空间向量的基本定理
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
1.2空间向量基本定理
4
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面． (2)唯一确定．
5
2．正交分解 (1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两_两__垂__直__，且长度都是 __1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
34
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝
a·aa·b |a||b|
求夹
角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
35
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量．
1 －1 [由m与n共线，得1x＝－y1＝11， ∴x＝1，y＝－1.]
10
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空
间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的
向量组有( ) A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
(1)C [如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
空间向量的基本定理
a， ＝b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中 AD AA' 点，N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且
A 1 1)AP (a b c) ； 2 B 2)AM 1 a b 1 c P 2 2 1 A 3)AN a b c 2
1 1 4 a b c 4） AQ 5 5 5 B
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0）， b的 （ b a// 充要条件是存在实数λ，使a ＝λ 。 b
共面向量定理:
如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在 实数对x，y，使 p a b。 ＝x ＋y
平面向量基本定理：
如果e1， 是同一平面内的两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ，λ ，使a ＝λ e1＋λ e2。 1 2 1 2 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底） e
OP OP P P OA OB P P xOA yOB zOC xa y b zc
A'
P'
可以证明此表达式是唯一的
例题:
已知空间四边形OABC，其对角线为OB， AC，M、N分别是对边OA，BC的中点，点G 在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量OA， OB，OC表示向量OG。
CQ：QA'＝4 : 1，用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量：
D C
Q
M
N
D C
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在一个唯一的有序实数 组x，y，z，使p＝xa ＋yb＋zc 。 空间所有向量的集合可表示为
高二数学空间向量基本定理
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A DBiblioteka BC例题：
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
空间向量的基本定理
3空间向量分解定理
空间向量的分解定理：如果三个向量
么对空间任意一个向量 p 使 p xa yb zc
a, b, c
不共面，那
，存在唯一的有序实数组
x, y, z
空间向量的 分解
空间向量的分解定理：如果三个向量
p 么对空间任意一个向量 p xa yb zc 使
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
1平行向量基本定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c xa yb
1平行向量基本定理：
小组合作：
这就说明c与a, b共面
1平行向量基本定理：
1共线向量定理：
两个平面向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
两个空间向量 a ，（ ）， b b≠ 0 a ∥ b 充要条件是存在唯一 使得
a b
2平面向量基本定理： 如果 a 和 b 是一平面的两个不共线 的向量，那么该平面内的任一向 量 c ，存在唯一的一对实数 x, y 使得
c分解成xa和yb
（4）讨论这两个定理是否 适用空间向量
空间向量的基本定理空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。
在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。
二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。
2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。
3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。
当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。
4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。
5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。
2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。
（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。
而且当k=-1时，ka=-a。
这些结论称为空间向量的基本定理。
四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。
空间向量基本定理
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果 向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那 么我们就说向量 平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线， 则向量 与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数 对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分 新疆 王新敞 奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量 证明：
（1） EG // AC
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量基本定理
答案：A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →
知识要点一：空间向量基本定理的理解 1．空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从 而分解结果也多了一“项”，解决问题的思路，步骤也基本相同． 2．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空 间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 对于基底{a，b，c}除了应知道 a，b，c 不共面，还应明确： (1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所 有向量均可由基底唯一表示． (2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量 不共面，就隐含着它们都不是 0.
解析：由基底定义知应选 D.
4． 如图， 在长方体 ABCDA′B′C′D′中向量 A′C― →可用向量 AB― DD′― →， →， B′C′― →表示为__________________．
解析：∵A′C― →＝A′D′― →＋D′D― →＋DC― →， 又∵A′D′― →＝B′C′― →，DC― →＝AB― →，D′D― →＝－DD′― → ∴A′C― →＝B′C′― →－DD′― →＋AB― →.
1 1 解析：MN― →＝MC1― →＋C1N― →＝ BC1― →－ AC1―→ 2 3 1 1 ＝ (AC1― →－AB― →)－ AC1― → 2 3 1 1 ＝ AC1―→－ AB― → 6 2 1 1 ＝ (AC―→＋AA1― →)－ AB―→ 6 2 1 1 1 ＝ a－ b＋ c 6 2 6 1 1 1 答案： a－ b＋ c 6 2 6
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法 的平行四边形法则、加法、减法的三角形法则．
空间向量基本定理
O'
(2)OG (G是侧面BB' C ' C的中心 A' ).
C'
B'
G
解 : OG OC CG 1 OC CB' 2 1 b ( a c). 2
A
O
B
C
五.课堂小结
1.空间向量基本定理
2.空间向量基本定理的推论
BA' BA BB ', BA OC , BB ' OO ', BA' OO ' OC c b.
O'
C'
A'
B'
O
C
A
B
CA' CA AA', CA OA OC a b, AA' OO ' c, CA' a b c.
解 : MN ON OM , 1 1 而ON (OB OC ) (a b), 2 2 1 1 OM OA a, 2 2 1 1 1 OM b c a. 2 2 2
中点, 且OA a, OB b, OC c, 试用a, b, c表示向量MN . O
3.空间向量基本定理的推论：
设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z使
OP x OA y OB z OC
三.例题分析
例4.已 知 空 间 四 边 形 OABC , 其 对 角 线 为 , AC; OB M , N分 别 是 对 边 , BC的 中 点, 点G在 线 段MN上, OA 且 使MG 2GN , 用 基 向 量 , OB , OC 表 示 向 量 . OA OG
高二数学空间向量基本定理
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A D
B
C
例题：
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。A1B B1Fra bibliotek ACA
C B
M
D1
C1
N
P
A1
B1
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
文人独嗜，百姓亦胸有丘壑，尤其在一个特殊日子里，更是趋之若鹜、乐此不疲，此即九九重阳的“登高节”。 我始终认为，这是中国先民一个最浪漫、最诗意的节日。 秋高气爽，丹桂飘香，心旷神怡
空间向量基本定理
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
请证明
A aB
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须
2. 已知 e1, e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O， OM
A. 1
xOA ＋
B.
1 3 OB
0
＋
1 3
OC
C.
,则x的值为：
3
D. 1
C
b
p
P
满足什么条件？
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
2.对空间任一点O,有 OP OA x AB y AC
3.能转化为都以O为起点的向量吗？ OP （1 x y)OA xOB yOC
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
(1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；
(2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面 的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量， 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
练 习3 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
11.2空间向量的基本定理
uuu uuu r r OP = OA + ta
其中向量a叫做直线 的方向向量 其中向量 叫做直线l的方向向量 叫做直线 的方向向量.
3、向量与平面平行： 、向量与平面平行： 已知平面β和向量 ， 已知平面 和向量a，作 和向量 或在内， 平行于平面β 记作： 于β或在内，那么我们说向量 平行于平面 ，记作： 或在内 那么我们说向量a平行于平面 a // β 。 通常我们把平行于同一平面的向量， 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明： 说明：空间任意的两向量都是共面的
（必要性） 必要性） 设存在实数x,y使 uuuu 设存在实数 使p=xa+yb 取空间任意一 r uuur uuur uuur ’ 点M，作 M A = a， B = b， A = xa， ’ = yb ， ， M M AP uuur 在平面MAB内， 则 MP =xa+yb=p，于是点 在平面 ，于是点P在平面 内 向量p//平面 平面MAB. 即p与向量 共面 与向量a,b共面 向量 平面 与向量 共面.
C N B
A
1 2 OG = OM + MG = 2 OA + 3 MN 1 2 = OA + ( ON − OM ) 2 3
1 1 1 = OA + OB + OC 6 3 3
例2 :已知平行六面体OABC − O' A' B' C '， r r r r r r 且OA＝a , OC = b , OO' = c , 用a , b , c 表示 如下向量：)OB', BA', CA'; (2)OG (G是侧 (1 面BB' C ' C的中心）
空间向量的基本定理
OA 3 (ON OA) OA 3 ON 3 OA
4
4
4
1 OA 3 (1 OB 1 OC) 4 43 3
1 OA 1 OB 1 OC. 444
O
PN C
M B
例题解析
例2. 如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AB 4,AD 4,AA1 5,DAB 600,BAA1 600,
OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
例题解析
例1. 如图1.2—2，M是四面体OABC的中点，点N在线段OM上，
点P在线段AN上，且MN 1 ON, AP 3 AN,
2
4
用向量OA, OB, OC表示OP. A
解：OP OA AP
OA 3 AN 4
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一
向量p,存在有序实数组x, y, z,使得
p xa yb zc.
a, b, c都叫做基向量.
作业: 课本P15 习题1.2 3，4题
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
(2) 由于 0为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向 量，二者是相关联的不同概念。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
第1章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量的基本定理
复习引入
1.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理1. 引言空间向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量的基本定理是线性代数中一个重要的定理，它描述了空间向量之间的关系和运算规律。
本文将介绍空间向量的定义、性质以及基本定理的证明过程。
2. 空间向量的定义在三维空间中，我们可以用一个由三个实数构成的有序三元组表示一个向量。
设有两个向量a和b，它们分别表示为：a = (a1, a2, a3) b = (b1, b2, b3) 这里a1, a2, a3, b1, b2, b3是实数。
3. 向量的加法和数乘对于两个向量a和b，可以定义它们之间的加法和数乘运算： - 加法：两个向量相加得到一个新的向量，其每个分量等于对应分量相加。
- 数乘：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量，其每个分量等于原来向量对应分量与实数相乘。
4. 空间向量的性质空间向量具有以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c =a + (b + c) - 零向量：存在一个特殊的向量，称为零向量，记作0，满足任何向量与零向量相加等于自身。
- 加法逆元：对于任意向量a，存在一个特殊的向量，称为其加法逆元，记作-a，满足a + (-a) = 0 - 数乘结合律：(k1k2)a = k1(k2a) - 数乘分配律1：(k1+k2)a = k1a + k2a - 数乘分配律2：k(a+b) = k a + k b5. 空间向量的基本定理空间向量的基本定理描述了两个关于空间向量的重要结果： ### 定理一对于任意两个空间向量, a, b, 满足下列条件： - 向量, a, 和, b, 不共线； - 向量, a, 和, b, 不平行；那么这两个非零空间向量之和不为零。
证明如下：假设, a, 和, b, 不共线且不平行，即它们不在同一直线上，也不平行于同一直线。
那么可以找到一个平面，这个平面同时包含向量, a, 和向量, b。
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
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是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC
1 2
OA
OG
1
OA
1 OB
1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
2．空间共面向量定理及其推论． （1）共面向量定理：如果两个向量a、b
不共线，则向量p与向量a、b共面的充要 条件是存在实数对x，y，使得
p= xa+yb ． （2）共面向量定理的推论：空间一点P在 平面MAB内的充要条件是存在有序实数
对x，y，使得MP xMA yMB ① ，
或对于空间任意一定点O，有
OP OM xMA yMB ② OP (1 x y)OM xOA yOB ③
问题1:
A’
右图中的向量 AB AD AA' B’
存在三个实数 x, y, z
A’
P
B
B’
P’
使OA xOA xa, OB yOB yb, OC zOC z c.
∴Leabharlann uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur OP OA OB OC xOA yOB zOC
所以
例1：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分
别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，
试用基底 OA,OB,OC 表示向量OG
证明：OG OM MG
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 ON OM 23
M
1 2
OA
2 3
1 2
向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
使 p＝xa+yb+zc．
证明:存在性设a、b、c不共面，
C’
过点 O 作OA =a, OB = b,
OC =c, OP =p;过点 P 作直线
C
PP平行于OC 交平面 OAB
于点 P 在平面OAB内，
O A
过点 P 作直线 PA // OB, PB // OA
③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量 组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
三、推论:
推论:设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空 间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、 z，使
OP xOA yOB zOC
说明：
若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得： P、A、B、C四点共面．
p＝xa+yb+zc.
唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得
p＝x’a+y’b+z’c，则有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c， ∴(x－x’ ) a+(y－y’ )b+( z－z’ )c＝0． C’
∵a、b、c不共面，
∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，
C
P
即x＝x’且y＝y’且z＝z’．
且OA,OB,OC所在向量分别为a,b,c.用a,b,c表示向量
MN
MN =1/2b+1/2c-1/2a
3、如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 那么a,b间应有什么关系？ 共线
四、课时小结:
1、空间向量基本定理也称为空间向量分解定理， 2、空间向量基本定理的推论。
五、作业：
❖ 课本P36 习题9.5 ⒈ ⒉