反比例函数的性质-k的几何意义及应用
反比例函数中k的几何意义及应用【完整版】
② 连接 那么在Rt△AB 中，
∵AB=2，∠A O=30
四、求函数值
例4两个反比例函数 在第一象限内的图象如图⑦所示, 在反比例函数 的图象上，它们的横坐标分别是 纵坐标分别是1，3，5，…,共2005个连续奇数, 分别作y轴的平行线， 的图象的交点依次
…, 那么 .
解: 在反比例函数 的图பைடு நூலகம்
C. S3< S1< S2D. S1> S2>S3
解:由性质(1)得
三、确定解析式
例3如图⑥，反比例函数 ﹤0
的图象经过点A〔 m〕，过A作AB⊥ 轴于点B，
〔1〕求K和m的值.
(2)假设过A点的直线y=a +b与 轴交于点C，且∠ACO=30 求直线的解析式.
解:(1)由性质(2)得
∴
(2)①连接 那么在Rt△AB 中，
依据题意得
△=64-4K＞0,∴K＜16.
设两公共点的坐标为
又 ＞0, ＞0,∴ + =8＞0, =K＞0.
∴实数K的取值范围为0＜K＜16.
(2)在y=- +8中，令 =0，得y=8，∴OC=8.
- )
=
∴
∴K=7.
六、确定自变量 的取值范围
例6如图⑨是一次函数 和反比例函数 的图象，观察图象写出 ＞ 时， 的取值范围.
一、求交点坐标和面积
例1如图②，反比例函数 一次函数
的图象交于Ａ、Ｂ两点。
〔１〕求Ａ，Ｂ两点的坐标；
〔２〕求△ＡＯＢ的面积。
二、比拟面积的大小
例2如图⑤，在 ＞0〕的图像上有三点A,B,C,经过三点分别向 轴引垂线，交 轴于 三点，连接OA，OB，OC，记△
反比例函数中比例系数k的几何意义
反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别 过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线 段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部 分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线 （k>0） 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E， 且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比 等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中， 点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B
反比例函数中k的几何意义的应用
反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。
1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。
当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。
2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。
当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。
3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。
4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。
5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。
总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。
它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。
因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。
反比例函数中K的几何意义
反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。
它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。
反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。
K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。
反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。
下面将详细讨论K的几
何意义。
1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。
如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。
如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。
2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。
当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。
反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。
3.K决定了特定坐标点的函数值。
例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。
4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。
具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。
总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。
通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。
浅谈反比例函数中“k”的性质与运用
浅谈反比例函数中“k ”的性质与运用诸暨市浣江初中有关反比例函数问题时常在中考中出现，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k 的几何意义，就会为解决问题提供极大的方便。
本文就做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学相关问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考查方式和解题思路。
一、反比例函数的概念：如果某个函数如果可以写成)0(≠=k xky 或)0(1≠=-k kx y 或)0(≠=k k xy 的形式，则这个函数为反比例函数。
二、反比例函数中k 与图像的形状关系：|k |越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直; |k |越小，图像的弯曲度越大。
三、反比例函数中k 值与图像位置和性质的关系：反比例函数与坐标轴没有交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k ＞0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
四、反比例函数与一次函数中k 值关系： 一次函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=的关系： （1）当21k k ⋅ ＜0时，两图像没有交点；（2）当时21k k ⋅ ＞0，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。
五、反比例函数中k 和几何意义：如图1所示，反比例函数)0(≠=k xky 中，比例系数k 的几何意义，就是过该函数图像上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S 矩形PMON = PM ・PN = |x|・|y| = |xy| = |k |，这就说明，过曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k |，这是系数k 几何意义。
同时通过k 性质可以延伸理解出多种图形面积的不变性特征，如下表所示：明确了k 的几何意义，会给以下几种类型的解题运用带来许多方便，我们可以通过以下几举例说明。
反比例函数k的几何意义
知识讲解1.反比例函数的概念如图所示，过双曲线)0(k≠=kxy上任一点),(yxP作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PM∙PN=|y|∙|x|.,yxk=∴||kSkxy==，。
这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。
这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。
（请学生思考，图中三角形OEF的面积和系数k的关系。
）2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.例题1函数y=1x-(x>0)的图象大致是( )例题2 函数y=kx+1与函数y=kx在同一坐标系中的大致图象是( )yOxAyO xByOxCyOxD y y y y3.反比例函数y=kx 中k 的意义注意:反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=kx(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.例题1：如图，P 、C 是函数x4y =（x>0）图像上的任意两点，过点P 作x 轴的垂线PA,垂足为A ，过点C 作x 轴的垂线CD,垂足为D ，连接OC 交PA 于点E ，设⊿POA 的面积为S1,则S1= ,梯形CEAD 的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2, ⊿POE 的面积S3和梯形CEAD 的面积为S2的大小关系是S2 S3.例题1图 例题2图 例题3图例题2：如图所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S1，⊿BOD 的面积S2，⊿POE 的面积S3的大小： 。
例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线)0x (k>=xy 上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
反比例函数中K值的几何意义及其应用
反比例函数中K值的几何意义及其应用当考虑反比例函数时，我们可以将其视为一种特殊的函数关系，其中两个变量之间存在着反比关系。
反比例函数的一般形式可以表示为y=k/x，其中k是一个常数，x和y是函数的自变量和因变量。
在反比例函数中，K值是一个常数，它代表了反比例函数的特定特性。
K值的几何意义是直线y=k/x在平面中的位置和特点。
为了更好地理解K值的几何意义，我们可以思考以下问题：1.K值的符号：当K值为正数时，反比例函数图像位于第一和第三象限，当K值为负数时，图像位于第二和第四象限。
2.K值的绝对值：绝对值越小，曲线越陡峭；绝对值越大，曲线越平滑。
这是因为K值的绝对值代表了x和y之间的反比关系的强度。
3.K值对函数图像的平移效果：当K增大时，函数图像会沿着y轴缩小，而当K减小时，函数图像会沿着y轴放大。
这是因为反比例函数的图像是关于y轴对称的。
应用方面，反比例函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。
下面列举了几个常见的应用：1.物理学–比如在牛顿第二定律中，质量（m）与加速度（a）是反比例关系，即F=k/m，其中F是力，k是常数。
当应用这个反比例关系时，我们可以利用K值计算质量和加速度之间的强度关系。
2.经济学–比如供需关系中，商品价格（P）与需求量（D）也遵循反比例关系，即P=k/D，其中k是一个常数。
通过K值，我们可以了解价格和需求之间的关系，从而调整市场供需平衡。
3.化学–比如在浓度计算中，溶液中溶质的浓度（C）与溶液体积（V）是反比例关系，即C=k/V，其中k是一个常数。
通过K值，我们可以计算溶液中的溶质浓度和体积之间的关系。
4.网络传输–在计算机网络中，带宽（B）和数据传输速率（R）也存在反比例关系，即R=k/B，其中k是一个常数。
通过K值，我们可以确定数据传输速率和带宽之间的关系，从而优化网络性能。
5.金融学–比如货币价值与通货膨胀之间存在反比例关系，即货币价值（V）=k/通货膨胀（I），其中k是一个常数。
反比例函数K的几何意义
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴 的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一 点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（ ）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同 时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点， 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4， 点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12， 则kx的值为_______.
反比例函数中k的几何意义常见7大模型
反比例函数中k的几何意义常见7大模型摘要：一、反比例函数的基本概念和性质二、反比例函数k的几何意义1.矩形面积模型2.三角形面积模型3.梯形面积模型4.平行四边形面积模型5.菱形面积模型6.圆面积模型7.椭圆面积模型三、总结与实践应用正文：反比例函数是数学中一种重要的函数类型，其一般形式为y = k/x，其中k 为常数，x是自变量，y是自变量x的函数。
在反比例函数中，k的几何意义尤为重要。
首先，我们来回顾一下反比例函数的基本性质。
当k>0时，函数图像位于第一、第三象限；当k<0时，函数图像位于第二、第四象限。
此外，反比例函数的图像具有对称性，即关于原点对称。
接下来，我们来探讨反比例函数k的几何意义。
1.矩形面积模型：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积为SPM·PNy·xxyk。
因此，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。
2.三角形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个三角形。
根据三角形的面积公式，可得到三角形面积与k的关系。
3.梯形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个梯形。
根据梯形的面积公式，可得到梯形面积与k的关系。
4.平行四边形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y 轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个平行四边形。
根据平行四边形的面积公式，可得到平行四边形面积与k的关系。
5.菱形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个菱形。
根据菱形的面积公式，可得到菱形面积与k的关系。
6.圆面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个圆。
反比例函数中K的几何意义
,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.求长方形PAOB的面积。
解：S矩形PAOB =OA·.PA
y
= m•n
=k
=
P(m,n) B
o
A
x
1、过反比例函数y k 中,任意一点 x
P(m, n)分别作x轴, y轴的垂线,
垂足分别为A, B,
2、如图，连接OM，则
则S矩形OAPB OA• AP
m•n
PA=( 2 ),S矩形OAPB=（ 6 ）
y
B
P(3,2)
oA
x
yE
2、若E(1，6)也在该图像上，则绿色矩形
面积为（ 6 ）
B
P(3,2)
o
A
x
F（4，-1.5）
3、若F(4，-1.5) 在 y - 6 图像上，则 x
黄色矩形面积为（ 6 ）
例1、如图,点P是反比例函y数
2 x
图象上的一点
⑶若P的坐标是（x，y），则PM=y____,PNx=____
y
平面直角坐标系内任意一点P(x,y)
P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即 y
是
.x
P到y轴的距离是这点横坐标的绝对值即 是
p
N
M
ox
1.如图，点P(3，2)在反比例 函数 y k 图像上
x
则K=( 6 ),过P作PA⊥x轴，
PB⊥y轴,则OA=( 3 ),
已知面积求K值
y
2、若四边形OABC是边长为1的正
方形，反比例函数 y k 的 x
B
A
的图象过点B，则k的值为（ ）
解： S正方形OABC 12 k
Co
x
沪科版九年级数学上册 21.5 4、反比例函数性质及k几何意义 复习
辅导资料No.4例4、在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【知识点四、反比例函数与一次（正比例）函数图象的交点】 例1、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围【知识点五、反比例函数y=kx（k≠0）中k 的几何意义】 过函数 y=kx（k≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =21∣k ∣。
例1．如上图、反比例函数y=的图象如图所示，点A 是该函数图象上一点，AB 垂直于x 轴垂足是点B ，如果S △AOB =1，则k 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2例2、在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数 ky x= (k>0) 的图象与AC 边交于点E 。
若△OEF 的面积为9，则k 的值为 .课堂练习：1、设有反比例函数y k x=+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________2．已知点A （72m -,5m -）在第二象限，且m 为整数，则过A 的反比例函数的关系式为__________________.3．正比例函数(2)y m x =-的图象与反比例函数1m y x +=的图象的一个交点是A ，点A 的横坐标是2，则此反比例函数的关系式为_________________. 4．已知点P 1(a ，b )在函数xky =(k ≠0)的图象上，那么不在此图象上的点是（ ） A ．P1(b ，a)B ．P2(－a ，－b )C ．P ３(－b ，－a )D ．P 4(－a 1，－b1) 5.如图，函数y ＝k （x ＋k ）与xky =在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）6、若点A （-1，y 1）,B(2,y 2)，C （3，y 3）都在反比例函数(0)k y k x=的图象上，则下列关系式正确的是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 2＜y 1D 、y 1＜y 3＜y 2 7、已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜21 D 、m ＞21 8、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜29、A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >10、在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3y x=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小 11．已知反比例函数y=（k ≠0）过点A （a ，y 1），B （a +1，y 2），若y 2＞y 1，则a 的取值范围为（ ）A ．﹣1＜aB ．﹣1＜a ＜0C ．a ＜1D ．0＜a ＜112．已知点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）在反比例函数y=（k ＜0）的图象上，若x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 3＜y 1＜y 213．函数xky -=1与x y 2=的图象没有交点，则k 的取值范围为（ ） A ．0<k B ．1<kC ．0>kD ．1>k6、直线b kx y +=与反比例函数ky x=（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积.7、已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()32A ，． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．yxOADMCB。
反比例函数的概念、图象及性质
目录第1讲：反比例函数的概念、图像及性质第2讲：k的几何意义与面积问题第3讲：比例和比例线段第4讲：相似三角形（一）第5讲：相似三角形（二）第6讲：相似三角形（三）第7讲：相似三角形（四）第8讲：锐角三角函数概念及应用第9讲：锐角三角函数的综合应用第10讲：圆的概念及性质第11讲：与圆有关的位置关系第12讲：圆的综合应用第一讲：反比例函数的概念、图象及性质1.反比例函数的概念定义：一般的，形如ky x=（k 为常数，0k ≠）的函数叫反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数。
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
如：1y x=是反比例函数，1是比例系数，x 是自变量，y 是因变量。
其他形式：1(0),(0)y kx k xy k k -=≠=≠【例1】（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．12y x =- B. 21y x =- C. 11y x =+ D.11y x=-（2）当时，函数是反比例函数．（3）已知反比例函数的图象经过（-1,2），则它的解析式是（ ）A ．12y x =-B ．2y x =-C ．2y x =D ．1y x=（4）已知y 与x 反比，1x =时，2y =，则y 与x 的解析式是________. 【练1】（1）（2015麓山国际）下列函数：22,21,,3,1x y x y x k y x y xy =-====中,是y 关于x 的反比例函数的有( )个A.1个 B.2个 C.3个D.4个（2）已知是反比例函数，则．（3）已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是 ．（4）已知y 与x+1反比，1x =时，2y =，则y 与x 的解析式是________.【例2】已知12y y y =+ ，而1y 与1x +成反比例，2y 与2x 成正比例，并且1x =时，2y =；0x =时，2y =．求y 与x 的函数关系式．【练2】已知函数12y y y =- ，1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且32x =-和1x =时，y 的值都是1．求y 与x 的函数关系式．=m 322)4(---=m m xm y 212=-y xm =m2.反比例的图象及性质反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象叫做双曲线。
反比例函数k 的几何意义
反比例函数k 的几何意义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：反比例函数是一种常见的函数形式，它在数学中起着重要的作用。
在数学中，反比例函数通常表示为y = k/x，其中k是一个常数。
在本文中，我们将探讨反比例函数k的几何意义，以便更好地理解它在数学中的应用。
让我们来看看反比例函数y = k/x的图像是什么样子的。
当k大于0时，函数图像呈现出一种特殊的形状，即一条从第一象限经过原点的曲线。
这种曲线被称为双曲线。
双曲线在数学中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它往往用来描述两个量之间呈反比例关系的情况。
在几何意义上，反比例函数k的值可以理解为曲线在坐标系中的形态和性质。
当k越大时，曲线越扁平，即曲线的曲率越小。
反之，当k 越小时，曲线越尖锐，曲率越大。
反比例函数k的值可以用来描述曲线的形状和性质。
反比例函数k的几何意义还可以从另一个角度来理解。
在数学中，函数y = k/x表示了两个变量之间的反比例关系。
当x增大时，y的值会减小。
这表明两个变量之间存在一种相反变化的关系。
在几何上，这种反比例关系可以理解为一种“交换”的关系，即当一个变量增大时，另一个变量会减小，反之亦然。
反比例函数k在数学中具有重要的几何意义。
它不仅可以描述曲线的形状和性质，还可以揭示两个变量之间的反比例关系。
通过深入研究反比例函数k的几何意义，我们可以更好地理解它在数学中的应用，并丰富我们对数学的认识和理解。
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第二篇示例：反比例函数是数学中常见的一类函数，其数学表达式为y = k/x，其中k为一个常数且k≠0。
反比例函数在数学中有很多重要的应用，尤其是在几何中具有重要的意义。
我们来看反比例函数在几何中的基本性质。
对于反比例函数y =k/x，我们可以通过绘制其图像来直观地理解其性质。
当x取正值时，y 的值随着x的增大而减小；当x取负值时，y的值随着x的增大而增加。
这说明反比例函数是一个非对称的函数，它在坐标系中的图像呈现出一种特殊的形态。
反比例函数的比例系数k的几何意义
B
O
x
x
探究
已知反比例函数解析式为 y
y4 x
求：各四边形的面积
y4 x
o
x
P3(-4,y) P2(-2,y)
P1(-1,-4)
探究
1、各矩形面积有什么关系？
已知P(8,3)在反比2、例各函数矩形面y 积与什么有关？
上，求：
1、反比例函数的解析式 2、各四边形的面积分别
是多少？
y
24 x
P(8,3)
No
x
巩固
如图，A、C是反比例函数
y
k
的图
x
象上的点，且A（3，-4），过C点
作y轴的垂线，则△COD的面积
是多少？
反比例函数的解析式为： y
y 12 x
CD
o
x
A
思路拓展2 如图，A、C是反比例函数
y
k
的图
x
象上两点，过A作y轴的垂线，过
C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，
垂足分别为E、F，记S为△ABC
反比例函数的图象和性质
复习
1、什么是反比例函数？ 2、反比例函数的几种表达形式？ 3、反比例函数的性质？
探究
反比例函数上一点A（-4，3） 问题：该反比例函数的解析式是什么？ 矩形ABOC的面积是多少？ y
A
C
B
O
x
探究
已知反比例函数
y
上任意一点P（x，y），
求：四边形PBCO的面积？
PC y
y
若A(-x,y)、C(x,-y)， 那么四边形ABCD的 面积又为多少？ A(-3x,1y)
四边形AEFD的面积呢？
浅议反比例函数的比例系数k
浅议反比例函数的比例系数 k反比例函数是学生认识的第一个图像为曲线，且自变量有范围限制的函数，因此，比起所学的一次函数，反比例函数有一定的难度，同时它又是为二次函数的学习提供了一定的认知基础，所有反比例函数有很重要的意义.一、反比例函数中比例系数k与图形面积的关系( 点为y轴上任意一点) (点为x轴上任意一点) (点为y轴上任意一点)(AB//x轴,点为x轴上任意一点) (AB//x轴,点为x轴上任意一点) (P、P’关于原点对称)二、模型应用例1 如图，平行四边形OABC的对角线交于点D双曲线y=（x＞0）经过C、D两点，双曲线y=（x＞0）经过点B，则平行四边形OABC面积为．解：方法一数形结合几何意义法分别过点D，B作x轴的垂线DE、BF.延长BC交y轴于点G, 过点C作x轴的垂线CH.∵在双曲线y=上∴ ,∵四边形OABC是平行四边形，∴OD=∵ ,易证：∴,∴k＞0∴k=2∵四边形OABC是平行四边形，∴方法二代数运算坐标法∵平行四边形OABC的对角线交于点D，∴OD=BD，设B ，∴D ，C的纵坐标是∴ =2，∴ ,∵ BC=OA，∴平行四边形OABC的面积=BC×点C的纵坐标=例2 如图菱形ABCD的顶点B、D在y=（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是______方法数形结合几何意义法解：分别过点A，D作x轴的垂线AE、DF.∵四边形ABCD是菱形∴ . 易证： ,∴∵A（﹣1，2）, ∴∵菱形的边长为5, ∴∴∴ .∴∴k＞0∴k=8.例 3 如图，△OAB的顶点A在双曲线y＝（x＞0）上，顶点B在双曲线y＝（x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为_______解：过点A、B分别作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足为M、N，∵P是AB的中点，∴OM=ON，又∵∠AMP=∠BNP=90°，∠APM=∠BPN，∴△APM≌△BPN，∵顶点A在双曲线y＝上，顶点B在双曲线y＝上∴，∴三、模型总结解决反比例函数比例系数求解问题，可以使用代数运算的方法，但代数变形要求比较高，使用几何意义方法，数形结合，往往能出其不意，化繁为简.。
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y
A
你有啥收获？？？
O
四边形ADBE的
C D
x
面积是48 ____
B
训练题 2、如图反比例函数y=-4/x与正比例函数y=-1/3· x相交于点A、B。 AC⊥BC，则△ABC的面积是________ 方法1：计算.设A(x,y)， 则△ABC的面积= 方法2：连接OC， 方法3：构造长方形
y
A D
4 则S+S’=_______
C
y
S
A
E
B
1
D
S’
F
O
x
提高 5、如图A在y=10/x上，AB⊥y轴，点P在x轴上，则△APB的面积
B 是_______
A、10
B 、5
C、2
D、1
y
B A
P
O
P’
x
训练题 6、如图A在y=k/x上，AB⊥x轴，且△AOB的面积是2， 则k=_______ -4
y
P(m,2)，函数y=kx-7的图象交y轴于点Q.试求这个一次函
数的解析式及△OPQ的面积。
y
B A C
O
x
第 1题
B
O
A
x
训练题 7、如图反比例函数y=(k-1)/x与正比例函数y=π/2· x相交于点 10 A、B，AC⊥y轴，已知△ABC的面积是9，则k=__
y
C A
O
B
x
作业(可选用)
1、如图，直线y=0.5x+0.5与x轴交于点A，与双曲线y=k/x交于 点B，BC⊥x轴于点C，OC=2AO.求双曲线的解析式。 2、已知反比例函数y=12/x与一次函数y=kx-7的图象都经过点
反比例函数的图象和性质
反比例函数中“k”的几何意义 6 想一想：若 P(x， y)，则四边形 OAPB的面积＝____ 如图，是y=6/x 的图象，点 P是图象上的一个动点。 结论：从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段，两 1、若P(1，y)，则四边形OAPB的面积＝_________ 6 条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积 =︱k︱. 6 2、若P(3，y)，则四边形OAPB的面积＝_________ 1/3 6 3、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积＝_________
y
B P
P(1,y)
P(3,y) B B A
P(5,y) A
O
A
A
x
训练题 1、如图反比例函数y=12/x与正比例函数y=kx相交于点A、点B。 (1)点A与点B关于_____ 点O 对称，相等的线段有________ OA=OB 。 (2)若点A的坐标是(a,b)，则点B的坐标是_________ (-a,-b) (3)AC⊥x轴，则△OAC的面积是____ 6 (4)连接BC，则 6 ， △OBC的面积是____ 12 △ABC的面积是____ △ABD的面积是24 ____
利用对称
C
O
B
x
训练题
3、如图A、B是y=1/x上的两点，AP⊥x轴，BD⊥y轴，
AP与OB相交于点C。
>
(填“>、=、<”号)
yA
B C P D
O
x
训练题 4、如图A、B在y=3/x上，过A、B两点分别向y轴、x轴作垂线段， 设四边形ACOD、BEOF的面积分别S、S’，若阴影部分的面积=1，