数形结合思想方法的发展历程研究
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（二 ）古希腊 时期的数形结合 在古希腊数学中 ，“形数 ”被看作某些几何图形中点的数 目 ，它 们构 成 了几 何学 和算 术之 间 的纽 带 。三角 形数 、正 方形 数 、五边形数的几何命名奠定了数形 １
三 角形 数 ＝ ｎ（ｎ＋１１
２
数 学 以 几何 学 为主 要 特 征 的代 表 作 是 《几何 原 本 》，这 时 人 们 通常从 几何 的 角度 去研 究等 价 的代 数 问题 ，数 形结 合 的思 想 促进 了代 数 的发 展 。如 ，完 全平 方数 的证 明 ，大 正方 形 的边
长为 （口＋ｂ１，两个小正方形的边长分别为 ｎ和 ｂ，由图可知， 大 正 方形的 面积 与四 部分 的面 积之 和相 等 ，如图 ６所示 。
（二 ）数形结合思想方法 学术界对 “数形结合 的解释各有不同，下面是几种常见 的 说法 。 张同君在 《中学数学解题研究 》中认为 ，数形结合是在问 题解决过程中 ，将数量关系和空间形式进行结合，揭示问题的 深 层结 构 ，从 而达 ＮＪＩＩ￣利 解题 的 目的 。 任樟辉在 《数学思维理论》中认为 ，数形结合是数与形之 间 整体 或局 部 的迁移 。 徐斌艳在 《数学课程与教学论 》中认为 ，数形结合是通过 抽 象思 维 和形 象思 维 的相 互作 用 ，以实 现数 量 关 系与图 形性 质 之 间的 相 互转 化 ，将 数量 关 系和图 形结 合 起来研 究 问题 。 数 形 结 合 是 通 过 把 抽 象 的 数 量 关 系和 形 象 的 图 形 相 互 转 化 ，从 而使 抽 象问题 具体 化 ，以利 于 问题 的解 决。
形 对应 边成 比例 ，得 方程 Ｘ ＝ ａｂ ，如 图８所 示。
冬
图 ７
ｃｒＹ ＝ ｂｃ
Ｘ ＝ ａｂ
总之 ，这 一时 期 通常 用 “形 ”来研 究 “数 ”的关 系 ，毕达
哥 拉 斯 学 派 不 接 受 无 理 数概 念 ，他 们 认 为 有 些 几何 量不 能用
图 ６ ｒ口＋ ６ ＝ 口 ＋ ２ａｂ＋ｂ 再 如 ，二 项方 程 的几 何解 法 ：已 知长 度 分别 为 ａ ， ｂ， ｃ 的 三 条 线 段 ，由平 行 线 分线 段 成 比 例 ，解 得 万 程 似 ＝ ｂｃ ， 如 图 ７所示 ：在 圆 中 直 径所 对 的 圆周 角 为 直角 ，根 据 相 似 三角
田 口 园
．
Ｉ
４
９
１６
图 ２
正 方形 数 Ｓ ＝ｎ
ｖ理论研究
教 育 界 ／ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＣＩＲＣＬＥ
２０１８年第３９期 （总第３１ ５期）
五边 形数 ＝ 结论 １：正 方形数 是两 个相 继的 三角 形 数之 和 ，如 图４所示 。
赵 爽 在 《周 髀 算 经 》注 中 对 勾 股 定 理 的证 明 ：“按 弦 图 ， 又可 以勾 、股相 乘为 朱实 二 ，倍之 为朱 实四 ，以勾股 之 差自相 乘 为中黄 实 。加差 实 ，亦成 弦买 。”
在数学的萌芽时期 ，人类在生活中经常进行采集、狩猎活 动 ，后 来 他们 逐渐 发现 一 只乌 、一个 果 子 、一 棵树 等 之间 存在 共通性 ，从而抛开事物的物质本身抽象出了数 。这就使数的概 念从客观事物中分 离出来，“数 与 “形 出现人类文明发展 史上的第一次分离。随着生产活动的进一步发展 ，社会生活出 现 了频 繁 交易 ，记 数变 成 了必 要。记 数 经历 了手 指 、石头 、结 绳 、刻痕等，后来出现了相应的记数系统。记数又一次将数与 形 结合 起来 。这 时 的数形 结合 是人 类有意 识 的行 为。
２０１８年第３９期 （总第３ｑ５期）
教育界 ／ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＣＩＲＣＬＥ
理论研究ｖ
数形结合思 想方 法的发展 历程研究
阜 阳幼 儿师 范 高等 专科 学校 尚 影
一 、 数形结合思想方法概述 （一 ）数学思想方法
１．数学思 想 。人们 对 “数形 结合 思想 ”的论述 不尽 相 同。 丁 石孙 认 为 ，数学 思想 主要 指数 学研 究 方法 的 特点 、数 学 与 生产 实践 的关 系 ，以及 数学 发展 的规 律等 。 蔡 上鹤 认 为 ，数学 思想 是人 们 通过 对生 活 中数 量关 系和 空 间 形式 的分 析而 总结 出 的数学 理论 的本 质 。 邵光华认为 ，数学思想是人们对数学 内容的抽象和概括， 是 数学 的本 质 。 综上 ，数学思想是人们总结出的数学的本质。数学思想包 括 很多 方面 ，其 中有 数形 结合 的思 想 。 ２．数学方法。数学方法的表述主要有 ：数学方法是指解决具 体 数学 问题的策 略 ；数学 方法是 利用数 学知识 解决 问题 ；数学 方 法 是人 们在实 践中发 现的运 用数 学思想 解决 问题的 手段 。 数 学 思 想与 数 学 方 法紧 密相 连 ，数学 思 想 强 调指 导 思 想 ， 而 数学 方法 强调 操作 过程 。
设 勾 股 形 的 三 边 分 别 为 ａ ， ｂ， Ｃ，由 图 和 术 可 得
２ａｂ＋（ｂ—ａ）‘＝ｃ ，将 （６一 ） 展开，即得勾股定理，如
图９所 示 。
●
●
●
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图 ４
Ｓ ＝ ＋ ｌ
结论２：第月个五边形数等于第（”一１）个三角形数的三倍
加上 ｎ，如图 ５所 示 。
图 ５ ＝ ３ １＋ 月
数形结合包含两方面：一是由数及形 ，利用 “形”把问题 中 的数 量 关系 形象 地表 示 出来 ，化抽 象 为直观 ，用几何 方 法研 究代数问题 ；一是由形及数，利用代数方法研究几何问题。
＝ 、数形结合思想方法 的发展历程 （一 ）数学萌芽 时期的数形结合
在 原 始社 会 ，数和 形是 一体 的 ，不 分家 的 。正 如 周述 岐所 说 ：“天上一个太阳 ，人的一只手有五个指头等等。 此时的数 形 结合 是无 意识 的 ，这个 时期 人１门还 无法 对数 与形进 行 区分 。
三 角形 数 ＝ ｎ（ｎ＋１１
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数 学 以 几何 学 为主 要 特 征 的代 表 作 是 《几何 原 本 》，这 时 人 们 通常从 几何 的 角度 去研 究等 价 的代 数 问题 ，数 形结 合 的思 想 促进 了代 数 的发 展 。如 ，完 全平 方数 的证 明 ，大 正方 形 的边
长为 （口＋ｂ１，两个小正方形的边长分别为 ｎ和 ｂ，由图可知， 大 正 方形的 面积 与四 部分 的面 积之 和相 等 ，如图 ６所示 。
（二 ）数形结合思想方法 学术界对 “数形结合 的解释各有不同，下面是几种常见 的 说法 。 张同君在 《中学数学解题研究 》中认为 ，数形结合是在问 题解决过程中 ，将数量关系和空间形式进行结合，揭示问题的 深 层结 构 ，从 而达 ＮＪＩＩ￣利 解题 的 目的 。 任樟辉在 《数学思维理论》中认为 ，数形结合是数与形之 间 整体 或局 部 的迁移 。 徐斌艳在 《数学课程与教学论 》中认为 ，数形结合是通过 抽 象思 维 和形 象思 维 的相 互作 用 ，以实 现数 量 关 系与图 形性 质 之 间的 相 互转 化 ，将 数量 关 系和图 形结 合 起来研 究 问题 。 数 形 结 合 是 通 过 把 抽 象 的 数 量 关 系和 形 象 的 图 形 相 互 转 化 ，从 而使 抽 象问题 具体 化 ，以利 于 问题 的解 决。
形 对应 边成 比例 ，得 方程 Ｘ ＝ ａｂ ，如 图８所 示。
冬
图 ７
ｃｒＹ ＝ ｂｃ
Ｘ ＝ ａｂ
总之 ，这 一时 期 通常 用 “形 ”来研 究 “数 ”的关 系 ，毕达
哥 拉 斯 学 派 不 接 受 无 理 数概 念 ，他 们 认 为 有 些 几何 量不 能用
图 ６ ｒ口＋ ６ ＝ 口 ＋ ２ａｂ＋ｂ 再 如 ，二 项方 程 的几 何解 法 ：已 知长 度 分别 为 ａ ， ｂ， ｃ 的 三 条 线 段 ，由平 行 线 分线 段 成 比 例 ，解 得 万 程 似 ＝ ｂｃ ， 如 图 ７所示 ：在 圆 中 直 径所 对 的 圆周 角 为 直角 ，根 据 相 似 三角
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图 ２
正 方形 数 Ｓ ＝ｎ
ｖ理论研究
教 育 界 ／ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＣＩＲＣＬＥ
２０１８年第３９期 （总第３１ ５期）
五边 形数 ＝ 结论 １：正 方形数 是两 个相 继的 三角 形 数之 和 ，如 图４所示 。
赵 爽 在 《周 髀 算 经 》注 中 对 勾 股 定 理 的证 明 ：“按 弦 图 ， 又可 以勾 、股相 乘为 朱实 二 ，倍之 为朱 实四 ，以勾股 之 差自相 乘 为中黄 实 。加差 实 ，亦成 弦买 。”
在数学的萌芽时期 ，人类在生活中经常进行采集、狩猎活 动 ，后 来 他们 逐渐 发现 一 只乌 、一个 果 子 、一 棵树 等 之间 存在 共通性 ，从而抛开事物的物质本身抽象出了数 。这就使数的概 念从客观事物中分 离出来，“数 与 “形 出现人类文明发展 史上的第一次分离。随着生产活动的进一步发展 ，社会生活出 现 了频 繁 交易 ，记 数变 成 了必 要。记 数 经历 了手 指 、石头 、结 绳 、刻痕等，后来出现了相应的记数系统。记数又一次将数与 形 结合 起来 。这 时 的数形 结合 是人 类有意 识 的行 为。
２０１８年第３９期 （总第３ｑ５期）
教育界 ／ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ ＣＩＲＣＬＥ
理论研究ｖ
数形结合思 想方 法的发展 历程研究
阜 阳幼 儿师 范 高等 专科 学校 尚 影
一 、 数形结合思想方法概述 （一 ）数学思想方法
１．数学思 想 。人们 对 “数形 结合 思想 ”的论述 不尽 相 同。 丁 石孙 认 为 ，数学 思想 主要 指数 学研 究 方法 的 特点 、数 学 与 生产 实践 的关 系 ，以及 数学 发展 的规 律等 。 蔡 上鹤 认 为 ，数学 思想 是人 们 通过 对生 活 中数 量关 系和 空 间 形式 的分 析而 总结 出 的数学 理论 的本 质 。 邵光华认为 ，数学思想是人们对数学 内容的抽象和概括， 是 数学 的本 质 。 综上 ，数学思想是人们总结出的数学的本质。数学思想包 括 很多 方面 ，其 中有 数形 结合 的思 想 。 ２．数学方法。数学方法的表述主要有 ：数学方法是指解决具 体 数学 问题的策 略 ；数学 方法是 利用数 学知识 解决 问题 ；数学 方 法 是人 们在实 践中发 现的运 用数 学思想 解决 问题的 手段 。 数 学 思 想与 数 学 方 法紧 密相 连 ，数学 思 想 强 调指 导 思 想 ， 而 数学 方法 强调 操作 过程 。
设 勾 股 形 的 三 边 分 别 为 ａ ， ｂ， Ｃ，由 图 和 术 可 得
２ａｂ＋（ｂ—ａ）‘＝ｃ ，将 （６一 ） 展开，即得勾股定理，如
图９所 示 。
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图 ４
Ｓ ＝ ＋ ｌ
结论２：第月个五边形数等于第（”一１）个三角形数的三倍
加上 ｎ，如图 ５所 示 。
图 ５ ＝ ３ １＋ 月
数形结合包含两方面：一是由数及形 ，利用 “形”把问题 中 的数 量 关系 形象 地表 示 出来 ，化抽 象 为直观 ，用几何 方 法研 究代数问题 ；一是由形及数，利用代数方法研究几何问题。
＝ 、数形结合思想方法 的发展历程 （一 ）数学萌芽 时期的数形结合
在 原 始社 会 ，数和 形是 一体 的 ，不 分家 的 。正 如 周述 岐所 说 ：“天上一个太阳 ，人的一只手有五个指头等等。 此时的数 形 结合 是无 意识 的 ，这个 时期 人１门还 无法 对数 与形进 行 区分 。