A文章编号= 1683-1808(2020)03-0009-031维射影变换1.1定义定义1 .1两个重叠的一维基本形的射影对应叫做一维射影变换.[1]4 1.2代数表示定理1.1两个点列间射应变换的代数表达式为非奇线性对应，X —-P •土\PXl'= 〇11*1+°12*2. A或者(p #〇). A =px 2 =1.3对应点参数满足的方程定理1.2两个重叠的一维基本形4 +AB j +A 间的射影变换对应点参数满足的条件为aAA ’+ 6A + cA ’+ d = 0 其中 acf - 6c # 0.1.4决定的条件定理1.3已知三对对应元素则可以唯一决定一个射影变换.（因为三对对应元素就可以确定:c :d ，决定了这个变换）1.5二重元素（自对应元素）两个不同实的自对应元素，称为双曲型的射影变换.两个相同实的自对应元素，称为抛物型的射影变换.一对共轭虚的自对应元素，称为椭圆型的射影变换.2对合 2.1定义定义2.1在一维射影变换中，如果对于任何元素，无论看作第一基本形还是第二基本形，它的对应元素是一样的，那么这种非恒等的射影变换叫做对合.[2]11 2.2代数表示定理2.1对合的代数表达式为a n 如〇21 〇22#0.[收稿日期]2020-01-22[作者简介]晋裙(1981-)，女，山西洪洞人，晋中学院数学学院，讲师，硕士，研究方向:代数._ a i l %+a i2证明：射影变换为对合o x —且an,，A =#0.an ai2 di \ dna 11x ,- anx - a 12= 0a 21xr x + 〇22x - anx r - a l 2= 0«两式相减得且牝2.3对应点参数满足的方程定理2.2两个重叠的一维基本形4+ABM +A 'B 成为对合的充要条件是对应点的参数A 与A '满足以下方程：aAA' + 6(A+A') + d = 0 其中 a <f - 62# 0 •(1)证明：“4”设P 和(？为一对对合对应点，并设P = A + pB ,Q = A + qB由于对合是射影变换，有apq + bp + cq + d = 0 (PQ )①aqp + bq + cp + d - 0 (Q —>■ P )(2)①-②得(p - q)(b - c ) = 0 .③④由于P 和0是不同点，所以p # g .于是有i # c因此，对合的对应点参数满足aAA ，+ 6(A +A 〇 + d = 0 其中 ad - 6V 0 .若⑴式成立，设P —(?，P '，则参数/得apq + b(p + q ) + d 二 Q aqp '+ b(q + p ') + d - 0 ②-④得(aq + b)(p - p ') - 0 .由于叫+ 6为不定值，所以p = p ，.所以P — 0，（？—尸，此时射影变换为对合•2.4决定的条件定理2.3已知两对对应元素则可以唯一决定一个对合.证明：由于对合对应点参数满足方程：aAA ，+ 6(A +A ，）+ d = 0 其中 ad - 6V 0 .已知两对对应点参数Pl ->• qi >P 2 -*• qi ^apiqi + b{pi + 91) + = 0ap^qi + b (p 2 + qi ) + d — 0可以求得a : 6: d 确定对合方程.2.5二重元素（自对应元素）两个不同实的自对应元素，称为双曲型的对合.一对共轭虚的自对应元素，称为椭圆型的对合.注：在对合方程aAA ' + 6(A +A ') + d = 0 其中 a <f - 62 # 0中，设 A =A ，,得 aA 2 + 26A +d = 0.由于A =462-4ai # 0,所以A >0时，两个不同实的自对应元素称为双曲型的对合；A <0时，一对共轭虚的自对应元素称为椭圆型的对合.A # 0,无抛物型的对合.2.6双曲型对合的一个性质定理2.4双曲型对合的任何一对对应元素p -p '，与其两个二重元素调和共轭，即.10 •证明：由对合对应知(PP,EF) = -1又所以3对合相关题型求解p x i -(PP',EF) = (FP,EF) = l/(PF,EF).(PF,EF)2= 1.(PP,EF)¥=l.(PP,EF) = -1.x \+2x 2例1求对合的自对应点坐标.[3]px2,= — x2解：1)首先排除自对应点为无穷远点，因为（1,0)—(1，0)时，必有你 2)将对合表达式化为非齐次坐标形式.x + 2x =-------—,Ax -I0,此题衂=4 # 0•令，得 2»2 - - 1 = 0，解得= 1 或=化为齐次形式，自对应点为(1,1)(-1,2).例2已知对合的两对对应元素参数为3 — 2,5 — 1，试求此对合方程，并求二重元素.解：将3 — 2,5 — 1代入oAA ，+ 6(A +A ') + d = 0 其中 W - 62# 0 得6a + 5b + d - 0 5a + 6b + d - 0推得a :6:<i =::= -1 : (-1) : 11 = 1 : 1 : (-11).6 1155 6所以此对合方程为AA ; + A + A ; - 11 =0.令A ,有 A2+A - 11，解得 A 1>2 = -1 ± 2V T .所以二重元素的参数为-1 ± 2V ^~ .参考文献[1] 梅向明,刘增贤.高等几何[M ].北京:高等教育出版社，2008.[2] 朱德祥,朱维宗.高等几何[M ].北京:高等教育出版社，2015.[3] 梅向明,刘增贤.高等几何学习指导与习题选解[M ].北京:高等教育出版社,2003.(编辑郭继荣)• 11 •。

射影变换

如果平面上点场的点建立了一个一一对应，并且满足：（1）任何共线三点的象仍是共线三点；（2）共线四点的交比不变。则这个一一对应叫做点场的射影变换，简称射影变换。
简介
由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。一维射影变换由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。二维（高维）射影变换因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。
射影变换
数学术语
01 简介
03 05 相关知识
目录
02 交比 04 仿射变换
由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换。由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换。
因为正交变换、相似变换、仿射变换都保持共线三点的单比不变，必然保持共线四点的交比不变，所以这些变换都是射影变换。
仿射变换
仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换，由于线束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持交比不变。
仿射变换
相关知识
射影平面
射影平面就是2维射影空间。它可以视为平面添上一条无穷远直线。它是代数几何、射影几何里最基本的对象。
对射影平面的理解是从局部到整体的扩展过程。先从无穷远元素、射影直线的理解入手，再到射影平面定义的理解，最后利用射影平面的模型来揭示射影平面的结构，想象它的形状，帮助初学者更好地理解射影平面的结构与性质。在射影几何的基本内容中，初学者对射影平面尤感兴趣，但又觉得其极为抽象、难以理解，这主要是与我们的直观认识不一致引起的。因此，从射影平面上的无穷远点、无穷远直线、射影直线的理解入手，在理解这些抽象概念的同时，即理解射影平面上元素的特点，接着理解射影平面的定义，最后给出射影平面的模型以帮助理解射影平面的形象。

高等几何(第三、四章)

➢由于交比经中心射影后不变，故交比在透视对应下保持不变。
➢透视关系是对称的，但不具有传递性。 ➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。
射影对应具有传递性。
2.2 一维基本形的射影对应
➢定义2.3.透视对应链即为射影对应。射影对应具有传递性。
➢定理2.1 两个点列间的一一对应是射影对应的充要条件是：任何四个对应点的交比相等。必要性显然；下面证明充分性；
P3
m2 m2
m3 m1
P1
m3 m2
m1 m1
P2 ,
P4
m2 m4 m2 m1
P1
m4 m2
m1 m1
P2 ,
P3
P1
m3 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m3
P2 ,
P4
P1
m4 m2
m1 m1
m2 m2
m1 m4
P2 ,
m3 m1 m2 m1
(P1P2 , P3P4 )
设一个对应T保持任何四对对应点的交比不变,我们证明 T可由两个透视对应结合而成。
怎样才算证明了T可由两个透视对应结合而成？
要证明T的任何一对对应点均可由两个透视对应结合得到。
设 D, D’是T的任何一对对应点，我们证明D’可由D经过两次透视对应得到。
题目条件是T保持任何四对对应点的交比不变，现在只有一对对应点，无法用此条件，故我们设出三对对应点：
B
ac
b
C
ca b
§2 一维射影变换
➢点列与线束统称为一维基本形，本节研究一维基本形间的一种对应关系。
➢本节讲授的顺序与课本有所不同，我们的思路是从三个不同的角度去刻画一维射影对应，这三个角度分别为几何直观、本质性质以及代数的角度.

射影定理的内容

射影定理的内容射影定理是数学中一个经典的定理，它是代数几何中的基本定理之一，也是现代代数几何的核心内容。

本文将从射影空间、射影几何、射影变换以及射影定理等方面来详细介绍射影定理的内容。

一、射影空间射影空间是指一个由向量空间V中的所有一维子空间所构成的集合，记为P(V)。

在射影空间中，每个向量都对应着一个一维子空间，而一维子空间又可以看作是一个向量的所有倍数所组成的集合。

因此，射影空间中的点可以看作是向量的等价类。

射影空间的一个重要性质是它具有同构不变性，即不同的线性变换在射影空间中对应着相同的变换。

这个性质使得射影空间成为了研究几何图形的一个有力工具。

二、射影几何射影几何是指在射影空间中研究几何图形的一种数学分支。

在射影几何中，直线被定义为两个点之间的最小一维子空间，平面被定义为三个点之间的最小二维子空间，等等。

射影几何中的一个重要问题是如何描述一个几何图形。

一个几何图形可以被描述为一个射影空间中的子集，它的维数即为这个子集所在的最小子空间的维数。

三、射影变换射影变换是指从一个射影空间到另一个射影空间的一个双射，它保持了直线和点的性质。

射影变换可以用一个矩阵来表示，这个矩阵是一个非奇异的n+1阶方阵，其中n为射影空间的维数。

射影变换有一些重要的性质。

首先，任何射影变换都可以看作是一个仿射变换和一个伸缩变换的组合，其中仿射变换是指一个将直线变为直线的变换，伸缩变换是指一个将点变为点的变换。

其次，射影变换具有同构不变性，即不同的矩阵在射影空间中对应着相同的变换。

四、射影定理射影定理是代数几何中的一个重要定理，它将射影几何和射影变换联系了起来。

射影定理的内容如下：设X和Y分别为两个射影空间，f:X→Y是一个非常数的射影变换，那么f在X上的像集是一个在Y中的射影子空间。

这个定理的意义是，射影变换可以将一个射影空间中的子集映射到另一个射影空间中的子集，而这个映射后的子集仍然是一个射影子空间。

这个定理是代数几何中的基本定理之一，它在研究射影几何和射影变换中有着重要的应用。

射影变换

P3P4 )
(1 (2
3 )(2 3 )(1
4 ) 4 )
.
(2.2)
§ 2.1 交比
证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设
a+λ1b=a', a+λ2b=b'.
从中解出a,
b,
得
a
a' 2
b' 1
,
2 1
b b'a' .
2 1
于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 a', b', 2 3 a' 3 1 b', 2 4 a' 4 1 b' 2 1 2 1 2 1 2 1
中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理.
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比
二、线束中四直线的交比
1、线束的参数表示
设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p),
其坐标可表示为
a b
R.
称a, b为基线, λ为参数.
这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 注1 参数λ的几何意义？不易说清楚！容易看出
解：设 P3 P1 1P2, P4 P1 2P2. 则显然2 1, 由
(P1P2 , P3P4 )
1 2
1
1
2.
可得 1 2, 从而P3的坐标为(3,–1,3).
§ 2.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 (2). 由交比求坐标
即
a', b', a' 3 1 b', a' 4 1 b'.

一维射影几何基本定理

《聊聊一维射影几何基本定理》嘿，朋友们！今天咱来唠唠一维射影几何基本定理。

这名字听起来是不是有点高大上？别担心，听我慢慢给你解释。

咱先说说啥是一维射影几何吧。

其实啊，它就像是一个神秘的魔法世界，里面有很多奇妙的东西。

一维射影几何呢，就是研究一些在特定条件下的图形和关系。

比如说，一条直线上的点啦，或者两条直线的交点啦。

听起来有点抽象吧？没关系，咱接着往下说。

那这个一维射影几何基本定理又是啥呢？简单来说，它就像是一把钥匙，可以打开一维射影几何这个神秘世界的大门。

这个定理告诉我们一些关于直线上的点和它们之间关系的重要规则。

比如说，在一维射影几何里，点和线的关系可不是我们平常看到的那么简单哦。

有些点看起来很普通，但在特定的条件下，它们可能会有很神奇的作用。

就像一个默默无闻的小角色，突然变成了大英雄。

而且啊，这个基本定理还能帮助我们解决很多问题呢。

比如说，当我们遇到一些关于直线上的点的问题时，就可以用这个定理来找到答案。

就像有了一个超级厉害的工具，什么难题都能搞定。

咱再说说怎么理解这个定理吧。

最好的办法就是动手画一画。

拿一张纸，画几条直线，标上一些点，然后按照定理的要求去摆弄这些点和线。

这样一来，你就能更直观地感受到定理的魅力啦。

还有哦，别一个人闷头研究。

可以和朋友们一起讨论，大家一起想想这个定理到底是怎么回事。

说不定别人的想法能给你启发呢。

另外，学习一维射影几何基本定理可不能着急。

这就像一场冒险，得一步一步来。

先了解一些基本的概念，再慢慢深入学习定理。

别一下子想把所有东西都学会，那可不行。

总之啊，一维射影几何基本定理虽然有点神秘，但只要我们有耐心，多动手，多和别人交流，就一定能掌握它。

让我们一起走进这个神奇的世界，探索一维射影几何的奥秘吧！。

第二章射影变换-第五节一维基本形的对合课件ppt课件

如果
相互对应(互易偶)
f : (a, b, c,...)
(a' , b' , c' ,...)
f : (a, a' , b, c,...) (a' , a, b' , c' ,...)
则称a, a'为相互对应, 也称a, a'为一个互易偶. 此时, f 对于a, a'这一对对应元素满足对合条件. 只要证明 f 的任意一对对应元素都是互易偶, 则 f 必为对合.
§ 2.5 一维基本形的对合
一、定义二、代数表示
1、参数形式
定理2.20 一维基本形[π]上的一个变换f 为对合f 的任一对对应元素的参数λ,λ' 满足双线性方程 a 'b( ' ) d 0. (ad b2 0) (2.15) 注 (1). 这里指取定基元素A≠B, 对应元素为A+λB↔A+λ'B.
例2 设 ( A, B, C, D, E, F ) ( B, C, D, A, E, F ). 求证：E, F为由A↔C; B↔D所决定的对合的不变元素. 证明. 由题设, 有
A
B C
C D
D A
E E
F F
B
( A, C, B, E )
所以,
' P P 1 1,P 2P 3
( B, D, C, E )
' ' ' ' (P P , P P ) ( P P , P 1 1 2 3 1 1 2P 3)
(2.19)
(2.19)式实际上包含了定理2.22的全部内容, 因此称(2.19)式为对合的几何条件. 推论2.13 三对相异的对应元素Pi, Pi'属于同一对合

射影变换基础

1 T
1
1 1 1
1
k2 1 1 A2 B2 k . A2 B2 k1
k2 (k is a scalar) k1
MA B M so
1 1 1
1 1 1
1
k . A B2 ,
1 2
1 2
A B and A B2 are similar matrices
根据相似矩阵的性质，这两个矩阵具有相同的特征值。再假定B1也为可逆矩阵，则相应的特征值不为0，因此根据特征值两两相除(消去标量k),则得到两个不变量。可见同一平面两个非退化二次曲线有两个绝对不变量，当存在退化情况时，有一个特征值为0，因此只有一个不变量。
1 T
1
1 T
1
if A1 is invertable matrix , A1 M MA I , then k2 .B2 ( M ) B1 M k1 A2 .MA B M , so MA B M
1 1 1 1 1 1 1 1 1 T 1
( M ) A1 M .MA B M
• 由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换.
二维（高维）射影变换
Def3.2 由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换.
交比不变量
• Def 3.3 (交比）若A,B,C,D为直线L上任意四点，则下式定义的R称为交比(cross ratio)
' ' ' '
线束的射影变换
• 平面上两个线束的射影变换及线束的交比。如下图所示，平面上有两个线束O,O’，若它们所有对应线的交点共线，则称这两个线束的对应为中心射影。类似点列的射影变换，有限次中心射影的积称为线束间的射影变换。

《高等几何》课程学习指南

《高等几何》课程学习指南一、课程目的本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。

本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。

通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。

概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。

即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。

如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。

（7）学会构造射影图形。

因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。

二、课程主要内容结构以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分：1、射影平面。

包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。

2、射影变换。

包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。

2.4一维射影变换

第二章 射影变换-第四节 一维射影变换课件ppt课件

高等几何第二章2013

高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换

第四节射影对应代数表示

高等几何讲义 第三章 射影变换____§1 一维射影变换

一维射影变换

射影变换、仿射变换、欧式变换、相似变换、等距变换

射影变换

第三章射影变换

射影几何中对合问题的研究

射影变换

高等几何(第三、四章)

射影定理的内容

射影变换

一维射影几何基本定理

第二章 射影变换-第五节 一维基本形的对合课件ppt课件

射影变换基础

《高等几何》课程学习指南

第二章射影变换-第四节一维射影变换课件ppt课件

高等几何讲义第三章射影变换____§1 一维射影变换

高等几何讲义第三章射影变换____§1 一维射影变换

第二章射影变换-第五节一维基本形的对合课件ppt课件