圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
一、什么是圆周角定理：
圆周角定理是一种几何定理，它指出了一个三角形与它所多接的弧线之间满足的某种关系，即：圆周上相邻的弧线之间的集合所形成的内角之和等于180度。
即可简写为：当三条线接触同一个圆的时候，它们共组成的内角之和是180度。
二、圆周角定理的推论
（1）中点定理：在任意一个多边形内，任意一边都和多边形内心连接构成一个角，这个角的度数相加一定为180度。
三、圆周角定理的适用范围
圆周角定理可用于描述任意一个多边形关于圆周角的位置关系，主要用于计算圆周角的大小，以及计算多边形中不同角的大小。
圆周角定理在平面几何中有着重要的应用，即它是描述多边形的重要定理，熟练的掌握和复习这个定理有助于更
好的理解多边形的内容。
圆周角定理的推论课件
图 3－4－6
圆周角定理的推论
10
[ 解 析 ] 首 先 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠DBC ＝ ∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB， 再利用圆周角定理得出∠DAE 与∠DAC 相等．
解：∠DAE 与∠DAC 相等． 理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
6
[解析] 连接 AD，由 AB 是⊙O 的直径得到∠ADB＝90°，再 根据直角三角形两锐角互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角 定理即可得到∠C 的度数．
解：连接 AD，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－55°＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
∵∠DAE 是四边形 ABCD 的一个外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠DCB＋∠DAB＝180°，
∴∠DAE＝DCB，
∴∠DBC＝∠DAE.
又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.
圆周角定理的推论
11
[归纳总结]圆内接四边形性质的推广： 圆内接四边形的对角互补，外角等于与它相邻的内角的对角．因此常利用圆 内接四边形的性质，结合圆周角定理及其推论来探求角的相等关系或互补关 系．在进行有关计算或证明时，常添加辅助线构造圆周角或圆内接四边形．
圆周角定理的推论
17
圆周角定理的推论
7
观察与思考
如图,在⊙O中,∠ABD =110°,求∠C的大小.
A B
四边形ABCD的四个点都在 ⊙O上，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做 C 四边形的外接圆。
D
思考：1、∠ABD与∠C有怎样的关系？ 2、由此我们可以得到怎样的结论？
圆周角定理
∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是
圆周角定理及推论知识点与练习
圆周角定理及推论知识点与练习(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆周角定理及推论知识点与练习1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论： ①圆心在圆周角外 ②圆心在圆周角上 ③圆心在圆周角内特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。
2、推论：①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
③半圆（直径）所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。
3、应用（1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中；（2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等；（3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。
例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。
求证：AD ∥BC证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90º∵AB ⋂=AB ⋂，∴∠C=∠D=21∠AOB=45º∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90º, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45º ∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC练习一、选择题1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) ° °或150° ° °或120°2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（） Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠图5A P CB O 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（） Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140 º4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ） Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．805. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ）A ．150B ．130C ．120D ．606. 如图5，圆心角∠AOB=120︒，P 是AB ⋂上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（ ）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。
第2课时圆周角定理的推论
第2课时圆周角定理的推论一、学法点津本节课的内容比拟简单，学好本节课的关键是掌握一些数学思想方法在探究过程中的运用．在探究直径所对的圆周角这一定理时利用度量的方法可以初步探究出“直径所对的圆周角是直角〞这一性质；在探究圆内接四边形的性质时可以利用类比上节课探究圆周角定理的方法进展探究；在探究圆内接四边形的对角互补性质时利用“由特殊到一般〞，先探究对角是直角的特殊情况时的结论，使自己有了初步的感知，然后再对一般的情况进展证明就比拟容易了．二、学点归纳总结(一)知识要点总结1．圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的概念：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．3．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．(二)规律方法总结1．运用圆周角定理的推论作辅助线的口诀记忆法：(1)直径所对的圆周角是直角→“见直径出直角〞；(2)90°的圆周角所对的弦是直径→“见直角连直径〞．2．圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．(三)易错问题误区点拨对圆内接四边形的性质把握不清．【典例】如图3－4－86，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，那么()图3－4－86A．∠EAD＝∠B B．∠EAD＝∠DC．∠EAD＝∠C D．∠EAD＝∠B＋∠C【错解】D【错解分析】圆内接四边形的两个性质：内角互补；外角等于其内对角．往往容易与三角形外角的性质混淆．【正解】C【正解分析】∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠BAD＋∠EAD＝180°，∠BAD＋∠C＝180°，∴∠EAD＝∠C.应选C.三、稳固拓展练习1．[湖州中考] 如图3－4－87，AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，那么∠B的度数是(C)图3－4－87A．35°B．45°C．55°D．65°[解析] ∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C＝90°.∵∠A ＝35°，∴∠B ＝90°－∠A ＝55°.应选C.2．[日照中考] 如图3－4－87，在△ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC ，AB 于E ，D 两点，连接BD ，DE.假设BD 平分∠ABC ，那么以下结论不一定成立的是(D)A ．BD ⊥ACB ．AC 2＝2AB·AEC ．△ADE 是等腰三角形D ．BC ＝2AD[解析] ∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥AC ，故A 正确；∵BD 平分∠ABC ，BD ⊥AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝CD.∵四边形BCDE 是圆内接四边形，∴∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，△ADE 是等腰三角形，∴AD ＝DE ＝CD ，∴AC AE ＝BC DE ＝2BC 2DE ＝2AB AC，∴AC 2＝2AB·AE ，故B 正确；由B 的证明过程，可得C 选项正确．应选D.图3－4－88 图3－4－893．[常州中考] 如图3－4－89，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么DC ＝．[解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°.∵∠BAC ＝120°，∴∠CAD ＝120°－90°＝30°，∴∠CBD ＝∠CAD ＝30°.∴∠BDC ＝90°－∠CBD ＝90°－30°＝60°.∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ，∴∠ADB ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝6，∴BD ＝AD÷cos30°＝6÷32＝4 3.在Rt △BCD 中，DC ＝12BD ＝12×43＝2 3.故答案为2 3. 4.如图3－4－90，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，图3－4－90连接BD.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)当∠ODB ＝30°时，求证：BC ＝OD.证明：(1)∵OD ⊥AC ，OD 为半径，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠CBD ＝∠ABD ，∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ＝30°，∴∠AOD ＝∠OBD ＋∠ODB ＝30°＋30°＝60°.又∵OD ⊥AC 于点E ，∴∠OEA ＝90°，∴∠A ＝180°－∠OEA －∠AOD ＝180°－90°－60°＝30°.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴在Rt △ACB 中，BC ＝12AB.又∵OD ＝12AB ，∴BC ＝OD. 5．如图3－4－91，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于点P ，求证：AD·DC ＝PA·BC.图3－4－91 图3－4－92证明：如图3－4－92，连接BD.∵DP ∥AC ，∴∠PDA ＝∠DAC.∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠PDA ＝∠DBC.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP ＝∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB.∴PA ∶DC ＝AD ∶BC ，即AD·DC ＝PA·BC.四、挑战课标中考1．[毕节中考] 如图3－4－93是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，那么AC 的长为(D) 图3－4－93A ．1 B.203 C ．3 D.163[解析] ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠B ＝∠ACD.∵cos ∠ACD ＝35，∴cosB ＝35，∴tanB ＝43.在Rt △ABC 中，∵BC ＝4，∴tanB ＝AC BC ＝AC 4＝43，∴AC ＝163. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．[兰州中考] 如图3－4－94，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC ＝54°，那么∠BAC 的度数等于__36°__．图3－4－94[解析] ∵∠ABC 与∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠ADC ＝54°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－54°＝36°.[解题策略] 此题考察了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比拟简单，注意掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等〞与“直径所对的圆周角是直角〞定理的应用．3．[无锡中考] 如图3－4－95，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E.(1)假设∠B ＝70°，求∠CAD 的度数；(2)假设AB ＝4，AC ＝3，求DE 的长．图3－4－95[解析] (1)根据圆周角定理的推论可得∠ACB ＝90°，那么∠CAB 的度数即可求得．在等腰三角形AOD 中，根据等边对等角求得∠DAO 的度数，那么∠CAD 的度数即可求得；(2)易证OE 是△ABC 的中位线，利用中位线定理求得OE 的长，那么DE 的长即可求得． 解：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°，即OE ⊥AC ，∠CAB ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°，∠AOD ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝180°－∠AOD 2＝180°－70°2＝55°. ∴∠CAD ＝∠DAO －∠CAB ＝55°－20°＝35°.(2)在直角三角形ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7.∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC.又∵OA ＝OB ，∴OE ＝12BC ＝72. 又∵OD ＝12AB ＝2，∴DE ＝OD －OE ＝2－72. [解题策略] 此题考察了圆周角定理以及三角形的中位线定理，证明OE 是△ABC 的中位线是解(2)题的关键．。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论
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第2课时 圆周角定理的推论
分层作业
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第2课时 圆周角定理的推论
答案
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A．35° C．40°
图 2-2-35 B．38° D．42°
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第2课时 圆周角定理的推论
3．[2019·德州]如图 2-2-36，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的 距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B )
A．130° C．150°
图 2-2-36 B．140° D．160°
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第2课时 圆周角定理的推论
当堂测评
1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A＝70°，则∠C＝( D )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
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第2课时 圆周角定理的推论
2．[2019·滨州]如图 2-2-31，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为( B )
图 2-2-39
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第2课时 圆周角定理的推论
解：∵∠BOD＝80°， ∴∠BAD＝40°. 又∵四边形 ABCD 是圆的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝140°.
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第2课时 圆周角定理的推论
7．如图 2-2-40，已知 AC，AB，BC 是⊙O 的弦，CE 是⊙O 的直径，CD⊥ AB 于点 D.
初三圆周角定理及其推论练习题
初三圆周角定理及其推论练习题圆周角定理是初中数学中的一个重要概念，它帮助我们理解和计算圆内的角度。
本文将介绍圆周角定理及其推论，并提供一些相关的练习题供读者加深理解和巩固知识。
一、圆周角定理圆周角定理是指：圆心角的度数等于其所对的弧的度数的两倍。
记作：∠AOB = 2∠ACB。
在一个圆中，以圆心为顶点的角叫做圆心角，以圆弧为底的角叫做弦对的圆周角。
图1: 圆心角和弦对的圆周角示意图根据圆周角定理，可以得出以下推论：推论1：在同一个圆上，圆心角相等的弧相等；弧相等的圆心角相等。
推论2：在同一个圆上，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等。
推论3：在同一个圆上，以弦为底的圆周角相等的弧相等；弧相等的圆周角相等。
推论4：在同一个圆上，平分相同弧的两个圆心角的弦相等。
二、练习题现在我们来做一些练习题，加深对圆周角定理及其推论的理解。
1. 图2中，∠AOB = 80°，求∠ACB的度数。
图2: 圆心角的度数求解解：根据圆周角定理可知，∠AOB = 2∠ACB，代入已知条件80°，得到2∠ACB = 80°，再将其化简得∠ACB = 40°。
2. 图3中，∠ACD = 30°，求∠AED的度数。
图3: 弦对的圆周角的度数求解解：根据圆周角定理的推论3可知，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等，∠ACB = ∠AED。
又已知∠ACD = 30°，所以∠AED = ∠ACB = 30°。
3. 图4中，弧AB = 80°，求∠AOB的度数。
图4: 弧长求解圆心角的度数解：根据推论1可知，圆心角相等的弧相等，所以∠AOB =2∠ACB。
又已知弧AB = 80°，所以∠AOB = 2 × 80° = 160°。
4. 图5中，弧CD = 弧EF，求∠CED的度数。
图5: 弧长相等的圆心角的度数求解解：根据推论3可知，以弦为底的圆周角相等的弧相等，所以弧CD = 弧EF。
圆周角定理及其推论
由(1)得
1
∠DAC= 2
1
∠DOC, ∠DAB= 2 ∠DOB
1
∴ ∠DAC-∠DAB= 2 (∠DOC - ∠DOB)
1
即:∠BAC= 2 ∠BOC.
D
2.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心
角度数的一半.
3.圆周角定理的推论
2
2
领悟：要求
弧的度数，
由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50°，
只需求得该
LJ
弧所对的圆
DE 2∠CAD=2×25°=50°,AE 2∠ABE=2Hale Waihona Puke 40°=80°.周角的度数.LJ
LJ
随堂演练
1.如图所示的四个图中，∠α是圆周角的是( C )
2.如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角
以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.
求图中劣弧的度数.
解
如图，连结BE，AD.
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）.
∴∠BAC=50°，∴∠ABE=90°－∠BAC=90°－50°=40°.
又∵△ABC是等腰三角形，
1
1
∴∠ABC=∠CAD= ∠BAC= ×50°=25°.
简单的几何问题.
获取新知
1.圆周角的定义
A
如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
两个条件必须同时
具备，缺一不可
(1)量出圆周角∠BAC与它所对弧上的圆心角∠BOC的
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用《圆周角定理及其推论的证明和应用》
圆周角定理又被称为“角定律”，是不论圆弧大小都成立的一个数学公理，它指出圆形中任意大小的圆弧所对应的圆心角之和，都是 360 度。
这一定理被著名数学家费马正式地证明。
圆周角定理表明，圆心角累加360度，任意两个圆心角之间的圆弧相连，形成一个封闭的面。
根据其特点，学者们推导出了以下几个推论：全角相等推论、全边相等推论、定点外接圆内接圆推论、正多边形五边形内角之和推论、外角等于内角和推论、立体角之和推论等。
圆周角定理及其推论的证明和应用，主要是在几何中，这些定理及其推论也被广泛应用到绘图，比如构造一个正多角形及相关图形，解决正多角形有关问题，画出平行线，学习平面三角函数等。
例如利用圆周角定理及其推论，可以将人们自然认定的几何图形（如梯形、多边形等），实际转化为一组有效的数学公式，以绘制直观的几何图形，从而解决数学问题。
总之，圆周角定理与其相关的推论，是构成数学的一项重要基础，在几何中有着广泛的应用，在数学中起到至关重要的作用，是值得大家及早去学习和掌握的重要内容。
第一章 §2 2.1 圆周角定理
2．1 圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2] 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试] 连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B 由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B 法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。
最新1、圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（等边对等角）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB 为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC （BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC （AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度∴∠AOB2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
第1课时 圆周角定理及推论1
(2)求证:∠1=∠2.
【导2)证明:因为 BC=DC,所以 B»C = C»D , 所以∠BAC=∠CBD,
因为 EC=BC,所以∠CEB=∠CBE, 因为∠CEB=∠1+∠BAC,∠CBE=∠2+∠CBD, 所以∠1+∠BAC=∠2+∠CBD, 所以∠1=∠2.
证明:(1)因为∠ABC=∠ADB,所以 »AC = »AB .所以 AB=AC. (2)因为∠CAD=∠CBD,∠ACD=∠ABD,∠CAD=∠ACD,所以 ∠ABD=∠CBD. 所以BD平分∠ABC.
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【导学探究】 1.由AB∥CD可得∠BCD= ∠ABC .
2. B»D 所对的圆心角是 ∠BOD
∠BCD= 1 ∠BOD
系是
2
.
,所对的圆周角是
∠BCD
,两者之间的关
解:因为 AB∥CD,所以∠BCD=∠ABC=40°, 因为∠BCD= 1 ∠BOD,
2 所以∠BOD=2∠BCD=80°.
运用圆周角定理时注意 (1)定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧; (2)从数量关系上看,圆周角的度数等于圆心角度数的一半,换而言之,圆心角 的度数等于圆周角度数的2倍.
3.如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( D ) (A)64° (B)58° (C)32° (D)26°
4.(2019湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数是15°,则它所对的圆心角的 度数是 30° .
5.已知点A,B,C,D四点在☉O上. (1)若∠ABC=∠ADB,求证:AB=AC; (2)若∠CAD=∠ACD,求证:BD平分∠ABC.
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●O
C
B
2、如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙Ｏ点E ，连接BE
∵AE是⊙Ｏ的直径
∴∠ABE＝90°
B
又∵∠C＝30°
∴∠E＝30°
A
●O C
∵ AB=4
∴AE= 8
E
在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地 学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越 重山跨峻岭。 —— 华罗庚
议一议
（2）如图：点C的位置发生了变化， ∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为 什么？
D
A
像这样，四个顶BCD外接圆。
B
C
解：如图，圆内接四边形ABCD中
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角
的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝ 180° A
同理∠B＋∠D＝180°
圆周角和圆心角的关系
圆周角定理的推论
情境导入
1. 理解圆周角定理的推论 2. 运用数学分类思想给予逻辑证明 定理，得出推导，动手证明定理推 论的正确性，最后运用定理及其推 论解决问题
想一想：（小组讨论得出结论并证明） （1）如图，BC是⊙O的直径，那么 它所对的圆周角有什么特点？你能 证明你的结论吗？
O
B
C
圆内接四边形的对角互补.
想一想：
如图：∠DCE是圆内接四边形ABCD是一个 外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
当堂检测
1、填空题:
A
D
(1)如图所示,
∠BAC= ∠BDC,∠DAC= ∠DBC.
C
B
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,
C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
A
则BC= 5 cm
（2）如图，圆周角∠A =90º，弦BC 是直径吗？为什么？
（3）由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2： 用于构造直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直 角；90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某条弦 是否是直径
议一议
（1）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个 点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之 间有什么关系？为什么?