高二上学期数学期末考前热身训练一

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2023-2024学年广东省高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年广东省高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．集合{}|2sin 1,R A x x x ==∈，{}230B x x x =-≤，则A B =（）A ．[]0,3B ．π6⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．π5π,66⎡⎢⎣⎦D ．π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】根据三角函数的性质求出集合A ,再解一元二次不等式求出集合B ，即可求解.【详解】由2sin 1x =得1sin 2x =解得π2π6x k =+或5π2π,Z 6k k +∈，所以π|2π6A x x k ⎧==+⎨⎩或5π2π,Z 6k k ⎫+∈⎬⎭，又由230x x -≤解得03x ≤≤，所以{}03B x x =≤≤，所以A B =π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选:D.2．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1～5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（）A ．25B ．920C ．12D ．710【正确答案】B根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率.【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以920P =.故选：B3．设复数z 满足1z z z -=-，则z 在复平面上对应的图形是（）A ．两条直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【正确答案】A【分析】设i z x y =+，根据模长相等列出方程，得到z 在复平面上对应的图形是两条直线.【详解】设i z x y =+，则i z x y =-，1z z z -=-可得：()()22212x y y -+=，化简得：()2213x y -=，即13x y -=或13x y -=-，则z 在复平面上对应的图形是两条直线.故选：A4．在ABC 中，已知3a =，π3A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 满足（）A．x =B ．()0,3x ∈C．{()0,3x ∈⋃D．{(]0,3x ∈⋃【正确答案】D【分析】结合正弦定理得x B =，满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，即可确定B 的范围，求得结果.【详解】由正弦定理得3πsin sin 3x B =，则有2x B==，()2π0,π0,3B A 骣琪Î-=琪桫.∵满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，则ππ0,23B 禳纟镲çÎú睚çú镲铪棼，故{(]0,3x B =Î.故选：D5．圆内接四边形ABCD 中2AD =，4CD =，BD 是圆的直径，则AC BD ⋅=（）A ．12B ．12-C ．20D ．20-【正确答案】B【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.【详解】由题知90BAD BCD ∠=∠=o ，2AD =，4CD =∴()AC BD AD DC BD AD BD DC BD⋅=+⋅=⋅+⋅ 22=cos cos AD BD BDA DC BD BDC AD DC ∠-∠=- 41612=-=-.故选：B.6．已知数列{}n a 为等差数列，若2830a a +<，670a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和有最大值，那么n S 取得最小正值时n 为（）A ．11B ．12C ．7D ．6【正确答案】A【分析】根据已知条件，判断出67,a a ，67a a +的符号，再根据等差数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前n 项和有最大值，故可得0d <，因为2830a a +<，故可得10224+<a d ，即10112+<d a ，所以7012-<a d ，可得7102<<a d ，又因为670a a ⋅<，故可得60a >，所以数列{}n a 的前6项和有最大值，且6712110+=+<a a a d ，又因为()122711612602=⨯=++<a S a a a ，()611111111102+>=⨯=⨯S a a a ，故n S 取得最小正值时n 等于11.故选：A.7．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【正确答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫--⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B8．定义在()0,∞+的函数()y f x =满足：对1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()39f =，则不等式()3f x x >的解集为（）A ．()9,+∞B ．()0,9C ．()0,3D ．()3,+∞【正确答案】D【分析】构造函数()()f x g x x=，讨论单调性，利用单调性解不等式.【详解】由()()2112120x f x x f x x x ->-且1x ∀，()20,x ∈+∞，则两边同时除以12x x 可得()()121212f x f x x x x x ->-，令()()f x g x x =，则()()f x g x x=在()0,∞+单调递增，由()3f x x >得()3f x x>且(3)(3)33f g ==，即()(3)g x g >解得3x >，故选：D.二、多选题9．已知双曲线22221x y a b-=0a >0b >的右焦点为(),0F c ，在线段OF 上存在一点M ，使得M到渐近线的距离为34c ，则双曲线离心率的值可以为（）AB ．2C ．43D【正确答案】AB【分析】写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离列出不等式，得到c a >AB 正确.【详解】22221x y a b-=的一条渐近线方程为0bx ay -=，设(),0M m ，0m c <<，34c =，整理得：234c m b =，因为0m c <<，所以234c c b<，即34c b <=解得：7c a >，>2>43<<，所以AB 正确，CD 错误.故选：AB10．已知正实数a ，b 满足8ab a b ++=，下列说法正确的是（）A ．ab 的最大值为2B ．a b +的最小值为4C ．2+a b 的最小值为3-D ．()111a b b++的最小值为12【正确答案】BCD【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将81ab a -=+代入2+a b ，化简，利用基本不等式求解可判断C ，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.【详解】对于A,因为8ab a b ab ++=≥+，即280+-≤，解得42-≤，又因为正实数a ，b ，所以02≤，则有4ab ≤，当且仅当2a b ==时取得等号，故A 错误；对于B ，2()8()4a b ab a b a b +++=≤++，即()24()320a b a b +++-≥，解得8a b +≤-（舍）4a b +≥，当且仅当2a b ==时取得等号，故B 正确；对于C,由题可得(1)8b a a +=-所以801ab a -=>+，解得08a <<，81818221323611231a a a a a a b a a -=+-=++-≥++==+++，当且仅当1811a a +=+即1a =时取得等号，故C 正确；对于D,[]11111(1)(1)8(1)a b b a b b a b b ⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦1(1)112(22)8(1)82b a b a b b ⎡⎤+=++≥+=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当(1)44,(1)15b a b b a b a a b b b +=⇒=⇒==++时取得等号，故D 正确，故选:BCD.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为正方体内（包括边界）上的一点，且满足1sin EDD ∠=）A ．若E 为面1111D CB A 内一点，则E 点的轨迹长度为π2B ．过AB 作面α使得DE α⊥，若E α∈，则E 的轨迹为椭圆的一部分C ．若F ，G 分别为11AD ，11B C 的中点，E ∈面FGBA ，则E 的轨迹为双曲线的一部分D ．若F ，G 分别为11A D ，11B C 的中点，DE 与面FGBA 所成角为θ，则sin θ的范围为24,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】AD【分析】对于A项，1sin EDD ∠=转化为11tan 2EDD ∠=，得到E 的轨迹再求解；对于BC 项，求得轨迹可得解；对于D 项，建立空间直角坐标系解决.【详解】对于A 项，正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，若E 为面1111D C B A 内一点，所以11DD D E ⊥.又因为1sin EDD ∠=，所以11tan 2EDD ∠=，在1Rt EDD 中，11111tan 22D E D E EDD DD ∠===，所以11D E =，故点E 的轨迹是以1D 为圆心1为半径的14个圆弧，所以E 点的轨迹长度为1π2π142⋅⋅=，故A 正确；对于B 项，若DE α⊥，则DE AB ⊥，则E 只能在平面11ADD A 内运动，且DE EA ⊥，轨迹为一个点，B 错误；对于C 项，平面α与轴线1DD 所成的角即为平面α与1AA 所成的角，1A AF ∠是平面α与轴线1DD 所成的角，在1Rt A AF 中1111tan 2A F A AF AA ∠==，而母线DF 与轴线1DD 所成的角为1FDD ∠，在1Rt FDD 中1111tan 2FD FDD DD ∠==，即母线与轴线所成的角与截面α与轴线所成的角，所以点E 的轨迹应为抛物线，故C 不正确；对于D 项，以D为原点，建立如图所示的坐标系，连接DE 并延长交上底面1111D C B A 于点1E ，设111π,0,2A D E γγ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()()10,0,0,cos ,sin ,2,2,0,0,2,2,0,1,0,2D E A B F γγ，()1cos ,sin ,2DE γγ=，则()()0,2,01,0,2AB AF ==-，设面ABGF 的法向量为(),,n x y z = ，所以()0202,0,1200n AB y n x z n AF ⎧⋅==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，所以DE 与面FGAB所成角的正弦值为112cos 2sin 5n DE n DE γθ⋅+===⋅又因为[]π0,,2cos 22,42γγ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以2cos 124,555γ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.用平面去截圆锥所得的曲线可能为，圆、椭圆、抛物线、双曲线；截面与圆锥轴线成角等于轴线与母线所成的角，截面曲线为抛物线；截面与圆锥轴线成角大于轴线与母线所成的角，截面曲线为椭圆；截面与圆锥轴线成角小于轴线与母线所成的角，截面曲线为双曲线；截面与轴线垂直得到截面曲线为圆.12．已知函数()()ln f x x =-，()()ln 4g x x =+，则（）A ．函数()()22y f x g x =-+-为偶函数B ．函数()()y f x g x =-为奇函数C ．函数()()22y f x g x =---为奇函数D ．2x =-为函数函数()()y f x g x =+图像的对称轴【正确答案】CD【分析】根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C ，根据对称轴的性质判断D.【详解】对于A ，()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =-+-=-++，定义域为()2,+∞，所以函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B,()()ln()ln(4)y f x g x x x =-=--+定义域为()40-，，所以函数为非奇非偶函数，故B 错误；对于C,()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =---=--+，定义域为()2,2-，设()ln(2)ln(2)h x x x =-++，()ln(2)ln(2)()h x x x h x -=+--=-，所以函数为奇函数，故C 正确；对于D,设()()2()ln(4)t x f x g x x x =+=--定义域为()4,0-，22(4)ln (4)4(4)ln(4)()t x x x x x t x ⎡⎤--=------=--=⎣⎦，所以2x =-为函数函数()()y f x g x =+图像的对称轴，故D 正确，故选:CD.三、填空题13．已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =______.【正确答案】1432n -⨯-【分析】构造()1232n n a a ++=+，得到{}2n a +是等比数列，求出通项公式，进而得到1432n n a -=⨯-.【详解】设()13n n a a λλ++=+，即132n n a a λ+=+，故24λ=，解得：2λ=，故134n n a a +=+变形为()1232n n a a ++=+，12224a +=+=，故{}2n a +是首项为4的等比数列，公比为3，则1243n n a -+=⨯，所以1432n n a -=⨯-，故1432n -⨯-14．已知直线l 的方向向量为()1,0,2n =，点()0,1,1A 在直线l 上，则点()1,2,2P 到直线l 的距离为______.【正确答案】5【分析】求出AP与直线l 的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离．【详解】()1,1,1=AP，cos ,⋅=n AP n AP n AP所以sin ,5= n AP ，点()1,2,2P 到l的距离为sin ,= d AP n AP故5．15．函数()()f x x ωϕ=+0ω>ππ2ϕ<<的部分图象如图所示，直线y m =（0m <）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，则()123sin 2x x x +-=______.【正确答案】22-【分析】由图象求得参数，由交点及余弦函数的对称性结合()()()()1231223sin 2sin 2x x x x x x x +-=+-+即可求值【详解】由图可知，5π5π2cos 144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5π2cos 42ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5ππ2π825π7π2π440ππ2k k ωϕωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪>⎪⎪<<⎪⎩，解得2ω=，3π4φ=-，故()3π2cos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.则()3π02cos 14f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()f x 最小正周期为2ππ2=.直线y m =（0m <）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为1x ，2x ，3x ，则由图可知125ππ3π2848x x +=-=，235ππ7π2848x x +=+=.∴()()()()123122312π14πππ2sin 2sin 2sinsin sin 88442x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=-=-=-=-⎪⎝⎭⎝⎭故22-16．已知实数x 、y 满足||||14x x y y -=，则25x y -________．【正确答案】(5,225].【分析】讨论,x y 得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得25z x y =-的取值范围，进而可得25x y -.【详解】因为实数,x y 满足||||14x x y y -=，当0,0x y >>时，方程为2214xy -=的图象为双曲线在第一象限的部分；当0,0x y ><时，方程为2214xy +=的图象为椭圆在第四象限的部分；当0,0x y <>时，方程为2214xy --=的图象不存在；当0,0x y <<时，方程为22+14x y -=的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，2x y -(,)x y到直线20x y -=根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为12y x =±，令2z x y =-+，即122z y x =-观察图象可得，当过点(,)x y 且斜率为12的直线与椭圆相切时，点(,)x y到直线20x y -=的距离最大，即当直线2z x y =-与椭圆相切时，z 最大，联立方程组2214122x y z y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(222210x z x z z --+-+=，(()22Δ24210z z z =--⨯⨯-+=，解得z =又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以z =又直线20x y -+=与20x y -=的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以z >z <≤z <≤即24x y +-∈，故答案为.四、解答题17．已知函数()2πππ2sin sin 363f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)求π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】(1)()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简，由整体法结合三角函数的单调增区间列不等式求解即可；（2）令()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎝⎭，分析得()g x 关于4π,024骣琪琪桫对称，根据对称性化简求值.【详解】（1）()2ππππ2sin cos 2cos 13263f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππ2sin cos 2333x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππsin2233x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 233x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令()πππ22π,2π322x k k k Z ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，则()π5ππ,π1212x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.故函数()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()π2π3x k k -=ÎZ 得()()43+1πππ6224k k x k =+=ÎZ ，故()g x 关于()()43+1π,024k k 骣琪Î琪桫Z 对称，故当0k =时，()g x 关于4π,024骣琪琪桫对称.故π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π7π2π6π3π5π4π24242424242424g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000=++++=18．已知等比数列{}n a 对任意的n +∈N 满足183n n na a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义{}min ,a b 为a ，b 中较小的数，13min ,log 2n n n a b S ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)123n -(2)21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）由递推公式得1183n n n a a --+=，结合等比数列性质与条件等式两式相处，即可求得q ，再令1n =由等式求得1a ，即可根据公式法得通项公式；（2）化简对数式得13log 12na n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，分析n S 与n 1-的大小，即可根据{}min ,a b 定义得n b 的分段函数，即可分段求和.【详解】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，则有()1118131813n n n n n n n n a a a q a a a q +--⎧+=+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=+=⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除化简得11131q q+=+，解得13q =，又()121831a a a q =+=+，可得12a =.∴数列{}n a 的通项公式1112233n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.（2）11213131313n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，则111331111min min ,log min ,221111333313333n n n n n n b n-----⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭-⎪⎪⎪---⎪ ⎪⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎩⎭.令11313n n -->-，即1143n n -->，∵()1143,43n --∈，∴当4n <时，1143n n -->，即11313n n -->-；当4n ≥时，1143n n --<，即11313n n --<-；∴111,41min 31133,43n n n n n b n n ---<⎧⎪⎧⎫=--=⎨⎬⎨-≥⎩⎭⎪⎩.故当4n <，()20122n n nn nT +--==；当4n ≥时，()341111333333n n T n -骣骣骣琪琪琪=+-+-+-++-琪琪琪桫桫桫33111113311111093636311823231813n n n n n n ---轾骣骣犏--琪琪琪琪犏骣桫桫臌琪=-+=--+=×+-琪×桫-.故21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.19．已知平面内一动点P 到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1.(1)求P 点的轨迹方程C ；(2)过点()0,5Q 作直线l 与曲线C 交于,A B （A 点在B 点左侧），求ABF AFO S S +△△的最小值.【正确答案】(1)24x y =或.0(0)x y =<(2)20【分析】（1）设(,)P x y1y =+即可解决；（2）设直线l 为11225,(,),(,)y kx A x y B x y =+，联立方程，结合韦达定理得1220x x -=，由基本不等式解决即可.【详解】（1）由题知，动点P 到定点()0,1F 的距离比它到x 轴的距离多1，设(,)P x y ，所以1PF y =+，当0y ≥1y +，化简得24x y =，当0y <1y -，化简得0x =，所以P 点的轨迹方程为2:4C x y =，或.0(0)x y =<.（2）由题得，过点()0,5Q 作直线l 与曲线C 交于,A B （A 点在B 点左侧），所以由（1）得2:4C x y =，设直线l 为11225,(,),(,)y kx A x y B x y =+，将5y kx =+代入2:4C x y =中得24200x kx --=，所以216800k ∆=+>，即R k ∈，12124,20x x k x x +==-，即1220x x -=，所以ABFAFOAQFBQFAFOSSSSS+=++1212111112()222QF x x OF x x x x =-+=--222224*********x x x x x =++=+≥当且仅当22502x x =，即25x =时，取等号，所以()min20ABFAFO SS+=所以ABF AFO S S +△△的最小值为20.20．已知正项数列{}n a12n a +=，且121a a ==，设n b (1)求证：数列{}n b 为等比数列并求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求数列1n n n b S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n P .【正确答案】(1)()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩(2)12221n n P +=--【分析】（112++=n a 1n nb b +可得数列{}n b 是以12为公比12为首项的等比数列，求出n b 可得()2121+=-n n na a ，再利用累乘法求通项公式可得答案；（2）求出1+⋅nn n b S S 利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）因为n b =1+=n b ，12n a +=12+=n a所以1+=n nb b12=，且112==b ，所以数列{}n b 是以12为公比，12为首项的等比数列，即12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12⎛⎫= ⎪⎝⎭n12+=n ，()2121+=-nn n a a ，所以2n ≥时，()22221324112313721--⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-n nn a a a a a a a a ，即()2222113721-=⨯⨯⨯⨯-n n a ，而此时1n =时，()1121210-=-=a ，所以()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩；（2）由（1）12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11122111212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，11112++⎛⎫=- ⎪⎝⎭n n S 所以11111122111111112222+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥==-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦nn n n n nn n S S b ，所以122311111112111111111111222222+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-++-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n n P 1111122221111122n n n P ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥-⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．已知四棱锥E ABCD -中，44AB CD ==，2AE =，CD AB ∥，AD =45DAB ∠=︒，面ABCD ⊥面ABE，CE =(1)求证：AE CB⊥(2)求面ADE 与面BCE 所成的锐二面角的余弦值【正确答案】(1)证明见解析42【分析】（1）过C 作CG AB ⊥交AB 于G ，连接AC ，根据面面垂直的性质可得CG ⊥面ABE ，从而可得CG AE ⊥，再利用向量法结合数量积的运算律证明AC AE ⊥，从而可得⊥AE 面ABCD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）过D 作⊥DO AB 交AB 于O ，以O 为坐标原点，以AE ，OB，OD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：过C 作CG AB ⊥交AB 于G ，连接AC ，∵面ABCD ⊥面ABE ，且AB 为交线，CG ⊂平面ABCD ，∴CG ⊥面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴CG AE ⊥，∵EC EA AD DC =++ ，∴()22EC EA AD DC =++ ，即()222222EC EA AD DC EA AD DC AD DC =++⋅++⋅+ ，即()174812222cos 45EA AD DC =+++⋅++⋅︒，∴0EA AC ⋅=，即AC AE ⊥，∵,,AC CG C AC CG ⋂=⊂平面ABCD ，∴⊥AE 面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ，∴AE CB ⊥；（2）解：过D 作⊥DO AB 交AB 于O ，∴∥OD CG ，∴DO ⊥面ABE ，由（1）得AE AB ⊥，以O 为坐标原点，以AE ，OB，OD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，由AD =45DAB ∠=︒，得2AO =，2BO =，2DO =，∴()0,2,0A -，()0,2,0B ，()0,0,2D ，()0,1,2C ，()2,2,0E -，∴()2,0,0AE =，()0,2,2AD = ，()0,1,2BC =- ，()2,4,0BE =- ，设面ADE ，面BCE 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z = ，∴1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11120220x y z =⎧⎨+=⎩，令11y =，则()10,1,1n =- ，2200BE n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220240y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令21z =，则()24,2,1n = ，∴121212cos ,n n n n n n ⋅=，∴面ADE 与面BCE所成的锐二面角的余弦值为42.22．换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知0a >，0b >，4a b +=，求33+a b 的最小值.其求解过程可以是：设2a t =-，2b t =+，其中22t -<<，则()()()()3333232322281268126161216a b t t t t t t t t t +=-++=-+-++++=+≥；当0=t 时33+a b 取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.已知平面内一动点P 到两个定点()11,0F -，()21,0F 的距离之和为4.(1)请利用上述方法，求P 点的轨迹方程M ；(2)过轨迹M 与x 轴负半轴交点A 作斜率为k 的直线交轨迹M 于另一点B ，连接2BF 并延长交M 于点C ，若1F C AB ⊥，求k 的值.【正确答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据椭圆定义解决即可；（2）设直线AB 为(2)y k x =+，直线1FC 为1(1)y x k=-+，11(,)B x y ，联立方程解得2226812(,)3434k k B k k -++，得22222124346814134BF k k k k k k k +==---+，得224:(1)14BF k l y x k =--，联立24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，得2(81,8)C k k --，由点C 在椭圆上即可解决.【详解】（1）由题知，平面内一动点P 到两个定点()11,0F -，()21,0F 的距离之和为4，满足椭圆的定义，即P 点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，所以2,1a c ==，所以b =所以P 点的轨迹方程M 为22143x y +=，（2）由（1）得22:143x y M +=，()11,0F -，()21,0F ，因为M 与x 轴负半轴交点A 作斜率为k 的直线交轨迹M 于另一点B ，连接2BF 并延长交M 于点C ，1F C AB⊥所以(2,0)A -，设直线AB 为(2)y k x =+，直线1FC 为1(1)y x k=-+，11(,)B x y ，联立22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2222(34)1616120k x k x k +++-=，所以21216234k x k--+=+，即2126834k x k -=+，所以121234k y k =+，所以2226812(,3434k k B k k -++，所以22222124346814134BF k k k k k k k +==---+，所以224:(1)14BF k l y x k =--，联立24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩，解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩，即2(81,8)C k k --因为点C 在椭圆上，所以()()222818143k k --+=，化简得4219220890k k +-=，解得2124k =或298k =-（舍去），所以k =所以k的值为12.。

2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)

x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN

高二数学热身试卷(必修2与选修二)

高二数学考前热身卷（选修2与必修2）1．已知直线l 上的两点A (－4，1)与B (x ，－3)，并且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值为( C ) A ．－8 B ．－4 C. 0 D. 2错误!未指定书签。

2．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 B（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 3．若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ C ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16 4.下列命题正确的是（ C ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行5．椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（ B ）A.32B.16C.8D.46.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的( A )A 充不必条件B 必不充条件C 充要条件D 既不充也不必条件7．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为( D )A. )1,4,3(- B ．(2,3,1) C ．(－3,1,5) D ．(5,13，－3)8．已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ D ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l9、任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是选C （1）相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心10. 已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，,B BD l β∈⊥，D 为垂足．若2AB =,1AC BD ==，则D 到平面ABC 的距离等于( C)A ．23B ．33C ．63D ．111．下列结论中正确的为________．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；④模为0是一个向量方向不确定的充要条件．解：①不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．②不正确，零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．③正确．④正确12．如图，正方形O /A /B /C /的边长为a ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 8a ．面积是 222a ．13.命题p ：“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件命题q ：已知向量(1,1,0),(1,0,2)a b ==-，2ka b a b +-与互相垂直的充要条件是 75k =，则下列结论：①“p 或q ”为假； ②“p 且q ”为真； ③p 真q 假； ④p 假q 真.则正确结论的序号为④14．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列结论中正确的为②．①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0；②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0；③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0；④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 15．命题①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a ，b ，c 共面，则它们所在直线也共面；③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；上述命题中真命题的个数是_0__．16、已知：p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围。

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题

苏教版高二上学期数学期末模拟测试题最新的苏教版高二上学期数学期末模拟测验一、函数与基本初等函数本部分主要考察学生对函数概念的理解，以及基本初等函数的性质和表达式的掌握。

题目可能包括指数函数、对数函数和三角函数等，并考察它们在日常生活中的应用。

二、三角函数与解三角形本部分主要考察学生对三角函数概念的理解，以及解三角形问题的解决方法。

题目可能包括三角函数的求值、证明角的关系等，并考察学生对于正弦定理、余弦定理等知识的运用。

三、数列本部分主要考察学生对数列概念的理解，以及等差数列和等比数列的性质和证明方法。

题目可能包括数列的通项公式、求和公式等，并考察学生对于数学归纳法、不等式证明等知识的运用。

四、平面向量本部分主要考察学生对平面向量概念的理解，以及向量的加减法、数量积和投影等。

题目可能包括向量的坐标表示、求向量的模等，并考察学生对于向量的几何意义、物理意义等知识的运用。

五、立体几何初步本部分主要考察学生对立体几何基本概念的理解，以及空间几何体的性质和证明方法。

题目可能包括空间几何体的表面积、体积等，并考察学生对于空间向量、直线与平面位置关系等知识的运用。

六、统计与概率本部分主要考察学生对统计和概率基本概念的理解，以及数据处理方法和一些常见分布。

题目可能包括统计图的绘制、概率计算等，并考察学生对于独立性检验、线性回归等知识的运用。

七、算法初步与框图本部分主要考察学生对算法概念的理解，以及流程控制结构和一些常见算法。

题目可能包括程序框图的识别、简单算法的描述等，并考察学生对于逻辑运算、循环结构等知识的运用。

此外，还可能考察算法在日常生活中的应用，例如用程序解决实际问题等。

2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末考前热身数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省镇江市高二上册期末考前热身数学模拟试题一、单选题1．设a R ∈，若直线1:280l ax y +-=与直线2:(1)50l x a y +++=平行，则a 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【正确答案】C【分析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】10a +=时，容易验证两直线不平行，当10a +≠时，根据两直线平行的条件可知：28115a a -=≠+，解得1a =或2a =-.故选：C.2．函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=（）A ．12B ．1C ．2D ．0【正确答案】C【分析】利用切线斜率和切点坐标直接求解【详解】由题意可知(5)1f '=-，将5x =代入切线方程，得(5)583f =-+=，所以(5)(5)3(1)2f f '+=+-=．故选：C3．设m 为实数，直线()1y m x =-和圆22:0C x y y +-=相交于P ，Q 两点，若PQ =则m 的值为（）A ．1-或17-B ．1-C ．17-D ．18【正确答案】A【分析】由圆的方程写出圆心和半径，利用圆心到直线的距离求出弦心距，再结合弦长，半径，弦心距的关系求解.【详解】解：圆22:0C x y y +-=，即221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r =，所以圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭到直线()1y m x =-的距离为d由弦长公式得2==PQ ，则2218-=r d ，即21148-=d ，解得218=d ，所以22211218⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+m d m ，即22111488++=+m m m ，即271088++=m m ，解得1m =-或17m =-.所以m 的值为1-或17-．故选：A ．4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A ．4132B ．3132C ．132D ．142【正确答案】C【分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】用{}n a 表示这个数列，依题意11a =，132a =，则121312a q a ==，1122q =，第四个数即41143125122a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：C.5．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，nT 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713nnSn Tn-=，则55a b =（）A ．3415B ．2310C ．317D ．6227【正确答案】D利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解.【详解】由713n n S n T n-=，()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯.故选：D6．已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点F 恰为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个顶点，C 的另一顶点为A ，C 与E 在第一象限内的交点为()4,P m ，若||5PF =，则直线PA 的斜率为（）A ．43-B ．43C ．45-D ．45【正确答案】D【分析】根据题意，列出,,p a m 的方程组，解得,m a ，再利用斜率公式即可求得结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题可知2p a =；又点()4,P m 在抛物线上，故可得28m p =；又5PF ==，联立方程组可得248252p p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，整理得()()1820p p +-=，解得18p =-（舍）或2，此时1,4a m ==，又()()4,,,0P m A a -，故直线PA 的斜率为445m a =+.故选：D.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点(5,)P a -作圆222210x y ax y +-+-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是（）A ．3B ．3或2-C ．3-或2D ．2【正确答案】B 【分析】2112211220y y x x x x y y -+-+=-+实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而得到四点共线，即可求解.【详解】设MN 中点为()00,Q x y ，(1,0)T ，圆心(,-1)R a ，根据对称性，则MN PR ⊥，00121200221212TQx x x x y y y y k --+-===+因为2121122121122,0MN y y y y x x k x x x x y y --+-=+=--+所以·1MN TQ k k =-，即MN TQ ⊥，因为, , , P Q R T 共线，所以PT RT k k =，即161a a=--，化简得260a a --=，解得3a =或2a =-.故选B.本题考查圆与直线应用；本题的关键在于2112211220y y x x x x y y -+-+=-+本质的识别，再结合图形求解.8．已知函数()()ln ,021e ,0xx x x f x x x x +>⎧=⎨-++≤⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 存在三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．230,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．230,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．320,e -⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】根据题意，当0x >时，()()g x f x x a =--有一个零点，进而将问题转化为当0x ≤时，()21e x x a -+=有两个实数根，再研究函数()()21e ,0xh x x x =-≤+即可得答案.【详解】解：因为()g x 存在三个零点，所以方程()f x x a =+有三个实数根，因为当0x >时，由()f x x a =+得ln x a =，解得e a x =，有且只有一个实数根，所以当0x ≤时，()f x x a =+有两个实数根，即()21e xx a -+=有两个实数根，所以令()()21e ,0x h x x x =-≤+，则()()0'3,2e xh x x x =-+≤，所以当32x <-时，()'0h x >，()h x 单调递增，当302x -<≤时，()'0h x <，()h x 单调递减，因为(),0x h x →-∞→，()01h =-，()32max32e 02h x h -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，所以()()21e ,0xh x x x =-≤+的图象如图所示，所以()21e xx a -+=有两个实数根，则320,2e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B二、多选题9．（多选）下列说法正确的是（）A ．()1xf x x e =+的最小值为1B ．()()0xe f x x x>=的最小值为1C ．()()ln 0f x x x x =->的最小值为1D ．()()10xf x xex =>的最小值为1【正确答案】AC【分析】利用导数分析函数的单调性，由此确定函数的最值.【详解】对于A ，因为()1x f x x e =+，所以()111x x x e f x e e-'=-=，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 的最小值为()01f =，A 选项正确；对于B ，因为()()0xe f x x x >=，所以()()21x e x f x x-'=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()f x 的最小值为()1f e =，B 选项错误；对于C ，因为()()ln 0f x x x x =->，所以()111x f x x x-'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()f x 的最小值为()11f =，C 选项正确；对于D ，因为()()10xf x xex =>，所以()()111211xxxx e f x exe x x -⎛⎫'=+⋅-=⎪⎝⎭，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()f x 的最小值为()1f e =，D 选项错误．故选：AC ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y =±C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【正确答案】BC【分析】由离心率公式22222c a b a a +=化简可得渐近线方程，通过求圆心A 到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN ∠的值.【详解】双曲线2222:1y ,x y b C x a b a -==±的渐近线方程为离心率为3c a =222222222411,,333c a b b b b a a a a a 则则，+==+===±故渐近线方程为y =，取MN 的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d AP ab c==,则cos ab AP a c PAN AN b c∠===，所以221cos cos 2212a MAN PAN c ∠=∠=⨯-=则60MAN ∠=︒故选BC本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B .点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为10C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为9【正确答案】AD【分析】由题意可设点(),P x y ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设00(,)M x y ，()222200002x y x y +=++C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此可判断D 选项.【详解】解：由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，12PAPB =，()()22222124x y x y ++=-+，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 正确；点（1，1()()22411+0410---+<，故不存在点D 符合题意，故B 错误.设00(,)M x y ，由2MO MA ==()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，故C 错误；C 的圆心（-4，0）到直线34130x y --=的距离为()341355d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最大距离549d r +=+=，故D 正确；故选：AD.12．已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，()*12n n n b b n +⋅=∈N ，则下列说法正确的有（）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n nS T <D ．22n nS T ≥【正确答案】ABC【分析】对于A ，由数列{}n a 为递增数列，12n n a a n ++=，可得12123212242a a a a a a a +>⎧⎨+>=-⎩，从而可求得1a 的范围，对于B ，由数列{}n b 为递增数列，12n n b b n +⋅=，可得31212,2.b b b b =⎧⎪⎨=⎪⎩从而可求出1b 的取值范围，对于CD ，求出222n S n =，()()21221n n T b b =+-，然后比较即可.【详解】∵数列{}n a 为递增数列；123a a a ∴<<；12n n a a n ++=，122324a a a a +=⎧∴⎨+=⎩，12123212242a a a a a a a +>⎧∴⎨+>=-⎩，101∴<<a ；故A 正确．221234212()()()26102(21)2n n n S a a a a a a n n -∴=++++⋯++=+++⋯+-=；因为数列{}n b 为递增数列；123b b b ∴<<，12n n b b n +⋅=，122324b b b b =⎧⎨=⎩，31122,2,b b b b ⎧=⎪∴⎨⎪⋅=⎩即312122b b b b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以21132113112,222b b b b b b b b b b ⎧=>⎪⎪⎪>⇒>⎨⎪⎪=>⎪⎩，所以11210,112b b b >⎧⇒<<⎨<<⎩所以B 正确；2122n nT b b b =++⋯+13521242()()n n b b b b b b b -=+++⋯++++⋯+()()()()12121212211212nnn b b b b ⋅--=+=+---))2121n n>-=-；所以对于任意的*22,n n n S T ∈<N ；故C 正确，D 错误．故选：ABC三、填空题13．直线y kx =是曲线ln y x x =+的切线，则k =______.【正确答案】11e+【分析】设切点坐标为(),ln t t t +，利用导数写出切线的方程，与直线方程y kx =对比，可出关于t 、k 的方程，解之即可.【详解】设切点坐标为(),ln t t t +，其中0t >，对函数ln y x x =+求导得11y x'=+，所以，切线斜率为11k t=+，所以，曲线ln y x x =+在x t =处的切线方程为()1ln 1y t t x t t ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，即11ln 1y x t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以，11ln 10k t t ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，解得e11e t k =⎧⎪⎨=+⎪⎩.故答案为.11e+14．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列{},n a 则10a =___________.（填数字）【正确答案】55【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到(1)1232n n n a n +=+++⋯+=，即可得解．【详解】解：由题意可知，11a =，21212a a =+=+，323123a a =+=++，⋯，1123n n a a n n -=+=+++⋯+，故(1)1232n n n a n +=+++⋯+=，所以1010(101)a 552⨯+==，故5515．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．【正确答案】6【分析】由题意可知12AF F △为等边三角形，DE 为线段2AF 的垂直平分线，利用定义转化ADE V 的周长为4a ，即可求出a ，b ，c ，设DE的方程为()3y x c =+，联立椭圆方程2222143x y c c +=，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可.【详解】如图，连接122,,AF DF EF ，因为C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以22223b a c c =-=，因为12122AF AF a c F F ====，所以12AF F △为等边三角形，又2DE AF ⊥，所以直线DE 为线段2AF 的垂直平分线，所以2AD DF =，2AE EF =，则ADE V 的周长为22||||||||AD AE DE DF EF DE ++=++2211DF EF DF EF =+++134134a a ==⇒=，138c ∴=，而1230EF F ︒∠=，所以直线DE 的方程为)3y x c =+，代入椭圆C 的方程2222143x y c c+=，得22138320x cx c +-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21212832,1313c c x x x x +=-=-，所以48613c DE ===，故6.四、双空题16．已知圆()()221:231C x y ++-=，圆()()222:321C x y -+-=，动点P 在x 轴上，动点M ，N 分别在圆1C 和圆2C 上，则圆1C 关于x 轴的对称圆的方程为___；PM PN +的最小值是____【正确答案】()()22231x y +++=2【分析】求出圆1C 的圆心坐标关于x 轴的对称点坐标，即可得圆1C 关于x 轴的对称圆1C '的方程；由题意，根据对称性，1211PM PN C C '+≥--即可得答案.【详解】解：因为圆()()221:231C x y ++-=，所以圆心坐标为1C ()2,3-，半径为1，因为圆心1C ()2,3-关于x 轴的对称点为1C '()2,3--，所以圆1C 关于x 轴的对称圆的方程为()()22231x y +++=；由题意，设动点M 关于x 轴的对称点为M '，则M '在圆1C 的对称圆上，所以1211252PM PN PM PN C C ''+=+≥--==.故()()22231x y +++=；2.五、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，4），直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，圆心也在直线1y x =-上.(1)求圆C 的方程；(2)过点A 作圆C 的切线，求切线的方程.【正确答案】(1)()()22321x y -+-=(2)2x =或34220x y +-=【分析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.【详解】（1）由圆心C 在直线l ：24y x =-上可设：点(),24C a a -，又C 也在直线1y x =-上，∴241a a -=-，∴3a =又圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为()()22321x y -+-=.（2）当直线垂直于x 轴时，与圆C 相切，此时直线方程为2x =.当直线与x 轴不垂直时，设过A 点的切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=1=，解得34k =-.此时切线方程为34220x y +-=，.综上所述，所求切线为2x =或34220x y +-=18．已知函数()3222a f x x x bx =-++.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为3210x y -+=，求a ，b 的值；（2）当02a <<，0b =时，记()f x 在区间[]0,1上的最大值为M ，最小值为N ，求M N -的取值范围.【正确答案】（1）112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）4,127⎛⎫⎪⎝⎭.（1）直接利用函数的导数的几何意义可得()12f =，()312f '=，从而求出函数的关系式中的a 和b 的值．（2）利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值和最值，可得31542a aM N -=-+进一步利用导数求出结果．【详解】（1）由题知，()23f x x ax b '=-+，()12f =，()312f '=．即3321222a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（2）当02a <<，0b =时，()3222a f x x x =-+，()23f x x ax '=-令()0f x ¢<，即230x ax -<，解得03ax <<因为02a <<，所以20133a <<<所以函数()f x 在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()323min 223272954a aa a a f x f ⎛⎫==-⨯+=- ⎪⎝⎭，即3254a N =-因为()02f =，()132a f =-．()()20102a f f --=<所以()()max 132a f x f ==-，即32a M =-所以33321254542a a a aM N -=--+=-+令()()3102542a ag a a =-+<<则()221918218a a g a -'=-=<即函数()g a 在()0,2上单调递减所以()()()20g g a g <<，即()4271g a <<，所以M N -的取值范围是4,127⎛⎫⎪⎝⎭本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()2n n b n a =+，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n ∈N 使得214n n T a λ+⋅≥成立，求λ的取值范围．【正确答案】(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)94≤λ-【分析】（1）结合1n n n a S S -=-，可证明{}n a 是等比数列，求解即可；（2）乘公比错位相减法求和可得n T ，代入214n n T a λ+⋅≥，化简可得724n λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤恒成立，结合单调性求解即可.【详解】（1）∵23n n S a +=，当1n =可得111231a a a +=⇒=，()()11123302232n n n n n n S a a a n S a n ---+=⎧⇒-=≥⎨+=≥⎩，∴()1123n n a n a -=≥，即{}n a 是以1为首项，13q =的等比数列，∴1111133n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）∵()()11223n n n b n a n -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∴()0121111134523333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()12111111341233333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相减：()121211113233333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111331771321322313n n n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴2132114243nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴214n n T a λ+⋅≥,∴1213211211424343nn n λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥,即存在*n ∈N 使724n λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤成立,∵随着n 增大，724n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在减小,∴当1n =时，179244λ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭≤.20．已知函数()()3143f x ax x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，12,x x ⎡∀∈⎣且12x x ≠，都有()()1212ln ln f x f x m x x -<-成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）答案见解析；（2）)+∞.（1）求得函数的导数()24f x ax '=-，分类0a =，a<0和0a >，三种情况讨论，即可求解.（2）当1a =时，不妨设121x x ≤<≤1）得到()()12f x f x >，12ln ln x x <，把不等式()()1212ln ln f x f x m x x -<-，转化为()()1122ln ln f x m x f x m x +<+对任意的12,x x ⎡∈⎣成立，进而转化为34m x x ≥-+对x ⎡∈⎣恒成立，构造函数()34h x x x =-+，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()3143f x ax x a R =-∈，可得()24f x ax '=-，①当0a =时，()4f x x =-在R 上单调递减；②当a<0时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减；③当0a >时，令()0f x ¢>，即240ax ->，解得x<x >令()0f x '<，即240ax -<，解得x<所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增，在(单调递减（2）当1a =时，函数()3143f x x x =-，由（1）可知()f x 在⎡⎣单调递减，不妨设121x x ≤<≤()()12f x f x >，12ln ln x x <所以()()1212ln ln f x f x m x x -<-，即()()()1221ln ln f x f x m x x -<-，即()()1122ln ln f x m x f x m x +<+对任意的12,x x ⎡∈⎣成立，所以()()ln g x f x m x =+在⎡⎣单调递减，则()()240m mg x f x x x x=+=-+'≥'，即34m x x ≥-+对x ⎡∈⎣恒成立，令()34hx x x =-+，可得()234h x x'=-+，令()0h x '>，即2340x -+>，解得x <<令()0h x '<，即2340x -+<，解得x <x >所以()h x 在⎛ ⎝单调递增，在2⎫⎪⎭单调递减，当x =()h x 取得最大值，最大值为()max h x h ==所以9m ≥，即实数m 的取值范围[)9+∞.对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.21．如图，已知点12,F F 分别是椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且12(0)λλ=>F A F B ，连接21,AF BF ，且21,AF BF 交于点Q ．(1)当2λ=时，求点B 的横坐标；(2)若ABQ 的面积为12，试求1λλ+的值．【正确答案】(1)74；(2)8231.【分析】（1）设出点A ，B 的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.（2）延长1AF 交椭圆C 于D ，可得122=△AF F B ADF S S ，再结合图形将2ADF S用ABQ 的面积及λ表示，设出直线AD 方程，与椭圆C 的方程联立，借助韦达定理求出2ADF S即可求解作答.【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，依题意，12(1,0),(1,0)F F -，由122F A F B =，得121212()21,x x y y +=-=，即1212232x x y y -=-⎧⎨=⎩，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2211222214344443x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222121244343--+=-x x y y ，即有()()()()121212122222343+-+-+=-x x x x y y y y ，则()123234-+=-x x ，即1224+=x x ，由12122324x x x x -=-⎧⎨+=⎩得274x =，所以点B 的横坐标为74．（2）因12//F A F B，则121BAF F AF SS=，即有12=△△AQB QF F S S ，记120==△△AQB QF F S S S ，11=△QAF S S ，22=△QBF S S ，则11022||λ===F A S AQ S QF F B ，即10λ=S S ．同理201λ=S S ，而121202++=AF F B S S S S ，连BO 并延长交椭圆C 于D ，连接12,DF DF ，如图，则四边形12BF DF 为平行四边形，21//BF DF ，有点D 在直线1AF上，因此21=BF F D ，11λ=AF F D ，122=△AF F B ADF S S ，因此220000011(1)2(2)ADF SS S S S S λλλλλλ+=++=++=，即202(1)λλ=+△ADF S S ，设直线:1AD x ty =-，点33(,)D x y ，有13λ=-y y ，即22233113131131313(21)()y y y y y y y y y y y y y y λλ++-+=-+=--，则()2131312λλ+--=y y y y ，由2213412x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：()2234690t y ty +--=，有13132269,3434+==-++t y y y y t t，212131312=-=-=△ADF S F F y y y y ()221321314234λλ+--==-+y y t y y t ，则22114803t t λλ++=+，于是得2202111(1)22ADF ADF S SSλλλλ==⋅==+++，解得254t =，所以51081824531344λλ⨯++==⨯+．结论点睛：过定点(0,)A b 的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则OMN 面积121||||2OMNSOA x x =⋅-；过定点(,0)A a 直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点11(,)M x y ，22(,)N x y ，则OMN 面积121||||2OMNSOA y y =⋅-.22．已知函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x b =-+，(),R a b ∈.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若关于x 的方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，证明.12x x a+>【正确答案】（1）2a =（2）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，()f x在上递减，在)+∞上递增（3）证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义可得结果；（2）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得结果；（3）不妨设211x x >>，由21112222(2)ln (2)ln x a x a x b x a x a x b ⎧+--=⎨+--=⎩求出22121212122()ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，将不等式12x x a +>化为1121222(1)ln1x x x x x x -<+，令12x t x =，转化为证明2(1)ln 1t t t -<+(01)t <<，然后构造函数，利用导数知识可证不等式成立.【详解】（1）因为()2ln f x x a x =-，所以22()2(0)a x af x x x x x-'=-=>，依题意可得(1)20f a '=-=，得2a =.（2）22()2(0)a x af x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，当0x <<()0f x '<，当x ()0f x '>，所以()f x在上递减，在)+∞上递增.综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为增函数；当0a >时，()f x在上递减，在)+∞上递增.（3）因为关于x 的方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，所以2ln (2)x a x a x b -=-+，即2(2)ln x a x a x b +--=在区间()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设211x x >>，所以21112222(2)ln (2)ln x a x a x bx a x a x b ⎧+--=⎨+--=⎩，所以22121212(2)()(ln ln )0x x a x x a x x -+----=，所以22121212122()ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-，要证12x x a +>，即证12x x +>22121212122()ln ln x x x x x x x x -+--+-，因为21x x >，所以12120,ln ln 0x x x x -<-<，所以1212ln ln 0x x x x -+-<，所以只需证22121212121212()()()(ln ln )2()x x x x x x x x x x x x +-++-<-+-，即要证1121222(1)ln 1x x x x x x -<+，令12xt x =，因为21x x >，所以01t <<，所以只需证2(1)ln 1t t t -<+(01)t <<，令2(1)()ln 1t h t t t -=-+(01)t <<，则212(1)2(1)()(1)t t h t t t +--'=-+2222214(1)4(1)0(1)(1)(1)t t t t t t t +--=-==>+++，所以()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=，即2(1)ln 1t t t -<+(01)t <<，所以12x x a +>.关键点点睛：第（3）问中，求出22121212122()ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-是第一个关键点，将所证不等式转化为2(1)ln 1t t t -<+(01)t <<是第二个关键点.。

高二数学期末考前热身训练一

高二数学期末考前热身训练一2006年12月一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知01,0<<->b a ，则2,,ab ab a 的大小关系是（）A ．ab ab a >>2B ．a ab ab >>2C ．ab a ab >>2D ．a ab ab >>22．已知两定点)0,1(),0,1(21F F -,且||21F F 是||1PF 与||2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段3．若双曲线的渐近线方程为043=±y x ，则双曲线的离心率为（） A ．45 B ．35 C ．45或35 D ．54或534．焦距是10，虚轴长是8，过点)4,23(的双曲线的标准方程是（）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 5．若点),4(a A 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则（） A ．91<<-a B ．100≤≤a C ．85<<a D ．62≤≤-a6．若方程151022=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A ．)10,5( B ．)10,215(C ．)215,5(D ．)215,5(或)10,215( 7．如果命题“p 或q ”为真命题，则（）A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．⌝p ，⌝q 中至少有一个为假命题D ．⌝p ，⌝q 中至多有一个为假命题8．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知不等式052>+-b x ax 的解集为}23|{<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集为（） A ．}2131|{<<-x x B ．}2131|{>-<x x x 或 C ．}23|{<<-x x D ．}23|{>-<x x x 或10．已知曲线122=+by a x 和直线为非零实数）b a by ax ,(01=++，在同一坐标系中，它们的图形可能是（）11．以双曲线191622=-y x 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（） A ．25)7(22=+-y x B ．9)5(22=+-y x C ．3)5(22=+-y x D ．4)7(22=-+y x12．21,B B 是椭圆短轴的两个端点，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，O 是坐标原点，若||21B F 是||1OF 和||21B B 的等比中项，则||||21OB PF 的值是（）A ．2B ．22 C ．23 D ．32二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．两条直线4+=ax y 与02=--y x 的交点在第一象限，则a 的范围是___________。

苏教版南通市高二数学期末热身练习(理科)(无答案)

高二数学期末热身练习一、填空题：()14570⨯=1.若复数()()2563i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m =2．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 3．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是4. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为，则四面体11A B CD -的外接球的体积为 5. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为6. 点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为7. 已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R.命题q ：函数xa y )25(--=是R 上的减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是8．以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 9. 函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 10. 若直线4mx ny +=和圆O ：224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22154y x +=的交点的个数为 11．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则12根据下面一组等式：123451,235,45615,7891034,111213141565,s s s s s ==+==++==+++==++++=…………可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+=13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =14．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是二、解答题：（14+14+15+15+16+16）15.抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，使AF BF λ+=0，25||4AB =．求直线AB 的方程；16．（本题满分14分）如图，ABCD 为直角梯形，∠C =∠CDA =90，AD =2BC =2CD ，P 为平面ABCD 外一点，且PB ⊥BD ． ⑴ 求证：P A ⊥BD ；(2) 若PC 与CD 不垂直，求证:PA PD ≠；D CBAlP17.（用空间向量做）如图所示，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2. （1）求异面直线PC 与BD 所成的角；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.18．已知圆A ：22(1)4x y -+=与x 轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与y 轴正半轴交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆。

河南省2020学年高二数学上学期期末考前拉练试题一理

高二期末考前拉练数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．不等式＞1的解集为（）A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）2．a ＞b 的一个充分不必要条件是（）A ．a =1，b =0B ．ba 11< C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 33．在△ABC 中，若a =1，b =2，cos A =322，则sin B =（）A ．B ．C ．D ．4．等比数列{a n }中，a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则a 6=（）A ．16B ．32C ．64D ．1285．两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离分别是a km 和2a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 之间的距离为（） A ． a km B ．2a km C ． a km D ． a km 6．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足113A =，113FD C =，则BE 与DF 所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1009a =1，则S 2017（）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20178．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若O 为坐标原点，则•=（）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣49．设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．10．在△ABC 中，若BC =2，A =120°，则•的最大值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣11．正实数ab 满足+=1，则（a +2）（b +4）的最小值为（）A ．16B ．24C ．32D ．4012．圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为（）A ．一个点B ．椭圆C ．双曲线D ．以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题“⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∃34ππ，x ，m x ≤tan ”的否定为_______________________________． 14．若x ，y 满足⎩⎨⎧≤+≤≤12y x xy x ，则z =x +2y 的取值范围为_____________________．15．已知F 为双曲线C ：﹣=1的左焦点，A （1，4），P 是C 右支上一点，当△APF 周长最小时，点F 到直线AP 的距离为________________． 16．若数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n•a n =2n ﹣1，则{a n }的前40项和为_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设f （x ）=（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1．（1）当m =1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若不等式f （x ）+1＞0的解集为，求m 的值．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C 的对边，a 2﹣c 2=b 2﹣，a =6，△ABC的面积为24．（1）求角A 的正弦值；（2）求边b ，c ．19．（12分）S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a n 2+a n =2S n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．参考答案一、选择题1．B\ 2．A 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．D 二、填空题13．∀x∈[﹣，]，tan x＞m 14．[0，] 15．16． 820三、解答题17．解：（1）当m=1时，不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0⇒x（2x﹣1）＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0∵不等式f（x）+1＞0的解集为，所以是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根因此⇒．18．解：（1）由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣①，整理得cos A==，则sin A==；（2）∵S=bc sin A=24，sin A=，∴bc=80，将a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．19．解：（1）由题得a n2+a n=2S n，a n+12+a n+1=2S n+1，两式子相减得：结合a n＞0得a n+1﹣a n=1，令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，即a n=n（2）因为b n==（n≥2），所以T n=+…+①T n=+…++②①﹣②得T n=1++…+﹣=﹣，所以数列{b n }的前n 项和T n =3﹣．20．考点双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．解 (1)∵双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，λ≠0， ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)∵点M (3，m )在此双曲线上，由(1)知96－m26＝1，解得m ＝± 3.∴M (3，3)或M (3，－3)， ∵F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴当M (3，3)时，MF 1→＝(－23－3，－3)，MF 2→＝(23－3，－3)， ∴MF 1→·MF 2→＝－12－63＋63＋9＋3＝0；当M (3，－3)时，MF 1→＝(－23－3，3)，MF 2→＝(23－3，3)， MF 1→·MF 2→＝－12－63＋63＋9＋3＝0. 故MF 1→·MF 2→＝0. 21．解：（1）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面为边长为1的正方形，侧棱AA 1=2，∴以点D 为坐标原点O ，DA ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， D （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，1，），C （0，1，0），，=（0，1，），=（0，1，0），设平面ADB 1的法向量为，则，取z =1，得=（0，﹣，1），设直线DC 与平面所ADB 1成角为θ，则sin θ=|cos ＜＞|==，∵θ∈[0，]，∴θ=，∴直线DC 与平面ADB 1所成角的大小为．（2）假设存在点P （a ，b ，c ），使得二面角A ﹣B 1C 1﹣P 的大小为30°，设=，由A 1（0，0，），得（a ﹣1，b ，c ）=λ（﹣a ，﹣b ，），∴，解得，B1（0，1，），C1（﹣1，1，），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，﹣），设平面的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，﹣，1），由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣，1），∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°===．由λ＞0，解得λ=2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．22．解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由=得x0=x，y0=y因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即=1，其离心率e=．（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+≤4，当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值=.。

高二数学上学期期末热身试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某省某某市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）1．（4分）《几何原本》的作者是（）A．欧几里得B．阿基米德C．阿波罗尼奥斯D．托勒玫2．（4分）南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（）喜欢甜品不喜欢甜品合计女生60 20 80男生10 10 20合计70 30 100A．1，6 B．2，12 C．2，4 D．4，163．（4分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为194．（4分）下列说法中正确的是（）A．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率．B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为C．事件A，B至少有一个发生的概率不一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大D．若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件5．（4分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为（）A．B．C．D．6．（4分）已知双曲线的右焦点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（）A．4 B．6 C．8 D．167．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（4分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4 B． 1 C．6﹣2D．10．（4分）设A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若，则该椭圆离心率的取值X围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．（4分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P′，则|PP′|=．12．（4分）若直线y=ax﹣1（a为常数）与直线2ρ（cosθ+sinθ）=1平行，则a=．13．（4分）如图，输出结果为．14．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值X围是．15．（4分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）若∠F1MF2=90°，则S=32；（3）当x＜0时，△F1MF2的内切圆圆心在直线x=﹣3上；（4）设A（6，1），则|MA|+|MF2|的最小值为；其中正确命题的序号是：．三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（10分）南山中学2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到0.01）；（2）从成绩介于两组的人中任取2人，求两人分别来自不同组的概率．17．（10分）三角形的三个顶点是A（﹣4，0），B（2，4），C（0，3），点D为AB边所在直线上一点，（1）求AB边的中线所在直线l的方程；（2）若直线l是∠ACD的角平分线，求直线CD的方程．18．（10分）已知圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求弦AB的长；（2）当弦AB被P0平分时，圆M经过点C（3，0）且与直线AB相切于点P0，求圆M的标准方程．19．（10分）已知F1，F2分别为椭圆=1（a＞b＞0）左、右焦点，点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6；（1）求椭圆的标准方程；（2）E、F是曲线C上异于点P的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．某某省某某市南山中学2014-2015学年高二上学期期末热身数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）1．（4分）《几何原本》的作者是（）A．欧几里得B．阿基米德C．阿波罗尼奥斯D．托勒玫考点：古希腊数学．专题：立体几何．分析：《几何原本》的作者是欧几里得即可得出．解答：解：《几何原本》的作者是欧几里得．故选：A．点评：本题考查了数学史《几何原本》的作者，属于基础题．2．（4分）南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（）喜欢甜品不喜欢甜品合计女生60 20 80男生10 10 20合计70 30 100A．1，6 B．2，12 C．2，4 D．4，16考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出抽样比例是多少，再计算样本中喜欢吃甜食的男生人数与女生人数是多少．解答：解：根据题意，得；抽取20人组成样本时的抽样比例是=，∴样本中喜欢吃甜食的男生人数是10×=2，女生人数是60×=12．故选：B．点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了识图、用图的能力，是基础题目．3．（4分）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为19考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和方差即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得中位数是=84，∴A错误；众数是83，∴B错误；平均数是=85，∴C正确；方差是=19.7，∴D错误．故选；C．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．4．（4分）下列说法中正确的是（）A．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率．B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为C．事件A，B至少有一个发生的概率不一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大D．若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：A，利用频率与概率的概念及其关系可判断A；B，依题意，利用系统抽样的方法可求得每人被抽中概率为，从而可判断B；C，举例说明，抛骰子，事件A={三点}，事件B={四点}，事件A，B至少有一个发生的概率为，事件A，B中恰有一个发生的概率也是，可判断C；D，举例说明，a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5，满足P（A）+P（B）=1，但AB不对立，可判断D．解答：解：对于A，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，但频率不是概率，故A 错误；对于B，要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为×=，故B错误；对于C，举例说明，如抛骰子，事件A={三点}，事件B={四点}，事件A，B至少有一个发生的概率为P1==，事件A，B中恰有一个发生的概率P2=，二者相等，故C正确，对于D，若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则事件A，B互为对立事件，错误．例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5，P（A）+P（B）=1，但A，B不是对立事件．综上所述，四个选项中说法正确的是C．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查概率的概念、系统抽样、对立事件等概念的理解与应用，属于中档题．5．（4分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：分别求出所有结果以及满足甲、乙两人相邻而站的结果，从而得到答案．解答：解：若甲、乙、丙三人随机地站成一排共种结果，甲、乙两人相邻而站有•种结果，∴P==，故选：D．点评：本题考查了古典概型及其概率的计算公式，是一道基础题．6．（4分）已知双曲线的右焦点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（）A．4 B．6 C．8 D．16考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得p=4，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，解方程，即可得到所求值．解答：解：双曲线的右焦点为（2，0），抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），则2=，解得，p=4．则抛物线方程为y2=8x，准线方程为x=﹣2，由抛物线的定义，可得|AF|=x0+2=x0，解得，x0=8．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查抛物线的定义及运用，考查运算能力，属于基础题．7．（4分）下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：伪代码．专题：计算题．分析：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．解答：解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故选B；点评：本题考查当型循环结构，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握当型循环结构的运算法则．8．（4分）如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由8部分组成，每一部分是由边长为的正方形面积减去半径为的四分之一圆的面积得到．解答：解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形ABCD的边长为2，∵试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2×2=4，空白区域的面积是2（4﹣π）=8﹣2π，∴阴影区域的面积为4﹣（8﹣2π）=2π﹣4∴由几何概型公式得到P==﹣1，故选B．点评：本题考查几何概型、等可能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答．9．（4分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4 B． 1 C．6﹣2D．考点：圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．10．（4分）设A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若，则该椭圆离心率的取值X围为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：由题设条件结合椭圆的对称性推导出|AF|+|BF|=2a，|AB|=2c，设∠ABF=α，则能推导出2csinα+2ccosα=2a，由此能求出结果．解答：解：∵A为椭圆上一点，点A关于原点的对称点B，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a …①∵O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，设∠ABF=α，则|AF|=2csinα …②|BF|=2ccosα …③②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α=，∴，∴，∴≤sin（α+）≤1∴．故选D．点评：本题考查椭圆的离心率的取值X围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，是中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．（4分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yOz平面对称的点为P′，则|PP′|=4．考点：空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，求出P′的坐标，然后求解距离即可．解答：解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P′：（﹣2，3，5）．|PP′|=2+2=4．故答案为：4．点评：本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，距离公式的应用，属于基础题．12．（4分）若直线y=ax﹣1（a为常数）与直线2ρ（cosθ+sinθ）=1平行，则a=﹣1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用直线平行的充要条件求出结果．解答：解：直线2ρ（cosθ+sinθ）=1转化成直角坐标方程为：2x+2y﹣1=0所以直线的斜率为k=﹣1，由于两直线平行则：a=k=﹣1．故答案为：﹣1点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线平行的充要条件．属于基础题型．13．（4分）如图，输出结果为9．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题；概率与统计．分析：根据题意，i的初始值为1，S的初始值为0，该框图的含义是：判断S是否满足小于或等于20，当不满足条件时输出i的值．由此规律，将循环体执行4次后不满足条件，输出最后的i值．解答：解：第一步：S=0≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=3，S=3；第二步：S=3≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=5，S=8；第三步：S=8≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=7，S=15；第四步：S=15≤20，用i+2代替i，S+i代替S，得i=9，S=22；第五步：S=22＞20，输出最后一个i，将i=9输出故答案为：9点评：本题给出一个循环结构的框图，求输出的最后结果．着重考查了算法的一般原理和循环结构的理解等知识，属于基础题．14．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值X围是∴e≥2，故答案为：，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到0.01）；（2）从成绩介于两组的人中任取2人，求两人分别来自不同组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图能求出众数落在第三组组有3人；设分析：（1）利用点P（1，y0）在椭圆上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的周长为6，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）设直线PE方程代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，求出E，F的坐标，由此能证明直线EF的斜率为定值．解答：解：（1）由题意，F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，…（1分）C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…（2分）∴…（3分）∴椭圆方程为…（4分）（2）由（1）知，设直线PE方程：得y=k（x﹣1）+，代入，得（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0…（6分）设E（x E，y E），F（x F，y F）．∵点P（1，）在椭圆上，∴x E=，y E=kx E+﹣k，…（12分）又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以﹣k代k，可得x F=，y F=﹣kx F++k，…（13分）∴直线EF的斜率k EF==．即直线EF的斜率为定值，其值为…（15分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017--2018学年高二数学第一学期期末热身测试试题

2017--2018学年第一学期期末热身测试试题高二数学(试卷满分：160分，考试时间：120分钟)一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．双曲线=1的渐近线方程是．3．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．4．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．6．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．7．已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．8．如图，是一个算法伪代码，若输入5，则输出的y值为．9．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示（成绩分组为[50，60]，[60，70]，[70，80），[80，90），[90，100]），则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为．10．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．11．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且4PF1=3PQ，则椭圆的离心率e=．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．同时掷两粒骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体），则向上的点数之和为3的倍数的概率为．14．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为．二．解答题（本大题共6小题，满分90分，14+14+14+16+16+16）15．为了对某校高二年级学生参加社区服务次数进行估计，随机抽取1个容量为M的样本，根据样本作出了频率分布表如下：（1）求出表中m、n的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[20，25）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30]内的概率．16．设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．（1）若a=1且命题p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2017--2018学年第一学期期末热身测试试题高二数学(试卷满分：160分，考试时间：120分钟)参考答案与试题解析一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．4．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：46．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．7．已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．8．如图，是一个算法伪代码，若输入5，则输出的y值为5．【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求y=的值，当输入x=5时，输出y=5．故答案为：5．9．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示（成绩分组为[50，60]，[60，70]，[70，80），[80，90），[90，100]），则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为120．【解答】解：由频率分布直方图得：得分不低于80分的频率为：1﹣（0.015+0.025+0.030）×10=0.3，∴得分不低于80分的人数为：400×0.3=120人．故答案为：120．10．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）11．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且4PF1=3PQ，则椭圆的离心率e=．【解答】解：如图所示，设|QF2|=m，|PF2|=n，则|QF1|=2a﹣m，|PF1|=2a﹣n．∵4|PF1|=3|PQ|，∴4（2a﹣n）=3（m+n），∵PF1⊥PQ，∴（2a﹣n）2+n2=4c2，（2a﹣n）2+（m+n）2=（2a﹣m）2．联立，化为n=a，代入可得a2=2c2．解得e=．故答案为：．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．同时掷两粒骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体），则向上的点数之和为3的倍数的概率为．【解答】解：同时掷两粒骰子（六个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体），基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为3包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），其12个，∴向上的点数之和为3的倍数的概率为p==．故答案为：．14．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为4．【解答】解：∵（a＞0），（b＞1），∴y=g（f（x））=b（）3﹣2b（）2+b（）﹣，∴y′=3b（ax2﹣2ax+a+）2（2ax﹣2a）﹣4b（）（2ax﹣2a）+b（2ax ﹣2a），由y′=0，得x1=1，x2=1﹣，，∴函数y=g（f（x））的零点个数为4个．故答案为：4．二．解答题（本大题共6小题，满分90分，14+14+14+16+16+16）15．为了对某校高二年级学生参加社区服务次数进行估计，随机抽取1个容量为M的样本，根据样本作出了频率分布表如下：（1）求出表中m、n的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[20，25）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30]内的概率．【解答】解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40…（2分）因为频数之和为40，所以10+25+m+2=40，解得m=3.．．（4分）（2）由（1）得p=1﹣0.25﹣0.625﹣0.05=0.075因为该校高二学生有240人，分组[20，25）内的频率是0.075，…（6分）所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为18人…（8分）（3）记“至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内”为事件P，…（9分）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人，设在区间[20，25）内的两人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的3人为{b1，b2}．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，…（11分）而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3}，3种，…（12分）至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率：p=1﹣=．…（13分）答：至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率为．…（14分）16．设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．（1）若a=1且命题p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】记命题p：x∈A，命题q：x∈B（1）由a=1时，A={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜3}…（2分）因为p∧q为真，所以p，q均为真命题，…（4分）则x∈A∩B…（6分）所以x的取值范围是（2，3）…（7分）（2）A=（a，3a），B=（2，3）因为q是p的充分条件所以知集合B⊆A…（10分）则，…（13分）解得1≤a≤2，综上所述：a的取值范围是[1，2]…（14分）17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y ﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。

2023-2024学年吉林省长春市高二上学期期末数学质量检测模拟试题1(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．设函数2()f x x x =+，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆（）A ．-6B ．-3C ．3D ．6【正确答案】C根据瞬时变化率的求解方法求解即可.【详解】解：根据导数的定义：()()()()20011112lim lim x x f x f x x x x →→+-+++-= ()2003lim lim 33x x x x x x→→+==+= ，故选：C.本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.2．已知2188C C m m -=，则m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1或4【正确答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由2188C =C m m -可知:21m m =-或者2-18m m +=,解得:1m =或3m =故选：C3．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A ．12B ．24C ．30D ．32【正确答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【正确答案】D【分析】该事件用分步乘法计数原理计数，结合每个同学有2种选择，即可得出结果【详解】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为5232=，故选：D5．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则n 的值为（）A ．14B ．16C ．18D ．20【正确答案】C【分析】写出二项式展开式的通项，令3k =时x 的指数位置等于0即可求解.【详解】1nx ⎫⎪⎭展开式的通项为()()16555111n kn k kkk kk k n nT C x xC x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3k =可得()18335541n nT C x -=-为常数项，可得18055n -=，可得18n =，故选：C.6．1y x=-在1(,2)2-处的切线方程是（）A ．4y x =B ．44y x =-C ．44y x =+D ．24y x =-【正确答案】B【分析】求导，利用导函数求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程整理即可.【详解】由已知21y x '=，则12|4x y ='=，所以切线方程为1242y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得44y x =-故选：B.7．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（）种A ．120B ．24C ．48D ．96【正确答案】C【分析】利用捆绑法可得答案.【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得44A 24=种排法，两名女生排序有22A 2=种排法，所以共有24248⨯=种排法.故选：C.8．已知数列{}n a 满足1n n a n =+，则3202020212122222320202021a a a aa +++⋅⋅⋅++=（）A ．20202021B ．20182019C ．20192020D ．20212022【正确答案】D【分析】根据给定条件求出数列2{}na n 的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.【详解】因1n na n =+，则2111(1)1n a n n n n n ==-++，所以3202020212122221111111(1)()()(23202020212233420202021a a a a a +++⋅⋅⋅++=-+-+-++- 111202112021202220222022⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，所以320202021212222202123202020212022a a a a a +++⋅⋅⋅++=.故选：D9．关于排列组合数，下列结论错误的是（）A ．C C m n mn n -=B ．11C C C m m mn n n -+=+C ．11A A m m n n m --=D ．()!A !mn n n m =-【正确答案】C【分析】运用排列组合数公式展开化简，结合选项辨析即可.【详解】()!C !!mn n n m m =-，()()()!!C !!!!n mn n n n m n n m n m m -==--+-，故A 正确；()()()1!!C C 1!1!!!m m n n n n n m m n m m -+=+-+--()()()()()11!1!!C 1!!1!!1!!m n n m n n m n n m m n m m n m m +-+⋅+⋅=+==-+-++-，故B 正确；()!A !m n n n m =-，而()()111!A !m n m n m n m --⋅-=-，故C 错误，D 正确；故选：C.二、多选题10．(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（）A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40【正确答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.【详解】设数列{an }的公差为d ，则由已知得S 7＝177()2a a +，即21＝17(5)2a +，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋1092⨯d ＝10＋109223⨯⨯＝40.由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.故选：ACD11．下列说法正确的是（）A ．888990100⨯⨯⨯⨯ 可表示为12100A B ．若把英文“hero”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种C ．10个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手45次D ．将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有1人，共有150种不同安排方法【正确答案】BCD【分析】对A ，由排列数的定义判断；对B ，可能出现的错误种树为44A 1-，对C ，10人两两握手共210C 次，对D ，先分组成3、1、1或2、2、1，再将组排列到科室去.【详解】对A ，121001009989A =⨯⨯⨯，A 错；对B ，四个字母全排列共有44A 24=种，可能出现的错误共有24123-=种，B 对；对C ，10人两两握手，共210C 45=次，C 对；对D ，将5人按3、1、1分组，共有35C 10=种分法，再分到科室有33A 6=种分法；将5人按2、2、1分组，共有225322C C 15A =种分法，再分到科室有33A 6=种分法.故每个科室至少有1人共有106156150´+´=种安排方法，D 对.故选：BCD12．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()f x 有极大值(2)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -C ．函数()f x 有极小值(2)f -D ．函数()f x 有极小值(2)f 【正确答案】BD【分析】根据函数(1)()y x f x '=-的图像判断导数()f x '在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可求解.【详解】由图可知，当<2x -时，0y >，10x ->，则()0f x '>，当2<<1x -时，0y <，10x ->，则()0f x '<，当12x <<时，0y >，10x -<，则()0f x '<，当2x >时，0y <，10x -<，则()0f x '>，综上当<2x -时()0f x '>，当22x -<<时()0f x '<，当2x >时()0f x '>，所以函数()f x 有极大值(2)f -，有极小值(2)f ，故选：BD 三、填空题13．计算：4331073C C A -⨯=___________.【正确答案】0【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.【详解】解：原式10987765(321)21021004321321⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯⨯⨯.故0.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n a n =-，则当n =________，n S 有最大值．【正确答案】5.【分析】利用等差数列的求和公式，求得210n S n n =-+，结合*n N ∈和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，数列112n a n =-，可得21()(202)1022n n n a a n n S n n +-===-+，因为*n N ∈，所以当5n =时，数列{}n a 的前n 项和为n S 最大.故答案为.515．设443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则1234a a a a +++=___．【正确答案】15-.在原式中令0x =和1x =即可解得答案.【详解】在443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++中，令0x =得：40216a ==，令1x =得：432101a a a a a ++++=，所以43210115a a a a a +++=-=-.故答案为.15-求解与二项式定理有关的系数和问题时，要注意系数的正负规律，通过赋值法来求解，一般地假设令1x =便可得到项的系数和，分别令1x =和=1x -，然后通过两式相加减便可得到x 的奇数次方项的系数和与偶次方项的系数和.16．若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为___________.【分析】由已知，先在曲线上设出点00(,)Q x y ，然后写出以00(,)Q x y 点为切点的曲线的切线方程，根据题意，找到距离直线3y x =-最近的点，即00121k x x =-=，从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平行线之间的距离即可.【详解】由已知，设点00(,)Q x y 曲线2ln 1y x x =--上一点，则有0002ln 1y x x =--，因为2ln 1y x x =--，所以12y x x'=-，所以00012|x x y x x ='-=，所以曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线斜率为0012k x x =-，则曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线方程为020000(ln 1)()12y x x x x x x ---=--，即20000()12ln y x x x x x =---．要求得曲线2ln 1y x x =--上任意一点，到直线3y x =-的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121k x x =-=，解得0=1x 或012x =-（舍去），此时，以点(1,0)Q 为切点，曲线的切线方程为：1y x =-，此时，切点(1,0)Q 为曲线上距离直线3y x =-最近的点，即点P 与点Q 重合，最小距离为直线3y x =-与直线1y x =-之间的距离，设最小距离为d ，所以d 故答案为四、解答题17．已知函数()()2ln f x a b x x x x =---.若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且()1f a =，求,a b 的值.【正确答案】1,1a b =-=-【分析】求导，然后通过()()101f f a ⎧=⎪⎨='⎪⎩列方程组求解.【详解】由已知()()()()211ln 2ln f x a b x x a b x x '=---+=--，()()()()12ln1011ln1f a b f a b a ⎧=--=⎪∴⎨=---='⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩.18．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)已知()*nx n N ⎛+∈ ⎝⎭，___________.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中所有的有理项.【正确答案】(1)4352T x =和74254T x =(2)51T x =，4352T x =，35516T x=【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.【详解】（1）二项展开式的通项公式为：211C C ,0,1,2,,2rr r rr n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭ .若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，∴()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-(舍去)，∴5n =.若选②，则由题得()221111C 22141C 22n n nn n n n n n n ----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52rr r rr r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.当52rZ -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为:51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭.19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n n =+，数列{}2log n b 是公差为1的等差数列，11b =.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设1n n n c a b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】(1)2n a n =；12n n b -=(2)221n n n ++-【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得数列{}n a 的通项公式，通过数列{}2log n b 为等差数列及对数的运算可得数列{}n b 的通项公式；（2）利用分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，当1n =时，112a S ==，符合上式，故2n a n =；又22111log log n b n n =+-=-，12n n b -∴=；（2）由（1）知122n n c n -=+()()()()212121122221212n n n n n n nT a a a b b b n n ⨯-+∴=+++++++=+=++-- .20．已知函数2()x x f x e=．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域．【正确答案】（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞；（2）240,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意得，(2)()xx x f x e -'=，令()0f x '>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >或0x <，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)-∞+∞．（2）易知241(0)0,(2),2f f f e ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭因为221416(2)244e e e f f e e -⎛⎫--== ⎪⎝⎭222221628)0422e e e e e e e --+->==>,所以1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．（或由244(2)9f e =>，1424494f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭可得1(2)2f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭）,又当0x >时，2()0x x f x e =>，所以函数()f x 在区间1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上的值域为240,e ⎡⎤⎢⎣⎦．确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数()f x 的定义域；第二步，求'()f x ；第三步，解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为单调递减区间．。

高二数学热身试题(理)

高二数学热身试题（理）2010.1一、选择题（5×12=60分）1、不等式02≥+x x 的解集是（） A 、{}02≤≤-x x B 、{}02≤<-x x C 、{0≥x x 或2-<x }D 、{0≥x x 或2-≤x }2、已知{}n a 是等差数列，20101=+a a ，则该数列前10项的和n S 等于（）A 、64B 、100C 、110D 、1203、在棱长为1的正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1与BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A 、23B 、1010 C 、53 D 、52 4、在ABC ∆中，2sin cos cos 2A C B =⋅，则ABC ∆的形状为（） A 、直角三角形 B 、正三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形5、已知数列{}n a 是递增等比数列，且a 2a 6=8,a 3+a 5=6,则=48a a （） A 、41 B 、21 C 、2 D 、4 6、已知x 、y 满足条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x 则y x z +=3的最大值为（）A 、4B 、537 C 、 11 D 、17 7、下列命题正确的是（）A 、若b a >，则22bc ac >B 、当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+xx C 、若R b a ∈,，则()1222--≥+b a b a D 、若b a >，则ba 11< 8、过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则=AB （） A 、 378 B 、316 C 、38 D 、3716 9、已知 a ，b 为正数，且1=+b a 则ba 21+的最小值（） A 、6 B 、24 C 、 223+ D 、232+10、三棱锥的侧棱两两垂直，长分别为2，2，3，则其顶点到底面的的距离为（）A 、37B 、17C 、 11223D 、317 11、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，这个椭圆方程为（）A 、191222=+y xB 、112922=+y xC 、191222=+y x 或 112922=+y x D 、以上都不是 12.在直角坐标系中，设B(3,-2)A(-2,3),,沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，24=AB ，则θ的值为（）A.o 30B. o 45C. o 60D. o 120二：填空题（4×4=16）13.关于x 的不等式0622<+-a x ax 的解集为（-∞，m ）∪(1,+∞),则m=14.已知圆C ：25)1(22=++y x 及点A （1，0），Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则M 点的轨迹方程为15.在o 60的二面角M-a-N 的面M 内有一点A 到面N 的距离为3，则A 在N 内的射影到M 的距离为16.已知数列{a n }的前n 项和为Sn,给出下列命题：①若Sn=132++n n ,则{a n }为等差数列② 若12-=n Sn ，则数列{a n }为等比数列③若{a n }为等差数列， a n >0 ，则11231242+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a n n ④若{a n }为等比数列，则S n ,S 2n ,S 3n ,…是等比数列。

高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)

高二上期期末检测模拟试题数学试题参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误；，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=，且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=，即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++，所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+，所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′，则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥，所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−，所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a，设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+，由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=，则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++，由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++，故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。