高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

合集下载

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法 (附详解)

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(122

22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，

则有020

20=+k b

y a x 。

（2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

则有020

20=-k b

y a x

（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.

典型例题给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点

及，求线段

的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余

弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

（2）求|||PF PF 1323

+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

圆锥曲线的解题方法(精选4篇)

（经典版）

编制人：__________________

审核人：__________________

审批人：__________________

编制单位：__________________

编制时间：____年____月____日

序言

下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!

并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作总结、工作计划、应急预案、演讲致辞、规章制度、合同协议、条据书信、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!

Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!

Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work summaries, work plans, emergency plans, speeches, rules and regulations, contract agreements, document letters, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=

（3）弦长公式

直线

y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+=⋅<

距离式方程：

2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知21F F 、是椭圆13

2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则

动点M 的轨迹是（）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1

2tan 2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S

2cot 2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

圆锥曲线解题技巧窍门和方法综合方法(精心排版)

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，

则有020

20=+k b

y a x 。

（2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)

则有020

20=-k b

y a x

（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点

及，求线段

的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余

弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=e ；

（2）求|||PF PF 1323

+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

高考圆锥曲线大题题型及解题技巧

一、基本概念

圆锥曲线是椭圆、双曲线与圆锥体的综合体，它说明物体穿过三种物理媒质，如水、气体和固体物质，以及它们之间的相互转换性。

二、圆锥曲线的基本特点

1、圆锥曲线具有规律性：它的主要特征是抛物线的函数形式呈现出以对称中心为中心的规律性，在此基础上拓展形成了螺旋状的曲线；

2、圆锥曲线与旋转有关：圆锥曲线的曲线形状可以用某种旋转的路径进行描述；

3、圆锥曲线的曲线表示有多种变化：圆锥曲线可以表示为二维图形或三维图形，可以表示为数学方程式，也可以表示为一组矢量。

三、圆锥曲线大题解题技巧

1、分析题干：根据题干内容，在解题之前要细致地分析题干，弄清楚问题的范围，是对一组数据进行分析，还是对某种形式的函数进行分析，要把握好范围和类型，以便选择正确的解题方法；

2、画出曲线图：如果是需要求曲线的半径、圆心坐标和焦点等信息，可以先画出曲线图，有助于理清思路；

3、推导出数学公式：如果是要分析曲线的性质，可以根据曲线的特性，推导出相应的数学公式，以便求解；

4、运用矩阵的相关理论：在计算曲线的性质时，可以运用矩阵

的相关理论，根据相关的矩阵的乘法，求出所求的值。

五、练习

1、(XX年某省某市高考)已知圆锥曲线的参数方程为：

$$left{begin{array}{l} x^{2} + y^{2}=a^{2} z^{2} a>0, a eq 1 end{array}

ight.$$

(1)求出曲线的中心坐标；

(2)求出曲线的渐近线方程和焦点坐标。

解：

(1)令参数方程中的参数$a=frac{1}{m}$，代入参数方程可得：

2024圆锥曲线大题计算方法

圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。

一、圆锥曲线方程求解方法

1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。在求解过程中，注意运用以下方法：

（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；

（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；

（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。

2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。

二、直线与圆锥曲线交点求解方法

1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。

2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交

点坐标。在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。

三、中点问题求解方法

1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。

2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。

四、实例解析

以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。

1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。

圆锥曲线解题技巧和方法综合讲义

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，

(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意

斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有

20=+k b y a x 。（2）)0,0(122

22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有

20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.

典型例题给定双曲线x y 2

1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，

∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β

αβαsin sin )

sin(++=

e ；

（2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题

圆锥曲线解题技巧和方法综合

(本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好)

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型： (1) 中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)

：设曲线上两点为(x 1, y 1)，

(x 2,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款

讨论)，消去四个参数。

2 2

如：(1)笃•笃=1(a b 0)与直线相交于 A 、B ,设弦 AB 中点为 M(X o ,y o )，则有

a b

卑卑k=0。

a b

2 2

(2) 笃-每=1(a

0,b 0)与直线I 相交于 A B ,设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有

a b

I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(X 0,y 0),则有2y °k=2p,即y o k=p.

典型例题

给定双曲线X 2

1。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点 R 及P 2，

求线段P 1 P ,的中点P 的轨迹方程。

(2) 焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点 P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭

桥。

2 2

典型例题

x , y 设P(x,y)为椭圆

1上任一点，F 1(-c,0) , F 2(C ,0)为焦点,

PF 1F 2 二■-•， PF 2 R =:。

X o a

y o

(3)y =2 px ( p>0)与直线

(2)求 |PF i| - PF 2| 的最值。

(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)(总25页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小--

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(122

22>>=+b a b

y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为

M(x 0,y 0)，则有020

20=+k b

y a x 。

（2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为

M(x 0,y 0)则有020

20=-k b

y a x

（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.

典型例题给定双曲线x y 2

1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点

P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦

点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。在高考中，经常出现

各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。本文将介绍

圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。

常见题型

1. 判定方程类型

判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。同学们需要掌握二次型的知识，使

用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：

$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；

2. 求曲线方程

通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：

（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。

例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解

出对称轴和开口方向，进而确定方程。

（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。

例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准

式求解方程。

3. 定位点

通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。此类问题有多种方法，例如利用坐

标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系

求解点的坐标等。

4. 证明定理

此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。需要掌握各种定理的证明方法，例

如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。

5. 计算面积

此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。需要灵活运用面积公式、积

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，经常出现在高中数学的教学中，也是高考数学中的一个热点考点。掌握圆锥曲线的相关知识和解题技巧对于学生来说非常重要。本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望能够帮助广大学生更好地应对高考数学考试。

一、圆锥曲线问题的常见题型

1. 椭圆的方程与特征：

椭圆的标准方程为\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。在高考中，通常会出现给定椭圆的焦点、顶点等信息求椭圆的方程，或者反过来给定椭圆的方程求椭圆的相关信息的题目。

2. 抛物线的方程与性质：

抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0。高考中常见的题型包括给定抛物线的焦点、直径和顶点求抛物线的方程，或者求解抛物线与直线的交点等。

圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。高考中常见的题型包括求解圆与直线、圆与圆的交点、圆心坐标等。

1. 熟练掌握圆锥曲线的标准方程

在解题时，首先要掌握圆锥曲线的标准方程，根据题目中给出的相关信息将其代入方程中，从而求出所需的未知数。熟练掌握标准方程对于解题是非常重要的。

2. 注意利用圆锥曲线的性质

在解题时，要善于利用圆锥曲线的性质，例如椭圆和双曲线的焦点、顶点等特征，抛物线的焦点、直径等特征，以及圆的半径、圆心坐标等特征。通过这些性质，可以更快速地解题。

3. 结合几何思维进行分析

在解题过程中，可以结合几何思维进行分析，画出相应的图形来辅助解题。通过直观的几何图形，有时可以更好地理解题目要求，并且更容易找到解题的思路。

高考数学圆锥曲线解题技巧必看

学习从来无捷径。每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为主科之一，和语文英语一样，也是要记、要背、要讲练的。下面是小编给大家整理的一些高考数学圆锥曲线解题技巧，希望对大家有所帮助。

高中数学圆锥曲线的综合问题复习技巧

知识梳理

1.直线与圆锥曲线C的位置关系：

将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0.

(1)交点个数：

①当a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;②当a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。

(2) 弦长公式：

2.对称问题：

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率)②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上。

3.求动点轨迹方程：

①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法;②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法;③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。

重难点突破

重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值

难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题

重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题

1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能

①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.

圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

2a =

参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+=⋅<

距离式方程：2a =

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知21F F 、是椭圆13

2=+y x 的两个焦点，

平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S

122cot

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法

近年来，高考数学2卷中的圆锥曲线题目备受考生和教师关注。圆锥曲线是数学中重要的概念，其在几何、代数和应用数学中都有着广泛的应用。掌握圆锥曲线的相关知识和多种解题方法是提高学生数学成绩的关键之一。本文将针对2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目，围绕不同的解题方法展开讨论，帮助考生深入理解、掌握相关知识，并提高解题的灵活性和准确性。

一、圆锥曲线的基本概念

1.1 圆锥曲线的定义

圆锥曲线是平面上一类重要的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。它们都可以由一个圆锥面与一个平面交线而成。在坐标系中，圆锥曲线可以通过方程表示，分别为：

圆：x^2 + y^2 = r^2

椭圆：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1

双曲线：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1

抛物线：y^2 = 2px

1.2 圆锥曲线的性质

圆锥曲线具有多种性质，例如椭圆的焦点性质、双曲线的渐近线性质、抛物线的焦点和准线性质等。掌握这些性质有助于理解圆锥曲线的特

点和解题方法。

二、2023年高考数学2卷圆锥曲线题目分析

2.1 题目类型和难度

2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目主要涉及圆、椭圆和双曲线，涵盖了曲线方程、焦点、离心率、渐近线等知识点。题目难度适中，但

需要考生对相关知识有基本的掌握和灵活运用能力。

2.2 典型题目解析

（1）椭圆的离心率问题

题目描述：已知椭圆的长轴为6，短轴为4，求椭圆的离心率。

解析：根据椭圆的定义和离心率的计算公式，可求得椭圆的离心率为

e=√(1 - (b^2/a^2))，带入长短轴的值计算即可得到答案。