奥林匹克训练题库·数值代入法
小学奥运中的数学练习题
小学奥运中的数学练习题今年的小学奥运会中，数学比赛成为了各校选手争先恐后参与的项目之一。
数学练习题是考察同学们数学思维和计算能力的重要方式之一。
在这里，我们将介绍一些在小学奥运数学比赛中常见的练习题类型。
一、填空题填空题是小学奥运数学比赛中最常见的题型之一，其要求学生根据题目给出的条件，计算出未知数的具体数值，并将答案填入相应的空格中。
以下是一个填空题的示例：例题1：求下列各式的值：（1）84 - 26 = __（2）16 ÷ 4 = __学生需要根据题目给出的计算式，计算出表达式的结果，并将答案正确填写在下划线处。
二、选择题选择题在小学奥运数学比赛中也是常见的题型之一，其要求学生根据给出的选项选择一个正确的答案。
以下是一个选择题的示例：例题2：小明家有5个苹果，小红家有3个苹果，两家一共有__个苹果。
A. 7B. 8C. 15D. 2学生需要根据题意计算出两家共有的苹果数，并根据选项选择一个正确的答案。
三、综合题综合题是将多个数学概念与应用相结合的一种题型，要求学生将自己掌握的各项知识进行整合和应用。
以下是一个综合题的示例：例题3：甲、乙、丙三人共采摘了30个桃子，甲比乙多采了5个桃子，丙采了甲和乙两人采摘数量的一半，问乙采了几个桃子？A. 10B. 7C. 15D. 12学生需要根据题目给出的条件，运用数学知识解题，并计算出乙采摘的桃子数量。
四、应用题应用题在小学奥运数学比赛中也是常见的题型之一，要求学生将数学知识应用到实际生活中的问题中，解决实际问题。
以下是一个应用题的示例：例题4：小明家从早上9点到下午5点，共有8个小时的时间，小明同学每隔30分钟吃一次饭，请问小明同学一天吃了几次饭？A. 16B. 10C. 15D. 8学生需要根据题目给出的时间和吃饭间隔，计算出小明同学一天吃饭的次数。
通过以上几个示例题目，我们可以看出小学奥运中的数学练习题主要包括填空题、选择题、综合题和应用题等。
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
中国数学奥林匹克赛前培训练习4
中国数学奥林匹克赛前培训练习41. 设n 是大于1的整数，记,1,,1,0,2sin 2cos -=+=n k n k i n k k ππξ 试求下式的最简表示：∏-≤<≤-112.)(n k j k j ξξ2. 证明：如果+=∈=∑Z n k a ni k i ,,11， 则nk ni k k in i i n n a a )(1111+≥+∏∑=-= 3. 如果正整数n 的所有正因数(包括本身)之和为2n ，则称n 为完全数。
如6的正因数之和1 + 2 + 3 + 6 = 2×6，故6为完全数。
证明：不存在形如p a q b r c 的完全数，其中a , b , c 为正整数，p , q , r 为奇质数。
4.设f (x )是整系数多项式，并且f (x )=1有整数根，约定将所有满足上述条件的f 的组成的集合记为F 。
对于任意给定的整数k > 1，求最小的整数m (k ) > 1，要求能保证存在f ∈F ，使得f (x ) = m (k )恰有k 个不相同的整数根。
5.一次体育比赛共设有()2 2n n ≥个项目，每个选手恰好报名参加其中的两个项目，而任两个人都至多有一个相同的项目，假定对于每个{}1,2,,1k n ∈-，不超过k 人报名的项目少于k 个.证明：存在2n 个选手，使得每个项目都恰好有其中的两人参加.1、 设n 是大于1的整数，记w k = cos2k πn + i sin 2k πn，k = 0, 1, 2, …, n －1，试求下式的最简表示：∏1≤j < k ≤n －1(w j －w k )2 。
解：设f (x ) = ∏h = 1n －1(x －εh ) = x n －1 + x n －2 + … + x + 1，则 ∏h = 1n －1(1－εh ) = 1 + 1 + … + 1 + 1 (n 个1) = n∏h = 1n －1(εj －εj + h ) = ∏h = 1n －1εj (1－εh ) =n εj n －1，∏1≤j ≠k ≤n －1(εj －εk ) =n n －1(π ε j )n －1∏j = 1n －1 ( ε j －1)= n n －1(－1)n －1(－1)n －1n= n n －2 故∏1≤j < k ≤n －1(εj －εk )2= (－1)(n －1)(n －2)2·∏1≤j ≠k ≤n －1(εj －εk) = (－1)(n －1)(n －2)2·n n －2。
数学奥林匹克高中训练题_ 16及解析及解析
数学奥林匹克高中训练题_ 16注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题，若两条直角边长也为整数，则其面积为______． 2.正三棱柱ABC−A ′B ′C ′的侧棱及底面边长都是1．则四面体A ′ABC 、B ′ABC 、C ′ABC 的公共部分的体积是______．3.设M={1,2,⋅⋅⋅,2009}．若n ∈M ，使得S n =1n(13+23+⋅⋅⋅+n 3)的值为一平方数，则这样的n 共有个______． 4.设f (x )=x 4−34x 2−18x +1．则f (cos π7)=______．5.若三位数abc 满足1≤a ≤b ≤c ≤9，则称abc 为“上坡数”．那么，上坡数的个数是______．6.50个正数的和为231，它们的平方和为2009．则这50个数中，最大数的最大值是______．7.函数f (x )=√9(x −3)2+(x 2−12)2+√9x 2+(x 2−94)2的最小值是______．8.设M={1,2,⋅⋅⋅,17}．若有四个互异数a 、b 、c 、d ∈M ，使a +b ≡c +d (mod17)，就称{a,b }与{c,d }是集M 的一个“平衡对”．则集合M 中平衡对的个数是______．二、解答题9.在平面上给定不共线的三点A 、B 、C ，以线段AB 为一条轴（长轴或短轴）作一个不经过点C 的椭圆，与另两条直线AC 、BC 分别交于点E 、F ，过E 、F 分别作椭圆的切线，设这两条切线交于点C 0；类似地，再以线段BC 、CA 为一条轴各作椭圆，分别相应地得到切线的交点A 0、B 0．证明：不论每个椭圆的另一条轴的长度如何选择，三条直线AA 0、BB 0、CC 0都经过一个定点．10.设f (x,y,z )=√x +15+√y +15+√z +15．求最大的实数λ，使得对于任何满足x +y +z =4的正数x 、y 、z ，都有f (x,y,z )>λ．11.正整数数列{a n }满足：a 4=16，1a n+12<1a n+1a n+1−2n (n+1)<1a n2．试求通项公式a n ． 12.如图，在ΔABC 中，D 是∠A 平分线上的任一点，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且CE∥BD ，BF ∥CD ．若M 、N 分别是CE 、BF 的中点，证明：AD ⊥MN ．13.在锐角ΔABC ，证明：sin (A−B )⋅sin (A−C )sin2A +sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2B +sin (C−A )⋅sin (C−B )sin2C≥0．14.如果既约分数nm满足：mn≤2009（m 、n 为正整数），则称nm 为“牛分数”．现将所有的牛分数按递增顺序排成一个数列n1m 1,n2m 2,⋅⋅⋅，称为“牛数列”．证明：对于牛数列中的任两个相邻项nk m k、nk+1m k+1，都满足m k n k+1−m k+1n k=1．15.从圆周的九等分点中，任取五点染为红色．证明：存在以红点为顶点的不同的六个三角形Δ1,Δ2,⋅⋅⋅,Δ6，满足Δ1≅Δ2，Δ3≅Δ4，Δ5≅Δ6．参考答案1.432180【解析】1.设两直角边为x、y．则x2+y2=20092．据勾股数及x、y的对称性，有正整数m、n、k(m>n)，使x=2mnk，y=(m2−n2)k，2009=(m2+n2)k．由于2009=41×72，又1,7,72,7×41都不能表为两个正整数的平方和，故只有k=49，m2+n2=41．解得m=5，n=4．所以，x=1960，y=441．则S=12xy=432180．故答案为：4321802.√336【解析】2.如下图，根据对称性，面C1AB、A1BC、B1AC的交点O在底面ABC上的射影H为正ΔABC的中心．设AB、BC的中点分别为D、E．则OH是ΔEAA1、ΔDCC1的交线．故OHC1C =DHDC=13．所以，OH=13．从而，四面体A′ABC、B′ABC、C′ABC的公共部分的体积（即四面体OABC的体积）为V=13OH⋅SΔABC=13×13×√34=√336．故答案为：√3363.44【解析】3. 注意到S n=1n[n (n+1)2]2=n (n+1)24． 由于n 与n +1互质，故若S n 为平方数时，n 必为平方数．当n 为偶平方数时，n4为平方整数；当n 为奇平方数时，(n+1)24为平方整数．因此，n 可取M 中的所有平方数，这样的数共有44个． 故答案为：44 4.1516【解析】4. 记x=cos π7．则x 4=(cos 2π7)2=(1+cos 2π72)2=1+2cos2π7+cos 22π74=3+4cos2π7+cos 4π78，−34x 2=−3−3cos2π78，−x 8=−cos π78，故x 4−34x 2−18x =18(−cos π7+cos 2π7+cos4π7)=18(cos 2π7+cos 4π7+cos 6π7) =18(cos 12π7+cos 10π7+cos 8π7) =116∑cos2kπ76k=1=116∑cos2kπ76k=0−116=−116．于是，x 4−34x 2−18x +1=1516，即f (cos π7)=1516.故答案为：1516 5.165【解析】5.对于确定的b ，数c 可取b,b +1,⋅⋅⋅,9，共10−b 个值；而对于确定的数a ，数b 可取a,a +1,⋅⋅⋅,9．故三位上坡数的个数为∑∑(10−b )9b=a 9a=1=∑∑k 10−ak=19a=1=∑(10−a )(11−a )29a=1=12∑(a 2−21a +110)9a=1 =12(9×10×196−21×9×102+990)=165．故答案为：165 6.35【解析】6.设最大数为x ，其余49个数为a 1,a 2,⋅⋅⋅,a 49，且x ≥a 1≥a 2≥⋅⋅⋅≥a 49．则∑a i49i=1=231−x ，2009=x 2+∑a i 249i=1≥x 2+149(∑a i 49i=1)2 =x 2+149(231−x )2，即50x 2−462x +2312≤49×2009．解得x ≤35．当且仅当a 1=a 2=⋅⋅⋅=a 49=4时，x =35．故答案为：35 7.574【解析】7.显然，13f (x )=√(x −3)2+(x23−4)2+√x 2+(x23−34)2． ① 令y =x 23．此为抛物线方程，其焦点为F (0,34)，准线方程为y =−34．记点A (3,4)，如下图．则式①可改写为13f (x )=√(x −3)2+(y −4)2+√x 2+(y −34)2．它表示抛物线上的点M (x,y )到点A 与到焦点F 的距离之和，即13f =MA +MF ． 注意到点A 在抛物线上方，点M 到焦点的距离等于其到准线的距离，即MF =MH ，故当点M 移至M 1使其在垂线AH 1上时，MA +MH 的值最小为AM 1+MH 1=AH 1=4+34=194，即13f ≥194⇒f ≥574． 故答案为：5748.476【解析】8.将圆周17等分，其分点按顺时针方向顺次记为A 1,A 2,⋅⋅⋅,A 17． 则m +n≡k +l (mod17) ⇒A m A n ∥A k A l ．注意到圆周17等分点的任一对分点连线都不是直径，因此，全部弦共有17个方向（分别与过A i (i =1,2,⋅⋅⋅,17)的切线平行）． 与过A i 的切线平行的弦有8条，共形成C 82=28个“平行弦对”．若考虑所有17个方向，共得28×17=476个平行弦对．因此，M 中有476个平衡对．故答案为：476 9.见解析【解析】9.先考虑以边AB 为一条轴的椭圆，如下图建立直角坐标系，设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a ≠b )，它与直线AC 、BC 分别交于点E 、F ，过E 、F 分别作椭圆的两条切线交于点C 0．设A (−a,0)、B (a,0)、E (acosα,bsinα)、F (acosβ,bsinβ)． 则l AE :yx+a =bsinαa (1+cosα)，l BF :yx−a =−bsinβa (1−cosβ)． 解得点C 的横坐标x C=acos α+β2cos β−α2． 故椭圆过点E 、F 的切线方程分别为xcosαa +ysinαb =1，xcosβa +ysinβb=1． 由此解得点C 0的横坐标x C 0=acos α+β2cos β−α2． 由x C=x C 0知，CC 0⊥AB ．同理，AA 0⊥BC ，BB 0⊥AC ．因此，直线AA 0、BB 0、CC 0分别重合于ΔABC 的三条高线．故它们都经过ΔABC 的垂心．10.见解析【解析】10.一般地，可证明：对于函数f (x,y,z )=(x +1)1n +(y +1)1n+(z +1)1n ，其中，正整数n ≥2，有λ=2+51n .为此，记a =(x +1)1n ，b =(y +1)1n ，c =(z +1)1n .则1<a <51n ，1<b <51n ，1<c <51n ，且f (x,y,z )=a +b +c . 注意到，x=a n−1=(a −1)(an−1+an−2+⋅⋅⋅+a +1)<(a −1)(5n−1n+5n−2n+⋅⋅⋅+51n+1) .故(51n−1)x <(5−1)(a −1)=4(a −1).类似地，(51n−1)y <4(b −1)，(51n−1)z <4(c −1).三式相加得(51n−1)(x +y +z )<4(a +b +c −3)=4(f (x,y,z )−3)⇒4(51n−1)<4(f (x,y,z )−3) ⇒f (x,y,z )>2+51n另外，当x=y =ε，z =4−2ε ，且ε→0时，f (x,y,z )的值无限接近2+51n .故数值2+51n 不能再改进.11.a n =n 2【解析】11. 据条件1a n+12<1a n2知，数列严格递增．于是，a 1≥1,a 2≥2,a 3≥3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅先在条件式中取n =3，得到1a 42<1a 3+1a 4−16<1a 32， 即1162<1a 3+116−16<1a 32． ①据式①左端得1a 3>1162+16−116=83768． 则a 3<76883=9+2183． ② 又由式①右端得5a 32−48a 3+48>0，且a 3≥3， 故a 3>48+8√2110>48+8×4.510=8.4． ③据式②、③得整数a 3=9．再对条件式中取n=2，得到1a 32<1a 2+1a 3−13<1a 22，即181<1a 2+19−13<1a 22． ④由式④左端得1a 2>181+29<1981． 则a 2<8119=4+519． 由式④右端得2a 22−9a 2+9>0，即(a 2−3)(2a 2−3)>0．因a 2≥2，所以，a 2>3．故a 2=4．继而在已知式中取n =1，得116<1a 1+14−1<1a 12， 即116+34<1a 1<1a 12+34． ⑤ 又a 1为正整数，故式⑤右端恒成立． 而由式⑤左端有1a 1>1316，故a 1<1613=1+313，得a 1=1． 由a 1=1，a 2=4，a 3=9，a 4=16，猜想a n =n 2． ⑥首先，若将式⑥代入已知式得1(n+1)4<1n 2+1(n+1)2−2n (n+1)<1n 4，即1(n+1)4<[1n n+1]2<14，或1(n+1)2<1n n+1<12． 此式显然成立． 下证：a n=n 2是满足条件的唯一数列．对n 归纳．当n≤4时已验证．若式⑥对于n (n ≥4)成立，则对于n +1，据已知式有1a n+12<1n 2+1a n+1−2n (n+1)<1n 4． ⑦ 由式⑦右端得1a n+1<1n 4+2n (n+1)−1n 2=n 3−n 2+n+1n 4(n+1)． 则a n+1>n 5+n 4n 3−n 2+n+1=(n +1)2−2n 2+3n+1n 3−n 2+n+1>(n +1)2−1． ⑧（这里用到，当n≥4时，(n 3−n 2+n +1)−(2n 2+3n +1) =n (n 2−3n −2)=n [n (n −3)−2] ≥n (n −2)>0．）据式⑦左端得1a n+12<1a n+1−n−1n 2(n+1)，即(n −1)a n+12−n 2(n +1)a n+1+n 2(n +1)<0． ⑨其判别式Δ=[n 2(n +1)]2−4n 2(n +1)(n −1)=n 2{[n (n +1)]2−4(n +1)(n −1)}=n 2{[n (n +1)−2]2+4n }=n 2[(n 2+n −2)2+4n ]>0．设与式⑨对应的关于a n+1的一元二次方程的两根为α、β(α<β)．则a n+1<β=n2(n+1)+√Δ2(n−1)=n 2(n +1)+n (n 2+n −2)√1+4n(n 2+n −2)22(n −1)=2n (n 2+n −2)+2(n −1)+2+n (n 2+n −2)[1+√4n(n 2+n −2)2−1]2(n −1)=n (n +2)+1+1n −1+n (n +2)2[√1+4n(n 2+n −2)2−1]=(n +1)2+1n −1+n (n +2)2⋅4n(n 2+n −2)21+√1+4n(n 2+n −2)2<(n +1)2+1n −1+n (n +2)2⋅4n(n 2+n −2)22=(n +1)2+1n −1+n2(n −1)2(n +2) =(n +1)2+2n 2+n−2n 2−3n+2<(n +1)2+1． ⑩（这里用到，当n≥4时，(n 3−3n +2)−(2n 2+n −2) =n 3−2n 2−4n +4 =n 2(n −3)+(n −2)2>0．）据式⑧、⑩得a n+1=(n +1)2．故由归纳法知，对任意的n ∈N +，式⑥成立，即a n =n 2．12.见解析【解析】12.如下图，延长BD 、CD ，分别与AC 、AB 交于点H 、G ．注意到ΔDBG 、ΔDCH 关于顶点D 的等高性及等角性，由面积比定理得BGCH=S ΔDBG S ΔDCH=DB⋅DGDC⋅DH． 所以，BG ⋅DC ⋅DH =CH ⋅DB ⋅DG ． ①又由CE ∥BD ，BF ∥CD 得GB BE =GD DC ，HC CF =HDDB． 故BECF=BG⋅DC⋅DH CH⋅DB⋅DG． ② 由式①、②得BECF=1，即BE =CF ．取BC 的中点K ，由中位线定理知MK ∥=12BE ，NK ∥=12CF ．故KM =KN ．作∠MKN 的平分线KP ，则KP ⊥MN ．因MK ∥AB ，NK ∥AC ，所以，AD ∥KP ．又KP⊥MN ，故AD ⊥MN ．13.见解析【解析】13. 证法1：注意到sin (A −B )⋅sin (A −C )sin2A=sinA ⋅cosB ⋅sin (A −C )−sinB ⋅cosA ⋅sin (A −C )2sinA ⋅cosA=cosB (sinA ⋅cosC −cosA ⋅sinC )2cosA −sinB (sinA ⋅cosC −cosA ⋅sinC )2sinA=cosB ⋅cosC ⋅sinA 2cosA −cosB ⋅sinC 2−sinB ⋅cosC 2+sinB ⋅sinC ⋅cosA 2sinA=cosB ⋅cosC ⋅sinA −sin (B +C )+sinB ⋅sinC ⋅cosA=cosB⋅cosC⋅sinA2cosA−sinA 2+sinB⋅sinC⋅cosA2sinA．同理，sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2B =cosC⋅cosA⋅sinB 2cosB−sinB 2+sinC⋅sinA⋅cosB2sinB，sin (C−A )⋅sin (C−B )sin2C =cosA⋅cosB⋅sinC 2cosC−sinC 2+sinA⋅sinB⋅cosC2sinC．因此，所证不等式化为(sinA ⋅sinB ⋅cosC sinC +cosA ⋅cosB ⋅sinCcosC)+(sinB ⋅sinC ⋅cosA sinA +cosB ⋅cosC ⋅sinAcosA) +(sinC ⋅sinA ⋅cosB sinB +cosC ⋅cosA ⋅sinBcosB) ≥sinA +sinB +sinC ． ①令x=cotA ，y =cotB ，z =cotC ．则x 、y 、z ∈R +，xy +yz +zx =1．因此，sinA⋅sinB⋅cosC sinC +cosA⋅cosB⋅sinCcosC=√1+x 2⋅√1+y 2⋅z +√1+x 2⋅√1+y 2⋅1z=2(2)(2)．同理，sinB⋅sinC⋅cosA sinA +cosB⋅cosC⋅sinAcosA =2(2)(2)， sinC⋅sinA⋅cosB sinB +cosC⋅cosA⋅sinBcosB =2√(2)(2)．于是，只要证2x √(1+y )(1+z )2y √(1+z )(1+x )2z √(1+x )(1+y )≥√1+x 2+2+√1+z 2． ② 又1+x 2=xy +yz +zx +x 2=(x +y )(x +z )，1+y 2=xy +yz +zx +y 2=(x +y )(y +z )， 1+z 2=xy +yz +zx +z 2=(x +z )(y +z )，故式②化为2x y+z+2y √z+x +2z x+y √x +y +√y +z +√z +x ．上式关于x 、y 、z 对称，故设x ≥y ≥z ．由于2x y+z√y +z =2x y+z=(x−y )(x−z )x √y+z，2y √z+x−√z +x =y √z+x ，2z √x+y−√x +y =z √x+y，即要证：x √y+zy √z+x+z √x+y≥0． ③因为x y+z≥0，()()y √z +x ()()z x +y=(y −z )(x −z z √x +y−x −yy √z +x)=(y −z )x−z √z−xyz−x−y √y−xyz≥0，所以，式③成立．因此结论得证． 证法2：据对称性，不妨设∠A≥∠B ≥∠C ．则60°≤∠A <90°，∠B +∠C >90°，45°<∠B ≤∠A ．所以，sin2A=sin (80°−2A ) ≤sin (180°−2B )=sin2B ，sin (A−B )⋅sin (B−C )sin2A≥sin (A−B )sin (B−C)sin2B．则sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2B ≥sin (B−A )⋅sin (B−C)sin2A．故sin (A−B )⋅sin (A−C )sin2A +sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2B≥sin (A−B )⋅sin (A−C )sin2A+sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2A≥0．因sin (C−A )⋅sin (C−B )sin2C≥0，所以，sin (A−B )⋅sin (A−C )sin2A +sin (B−A )⋅sin (B−C )sin2B +sin (C−A )⋅sin (C−B )sin2C≥0．14.见解析【解析】14.对任一正整数n ，将牛数列中分母不大于n 的子数列记为T n ． 当n=1时，数列T 1=(11,21,31,⋅⋅⋅,20091)显然满足条件． 对n 进行归纳． 据数列T 1知，当n <2时结论成立．设结论对于n <k 成立，考虑数列T k ．注意到T k−1⊂T k ，而T k \T k−1中的分数a b满足：分母b =k ，(a,b )=1． 设ab 、cd (ab <cd ,bc −ad =1)是T k−1中的一对相邻分数． 如果它们在T k 中也相邻，则显然满足条件；如果它们在T k 中不相邻，即有T k \T k−1中的分数mk 插入它们之间（mk≤2009，(m,k )=1），即a b <m k<c d （插入的分数中总有一个与a b 或c d 相邻，不妨设m k 与c d相邻）． 于是，1bd =(c d −m k )+(mk −a b )≥1dk +1bk =b+dbdk． ① 所以，k≥b +d ．又易知，分数a+cb+d 也介于ab 与cd 之间（这是由于a+cb+d −ab =1b (b+d )>0，cd −a+cb+d =1d (b+d )>0）．注意到b (a+c )−a (b +d )=bc −ad =1，知a +c 与b +d 互质，即a+cb+d 为既约分数．若(a +c )(b +d )>2009，由2009≥mk 及k ≥b +d ，相乘得a +c >m ．由m (b +d )≤mk ≤2009，得mb+d ∈T k ．又mk≤m b+d <a+c b+d <c d ，且m k 、c d 在T k 中相邻，则k =b +d ，且式①中等号成立． 故c d −mk=1dk =c d −a+c b+d =cd −a+c k．从而，a +c =m ，这与a +c >m 矛盾．因此，(a +c )(b +d )≤2009． 若分数a+cb+d ∈T k \T k−1，则b +d =k ． ②若a b、a+c b+d 、cd是T k 中的相邻项，那么，对于前一对分数而言有b (a +c )−a (b +d )=bc −ad =1；而对于后一对分数而言有c (b +d )−d (a +c )=bc −ad =1．因此，插入a+cb+d后的分数列符合条件． 又由式②知，式①等号成立．于是，cd −mk =1dk 以及m k −a b =1bk ．由cd −m k=1dk =1d (b+d )=c d −a+c b+d =c d −a+ck ，得a +c =m ． ③ 因此，mk =a+c b+d ．又a+c b+d 是T k 中能够插入T k−1中的一对相邻分数a b 、cd之间的唯一分数，即在由数列T k−1过渡到数列T k 时，不论相邻分数间是否插入了新的分数，所得数列T k 都满足条件． 因此，对于每个正整数n ，结论成立．特别是数列T 2009满足条件，故本题得证． 15.见解析【解析】15. 注意如下事实：（1）以AD 、BC 为底的等腰梯形ABCD 中，存在两对全等三角形：ΔABC≅ΔDCB ，ΔBAD ≅ΔCDA ，并且梯形的每个顶点都在其中一对全等三角形中两次出现．（2）若M 是等腰梯形ABCD 两底AD 、BC 中垂线上的任一点，则ΔMAB ≅ΔMCD ．（i ）先证明，五个红点中，必有某四点构成等腰梯形的四个顶点．不妨设圆周上九等分点相邻两个分点间的弧长为1．再设一条弦，如果其所对的劣弧长为k ，则称该弦的“刻度”为k ．于是，以分点为端点的弦的刻度只有1、2、3、4四种情况．显然，两弦相等当且仅当其刻度相等．五个红点共得C 52=10条红端点的弦，其中必有三条弦具有相同的刻度，由于对每个k ，同一点只能发出两条刻度为k 的弦．注意到以九等分点为端点的任一条弦不为直径，因此，若两条等弦无公共端点，则其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点．若这三条等弦不围成三角形，则其中有两条等弦无公共端点．于是，其四个端点构成等腰梯形的四个顶点．若这三条等弦围成三角形，则是正三角形．于是，这三条弦的刻度皆为3．若还有刻度为3的弦l，则该弦与正三角形的每条边无公共端点．此时，弦l与正三角形的每一条边所形成的四个端点都构成等腰梯形的四个顶点．若除了正三角形的边之外，再无刻度为3的弦，去掉这三条弦，剩下的7条弦只有1、2、4这三种刻度，其中必有三条弦具有相同的刻度，这三条等弦不可能围成三角形．因此，其中有两条等弦无公共端点．于是，其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点．（ii）由于弦的刻度只有1、2、3、4四种情况，故等腰梯形上下两底的“刻度对”只有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)这六种可能，顺次如下图所示．以下用梯形两底的刻度对表示相应的梯形图．据（1）知，每个等腰梯形中都存在两对全等三角形．再考虑第五个红点．若该红点为两底中垂线上的点M，据（2）知，存在另一对全等三角形ΔMAB≅ΔMDC．若该红点异于点M，据图形的对称性，只需考虑红点为P或Q的情况．再证明：无论增加红点P或Q，图形中都将新增一个等腰梯形．i）若增加红点P，则在图(1,2)中增加了梯形PBAD，在图(1,3)中增加了梯形PDCB，在图(1,4)中增加了梯形PCBD，在图(2,3)中增加了梯形PBAD，在图(2,4)中增加了梯形PADC，在图(3,4)中增加了梯形PBAC．ii）若增加红点Q，则在图(1,2)中增加了梯形QDBC，在图(1,3)中增加了梯形QACD，在图(1,4)中增加了梯形QBCD，在图(2,3)中增加了梯形QABC，在图(2,4)中增加了梯形QCAB，在图(3,4)中增加了梯形QABD．而据（1），新增红点必在新增梯形的一对全等三角形中两次出现，也就是增加了一对新的全等三角形．因此，给出的五个红点中，存在六个以红点为顶点的三角形，它们可配成全等的三对．故本题得证．。
奥林匹克数学训练题集 pdf
1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？2. 3箱苹果重45千克。
一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。
甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。
每支铅笔多少钱？5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。
由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。
甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计）6. 学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。
第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。
两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。
多长时间能追上第二小组？7. 有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。
甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨？8. 甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。
甲、乙两队每天共修多少米？9. 学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元？10. 一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。
快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米？11. 某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。
运后结算时，共付运费4400元。
托运中损坏了多少箱玻璃？12. 五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。
第一中队步行每小时行4千米，第二中队骑自行车，每小时行12千米。
奥林匹克数的技巧中篇
奥林匹克数学的技巧（中篇）2-7-8配配的形式是多的，有数字的凑整配或共配，有分析式的称配或整体配，有子集与其集的配，也有会集象与原象的配。
凡此各样，都体了数学和美的追求与力量，小高斯乞降（1+2+ ⋯ +99+100 ）首了配，IMO 16 3也用到了配。
502例 2-143求n 0305n [] 之。
502解作配理n 0[ 305n ]503251n 1([ 305n ][ 305(503n) ])251 304 503304 251 76304 503503n 1503例 2-144乞降a n C n12C n2⋯kC n k⋯ nC n n解一由 C n k C n n k把 a n倒排，有 a n0C n01C n12C n2⋯ kC n k⋯nC n n a n nC n n(n 1)C n n 1⋯ (n k )C n n k⋯ 0C n n相加2a n n(C n0C n1⋯ C n n ) n? 2n得a n n ?2n 1解二会集S1,2, ⋯, n，注意到k⋯kC n A , k1,2,, nA S , A k有 a nA SA了求得A SA把每一A S ，它与集 A 配，共有2n1，且每中均有 A A n于是 a nA SA n n ⋯ n n ? 2n 1两种解法形式上有不一样，但本上是完整一的，有一个解法例2-149。
例 2-145x1, x2 ,⋯, x n是定的数，明存在数x 使得x x1x x2⋯x x n n1 2里的y表示 y 的小数部分。
明有y y1,y Z知 y y10,y Z下边利用一配式的。
f i x i x1x1x2x i x nnC n 2n(n 1)f i( x ix jx j x i )1 i 11 i j n1 i j n2 据抽屉原理①知，必存在k(1 k n) ，使 f1 C2 n 1kn n2取 xx k ，由上式得x x 1x x 2⋯x n1x n22-7-9 特别化特别化表现了以退求进的思想：从一般退到特别，从复杂退到简单，从抽象退到详尽，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特色的最简单状况、退到最小独立完整系的状况，先解决特别性，再归纳、联想、发现一般性。
奥林匹克训练题库数字谜 一 找规律
奥林匹克训练题库第一章数字谜一找规律1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）1，4，7，10，（），16，……（2）2，3，5，8，13，（），34，……（3）1，2，4，8，16，（），……（4）2，6，12，20，（），42，……2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（1）2，3，5，7，11，13，（），19，……（2）1，2，2，4，8，32，（），……（3）2，5，11，23，47，（），……（4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），……3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：（1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），……（2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），……4．按规律填上第五个数组中的数：{1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ }5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式：（1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9，3＋11，1＋13，2＋15，（2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，……6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？（1）2 6 7 11 （2）2 3 14 4 ( ) 1 35 23 5 5 64 ( ) 37．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（1）3，5，7，11，15，19，23，……（2）6，12，3，27，21，10，15，30，……（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，……（4）2，3，5，8，12，16，23，30，……8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1）(2)9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
六年级奥林匹克数学基础教程 20 数值代入法
小学数学奥数基础教程数值代入法有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法”，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解答。
例1足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。
问：一张门票降价多少元？分析与解：初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数与答案无关。
因为降价前后观众人数存在倍数关系，收入也存在比例关系，所以可以使用数值代入法。
我们随意假设观众人数，为了方便，假设原来只有一个观众。
，则降价后每张票价为9元，每张票降价15-9＝6（元）。
例2 某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩人数比女孩人分析与解：题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。
这时总身高为：115×（5＋6）＝1265（厘米）。
例3 甲、乙分别由A，B两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是7∶5。
如果相向而行，那么0.5时后相遇；如果按从A到B的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析与解：设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时，则A，B两地相距（7+5）×0.5=6（千米）。
同向而行，甲追上乙需要65÷（7—5）=3（时）。
需要说明的是，A，B两地的距离并不一定是6千米，6千米是根据假设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时而计算出来的。
假设不同的速度，会得出不同的距离，因为假设的速度与计算出的距离成正比，所求的时间是“距离÷速度差”，所以不影响结论的正确性。
例4五年级三个班的人数相等，一班的男生人数与二班女生人数相等，三几？分析：由“三个班人数相等，一班男生数与二班女生数相等”知，一班女生数等于二班男生数，因此一、二班男生人数的和以及一、二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值，那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和（即每班人数），问题就迎刃而解了。
奥林匹克训练题库答案
奥林匹克训练题库第五章应用题一行程问题1.57.6千米/时。
2.60千米/时。
19（分）。
6.2.4时。
解：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上、下山的平均速度是（x＋2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）＝30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。
因此共需要72÷30＝2.4（时）。
8.15辆。
11.30分。
提示：一个单程步行比骑车多用20分。
12.2时20分。
13.12千米/时。
14.4000千米。
15.15千米。
16.140千米。
17.20千米。
18.52.5千米。
解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行19.25∶24。
提示：设A，B两地相距600千米。
20.5时。
提示：先求出上坡的路程和所用时间。
21.25千米。
提示：先求出走平路所用的时间和路程。
22.10米/秒；200米。
提示：设火车的长度为x米，根据火车的速度列出方程24.乙班。
提示：快速行走的路程越长，所用时间越短。
甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长，所以乙班获胜。
25.30千米。
提示：军犬的速度为20千米/时，它跑的时间等于甲、乙两队从出发到相遇所用的时间。
26.2时15分。
提示：上山休息了5次，走路180分。
推知下山走路180÷1.5＝120（分），中途休息了3次。
28． 24千米。
解：设下山用t时，则上山用2t时，走平路用（6-3t）时。
全程为4（6-3t）＋3×2t＋6×t＝24（千米）。
29．8时。
解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。
如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。
数学奥林匹克高中训练题(01)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设211)(xx x f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)．(A)211993xx + (B)21993xx + (D)2199311993xx +2．(训练题06)若1532>==zy x ，则z y x 5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)z x y 523<< (B)y x z 325<< (C)z y x 532<< (D)x y y 235<< 3．(训练题06)自然数q p n m ,,,满足等式2222q p n m +=+，则q p n m +++(B)．(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+(B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+ 5．(训练题06)若复数z 的共轭复数是z ，且1=z 又)1,0(),0,1(-=-=B A 为定点，则函数))(1()(i z z x f -+=取最大值时在复平面上以B A Z ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC ∆是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin )arccos(sin C B A ++的值域是(C)．(A)(0,]2π(B)}2{π (C)3(,)22ππ (D)3(0,)2π二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式log log x x yy xy ≥的点),(y x 的集合是{(,)|1}{(,)|01}x y x y x x y x y x >><<<且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则k 的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆是45．(训练题06)四次方程038420234=++-kx x x 的四个根当中的两个的积是24，则k 的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 1+ 三、(训练题06)(本题满分20分)n a a a a 321,,是互不相等的自然数，证明：+++++)(7737271n a a a a ≥++++)(5535251n a a a a 333321232()n a a a a ++++．四、(训练题06)(本题满分20分)设M P ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，PM 与以AB 为半径的圆相切，线段PA 与MA 分别交对角线BD 于N Q ,，证明：五边形PQNMC 内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDE BCD ABC ∆∆∆,,都是正三角形，线段FG ∥BA ，连EF DG ,相交于O ，连CO 并延长与AB 的延长线相交于P ，证明：D二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,a a a a 和10321,,b b b b 都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1 =i 均有1210()()()100i i i a b a b a b +⋅+⋅⋅+=.证明：对任何10,,2,1 =j ，乘积1210()()()j j j b a b a b a +++都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．。
奥林匹克训练题库_数值代入法
■说明:北师大东莞石竹附属学校2008—2009学年度第二学期初中毕业班第一次模拟考试卷时间：120分钟感；遥望大海, ；仰望蓝天,懂得品味这些快乐的人，自然会得到快乐的青睐。
万世c ogsmg （），悲欢岁月,满分120分痛苦难免，可是，懂得寻找快乐的人，快乐的旋律总会在他的心头回响。
要相信，仰起1 .全卷共4页。
满分120分，考试用时2. 答卷前，考生必须将自己的姓名、年级、 的指定位置上；3. 答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按各题要求写在答卷上，不能用铅笔和红色字 迹的笔；若要修改， 不准使用涂改液。
120分钟。
班级、考场、座次按要求填在答卷密封线左边把要修改的答案划上横线，在旁边有空位的地方写上修改后的答案。
一、基础（28分） （10 分） 0 ：1.根据课文默写古诗文。
'（1）几处早莺争暖树， '（2）求之不得， __________________ 。
:（3）杜牧的《泊秦淮》中表现诗人对国事危迫，朝廷上下却依然醉生梦死的深重忧虑 ；的诗句： * （4）分） ,（5） 头，就有蓝天！3. 根据拼音写出文段括号处应填入的词语。
（2分） b ol Cn （ ） c mgsog （）4.联系上下文，仿照划波浪线的句子在横线处补充恰当的词句。
（2分）遥望大海， _____________________________________________ ; 仰望蓝天， _____________________________________________ 。
5.使用下面词语，另写一段连贯的话，至少用上其中两个。
（3分）广袤无垠 沁人心脾 感人肺腑 青睐 回响 品味答：。
（白居易《钱塘湖春行》）（1分） ，辗转反侧。
（《关雎》）（1分） _________ 。
（2 分） 。
朔气传金柝，寒光照铁衣。
（《木兰诗》） 把孟浩然《过故人庄》默写完整。
（4分） 故人具鸡黍，邀我至田家。
数学奥林匹克高中训练题
AD+BC 的最小值为 PQ = 6 5 (cm) (PQ 的求法同 BD).
( ) 因此，所求的最小值为 6 2 + 5 cm.
( ) 故答案为 6 2 + 5 cm
11．2024
【详解】Q(a + b + c)n = (a + b)n + Cnl (a + b)n-1·c + ××× + Cnncn 共有 n+1 项，但 (a + b)i 中有 i+1 项，
共有
n+1
项,而
(
a
+
b
+
c
)i
的展开式中有
1 2
(
i
A． S Ì T
B．T Ì S
C．S=T
D．S∩T=φ
2．已知
a
Î
éêë0,
p 4
ù úû
, t1
=
( tana )tana
,t2 =
(tan a)
( ) , cot a t3 = cot ,a tana
t4 = (cot )a cota ．则
t1、、t2 、t3 t4 的大小关系是( )．
A． t1＜t＜2 ＜t3 t4
=
a + (-b) + c + d b + (-c) + d + a
=k
= ±1或 ± i .
故答案为 D 5．C
【详解】令 x¢ = x - 59, y¢ = y ,则
y1¢ = f ( x¢ + 40), y2¢ = f (40 - x¢) .
六年级奥赛 第29讲 数值代入法和枚举法
第29讲数值代入法和枚举法
1、从自然数1～100中，每次取出2个不同的自然数相加，使其和大于100，共有多少种不同的取法？
2、把六个字母A、A、E、E、F、F排成一行，使相同的字母不相邻，并且自左至右前三个字母各不相同，这样的排法有几种？
3、由数字1、2、3、
4、6、7，共可组成多少个没有重复数字的四位数？
4、从3、
5、7、13、17、19这六个数中，每次取两个数组成真分数，这样的真分数有多少个？
5、黑板上有5和7两个数，现在规定：将黑板上任意两个数相加的和写在黑板上。
问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23 ？
6、将3个相同的小球放入A、B、C三个盒子中，共有多少种不同的放法？
7、书架上有6本不同的画报和10本不同的故事书，请你每次从书架上取出一本画报和一本故事书，共有多少种不同的取法？
8、如图，从上往下，沿线读出“我们爱好学数学”，一共有多少种不同的读法？
9、4枚硬币都是国徽一面朝上放着，每次同时将其中3枚硬币翻面，至少要翻
几次才能把所有的硬币都翻成另一面？
10、有一列数，第一个数是1949，第二个数是2011，从第三个数起，每个数是
它前面两个数的平均数的整数部分。
问：这列数的第100个数是多少？
答案：
1、99+97+95+93+……+1=2500（种）
2、8×3=24（种）
3、6×5×4×3=360（个）
4、1+2+3+4+5=15（个）
5、不能。
因为5a+7b≠23
6、10种
7、6×10=60（种）8、20种
9、至少4次
（1）(2) (3)
(4)
10、1989。
数学奥林匹克高中训练题(36)及答案
数学奥林匹克高中训练题（36）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题36)给定三个二次三项式：P 1(x)=x 2+b 1x+c 1，P 2(x)=x 2+b 2x+c 2，P 3(x)=x 2+b 3x+c 3. 则方程|P 1(x)|+ P 2(x)=| P 3(x)|至少有(C )个根．(A)4 (B)6 (C)8 (D)以上都不对2．(训练题36)函数212()log ()f x x ax a =---在区间(,1-∞上是减函数. 则a 的取值范围是(B )．(A)0≤a ≤2 (B)2(1≤a ≤2 (C)0≤a ≤2或a ≤－4 (D)2(1≤a ≤2或a ≤－43．(训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干条线段，使图中不存在四面体. 则图中最多有(D )个三角形．(A)21 (B)24 (C)25 (D)274．(训练题36)设A={(x ，y)| 0≤x ≤2，0≤y ≤2}，B={(x ，y)| x ≤10，y ≥2，y ≤x －4}是直角坐标平面xOy 上的点集. 则1211122,(,),(,)22x x y y C x y A x y B ⎧++⎫⎛⎫=∈∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭所成图形的面积是(D )． (A)6 (B)6.5 (C)2π (D)75．(训练题36)a 1，a 2，…，a 6是和为23的六个两两不同的正整数. 那么a 1a 2+ a 2a 3+…+ a 5a 6+ a 6a 1的最小值为(B )．(A)62 (B)64 (C)65 (D)676．(训练题36)设a R +∈，224(,)(1)(2)5A x y x y ⎧⎫=-+-≤⎨⎬⎩⎭与B={(x, y)||x －1|+2|y －2|≤a}是直角坐标平面xOy 内的点集. 则A B ⊆的充要条件是(A )．(A)a ≥2 (B)a a (D)a ≥3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题36)平坦的桌面上，放有半径分别1，2，2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切. 那么，这个小木球的半径为 4-2．(训练题36)设a 1≥a 2≥…≥a n 是满足下列条件的n 个实数：对任何整数k ＞0，有12k k k na a a +++≥0成立. 那么，p=max{|a 1|, |a 2|,…,|a n |}= 1a ． 3．(训练题36)m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117. 对于所有这样的m 与n ，3m+2n 的最大值是 37 ．4．(训练题36)已知点（a ，b ）在曲线arcsinx=arccosy 上运动，且椭圆ax 2+by 2=1在圆22x y += 的外部（包括两者相切的情形）. 那么，arcsinb 的取值范围为 ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ． 5．(训练题36)不等式123122x x +≥--的解集，是总长为 2 的一些不相交的区间的并集． 6．(训练题36)在四张卡片的正反面上分别写有0与1，0与2，3与4，5与6，将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得 124 个不同的三位数．三、(训练题36)(本题满分20分) 证明：（1）对于任何x ，数|sinx|与|sin(x+1)|中至少有一个大于13； （2）|sin10||sin11||sin12||sin 29|1101112296++++>． 四、(训练题36) (本题满分20分)通过四面体ABCD 的棱AD 和BC 的中点K 、N 作平面，交棱CD 点M ，交棱AB 于点L. 证明：（1）|DM|∶|MC|=|AL|∶|LB|；（2）面积S △KLN =S △KMN ．五、(训练题36) (本题满分20分)在复平面上有三个点：c 1=a+bi ，c 2=m+bi ，c 3=a+ni ，其中a ＞m ， n ＞b ，C 1C 2C 3（这里C i 表示复数c i 对应的点）组成一个三角．证明：满足1231110z c z c z c ++=---的复数z 所代表的点Z ，位于这个三角形的内部．第二试一、(训练题36)(本题满分50分)Rt △CDF 中，∠D=90°，DO ⊥CF ，O 为垂足. 以C 为圆心、CD 为半径作一圆，AA ′为过O 点的圆C 的动弦，E 为直线A ′A 上一点，且EF ⊥CF ．证明：由A 、A ′至EF 的距离的倒数和为定值．二、(训练题36)(本题满分50分)（1）当0≤x ≤1时，求函数()2)1)h x =⋅的取值范围；（2）证明：当0≤x ≤1时，存在正数β2a x β-成立的最小正数α=2. 并求此时的最小正数β．三、(训练题36)(本题满分50分)（1）对于三点A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)组成的三角形，有x 1＜x 2＜x 3．证明：当d 适当小时，点(x 2，y 2－d)及点(x 2，y 2+d)，一在形内，一在形外．（2）S 是平面上n(n ≥3)个点A i 组成的集合，S 中任三点不共线．证明：平面上存在一个含有2n－5个点的集合P，使S中任意三点所组成的三角形内部至少有一个P集中的点. 试问：对于怎样的n点，这样的P集的点数尚可减少？沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
数学奥林匹克高中训练题134
数学奥林匹克高中训练题（134）第一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．以正十二边形的顶点作为三角形的顶点，可构成锐角三角形和钝角三角形共计__________个．2．设多项式()f x 满足()2213(1)101132f x f x x x ++-=++．则()f x =__________． 3．30!末尾最后一个不为零的数字为__________．4．F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点．对于定点(22A PA PF =-+，的最小值是__________．5．设44sin cos 1(0)a b a b a bθθ+=>+、．则8833sin cos a bθθ+=__________．6．四面体ABCD 中，有一条棱长为3，其余的五条棱长都为2．则其外接球的半径为__________．7．若在任何n 个连续的正整数中，必存在一数，其各位数字之和是7的倍数，则最小的n =__________．8．正实数集合X 满足：x X ∈当且仅当{}2x x +为整数（其中，{}x 表示x 的小数部分）．将X 中各数按严格递增顺序排列，则前100项之和是__________． 二、解答题（共56分） 9．（16分）给定一个四面体，若存在一个侧面（其所在平面为α），使得在将其余三个侧面分别绕其位于平面仅上的边向体外方向旋转至平面α上时，四个侧面在平面α共同组成的图形恰好是一个三角形，则称该四面体是一个“平展四面体”．若有一个平展四面体，它的一个侧面的三边长为a b c 、、，试确定a b c 、、的关系，并求该四面体的体积（用a b c 、、表示）． 10．（20分）P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一定点，以P 为圆心作一个圆，与椭圆的长轴AB 交于点M N 、，设P M P N 、分别交椭圆于点E F 、．证明：直线EF 的斜率为定值．11．（20分）给定两个数列，满足{}01113n a a a ==，∶，21164()n n n a a n a ++-+=∈N ；{}01n b b =∶，19)n n b b n +=∈N ．证明：对任意的n ∈N ，n n a b +可表为两个正整数的平方和．加试一、（40分）如图1，四边形ABCD 内接于圆，E 是弧 CD 上的任意一点，点D 关于边BC CA AB 、、的对称点分别为123D D D 、、，联结1ED 、2ED 、3ED 分别交BC CA AB 、、所在直线于点1E 、2E 、3E ．证明：图1D 1D 2D 3E 3E 1ABC DE E 2（1）1D 、2D 、3D 三点共线； （2）1E 、2E 、3E 三点共线． 二、（40分）证明：满足不等式122001012200x x x +++>--- 的实数x 的集合E 可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和． 三、（50分）一个正整数若不含大于1的平方因子，则称此数是“单纯的”．试确定在1，2，⋯，2 010中，共有多少个数是单纯的?四、（50分）对于集合{1222}n M n = ，，，，()n +∈N ，若存在两个数列 1212()()n n A a a a B b b b == ，，，，，，，满足（i ）{}|12k k a b k n Mn == ，，，，， （ii ）(12)k k a b k k n -== ，，，， 则称n M 为一个“友谊集”，称()A B ，为n M 的一种“友谊排列”．如(310796)A =，，，，和(28451)B =，，，，便是集合5M 的一种友谊排列，记为 31079 6 28451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，，，，，，． （1）证明：若n M 为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；（2）确定集合4M 及5M 的全体友谊排列．参考答案第一试一、1．160．圆周12个点，可得三角形312C 220=个；12等分圆的弦中有直径6条，每条直径对应10个直角三角形，故得60个直角三角形． 因此，锐角三角形和钝角三角形有 220-60=160（个）． 2．2235x x ++．注意到(1)f x +与(1)f x -的次数相同，而右边为二次的，故设2()f x ax bx c =++． 代入题设等式并比较两边系数得 235a b c ===，，． 因此， 2()235f x x x =++． 3．8． 注意到2614742230!2357111317192329=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．则1914422730!23711131719232910=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1914422237137939(mod10)≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．因为43、47模10均余1，且42n 模10余6，所以， 3730!28(mod10)10≡≡． 4．10．易知，椭圆的离心率为12，右准线l 的方程为8x =，点A 到l 的距离为10． 设点P 到l 的投影为H ．则 12PF PH=． 故210PA PF PA PH +=+≥． 当点P 在线段AH 上时，取此最小值．5．31()a b +．记2sin x θ=．则题设等式变为22(1)1x x a b a b-+=+．解得1a bx x a b a b=-=++，． 故88443333sin cos (1)x x a b a b θθ-+=+ 4311()()()a b a b a b =+=++． 6． 如图2，设3BC =，2AB AC AD BD CD =====，图2AB CDEFH OE F 、分别是BC AD 、的中点．则点D 在面ABC 上的射影H 是ABC △的外心，且外接球球心O 在DH 上．因ABC DBC △△≌，所以，AE DE =． 于是，EF 为AD 的中垂线．因此，球心O 是DH 与EF 的交点，且是等腰EAD △的垂心． 记球半径为r ．由DOF EAF △△∽，得AE DFr EF⋅=． 而222372124AE DF AF ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，，22234EF AE AF =-=，所以，r =． 7．13．首先指出，12个连续正整数（如994，995，⋯，1 005），其中任一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n ≥．其次说明，任何连续13个正整数中，必有一个数，其各位数字之和是7的倍数． 对每个非负整数a ，设其各位数字之和为()f a ，称集合 {}10101109a A a a a =++ ，，，为一个“基本段”，其对应的f 值依次为()()1()9f a f a f a ++ ，，，．故a A 中任意连续7个数中必有一个，值为7的倍数．于是，13个连续正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段． 上述两种情况中，均有连续的7个数，属于同一个基本段，其中必有一个的，值是7的倍数．因此，所求的最小值为13． 8．2 475+显然，每个正整数x 皆属于X ，将其按严格递增顺序依次记为12a a ，，…． 下面考虑X 中不是正整数的元素，将其按严格递增顺序依次记为12b b ，，…． 因{}x x 2+为整数当且仅当{}{}2x x +为整数，且{}01x <<，所以，{}{}21x x +=．解得{}x =．从而，1(12)k k b k a k k =-+== ，，，且X 的前100项自小到大排列是： 11225050b a b a b a ，，，，，，．故501001()2475k k k S b a ==+=+∑二、9．如图3，若四面体PDEF 为平展四面体，且沿DEF △所在平面展平后的三角形为ABC △，则DE 、EF FD 、为ABC △的中位线．ABC △被其三条中位线所划分成的四个全等三角形构成四面体的四个侧面，从而，四面体中共顶点的三个面角恰等于ABC △的三个内角．故ABC △为锐角三角形，且三边长为222a b c 、、．DEFP图3不妨设PD EF a ==， PE DF b PF DE c ====，． 则由ABC △为锐角三角形知222222222b c a c a b a b c +>+>+>，，．下面计算四面体PDEF 的体积V ． 设DEF △的外接圆半径为R ， FDE DEF EFD αβγ∠=∠=∠=，，． 则PDE β∠=，PDF γ∠=．设二面角P DE F --的平面角为ϕ．则cos cos cos cos sin sin γαβϕαβ-⋅=⋅．故sin ϕ=注意到4DEF PDE abcS S R==△△， 且2sin 2sin a R b R αβ==，，则 2sin 3DEF PDE S S V DEϕ⋅=△△13==10．如图4，作O ：222x y a +=，分别过点P E F 、、作x 轴的垂线，图4垂足为H 、L 、T ，交O 于点C 、D 、G 、Q ．设椭圆上的各点坐标为 (cos sin )E a b αα，， (cos sin )F a b ββ，， (cos sin )P a b θθ-，，则(cos sin )D a a θθ-，， (cos sin )(cos sin )G a a Q a a ααββ，，，． 注意到 sin sin sin sin NT TF b a TQNH HP b a HD ββθθ====--． 所以，D N Q 、、三点共线． 同理，D M G 、、三点共线． 因为HM HN =，所以， MDH NDH ∠=∠．则C 为劣弧 GQ的中点，即2αβθ+=．故(sin sin )(cos cos )EF b k a αβαβ-=-=-cot cot 2b b a aαβθ+=-． 又因P 为定点，所以，θ为定值． 故斜率EF k 为定值． 11．对于数列{}n a 有 013113233a a a ===，，．由2222112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++= 221212(64)n n n n a a a a ++++++=221212(64)n n n n a a a a ++++++=211313122n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++++==，于是，对任意的n ∈N ， 2021112331813n n n a a a a a a +++++===． 所以，2118n n n a a a ++=-． ①对于数列{}n b ，由条件知数列严格递增．将19n n b b +-221118640n n n n b b b b ++-++=．②在式②中用1n +代替n 得22212118640n n n n b b b b ++++-++=． ③由式②、③知，2n n b b +、是关于t 的方程 221118640n n t b t b ++-++=的两个相异根，于是，由根与系数关系得 2118n n n b b b +++=，即210118113n n n b b b b b ++=-==，，． ④ 由式①、④知，{}{}n n a b 、为同一个数列，因此， 2()n n n a b a n +=∈N ．又据式①知，数列{}n a 的各项为正整数，且 22022122232210113232338134 1813455.a a a a ==+==+==+==+，，，构作辅助数列{}{}n n x y 、，其中， 0112024(2)n n n x x x x x n --===+，，≥； ⑤ 0112134(2)n n n y y y y y n --===+，，≥． ⑥显然，当1n ≥时，n n x y 、皆为正整数，且 n n y x >．下面证明：对任意的n ∈N ，22()()0n n n f n a x y =-+=．⑦对n 用数学归纳法． 当3n ≤时已验证．设当n k <时，式⑦成立． 当n k =时，由于 ()(2)f k f k +-2222222()()k k k k k k a x y a x y ---=-++-+222212218()()k k k k k a x y x y ---=-+-+222222111118()()(4)(4)k k k k k k k k x y x y x x y y ----=+-+----222211112(44)k k k k k k k k x x x x y y y y ----=+-++-2211112()k k k k k k x x x y y y +-+-=-+-，则(1)(3)f k f k -+-2221212()k k k k k k x x x y y y ----=-+-222211112(44)k k k k k k k k x x x x y y y y ----=--+--()(2)f k f k =---．而据归纳假设有(1)(2)(3)0f k f k f k -=-=-=． 因此，()0f k =．故由归纳法，对一切n ∈N ，式⑦成立． 由式⑦得2222()n n n n n a b a x y +==+22()()n n n n y x y x =-++，其中，n n n n y x y x -+、为正整数．加 试一、（1）设123DD DD DD 、、分别与BC CA AB 、、交于点123F F F 、、． 由西姆松定理知123F F F 、、三点共线．而12121313D D F F D D F F ，∥∥，则123D D D 、、三点共线． （2）由于A B C D 、、、四点共圆，则 2122DAD DAC DBE ∠=∠=∠ 1DBD =∠，DAE DBE ∠=∠．相减得21EAD EBD ∠=∠． 故1212EBD EAD S BE BD BE BDS AE AD AE AD ⋅⋅==⋅⋅△△． 同理，31EAD ECD S AD AES CD CE⋅=⋅，△△23ECD EBD S CD CES BD BE⋅=⋅△△．由于点123E E E 、、分别在ABC △的三边BC CA AB 、、所在直线上，且 312312AE BE CE E B E C E A⋅⋅312312EAD EBD ECD EBD ECD EAD S S S S S S =⋅⋅△△△△△ 312123EAD EBD ECD ECD EAD EBD S S S S S S =⋅⋅△△△△△△ 1AD AE BE BD CD CECD CE AE AD BD BE⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅，故由梅涅劳斯逆定理得123E E E 、、三点共线． 二、考虑函数()122001012200f x x x x =+++---- ． 当1x <时，()0f x <，故在区间(1)-∞，内，不存在使()0f x >的实数x ． 对于集合{12200} ，，，中的任一个k ，当0x k →-时，()f x →-∞，而当0x k →+时，()f x →+∞，且当x →+∞时，10x →-，所以，方程()0f x =在区间 （1，2），（2，3），…，（199，200），（200，+∞）内各有一个解． 依次记这200个解为12200x x x ，，，． 构作多项式()(1)(2)(200)()P x x x x f x =--- ．由于()P x 是一个200次多项式，故方程()0P x =至多有200个互异根．显然，每个使()0f x =的i x 都是()0P x =的根．因此，12200x x x ，，，是()0P x =的全部根． 这表明，每个k x 是其所在区间(1)k k +，(12199)k = ，，，及(200)+∞，中的唯一根． 从而，不等式()0f x >的解集是 12200(1)(2)(200)E x x x = ，，，．故所有区间长度的总和为11200(1)(2)(200)S x x x =-+-++- 12200()(12200)x x x =+++-+++=2001102010i i x =-⨯∑．①注意到20020011()()10i i i P x x i x i==⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∏,如将()P x 展开，其最高次项系数为-10．所以，()P x 中的199x 的系数是()20011011120 100k k =+=⨯∑．从而，200111 2 010i i x ==⨯∑．由式①得200110 2 010 2 010i i S x ==-⨯=∑．三、注意到2 010<245．于是，若集合{12 2 010}M = ，，，中的某数n 不单纯，则必含有质数集 {235711131719232931374143}N =，，，，，，，，，，，，， 中的一个或多个平方因子．以下记22220102010()()s p s p q p p q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，等等． 则()()()25023223580s s s ===，，，()()()74111161311s s s ===，，，()()()176195233s s s ===，，，()()29312s s ==，()()()3741431s s s ===． 利用a a n m mn ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，得 (23)55(25)20(27)10s s s ===，，，，，，(211)4(213)2(217)1s s s ===，，，，，，(219)15(223)0(35)8s s ===，，，，，，(37)4(311)(313)1s s s ===，，，，，(317)0(57)1(511)0s s s ===，，，，，；(235)2(237)1s s ==，，，，，，(2311)(357)0s s ==，，，，．故所求为2010()()()p N p q N p q r N s p s p q s p q r ∈∈∈-+-∑∑∑、、、，，，=2 010(5022238041161165322111)-+++++++++++++ ()()55201042118411121+++++++++++-+2 0108941083 1 221=-+-=．四、（1）由题设对Mn 的任意一种友谊排列()A B ，，作()A B ，的对偶排列()A B ，，其中， 1212()()n n A a a a B b b b == ，，，，，，，2121(12)i i i i a n b b n a i n =+-=+-= ，，，，． 显然，()A B ，也是M 的一种友谊排列，且若12A A ≠，则12A A ≠． 再证A A ≠． 事实上，假若A A ≠，则由22222123a a n b n a ==+-=+-，得2223a n =+，矛盾． 从而，n M 的所有友谊排列可分成若干个对偶排列组，每组两个．因此，n M 的友谊排列有偶数种．（2）设4M 的友谊排列为12341234a a a a b b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，，，，． 则4411()10k k k k a b k ==-==∑∑．又4811()36k k k k a b k ==+==∑∑，以上两式相减得123413b b b b +++=． ①显然，1B ∈而8A ∈．于是，由式①得1234{}B b b b b =，，，只有三种情况： {1237}{1246}{1345}B =，，，，，，，，，，，．（i ）{1237}B =，，，． 则{4568}A =，，，． 由于14i i a b ≤-≤，于是，A 中的元素8只能与B 中的元素7搭配． 而A 中的元素6只能与B 中的元素2或3搭配，因此，只有两种排列128465854672317312T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，． （ii ）{1246}B =，，，． 则{3578}A =，，，．于是，A 中的元素7、8只能与B 中的元素4或6搭配，也只有两种排列343875735826416124T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，． （iii ）{1345}B =，，，． 则{2678}A =，，，． 于是，A 中的元素2只能与B 中的元素1搭配，8只能与4或5搭配，只有两种排列562768268715341453T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，． 因此，4M 共有6种友谊排列．同理，5M 共有10种友谊排列：124109579541073861283162T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，，，，，′′， 341074681048769512392531T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，，，，，′′， 569376103107968142528451T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，，，，，′′， 782610982968101475317345T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，，，，，′′， 9108351093810597126426714T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，，，，，，，，，，，，，，′′． （陶平生江西科技师范学院数学与计算机科学系．330013）。
奥林匹克数学题型数值分析基础
奥林匹克数学题型数值分析基础奥林匹克数学题型：数值分析基础数值分析是数学的一个分支，用于解决数值计算问题，以及分析数值解的误差和收敛性。
在奥林匹克数学竞赛中，数值分析是一个重要的题型。
本文将介绍奥林匹克数学竞赛中涉及的数值分析基础知识和解题技巧。
一、整数运算在奥林匹克数学竞赛中，整数运算是最基础的计算题型之一。
它要求选手能够熟练进行整数的加减乘除运算，计算结果可以是整数、分数、小数等形式。
同时，选手还需要注意运算过程中的进位、借位、除法的余数等细节问题。
二、多项式插值多项式插值是数值分析中常用的一种方法，用于通过已知数据点的函数值，构造出一个经过这些数据点的多项式函数。
在奥林匹克数学竞赛中，常出现需要通过已知数据点的函数值，找出满足某些条件的多项式函数的问题。
这就需要选手掌握多项式插值的理论知识和计算方法。
三、数值积分数值积分是计算曲线或者曲面下的面积、体积等物理量的一种方法。
在奥林匹克数学竞赛中，常常出现需要计算某个曲线或者曲面下的面积、体积的问题。
选手需要熟悉数值积分的基本原理和计算方法，例如用矩形法、梯形法、辛普森法等近似计算积分的方法。
四、线性方程组的数值解法线性方程组是数值分析中经常出现的问题之一，解线性方程组可以通过直接法和迭代法两种方法。
在奥林匹克数学竞赛中，选手往往需要运用适当的数值解法，求解给定的线性方程组。
对于规模较大的线性方程组，迭代法是一种常用的解法，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
五、数值微分与数值微分方程数值微分是数值分析中重要的内容之一，它研究如何用差商来近似计算函数的导数。
在奥林匹克数学竞赛中，常常出现需要求解数值微分或数值微分方程的问题。
选手需要了解数值微分的基本概念和计算方法，例如用差分法、前进差分、后退差分等方法进行数值微分的近似计算。
结论：奥林匹克数学竞赛中的数值分析基础题型涵盖了整数运算、多项式插值、数值积分、线性方程组的数值解法、数值微分与数值微分方程等多个方面。
奥林匹克训练题库·数值代入法
数值代入法26 有甲、乙、丙三个数，已知甲数是乙数的 3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲数是乙、丙两数之和的几倍？27 甲、乙二人同时出发从A地到B地，甲骑自行车，乙前一半路程骑摩托车，后一半路程步行。
已知骑自行车的速度是步行的2倍，是骑摩托车上（含80分），他们的平均分数是90分。
求低于80分的人的平均分。
分数线高4分，而没达到优秀的学生的平均分比优秀的分数线低11分，所有学生的平均分是 87分。
问：优秀的分数线是多少分？31 有一堆苹果平均分给甲、乙两班的每个人，每人得6个苹果。
若只分给甲班，则每人得10个苹果。
如果只分给乙班，那么每人得几个苹果？，那么这时A桶中的水是B桶中水的几分之几？33 一次考试共有5道试题。
做对第1，2， 3，4，5题的分别占参加考试人数的81％，91％，85％，79％，74％，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？34 甲、乙两人步行的速度之比是9∶7，若甲、乙分别由A，B两地沿同一公路同向而行，则甲追上乙需4时，若相向而行，则多长时间相遇？35 一艘轮船往返于A，B两地，去时顺流每时行36千米，返回时逆流每时行 24千米，往返一次共用 15时。
A，B两地相距多少千米？36 在一个梯形内有两个面积分别是6和8的三角形（右图），梯形下底的长是上底长的2倍。
求阴影部分的面积。
37 李彦以每分行 100米的速度从家步行到学校去，到校门口发现书包忘带了，他立刻借了一辆自行车，以每分行300米的速度回家，拿了书包又返回学校。
如果借自行车及拿书包的时间忽略不计，那么李彦从第一次离家到第二次到校期间的平均速度是多少？38 商店购进甲、乙两种不同的糖，所用费用之比为2∶1，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克2元。
如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？。
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数值代入法
26 有甲、乙、丙三个数，已知甲数是乙数的 3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲数是乙、丙两数之和的几倍？
27 甲、乙二人同时出发从A地到B地，甲骑自行车，乙前一半路程骑摩托车，后一半路程步行。
已知骑自行车的速度是步行的2倍，是骑摩托车
上
（含80分），他们的平均分数是90分。
求低于80分的人的平均分。
分数线高4分，而没达到优秀的学生的平均分比优秀的分数线低11分，所有学生的平均分是 87分。
问：优秀的分数线是多少分？
31 有一堆苹果平均分给甲、乙两班的每个人，每人得6个苹果。
若只分给甲班，则每人得10个苹果。
如果只分给乙班，那么每人得几个苹果？
，那么
这时A桶中的水是B桶中水的几分之几？
33 一次考试共有5道试题。
做对第1，2， 3，4，5题的分别占参加考试人数的81％，91％，85％，79％，74％，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？
34 甲、乙两人步行的速度之比是9∶7，若甲、乙分别由A，B两地沿同一公路同向而行，则甲追上乙需4时，若相向而行，则多长时间相遇？
35 一艘轮船往返于A，B两地，去时顺流每时行36千米，返回时逆流每时行 24千米，往返一次共用 15时。
A，B两地相距多少千米？
36 在一个梯形内有两个面积分别是6和8的三角形（右图），梯形下底的长是上底长的2倍。
求阴影部分的面积。
37 李彦以每分行 100米的速度从家步行到学校去，到校门口发现书包忘带了，他立刻借了一辆自行车，以每分行300米的速度回家，拿了书包又返回学校。
如果借自行车及拿书包的时间忽略不计，那么李彦从第一次离家到第二次到校期间的平均速度是多少？
38 商店购进甲、乙两种不同的糖，所用费用之比为2∶1，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克2元。
如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？。