卷积的本质及物理意义(整理)
浅析卷积
“卷积”是什么？卷积的实质是加权平均，卷积的重要性在于它是频域上的乘积！连续空间的卷积定义是f(x)与g(x)的卷积是f(t-x)g(x) 在t从负无穷到正无穷的积分值.t-x要在f(x)定义域内,所以看上去很大的积分实际上还是在一定范围的. 实际的过程就是f(x) 先做一个Y轴的反转,然后再沿X轴平移t 就是f(t-x),然后再把g(x)拿来,两者乘积的值再积分.想象一下如果g(x)或者f(x)是个单位阶越函数. 那么就是f(t-x)与g(x)相交部分的面积.这就是卷积了.实际上为一个函数对另外一个函数做加权平均。
不过，一个扮演的是权重角色（Filter），另一个则扮演被平均的角色（图像）。
把积分符号换成求和就是离散空间的卷积定义了.那么在图像中卷积卷积地是什么意思呢,就是图像就是图像f(x),模板是g(x),然后将模版g(x)在模版中移动,每到一个位置,就把f(x)与g(x)的定义域相交的元素进行乘积并且求和,得出新的图像一点,就是被卷积后的图像. 模版又称为卷积核.卷积核做一个矩阵的形状.（以下两个是动态图，文档没有显示出来效果，详见下面网址）/s/blog_6819cb9b0100m3rz.html首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。
但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。
的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。
假如我们观测或计算出一组数据。
但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。
那么，最简单的方法就是加权平均。
例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。
这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。
上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，另一个序列是.....,x_1,x_2,x_3,......将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。
卷积物理意义
卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：()()()r t e h t d τττ+∞−∞=−∫。
从直观上理解这个公式就是r 在t 时刻的取值等于e 在τ时刻的取值乘以它持续的时间d τ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是d τ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)d τ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t 时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t 与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h （t ）传递过去（所以h （t ）也称为传递函数），系统最终得到τ时刻激励e(τ)对状态量r(t)在t 时刻的取值的影响量e(τ)h(t-τ)d τ，将各时刻的影响量累加起来（积分），就得到了卷积的这个公式了。
信号卷积物理意义
信号卷积物理意义信号卷积在信号处理中扮演着重要的角色。
在一些信号处理问题中，我们需要将两个信号进行卷积，以获得一些有用的信息。
以下将介绍信号卷积的物理意义及其应用。
1. 物理意义信号卷积可以理解为两个信号之间的“混合”或“交互”。
它衡量的是两个信号在时间和幅度维度上的相互作用程度。
具体来说，当我们将信号f(t)和信号g(t)进行卷积时，相当于在时域上对这两个信号进行乘积并对结果进行积分，如下所示：h(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，h(t)表示卷积的结果，t表示时间变量，τ表示积分变量。
2. 应用信号卷积在信号处理中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：（1）系统响应在信号处理中，我们经常需要计算系统的响应。
已知输入信号和系统响应，可以通过信号卷积计算输出信号。
具体来说，输出信号可以表示为输入信号和系统响应的卷积，如下所示：y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ其中，y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，h(t)表示系统响应。
（2）图像处理信号卷积也广泛应用于图像处理中。
在图像处理中，我们经常需要对图像进行模糊或者平滑处理。
这可以通过对图像和一个特定卷积核进行卷积实现。
卷积核的大小和形状不同，会产生不同的效果。
（3）滤波信号卷积还可以用于滤波。
在信号处理中，我们经常需要对信号进行低通或高通滤波，以去除或者保留特定频率范围内的信号分量。
这可以通过对信号和一个特定滤波器进行卷积实现。
总之，信号卷积在信号处理中有着广泛的应用和重要的物理意义。
通过掌握信号卷积的原理和应用，可以更好地理解信号处理领域中的各种问题和方法，提高信号处理的效率和准确性。
卷积的本质及物理意义(整理)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
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卷积的物理意义，解释的真幽默！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
1卷积和褶积的物理意义
1卷积和褶积的物理意义卷积的物理意义进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。
而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。
因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。
首先，先列出卷积的定义式：r(t)=∫e(τ)h(t τ)dτ。
从直观上理解∞+∞这个公式就是r在t时刻的取值等于e在τ时刻的取值乘以它持续的时间dτ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。
在物理上e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）h(t)看成一个反映系统性质的函数(冲击响应)如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有的系统在某一时刻τ外界对它产生了一个作用（激励）e(τ)，它的持续时间是dτ，所以它的作用量（作用值乘以作用时间）等于e(τ)dτ，再乘以一个系数h(t-τ)（表示τ时刻激励对t时刻系统状态量r(t)的影响程度，这个系数的取值是t与τ的时间间隔t-τ的函数），也就是相当于将这个激励量通过h（t）传递过去（所以h（t）也称为传递函数），τττ，将，就得到了卷积的这个公式了。
卷积积分(Convolution)的定义(精)
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
卷积到底是什么？今天让你彻底明白
卷积到底是什么？今天让你彻底明白读本科期间，信号与系统里面经常讲到卷积(convolution)，自动控制原理里面也会经常有提到卷积。
硕士期间又学了线性系统理论与数字信号处理，里面也是各种大把大把卷积的概念。
至于最近大火的深度学习，更有专门的卷积神经网络(Convolutional Neural Network, CNN)，在图像领域取得了非常好的实际效果，已经把传统的图像处理的方法快干趴下了。
啰啰嗦嗦说了这么多卷积，惭愧的是，好像一直以来对卷积的物理意义并不是那么清晰。
一是上学时候只是简单考试，没有仔细思考过具体前后的来龙去脉。
二是本身天资比较愚钝，理解能力没有到位。
三则工作以后也没有做过强相关的工作，没有机会得以加深理解。
趁着年前稍微有点时间，查阅了一些相关资料，力争将卷积的前世今生能搞明白。
奥本海姆教授的巨作首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。
好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。
这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。
直接看图，不信看不懂。
以离散信号为例，连续信号同理。
已知x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c已知y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k下面通过演示求x[n] * y[n]的过程，揭示卷积的物理意义。
第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0：第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2：最后，把上面三个图叠加，就得到了x[n] * y[n]：简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。
从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。
重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。
对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应加权叠加，就直接得到了输出信号。
卷积的意义
在不少人眼中，卷积这个数学概念是很神秘很难懂的。
由于其在数学、物理学、电子工程、信号处理、计算机科学中极为重要，所以在本文中试图讲解卷积的概念，力求易读易懂，让尽可能多的人理解卷积。
如果您已经对此非常了解，那完全可以忽略本文了。
本文的目标读者是那些见了卷积这两个字就头大，又迫于工作需要，必须弄懂的人。
假设您已经通过了大学一年级的高数考试，但现在已经忘得差不多了J。
很多教科书一上来就会给出卷积的定义，接着就是一串推导、证明、例子，如果你不太适应这种方式，那本文可能会非常适合你。
卷积在信号处理领域中尤为常用，就以此慢慢引入卷积概念吧。
日常生活中到处都是信号系统，它们接受一定的输入后，会给出一定的输出：手机受到对方来电的信号就会响铃或震动；电脑接到一串按键信号，屏幕就会输出一串对应的字符；女友在收到男友送的一束玫瑰后也许会送上一个热吻……现在，我们把这些信号系统抽象成“黑匣子”，不管它的内部构造，而只关注它对输入的响应。
数学化一点儿，将一个给定的信号系统记为S，设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，t可以代表时间，也可以是其它什么。
那么：y(t) = S{ x(t) }就表示系统S 将x(t)这个输入信号转化为输出信号y(t)。
太一般化的信号系统不容易研究，那就加入一些“合理的”限制条件。
S是连续（continuous）的，如果t可以连续变化；特别的，x(t)和y(t)都是定义在实数域上的函数。
物理世界中的信号系统大多是连续的。
S是离散（discrete）的，如果t只能取一些分立的值；特别的，x(t)和y(t) 都是定义在整数域上的函数。
离散的信号系统可以比较方便的被计算机分析处理。
S是线性（linear）的，如果对任意两个输入信号x1、x2和任意的常数c1和c2有：S{ c1x1(t) + c2x2(t) } = c1S{ x1(t) } + c2S{ x2(t) }拿超市作比喻，去买2斤萝卜和3斤白菜，即c1=2，c2=3，x1是萝卜，x2是白菜。
卷积的本质及物理意义
卷积的本质及物理意义
卷积的本质是一种数学运算，用来表示两个函数的关系。
在信号处理和图像处理中，卷积可以通过将一个函数与另一个函数的反转和平移进行数学运算，得到一个新的函数。
卷积运算可以用来描述信号的滤波、信号的平滑、信号的特征提取等。
物理意义上，卷积可以用来表示两个物理量之间的相互作用或耦合。
例如，在电路中，电流通过电阻时会有电压降，可以用卷积来描述电流与电压之间的关系。
在光学中，光束通过光学系统时会发生衍射或折射，可以用卷积来描述光束的传播和变形。
在声波传播中，声波在传播过程中会被介质的衰减和反射等因素影响，可以用卷积来描述声波的传播特性。
总的来说，卷积具有描述两个函数之间关系的数学工具，它在信号处理和物理学中可以用来描述信号的滤波、耦合、传播等物理过程。
卷积积分(Convolution)的定义(精)
e(t) r(t) r ( t ) e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r (t ) e( )h(t )d
0
物理解释: 将激励 e(t)看成一系列宽度为 ，高度为 e(k )矩形脉冲叠加的。
e( t )
e(0)
o
2
k (k+1)
性质4筛分性性质3时刻观察到的响应应为0时间内所有激励产生的响应的和冲激响应积分参变量观察响应时刻解
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 ( )d f 2 ( t ) * f1 ( t )
性质2
f1 (t ) *[ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
性质3
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
t
证明 f1 (t ) * f 2 (t ) 0 f1 ( ) f 2 (t )d
f1 ( t ) f 2 ( )(d )
t
t 0
0
令 = t ：0 t : t 0
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
卷积的物理意义
卷积的物理意义最幽默的解释卷积的物理意义谈起卷积分当然要先说说冲击函数—-这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
”冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：”说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明”冲击函数”。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是”卷积” 这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
例子：有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天……每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？……想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。
卷积的本质是什么？有什么物理意义？幽默的给你解释
卷积的本质是什么？有什么物理意义？幽默的给你解释分三个部分来理解： 1．信号的角度 2．数学家的理解（外行） 3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0)，y(1)，y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0)，x(1)，x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1)，叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
(完整版)卷积的定义和物理意义
卷积的定义和物理意义卷积（Convolution）是分析数学中一个重要的运算，很多具体实际应用中会用到这个概念，卷积的数学定义就是一个式子，背后有什么物理背景意义呢？这里做一个分析。
函数卷积的定义：设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
数列卷积定义：如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果定义：，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
卷积的物理意义（定义的来源思路）如果一个信号是一组历史信号的组合，比如a(0),a(1),a(2)......a(n)......，其中a(i)是i时刻信号的量值，我们要计算在某一时刻n的信号的组合量值f(n), f(n)是a(0),a(1),a(2)......a(n)的组合。
如果是类似f(n)=a(0)+a(1)+a(2)+......+a(n)的简单线性组合就好办了，但是信号会随着时间的变化，不断的在衰减的，也就是说我们只知道0时刻信号量值是a(0),但不知道a(0)变化到n时刻的时候的实际值，所以不能简单用到上面的线性组合式子。
现在假设我们知道信号的衰减规律符合统一规律函数b(n)，也就是说所有信号0时刻的衰减剩余率都是是b(0),1时刻的衰减剩余率是b(1)......,如果我们求n时刻的信号组合量f(n)，因为n时刻a(n)信号刚出来，它的衰减剩余率应该为b(0)(理解一下），而 n-1时刻的信号衰减了一个时间周期了，它的衰减剩余率是b(1)......,写成式子就是:f(n)=a(0)b(n)+a(1)b(n-1)+a(2)b(n-2)+......+a(n)b(0)=sigma[a(i).b(n-i)]，i 取值 from0 to n.上面的式子，就是a(i).b(n-i)乘积形式的由来，作为数学推广，不是一般性，可以把取值范围推广到负无穷到正无穷。
卷积的本质及物理意义(整理)
卷积的本质及物理意义分三个部分来理解：1．信号的角度2．数学家的理解（外行）3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
卷积的通俗理解
卷积的通俗理解
对卷积的意义的理解：
卷积的定义：卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
1. 从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。
以信号分析为例，卷积的结果不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。
在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。
所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。
2. 那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。
在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。
详解卷积公式的物理意义
详解卷积公式的物理意义作者：Uncle Jack日期：2020/03/15分解思维1. 人类科学有一个特点是喜欢使用分解的思维去理解分析很多复杂的事物，比如傅里叶级数把很多奇形怪状的函数分解成无穷多个三角函数，又比如力学分析中把单个力分解成直角坐标系中的的xy分量等等。
如果要研究以时间为自变量的函数x[t]经过系统H后会输出什么这样的问题，也可以用分解的方法去看待2. 从能量的角度看，任何信号都是由一份一份的基本能量所构成的，它们在时间轴上紧密排列，最后形成一条曲线，我们把它叫做x （t），纵轴为x（t），横轴为t，离散化之后叫x[n]，因此信号一定是时间的函数。
和我们平时经验积累起来的函数不同，平时做数学题的函数多为静态函数，也就是一个输入值对应一个输出值，这种函数当前的输出和历史的输入好像没什么关系。
3. 利用分解思维，我们也可以定义出最基本的能量单元，或者取名叫单位1能量，这样一来所有的信号都可以由这个单位1能量组成，这个单位1能量就是冲击函数δ（t），离散世界中叫做δ[n]，这个函数将用来表示单位1的能量，甚至它生成的时间位置都有做归一化处理，即在时刻0（注意这里说的是时刻）上出现单位1的能量，其余任意时刻能量都为0，为了表述方便，这里用离散函数分析通用意义。
用冲击函数表示任意函数x[n]为：因为只有当n=k时，δ[n-k]才为1，其余值都是0，所以等式是成立的。
这个公式的分析：时刻上看：在任意时刻k，信号的能量值x[k]等于x[k]乘以1，看起来像是废话，但这里面透露的深层次信息为：信号x[k]已经被分解，改用单位1能量的倍数来表示总时间上看：用单位1能量描绘了信号x[n]在时间轴上各个时刻的能量值大小现在假设x[n]经过一个线性移不变系统H，输出为y[n]，因为线性，所以下面等式成立：又因为移不变性，所以下面等式成立：其中h[n]是系统H的冲击响应函数，h[n-k]是第n-k时刻对应的冲击响应值第一个关键的东西来了，冲击响应是什么？直观理解就是冲击信号通过系统之后的输出，这个输出函数同输入函数一样，也是带着一个时间自变量的信号。
卷积神经网络之卷积的物理意义
卷积神经⽹络之卷积的物理意义 图像中的卷积，是离散的，这不同于我们数学中的卷积公式，数学中的卷积公式⼤部分都是连续的，但是也有离散的卷积公式，学过数字信号处理的应该都知道。
这⼀点是我之前不明⽩的地⽅。
正如上图所⽰，⼤的⽅框表⽰原图像的像素，中间⼩的3*3的⽅框为卷积模板，最右边的⽅框是做完卷积之后的输出图像。
那么，为什么要对图像做卷积呢？卷积的物理意义是什么呢？经过查阅资料和听取课程，终于有些明⽩了为什么要对图像做卷积。
如上图所⽰，对图像的卷积就是使卷积模板与原图像的像素相对应的位置先做乘法然后把相应位置得到的结果进⾏求和，最终把求和的结果赋给⽬标像素。
如上图中的计算，最终得到的结果为-8。
这⾥实际上就是做了点积操作，点积的操作就是两个向量相应位置相乘然后求和。
点积的物理意义是两个向量之间的相似度。
推⼴到这⾥，可以说成卷积模板与图像中某⼀块区域的相似度，如果卷积结果越⼤，说明图像中的某位置和卷积模板类似，如果卷积结果⼩，说明图像中某位置和卷积模板的相似度很⼩。
如果把卷积模板作为特征算⼦或者特征向量，那么就是不断的去问被卷积的这张图像上有哪些部分是符合我这个特征算⼦的。
根据这个特点，如果我们有较好的卷积模板，也就是卷积模板中的元素较好，符合某个特征，就可以检测图像中的特征，进⽽利⽤特征识别图像。
⽐如说我这个卷积模板是⼈的眼睛的特征算⼦，那么在⼈的图像进⾏完卷积之后，图像中眼睛部分的响应也就是相似度很⾼，其他部分的响应或者相似度很⼩。
上述只是⼀个卷积模板或者特征算⼦，那⼀个特征显然不⾜以区分这个世界。
如果我们有千千万万个卷积的模板，换句话说你就会有千千万万个特征算⼦，那这些特征会帮助你区分这个世界中的⽐如猫啊，狗啊，轮船啊等等物体。
那么什么是深度卷积神经⽹络呢？就是去求解这千千万万个卷积模板的这么⼀种⽹络。
这些卷积模板可不是随随便便凭空得来的，⽽是要通过不断的学习得来的。
深度卷积神经⽹络就是不断地去学习，最终求得了这些卷积模板。
卷积的含义以及几个重要的性质
卷积的含义以及几个重要的性质
卷积！这个概念曾经困扰了我好长时间，一直似懂非懂。
知道学习了信号与系统这门课程以后才有了比较准确的认识。
卷积是一种积分运算，在信号处理领域其物理意义是输入信号经过线性时不变系统的处理以后得到的输出。
如果一个系统是线性时不变系统的0时刻的冲击响应，那么我们就可以用这个响应与输入做卷积得到系统的输出。
就这么简单！如果光看数学公式，什么反褶、滑动，搞了半天不知道什么用，还有人用什么棒子在头上打包来做比喻，越整越懵！个人觉得数学这个东西其实是非常有意思的，它源于生活而高于生活，但是我们学习的时候往往老师不会讲应用背景就理论而理论，抽象的公式推来推去把人整懵了。
卷积有三个重要的性质一定要知道：
交换律：x*h = h*x，它满足交换律，就是说如果把x看成输入、h做为系统响应的结果，与把h作为输入、x作为系统响应他们的输出是一样的；
结合律：x*h1*h2 = x*(h1*h2)=x*h2*h1，结合律的意思是说如果两个系统如果都满足线性、时不变，输入x经过h1系统和h2系统的处理结果，和把h1*h2当作一个系统处理的结果相同，而且信号先经过哪个系统最后效果都相同。
如果一个大系统有无数个小线性系统组成，我们可以把他们作为一个分析整体。
分配律：x*(h1+h2) = x*h1+x*h2，分配律的意思是说，如果两个系统是并行连的，那么最后的结果可以成为输入分别与两个系统作用的结果再相加，相当于可以把一个大线性系统分解为若干个小的系统然后分别求输出以后再叠加。
从上面三个定理看，卷积并不是特别难理解的概念一样，它与乘法非常相似只不过计算的时候用到了积分求和。
卷积在信号处理里面是非常重要的数学工具，一定要搞懂。
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卷积的本质及物理意义分三个部分来理解：1．信号的角度2．数学家的理解（外行）3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
/u2/76475/showart_1682636.html++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 卷积是人为定义的一种运算，就是为了计算的方便规定的一种算法。
两个函数普通乘积的积分变换（傅里叶变换与拉普拉斯变换）与这两个函数积分变换的卷积建立了关系，使我们只要会求两个函数的变换，利用卷积就可以求这两个函数乘积的变换。
卷积在数据处理中用来平滑，卷积有平滑效应和展宽效应.谈起卷积分当然要先说说冲击函数----这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。
“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。
古人曰：“说一堆大道理不如举一个好例子”，冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。
在t时间内对一物体作用F的力，我们可以让作用时间t很小，作用力F很大，但让Ft的乘积不变，即冲量不变。
于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是“卷积”这个数学怪物就这样诞生了。
说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。
但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。
最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。
于是，他们为它量身定做了一套运作规律。
于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。
目前，傅立叶变换最重要的应用之一就是可以将卷积方程变成两个函数的乘积形式去求解。
卷积分是积分方程家族的一名重要成员。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 卷积是一种积分运算，它可以用来描述线性时不变系统的输入和输出的关系：即输出可以通过输入和一个表征系统特性的函数（冲激响应函数）进行卷积运算得到。
以下用$符号表示从负无穷大到正无穷大的积分。
一维卷积：y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)先把函数x(k)相对于原点反折，然后向右移动距离t，然后两个函数相乘再积分，就得到了在t处的输出。
对每个t值重复上述过程，就得到了输出曲线。
二维卷积：h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)先将g(u,v)绕其原点旋转180度，然后平移其原点，u轴上像上平移x，v轴上像上平移y。
然后两个函数相乘积分，得到一个点处的输出。
图像处理中的卷积与上面的定义稍微有一点不同。
用一个模板和一幅图像进行卷积，对于图像上的一个点，让模板的原点和该点重合，然后模板上的点和图像上对应的点相乘，然后各点的积相加，就得到了该点的卷积值。
对图像上的每个点都这样处理。
由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++卷积的物理意义，解释的真幽默！有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。
怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。
无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？——费话，疼呗！——我问的是：会有什么表现？——看疼到啥程度。
像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）——死啦！县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。
为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。
——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。
什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。
这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。
除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？——呵呵，县令大人毕竟仁慈。
其实除人之外，很多事情也遵循此道。
好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！也可以这样理解：T(τ)即第τ个板子，H(t-τ)就是第τ个板子引起的痛苦到t时刻的痛苦程度，所有板子加起来就是∫T(τ)H(t-τ)/a__g/blog/item/10873722cab331ac4723e8f7.html++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 卷积法的原理是根据线性定常电路的性质(齐次性、叠加性、时不变性、积分性等),借助电路的单位冲激响应h(t),求解系统响应的工具，系统的激励一般都可以表示为冲击函数和激励的函数的卷积，而卷积为高等数学中的积分概念。
建议你去看看定积分的内容。
特别注意的是：概念中冲击函数的幅度是由每个矩形微元的面积决定的。
总的说来卷积就是用冲击函数表示激励函数，然后根据冲击响应求解系统的零状态响应。
卷积实质上是对信号进行滤波。
卷积应该就是求和也就是积分，对于线性时不变的系统，输入可以分解成很多强度不同的冲激的和的形式（对于时域就是积分了），那么输出也就是这些冲激分别作用到系统产生的响应的和（或者积分）。
所以卷积的物理意义就是表达了时域中输入，系统冲激响应，以及输出之间的关系。
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。
对离散序列来说就是两个多项式的乘法。
物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制. 这是频率卷从数学看,卷积是一种反映两个序列或函数之间的运算方法;从物理上看,卷积可代表某种系统对某个物理量或输入的调制或污染;从信号角度来看,卷积代表了线性系统对输入信号的响应方式,其输出就等于系统冲击函数和信号输入的卷积,只有符合叠加原理的系统,才有系统冲击函数的概念,从而卷积成为系统对输入在数学上运算的必然形式,冲击函数实际上是该问题的格林函数解.点激励源作为强加激励,求解某个线性问题的解,得到的格林函数即是系统冲击响应.所以在线性系统中,系统冲击响应与卷积存在着必然的联系.但是卷积本身不过是一个数学运算方法而已...++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 相关分为自相关和互相关，自相关代表信号本身和延迟一段时间以后的相似程度，互相关代表两个信号的相似程度。