【全国通用-2018高考推荐】高三数学《直线、圆与圆锥曲线交汇》专题突破提升练4(通用版)
2018年全国高考数学试题分类汇编考点40直线与圆锥曲线的位置关系
考点40直线与圆锥曲线的位置关系一、解答题1.(12分)(2018年全国卷I高考理科·T19)设椭圆C:＋y2＝1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA＝∠OMB.【试题解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x＝1.代入＋y2＝1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y＝-x＋或y＝x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y＝k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA＋k MB＝＋.则x由y1＝kx1-k,y2＝kx2-k得k MA＋k MB＝.将y＝k(x-1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2-4k2x＋2k2-2＝0.所以,x1＋x2＝,x1x2＝.则2kx1x2-3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而k MA＋k MB＝0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA＝∠OMB.综上,∠OMA＝∠OMB.2.(12分)(2018年全国卷I高考文科·T20)设抛物线C:y2＝2x,点A,B,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明:∠ABM＝∠ABN.【试题解析】(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x＝2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y＝k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1＞0,x2＞0.由得ky2-2y-4k＝0,可知y1＋y2＝,y1y2＝-4.直线BM,BN的斜率之和为k＋k BN＝＋＝.①BM＋2,x2＝＋2及y1＋y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得将xx2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以k BM＋k BN＝0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM＝∠ABN.综上,∠ABM＝∠ABN.3.(2018年全国卷II高考理科·T19)(12分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【试题解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y＝k(x-1)(k＞0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0,故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8,解得k＝-1(舍去),k＝1.因此l的方程为y＝x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2＝-(x-3),即y＝-x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2＋(y-2)2＝16或(x-11)2＋(y＋6)2＝144.4.(2018年全国卷II高考文科·T20)(12分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【试题解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y＝k(x-1)(k＞0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0,故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8,解得k＝-1(舍去),k＝1.因此l的方程为y＝x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2＝-(x-3),即y＝-x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2＋(y-2)2＝16或(x-11)2＋(y＋6)2＝144.5.(2018年全国Ⅲ高考理科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:＋＝1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k＜-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且＋＋＝0.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【试题解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则＋＝1,＋＝1.两式相减,并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1,＝m,于是k＝-.①由题设得0＜m＜,故k＜-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)＋(x1-1,y1)＋(x2-1,y2)＝(0,0).由(1)及题设得x3＝3-(x1＋x2)＝1,y3＝-(y1＋y2)＝-2m＜0.又点P在C上,所以m＝,从而P,||＝.于是||＝＝＝2-.同理||＝2-.所以||＋||＝4-(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|＝|||-|||＝|x1-x2|＝.②将m＝代入①得k＝-1.所以l的方程为y＝-x＋,代入C的方程,并整理得7x2-14x＋＝0.故x1＋x2＝2,x1x2＝,代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或-.6.(本小题14分)(2018年北京高考理科·T19)已知抛物线C:y2＝2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,＝λ,＝μ,求证:＋为定值.【命题意图】考查圆锥曲线中的取值范围与定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【试题解析】将点P代入C的方程得4＝2p,即p＝2,所以抛物线C的方程为y2＝4x,(1)方法一(代数法):显然l斜率存在,设为k,则l:y＝kx＋1,由消去y得k2x2＋(2k-4)x＋1＝0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以Δ＝-16k＋16＞0且k2＋(2k-4)＋1≠0,即k＜1,且k≠-3,且k≠1,所以k＜1,且k≠-3,即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2＝(x-1),令x＝0得y＝-＋2,即点M为(0,-＋2),所以＝(0,-＋1),又＝(0,-1),＝λ,所以(0,-＋1)＝λ(0,-1),所以λ＝-1＝,＝,又点A(x1,y1)在直线l:y＝kx＋1上,所以＝＝＝-,同理＝-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1＋x2＝-,x1x2＝,所以＋＝-＋-＝-＝-·＝-·＝＝2,即＋为定值2.7.(本小题满分14分)(2018年天津高考理科·T19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|＝6.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设直线l:y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【试题解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知得＝,又由a2＝b2＋c2,可得2a＝3b.由已知可得,|FB|＝a,|AB|＝b,由|FB|·|AB|＝6,可得ab＝6,从而a＝3,b＝2.所以,椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1＞y2＞0,故|PQ|sin∠AOQ＝y1-y2.又因为|AQ|＝,而∠OAB＝,故|AQ|＝y2.由＝sin∠AOQ,可得5y1＝9y2.由方程组消去x,可得y1＝.易知直线AB的方程为x＋y-2＝0,由方程组消去x,可得y2＝.由5y1＝9y2,可得5(k＋1)＝3,两边平方,整理得56k2-50k＋11＝0,解得k＝或k＝.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018年天津高考文科·T19)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,|AB|＝.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y＝kx(k＜0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)结合离心率,线段AB的长,利用方程思想,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)注意△BPM与△BPQ同底,且△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|＝2|PQ|,再利用解析法即可求解.【试题解析】(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得＝,又由a2＝b2＋c2,可得2a ＝3b.又|AB|＝＝,从而a＝3,b＝2.所以,椭圆的方程为＋＝1.(II)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2＞x1＞0,点Q 的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|＝2|PQ|,从而x2-x1＝2[x1-(-x1)],即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6,由方程组消去y,可得x2＝.由方程组消去y,可得x1＝.5x1,可得＝5(3k＋2),两边平方,整理得18k2＋25k＋8＝0,解得由xk＝-,或k＝-.当k＝-时,x2＝-9＜0,不合题意,舍去;当k＝-时,x2＝12,x1＝,符合题意.所以,k的值为-.9.(本小题满分16分)(2018年江苏高考·T18)如图,在平面直角坐标系xOy,0),中,椭圆C过点,焦点FF,0),圆O的直径为F1F2.2((1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.,0),F2(,0),可设椭圆C的方【试题解析】(1)因为椭圆C的焦点为F程为＋＝1(a＞b＞0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为＋y2＝1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2＋y2＝3.y0)(x0＞0,y0＞0),则＋＝3,(2)①设直线l与圆O相切于P(x所以直线l的方程为y＝-(x-x0)＋y0,即y＝-x＋..(*)由消去y,得(4＋)x2-24x因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,2-4(4＋)(36-4)＝48(-2)＝0.所以Δ＝(-24xy0＞0,所以x0＝,y0＝1.因为x因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP＝,从而AB＝.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2＝,所以AB2＝(x1-x2)2＋(y1-y2)2＝·.因为＋＝3,所以AB2＝＝,即2-45＋100＝0,解得＝(＝20舍去),则＝,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y＝-x＋3.10.(2018年浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2＝4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴.(Ⅱ)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【试题解析】(Ⅰ)设P (x 0,y 0),A,B.因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以y 1,y 2为方程＝4·即y 2-2y 0y ＋8x0-＝0的两个不同的实数根. 所以y 1＋y 2＝2y 0. 因此,PM 垂直于y 轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知所以|PM |＝(＋)-x0＝-3x 0,|y 1-y 2|＝2.因此,△PAB 的面积S△PAB ＝|PM |·|y 1-y 2|＝(-4x 0.因为＋＝1(x0＜0),所以-4x 0＝-4-4x 0＋4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是.。
2018版高三数学一轮温习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第九章节 直线和圆
数学
能力大提升 1
思想方法 1 平行直线系
由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时, 它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
第九章·第二讲 直线的位置关系
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能力大提升 2
示例5 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 解析 依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1), 因为直线过点(1,2), 所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11. 因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.
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A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0
A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
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知识全通关 2
第九章·第二讲 直线的位置关系
注意 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时， 不要忘记一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零的情况。
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题型全突破 12
考法示例3 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第3部分考前增分策略专题16.直线、圆、圆锥曲线(含答案)
6.直线、圆、圆锥曲线■要点重温…………………………………………………………………………· 1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)； (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k ＝tan α的图象(如图22)．图22[应用1] 已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 2．直线方程的几种形式：点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．[应用2] 若直线在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0或y ＝2x 3．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒： A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，A 1A 2≠B 1B 2，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案] 1513265．圆的方程：(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(3)以线段P 1P 2为直径的圆方程：(x －x 1)(x －x 2)＋ (y －y 1)(y －y 2)＝0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．[应用5] (1) 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.(2)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程． [答案] (1)－1(2)x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或 x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0 6．直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l ＝2r 2－d 2. (2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系． [应用6] 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为12，所以直线AB 的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －3＝0.故选A. [答案] A7．(1) 圆锥曲线的定义和性质[应用7] (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.19 B ．125 C.15D ．13(2)若x 2m ＋y 2n＝1表示椭圆，则m ，n 应满足的关系是________.(3)已知椭圆的离心率为12，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．[解析] (1)由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴M (1,4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故选A.[答案] (1)A (2)m ＞0，n ＞0，m ≠n (3)x 216＋ y 212＝1和 x 2434＋ y 2433＝18．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2D ．1∶3[解析] 由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2. [答案] C[应用9] 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2kk －k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k k －k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1C [因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝|3＋2|5＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．32 C ．12D ．1C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜率为－b 2x 中a 2y 中＝－－12×1＝12，选C.] 4．若抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ．32C ．1D ．2D [设抛物线的焦点为F (0,1)，AB 的中点为M ，准线方程为y ＝－1，则点M 到准线的距离d ＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝3，即点M 到准线的距离的最小值为d min ＝3，所以点M 到x轴的最短距离d ′min ＝d min －1＝2，选D.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的点，点M 为圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1上的动点，点N 为圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1上 的动点，则|PM |＋|PN |的最大值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ． 20B [由题可知，(|PM |＋|PN |)max ＝|PC 1|＋|PC 2|＋2＝12，故选B.]6．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1、C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5 B ．5－1 C.5＋1 D ．5＋12D [如图所示，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以AN ＝F 2N ＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，所以在Rt△F 1F 2N 中，cos∠NF 1F 2＝2b 2c ＝b c ，在Rt△F 1AN 中，cos∠F 1NA ＝2a 2b ＝a b ，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c ＝a b ，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解之得e ＝1＋52，故选D.]7．已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4B [因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率相同，所以e ＝c a ＝52，解得b a ＝12，即双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0，又因为OM ⊥MF 2，△OMF 2的面积为16，所以12|OM |·|MF 2|＝|MF 2|2＝16，解得|MF 2|＝4，即右焦点F 2(c,0)到渐近线x －2y ＝0的距离为4，所以c5＝4，解得c ＝45，a ＝4552＝8,2a ＝16，即双曲线C 2的实轴长为16.故选B.]8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152xB [依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.]9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝2x －4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－25 5，2＋25 5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－25 5∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋25 5，4B [点M 既在圆C 上，又在圆D 上，所以圆C 和圆D 有公共点，圆C 的圆心为(a,2a －4) ，半径为1，圆D 的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距a 2＋a －4＋2＝5a 2－12a ＋9 ，满足⎩⎨⎧5a 2－12a ＋9≤35a 2－12a ＋9≥1，解得：0≤a ≤125，故选B.]10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0)D ．(9,0)A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0), 则PA ：x 1x ＋y 1y ＝4；PB ：x 2x ＋y 2y ＝4; 即x 1x 0＋y 1y 0＝4；x 2x 0＋y 2y 0＝4；因此A 、B 在直线x 0x ＋y 0y ＝4上，直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝4，又x 0＋2y 0－9＝0，所以(9－2y 0)x ＋y 0y ＝4⇒y 0(y －2x )＋9x －4＝0即y －2x ＝0,9x －4＝0⇒y ＝89，x ＝49，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，选A.] 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，点C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1→·B 1F 2→＝2，且CF 1⊥B 1F 2，则椭圆的方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2，B 1F 1→·B 1F 2→＝(－c ，－b )·(c ，－b )＝－c 2＋b 2＝2①，CF 1→⊥B 1F 2→，可得CF 1→·B 1F 2→＝0，即有⎝⎛⎭⎪⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝－32c 2＋b 22＝0②，解得c ＝1，b ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2，可得椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋c (0≤m <a b )，联立双曲线方程，消去x ，得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 4＝0，所以y 1＋y 2＝－2b 2mc b 2m 2－a 2①，y 1y 2＝b4b 2m 2－a2②.因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即m 2y 1y 2＋mc (y 1＋y 2)＋c 2＋y 1y 2＝0，代入①②整理，得b 4m2－2b 2m 2c 2＋c 2b 2m 2－a 2c 2＋b 4＝0,0≤m 2＝b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2.由b 4－a 2b 2≥0，得(c 2－a 2)2－a 2c 2≥0，即c 4－3a 2c 2＋a 4≥0，e 4－3e 2＋1≥0，解得e ≥1＋52；由b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2，得b 4－a 4－a 2c 2<0，即(c 2－a 2)2－a 4－a 2c 2<0，c 4－3a 2c 2<0，所以c a< 3.综上所述，e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3.]14．已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．[解] (1)易知椭圆右焦点F (1,0)，∴c ＝1，抛物线x 2＝43y 的焦点坐标(0，3)，∴b ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1 .(2)易知m ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1 ⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0. ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →得：λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2.∴λ1＋λ2＝－2－1m ·y 1＋y 2y 1·y 2＝－83.15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝43y 的焦点．(1)若A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设点P (－4,0)，连接PA 交椭圆C 于另一点E ，求证：直线BE 与x 轴相交于定点M ；(2)设O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点M 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS →·OT →的取值范围．[解] (1)证明：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线x 2＝43y 的焦点为(0，3)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 由题意可知直线PA 存在斜率，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，代入椭圆方程可得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，有－12<k <12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (x 1，－y 1)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3①，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3②直线BE 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，可得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2，将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式，整理可得x M ＝2x 1x 2＋4x 1＋x 2x 1＋x 2＋8③将①，②代入③整理可得x M ＝k 2－－128k2－32k 2＋k 2＋＝－1∴直线BE 与x 轴相交于定点M (－1,0)．(2)当过点M 的直线ST 的斜率为0时，S (－2,0)，T (2,0)，此时OS →·OT →＝－4.当过点M 的直线ST 的斜率不为0时，设直线ST 的方程为x ＝my －1，且设点S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1x 24＋y 23＝1，消去x 整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 从而OS →·OT →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1－1)(my 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2＋3m 2＋4－6m 23m 2＋4＋1＝－12m 2－53m 2＋4 ＝－4＋113m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－54综上所述，OS →·OT →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。
高三数学二轮复习《直线圆圆锥曲线》专题讲义
高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。
高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。
其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。
本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。
热点题型范例 一、动点轨迹方程问题例1．M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -= （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。
1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？二、圆的综合问题例2、在直角坐标系中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形ABC 的外接圆圆心为E 。
（1）若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点p 在圆E 上，使三角形PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，请说明理由。
三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =3.1已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．2 4.1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+4.2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6． 设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。
高三数学二轮复习 必考问题专项突破15 直线、圆及其交汇问题 理 试题
必15 直线、圆及其交汇问题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1．(2021·)设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案： A [由a ＝1可得l 1∥l 2，反之由l 1∥l 2可得a ＝1或者a ＝－2，应选A.] 2．(2021·)圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，那么( )． A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能答案：A [把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3＜0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交，选A.]3．(2021·)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案：C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，应选C.]4．(2021·)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，那么直线l 的斜率为________．解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，那么直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，∴圆心到直线的间隔 d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫222，解得k ＝1或者177.答案 1或者177本问题是整个解析几何的根底，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该局部高考考察的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或者填空题考察直线与方程、圆与方程的根本问题，偏向于考察直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深化考察那么与圆锥曲线结合进展．高考对解析几何的考察，主要考察直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题．运算才能与平面几何知识的灵敏运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算才能的训练，努力进步灵敏解题的才能．必备知识两直线平行、垂直的断定(1)①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，那么有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②假设两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，那么两直线平行； 假设两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，那么两直线垂直． (2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 那么有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.圆的方程(1)圆的HY 方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF ＞0.必备方法1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在详细求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．3．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的间隔 的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的间隔 的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的间隔 的最值．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公一共弦所在的直线方程．待定系数法求圆的方程对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题．该局部在高考中常以填空、选择的形式直接考察，或者是在解答题中综合轨迹问题进展考察．【例1】► 圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线x ＋3y ＝0相切于点Q (3，－3)，求圆C 的方程．[审题视点] [听课记录][审题视点] 先确定采用HY 方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．解 设圆C 的圆心为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b ＋3a －3＝3，a －12＋b 2＝1＋|a ＋3b |2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0或者⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－43，所以r ＝2或者r ＝6.所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或者x 2＋(y ＋43)2＝36.求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的根本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【打破训练1】 圆过点A (1,2)，B (3,4)，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆的方程． 解 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.设弦的两端点的横坐标分别为x 1、x 2.因圆在x 轴上截得的弦长为6，所以|x 1－x 2|＝6， 即D 2－4F ＝36，①又圆过点A (1,2)，B (3,4)，所以D ＋2E ＋F ＋5＝0，② 3D ＋4E ＋F ＋25＝0，③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝12，E ＝－22，F ＝27或者⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝7.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋12x －22y ＋27＝0或者x 2＋y 2－8x －2y ＋7＝0. 法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝b 2＋32，1－a 2＋2－b2＝r 2，3－a 2＋4－b2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝11，r 2＝130或者⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝10.故所求圆的方程为(x ＋6)2＋(y －11)2＝130，或者(x －4)2＋(y －1)2＝10. 直线与圆位置关系的考察直线与圆的位置关系是高考考察的热点，主要考察直线与圆的相交、相切、相离的断定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解才能．【例2】► 如下图，以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)B Q →·B P →是否为定值？假如是，求出其定值；假如不是，请说明理由． [审题视点] [听课记录][审题视点] 第(1)问由圆A 与直线l 1相切易求出圆的半径，进而求出圆A 的方程；第(2)问注意直线l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值前方可下结论．解 (1)设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，那么AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为：x ＝－2或者3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴A Q →·B P →＝0， ∴B Q →·B P →＝(B A →＋A Q →)·B P →＝B A →·B P →＋A Q →·B P →＝B A →·B P →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，那么B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又B A →＝(1,2)．∴B Q →·B P →＝B A →·B P →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .∴B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .∴B Q →·B P →＝B A →·B P →＝－51＋2k －10k1＋2k＝－5， 综上所述，B Q →·B P →是定值，且B Q →·B P →＝－5.(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的间隔d 及半弦长l2构成直角三角形关系来处理．(2)要注意分类讨论，即对直线l 分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或者推理不严谨．【打破训练2】 (2021·模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)假设圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)． 故可设圆的圆心坐标为(3，t )， 那么有32＋(t －1)2＝()222＋t 2.解得t ＝1，那么圆的半径为32＋t －12＝3.所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9，消去y 得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 由可得判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0，由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12，①由OA ⊥OB 可得x 1x 2＋y 1y 2y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a . 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.由①②可得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.直线、圆与圆锥曲线的交汇问题常以直线、圆、圆锥曲线为载体结合平面向量来命题，考察解决解析几何问题的根本方法与技能，正成为高考命题新的生长点．【例3】► (2021·三校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·F B →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)设出A 、B 、D 的坐标及l 的方程，进而表示出直线BD 的方程．再验证；(2)由FA →·FB →＝89可求直线l ，BD 的方程，再由A 、D 关于x 轴对称可设圆心M (t,0)，那么M到直线l ，BD 的间隔 相等．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)．(1)证明：将x ＝my －1代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1·(x －x 2)， 即y －y 2＝4y 2－y 1·⎝⎛⎭⎪⎫x －y 224.令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1.所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.因为F A →＝(x 1－1，y 1)，F B →＝(x 2－1，y 2)，F A →·F B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43.所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 又由①知y 2－y 1＝±4m2－4×4＝±437，故直线BD 的斜率4y 2－y 1＝±37， 因此直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到l 及BD 的间隔 分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4.由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或者t ＝9(舍去)，故圆M 的半径r ＝3|t ＋1|5＝23.所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49.对直线与圆的综合性问题，要认真审题，学会将问题拆分成根本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的才能．【打破训练3】 (2021·改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k .(1)当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的间隔 d .解 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎪⎫－23，－43.于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.直线问题“误〞汇易错点1：无视截距为零或者认为截距是间隔 的情况【例如1】► 经过点(2,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________________．解析 (1)直线在两坐标轴的截距为0时，直线方程为y ＝12x . (2)直线在两坐标轴的截距不为0时，设直线方程为x ＋y ＝a .因为点(2,1)在直线上，所以2＋1＝a ，即ax ＋yy ＝12x 或者x ＋y ＝3. 答案 y ＝12x 或者x ＋y ＝3 教师叮咛：考生可能产生2种错误，第1种错误：无视截距为零的情况，只答出第2种情况；第2种错误：认为截距是间隔 ，把直线在两坐标轴上的截距互为相反数的也带进来，导致有错误答案为“所求直线方程为y ＝12x 或者x ＋y ＝3或者x －y ＝1”. 【试一试1】 直线l 过点(2，－6)，它在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 解 当直线l 过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，合适题意，此时直线方程为y ＝－62x ＝－3x ，可化为3x ＋y ＝0； 当直线l 不过原点时，设它在x 轴上的截距为a (a ≠0)，那么它在y 轴上的截距为2a ，那么直线的截距式为x a ＋y 2a ＝1，把点(2，－6)的坐标代入得2a －62a＝1，解得a ＝－1，故此时直线的方程为－x －y 2＝1，可化为2x ＋y ＋2＝0. 综上，直线的方程为3x ＋y ＝0或者2x ＋y ＋2＝0.易错点2：无视直线的斜率不存在的情况【例如2】► 直线l 过点(－2,0)，直线x ＋2y －5＝0和3x －y －1＝0的交点到直线l 的间隔 为3，求直线l 的方程．[满分是解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，3x －y －1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，即直线x ＋2y －5＝0和3x －y －1＝0的交点坐标为(1,2)．(2分)(1)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，点(1,2)到该直线的间隔 为3，合适题意．(6分)(2)当直线l 的斜率存在时，设为k ，那么直线l 的点斜式方程为y ＝k (x ＋2)，可化为kx －y ＋2k ＝0. 依题意得|k －2＋2k |k 2＋1＝3， 解得k ＝－512. 所以，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋10＝0.(10分)综上，直线的方程为x ＋2＝0或者5x ＋12y ＋10＝0.(12分)教师叮咛：无视直线的斜率不存在的情形，也是一类常见错误.在相关问题中，需设直线的斜率时，一定要注意分析直线的斜率是否一定存在，不一定存在，就需分类讨论.【试一试2】 直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，那么a 等于( )．A ．1B ．0C ．1或者0D ．1或者－1答案： C [法一 依题意有a ·(2a －1)＋(－1)·a ＝0；解得a ＝0或者a ＝1. 法二 ①a ＝0时直线l 2斜率不存在，直线l 1的斜率为0，两直线垂直．②a ≠0时，直线l 1的斜率为a ，直线l 2的斜率为－2a －1a，因为直线l 1与直线l 2垂直，所以a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －1a ＝－1，解得aa 值为0或者1，选C.] 【试一试3】 C [将圆C 方程配方得：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆C 的圆心坐标和半径分别是：C (－1，－2)，R ＝2 2.设与直线l ：x ＋y ＋1＝0平行且间隔 为2的直线方程为x＋y ＋m ＝0，由|m －1|2＝2知，m ＝－1或者mm ＝－1时，圆心到直线的间隔 d 1＝|－1－2－1|2＝22＝R ，直线与圆相切，满足要求的点只有一个；当m ＝3时，圆心到直线的间隔 d 2＝|－1－2＋3|2＝0＜R ，直线与圆相交，满足要求的点有两个．故满足要求的点一共有3个．选C.]必考问题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
2019-2020年高考数学一轮复习专题突破提升练4直线圆与圆锥曲线的交汇问题
由
x2 4＋
y
2＝
1
，
y＝ kx＋ m，
得 (1 ＋ 4k2 ) x2＋ 8kmx＋ 4m2－ 4＝ 0.
则
Δ
＝
(8
km)
2－
4(1
＋
4k2)(4
m2－
4)
＝
16(1
＋
4k 2－
m2)
＞0，
x1＋
x2 ＝－
8km 1＋ 4k2 ， x1x2 ＝
4m2 －4
m2－ 4k2
1＋ 4k2，则 y1y2＝( kx1＋ m)( kx2＝－ x2 联立得
3x2－ 4x－t
＝ 0，由
Δ＝ 16＋ 12t
＝0
得
t
＝－
4 ，两条平行线间的距
3
离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得
4 d＝ 3.
【答案】 A x2 y2
2．双曲线 a2－ b2＝ 1( a＞ 0， b＞0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2，渐近线分别为
l 1， l 2，
率为 1 的直线 l 与抛物线 C交于 A，B 两点，则弦 AB的中点到抛物线准线的距离为 ________． 【解析】 设抛物线方程为 y2＝ 2px( p＞ 0) ，因为焦点 F 与双曲线的右焦点重合，故
p F(3,0) ，所以 2＝ 3， p＝ 6，抛物线方程为
y2＝12x，设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，过点 P(2,0)
1 PF1 ⊥PF2，即 | OP| ＝ 2| F1F2| ＝c，即
x20＋y20 ＝c2. 又因为
b y0 ＝ ax0 ，代入得
x 20＋
b ax0
最新-2018届高考数学二轮复习 第1讲 直线与圆考点突破课件 新 精品
l2：y＝－24mx－146，
∵l1∥l2∴－m＋ 1 1＝－24m且－4≠2m－＋m1
∴m＝1，故选 B.
答案：B
拓展提升——开阔思路 提炼方法 (1)在研究两直线平行时，要注意排除两直线重合的情况． (2)在利用斜率研究问题时，要注意斜率不存在的情况．
2．(2010·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1，1)关于原 点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于－13. (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x＝3 交于点 M、N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，说明理由． 解：(1)因为点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为 (1，－1)．设点 P 的坐标为(x，y)． 由题意得xy－＋11·xy＋－11＝－13， 化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故 8－4m2＝89，解得 m＝±43.
所以 l 的方程为 3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.
又由①知 y2－y1＝± 4m2－4×4＝±43 7，
7．直线与圆的位置关系 直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 的位置关系如下表.
方法 位置 关系
几何法：根据 d＝|Aa＋A2B＋b＋B2C| 与 r 的大小关系
代数法：Axx－＋aBy2＋＋Cy＝－0b，2＝r2， 消元得一元二次方程的判别式 Δ 的 符号
利用 d＝r 得 k＝±33，故应为－ 33， 33.
答案：C
拓展提升——开阔思路 提炼方法 对斜率的取值范围有正有负的情况，要注意分段．
2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word版含解析
2018年全国3卷第16题(直线与圆锥曲线)-2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例1.【2018年全国高考课标3第16题】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________． 解法一：点评：由题先设出直线方程，与抛物线方程联立，再借助条件90AMB =︒∠，化为向量语言转换为关于k 方程，进行求解。
解题以方程思想为指针，设而不求为桥梁，最终建立k 方程，完成求解。
解法二：同上，由90AMB =︒∠，则1MA MB k k ?-可得；2121211144011MA MBy y k k k k x x --??-?+=++ 2k \=.点评：将条件90AMB =︒∠，解读为1MA MBk k ?-，进行求解。
解法三：如图所示，点评：数形结合，将90∠的条件化为圆，运用圆的切线性质而简化运算。
AMB=︒二．方法总结,胸有成竹直线与圆锥曲线一直以来是我们高考关注的一个热点话题，主要涉及到圆锥曲线的方程和几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。
综合考查学生的数学思想、数学方法与数学能力。
1. 直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题求解的基本思路：由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。
这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，运用圆锥曲线的定义与平面几何的知识，化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；另外采取“设而不求”法，“点差法”与弦长公式及韦达定理，减少变量，建立方程去解决； 2. 基本知识与基本方法（1）．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．（2）．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．（3）．弦长公式1212||||AB x x y y =-=-． （4）．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）三.精选试题，能力升级1．【2018河南省焦作市高三联考】已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且32MO MF ==（O 为坐标原点），则MOF ∆的面积为（ ）A.2B. 12C. 14D.【答案】A2.【2018年全国高考课标1第11题】已知双曲线 22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN ∆为直角三角形，则MN =A.B. 3C.D. 4 【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ，从而得到030FON ∠=， 所以直线MN 的倾斜角为060或0120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为060，可以得出直线MN 的方程为2)y x -，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,22M N -B. 3．【2018湖南省长沙市高三联考】抛物线C ： 22(0)x py p =>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若OM N ∆的面积为12，则AF 的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A4．【2018山东省潍坊市二模】直线()2(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ， B 两点， F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（ ）A.3 B. 3C. 1D. 【答案】B【解析】分别过A ， B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ， N ，则AF AM =，BF BN =. 设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则()2,0P -.5．【2018衡水金卷】已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线l 分别交抛物线于点,A B ， 过点,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，两切线12,l l 交于点M ，若过点M 且与y 轴垂直的直线恰为圆221x y +=的一条切线，则p 的值为（ ） A.14 B. 12C. 2D. 4 【答案】C【解析】由题可知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F 0,,2p ⎛⎫⎪⎝⎭且过焦点F 的直线斜率存在， 所以可设直线:2p l y kx =+，联立方程组222{ ,20,22py kx x kpx p x py =+∴--==设()11,A x y ，()22,,B x y 则21212,2.x x p x x kp =-+=又由22x py =得2,,2x xy y p p =∴='所以过A 点的切线方程为()22111111111:,2x x x x x l y y x x y y x x p p p p p-=-∴=+-=-. 同理可知过点B 的切线方程为2222:,2x x l y x p p =-联立方程组211122122222{ ,{ ,222x x x x y x x p px x p x x y y x p p p +=-=∴==-=-因此点12,,22x x p M +⎛⎫-⎪⎝⎭过点M 与y 轴垂直的直线为(0)2p y p =->，而圆221x y +=与y 轴负半轴交于点（0，-1），所以1, 2.2pp -=-∴=故选C. 点评：本题的思路比较自然，只要循序渐进，一步一步转化就可以了. 主要是计算有点复杂，在求出过点A 的切线方程2111:2x x l y x p p =-后，不必再重新求过点B 的切线方程，只要利用对称性同理求出2222:2x x l y x p p=-可以提高解题效率.6.【2017高考新课标I 】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则AB DE +的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】解法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-。
2018届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题课件 文 新人教A版
所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
设 M(x,y),则������������=(x,y-4),������������=(2-x,2-y).
由题设知������������ ·������������=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2. 因为点 P 在圆 C 的内部, 所以点 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
������1-������2 ������
=
������12-������22 ������
= 14+|������������|2=������244-|���3���+| 1 = |������1|+6|���1���|.
∵m2=4k2+3,
∴当 k≠0 时,|m|> 3.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
-14-
突破策略二 相关点法
例 2 已知圆 C1 的圆心为坐标原点 O,且与直线 l1:x- 2y+6=0 相
切,设点 A 为圆上一动点,AM⊥x 轴于点 M,且动点 N 满足������������ =
1 2
������������
+
3 3
-
1 2
������������,设动点 N 的轨迹为曲线 C.
考情分析 必备知识
5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴
的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为
2������2 ������
,过椭圆焦点的弦中通
径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上
2018届高考数学高考大题专项突破五直线与圆锥曲线压轴大题5.1直线与圆及圆锥曲线文新人教A版
5.1 直线与圆及圆锥曲线1.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.3.(2017河北邯郸一模,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.5.(2017河北张家口4月模拟,文20)已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M 是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.〚导学号24190962〛6.已知椭圆E:=1(a>)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当△FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.〚导学号24190963〛5.1直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于点F在线段AB上,因此1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1===-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设直线l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得|b-a|=,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).又=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,点E与点D重合.故所求轨迹方程为y2=x-1.3.解 (1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4.所以P的轨迹为椭圆,且2a=4,2c=2.所以a=2,c=1,b=.所以椭圆的方程为=1(x≠2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.∵A(-2,0)在椭圆=1上,∴x0×(-2)=,∴x0=.∴|AM|==.同理|AN|=.∴S=|AM|·|AN|=,,令k2+1=t>1,==,所以∈(0,6).4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,故+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2, 0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1).因为点P在圆O内,所以由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).5.解 (1)由题意,|RM|=|RF|,∴|RF|+|RN|=|RM|+|RN|=|MN|=4>|NF|=2.∴R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b=.∴曲线E的方程为=1.(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x.假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),把直线方程代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,∴y1+y2=,①y1y2=-4.②∵|AF|=|FB|,∴=-2,③由①②③解得k=±2.当k=2时,直线l的方程为y=2(x-1),解得A,B(2,2).直线与椭圆方程联立解得P,Q.∵y B≠2y Q,∴Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得当k=-2时,A,F,Q不是线段PB的四等分点.∴不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.(1)解由得a=,c=ea==2,则b2=a2-c2=2,∴椭圆E的方程是=1.(2)证明由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.∵F(2,0),M(x1,-y1),=(2-x1,y1),=(x2-2,y2), 由(2-x1)y2-(x2-2)y1=(2-x1)·k(x2-3)-(x2-2)·k(x1-3)=k[5(x1+x2)-2x1x2-12]=k=0,得,∴M,F,Q三点共线.(3)解设直线PQ的方程为x=my+3.由方程组得(m2+3)y2+6my+3=0,依题意Δ=36m2-12(m2+3)>0,得m2>.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=.∴S△FPQ=|AF|·|y1-y2|====.令t=m2+3,则S△FPQ=|y1-y2|==,∴,t=m2+3=9,即m2=6,m=±时,S△FPQ最大,∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为x±y-3=0.。
专题09 直线与圆(热点难点突破)-2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破
1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2 B ．42C ．6D ．210【答案】C 【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝＝＝6.|AC |2－r 2 －4－2 2＋ －1－1 2－42．已知圆x 2＋y 2＋mx －＝0与抛物线y ＝x 2的准线相切，则m ＝( )1414A ．±2 B ．±23C.D.23【答案】B 【解析】抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得2＋y 2＝，圆心到准线的(x ＋m2)1＋m 24距离为1＝⇒m ＝±.1＋m 2433．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( )A.B ．222C ．3D ．4224．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－或－ B ．－或－53353223C ．－或－D ．－或－54454334【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为光线与圆(x ＋3) 2＋(y －2)2＝1相切，所以＝1，|－3k －2－2k －3|k 2＋1整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－或k ＝－，故选D.43345．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R，b ∈R 且ab ≠0，则＋的最小值为( )1a 21b 2A ．1 B ．3 C. D.19496．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A ．3 B ．455C ．5 D ．677【答案】D 【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝6.因为圆心到BD 的距离为＝，所以|BD |＝2＝2.则四边形ABCD 2－1 2＋ 2－1 2232－ 2 27的面积为S ＝×|AC |×|BD |＝×6×2＝6.故选D.1212777．若直线l ： ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. B ．5 C ．2 D ．1055【答案】B 【解析】由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方，而的最小值为＝，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.a －2 2＋b －2 2|4＋2－1|4＋158．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．9．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|＋|≥|OA → OB→33|，则k 的取值范围是( )AB → A ．(，＋∞) B ．[，2)322C ．[，＋∞) D ．[，2)232【答案】B 【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，|k |2由k ＞0，得0＜k ＜2.①2如图，又由|＋|≥||，得|OM |≥|BM |⇒∠MBO ≥，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，OA → OB →33AB→ 33π6故≥1⇒k ≥.②|k |1＋12综①②得≤k ＜2.2210．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量，满足|2－3|＝|2OA → OB → OA → OB→ ＋3|，则实数a 的值为________. OA → OB → 【答案】± 211．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．【答案】x 2＋(y －1)2＝10 【解析】设所求圆的半径为r ，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝＝1，|4×0－3×1－2|42＋ －3 2故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.12．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)13．设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|PA |的最小值是________．【答案】2 【解析】圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝，所以|PA |＝≥＝2.5|PC |2－1d 2－114．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.【答案】18 【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r ＝2，即＝＝2⇒a 2＋b 2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.22|1－2＋a |2|1－2＋b |22215．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)．(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3).2分当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝＝1，得k ＝.4分|2k －3＋5－3k |k 2＋134又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，5分故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分(2)直线OA 的方程为y ＝x ，即5x －3y ＝0，8分53点C 到直线OA 的距离为d ＝＝.10分|5×2－3×3|52＋32134又|OA |＝＝，∴S ＝|OA |d ＝.12分32＋5234121216．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为4，求l 的方程；3(2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.7分(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，CD→PD→则CD⊥PD，即·＝0，所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.3318．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切．(1)求圆C的方程；3(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．解：(1)将圆C：x2＋y2＋4 x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －y ＋－2＝0相切，33所以圆心(－2，1)到直线x －y ＋－2＝0的距离d ＝＝2＝r ，3341＋3所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.。
高考数学公开课优质课件精选解析几何与圆锥曲线交汇的典题例析复习课
[证明] 因为 ( ) Pn(xn，yn)、Pn＋1 xn＋1，yn＋1 在抛物线上，故 x2n＝
所以（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0，
所以yx11－－yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22.
因为yx11－－yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 所以－ba22＝－12，所以 a2＝2b2.又因为 b2＝a2－c2，
所以
a2＝2(a2－c2)，所以
3yn，①x2n＋1＝3yn＋1.②
又因为直线 PnPn＋1 的斜率为31n，
即xynn＋＋11－－yxnn＝ 31n，①、 ②代入可得：
13·xxn2n＋＋11－－xx2nn＝31n⇒xn＋1＋xn＝3n1－1，
所以 an＝x2n＋1－x2n－1＝(x2n＋1＋x2n)－(x2n＋x2n－1)
＝321n－1－
因为 D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点， 所以|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|， 所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
• [|名DF师2|点＝评6，] 再本利题用巧三妙角地形运中用位椭线圆定定理义求得解出．|DF1|＋
二、设而不求、整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点 弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常 可以用代点法求解．利用此法时，虽然设置的未知元有好几 个，且由所列方程把每个未知元求出比较困难，或根本求不 出，但可以把某些量看作一个整体，设而不求，整体处理 量．
2018届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.3 圆锥曲线中的定点、定值与
5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y2=1(a>1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆Γ的离心率;(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M 为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a>2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.(2017福建龙岩一模,文20)已知椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2的斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直?若能垂直,请求出相应的r的值,若不能垂直,请说明理由.〚导学号24190967〛6.(2017宁夏中卫一模,文20)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标,若不存在,说明理由.〚导学号24190968〛5.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解∵动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2.∴动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4kx+8=0,Δ=16k2-32>0,解得k>或k<-.∴x1+x2=4k,x1x2=8,直线AC的方程为y-y2=-(x+x2).∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴4ky-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2).∵x1=4k-x2,∴4y=(x1-x2)x+8.令x=0,则y=2,∴直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解由题意得A,B两点关于y轴对称,∴x B=,圆心E到AB的距离为1,∴y B=,∴B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,∴e=.(2)证明设M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-,联立方程消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.Δ=16k2+4×3(1+4k2)=12+64k2>0,∴x1+x2=,x1x2=,直线MN'的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN'过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-===-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN'的方程为x=0,显然过点(0,-2).故直线MN'过定点(0,-2).3.解 (1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),由题意可得c=2,△MF1F2面积的最大值为4,可得当M位于椭圆短轴端点处取得最大值.即有b·2c=4,解得b=2,a2=b2+c2=4+8=12,则椭圆方程为=1.(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),设圆(x-x0)2+(y-y0)2=3过原点的切线方程为y=kx,则有,整理得(-3)k2-2x0y0k+-3=0,k1+k2=,k1k2=.又因为=1,所以可求得k1k2==-,将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,得,则,同理可得,所以|OA|2+|OB|2====16.所以|OA|2+|OB|2的值为定值16.4.(1)解因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径.所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0.又=4x0,所以y2-y-+y0=0.因为直线l与曲线C相切,所以Δ=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a>2时,d===≥2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2.即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为,得c=,e=,可得a=2,则b=1,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m.∵直线l与圆:x2+y2=1相切,∴=r,即m2=r2(k2+1).①由可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,所以m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,即(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把①代入得(k2+1)(5r2-4)=0,∴r=,满足r2<4,∴OP与OQ能垂直.6.解 (1)∵椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且△AOB的面积为,∴c,ab=.又a2=b2+c2,∴a=2,b=.∴椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点M满足题意,设M(m,2),当m=±2时,从点M所引的两条切线不垂直.当m≠±2时,设过点M向椭圆所引的切线的斜率为k, 则切线l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0.∵Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)·[2(mk-2)2-4]=0,∴(m2-4)k2-4mk+2=0.(*)设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,∴k1k2==-1,解得m=±,∴点M坐标为(,2),或(-,2).∴直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.。
2018届高考数学 高考大题专项突破五 直线与圆锥曲线压轴大题 5.2 圆锥曲线中的最值、范围、
5.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2017北京,文19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN 于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.(2017湖北武汉五月调考,文20)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B 两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.3.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.4.(2017宁夏银川一中二模,文21)已知圆O:x2+y2=r2,直线x+2y+2=0与圆O相切,且直线l:y=kx+m与椭圆C:+y2=1相交于P,Q两点,O为原点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A,B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;(2)如图,若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.5.(2017山东临沂一模,文20)已知抛物线y2=4x的焦点为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F,点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点,且|BF|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与椭圆C交于P,Q两点,直线l2与直线x=4交于点T,求的取值范围.〚导学号24190964〛6.(2017北京东城一模,文19)已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.〚导学号24190965〛5.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-·(x-m),直线BN的方程为y=·(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.2.解 (1)由题意可知P(4,0),Q,|QF|=,由|QF|=|PQ|,则,解得p=2,∴抛物线x2=4y.(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4,由y=x2,求导得y'=,直线MA:y-(x-x1),即y=x-,同理求得MD:y=x-,由解得则M(2k,-1),∴点M到l的距离d==2.∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM·S△CDM=|AB||CD|·d2=(|AF|-1)(|DF|-1)·d2=y1y2d2=·d2=1+k2≥1.当且仅当k=0时取等号,故当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值为1.3.解 (1)设F(c,0),由条件知,,得c=.又,所以a=2,b2=a2-c2=1.故椭圆E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1+x2=,x1x2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线l的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ=.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,此时S△OPQ≤1.所以当△OPQ的面积最大时l的方程为y=x-2或y=-x-2.4.解 (1)∵直线x+2y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴r=.∴x2+y2=.∵椭圆左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°得,圆心O到直线l的距离d=.又d=,∴,解得k=±,∴直线l的方程为y=±(x+1).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由Δ>0,得2k2+1>m2,(*),且x1+x2=-.由△POQ重心恰好在圆x2+y2=上,得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,即(1+k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4.∴+4m2=4.化简得m2=,代入(*)得k≠0,又m2==1+=1+,由k≠0,得>0,∴>0.∴m2>1,得m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).5.解 (1)由y2=4x得其焦点坐标是F(1,0).设B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则|BF|=x0+1=,解得x0=,∴=4×.由点B在椭圆C上,得=1,即=1.又a2=b2+1,解得a2=4,b2=3.∴椭圆C的方程是=1.(2)设直线PQ的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由得(3m2+4)y2+6my-9=0,则Δ=36m2+36(3m2+4)>0,y1+y2=,y1y2=,∴|PQ|=|y1-y2|==.当m≠0时,直线FT的方程为y=-m(x-1),由得x=4,y=-3m,即T(4,-3m),∴|TF|=3.∴=.设t=,则t>1,则t+.∵y=t+在(1,+∞)内为增函数,∴y>3+1=4,则×4=1.当m=0时,PQ的中点是F,T(4,0),则|TF|=3,|PQ|==3,∴=1.综上,≥1,故的取值范围是[1,+∞).6.解 (1)由题意可知,|F1F2|=2c=2,c=1,2a=|PF1|+|PF2|=2,a=,b2=a2-c2=2,离心率e=,∴椭圆的标准方程为=1.(2)当直线l1或l2斜率不存在时,点E与F1或F2重合,此时|EO|=|F1F2|=1,将x=-1或x=1代入椭圆方程,求得y=±,此时|BD|=,|AC|=2,∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=|AC|·|BE|+|AC|·|DE|=|AC|·|BD|=4.当直线l2,l1的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得 (2m2+3)y2-4my-4=0,则y1+y2=,y1y2=-,则|AC|=,同理直线l2:x=-x+1,求得|BD|=,∴四边形ABCD面积S=|AC|·|BD|===4×=4<4.综上可知四边形ABCD面积的最大值为4,此时直线l2,l1一条为椭圆的长轴,一条与x轴垂直.。
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专题突破提升练(四) 直线、圆与圆锥曲线的交汇问题命题点一 直线与圆问题题型：选择、填空题 难度：中、低 命题指数：★★1.已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B.2 C ．2 D ．22【解析】 圆C 的圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 过点(1,0)且斜率为－1，故其方程为x ＋y －1＝0，所以圆心到直线l 的距离为d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.【答案】 A2．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为________．【解析】 由题意得直线方程为y ＝x ＋a ，由直线与圆相切的性质得，|a |2＝2，∴a ＝±2. 【答案】 ±23．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．【解析】 设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |知，x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆D ，又点M 在圆C 上，故圆C 与圆D 相交或相切，所以1≤|CD |≤3，而CD ＝a 2＋(2a －3)2，所以1≤a 2＋(2a －3)2≤3，解得0≤a ≤125.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，125命题点二 直线与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题 难度：中、高 命题指数：★★★ 1.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 【解析】 设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切的直线方程为4x ＋3y ＋t ＝0，与抛物线y ＝－x 2联立得3x 2－4x －t ＝0，由Δ＝16＋12t ＝0得t ＝－43，两条平行线间的距离即为所求最小距离，由两平行线的距离公式得d ＝43.【答案】 A 2．双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上．若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 双曲线的左焦点F 1(－c,0)，右焦点F 2(c,0)，渐近线l 1：y ＝b ax ，l 2：y ＝－bax .因为点P 在第一象限内且在l 1上，所以设P (x 0，y 0)，x 0＞0.因为l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，所以PF 1⊥PF 2，即|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，即x 20＋y 20＝c 2.又因为y 0＝ba x 0，代入得x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a x 02＝c 2，解得x 0＝a ，y 0＝b ，即P (a ，b )，所以kPF 1＝b a ＋c .l 2的斜率为－b a ，因为l 2⊥PF 1，所以ba ＋c ×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b a ＝－1，即b 2＝a (a ＋c )＝a 2＋ac＝c 2－a 2，所以c 2－ac －2a 2＝0，所以e 2－e －2＝0，解得e ＝2，所以双曲线的离心率e ＝2，故选B.【答案】 B3．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为焦点F 与双曲线的右焦点重合，故F (3,0)，所以p2＝3，p ＝6，抛物线方程为y 2＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点P (2,0)且斜率为1的直线方程为y ＝x －2，代入抛物线方程得x 2－16x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝16，∴弦中点到抛物线准线的距离为x 1＋x 2＋p2＝11.【答案】 114．(2015·百校联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB . (ⅰ)求证原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值；(ⅱ)任取以椭圆C 的长轴为直径的圆上一点P ，求△PAB 面积的最大值． 【解】 (1)由题意知，e ＝c a＝32，b 2＋c 2＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，此时，原点O 到直线AB 的距离为255.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝16(1＋4k 2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－4k 21＋4k 2，由OA ⊥OB 得k OA ·k OB ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4－4k 21＋4k 2＝0，即m 2＝45(1＋k 2)， 所以原点O 到直线AB 的距离为|m |1＋k 2＝255.综上，原点O 到直线AB 的距离为定值255.(ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，结合椭圆C的方程可得|AB |＝455.当直线AB 的斜率存在时， 由(ⅰ)可得|AB |＝1＋k 2|x1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝451＋9k 216k 4＋8k 2＋1， 当k ≠0时，|AB |＝451＋916k 2＋8＋1k 2≤5，当且仅当k ＝±12时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝455.所以|AB |的最大值为5，又点P 到直线AB 的最大距离为255＋2.所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255＋2＝1＋ 5.5．(2015·石家庄一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，①S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin 60°＝3，可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得|F 1A |2＋|F 2A |2－2|F 1A |·|F 2A |cos 60°＝4c 2， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0， ∴x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m ，3m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4，得Q (4,4k ＋m )，假设存在点M ，坐标为(x 1,0)，则MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )．∵以PQ 为直径的圆恒过M 点， ∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km＋3＝0，∴(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立． 则⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M (1,0)符合题意．命题点三 直线、圆与圆锥曲线问题题型：选择、填空、解答题 难度：中、高 命题指数：★★ 1.若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )A.y 29－x 272＝1 B.x 29－y 272＝1 C.x 216－y 281＝1 D.y 281－x 216＝1 【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，因为圆与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，所以A (0，－3)，B (0,3)，∴a ＝3,2c ＝18，b 2＝72，即双曲线方程为y 29－x 272＝1.【答案】 A2．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y ，得x 2－3x －4＝0，所以x A ＝－1，x D ＝4，所以y A ＝14，y D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，所以AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5，∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116.【答案】1163．过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P .若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．【解析】 ∵E 为PF 的中点，∴OE →＝12(OF →＋OP →)，令右焦点为F 2，则O 为FF 2的中点，则PF 2＝2OE ＝a ，∵E 为切点，∴OE ⊥PF ，∴PF 2⊥PF ，∵PF －PF 2＝2a ，∴PF ＝PF 2＋2a ＝3a ，在Rt △PFF 2中，PF 2＋PF 22＝FF 22，即9a 2＋a 2＝4c 2，∴离心率e ＝102.【答案】1024．已知椭圆E ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，点F 2(c,0)到直线l ：x ＝a 2c的距离为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值． 【解】 (1)由题意知，2|F 1F 2|＝|MF 1|＋|MF 2|，即2×2c ＝2a ，得a ＝2c ，∴e ＝12.又由a 2c－c ＝3，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件． ①若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y ＝kx ＋m ，则r ＝|m |k 2＋1，r 2＝m 2k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋3m 2＋4k 2m 2＝0，化简得m 2＝127(k 2＋1)， ∴r 2＝127， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝127.②若直线AB 的斜率不存在，则A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)．由OA →·OB →＝0，得x 21－y 21＝0，x 21＝y 21，代入x 214＋y 213＝1，得x 21＝127.此时仍有r 2＝|x 21|＝127. 综上，总存在以原点为圆心的圆：x 2＋y 2＝127满足题设条件． (3)证明：∵点A 在椭圆上，故设A (|OA |cos α，|OA |sin α)，代入椭圆方程，得1|OA |2＝cos 2α4＋sin 2α3. 又由于OA →⊥OB →，可设B ⎝ ⎛ |OB |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α±π2，⎭⎪⎪⎫|OB |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α±π2，同理， 得1|OB |2＝sin 2α4＋cos 2α3. ∴1|OA |2＋1|OB |2＝sin 2α＋cos 2α4＋sin 2α＋cos 2α3＝14＋13＝712为定值．。