多元随机过程的建模与谱估计

第七章 多元随机过程的建模与谱估计7.1 多元随机过程的表示l 维平稳随机向量过程)(n Y 由l 个平稳随机过程构成T l n y n y n y n Y )](,),(),([)(21 = (7-1)其二阶特性由均值向量Y μ： {}T y y y Y ln Y E ],,,[)(21μμμμ== (7-2)和协方差矩阵()Y C m ：{}()[()][()]T Y Y Y C m E Y n Y n m μμ=-+-111212122212()()()()()()()()()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y C m C m C m C m C m C m C m C m C m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7-3) 决定，其中)(m C j i y y 是随机过程)(n y i 和)(n y j 的协方差，即{}()[()][()]i j i j y y i y j y C m E y n y n m μμ=-+-，l j l i ≤≤≤≤1,1由于)(m C j i y y ()i j y y R m =i j y y μμ+，l j l i ≤≤≤≤1,1因此，协方差矩阵()Y C m 又可表示为()Y C m ()TY Y YR m μμ=- (7-4) 其中，()Y R m 为l 维平稳随机向量过程)(n Y 的自相关矩阵。

该矩阵中的第i 行第j 列元素是随机过程)(n y i 和)(n y j 的互相关函数)(m R j i y y ，即()Y R m 111212122212()()()()()()()()()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y l lR m R m R m R m R m R m R m R m R m ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (7-5)当)(n Y 的均值为零时，协方差矩阵)(m C Y 与互相关矩阵)(m R Y 相等。

一般情况下，总是将随机向量减去其均值向量估计，构成一个零均值的、新的随机向量。

然后对新的随机向量进行各种分析。

举例，l 维白噪声向量)(n W 的二阶特征量为：,00,()0,0W W W Q m C m m μ=⎧==⎨≠⎩其中W Q 为常数矩阵。

若白噪声向量)(n W 的个分量互不相关，则其协方差矩阵W Q 是对角矩阵，即12222[,,,]lW w w w Q diag σσσ= (7-6) 互相关矩阵性质：１）()()T Y Y R m R m =- (7-7)【证明：因为，{}()()()i j y y i j R m E y n y n m =+{}()()j i E y n y n m =-()j i y y R m =-，所以(){()}{()}{()}()i j j i i j T TY y y l l y y l l y y l l Y R m R m R m R m R m ⨯⨯⨯==-=-=-】2）(0)Y R 是非负定的【证明：用l 个不全为零的实数i a ，1,2,,i l =，作随机过程1()()()lT i i i z n a y n a Y n ===∑[]12,,,T l a a a a =，则有2(0){()}{()()}{()()}(0)0T T T T T z Y R E z n E a Y n Y n a a E Y n Y n a a R a ====≥当且仅当()0Y n =时，(0)0z R =成立。

】 7.2 向量过程的模型表示与谱①向量过程的ＡＲ模型与功率谱用l 维()AR p 过程模型描述的随机向量过程)(n Y 表示为1()(1)()()p Y n A Y n A Y n p W n +-++-= (7-8)其中i A （1,2,,i p =）为l l ⨯阶参数矩阵，()W n 是l 维白噪声。

记111(,)p p A p z I A z A z ---=+++，111(,)[(,)]H p z A p z ---= (7-9)则(7-8)式可改写为1(,)()()A p z Y n W n -= 或 1()(,)()Y n H p z W n -= (7-10)随机向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为1()[(,)]()(,)[(,)]()[(,)]j j j T j j j j T Y W W S e H p e S e H p e A p e S e A p e ωωωωωωω----== (7-11)其中()j W S e ω=Γ是常数矩阵。

当)(n W 的各分量互不相关时，()j W S e ω是对角矩阵，即22212()[,,]j W l S e diag ωσσσ= (7-12) ②向量过程的ARMA 模型与功率谱用l 维(,)ARMA p q 过程模型描述的随机向量过程表示为101()(1)()()(1)()p q Y n A Y n A Y n p B W n B W n B W n q +-+-=+-+- (7-13)其中)(n Y 是l 维向量，)(n W 是l 维白噪声，,i j A B 为l l ⨯阶参数矩阵。

记11111011111(,)(,)(,,)[(,)](,)pp qq A p z I A z A z B q z B B z B z H p q z A p z B q z ----------⎧=+++⎪⎪=+++⎨⎪=⎪⎩(7-14)则(7-13)式可改写为11(,)()(,)()A p z Y n B q z W n --= 或 1()(,,)()Y n H p q z W n -= (7-15) 向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为 *()[(,,)]()[(,,)]j j j j T Y W S eH p q e S e H p q e ωωωω--=1*1[(,)(,)]()[(,)(,)]j j j j j TWA p eB q eSeA p eB q e ωωωωω------= 1(,)(,)()(,)(,)j j j Tj T j W A p e B q e S e B q eA p e ωωωωω----= (7-16)其中()j W S e ω=Γ l lR⨯∈是白噪声的协方差矩阵。

显然，如果我们获得了过程模型参数及l 维白噪声的协方差矩阵Γ的估计，也就获得了过程功率谱的估计。

前面讨论的标量过程的AR 、ARMA 建模与谱估计可以推广到多变量过程。

7.3 向量AR 过程的建模１．()AR p 过程的Y W -方程对(7-8)式右乘()TY n m +并取期望，得1{[()(1)()]()}{()()}T T p E Y n A Y n A Y n p Y n m E W n Y n m +-+-+=+ (7-17)因此，有1()(1)()()T Y Y p Y WY R m A R mA R m p R m +++++= (7-18) 由因果性质知，当m 小于零时，()Y n m +与()W n 无关；同时，考虑到()W n 的零均值特性，有{}{}{()()}()()0T T E W n Y n m E W n E Y n m +=+=，0m < (7-19)而当m 为零时，利用（7－8）和（7－19）有{}1{()()}()()(1)()TT p E W n Y n E W n W n AYn A Y n p ⎡⎤=-----⎣⎦{()()}T E W n W n =W Q = (7-20)因此,0()0,0W WY Q m R m m =⎧=⎨<⎩(7-21)于是1,0()(1)()0,0WY Y p Y Q m R m A R m A R m p m =⎧+++++=⎨<⎩ (7-22) 展开111(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0Y Y p Y WY Y p YYY p Y R A R A R p Q R A R A R p R p A R p A R +++=⎧⎪-+++-=⎪⎨⎪⎪-+-+++=⎩ (7-23)对(7-23)式求转置，并考虑到相关性质()()TY Y R m R m =-，则式(7-22)可改写为111(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0Y Y pY p p T T TT Y WT T TY Y T T YY Y R R A R p A Q R R A R p A R p R p A R A ⎧+++=⎪⎪+++-=⎪⎨⎪⎪+-++=⎪⎩ (7-24) (7-24)为向量()AR p 过程Y W -方程，令,(1)(1)(0)(1)()(1)(0)(1)(0)()(1)(0)Y Y Y YT TY T Y Y p Y Y Y l p l p R R R p R R R p R R p R p R +⨯+⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (7-25) 1(1)p T p T l p lI A A +⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥Θ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(1)00W p l p l Q +⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥Γ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (7-26) 则(7-24)式可改写为矩阵形式,(0)Y p p p R Θ=Γ (7-27)1．互相关矩阵,(0)Y p R 的性质：1）,(0)Y p R 是非负定的，即,(0)0Y p R ≥；当()Y n 中不存在零分量时，,(0)Y p R 正定。

【证明：作随机过程()()ipT i z k a Y k i ==-∑其中，,1,2,,,,Ti i i i n a a a a ⎡⎤=⎣⎦（0,1,,i p =）是实数向量，,i j a （1,2,,j n =）不全为零。

则{}220,0()[()][()()]i i p p T T Tj i i j E z k E a Y k i E a Y k i Y k j a ==⎧⎫⎧⎫=-=--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑{},0,0()()()iippTTTj Y j i j i j a E Y k i Yk j a aR i j a ===--=-∑∑0101(0)(1)()(1)(0)(1)()(1)(0)Y Y Y Y Y Y TTT p p Y Y Y a R R R p a R R R p a a a a R p R p R --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦0101(0)(1)()(1)(0)(1)()(1)(0)TT Y Y Y TTTT Y Y Y p p Y Y Y a R R R p a R R R p a a a a R p R p R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(0)T Y p R φφ=0≥其中1TTT p a a a φ⎡⎤=⎣⎦当()Y n 不存在零分量时，()z k 必定是非零的，{}2()E z k ,(0)T Y p R φφ=0>，,(0)Y p R 正定。