上海市2019版高二下学期期中数学试卷(理科)B卷

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2019-2020学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.方程[(x−1)2+(y+2)2](x2−y2)=0表示的图形是()A. 两条相交直线B. 两条直线与点(1,−2)C. 两条平行线D. 四条直线2.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为()A. B. C. D.3.若圆(x−a)2+y2=4与椭圆x24+y23=1有公共点，则a的取值范围是()A. [−4,4]B. [−5,5]C. [−2,2]D. {0}4.已知直线l与椭圆x24+y22=1交于A、B两点，弦AB的中点为P(1,1)，则直线l的方程是()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. 2x−y−1=0D. x−2y+1=05.设i是虚数单位，则复数的虚部是()A. B. C. D.6.命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是()A. 不存在x0∈R，使2x0>0B. 存在x0∈R，使2x0≥0C. 对任意的x∈R，使2x≤0D. 对任意的x∈R，使2x>0二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）7.已知点A(2,−1)，B(−3,−2)，若直线l：x+2ay+1=0与线段AB相交，则a的取值范围是______．8.已知直线ax+4y−2=0与直线x+ay+1=0重合，则a=______ ．9.过抛物线y2=2px(P>0)的焦点的直线x−my+m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2√2，则m6+m4=______ ．10.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．11.经过点(−2,3)且与直线2x+y−5=0垂直的直线方程是的倾斜角是______．12. 已知圆C 的方程为x 2+y 2=4，点M(t,3)，若圆C 上存在两点A ，B 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则t 的取值范围是______ ．13. 椭圆： (a > b >0)的左、右焦点分别为、，焦距为 .若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________． 14. 设F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|=|F 1F 2|，且cos∠PF 1F 2=45，则双曲线的两条渐近线的方程分别是． 15. 已知点P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △PIF 1+S △PIF 2=λS △F 1IF 2成立，则λ的值为______ ．16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线x a +yb =1截得的弦长为√6a ，则双曲线的离心率为______：17. 已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+(y −3)2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是______ ．18. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,0)，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线x +(m −1)y +2m −5=0的垂线，垂足为B ，则|MA|+|MB|的最小值为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）19. 已知椭圆C ：()的短轴长为2，离心率为(1)求椭圆C 的方程(2)若过点M(2,0)的引斜率为的直线与椭圆C 相交于两点G 、H ，设P 为椭圆C 上一点，且满足(为坐标原点)，当时，求实数的取值范围？20.圆锥锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线(如图).直角坐标系，圆锥曲线C的方程x2+y2n=1，O为原点．(如图)(1)为获得(如图)中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n=______；(2)为获得(如图)中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n=______；(3)上问2(2)中，对应取定n值的曲线，其离心率e=______；(4)上问2(2)中，对应取定n值的曲线，其渐近线方程是______；(5)为得到比(2)中开口更大同类曲线，写出一个新取值n=______21.如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,3)，离心率e=12，直线1的方程为y=4．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)AB是经过(0,3)的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得1k1十1k2=λk3？若存在，求λ的值．22. 已知圆O ：x 2+y 2=43，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴长等于圆O 半径的√6倍，C 的离心率为√22． (1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且与圆O 相切，证明：OA ⊥OB ．23. 已知点M 是⊙O ：x 2+y 2=4上一动点，A(4,0)，点P 为线段AM 的中点，(1)求点P 的轨迹C 的方程(2)过点A 的直线与轨迹C 有公共点，求的斜率k 的取值范围．24.已知方程x2−ax+b=0(a,b∈R)，其中一个根是3−2i，求a,b的值．25.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，点E、F为棱CD、B′C′的中点．(1)求证：CF//平面B′ED′；(2)求直线B′E到平面ACF所成角的正弦值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由方程得：(x−1)2+(y+2)2=0①，或(x2−y2)=0②，①表示点(1,−2)，②表示两条直线：x+y=0，x−y=0，故答案选B．由方程得：[(x−1)2+(y+2)2]=0①，或(x2−y2)=0②，①表示点(1,−2)，②表示两条直线：x+y=0，x−y=0；进而可得答案．两个因式之积等于0，至少有一个因式等于0．2.答案：C解析：试题分析：根据抛物线y2=8x可知p=4，准线方程为x=−2，进而根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=−2的距离，求得P点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．解：根据抛物线y2=8x，知p=4，根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=−2的距离，得x p=7，把x代入抛物线方程解得y=±2，故选C考点：抛物线的性质点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题3.答案：A解析：解：∵椭圆x24+y23=1中，|x|≤2，|y|≤√3，圆(x−a)2+y2=4的圆心坐标(a,0)，半径r=2．∴若椭圆x24+y23=1与圆(x−a)2+y2=4有公共点，则实数a的取值范围|a|≤4；故选：A．作出草图，结合图象可知当椭圆x24+y23=1与圆(x−a)2+y2=4有公共点时，|a|≤4．本题考查椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系的应用，作出草图，结合图象事半而功倍．4.答案：A解析：利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．【解得】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(1,1)是线段AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，依题意，{x12+2y12=4 x22+2y22=4，①−②得：(x1+x2)(x1−x2)=−2(y1+y2)(y1−y2)，由题意知，直线l的斜率存在，∴k AB=y2−y1x2−x1=−12⋅x1+x2y1+y2=−12，∴直线l的方程为：y−1=−12(x−1)，整理得：x+2y−3=0．P(1,1)在椭圆内，故成立．故选A．5.答案：B解析：试题分析：．考点：1.复数的计算；2.复数中的实部和虚部．6.答案：D解析：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，使2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R，使2x>0”．故选：D．根据特称命题的否定是全称命题，可以直接写出答案来．本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，应记住“特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题”．7.答案：[−12,3 2 ]解析：解：直线l：x+2ay+1=0过定点P(−1,0)，点A(2,−1)，B(−3,−2)，如图：要使直线l：x+2ay+1=0与线段AB相交，则(2−2a+1)(−3−4a+1)≤0，解得−12≤a≤32．∴a的取值范围是[−12,3 2 ].故答案为：[−12,3 2 ].直线l：x+2ay+1=0与线段AB相交，说明A，B在直线的两侧(或其中一点在直线上)，由此可得关于a的不等式求解．本题考查两直线的位置关系，考查简单的线性规划，考查数学转化思想，是基础题．8.答案：−2解析：解：∵直线ax+4y−2=0与直线x+ay+1=0重合，∴1a =a4=1−2，解得a=−2．故答案为：−2．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：2解析：解：由题意，可知该抛物线的焦点为(p2,0)，它过直线，代入直线方程，可知：p 2+m=0求得m=−p2∴直线方程变为：y=−2px+1A，B两点是直线与抛物线的交点，∴它们的坐标都满足这两个方程．∴(−2px+1)2=2px∴△=(4p +2p)2−16p2=4p2+16>0∴方程的解x1=4p+2p−√4p2+168p2，x2=4p+2p+√4p2+168p2；代入直线方程，可知：y1=1−4p+2p−√4p2+164p，y2=1−4p+2p+√4p2+164p，△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，而△OAP与△OBP若以OP为公共底，则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，∴△OAP与△OBP的面积之和为：S=12⋅p2⋅|y1−y2|=p28⋅√4p2+16=2√2求得p=2，∵m=−p2m2=1∴m6+m4=13+12=1+1=2故答案为：2先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得m和p的关系式，进而把直线与抛物线方程联立消去y，求得方程的解，进而根据直线方程可分别求得y1和y2，△OAB的面积可分为△OAP与△OBP的面积之和，而△OAP与△OBP若以OP为公共底，则其高即为A，B两点的y轴坐标的绝对值，进而可表示三角形的面积进而求得p ，则m 的值可得，代入m 6+m 4中，即可求得答案．本题主要考查了椭圆的简单性质，直线，抛物线与椭圆的关系．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．10.答案：解析：试题分析：在直角三角形中，由切割线定理可得，即，解得．考点：1.勾股定理；2.切割线定理．11.答案：arctan 12解析：解：设与直线2x +y −5=0垂直的直线方程为x −2y +m =0，把点(−2,3)代入可得−2−6+m =0，∴m =8，故所求的直线的方程为x −2y +8=0，故直线的斜率为k =12，则直线方程是的倾斜角是arctan 12，故答案为：arctan 12．设与直线2x +y −5=0垂直的直线方程为x −2y +m =0，把点(−2,3)代入可得m 值，从而得到所求的直线方程，即可求出直线的倾斜角．本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线垂直，斜率之积等于−1，设出与直线2x +y −5=0垂直的直线方程为x −2y +m =0是解题的关键．12.答案：[−3√3,3√3]解析：解：如图，连结OM 交圆于点D ． ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 是MB 的中点， ∵圆x 2+y 2=4的直径是4， ∴MA =AB ≤4，又∵MD ≤MA ，OD =2， ∴OM ≤6，即点M到原点距离小于等于6，∴t2+9≤36，∴−3√3≤t≤3√3，故答案为：[−3√3,3√3]．由向量等式可得，A是MB的中点，利用圆x2+y2=4的直径是4，可得MA≤4，即点M到原点距离小于等于6，由此列式可得t的取值范围．本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13.答案：解析：【解题程序化】：条件：1、椭圆：2、直线与椭圆有一个交点M3、问题：求解椭圆的离心率途径：1、直线直线倾斜角为60°2、焦点三角形形状3、通过焦点三角形三边的比例关系求出a，c即可【解题步骤】:由直线斜率是可知，直线倾斜角为60°即设则解得：∴该椭圆离心率【个人体验】：本题综合了直线的斜率与倾斜角、椭圆的定义和离心率的知识，考察学生的推理计算能力和数形结合的思想方法，难度中等。

2019学年第二学期期中考试高二数学

上海南汇中学2019学年第二学期期中考试高二数学满分：100分完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-；②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（）（A ）相交（B ）平行（C ）重合（D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ）不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点（C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

【精准解析】上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

CB 7
设 P 到棱的距离为 l ，则 l CB 2 21
sin120 3 故答案为： 2 21
3
【点睛】本题考查点线距离的计算，解题的关键是正确运用余弦定理，正弦定理，属于中档
题．
5.若
C
1 n
3Cn232 Cn33n2 Cnn13n 1
85 ，则 n 的值为
．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意可得 1+3∁ n1+32∁ n2+33∁ n3+…+3n﹣1∁ nn﹣1+3n＝3×85+1，再利用二项式定理解方程求得 n 的值．
【详解】解：依题意可知，甲、乙、丙、丁四位同学在前 4 天随机选一天出发外出旅游，
则共有 4 4 4 4 256 （种），至少有两位同学选择时间相同，其对立事件为四位同学的出发时间都不相同，而四位同学的出发时间都不相同有 A44 24
（种），
故至少有两位同学选择时间相同的概率 P 1 24 29 256 32
于基础题．
6. 7172 除以 100 的余数是________
【答案】41 【解析】
-3-
【分析】
利用二项式定理化简 7172 70 1 72 ，求出展开式的后 2 项，即可得到 7172 除以 100 的余数；
【详解】解： 7172
70 1
72
C702 7072
C712 7071
根据相互独立事件同时发生的概率公式可得
P
1
1 3
1
1 3
1 3
4 27
4
故答案为：
27
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题.

上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)

2.复数 z = m 2 - m - 4 + m 2 - 5m - 6 i (m ∈ R )，如果 z 是纯虚数，那么 m = ______.{9. 设 x , x 是实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根，若 x 是虚数，是实数，则xS = 1 + 1 + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ + 1 ⎪ = __________.⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭ ⎝ x 2 ⎭上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40 分）1.向量 AB 对应复数 -3 + 2i ，则向量 BA 所对应的复数为____________.( ) ( )3. 平面 α 的斜线与 α 所成的角为 30︒ ，那此斜线和 α 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 __________.4.在长方体 ABCD - A B C D z 中，如果对角线 AC 与过点 A 的相邻三个面所围成的角为 α , β , γ ,那么1 1 1 11cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = _________.5.已知 z - 3i = 5 ，则 z + 2 的最大值为_________.6.异面直线 a 与 b 所成的角为 50︒ ，P 为空间一点，则过 P 点且与 a , b 所成的角都是 50︒ 的直线有_________ 条.7.圆锥底面半径为 10，母线长为 30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合 A = z z = i + i 2 + i 3 ++ i n , n ∈ N *}， B = {z z = z ⋅ z , z ∈ A , z ∈ A }，则集合 B 中的元素1 2 1 2共有________个.x 21 12 1 2x ⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫4 ⎛ x ⎫8 ⎛ x ⎫16 ⎛ x ⎫32x 210.已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为 1 1 1 1线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（ A ）过平面 α 外一点可以作无数条直线与平面α 平行（ B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（ C ）若直线 l 垂直平面 α 内的两条相交直线，则直线 l 必垂直平面 α （ D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（）（ A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（ B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（ C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（ D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆2 3 3的所有点形成一条曲15.已知复数 z 满足 (1 + i )z = -1 + 5i ， z = a - 2 - i ，其中 i 为虚数单位， a ∈ R ，若 z - z < z ，求 13.已知复数z , z 满足 z - z = 1 - z z ，则有（）-1 2 1 2 1 2（ A ） z < 0且 z < 1（ B ） z < 1或 z < 11212（ C ） z = 1且 z = 1（ D ） z = 1或 z = 11 21214.如图，正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线 O x , Oy , Oz 上，则在下列命题中，错误的是（）（ A ） O - ABC 是正三棱锥（ B ）直线 O B || 平面ACD（ C ）直线 AD 与OB 所成的角是 45 0（ D ）二面角 D - OB - A 为 45 0三、解答题（8+10+12+14）1 121 2 1实数 a 的取值范围.16.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A=AB=1,B C=2,E为PD 的中点.（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E-AC-D的大小,（结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A-BCD中，AB=5,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点.（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A-BCD的表面积.P (Re z ,Im z ).1所在直线18.已知 z 是实系数一元二次方程 x 2 + 2bx + c = 0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位z（1）若 (b , c )在直线 2 x + y = 0 上，求证： P 在圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 1 上；z1（2）给定圆 C : (x - m )2 + y 2 = r 2 (m , r ∈ R , r > 0 )，则存在唯一的线段 S 满足：①若 P 在圆 C 上，则 (b , c )在线段 S 上；z②若 (b , c )是线段 S 上一点（非端点），则 P 在圆 C 上，写出线段 S 的表达式，并说明理由；z（3）由（2）知线段 s 与圆 C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中 s 是 1（1）中圆 C 的对应线段）. 1表一线段 s 与线段 s 1 的关系m , r的取值或表达式s 所在直线平行于 ss 所在直线平分线段 s1线段 s 与线段 s 长度相等1（上海市高二下学期期中数学卷一.填空题1.在正方体ABCD-A BC D中，异面直线A B与AD所成的角大小为111112.已知向量a=(3,x2+2,3)，b=(x-4,2,x)，若a⊥b，则实数x的值是3.球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm34.一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是5.正四面体侧面与底面所成二面角的余值6.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7.如图是三角形ABC的直观图，∆ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8.把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9.下列命题（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10.由曲线x2=2y、x2=-2y、x=2、x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，1满足x2+y2≤4、x2+(y-1)2≥1、x2+(y+1)2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，试写出V与V的一个关系式21211.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边O A、BC的中点，点G在线段MN上，分MN所成的定比为2，OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、z的值分别为12.如图，A BCD-A BC D是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC垂直，使得α与正方体的每11111个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）A.8πB.3πC.D.6π二.选择题13.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，αβ=l，则l（）A.与m、n都相交B.与m、n至少一条相交C.与m、n都不相交D.至多与m、n中的一条相交14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）10π3315.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1；其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个16.四棱锥P-ABCD底面为正方形，侧面P AD为等边三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A B C D三.简答题17.直三棱柱ABC-A B C的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90︒，AB=AC=2，111AA=22，E、F分别是BC、AA的中点，求：11（1）EF与底面所成角的大小；（2）异面直线EF和A B所成角的大小；118.图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90︒，且AD=CD=DE=CG，FG=FE，若将五边形C DEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19.如图，在正四棱柱ABCD-A BC D中，AB=4，AA=8；11111（1）求异面直线B C与AC所成角的大小；（用反三角函数形式表示）111（2）若E是线段DD上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：1三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；220.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60︒，P A=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE:ED=2:1；（1）证明：P A⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F-ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；21.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点1到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆x2y2+a b2=1的面积S=πab）；8参考答案一.填空题1.π32π12.2或-33.4.平行5.6.4π23357.直角三角形8.R arccos9.（4）10.V=V1211.x=11333，y=z=12.[,]，{32} 6324二.选择题13.B14.B15.C16.B三.解答题17.（1）ππ；（2）. 4618.（1）略；（2）691.19.（1）arccos 10 1020.（1）略；（2）π6；（2）略..π6πa2 21.（1）；（2）12πp2；（3）.33B C上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、、到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．，E、F18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，AB=4，AA 1=8．（1）求异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若 E 是线段 DD 1 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点 E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为故答案为：．．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．B C3．球的表面积为 16πcm 2，则球的体积为cm 3．【考点】LG ：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为 16πcm 2，∴S=4πR 2=16π，即 R=2∴V== ×8=故答案为：4．一条直线 a 上的 3 个点 A 、、到平面 M 的距离都为 1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线 a 与平面 α 相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线 a 与平面 α 相交，则 A ，B ，C 三点中必有两个点在平面 α 同一侧，不妨设为 A ，B ，过 A ，B 分别作平面 α 的垂线，垂足为 M ，N ，则 AM ∥BN ，AM=BN ，∴四边形 AMNB 是平行四边形，∴AB ∥MN ，又 MN α，AB α，∴AB ∥α，这与假设直线 a 与平面 α 相交矛盾，故假设错误，于是直线 a 与平面 α 平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=△R，且AO1B为等边三角形，即AB=△R；AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离故答案为：R•arccos．9．下列命题：=R•∠AOB=R•arccos，3（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据可得出．=，=，=，=，=，代入计算即【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[ ]、{3}（用集合表示），【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：故选B．=3π．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A ．B ．C ．D ．【考点】J3：轨迹方程；LZ ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是 2 个平面的交线，PC 的中垂面 α 和正方形 ABCD 的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的 2 个固定点．【解答】解：∵MP=MC ，∴M 在 PC 的中垂面 α 上，点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是平面 α 和正方形 ABCD 的交线，∵ABCD 为正方形，侧面 PAD 为等边三角形，∴PD=CD ，取 PC 的中点 N ，有 DN ⊥PC ，取 AB 中点 H ，可证 CH=HP ，∴HN ⊥PC ，∴点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹一定是 HD ．故答案选 B ．三.简答题17．直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA 1=2 分别是 BC 、AA 1 的中点．求：（Ⅰ）FE 与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线 EF 和 A 1B 所成角的大小．，E 、F【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可，从而有∠GFE即为异面直线（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求EF和A1【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和AB所成角（或补角）1由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和AB所成角的大小为30°118．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．，19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM ：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接 AC 、AB 1，易知∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角，在△B 1CA 中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，根据三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增，根据三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大可得结论．【解答】解：（1）如图，连接 AC 、AB 1，由，知 A 1ACC 1 是平行四边形，则，所以∠B 1CA 为异面直线 B 1C 与 A 1C 1 所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B 1CA 中，则所以，，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为 DD 1∥平面 B 1BCC 1，所以 D 1D 上任意一点到平面 B 1BCC 1 的距离相等，因此三棱锥 E ﹣B 1BC 与三棱锥 D ﹣B 1BC 同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而所以三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积为定值，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥 E ﹣B 1BC 的体积，则根据上述解答相应给分． 2）若在侧面 B 1BCC 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面 A 1ABB 1 上任取三个顶点，与点 E 构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：因为，知 S △ADC 为定值，则三棱锥 E ﹣ADC 的体积与 DE 成正比，可知 V E ﹣ADC 随着 DE 增大而增大，又因为 DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣即三棱锥 E ﹣ADC 的体积在 E 点从点 D 运动到 D 1 过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣ 说明：1）若提出的问题是求三棱锥 E ﹣ADC 的体积范围，也可相应给分．解答：因为 S △ADC =8，而，DE ∈（0，8），﹣﹣﹣﹣则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．a，点E在。

上海市数学高二下学期理数期中考试试卷

上海市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·邹城期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数z=1+i，为z的共轭复数，则（）A . －2iB . –iC . iD . 2i3. （2分）在等差数列中，已知则等于（）A . 40B . 42C . 43D . 454. （2分）袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）对100只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表雄性雌性总计敏感502575不敏感101525总计6040100由附表：P（）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828则下列说法正确的是（）A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D . 有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；6. （2分）已知ab＞0，bc＞0，则直线ax+by=c通过（）A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限7. （2分） (2018高一下·栖霞期末) 函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于直线对称，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A . 6B . 8C . 9D . 129. （2分）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 无穷多个10. （2分）(2017·青岛模拟) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A . 10000立方尺B . 11000立方尺C . 12000立方尺D . 13000立方尺11. （2分）如图，F1 ， F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若｜AB｜：｜BF2｜：｜AF2｜=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（）A .B .C . 0D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 某家公司有三台机器A1 ， A2 ， A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为________．14. （1分）(2017·万载模拟) 若m= （6x2+tanx）dx，且（2x+ ）m=a0+a1x+a2x2+…+amxm ，则（a0+a2+…+am）2﹣（a1+..+am﹣1）2的值为________．15. （1分）(2020·新沂模拟) 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_________.16. （1分）(2018·宣城模拟) 抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·湖南模拟) 已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos A=ccos B+bcos C．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面积．18. （10分） (2018高二上·成都月考) 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .19. （15分） (2017·山东) 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（12分）（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．20. （10分）(2017·湘西模拟) 一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．21. （15分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．（1）求m，n的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．22. （5分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①讨论f（x）的单调性；②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ，证明f′（x0）＜0．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

上海高二下学期期中数学试卷(理科)

上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）复数z=在复平面内对应点所在的象限是________2. （1分）已知向量=(-1,x,3),=(2,-4,y)，且，那么x+y的值为________3. （1分）平行四边形OABC各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．4. （1分） (2016高二上·清城期中) 在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，且边a=2，c=5，则S△abc=________．5. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________6. （1分）已知向量 =（﹣3，2）， =（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为________．7. （1分）（3+4i）（﹣2﹣3i）=________8. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．9. （1分） (2016高一上·扬州期末) 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，= ，若• =﹣4，则sin∠BAD=________．10. （1分）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为________.11. （1分） (2016高一上·渝中期末) 已知向量，，则向量与的夹角为________．12. （1分） (2018高二下·济宁期中) 如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：________．13. （1分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．14. （1分） (2018高三上·张家口期末) 将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知z、为复数，（1+3i）z为实数，且,求16. （10分） (2017高二下·中山期末) 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn= （an+ ），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．17. （5分） (2015高二下·福州期中) 用分析法证明：当x≥4时， + ＞ + ．18. （5分）已知向量 =（λ，﹣2）， =（﹣3，5），若向量与的夹角为钝角，求λ的取值范围．19. （10分） (2016高一下·定州期末) 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若an＜an+1，求数列{anbn}的前n项和Tn．20. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案

≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙乙 4
4
5. B 【解析】姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积，姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.

上海高二下学期期中数学试卷(理科)

上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·静海月考) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·青岛期中) 直线的倾斜角等于（）A .B .C .D .3. （2分）甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回归模型拟合效果最差的同学是（）A . 甲B . 乙D . 丁4. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2017·合肥模拟) 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一上·林芝期末) 圆与圆的位置关系为（）A . 相离B . 相交C . 外切7. （2分）若则（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·正定期末) 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A . 求数列的前10项和（n∈N*）B . 求数列的前10项和（n∈N*）C . 求数列的前11项和（n∈N*）D . 求数列的前11项和（n∈N*）9. （2分）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·朝阳期末) 若由方程x2﹣y2=0和x2+（y﹣b）2=2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A . 或B . b≥2或b≤﹣2C . ﹣2≤b≤2D .11. （2分）(2018·黄山模拟) 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A .B .C .D .12. （2分）如图，是直三棱柱，为直角，点、分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·阳高期末) 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则 ________．14. （1分）(2016·绵阳模拟) 经过双曲线﹣ =1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是 a2 ，则该双曲线的离心率是________．15. （1分） (2015高二下·宜昌期中) 在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．16. （1分）(2019·广州模拟) 有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分）已知命题方程有两个不等的负根，命题方程无实根，若为真，为假，求的取值范围.18. （10分）已知过原点O的圆x2+y2﹣2ax=0又过点（4，2），（1）求圆的方程，（2） A为圆上动点，求弦OA中点M的轨迹方程．19. （10分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．20. （5分）(2017·成安模拟) 某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22 ，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．21. （10分） (2019高二上·龙江月考) 椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）（1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．22. （5分）过原点作直线l和抛物线y=x2﹣4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

2019年高二下学期期中联考数学理试题 Word版含答案

2019年高二下学期期中联考数学理试题 Word 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确。

请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。

） 1．复数= （）A ．B ．C ．0D ．2.一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体，在秒末的瞬时速度是（）米/秒A ．2B ．4 C.6 D.8 3. 函数单调递增区间是（）A ．B ．C ．D ．4.函数在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 5．在用数学归纳法证明422*123()2n n n n N +++++=∈时，则当时左端应在的基础上加上的项是（）A ．B ．C ．D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++.6.等于（）A ．B ．C ．D ．7.一质点运动的速度与时间关系为，质点作直线运动，则此质点在时间［1，2］内的位移是（）A. B. C. D . 8.已知，观察下列各式：，，，．．．，类比有(),则 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大利润的年产量为( )A.7万件B.9万件C.11万件D.13万件10. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。

某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

设函数12532131)(g 23-+-=x x x x ，则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20132012 (2013)220131g g g =( ) A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把答案填在答题卡中相应的位置上。

） 11.若是纯虚数，则实数的值为_______12.观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第7个等式为。

2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案

2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱；长方体是底面为矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱；正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（）正视图侧视图俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果；（2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果；（2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。

2019学年度第二学期期中三校联考高二数学理科试题试题含答案

2018～2019学年度第二学期期中三校联考高二数学（理科）说明：本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（每小题5分）：1．已知2a ib i i+=+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b -=（） A ．3- B ．2- C ．1- D ．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．已知()x x f x e e -=-，'()f x 是()f x 的导函数，则'(2)f =（） A ．0 B ．22e e -+ C ．22e e -- D ．1 4．若函数()sin cosf x x α=-，α为常数，则'()f α=（）A ．sin αB ．sin α-C ．sin cos αα+D ．2sin α 5．我们知道：在平面内，点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d =。

通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面2230x y z +++=的距离为（）A ．3B ．5 C．7D． 6．已知函数()x f x e x =-，0x >，下列结论中正确的是（） A ．函数()f x 有极小值 B ．函数()f x 有极大值 C ．函数()f x 有一个零点 D ．函数()f x 没有零点7．如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。

则这样组成的三位数的个数为（）A ．21B ．48C ．64D ．818．改革开放以来，中国经济飞速发展，科学技术突飞猛进。

高铁、核电、桥梁、激光、5G 通信、人工智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界。

2019学年高二数学下学期期中试题理新人教-新版

2019学年度第二学期高二期中考试数学试题（理科）本试卷满分150分考试时间120分钟本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）组成一．选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1、设是虚数单位,复数的实部与虚部之和为( )A.0B.2C.1D.-1 2、下面几种推理过程是演绎推理的是( )(A)某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 (B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质(C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 (D)在数列{}n a 中，11=a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--11121n n n a a a ，由此归纳出{}n a 的通项公式 3、函数的单调递增区间是( ) A. B.C. D.4、若的展开式中的系数是,则实数的值是( )A.B.C.D.5、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是( ) A.16 B.12 C.8 D.66、若函数是上的单调函数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7、将l,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为A.4种B.6种C.9种D.12种8、学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为,面积为,则其内切圆半径”类比可得“若三棱锥表面积为,体积为,则其内切球半径”;乙:由“若直角三角形两直角边长分别为、,则其外接圆半径”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为为、、,则其外接球半径”.这两位同学类比得出的结论( )A.两人都对B.甲错、乙对C.甲对、乙错D.两人都错9、设的展开式的各项系数之和为,二项式系数之和为,若,则展开式中的系数为( )A.-150B.150C.300D.-30010、做一个圆柱形锅炉,容积为,两个底面的材料每单位面积的价格为元,侧面的材料每单位面积价格为元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )A. B. C. D.11、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有A.96种B.240种C.180D.280种12、已知定义在上的函数的图象关于点对称,且当时,(其中是的导函数),若,,,则,,的大小关系是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为 14、已知函数()()R a x ae e x f x x∈--=-422的导函数()x f '为偶函数，则函数()x f 的增区间为______________15、321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为a ，则直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 _______________ 16、曲线上的点到直线的最短距离是________三、解答题(本大题6小题共70分。

2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷附答案

2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．。

上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年下学期高二期中数学试题(含详解)

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19. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点重合于图中的点 P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，点 E 、 F 在线段 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE = BF = xcm . （1）设广告商要求包装盒侧面积 S （ cm2 ）最大，试问 x 应取何值？并求 S 的最大值；（2）若广告商要求包装盒容积V （ cm3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出包装盒的高与底面边长.（提示：对于正数 a 、b 、c 恒有 abc ( a + b + c)3 成立，当且仅当 a = b = c 时等号
1
⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：
9. 已知圆锥的母长为 l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为 1 l 2 ，则此圆锥底面半 2
径 r 与母线长 l 的比 r 的取值范围是 l
10. 空间直角坐标中，点 O 为坐标原点，点 P(x, y, z) 满足{(x, y, z) | x, y, z {1,2,3}} ，且直线 OP 与 x 轴的夹角不超过 60°，满足条件的点 P 的个数是 11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 E 为三角形 D1AC 内部任意一点（包含边界）点 E 到平面 ABCD 、平面 ADD1A1 及平面 DCC1D1 的距离的平方和为 m ，则 m 的最小
3 成立）
20. 长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，棱长 AB = 3 ， AA1 = 1 ，截面 AB1C1D 为正方形. （1）求异面直线 BC1 与 AD 所成角的大小；（2）求点 B1 到平面 DBC1 的距离；（3）求二面角 B1 − C1D − B 的大小.

上海市2019-2020学年第二学期期中考试高二数学试卷

第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立：①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a = 则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。

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