一种新的三角贝齐尔曲面绘制方法

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带形状参数的三角λ-Bézier曲线

第32卷第1期2024年2月Vol.32No.1Feb.2024安徽建筑大学学报Journal of Anhui Jianzhu UniversityDOI：10.11921/j.issn.2095-8382.20240107带形状参数的三角λ-Bézier曲线刘华勇，蒋金文，徐虎（安徽建筑大学数理学院，安徽合肥230601）摘要：为了克服传统Bézier曲线缺乏局部调整性并且不能精确表达圆锥曲线的缺点，构造了一个带形状参数的n（n≥2）次三角λ-Bézier曲线，为了降低工作难度，各阶曲线的形状参数取值范围保持不变。

首先将基函数设置在三角多项式空间中，利用递推性构造了λ-Bernstein基函数，进而讨论了该基函数的端点性和对称性等重要性质，并由该基函数定义了n（n≥2）次λ-Bézier曲线。

另外，讨论了形状参数取不同值时对曲线形状的影响以及曲线的拼接条件：在一定的条件下，该曲线可达到G2拼接；最后，给出了张量积形式的λ-Bézier曲面以及性质。

实例表明，该曲线克服了传统Bézier曲线缺乏局部调整性的缺点且能近似表达圆弧和抛物线等圆锥曲线。

关键词：Bézier曲线；形状参数；递推性中图分类号：TP391文献标志码：A文章编号：1672-2337（2024）01-050-11Trigonometricλ-Bézier Curves with Shape ParameterLIU Huayong，JIANG Jinwen，XU Hu（School of Mathematics and Physics，Anhui Jianzhu University，Hefei230601，China）Abstract：To handle the lack of local adjustability and low accuracy in expressing conic curves of traditional Bézier curves,a trigonometricλ-Bézier curve with n(n≥2)order shape parameter was constructed.The value range of shape parameters of each order curve remains unchanged to reduce the difficulty.Aλ-Bernstein basis function was constructed in trigonometric polynomial space by means of recursion,and the important properties of endpoint and symmetry of this basis function were discussed.Then,the n(n≥2)λ-Bézier curve was defined by this basis function.In addition,the influence of different shape parameters on the shape of the curve and the splicing conditions of the curve were discussed.The curve can achieve G2splicing under certain conditions.Finally,λ-Bézier surfaces in tensor product form and their properties were given.The example showed that this curve overcame the lack of local adjustability of traditional Bézier curve,and can accurately express conic curves such as circular arc and parabola.Keywords：Bézier curve；shape parameter；recurrency近些年来，随着计算机图形学（CG）和计算辅助几何设计（CAGD）的发展，几何造型设计广泛应用于各个领域［1］。

G 1连续三角Bézier曲面模型快速生成算法

Ｇ１连续三角Ｂｚｒ曲面模型快速生成算法冰６ｉｅ
孙殿柱李心成李延瑞田中朝
（山东理工大学机械工程学院淄博２５９）５０１
摘要：提出一种由三角网格曲面构造Ｇ续三角Ｂｒｉｒ连ｚｅ曲面算法，该算法基于三角网格曲面动态空间索引结构获取网格顶
点的局部型面参考数据，根据三角平面片局部型面参考数据构造三次三角Ｂｚｅｒｉｒ曲面片，将三次三角Ｂｒｉｚｅｒ曲面片升阶到五次，解决了五次三角Ｂｒｉｚｅｒ曲面片Ｇ拼接时的约束几何条件冲突问题，生成了整体Ｇ连续的三角Ｂｚｅｒｉｒ曲面，实例证明算法数据适应性强，可快速准确生成Ｇ连续的三角Ｂｚｒ曲面。ｒｉｅ关键词：三角网格曲面
中图分类号：Ｔ３１２Ｐ９．７
动态空间索引结构
Ｇ拼接
三角Ｂｚｅｒｉｒ曲面
Ｇ１ｃｎｉｕｏｓＡｌｏｉｈｍｓｏｉｎｕａｅｈＳｆｃ．ｏｔｎｕｇｒｔｆＴｒａｇｌｒＭｓｕｒａｅ
ＳＵＮａｚｕＬＩＸｉｈｎｇＬＩＹａｒｉＴＩＤｉｎｈｎｃｅｎຫໍສະໝຸດ ｕＡＮＺｈｏｃａｎｇｈｏ
第４６卷第ｌ５期２０年８月０ｌ
机
械
工
程
学
报
Ｖｏ１ＮＯ１．４６．５
Ａｕｇ．２０１０
ＪＯＵＲＮＡＬＥＣＨＡＮＩ０ＦＭＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ

第78讲贝齐埃曲线与曲面1

=
(1 −
r u)3V0
+
3u (1 −
r u)2V1
+
3u 2
(1 −
r u)V2
+
r u3V3
r
= ⎡⎣1 u
u2
⎡1
u
3
⎤⎦
⎢⎢−3 ⎢3
⎢⎣−1
的−展0336开项，−003因3此直接1000写⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 出⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣VVVV贝rrr1230齐⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦埃三次曲线方程：
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一、引言回顾：计算机辅助几何设计中的曲线表示
缺点：(1)当特征多边形的顶点分布不均匀时，参数u在曲线上对应点的分布也不均匀； (2)贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远， (3)改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。
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五、贝齐埃曲线的改进和使用
缺点：(1)当特征多边形的顶点分布不均匀时，参数u在曲线上对应点的分布也不均匀； (2)贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远， (3)改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。
（5）递推性
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三、贝齐埃曲线的几何性质（曲线性质）
贝齐埃曲线性质：（1）端点性质
1) 贝齐埃曲线的起点和终点分别是它的特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点；
2) 曲线在起点和终点处分别同特征多边形的第一条边和最后一条边相切，切矢量的模长分别为第一条边长和最后一条边长的n倍；
3) 曲线在两端点处的k阶导矢，只与最靠近它们的 k+1个顶点有关。
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四、贝齐埃曲线的几何作图法
求n＝4时u＝1／3的点的作图过程。
V0 V1 V2
V3
V4 n=4 n 边形

一种通过边界产生Bézier曲面的方法

一种通过边界产生Bézier曲面的方法
夏崧洋
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(029)002
【摘要】通过给出张量积Bézier曲面的边界条件得出整个三调和Bézier曲面的一种新方法,该方法所需的边界条件为矩形域边界上的四条边界控制点和任意两条对边次边界控制点.在给定n×n次Bézier曲面的边界控制点和任意三条次边界控制点的情况下,由三调和方程△3→x=0得到整个Bézier曲面上的所有控制点,从而求出整个Bézier曲面.
【总页数】5页(P302-305,310)
【作者】夏崧洋
【作者单位】合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种快速生成CE-Bézier旋转曲面的新方法 [J], 童小红;秦新强;胡钢
2.一种基于边界信息的曲面延拓方法 [J], 刘辉强;安鲁陵
3.一种基于Bézier插值曲面的图像放大方法 [J], 孙庆杰;张晓鹏;吴恩华
4.一种自由曲面点云边界的快速直接提取方法 [J], 赵吉宾;刘伟军;孙玉文
5.确定曲面闭域形体边界数据结构的一种新方法 [J], 魏洪钦;贺敬良;王小椿;吴序堂
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参数Bezier三角曲面的GC1设计

参数Bezier三角曲面的GC1设计
柯映林;应道宁
【期刊名称】《工程图学学报》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】本文从三次Ｂｅｚｉｅｒ三角曲面片边界曲线构造入手，综合分析了计算几何中有关Ｂｅｚｉｅｒ三角曲面ＧＣ＾１拼接设计的理论和方法。

针对３Ｄ离散数据曲面插值问题，全面讨论了Ｂｅｚｉｅｒ三角曲面片内部Ｂｅｚｉｅｒ顶点计算。

提出了一种基于三次Ｂｅｚｉｅｒ三角曲面片内部Ｂｅｚｉｅｒ顶点ｄ１１１选取优化的整体ＧＣ＾１Ｂｅｚｉｅｒ三角曲面设计方法。

【总页数】9页(P51-59)
【作者】柯映林;应道宁
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72
【相关文献】
1.相邻的三角域和矩形域上有理Bezier曲面的GC1连续条件 [J], 李选平;蒋大为
2.n次三角域Bezier曲面片GC1拼接的对称条件 [J], 周西军;叶正麟
3.组合三角Bezier曲面任意截面线GC1构造及其优化二次表示 [J], 刘美萍;许澍虹
4.参数Bezier三角曲面G1光滑拼接的相容性 [J], 张鲜;朱心雄
5.参数Bezier三角曲面的VC^1构造及其在复杂曲面产品测量造型中的应用 [J], 柯映林;谭建荣;周儒荣
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贝齐尔（Béziier）曲线的内控制多边形方法

贝齐尔（Béziier）曲线的内控制多边形方法第l1糟第4期2001年8月长春大学JOURNALOFCHANGCHUNUNIVERSITYⅧ.IlNo.4Aug.2001文章■号:1009—3907(2001)04一O023—03贝齐尔(B6zier)曲线的内控制多边形方法张代治(长春大学机械工程学院,吉林长春~30o22)摘要:贝齐尔(B~zier)曲线是近3o年来工程界应用最广泛,因而也是最重要的样奈曲线之一.但在实际的使用过程中,贝齐尔曲践还存在着控制顶点难以选取,没有形状权因子等缺点.针对这些问题,本文提出了绘制与控制贝齐尔曲践的内控制多边形方法.读方法直观,简便,易于理解,是工程中绘制与控制贝齐尔曲践的简便方法之一.关键词:计算几何;B~zier曲线;控制多边形中豳分类号:O18文献标识码;A0引言贝齐尔曲线是指具有如下表达式P(I)=互马..(I),0≤'≤1的参数次曲线.式中,6I(,=0,1,2,…,It)是绘制曲线所取的个控制顶点,B...(t)=,(1一t)一(J=0,1,2,…,It)是伯恩斯坦(Bemstein)基函数.由于连接所戚的控制多边形总是能将贝齐尔曲线包含在内,因而我们称这种贝齐尔曲线方法为外控制多边形方法】.贝齐尔曲线具有如下性质:(1)贝齐尔曲线的首末端点正好是控制多边形的首末端点,l~p(0)=.,P(1)=..(2)贝齐尔曲线在首末端点的k阶导矢分Ⅱ与贝齐尔多边形的首末k条边有关,与其它边无关.(3)贝齐尔曲线具有几何不变性与仿射不变性.(4)对称性.(5)凸包(oonvhul1)性质.(6)变差减少性质.(7)移动次贝齐尔曲线的第』个控制顶点6』,将对曲线上参数为I=n的那点P(j/n)处发生最大的影嘀.除了上述优良性质,贝齐尔曲线还具有移动顶点就可以灵活地控制曲线形状,甚至手工也可绘制的优异特性,给输入与交互修改曲线带来莫太的方便,因而一经面世,就引起了工程界的极大关注.但是,贝齐尔曲线在工程应用中也有不便之处:(1)贝齐尔曲线的控制多边形是外控多边形,如图1所示,即控制点在外,曲线在内,而披包含件的制高点又在曲线内,这给控制点的选取带来不便.图1贝齐尔外控制参边形与曲线(2)贝齐尔曲线的控制点没有形状权因子,因而给图形的调节带来不便.基于上述不利因素,作者对贝齐尔曲线的绘制收稿日期:2001.05.12作者筲介:张代治(1963一).男.吉林省辉南县人,长春大学机械工程学院讲师,博士研究生,主要从事机电一体化研究.长春大学第n巷与控制方式进行了研究,并提出了绘控贝齐尔曲线的内控制多边形方法.1基本方法设d.,口,d2,口,是被包含件的四个制高点,如图2所示,用线段连接dod.,口ld2,d2口,,得一内控制多边形.分别以口.,口.,d:,四点为圆心,以r_,r2,r,为半径作圆.我们把这些圆定义为权因子圆.依次连接各圆的凸包切线,得切点及切线交点bo,b.,b,b,.其中,首末两个为切点,其余为切线交点.然后再以b,b.,6,6为控铷点作外控制多边形,并以外控铷多边形作贝齐尔曲线.则内控制多边形的贝齐尔曲线即被绘出.田2贝齐尔曲线内控多边形方法示意田2数学计算过程设d.(,),d(.,y)是内控多边形的两个顶点,以dd为圆心,以和r.为半径作两个圆.两圆的公切线有四种情况.设其方程为=+,则由图3可知:田3公切线解析田一(Y~-Y o+寺)毗ch毗(y~-yo)一)_毗c卜c;I:tgaI;2tg.2;=tg.3;h=tg口?;6l一I.+co6at;6:y.一.;b3=—k3xo+ro;b.=—k4xo+ro.应用中,应从每两圆的四直线中选择一条,选择的原则就是应使被选择直线构成的贝齐尔曲线控制多边形相对于被包含件表面具有凸包性.对于端点来说,求解直线与圆的切点即得控制多边形的第一个顶点b.和最后一个顶点b.,而求解两条直线的交点则可得其余的顶点bb,……,b.一I.3特点3.1便于控制璜点的选取内控制多边形的控制顶点可以直接选在被包古件的具有代表性的制高点上,因而选择方便,且更符合工程习惯.3.2便于曲线的调节调节各个权因子圆的半径即可以调节曲线形状及曲线与被包古件的距离.当权因子圈的半径为零时,内,外控制多边形的顶点重合.3.3方法简便即使手工作图.也可方便她绘出贝齐尔曲线.4图例下面是一组用四个控制顶点绘制的贝齐尔曲线.第4期张代治:贝齐尔(B盯)曲线的内控制多边形方法(^)小船型(b)首束硬点内外重台型(c)拐点型图4内控制多边形下的贝齐尔曲线5结束语(t)该方法绘制的贝齐尔曲线继承了原曲线的全部优良特性.(2)该方法绘图简便,直观.易于理解.(3)该方法方便曲线调节.参考文献:[2][3]马利庄,王棠良.计算机辅助几何造型技术及其应用[M].北京:科学出版社.1996.施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条【M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.美履事.计算机辅助几何图形设计【M].北京:高等教育出版社,1999ControlmethodofB6ziercurvebasedoninsidepolygonZHANGDai.zhi(MechanicalElIneeringCoUege,ChangchunUniversity.Changchun130022,cllin8) Akatraet:BCffii~rcurveisone0fmtimpommcurv~andlurebeingusedealensivelyinthe∞西mIlgfie~dshoe1960sHowever.BK~iercurvelureaho咖e|h啦瑚isuch矗di~eultles.i渊toselect瑚妇唧lBoontndlingacmesandooamdits暑IIlPein啦岫using.Aimatthese山咿dB~ier.authorputsforwarclaflewmethod,namedinside蜘om~Unsmethod.todnnvandooamdB廿洲.ItlurebeenshowedlI1日tnewmethodwouldbeh|m击盯for郫lleertodrawandeontnd8I妇吼Ir'e-mthe唧1gc珊咖.Key-ordI:c-kId_"g孽e伽嶂时i艇d船cⅢve;conttvllingpdygo~。

实验六 3D编程及Bezier曲线绘制

实验七 3D编程及Bezier曲线曲面绘制一、实验目的1．3D编程：熟悉视点观察函数的设置和使用；熟悉投影变换函数的设置和使用；熟悉基本3D 图元的绘制2．了解OpenGL绘制Bezier曲线的方法二、实验环境硬件要求：PC机，主流配置，最好为独立显卡，显存512M以上。

软件环境：操作系统：Windows XP。

语言开发工具：VC6.0。

三、实验要求：按照实验内容做实验，保留所作步骤效果截图或演示程序，当场检查，现场计分四、实验内容1.3D编程3D Cube.cpp 为一静止3D立方体，3D Cube2.cpp 为正交投影下的旋转3D立方体，按下鼠标可实现不同方向的旋转。

分析3D编程代码与程序结构。

图7-1 静止立方体效果图图7-2 旋转立方体效果图图7-3 旋转茶壶和圆环效果图1．让静止的立方体绕Z轴不停旋转2．修改视点，目标点不变，观看显示效果3. 修改目标点，视点不动，观看显示效果4. 视点与目标点同时修改，观看显示效果5. 视点与目标点不变，修改观察体大小，观看显示效果6. 将正交投影观察体改为透视投影观察体，并设置其大小，观察显示效果7. 将立方体替换为茶壶，观看显示效果.选做2.Bezier曲线绘制BezierCurve.cpp为绘制bezier曲线的源程序，仔细研读源程序，并作如下修改1)．改变控制点，观察曲线和曲面形状的变化，控制点起什么作用？2)．改写bezier.cpp,增加控制点数目,修改控制点位置，使之成为空间封闭曲线，写出修改的关键代码及注释（TIPS：OpenGLBezier曲线绘制方法最多只能有8个控制点）3)．根据bezier曲线的性质，改写程序，使之成为两段曲线光滑连接。

每段曲线用不同颜色表示，并画出控制点。

图7-2·Bezier曲线绘制效果五、函数参考（一）3D编程1．视点设置函数void gluLookAt(GLdouble eyex, GLdouble eyey,GLdouble eyez,GLdouble atx,GLdouble aty,GLdouble atz,GLdouble upx,GLdouble upy,GLdouble upz)给出矩阵作用于当前矩阵，定义相机位置和方向视点：eyex, eyey, eyez目标点：atx,aty,atz相机向上方向：upx,upy,upz如果不引用该函数，则eyex=0,eyey=0,eyez=0，atx=0,aty=0,atz=-1，Upx=0,upy=1,upz=0此函数放在display函数中调用参考坐标系：世界坐标系2．正交投影变换设置函数. void glOrtho(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far)，建立正交投影矩阵，定义一个正平行观察体。

CAGD第十五章三角Bézier曲面

第十五章三角Bézier 曲面在第十章、第十一章和第十二章，我们介绍了双三次Hermite 曲面、Bézier 曲面和B 样条曲面等。

无论其构成方式如何，都是定义在矩形参数域上，并且给定的数据信息具有矩形拓扑结构，曲面片具有四条边界。

然而，在实际工程应用中，并不是所有给定的数据信息都具备矩形拓扑结构，或者说，并非所有的形体表面都仅能通过使用四边曲面片来表示。

那么就需要引入三角曲面片。

三角曲面片和四边曲面片除了拓扑结构不同外，并没有其他本质上的区别。

在四边曲面中，参数v u ,和参数域由矩形区域]1,0[]1,0[ ⨯定义，在三角曲面中，其参数则由重心坐标给出。

三角域上的多项式曲面首先由de Casteljau 于1959年引入。

以另外的形式，比方Lagrange 形式广泛用于有限元分析之中。

其最常用的方法是Clough-Tocher 方法和五次二十一参数插值方法。

二十世纪七十年代，出现了许多三角曲面插值方法，如BBG 插值方法、三角Bézier 曲面片、多元B 样条、Box 样条等。

三角曲面片技术主要用于非规则形体的建模和散乱数据的数值处理，象实验数据处理、地形图生成当中的无噪声插值、有噪声拟合等等。

在三角曲面技术中，应用组为广泛的是三角Bézier 曲面片，它是按照定义在规则三角剖分上的二元Bernstein 基函数来构造曲面的。

本章将主要就这种三角曲面片及其相关技术予以介绍和讨论。

14.1 重心坐标在平面上可以建立各种坐标系，使其几何点与代数有序数组一一对应。

当选用笛卡尔坐标系时，便得到了常用的直角坐标。

如果选择仿射坐标系，则引入点的重心坐标。

给定平面上不共线的三个点321,,T T T ，那么可构成一三角形ℑ，从而平面上任一点P 可表示为：∑==31i i i T P τ （14.1.1）三元组),,(321τττ 称为点P 相应于三角形ℑ的重心坐标，满足条件：1:31==∑=i i ττ （14.1.2）重心坐标的物理意义是质心，它与直角坐标的关系是：∑∑====3131,i y i i y i x i i x T P T P ττ可通过三角形的有向面积计算如下：),,(),,(,),,(),,(,),,(),,(321213321312321321T T T P T T T T T T P T T T T T T P area area area area area area ===τττ （14.1.3）其中：227 第十五章三角Bézier 曲面11121),,(321321321y y yx x xarea T T T T T T T T T = 按其字母顺序，顺时针旋转为正，逆时针旋转为负。

5.2.2 Bezier（贝塞尔）曲面_计算机图形学教程（第2版）_[共4页]

165 0(,)r u v r au bv =++ (0≤u , v ≤1)式中，矢量r 0为平面上一点的位置矢量，a 和b 为常矢量，且a 不平行于b ，该平面片是由矢量a 和b 张成的四边形。

又如图5.4所示，以固定方向长度为a 的直线段作为母线沿给定一条空间曲线r 1(u )移动生成一个柱面，其方程为1(,)()r u v r u av =+ (0≤u , v ≤1) 式中a 是沿母线方向的常矢量。

5.2.2 Bezier（贝塞尔）曲面如前所述，Bezier 曲线是一条与控制多边形顶点位置有严格关联关系的曲线，Bezier 曲线形状趋向于特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点的个数来决定。

Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，它也是以Bernstein 函数作为基函数，是由Bernstein 函数构造空间点阵列的位置来控制的。

1．Bezier 曲面的数学表达形式在三维空间里，给定(n ＋l) × (m ＋1)个点的空间点P ij (I = 0，l ，…，n ；j =0，1，…，m )，称n × m 次参数曲面：,,00(,)()()n mij i n j m i j P u v P B u B v ===∑∑ (0≤u ,v ≤1)为n × m 次Bezier 曲面。

P ij 是(,)P u v 的控制顶点，,()i n B u 和,()j m B v 为Bernstein 基函数，具体表示为,,()(1)()(1)i i n ii n n jj m j j m m B u C u u B v C v v −−=−=−如果用一系列直线段将相邻的点P i 0，P i 1，…，P im (i = 0，1，…，n )和P 0j ，P 1j ，…，P nj (j = 0，l ，…，m )一一连接起来组成一张空间网格，称这张网络为m × n 次曲面特征网格。

基于Polar form的三角Bèzier曲面上参数曲线的求法

基于Polar form的三角Bèzier曲面上参数曲线的求法严向奎;刘克轩;祝峰
【期刊名称】《新疆大学学报：理工版》
【年(卷),期】2001(18)3
【摘要】通过 polar form算法及多元仿射变换理论给出三角Bèzier曲面上任意多项式曲线的Bèzier表示形式 ,从而简化了三角曲面上多项式曲线的求解 ,可提高曲面离散算法的效率。

【总页数】5页(P296-300)
【关键词】三角Bezier曲面;Polarform算法;多元仿射变换;Decasteljian算法;CAGD;参数曲线
【作者】严向奎;刘克轩;祝峰
【作者单位】西北工业大学应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O18;TP391.72
【相关文献】
1.有理二次Bézier曲线与带调节参数的三次Bézier曲线的比较 [J], 王晶昕;李倩
2.射影平面上二阶曲线渐近线的几种求法 [J], 鲁凤菊
3.Bernstein-Bézier类曲线和Bézier曲线的重新参数化方法 [J], 梁锡坤
4.基于Polar form的三角Bezier曲面上参数曲线的求法 [J], 严向奎;刘克轩;祝峰
5.带有参数的Bézier型三角多项式插值曲线 [J], 王成伟
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简述使用贝塞尔工具绘制曲线的方法

简述使用贝塞尔工具绘制曲线的方法使用贝塞尔工具绘制曲线的方法如下：
1.打开AdobeIllustrator软件，在文档中创建一个新的绘图。

2.选择“形状工具”或使用快捷键“U”，并选择“贝塞尔曲线工具”。

3.在绘图工作区中单击以开始一条新的路径。

4.在另一位置单击并拖动鼠标以创建一条曲线。

5.在曲线上的其他位置单击以添加更多的节点，然后拖动这些节点以调整曲线的形状。

6.通过选择一个节点并调整其位置和角度来更改曲线的形状。

7.可以通过添加或删除节点来调整曲线的复杂度。

8.完成曲线后，选择“文件”>“保存”以保存文件。

这样就可以使用贝塞尔工具在AdobeIllustrator中创建出一条优美的曲线。

贝塞尔曲线画三角形

贝塞尔曲线画三角形
贝塞尔曲线是一种平滑的曲线，经常被用于制作图形。

在本文中，我们将介绍如何使用贝塞尔曲线来画一个三角形。

首先，我们需要选择三个点作为三角形的顶点。

然后，我们可以使用贝塞尔曲线通过这些点来创建三角形的路径。

我们需要创建两条贝塞尔曲线来画出三角形的两个边。

第一条曲线将从第一个顶点开始，经过第二个顶点，然后结束于第三个顶点。

第二条曲线将从第三个顶点开始，经过第一个顶点，然后结束于第二个顶点。

接下来，我们需要将这两条曲线连接起来，以形成一个封闭的路径。

我们可以使用一个矢量图形软件，例如Adobe Illustrator 或Inkscape来将这些曲线组合在一起。

最后，我们可以填充三角形的内部，使其看起来更加完整。

我们可以使用任何颜色或纹理来填充它。

总之，使用贝塞尔曲线画三角形需要一些熟练的技巧，但是一旦掌握了这种技术，你可以轻松地在你的设计中创建出各种形状和图形。

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一种快速绘制 Bézier 曲面的算法

一种快速绘制Bézier 曲面的算法
段福庆;吕科
【期刊名称】《宁夏工学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1997(9)4
【摘要】本文基于曲面的部分提出一种绘制Ｂéｚｉｅｒ曲面的算法，同传统算法相比具有绘制速度快，易于控制等优点。

【总页数】4页(P7-10)
【关键词】剖分;Bezier曲面;算法;CAGD;计算机图形学
【作者】段福庆;吕科
【作者单位】西北大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.72;TP391.41
【相关文献】
1.基于三角Bézier曲面刀轨快速生成算法 [J], 孙殿柱;康新才;孙永伟;李延瑞
2.三角域上Said-Ball曲面与Bézier曲面之间一种新的转换算法 [J], 江平;邬弘毅;檀结庆
3.一种快速绘制Bezier曲面的算法 [J], 段福庆;吕科
4.三角Bézier曲面数控精加工刀轨快速生成算法 [J], 孙殿柱;康新才;李延瑞;孙永伟
5.三角Bézier曲面快速求交算法 [J], 孙殿柱;康新才;李延瑞;刘健
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贝齐尔曲面绘制.doc

目录1 绪论 (1)1.1贝齐尔曲面的介绍 (1)1.2贝齐尔曲面的应用 (2)2 贝齐尔曲面设计 (3)2.1 贝齐尔曲面定义 (3)2.2 贝齐尔曲面性质 (4)2.3 贝齐尔曲面算法 (5)2.4 程序设计步骤 (5)2.4.1 Bezier曲面的生成 (5)2.4.2 绘制网格曲面 (6)2.4.3 绘制一个填充曲面 (8)2.4.4 三次贝齐尔曲面 (9)2.5 主程序 (10)3 总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)1 绪论1.1贝齐尔曲面的介绍到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。

这种方法的优越性在于：对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。

这种方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法(以下统称为Bezier方法)。

贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折线（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点惟一地定义出来的。

在该多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。

图1-1列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier曲线的形状关系。

图1-1 Bezier线曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，他们在实际工作中有着广泛的应用。

例如，实验数据的曲线表示，设计、优化的曲面表示等。

为了外形美观和物理性能最佳，汽车飞机等的外型设计十分重要。

由于实际问题不断对曲线和曲面提出新的要求，近几十年来，曲线和曲面理论及其应用得到了很大的发展。

1963年，波音飞机公司的Ferguson将曲线曲面表示成参数矢量形式，并用3次参数曲线来构造组合曲线，用4个角点的位置矢量及其两个方向的切向矢量来构造3次曲面。

1964年，麻省理工学院的coons用封闭的曲线的4条边界定义一个曲面。

贝齐尔曲线曲面生成方法

实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法实验类型：综合型一、目的与任务目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。

任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。

二、内容、要求与安排方式1、实验内容与要求：贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。

2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。

三、实验步骤1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。

6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。

四、实验要求1．在规定的时间内完成上机任务。

2．必须实验前进行复习和预习实验内容。

3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。

4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。

5．完成实验报告一份。

五、试验具体内容1，Bezier 曲线的描述在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。

P(t) = 6nt = 0PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);i = 0 , ⋯⋯,n一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。

在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:X(t) = 6ni = 0XiJ i ,n (t)Y(t) = 6ni = 0YiJ i ,n (t)Z(t) = 6ni = 0ZiJ i ,n (t)当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。

一种新的三角贝齐尔曲面绘制方法

一种新的三角贝齐尔曲面绘制方法刘志平;曾燕璋【摘要】提出了一种新的三角贝齐尔曲面绘制方法，即用三个不同方向的三簇贝齐尔曲线交叉而成。

详细介绍了绘制过程，并且使用MATLAB软件按给出的方法绘制出了指定控制顶点的三角贝齐尔曲面。

通过跟已有方法的比较，可以清楚看出本方法的优越性。

%In this paper, we give a new approach to plot triangluar Bezier surface.First of all, we explain our work in details.Different with other methods, we describe the Bezier surface by three cluster Bezier curves. Then, we use MATLAB to realise our thinking and to compare with other approaches.【期刊名称】《韩山师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P24-28)【关键词】三角贝齐尔曲面;四边贝齐尔曲面;张量积;三簇曲线【作者】刘志平;曾燕璋【作者单位】淮海工学院理学院，江苏连云港 222005;淮海工学院理学院，江苏连云港 222005【正文语种】中文【中图分类】O117在计算机图形学和计算机辅助几何设计领域，经常会用到四边贝齐尔曲面和三角贝齐尔曲面，在一些实用的计算机图形系统中，两种形式的曲面会同时存在.究其原因，是因为一般现实问题的参数域通常是复杂形状，而对复杂形状的处理方法一般是将参数域剖分为小的三角形或者四边形，因此这就需要研究三角贝齐尔曲面和四边贝齐尔曲面的绘制方法.四边贝齐尔曲面实际上是两个方向的贝齐尔曲线做张量积，容易用矩阵形式表示，绘制方法相对容易.而三角贝齐尔曲面本身不具备矩阵的表示形式，绘制方法要比四边贝齐尔曲面困难，因此研究三角贝齐尔曲面的绘制方法就更有价值.首先给四边贝齐尔曲面和三角贝齐尔曲面的定义，两种形式的贝齐尔曲面都是由控制顶点唯一确定的.定义1[1]给定(n+1)×(m+1)个控制顶点Pi,j，i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m，n×m次四边贝齐尔曲面定义为其中定义2[1]给定个控制顶点Pi=0,1,…n;j=0,1,…n-i;k=n-i-j，n次三角贝齐尔i,j,k曲面定义为其中当参数域是四边形时，采用四边贝齐尔曲面，为了方便程序实现，公式（1）经常表示成矩阵乘积的形式[2]其中UT=[1uu2…un]，VT=[1vv2…vm]，M是从伯恩斯坦基到多项式基的转换矩阵，P是控制顶点阵.当参数域为三角形的时候，一般采用三角贝齐尔曲面形式.比较常见的三角贝齐尔曲面绘制方法是把三角形看成退化的四边形，即四边形的一条边退化为一个点，这样三角贝齐尔曲面就变成有一条退化边的四边贝齐尔曲面[3].具体来说，如果原来的三角贝齐尔曲面的控制顶点为为了将其表示为四边贝齐尔曲面，上述控制顶点要修改为即添加了很多重复的控制顶点，但是从绘制结果来看，这种绘制方法并不理想，如图1所示，图形的右下角很多条线汇聚在一起，形成数据冗余，影响绘制效果.为了解决数据冗余的问题，三角贝齐尔曲面也可以采用Delauny三角剖分形式进行绘制，Delauny剖分的缺点是数据结构复杂，不容易理解.那么，有没有一种简单的三角贝齐尔曲面绘制方法呢？仔细考虑四边贝齐尔曲面的绘制过程，发现虽然有四条边，但其实质是两个不同方向的贝齐尔曲线进行交叉.三角贝齐尔曲面没有办法看成两个方向的交叉，那么它能否看成是三个方向的贝齐尔曲线进行交叉？基于这样的想法，在本文中，采用了一种新的三角贝齐尔曲面绘制方法，将三角贝齐尔曲面看成是三簇贝齐尔曲线的交叉，即u-向贝齐尔曲线，v-向贝齐尔曲线和w-向贝齐尔曲线的交叉.如图2所示，绘制过程中的难点是点的连接关系，下面将详细介绍具体的绘制过程.图2所示的三角贝齐尔曲面是3次的，现实问题里，可能需要考虑绘制任意次数的贝齐尔曲面.假定次数为n，可以看到，第一行有1个控制顶点，第二行有2个，……，如此类推.因为n次三角贝齐尔曲面共有n+1行控制顶点，所以总的控制顶点个数为.将控制顶点按行进行存储，即P0,n,0的存储序号为1，P0,n-1,1的存储序号为2，P1,n-1,0的存储序号为3，…….由等差数列的性质可得，第i行的存储序号为到.由此可以得到三簇贝齐尔曲线的连接关系.首先，考虑u-向的第i行贝齐尔曲线，其控制顶点的存储序号为即一个步长为1的等差数列，起始值为，终止值为.其次，考虑v-向贝齐尔曲线，最右边的v-向贝齐尔曲线其控制顶点的存储序号为从右上方往左下方进行，每进行一次，去掉最左边的存储序号，其它序号各自减1，即第2条v-向贝齐尔控制顶点的存储序号为，第3条控制顶点的存储序号为，……，最后一条v-向贝齐尔的存储序号为最后考虑w-向贝齐尔曲线，最左边的w-向贝齐尔曲线其控制顶点的存储序号为，从左上方往右下方进行，每进行一次，去掉最左边的存储序号，其它序号各自加1，即第2条w-向贝齐尔曲线的存储序号为，第3条的存储序号为，最后一条w-向贝齐尔曲线的存储序号为有了点的连接关系，就可以使用画折线函数分别绘制三簇不同方向的贝齐尔曲线，它们再进行交叉就会得到最终的三角贝齐尔曲面.本文中，使用MATLAB软件采用上面的方法进行了绘制，绘制结果如图3和图4所示.图3和图4是同一个曲面从两个不同方向观察到的结果，从中可以清晰地看到，已经不存在数据冗余，绘制效果良好.本文根据三角贝齐尔曲面自身的特点，采用三个不同方向的贝齐尔曲线交叉形成曲面.与已有的绘制方法相比，比传统方法数据冗余少，绘制效果好.此外，本文的方法比采用Delauny三角剖分方法更容易理解.【相关文献】[1]施法中.计算机辅助几何设计和非均匀有理B样条[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]FARIN G.Curves and Surface for CAGD:A Practical Guide[M].San Diego:Academic Press，2002.[3]HU Shi-min.Conversion between triangluar and rectangular Bezier patches[J].Computer Aided Geometry Desigin，2001，18（7）：667-671.。

第2章贝齐尔曲线和B

f(
k n
)(
n k
)t（k 1－t）n－k
n
f(
k＝0
k n
)Bk,n
(t)
(0 t 1)
为f(t)的n次Bernstein多项式
其中
Bk ,n (t )
n k
t k (1 t ) nk
称为n次Bernstein多项式的基函数，贝齐尔曲线是以Bernstein多项式的基函数构造而成的。
(n
1 1)!
n k 0
(1)k
(
n k
)(
x
n 2
k
)
n1
当n 1时
M 1 ( x)
11 (11)! k0
(1)k (1k
)(x
1 2
k
)11
(x
1 2
)0
-
(x
-
1 2
)0
当x 1 时 2
M1(x)
(x
1 2
)0
- (x
-
1 2
)0
11
0
当x 1 时 2
M1(x)
(x
1 2
)0
- (x
-
1 2
)0
1 0
1
当 1 x 1时
2
2
M1(x)
(x
1 2
)
0
- (x
-
1 2
)0
1
0
1
当x 1 时 2
M1(x)
(x
1 2
)
0
- (x
-
1 2
)0
00
0
所以
M
1
(
x)

基于曲面三角形逼近的Bezier曲面表示研究

基于曲面三角形逼近的Bezier曲面表示研究
涂超
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】基于曲面三角形来逼近Bezier曲面,通过对曲面三角形的递归分割,可实现光滑的、多细节层次的实体模型.通过基于三角形链的优化,可实现Bezier曲面的快速绘制.该方法可应用于虚拟场景中的实体建模、地形模型的建模等领域.
【总页数】5页(P37-41)
【作者】涂超
【作者单位】华侨大学信息科学与工程学院,泉州,362011
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.球域Bezier曲面的精确边界及其多项式逼近 [J], 胡倩倩;王国瑾
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4.基于Bezier曲面约束的多形态随机曲面生成方法 [J], 杨元兆;莫灿林
5.用GPU实现双三次Bezier面片逼近Catmull-Clark细分曲面 [J], 王丽珠; 刘伟; 徐李娜
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