多元随机过程的建模与谱估计

第七章 多元随机过程的建模与谱估计

7.1 多元随机过程的表示

l 维平稳随机向量过程)(n Y 由l 个平稳随机过程构成

T l n y n y n y n Y )](,),(),([)(21 = (7-1)

其二阶特性由均值向量Y μ： {}T y y y Y l

n Y E ],,,[)(2

1

μμμμ

== (7-2)

和协方差矩阵()Y C m ：

{}()[()][()]T Y Y Y C m E Y n Y n m μμ=-+-111212122212()()

()()()

()()()

()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y C m C m C m C m C m C m C m C m C m ⎡⎤

⎢

⎥

⎢⎥

=⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

(7-3) 决定，其中)(m C j i y y 是随机过程)(n y i 和)(n y j 的协方差，即

{}

()[()][()]i j i j y y i y j y C m E y n y n m μμ=-+-，l j l i ≤≤≤≤1,1

由于

)(m C j i y y ()i j y y R m =i j y y μμ+，l j l i ≤≤≤≤1,1

因此，协方差矩阵()Y C m 又可表示为

()Y C m ()T

Y Y Y

R m μμ=- (7-4) 其中，()Y R m 为l 维平稳随机向量过程)(n Y 的自相关矩阵。该矩阵中的第i 行第j 列元素是随机过程)(n y i 和)(n y j 的互相关函数)(m R j i y y ，即

()Y R m 1112121

22212()()

()()()()()()()l l l l l l y y y y y y y y y y y y y y y y y y l l

R m R m R m R m R m R m R m R m R m ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ (7-5)

当)(n Y 的均值为零时，协方差矩阵)(m C Y 与互相关矩阵)(m R Y 相等。一般情况下，总是将随机向

量减去其均值向量估计，构成一个零均值的、新的随机向量。然后对新的随机向量进行各种分析。

举例，l 维白噪声向量)(n W 的二阶特征量为：

,0

0,()0,0W W W Q m C m m μ=⎧==⎨

≠⎩

其中W Q 为常数矩阵。若白噪声向量)(n W 的个分量互不相关，则其协方差矩阵W Q 是对角矩阵，即

12

22

2

[,,,]l

W w w w Q diag σσσ= (7-6) 互相关矩阵性质：

１）

()()T Y Y R m R m =- (7-7)

【证明：因为，{}

()()()i j y y i j R m E y n y n m =+{}

()()j i E y n y n m =-()j i y y R m =-，所以

(){()}{()}{()}()i j j i i j T T

Y y y l l y y l l y y l l Y R m R m R m R m R m ⨯⨯⨯==-=-=-

】

2）(0)Y R 是非负定的

【证明：用l 个不全为零的实数i a ，1,2,

,i l =，作随机过程

1

()()()l

T i i i z n a y n a Y n ===∑

[]12,,,T l a a a a =，则有

2(0){()}{()()}{()()}(0)0T T T T T z Y R E z n E a Y n Y n a a E Y n Y n a a R a ====≥

当且仅当()0Y n =时，(0)0z R =成立。】 7.2 向量过程的模型表示与谱

①向量过程的ＡＲ模型与功率谱

用l 维()AR p 过程模型描述的随机向量过程)(n Y 表示为

1()(1)()()p Y n A Y n A Y n p W n +-+

+-= (7-8)

其中i A （1,2,

,i p =）为l l ⨯阶参数矩阵，()W n 是l 维白噪声。

记

111(,)p p A p z I A z A z ---=++

+，111(,)[(,)]H p z A p z ---= (7-9)

则(7-8)式可改写为

1

(,)()()A p z Y n W n -= 或 1

()(,)()Y n H p z W n -= (7-10)

随机向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为

1()[(,)]()(,)[(,)]()[(,)]j j j T j j j j T Y W W S e H p e S e H p e A p e S e A p e ωωωωωωω----== (7-11)

其中()j W S e ω=Γ是常数矩阵。当)(n W 的各分量互不相关时，()j W S e ω是对角矩阵，即

222

12()[,,

]

j W l S e diag ωσσσ= (7-12) ②向量过程的ARMA 模型与功率谱

用l 维(,)ARMA p q 过程模型描述的随机向量过程表示为

101()(1)()()(1)()p q Y n A Y n A Y n p B W n B W n B W n q +-+-=+-+- (7-13)

其中)(n Y 是l 维向量，)(n W 是l 维白噪声，,i j A B 为l l ⨯阶参数矩阵。

记

11111011111(,)(,)(,,)[(,)](,)p

p q

q A p z I A z A z B q z B B z B z H p q z A p z B q z ----------⎧=+++⎪⎪=+++⎨⎪=⎪⎩

(7-14)

则(7-13)式可改写为

1

1

(,)()(,)()A p z Y n B q z W n --= 或 1

()(,,)()Y n H p q z W n -= (7-15) 向量过程)(n Y 的功率谱密度函数矩阵为 *

()[(,,)]()[(,,)]j j j j T Y W S e

H p q e S e H p q e ω

ω

ωω--=

1*

1

[(,)(,)]()[(,)(,

)]

j j j j j T

W

A p e

B q e

S

e

A p e

B q e ω

ω

ωω

ω------= 1

(,)(,)()(,)(,)j j j T

j T j W A p e B q e S e B q e

A p e ω

ω

ω

ω

ω----= (7-16)

其中()j W S e ω=Γ l l

R

⨯∈是白噪声的协方差矩阵。

显然，如果我们获得了过程模型参数及l 维白噪声的协方差矩阵Γ的估计，也就获得了过程功

率谱的估计。前面讨论的标量过程的AR 、ARMA 建模与谱估计可以推广到多变量过程。

7.3 向量AR 过程的建模

１．()AR p 过程的Y W -方程

对(7-8)式右乘()T

Y n m +并取期望，得

1{[()(1)()]()}{()()}T T p E Y n A Y n A Y n p Y n m E W n Y n m +-+

-+=+ (7-17)

因此，有