宿迁市高中数学第1章常用逻辑用语第1课时四种命题导学案苏教版

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2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必

1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.1．符号⇒与的含义命题真假“假设p那么q〞为真“假设p那么q〞为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q2.充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件(q是p的必要条件)p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p 思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] (1)一样，都是p⇒q(2)等价1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.]2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件B[假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a ＝b〞的必要条件．]3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[此题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．(4)“sin α>sin β〞是“α>β〞的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要〞．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要〞．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β〞是“α>β〞的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断件〞“充分必要条件〞“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否认形式，可判断綈q 是綈p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故假设a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．假设綈p ⇒綈q ，那么p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；假设綈p ⇒綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的必要不充分条件；假设綈p ⇔綈q ，那么p 与q 互为充要条件；假设綈p綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(1)设a ，b 是实数，那么“a >b 〞是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b 〞不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b 〞，所以“a >b 〞是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，以下结论正确的选项是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②假设Δ＝b 2－4ac ＝0，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，那么充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔〞写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，那么充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，应选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >yxy，即1x <1y.必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进展等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q 〞为真，又要证明“q ⇒p 〞为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件〞与“p 的充要条件是q 〞这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ∈(0,2) B ．x ∈[－1，＋∞) C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)〞是“不等式x(x－2)<0成立〞的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分、必要条件的应用[探究问题]1．假设集合A B，那么“x∈A〞是“x∈B〞的什么条件？“x∈B〞是“x∈A〞的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要条件，而“x∈B〞是“x∈A〞的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．假设A是B的充要条件，实数a的值确定吗，假设集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，那么实数m的取值范围为________．[思路探究] p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件〞改为“p 是q 的必要不充分条件〞，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .那么{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．假设本例题改为：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P 〞是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p 、q 两命题，2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 3．利用集合间的关系建立不等关系， 4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进展判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．(3)利用集合间的包含关系进展判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进展求解．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)如果p是q的充分条件，那么命题“假设p那么q〞为真．( )(2)命题“假设p那么q〞为假，记作“q⇒p〞．( )(3)假设p是q的充分条件，那么p是唯一的．( )(4)假设“p q〞，那么q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，那么当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，应选B.]3．假设“x＜m〞是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.]4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。

苏教版高中数学第1章《常用逻辑用语》充分条件与必要条件(2)导学案选修1-1精选资料

苏教版高中数学课时精选知识汇总序言：数学是一门伟大的学科，汇集了人类的只会与结晶！高考数学主要知识点：第一，函数与导数第二，平面向量与三角函数第三，数列及其应用第四，不等式第五，概率和统计第六，空间位置关系的定性与定量分析垂直，求角和距离第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数江苏省响水中学高中数学第1章《常用逻辑用语》充分条件与必要条件（2）导学案苏教版选修1-1【学习目标】：1.能够分清充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的关系.2.利用充分必要条件的知识解决与集合、函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何等问题.【重点】：充要条件的的概念、等价转化思想的运用【难点】：充要条件的探求与证明【课前预习】：问题1: 四种命题间的充分必要关系:把p与q分别记作命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:(1)如果原命题真,逆命题假,那么p是q的条件;(2)如果原命题假,逆命题真,那么p是q的条件;(3)如果原命题与逆命题都真,那么p是q的条件;(4)如果原命题与逆命题都假,那么p是q的条件.问题2:在“y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）的充要条件是a+b+c=0”这句话中，条件和结论分别是什么？探究二：充要条件的证明设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.学好高中数学不能死记硬背，要多加思考。

做习题巩固知识，做错的练习要及时解决，不懂就要发问。

“问”的范围很广，可以与同学讨论，可以与老师讨论。

教师要传授知识，还要告诉学生学会生活，思维可以让他们更理性地看待人生。

高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1四种命题12111数学

样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命
题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如：原命题是：同位角相等，两直线平行。否命题(mìng tí)是：同位角不相等，两直线不平行。
第七页，共二十一页。
课中共(zhōnɡ ɡò①nɡ)学如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等。
逆否命题，并判断各命题的真假。
解原命题(mìng tí)：若a=0,则ab=0是真命题；逆命题：若ab=0，则a=0是假命题(mìng tí)；
否命题：若a 0，则ab 0 ”是假命题；
逆否命题：若ab 0，则a 0”是真命题；
原命题为真，它的否命题不一定为真；
原命题为真，它的逆否命题一定为真.
逆否命题是：两直线不平行，同位角不相等。
第八页，共二十一页。
课中共(zhōnɡ 学 ɡònɡ)
探究活动： (tànjiū)
1.探求(tànqiú)四种命题之间的关系，为什么存在这种关系？
第九页，共二十一页。
课中共学
四种命题间的相互(xiānghù)关系：
原命题(mìng tí) 若p则q
互否
例如：
原命题(mìng tí)是：同位角相等，两直线平行。逆命题就是：两直线(zhíxiàn)平行，同位角相等。
第六页，共二十一页。
课中共(zhōnɡ ɡ①ònɡ如)学果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；
2.在两个命题中，一个命题的条件和结论分别 (fēnbié)是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这
第十三页，共二十一页。
课中共(zhōnɡ 学 ɡònɡ)

高中数学常用逻辑用语教案

由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢.
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如以下图所示：
８．总结归纳
假设P，则q．
假设q，则P．
原命题
互逆
逆命题
互
否
互
为
否
逆
互
否
为
互
逆
否
否命题
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点
重点：命题的概念、命题的构成
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
教具准备：与教材容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学过程
学生探究过程：
1．复习回忆
初中已学过命题的知识，请同学们回忆：什么叫做命题.
让学生结合所举例子，思考：
假设原命题为“假设P，则q〞的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式.
学生通过思考、分析、比拟，总结如下：
原命题：假设P，则q．则：
逆命题：假设q，则P．
否命题：假设￢P，则￢q．〔说明符号“￢〞的含义：符号“￢〞叫做否认符号．“￢p〞表示p的否认；即不是p；非p〕
〔２〕两个命题互为逆否命题，他们有一样的真假性；
〔３〕两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
〔４〕原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
１2：作业P8：习题1．１Ａ组第２、３、４题
四、板书设计
教学反思：
1．2充分条件与必要条件
一、教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

江苏省宿迁市高中数学常用逻辑用语第1课时四种命题导学案无答案苏教版

第1课时四种命题【学习目标】1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.2.会分析四种命题之间的相互关系.3.会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假. 【问题情境】1.什么叫命题？______________________________________________________.命题由___________和_____________两部分构成，所有的命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.2.下列语句是命题吗?(1)20a >； (2)如果0a >,那么20a >； (3) 明天会下雨吗? (4) 对顶角相等.3.看以下4个命题: ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;②如果两个三角形面积相等,那么它们全等;③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.请观察命题②, ③, ④中条件和结论与命题①中的条件和结论有什么区别与联系？【合作探究】1.四种命题的概念：互逆命题: ________________________________________________________________ 互否命题:_______________________________________________________________ _ 互为逆否命题:________________________________________________ ____________2.四种命题之间的关系：【展示点拨】例1．写出命题“若0,0a ab ==则”的逆命题、否命题与逆否命题.例2.把下列命题改写成“p q 若则”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.(1)对顶角相等； (2)四边相等的四边形是正方形.思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有何关系？例3．判断下列命题的真假.“,. 0,()()()()a b R a b f a f b f a f b ∈+≥+≥-+-已知函数f(x)是R 上的增函数,若则”的逆命题．．．.【学以致用】1．判断下列说法是否正确.(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真; ( )(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真. ( )2. 判断下列命题的真假.(1) “0,a b a b +=若则、互为相反数”的否命题; ( )(2)“22,a b a b >>若则”的逆否命题; ( )(3)“23,60x x x ≤--<若则”的逆命题. ( )3. 与命题“M ∈∉若m M,则n ”等价的命题是____________________________________.4.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.(1)若,a b a b ==则; (2) 20,0x x <>若则;(3)sin sin ,αβαβ==若则;(4)220,0x y x y +=若则、全为; (5) 20,0mn mx x n <-+=若则方程有实根;5. 已知33,,31,1a b R a b ab a b ∈++≠+≠求证：若则.第1课时四种命题【基础训练】1.有下列语句：①.平行四边形不是梯形；②.2是无理数；③.方程2910x -=的解是13x =±； ④.这是一颗大树；⑤.2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子.其中命题的个数是 .2.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p 则q ”的形式为 .3.命题“若a>b ,则2a >2b-1”的否命题是： .4.写出“若x 2+y 2=0,则x=0且y=0”的逆否命题: .5.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题；③“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有________.6.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.【思考应用】7.判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假.①.末位是0的整数能被5整除；②.平行四边形的对角线相等且互相平分；③.两直线平行，斜率相等；④.在△ABC 中，若∠A=∠B ，则sin sin A B =；⑤.余弦函数是周期函数吗？8. 写出命题“若a 和b 都是偶数,则a b +是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断所有命题的真假：(1).原命题：若0a =，则0ab =；(2).原命题：对角线相等的平行四边形是矩形.10.已知三个不等式：,0,a b c ac bc ><<(其中,,a b c 均为实数).用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成多少个真命题？【拓展提升】11.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________.12.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，且,a b R ∈，若0a b +≥则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.(1).判断其逆命题的真假，并证明你的结论；(2).判断其逆否命题的真假，并证明你的结论.。

高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1四种命题课件4苏教版选修1

2.命题p:若x，则y，其逆命题q:若y，则x，那么命题q的否命题r:若非y，则非x，命题 p的否命题是若非x，则非y，命题p 的否命题是r的逆命题．答案:逆命题
【规律总结】四种命题关系判断的两个注意点 (1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系. (2)原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题.
【规律总结】判断一个语句是命题一般需具备的两个条件 (1)陈述句:语句的格式是否为陈述句，一般只有陈述句才有可能是命题. (2)语句能否判断真假:语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，语句的真假是明确的. 两个条件同时成立才是命题.
主题二四种命题及其真假判断
根据逆命题、否命题、逆否命题的概念，思考下列问题: 1.任何一个命题都有逆命题、否命题、逆否命题吗? 提示:任何一个命题都可以写成“若p,则q”的形式,通过交换条件、结论可以得到它的逆命题,因而任何一个命题都有逆命题. 同样也可得到这个命题的否命题和逆否命题.
【特别提醒】四种命题之间关系的关注点判断两个命题的关系,关键是判断两个命题的条件和结论是如何变换的,是交换,还是否定,还是交换后再否定(或否定后再交换).
1.(1)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”与命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的关系是_____． (2)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”与命题“两条对角线不相等的四边形不是矩形”的关系是_____. (3)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”与命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”的关系是_____．
1.下列几个命题与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除” 等价的是______(填序号). (1)能被3整除的整数，一定能被6整除 (2)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (3)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (4)不能被6整除的整数，不一定能被3整除

江苏省宿迁市高中数学第一章常用逻辑用语第1课时四种命题导学案(无答案)苏教版选修2_1

第1课时四种命题【学习目标】1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.2.会分析四种命题之间的相互关系.3.会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假. 【问题情境】1.什么叫命题？______________________________________________________.命题由___________和_____________两部分构成，所有的命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.2.下列语句是命题吗?(1)20a >； (2)如果0a >,那么20a >； (3) 明天会下雨吗? (4) 对顶角相等.3.看以下4个命题: ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;②如果两个三角形面积相等,那么它们全等;③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.请观察命题②, ③, ④中条件和结论与命题①中的条件和结论有什么区别与联系？【合作探究】1.四种命题的概念：互逆命题: ________________________________________________________________ 互否命题:_______________________________________________________________ _ 互为逆否命题:________________________________________________ ____________2.四种命题之间的关系：【展示点拨】例1．写出命题“若0,0a ab ==则”的逆命题、否命题与逆否命题.例2.把下列命题改写成“p q 若则”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.(1)对顶角相等； (2)四边相等的四边形是正方形.思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有何关系？例3．判断下列命题的真假.“,. 0,()()()()a b R a b f a f b f a f b ∈+≥+≥-+-已知函数f(x)是R 上的增函数,若则”的逆命题．．．.【学以致用】1．判断下列说法是否正确.(1)一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真; ( )(2)一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真. ( )2. 判断下列命题的真假.(1) “0,a b a b +=若则、互为相反数”的否命题; ( )(2)“22,a b a b >>若则”的逆否命题; ( )(3)“23,60x x x ≤--<若则”的逆命题. ( )3. 与命题“M ∈∉若m M,则n ”等价的命题是____________________________________.4.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.(1)若,a b a b ==则; (2) 20,0x x <>若则;(3)sin sin ,αβαβ==若则;(4)220,0x y x y +=若则、全为; (5) 20,0mn mx x n <-+=若则方程有实根;5. 已知33,,31,1a b R a b ab a b ∈++≠+≠求证：若则.第1课时四种命题【基础训练】1.有下列语句：①.平行四边形不是梯形；②.2是无理数；③.方程2910x -=的解是13x =±； ④.这是一颗大树；⑤.2008年8月8日是北京奥运会开幕的日子.其中命题的个数是 .2.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p 则q ”的形式为 .3.命题“若a>b ,则2a >2b-1”的否命题是： .4.写出“若x 2+y 2=0,则x=0且y=0”的逆否命题: .5.下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题；③“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题共有________.6.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.【思考应用】7.判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假.①.末位是0的整数能被5整除；②.平行四边形的对角线相等且互相平分；③.两直线平行，斜率相等；④.在△ABC 中，若∠A=∠B ，则sin sin A B =；⑤.余弦函数是周期函数吗？8. 写出命题“若a 和b 都是偶数,则a b +是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断所有命题的真假：(1).原命题：若0a =，则0ab =；(2).原命题：对角线相等的平行四边形是矩形.10.已知三个不等式：,0,a b c ac bc ><<(其中,,a b c 均为实数).用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成多少个真命题？【拓展提升】11.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的________.12.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，且,a bR ∈，若0a b +≥则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.(1).判断其逆命题的真假，并证明你的结论；(2).判断其逆否命题的真假，并证明你的结论.。

高中数学四种命题间的相互关系《导学案》答案

第一章常用逻辑用语1.1.3 四种命题间的相互关系参考答案【典例分析】例1.【解析】选D.因为原命题与其逆否命题等价,故选D.例2.【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是2个.例3.【解析】否命题为“若α不是第一、二象限的角，则sinα≤0”，是假命题.答案：假【变式拓展】：1.【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.2.选D.命题能被6整除的整数，一定能被2整除的逆否命题是：不能被2整除的整数，一定不能被6整除.3.【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆4.答案：(1)互为否命题(2)真四、随堂检测1.选A.设p为“若A,则B”,那么q为“若¬A,则¬B”,r为“若¬B,则¬A”.由于q和r的条件和结论互换,故q和r互为逆命题.2.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.3.因为m>0,所以12m>0,所以12m+4>0.所以方程2x+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以原命题“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”为真.又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.4.【解析】逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,真命题.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a<1,所以4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真命题.。

江苏省宿迁市高中数学第1章常用逻辑用语第4课时简单的逻辑联结词(1)导学案(无答案)苏教版选修1_1

第4课简单的逻辑联结词(1)【学习目标】1.通过实例了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.能正确的利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；【问题情境】前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架．本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假．问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式．①11>5；②3是15的约数吗？③0.7是整数；④x>8．问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3这些命题与前面的命题在结构上有什么区别？【合作探究】1.逻辑连接词命题中的“___”、“___”、“___”称为逻辑联结词．2. 复合命题的构成简单命题：不含有___________________的命题叫做简单命题．复合命题：由______________用____________联结而成的命题叫复合命题．3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题；复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p．“p或q”可记作“______”；“p且q”可记作“______”；“非p”可记作“______”．【展示点拨】例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数．探究命题的真假：结论：“或”、“且”、“非”命题的真值判断真值口诀：________________________________________________．例2．写出由下列各组命题构成的“p q ∨”、 “p q ∧”以及“p ⌝”形式的命题，并判断它们的真假：（1）p ：3是质数，q ：3是偶数；（2）p ：方程220x x +-=的解是2x =-，q ：方程220x x +-=的解是1x =．思考1：（2）中的命题“p q ∨”与命题“方程220x x +-=的解是21x x =-=或”有区别吗？思考2：“p ∨q ”，“ p ∧q ”，“ ⌝p ”形式命题的真假判断步骤：例3．判断下列命题的真假：⑴4≥3； ⑵4≥4； ⑶4≥5．例4．已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．【学以致用】1. 由下列命题构成的“p ∨q ”, “p ∧q ”均为真命题的是____________①P:菱形是正方形，q:正方形是菱形； ②P ：2是偶数，q:2是奇数 ③P ：15是奇数，q:4不是12的约数； ④P ：{},,a a b c ∈，q ：{}{},,a a b c ⊆ 2. 已知条件p ：x 2+2x-3>0,条件q:5x-6>x 2则p ⌝是q ⌝的_________条件3. 命题p:方向相同的两个向量共线，q:方向相反的两个向量共线，则命题“p ∨q ”为______4. 已知命题p ：若x 2+y 2=0，则x,y 都为0,；命题q:若a 2>b 2，则a>b.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ⌝；④q ⌝.其中正确的命题是____________5. 已知命题p ：集合|cos ,3n x x n Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭只有四个元素；q:集合{}2|1,y y x x R =+∈与集合{}|1x y =相等.则下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ⌝；④q ⌝中真命题有____个6．已知20:,100x p xx ⎧⎫+≥⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭{}:11,0q x m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.第4课简单的逻辑联结词(1)【基础训练】1.命题“任意一个三角形一定有一个外接圆和一个内切圆”是的形式(填p ∧q 、p ∨q 、p ⌝)，它是一个命题(填真、假)2.用“或”、“且”填空： (1)若x AB ∈，则x A ∈ x B ∈； (2)若x A B ∈，则x A ∈ x B ∈；(3)若0ab =，则0a = 0b =； (4)已知,a b R ∈，若0a > 0b >，则0ab > 3. 已知命题所有有理数都是实数；命题:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是______. ①②； ③④4.命题“0是自然数”的否定是，它是命题(填真、假)5. 下列各组命题中，满足“为真,为假,为真”的是______.①；在△中，若，则；在第一象限是增函数.；不等式的解集是.圆的面积被直线平分；.6.已知2():20p x x x m +->，如果(1)p 是假命题，(2)p 是真命题，那么实数m 的取值范围是 . 【思考应用】7. 判断下列命题的真假: (1)4≥3; (2)4≥4; (3)4≥5.8.分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假. ① 相似三角形周长相等或对应角相等； ② 9的算术平方根不是－3；③ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.9写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题，并判断其真假．（1）：2是4的约数，：2是6的约数；（2）：矩形的对角线相等，：矩形的对角线互相平分；（3）：方程的两个实数根的符号相同，：方程的两个实数根的绝对值相等．10.已知命题2:560;p x x -+≥:04,q x <<若是p 真命题，q 是假命题，则实数x 的取值范围 .【拓展提升】 11. 设函数25()lgax f x x a-=-的定义域为A ，若命题:3p A ∈与:5q A ∈有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.12. 已知p :关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根; q :关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实数根.如果“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求出满足要求的m 的取值范围.。

高中数学第一章常用逻辑用语阶段复习课学案苏教版选修11

第一课常用逻辑用语[体系构建][题型探究]命题“若p，则q﹁p，则﹁q”逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．(2)要注意条件和结论的否定形式．写出命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．[思路探究] 四种命题的概念→写出其它命题→命题真假的判断【规范解答】原命题：若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，是真命题；逆命题：若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0是真命题；否命题：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0是真命题；逆否命题：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0是真命题．[跟踪训练]1．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.【导学号：95902050】【解析】原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．【答案】 4(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊂B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊂A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊂B且B⊂A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于﹁q是﹁p的什么条件．(1)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的________条件．(2)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件．[思路探究] (1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断．【规范解答】(1)方法一：∵p：x＜3，q：－1＜x＜3，∴q⇒p，但p⇒/q，∴p是q 成立的必要不充分条件．方法二：设A＝{x|x＜3}，B＝{x|－1＜x＜3}，因为B⊂A，但A⊄B，所以p是q成立的必要不充分条件．(2)本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故是不充分条件；当时a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故是不必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab ＞0”的即不充分也不必要条件．【答案】(1)必要不充分(2)既不充分也不必要[跟踪训练]2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件.【导学号：95902051】【解析】当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分不必要条件．【答案】充分不必要条件1.(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词．(3)否定结论．(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征．(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式．2．全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．(2)判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，否则命题为假．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0；(4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.[思路探究] 首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假．【规范解答】 (1)﹁p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．﹁p 为真命题．(2)﹁p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故﹁p 为假命题．(3)﹁p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.﹁p 为真命题．(4)﹁p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.﹁p 为真命题．[跟踪训练]3．在下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.其中真命题的个数是________.【导学号：95902052】【解析】 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①为真命题； ②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②也为真命题； ③中当α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题； ④中当x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④为真命题．【答案】 4解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p ，q 分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p ，q 的真假情况确定参数的取值范围．当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用﹁p 与p ，﹁q 与q 不能同真同假的特点，先求﹁p ，﹁q 中参数的取值范围．已知c ＞0.设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .如果p 或q 为真，p 且q 为假，求c 的取值范围．[思路探究]题设条件―――――――――――――――→p 或q 为真⇒p 或q 至少有一真p 且q 为假⇒p 、q 至少一假p 、q 有一真―――――→分两种情形求c 的范围【规范解答】对于命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1；对于命题q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R .即函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.因为x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x ＜2c ，所以函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，所以2c ＞1，即c ＞12. 由p 或q 为真，p 且q 为假知p ，q 中一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜c ＜1，c ≤12，解得0＜c ≤12.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，c ＞12，解得c ≥1.综上，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋ ∞)．[跟踪训练]4．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是________.【导学号：95902053】【解析】 ∵p ∧q 为真命题，∴命题p 和命题q 均为真命题，若p 真，则m ＜0， ①若q 真，则Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2. ②∴p ∧q 为真，由①②知－2＜m ＜0.【答案】 (－2,0)进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路探究] 綈p 是綈q 的必要不充分条件――→等价转化p 是q 的充分不必要条件――→集合关系确定含参数a 的不等式【规范解答】设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p是q 的充分不必要条件，即A B ，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <12，a ＋1≥1，故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.[跟踪训练]5．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解】方法一：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }， B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x | x 2－x －6≤0}∪{x | x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．∴﹁q ⇒ ﹁p ，且﹁p ⇒/ ﹁q ，即{x |﹁q }{x |﹁p }．又∵{x |﹁q }＝∁R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，{x |﹁p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 方法二：由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 故所求实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [链接高考]1．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________.【导学号：95902054】【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．【答案】若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________．【解析】由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.【答案】 ∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”．【解析】因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.【答案】充要4．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 【导学号：95902055】【解析】由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.【答案】 15．已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是__________(填编号)①p ∧q ；②p ∧﹁q ；③﹁p ∧q ；④﹁p ∧﹁q .【解析】当x ＞0时，x ＋1＞1，ln(x ＋1)＞0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2这时满足a ＞b ，显然a 2＞b 2不成立，即q 为假命题，由复合命题真值表易知②为真命题．【答案】 ②。

江苏省宿迁中学高中数学选修1-1导学案：第1章常用逻

高中数学第1章《常用逻辑用语》4种命题精品导学案苏教版选修1-1

江苏省响水中学高中数学第1章《常用逻辑用语》四种命题导学案苏教版选修1-1【学习目标】：1.能说出命题的概念及命题的四种形式(即原命题、逆命题、否命题、逆否命题；2.会分析四种命题间的相互关系和等价关系.【重点】：四种命题之间的相互关系【难点】：四种命题的改写，利用四种命题间的等价关系解题【课前预习】：问题1: 一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断的陈述句叫作命题.其中判断为真的语句叫作 ,判断为假的语句叫作 .命题的常见形式是 ,其中p 叫作命题的 ,q 叫作命题的 .问题2: 四种命题的表示形式：原命题的形式:若p,则q; 原命题的否命题形式: ;原命题的逆命题形式: ;原命题的逆否命题形式: .问题3: 四种命题之间的相互关系:问题4: 四种命题的真假性的判断情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真真假假真假假说明:(1)原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有 ;(2)互逆命题和互否命题,它们的真假性关系;(3)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.【课堂探究】：探究一：判断下列语句是否为命题,若是命题,则判断其真假.①求证:错误！未找到引用源。

是无理数; ②x2-2x+3≥0; ③正三角形是等腰三角形吗? ④x≤3;⑤方程x2+3x+3=0无实数解; ⑥若G2=ab,则a,G ,b 成等比数列.探究二：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题22(1),(2)0,,0(3),,,a b a bx y x y a b a b a b ==+=+若则若则全为已知是实数若是无理数，则都是无理数探究四：求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

高中数学第一章常用逻辑用语1-1-1四种命题学案苏教版选修1_1

高中数学第一章常用逻辑用语1-1-1四种命题学案苏教版选修1_1学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念思考给出下列语句：(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)3＋6＝7；(3)偶函数的图象关于y轴对称；(4)5能被4整除．请你找出上述语句的特点．梳理(1)定义：能够判断________的语句．(2)分类①真命题：判断为________的语句．②假命题：判断为________的语句．(3)形式：____________.知识点二四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p 则q.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________．知识点三四种命题的关系思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？梳理(1)四种命题之间的关系如下所示：(2)四种命题的真假关系①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性；②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．类型一命题及其真假的判定例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数；(5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数；(6)60x＋9>4.反思与感悟判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1 下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由．(1)x>1或x＝1；(2)如果x＝1，那么x>3；(3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2；(4)x2－5x＋6＝0.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练 2 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________．(填序号)①若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；②若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；③若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数；④若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数．命题角度2 四种命题真假的判断例3 下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．类型三等价命题的应用例4 已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.反思与感悟(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．下列语句是命题的是________．①若a>b，则a2>b2；②a2>b2；③方程x2－x－1＝0的近似根；④方程x2－x－1＝0有根吗？2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________________．3．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a ＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为__________________________________．4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________．5．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．1．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．提醒：完成作业第1章§1.1 1.1.1答案精析问题导学知识点一思考上述语句能够判断真假．梳理(1)真假(2)①真②假(3)若p则q知识点二思考命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)结论和条件互逆命题原命题逆命题(2)互否命题否命题(3)结论的否定条件的否定互为逆否命题逆否命题知识点三思考1 逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q 则非p.思考2 互逆、互否、互为逆否．梳理(1)q p 逆否互否非p 非q 互逆非q 非p(2)①相同②没有题型探究例1 解(1)是祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝，y＝－.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．跟踪训练1 解(1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断．(2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值．(3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3.(4)不是命题，因为x的值不确定．例2 解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；否命题：若x∉A，则x∉A∪B；逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数；逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B；逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.跟踪训练2 ②例3 ①②③跟踪训练3 ②③例4 证明原命题的逆否命题：已知a，b，c∈R，若a，b，c都大于或等于，则a＋b＋c≥1.由条件知a≥，b≥，c≥，三式相加得a＋b ＋c≥1.显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.跟踪训练4 证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．当堂训练1．① 2.若tan α≠1，则α≠π43．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行4．2 5.[1,2]。