【课时通】高一数学人教版必修2课件4.1.1 圆的标准方程2
【课时通】高一数学人教版必修2课件4.1.1 圆的标准方程
①-②得
-4a+4b=0,即a=b,④
将④代入③得a=b=1,r2=4,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二:因为kAB= 1 1 1， 所以线段AB的垂直平分线斜率k=1,
1 1
又因为AB的中点坐标为(0,0),故线段AB的垂直平分线方程为y=x, 由
y x， x 1， 所以圆心C(1,1), 得 x y 2 0， y 1，
提示: x 2 y 2 153 .
2
(3)根据问题(2)的探究,考虑以(a,b)为圆心,r为半径的圆上任一点 的坐标(x,y)满足什么关系? 提示:
x a y b
2
2
r.
➡根据以上探究过程,试着写出圆的标准方程: 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (1)圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为________________. x2+y2=r2 (2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方程为________.
因为r=|CA|= 1 12 1 12 2， 所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
【延伸探究】1.(变换条件)本例(2)中条件“圆心C在直线x+y-2=0上” 若换为“圆心在y轴上”,其他条件不变其结论又如何呢? 【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
【合作探究】 1.圆的标准方程中有几个待确定的量?要求它们需几个独立的条件? 提示:三个待确定的量a,b,r;要求它们需三个独立的条件. 2.圆的标准方程具有怎样的结构特点? 提示:方程的左端是两个完全平方式的和,右端是一个正数的平方. 3.若方程(x-a)2+(y-b)2=R是圆的标准方程,请问该圆的半径是多少? 提示:半径是 R .
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？答案 圆心和半径.思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案 能.1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二 点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2题型探究 重点难点 个个击破类型一 求圆的标准方程例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )DA.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析 ∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25___________________.解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.跟踪训练1 求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解 设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.类型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2 , 5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，∴点P 在圆外.(2)已知点M (5 ＋1， )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____.解得0≤a <1.B [0,1)跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞)是________________________.解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，类型三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，(1)x2＋y2的最值；解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，(2)x＋y的最值.解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，达标检测 41231.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )DA.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.A2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.－1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<－1D.a＝±1解析 ∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.1 3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1234解析答案4.圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________________.解析 由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回。
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
高中数学：4.1.1《圆的标 准方程》课件2（新人教A
版必修2）
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【 新人教 A版必 修2】PP T名师 课件
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y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【 新人教 A版必 修2】PP T名师 课件
练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
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C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
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练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
7、已知两点A(4、9)、B(6、 直径的圆的方程.
Y
3), 求以AB为
A(4、9)
B(6、3)
0
X
提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
人教版高中数学必修2第四章《4.1圆的方程：4.1.2 圆的一般方程》教学PPT
例1:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程,并求出这
个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 y2 Dx Ey F 0
因为O, M1, M2 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即
F 0
D
E
F
2
0
4D 2E F 20 0
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4, F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1, 2) 2) x2 y2 6x 0
半径: r 2
D 6, E F 0 D2 E2 4F 36
圆心: (3,0)
分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同 一方程
求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.
作业: 1.(作业本)课本P124 A组 1、(2)(4) B组 第2题或第3题 2. 完成《课时作业》&《反馈卡》
D 8
E
6
F 0
待定系数法
所以,圆的方程为: x2 y2 8x 6 y 0
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程; 若已知圆经过两点或, E, F的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.
轨迹方程求法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 ( x 1)2 y2 4
上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
高中数学人教必修2课件：4.1.1圆的标准方程
求圆的标准方程
例1 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
(xa)2(yb)2r2
A(5,1)
O
x
B(7,-3)
C(2,-8)
经典例题
求圆的标准方程
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
y
M (x0, y0 ) O(a, b)
x
点在圆内 d=|OM|<r
(x0a)2(y0b)2 r
(x0a)2(y0b)2r2
知识点二
点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
所 求 圆 的 标 准 方 程 为 ( x - 2 ) 2 ( y 3 ) 2 2 5 .
例2、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2), 且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程.
练习2 已知 AOB的顶点的坐标分别A(4,0), B(0, 3)， O(0, 0)，求它的外接圆的方程．
即 x2y80.
同 理 ， 线 段 B C 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 ： x y 1 0 .
联 立 方 程 x x 2 yy 18 00,解 得 ： x y 2 3
圆心为(2,3)
rO A(25 )2( 3 1 )25 .
活动1：请任意写出一个圆的标准方程，让同桌说出 圆心和半径，交换出题一次。
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT全文课件
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组 的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程课件(共16张PPT)
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
待定系数法求三角形外接圆的步骤：
1.设出标准方程；
2.根据条件列出关于a、b、r 的方程组； 3.解出a、b、r ，代入标准方程。
解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段
(2) ( x-2)2 + (y+5)2 = 49
(2,-5) r=7
3. 已知圆的方程为 x 32 y 22 16，
判断下列各点与圆的位置关系。
M14，- 5 圆内
M2 6,1 圆外
M（3 3，- 6） 圆上
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
人教版高中数学必修二课件：4.1.1 圆的标准方程(导学式) (共23张PPT)
【提示】
设定义用代数式表示即为：|PC|=r.
探究点1
圆的标准方程
r C P
【问题3】若圆心C坐标为(a,b)，试根据上述代数式 |PC|=r推导圆的标准方程.
【提示】设P点坐标为(x,y)，∵ |PC|=r，由两点间距离公式得： (x − a)2+(y − b)2 =r ， 两边平方得：
典例精讲：题型二：判断点与圆的位置关系
例2: 求以点C(3，－5)为圆心，以6为半径的圆的方程，并判断点P1(4， －3)，P2(3，1)，P3(－3，－4)与这个圆的位置关系. 分析:(1)根据圆心坐标和半径可得圆的标准方程. (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是:根据已知点到圆心的距离与 半径的大小关系来判断.
思路三：利用圆的几何性质：弦AB的中垂线与直线x＋y－2＝0的交点
必为圆心，求圆的标准方程．
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法1: 设所求方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， a＋ b－ 2＝ 0， 根据已知条件得 (1－a)2＋(－1－b)2＝r2， (－1－a)2＋(1－b)2＝r2， a＝ 1， 解得 b＝1， r＝ 2 ，
典例精讲：题型二：判断点与圆的位置关系
【解析】：(1)圆的方程为(x－3)2+(y+5)2=62.
(2) ∵|P1C|= (������－������)������ + (－������ + ������)������ = ������<6， ∴点P1(4，－3)在圆C内;
∵|P2C|= (������－������)������ + (������ + ������)������ =6，∴点P2(3，1)在圆C上; ∵|P3C|= (－������－������)������ + (－������ + ������)������ = ������������>6，∴点P3(－3，－4)在圆C外.
(必修2)4.1.1圆的标准方程(2课时)
• (1)当圆心在某条直线上时， • (一)可设出圆心坐标，将圆心用一个字母 表示． • (二)也可以考虑若圆心在另一条直线上， 则圆心为两直线的交点．
• (2)当圆经过不共线三点时， • (一)可由两边的中垂线求得圆心，进而求 出半径． • (二)也可设标准方程，将三点坐标代入，
解三元一次方程组求得a、b、r.
• (3)设圆心坐标为(a，b)，圆的方程为 • (x－a)2＋(y－b)2＝5. • 已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程中 得， 2 2
a ＋(1－b) ＝5 2 2 (2 － a ) ＋ (1 － b ) ＝5 a1＝1 ∴ b1＝－1
，
a2＝1 ，或 b2＝3
练习
1.(1)已知点A(1,1)在圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2=4的内 部,求实数a的取值范围.
(2)点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的 直线的方程。
4.1.1 圆的标准方程
y O
A
x
r
生活中的圆
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆 下定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。 问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
圆心C：两条直线的交点
半径CA：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
人教A版高中数学必修2课件：4.1.1圆的标准方程
例2:△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：(xa)2(yb)2r2
因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2
a2
(7 a)2 (3 b)2 r2
x2 y2 r2
练习1:(口答):求圆的圆心及半径
(1) (x-3)2+(y+2)2 =4
(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7
(3,-2) r=2 (-4,2)r 7
(3) x2+(y+1)2 = 16
(0,-1) r=4
(4) 2x2+2y2=8
(0,0) r=2
练习2：写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5
(x-3)2+(y-4)2=5
探究
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置 关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位
置关系？
A
A A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点A(x0，y0) 和圆O：(xa)2(yb)2r2 ，如何判断 点A在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点A在圆上 点A在圆内 点A在圆外
例1:已知圆心A(2, -3) ，半径等于5的圆 的方程，试判断点M(5, -7)、N(1，0)、 Q(7, 1)是在圆上，在圆内，在圆外？
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1.确定圆的几何要素是什么?圆的标准方
问题 程是什么?
引航 2.点与圆之间有几种位置关系?分别是什 么?
1.圆的标准方程 设圆心坐标为(a,b),半径为r,则 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆的标准方程为________________. x2+y2=r2 特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为________.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起 到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作 用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程:x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程:(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程:x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程:(x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程:x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【解析】1.选A.由于(2-1)2+(-1+2)2=2<4, 故点P(2,-1)在圆内. 2.因为(0-2)2+(0+3)2=13>12,所以原点在圆外. 答案:原点在圆外
【微思考】 确定点与圆关系的关键是什么? 提示:确定的关键是比较点与圆心的距离与半径的大小关系.
【即时练】
1.已知圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=4,则点P(2,-1)与圆的位置
关系为
(
)
B.在圆上
A.在圆内
C.在圆外
D.无法判断
.
2.坐标原点与圆(x-2)2+(y+3)2=12的位置关系为
【微思考】 若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=c2,则此圆的半径一定等于c吗? 提示:不一定.圆的半径应为|c|.
【即时练】 1.圆心在点C(3,4),半径是5的圆的标准方程为 2.求圆心是(3,-1),且过点(-2,1)的圆的方程. .
【解析】1.由于圆心为(3,4),r=5,故圆的标准方程为(x-3)2+ (y-4)2=25. 答案:(x-3)2+(y-4)2=25 2.方法一:由题意知圆的半径为
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时，点A(x0,y0)在圆内.
③当|AC|>r，即 (x 0 - a )2 + ( y0 - b)2 > r， 即 (x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点A(x0,y0)在圆外. 上述各结论，反过来也成立.
2.确定任一点M与圆上任一点间距离的最值的方法 若点M与圆心的距离为d,则有: (1)若点M在圆C外,则|PM|的最大值为d+r,最小值为d-r. (2)若点M在圆C上,则|PM|的最大值为2r,最小值为0. (3)若点M在圆C内,则|PM|的最大值为d+r,最小值为r-d.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若圆的圆心坐标为(-1,3),半径为
为 .
3 ,则此圆的标准方程
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=(-5)2,则圆的圆心坐标和半
径分别为 .
(3)已知圆的方程为x2+(y-1)2=2,则点A(1,0)与圆的位置关系
是 .
2.(1)半径为r= 3 ,则r2=3,故圆的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=3. 答案:(x+1)2+(y-3)2=3 (2)由圆的方程(x+2)2+(y-2)2=(-5)2可知圆心为(-2,2),半径 r=5. 答案:(-2,2),5 (3)因为12+(0-1)2=2,故点A(1,0)在圆上. 答案:点A在圆上.
【要点探究】 知识点1 圆的标准方程 1.对圆的标准方程的三点说明 (1)对于圆的标准方程,要从其结构形式上准确理解.圆的标准 方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的定义的直观 反映,是代数与几何结合的完美体现.
(2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心坐标和半径,反之,已 知圆的圆心坐标和半径也可以写出圆的标准方程,这一点体现 了圆的标准方程的优越性. (3)要确定圆的标准方程只需要找出圆心坐标和半径即可.
(3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4. ( (4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. ( )
【解析】1.(1)错误.不一定,当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表 示圆. (2)正确.只要圆心和半径确定,该圆就确定了. (3)错误.该圆的圆心坐标为(-1,-2),半径为2. (4)错误.因为(0-1)2+(0-2)2=5>1,故该点在圆外. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d,半径为r. d与r的大小 点与圆的位置 点P在圆内
d<r ____ d=r
d>r ____
点P在圆上
点P在圆外
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( ( ) ) )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.
(2)确定依据: 设点A(x0,y0)到圆心C(a,b)的距离为|AC|,则|AC|=
(x 0 - a ) + ( y 0 - b) ：
①当|AC|=r，即 (x 0 - a )2 + ( y 0 - b)2 = r，即
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点A(x0,y0)在圆上.
2
2
②当|AC|<r，即 (x 0 - a )2 + ( y0 - b)2 < r， 即
(3 + 2) + (- 1- 1) =
又圆心是(3,-1),
2
2
29，
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=29.
方法二:设圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=r2, 将点(-2,1)代入可得r2=29, 故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=29.
知识点2 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系及确定依据 (1)位置关系:如图点A与圆C有三种位置关系,点在圆上,点在圆 内,点在圆外.