探究平行线中的动点问题

平行线动点问题的解题技巧

平行线动点问题是初中数学中常见的一种几何题型，也是高中数学中的重要考点之一。这类问题常涉及到平行四边形、三角形等图形，需要运用多种定理和方法进行解题。本文将从以下几个方面详细介绍平行线动点问题的解题技巧。

一、基本概念

在介绍解题技巧之前，我们首先需要了解一些基本概念。平行线指在同一个平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等；动点指随着某种规律不断运动的点。在平行线动点问题中，我们通常需要确定某个动点在运动过程中所处的位置或满足什么条件时两直线之间的距离最短等。

二、解题思路

对于平行线动点问题，我们可以采用以下步骤进行分析和求解：

1.画图：根据题目所给条件画出图形，并标出所需求的点或长度。

2.列出已知和未知量：根据图形标注出已知量和未知量，并列出方程或

条件式。

3.确定关系式：利用几何定理或代数方法推导出各个量之间的关系式。

4.代入求解：将已知量代入关系式中，求解未知量。

三、常用定理和方法

1.平行线的性质：平行线在同一平面内，它们的斜率相等。

2.三角形内角和定理：任何一个三角形的三个内角之和等于180度。

3.全等三角形的性质：两个全等的三角形对应边长相等，对应角度相等。

4.相似三角形的性质：两个相似的三角形对应边长成比例，对应角度相等。

5.勾股定理：直角三角形斜边上的正方形面积等于两腰上各自正方形面积之和。

6.垂线定理：在平面直角坐标系中，点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距

离为|Ax+By+C|/√(A²+B²)。

7.向量法求解：通过向量法求解可以简化计算过程。利用向量叉积可判断两条线段是否相交，在一些特殊情况下可以极大地减少计算时间。

相交线与平行线的动点问题

当点P在线段CD（不与
3.描边，4.写结果.
点C、D重合）上运动时
A
∠AMP与∠BNP、∠MPN
C
的数量关系是:
∠AMP+∠BNP+∠MPN= 360 . BP
P
M
C
C
N
P
D
(3)作射线DA,点P是射线DA上一个
动点 (不与点A、D重合) ，连接MP、
NP，当点P在射线DA上运动时，探
究∠AMP与∠BNP、∠MPN的数量关
F
B
解：1）当点P在线段FC（不包含点F）
A
上运动时，
∠CEP+∠BPE=∠DBP;
D
E
C
P
F
B
2）当点P在线段CD（不包含点F）
上运动时，
∠CEP+∠DBP=∠BPE;
D
P
A
E
C
F
P
3）当点P在点D上方上运动时，
∠DBP+∠BPE=∠CEP.
B
A
E
F
D
C
分类讨论的ห้องสมุดไป่ตู้想
解题步骤：
1.定点，
2.连线，
中点.
(1)线段AC、BD的关
系是平行且相等;
A
M
C
B
P
P
C

平行线动点问题

第四章动点问题

姓名_______________

1.如图,在下面直角坐标系中,已知A(0,a）,B（b，0）,C（3,c）三点，其中a、b、c满足关系式:|a﹣2｜+(b﹣3)²+=0．（1）求a、b、c的值;

（2)如果在第二象限内有一点P(m ，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面

积；

（3）在(2)的条件下，是否存在负整数m,使四边形ABOP的面积不小于△AOP面

积的两倍？若存在,求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为A(a,0）,B（b,0）,且a、b满足a=+﹣1，现同时

将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D，连接AC,BD,CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．

（2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB,使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点,求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC，

PO，当点P在BD上移动时（不与B，D

重合）的值是否发生变化,

并说明理由．

3。在平面直角坐标系中，A(a，0)，B（b，0)，C（﹣1,2）（见图1)，且|2a+b+1|+=0

（1)求a、b的值；（2)①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立?若存在,请直接写出符合

条件的点M的坐标;

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于

平行线动点问题

第四章动点问题

姓名_______________ 1.如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+

（b﹣3）2+=0．

（1）求a、b、c的值；

（2）如果在第二象限内有一点P（m ，），请用含m的式子表示四边形ABOP

的面积；

（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP

面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，

现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接

PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，

D

重合）的值是否发生变

化，并说明理由．3.在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0

（1）求a、b的值；

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点

M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然

成立？若存在，请直接写出符合条件的点M

的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于

平行线中拐点问题的解题突破与探究

试题研究

２０２３年８月下半月

㊀㊀㊀

平行线中拐点问题的解题突破与探究

∗

◉贵州省凯里市第四中学㊀雷㊀懿◉凯里学院理学院㊀吴才鑫

㊀㊀摘要:

本文中以一道平行线中拐点问题为例,对拐点在平行线内和拐点在平行线外两种情形展开探究,得出解答此类题目主要分为两个步骤．首先,判断拐点与平行线的相对位置关系;其次,过拐点作平行线,引入单拐点模型,利用平行线单拐点结论求解．同时,

提出了平行线相关知识的教学建议．关键词:解题方法;平行线与拐点位置关系;教学启示

１考题解析

考题㊀(２０２２年苏州模拟

)图１

问题情景:如图１,A B ʊC D ,øP A B ＝１３０ʎ,øP C D ＝１２０ʎ

,求øA P C 的度数．

小明的思路:过点P 作P E ʊ

A B ,通过平行线的性质来求øA P C 的度数

．

图２

(１)按小明思路,易求得øA P C 的度数为㊀㊀㊀㊀．

(２)问题迁移:如图２,A B ʊ

C D ,

点P 在射线O M 上运动,记øP A B ＝α,øP C D ＝β,当点P 在B ,D 两点之间运动时,问øA P C 与α,β之间有何数量关

系请说明理由．

(３)拓展延伸:在(２)的条件下,如果点P 在B ,D

两侧运动时(点P 与点O ,B ,D 三点不重合),请直接写出øA P C 与α,β之间的数量关系．

思维突破:本题以线段㊁角㊁相交线与平行线为背

景命题,让学生开展几何探究,属于动态几何问题．解题的关键在于把握图形运动规律,采用化动为静的策略

[１]

,构建几何模型,利用性质定理求解．下面逐问

展开探究．

初中数学相交与平行-动点问题含答案

相交与平行-动点问题

一．解答题（共20小题）

1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；

（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；

（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．

2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧．

①求∠PCG的度数；

②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．

（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．

3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动

的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．

（1）填空：∠BAN＝______°；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

2提高--平行线动点问题

BED 的度数是否改变.若改变，请求出∠BED 的度数（用含 n 的代数式表示）；若不变，请说
明理由.
B
A
E
D
C
Page 6 of 8
课后作业
【习题 1】已知 AB∥CD，线段 EF 分别与 AB、CD 相交于点 E、F．（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C 的度数；（2）如图②，当点 P 在线段 EF 上运动时（不包括 E、F 两点），∠A、∠APC 与∠C 之间
GA
D
H
图1
GA
H D
图2
能力提升
【例 3】已知：如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a、b 分别相交于 C、D 两点，直线 d 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点．
（1）如图 1，当点 P 在线段 AB 上（不与 A、B 两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3 之间有怎样的大小关系？请说明理由；
平行线动点问题
模块一：动点与角度
知识点睛
变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则
典型例题
【例 1】如图，已知直线 l1∥l2，直线 l3 和直线 l1、l2 交于点 C 和 D，在 C、D 之间有一点 P，（1）如果 P 点在 C、D 之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系是否发生变化．（2）若点 P 在 C、D 两点的外侧运动时（P 点与点 C、D 不重合），试探索∠PAC，∠APB， ∠PBD 之间的关系又是如何？

平行线之间的动点问题

1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生

折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角) (3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠

DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．

(1)求证：AB∥CD；

(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；

(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．

明；

(2)如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；

相交线与平行线的动点问题

BP P
MC
CP
ND
A MC
C
C
BP N D P
A
B
A
2）当点P在线段AE（不包含点A）上运动时，
∠AMP+∠BNP=∠MPN; B
P
3）当点P在点A上方运动时，
A
∠AMP+∠MPN=∠BNP.
B
M E
N M PE
C
P D C
N
D
C M
E
N
D
B C
A PE P A
F B
பைடு நூலகம்
D
C C
B
解：1）当点P在线段FC（不包含点F）
(1)线段AC、BD的关 A M C
系是
;
C
C
BP N D
平移前后两个图中,连接各P 组对应点的
线段平行（或在同一直线A 上）且相等.
问题：如图, 线段AB经过平移后得到线段CD, 分别连接AB、CD, 点M、N分别为AC、BD的中点.
解题步骤： 1.定点，2.连线， 3.描边，4.写结果.
A
C
人教版七年级下册
第五章相交线与平行线的动点问题
B“凹型”A
E
PF
B “凸型”A
E
P
D
C
D
C
∠A+∠C=∠APC

平行线之间的动点问题(含答案)

平行线之间的动点问题

平行线的判定与性质

1.判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;

(2)内错角相等,两直线平行;

(3)同旁内角互补,两直线平行;

(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.

2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;

(2)两直线平行,内错角相等;

(3)两直线平行,同旁内角互补.

3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说

这个图形是它们共同的、必备的前提条件。

4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：

平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同

旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。它们是由“数”到“形”的判断。

平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。它们是由“形”

到“数”的说理。

1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生

折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角) (3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠

平行线动点问题的解题技巧

引言

平行线动点问题是数学中常见的一类几何问题，涉及到平行线和动点的运动关系。解决这类问题需要掌握一定的解题技巧和方法。本文将详细介绍平行线动点问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

平行线的基本性质

在讨论平行线动点问题之前，我们首先需要了解平行线的基本性质。平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。以下是平行线的几个重要性质： 1. 平行线的斜率相等：如果两条线的斜率相等，那么它们是平行线。 2. 平行线的距离相等：如果从一条线上任取一点，再从另一条线上任取一点，连接这两点并与两线垂直，那么这条垂线的长度对于两条平行线来说是相等的。 3. 平行线的交角为零：两条平行线之间的夹角为零，也就是说，它们相互平行。

解题思路

解决平行线动点问题的一般思路如下： 1. 理清问题的要求和已知条件。 2. 画出清晰的图形，标出已知条件和需要求解的量。 3. 借助平行线的性质，利用已知条件进行分析和推导。 4. 根据已知条件和推导出的结论，建立方程或利用几何性质求解未知量。 5. 验证答案的合理性，并对所得结论进行分析和总结。

解题技巧

投影法

投影法是解决平行线动点问题常用的一种技巧。它利用平行线的性质，通过对动点的投影进行分析，推导出解析式或几何关系。下面以一个例子来说明投影法的应用。

例题：平面上有两条平行线l和m，动点P在直线l上，过P分别作m与直线l的

两条垂线，分别交l于A和B，求线段AB的最短长度。

解题思路及步骤： 1. 这个问题涉及到了平行线和动点的关系，首先我们需要画

初中数学相交与平行-动点问题含答案

相交与平行-动点问题

一．解答题（共20小题）

1．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；

（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；

（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．

2．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ ∥EC交射线CD于点Q，连结CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧．

①求∠PCG的度数；

②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．

（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ 的度数；若不存在，请说明理由．

3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动

的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．

（1）填空：∠BAN＝______°；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

平行线动点问题解题技巧探究

平行线动点问题是数学中的一个经典问题，通常出现在几何学的相关

考题中。该问题要求解决在平行线上，一个点沿着这两条平行线移动，如何确定其轨迹或者运动路线。在本文中，我将会探究一些解答这类

问题的技巧和方法，并分享我对这个问题的观点和理解。

1. 了解基本概念

在解答平行线动点问题之前，需要先了解一些基本概念。平行线是指

在同一平面上且永不相交的两条直线。动点是指在给定条件下运动的点。这两个概念是解决平行线动点问题的基础。

2. 分析问题并设定参数

在解答平行线动点问题时，需要仔细分析问题并设定参数。可以考虑

两条平行线之间的距离、动点的起始位置以及动点的运动速度等因素。通过设定参数，可以更清晰地理解问题并找到解决方案。

3. 利用相似三角形

在解决平行线动点问题时，常常需要利用到相似三角形的性质。相似

三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。通过观察和运用相

似三角形的性质，可以得到一些关键的结论，帮助解决问题。

4. 使用平行线的性质

平行线有一些独特的性质，可以在解答平行线动点问题时起到关键作用。其中一条重要的性质是平行线上的对应角相等。利用这个性质，可以得到一些与角度相关的等式，从而推导出动点的运动轨迹或运动方程。

5. 考虑特殊情况

在解答平行线动点问题时，可能会遇到一些特殊情况。这些特殊情况可能包括平行线的倾斜程度、动点的特殊位置等。考虑这些特殊情况时，需要灵活运用已有的知识和技巧，并可能需要使用一些额外的几何知识来解决问题。

总结:

通过对平行线动点问题解题技巧的探究，我们了解到了一些基本的解题思路和方法。在解答平行线动点问题时，我们首先需要了解基本概念，然后分析问题，设定参数。接下来，可以通过利用相似三角形和平行线的性质，得到一些关键结论。考虑特殊情况，并灵活运用已有的知识和技巧来解决问题。

完整版数学人教版七年级下册相交线与平行线的动点问题.doc

课题

教学目标

教学重点教学难点学情分析

教学内容

分析媒体资源

教学

流程

相交线与平行线的动点问题

1. 运用平行线的判定与性质进行角的计算与证

知识与技能

明;

2. 在探究动点问题的过程中，体会图形之间变化

及联系，培养学生的识图和逻辑推理能力 .

过程与方法

在探究由点运动而产生的角的关系发生变化的过

程中，学会通过观察、比较、分析、归纳去解决问题 . 情感价值观

培养学生的团队合作精神，培养学生分析解决问

题的能力，使学生养成良好的学习习惯 .

运用平行线的判定与性质进行角的计算与证明；

能够认识和分析图形，并利用数学的语言表达所探究的结论．探究出点在运动的过程中所产生的不同基本图形的联系与区

别

学生刚接触几何不久，认识和分析图形的能力不强，逻辑推理

能力、空间想象能力及规范的几何表述能力都有待提高 .

相交线与平行线是平面几何中的重要内容，而动点问题是中考考查中的常考考点 . 本节课以几个基本图形为切入点，以动点问题为背景，通过师生的合作 , 利于提高学生分析几何问题，解决几何问题的

能力 .

黑板，三角板，多媒体投影

教学过程

学生设计

教学活动

活动意图

独立

思考

交流明确知

完成识，引

出课题

类比

归纳

证明

学生利用平行线的的性质和判定求解出几个基

本图形中三个重要角的数量关系。为下面解决动点问

题做铺垫，分解难点 .

例题讲解

例.如图 , 线段 AB 经过平移后得到线段 CD, 分别

连接 AC 、BD, 点 M 、N 分别为 AC、 BD 的中点 .

(1) 线段 AC 、BD 的关系是;

A M C

B

N D

强调易错点：线段的关系指的是数量关系和位

平行线中的动点问题

1.如图，一张条形纸片ABCD（AB∥CD）沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在D′、C′的位置上，若∠EF G=60°，则∠2=________

2.如图，直线CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

3. 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

4. 已知，直线AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．

（1）如图1，当∠A=40°，∠C=60°时，求∠A PC的度数；

（2）如图2，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠C与∠A PC之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；

（3）当点P在线段EF的延长线上运动时，∠A、∠C与∠A PC之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；