三角函数中半角公式的推导与证明

根据倍角公式得：coa2a=1-2sin²α,可得cosa=1-2sin²(α/2),可得1-cosa=2sin²(α/2),可得sin²(α/2)=（1-cosa）/2,可得,sin((a/2)=根号（1-cosa）/2）cos²(α/2)=1-sin²(α/2)所以：cos²(α/2)=1-（1-cosa）/2=（1+cosa)/2所以:cos(a/2)=根号(1+cosa)/2因为：tana=sina/cosa所以:tan(a/2)=sin(a/2)/cos(a/2)所以：tan(a/2)=根号（（1-cosa）/（1+cosa))在△ABC中，∠C=900，AB=1，∠A=a,则cosa=AC/AB=AC,现将△ABC沿AC折叠，得到△ADC, 如图，在△ABC中，∠C=900，∠B=300，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=600 ；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC=1∶3A．1 B．2 C．3 D．4[1+cos(a)]/2 =1/2+1/2cos(a/2+a/2) =1/2+1/2[cos^2(a/2)-sin^2(a/2)]=1/2-1/2sin^2(a/2)+1/2cos^2(a/2) =1/2cos^2(a/2)+1/2cos^2(a/2) =cos^2(a/2)（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA=90°AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．（1）求证：PC=PA=PG；（2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数12，98，74试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使MN=107时，求△APM的周长．解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF=12BC=1，EF∥BC，∴EF垂直平分AC，∴AP=PC，∴∠ECP=∠EAP；∵∠CPG=90°，∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，∴∠ECP=∠GPF．∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，∠EAP+∠PAF=45°，∴∠PGF=∠PAF．∴PA=PG，∴PC=PA=PG；（2）过G作PF的垂线，垂足为H，（如图1）∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．则Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），∴GH=PE=x，∴y=12(1+2)×1-12x×1-12(1-x)x，∴y=12x2-x+32，或y=12(x-1)2+1，∵0≤x＜1，∴1＜y≤32．∴12，74不符合，所以只有98，∴12x2-x+32=98，4x2-8x+3=0，解得，x1= 12，x2=32＞1（舍去），答当x=12时，y的值为8．或①当y=12时，12x2-x+32=12，△＜0，方程无实数解；②当y=98时，4x2-8x+3=0，解得，x1= 12，x2=32＞1（舍去），所以当x=12时，y的值为9．③当y=74时，12x2-x+32=74，解得x1=1-√62＜0（舍去），x2=1+√62＞1（舍去），所以不符合．（3）连接CP，则CP⊥AB，（如图2，3）∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），∴AM=CN，则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，x2+(2-x)2=( 107)2，解得，x1=87，x2=67，即AM=87或67；∴PM=57√2，AP=√2，∴周长为87+127√2或67+127√2．已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且2b=a+c,延长CA至D,使AD=AB,连接BD.（1）求证2∠D=∠BAC（2）求tan1/2∠BCA 的值问题补充：第一题我会,麻烦第二题详细一些第二题：求tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且2b=a+c,延长CA至D,使AD=AB,连接BD.（1）求证2∠D=∠BAC（2）求tan1/2∠BCA的值问题补充：第一题我会,麻烦第二题详细一些第二题：求tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA证明：（1）很明显, AB=AD∠D=∠ABD∠BAC=∠D+∠ABD∠BAC=2∠D(2)过点B做BE垂直AC于E作∠C的平分线交BE于F设AE=x在直角三角形ABE和直角三角形CBE中BE²=AB²-AE²BE²=BC²-CE²AB²-AE²=BC²-CE²c²-x²=a²-（b-x）²c²=a²-b²+2bxx=（c²+b²-a²）/2bx=[（c+a）（c-a）+b²]/2b2b=c+aAE=x=（5c-3a）/4CE=b-x=（c+a）/2-（5c-3a）/4=（5a-3c）/4DE=c+x=c+（5c-3a）/4=（9c-3a）/4∠D=1/2∠BAC(已证)tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=BE/DE×EF/EC在直角三角形CEB中,根据角平分线的性质BC/CE=BF/EFBF/EF=a/（5a-3c）/4=4a/（5a-3c）(BF+EF)/EF=(9a-3c)/（5a-3c）BE/EF=(9a-3c)/（5a-3c）EF=（5a-3c）/（9a-3c）BE所以tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=[（5a-3c）/（9a-3c）BE²]/(DE×EC) BE²=AB²-AE²=c²-（5c-3a）²/16=（30ca-9a²-9c²）/16所以tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=[（5a-3c）/（9a-3c）×（30ca-9a²-9c²）/16]/[(5a-3c)/4×（9c-3a）/4]=[(9a²-30ac+9c²)/(9a-3c)(3a-9c)]=(3a²-10ac+3c²)/[3(3a-c)(a-3c)]=(a-3c)(3a-c)/[3(3a-c)(a-3c)]=1/3已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC=15，cos∠A=4/5，点M在AB上，AM=2BM，点P是边AC上的一个动点，设PA=x．（1）求底边BC的长（2）若点O为BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）作BH⊥AC于点H，如图1，∵在Rt△ABH中，cos∠A=45，AB=15，∴AH=12，∴BH=9，∵AC=15，∴CH=3，∵BC2=BH2+CH2，∴BC2=92+32=90，∴BC=310．（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图2，∵OE⊥AB，OF⊥AC，点O是BC的中点，AB=AC，∴OE=OF=12BH=92，∵AM=2MB，AB=AC=15，∴AM=10，BM=5，∵PA=x，∴PC=15-x，∴y=S△A B C-S△B O M-S△C O P=12BH•AC-12OE•BM-12OF•PC=12×9×15-12×92×5-12×92×（15-x）即y=94x+452．定义域是0＜x≤15．（3）①当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G，∵在Rt△AMG中，cos∠A=45，AM=10，∴AG=8，∴MG=6，②若点P1在AG上，∠AP1N1=90°，由折叠知：∠AP1M=∠N1P1M=135°，∴∠MP1G=45°，∵MG⊥AC，∴P1G=MG=6，∴AP1=AG-P1G=2．③若点P2在CG上，由折叠知：∠AP2M=45°，∵MG⊥AC，∴P2G=MG=6，∴AP2=AG+P2G=14．④当MN⊥AC时，如图3，由折叠知：∠AMP3=∠NMP3，P3N3=AP3=x，MN3=MA=10，∴P3G=8-x，GN3=4，∵P3N32=P3G2+GN32，∴x2=（8-x）2+42，∴x=5，综上所述，x=2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：点D在⊙O上；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．……①sin在等式①两边减去1，整理得：将代入α，整理得：开方，得cos在等式①两边加上1，整理得：将代入，整理得：开方，得tansina=cos（90°-a）注：……①sin在等式①两边减去1，整理得：将代入α，整理得：开方，得cos在等式①两边加上1，整理得：将代入，整理得：开方，得tansina=cos（90°-a ） 注：半角公式的证明24.如图，在ABC ∆中，090=∠C ，α=∠BAC )900(00<<α.延长CA 到D ,使AB AD =,连接BD ，则D ABD ∠=∠， ∵α=∠=∠+∠BAC D ABD ，∴2α=∠=∠D ABD ，∴αcos ACAB AD ==， ∴AC AC AC AC AD CD )1cos 1(cos +=+=+=αα， 又αtan ⋅=AC BC ，ααααααααααααααcos 1sin 01cos sin cos cos 1tan cos 1cos 1tan )1cos 1(tan 2tan +=+⋅=+=+=+⋅==s c AC AC CD BC ； [=+ααcos 1sin αααααααααααα2222cos cos sin )cos 1(sin cos 1)cos 1(sin )cos 1)(cos 1()cos 1(sin -+-=--=-+-ααsin cos 1-]即αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=；(1)已知1=AC ，3=BC ,则=2tan α，=2sinα；(2)求2sin α的值（用含αcos 或αtan 的式子表示）.解：（1）33，21； （2）22)1cos 1()tan (tan 2sin⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅==ααααAC AC AC BDBC 22)1cos 1()(tan tan ++=ααα22)cos cos 1()cos sin (tan ααααα++=22)cos 1()(sin tan cos αααα++⋅=22)(cos cos 21)(cos 1tan cos ααααα+++-⋅=αααcos 22tan cos +⋅=在 ABC 中，C 为直角，∠BAC=α，延长CA 到D ，连接BD 使∠D=α/2。