高中数学必修二课件：1-3-2球的体积和表面积
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人教版高中数学必修二课件：1-3-2球的表面积和体积
球外接于正方体
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。
例题讲解
例4：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
圆柱 S 2r(r l) r r
圆台 S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
复习旧知
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体 V 1 Sh
①V 4 R3
3
②S 4R2
练习二
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
3
3
圆锥的体积为 1 πR2×12= 192 π
3
3
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
人教A版高中数学必修二1.3.2球的体积与表面积课件
4 3
R3
32
3
结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半
径是体对角线的一半
（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则对角线长为 a2 b2 c2
3.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的
体积之比为（ ）
A
A
(A)2∶5 (B)1∶2
(C)2∶3 (D)4∶9
R
O
B O1
C2
O
A2
O
B
令上下两个截面圆的圆心分别为C1 、C2，半径分别为r1、r2
由 r12 5 得r12 5，由 r22 8 得r22 8
在RtOC1A1中,OC1
R2 r12
R2 5
B1 B2
在RtOC2 A2中,OC2 R2 r22 R2 8
C1 C2
A1 A2
OC1 OC2 2, R2 5 R2 8 1
R2 2R 2 R3.
V球
2 3 V圆柱
（2） S球 4 R2，
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练一练
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2. 4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是__1_:_4__.
球的表面积是大 圆面积的4倍
R
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 2 ，
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面3 积。
分析：由题可得：球内切于圆柱
作圆柱的轴截面（如图）
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
必修2课件：1-3-2 球的体积和表面积
15 3π
15 B. 3 π
D.43π＋
15 3π
[答案] D
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥，V＝V 球＋V圆锥＝43×π×13＋13π×12× 15＝43π＋ 315π，故选D.
第一章 1.3 1.3.2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为1的半球和 一个棱长为2的正方体组成，
(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆 ＝12×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2)
(2)V＝V半球＋V正方体 ＝12×43π×13＋23 ＝8＋23π(m3)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． [分析] 借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体 积公式求解．
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2 ＝ 6 a，又长方体的外接球 的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝ 6a，则S球＝4πR2 ＝4π 26a2＝6πa2.
学法指导 求球的表面积与体积的方法：
(1)把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝
人教版高中数学必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图 及数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上 、下部分形状,然后根据侧视图与正视图确定几何 体的形状,并根据有关数据计算.
练习：某几何体的三视图如图,它的体积为(
) A.72π B.48π C.30π D.24π
答案:C
题型三 球的截面问题
例1.(1)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离 等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表 面积与球的体积． (2)在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是 5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积和 体积．
分析：正方体内接于球， 由球和正方体都是中心 称 形 可知，它 中心重合， 正方体 角 与球的直径相等。
略解：
D
C
D
C
A
B
A
B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
1.如果球O和 个正方体的六个面都相切， 有S=—— 。
2.如果球O和 个正方体的各条棱都相切， 有S=——
(3).若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的__8__ 倍，表面积变为原来的___4_倍.
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
(4)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和
为6,则两球的体积之差的绝对值为 .
题型二：由三视图求与球有关的组合体 的体积与表面积
例2.某个几何体的三视图如图(单位:m). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,
则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形. ( )
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积
练习：某几何体的三视图如图,它的体积为(
) A.72π B.48π C.30π D.24π
答案:C
题型三 球的截面问题
例1.(1)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离 等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表 面积与球的体积． (2)在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是 5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积和 体积．
分析：正方体内接于球， 由球和正方体都是中心 称 形 可知，它 中心重合， 正方体 角 与球的直径相等。
略解：
D
C
D
C
A
B
A
B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
1.如果球O和 个正方体的六个面都相切， 有S=—— 。
2.如果球O和 个正方体的各条棱都相切， 有S=——
(3).若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的__8__ 倍，表面积变为原来的___4_倍.
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
(4)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和
为6,则两球的体积之差的绝对值为 .
题型二：由三视图求与球有关的组合体 的体积与表面积
例2.某个几何体的三视图如图(单位:m). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,
则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形. ( )
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
高一数学人教A版必修2课件：1-3-2球的体积和表面积
[ 解析] 由正方体的体积为 8 可知， 正方体的棱长 a＝2.又正方体的体对角线 是其外接球的一条直径，即 2R＝ 3a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R＝ 3， 故所求球的表面积 S＝4πR2＝12π.
命题方向2 ⇨根据三视图计算球的体积与表面积
某个几何体的三视图如图所示(单位：m) 导学号 09024180 (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．
1．半径为 3 的球的体积是 导学号 09024174 ( A．9π B．81π
D
) D．36π
C．27π
4 [ 解析] V＝3π×33＝36π.
2．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 导学号 09024175 ( A．2π B．16π C．8π
D
)
D．4π
[ 解析] ∵球的直径为 2，∴球的半径为 1，∴球的表面积 S＝4πR2＝4π.
4πR2
• [归纳总结] 对球的表面积与体积公式的 几点认识： • (1)从公式看，球的表面积和体积的大小， 只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的 S和V与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数． • (2)由于球的表面不能展开成平面，所以， 球的表面积公式的推导与前面所学的多面 体与旋转体的表面积公式的推导方法是不 一样的．
3．若一个球的体积扩大到原来的 27 倍，则它的表面积扩大到原来的 导学号 09024176 ( A．3 倍 B．3 3倍 C．9 倍
C
)
D．9 3倍
[ 解析] 设球的半径为 R，体积扩大到原来的 27 倍后，其半径为 R′. 4 3 4 4 3 3 V＝3πR ，V′＝3πR′ ＝27V＝27×3πR ， ∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2. 又 S＝4πR2， ∴S′＝9S，故选 C．
高中数学必修二：1.3-2球的表面积和体积.pptx
3
3
18
你能由此推导出半径为R的球的表面积 公式吗？
S 4 R2
经过球心的截面圆面积是什么？它与球 的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的 4 倍
19
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆Байду номын сангаас体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2
S S 正多边形
A1OA 2
SA2OA3
SAnOA1
1 2
p( A1A2
A2 A3
An A1)
1 2
pC正多边形
O
当n 时，p R,C正多边形 C圆
p
A3
S圆
1 2
R
2R
R2
A1 A2
12
极限思想
zxxkw
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面
O A
C
M B
R 3 6 , S 54 ,V 27 6
23
2
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.2
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是. 1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是. 1: 3 4
20
例2 已知正方体的八个顶点都在球O
的球面上，且正方体的表面积为a2，求
球O的表面积和体积.
C′
o
A
21
例3某街心花园有许多钢球（钢的密度是
必修二课件 1.3.2 球的体积和表面积
和近似地等于多少?
提示:小棱锥的底面积之和近似地等于球的表面积 ,高近似地等于半径,
体积之和近似地等于球的体积.
5.你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗? 提示:由V= 1 R·S= 4 πR3,故S=4πR2.
3 3
➡根据以上探究过程,试着写出球的体积和表面积公式:
4 3 R 1.球的体积公式:_______(R 为球的半径). 3 V
所以S圆锥侧= rl 2h 5h 2 5h 2，
S球 4R 4h ，所以
2 2
S圆锥侧 S球
2 5h 2 5 . 2 4h 2
【规律总结】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R, 然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积 或体积的相关题目也就简单了.
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=
90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的
表面积为 ( )
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
(2)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧 面积与球表面积之比.
1.3.2 球的体积和表面积
【阅读教材】
根据下面的知识结构图阅读教材,并识记球的体积和表面积公式,
初步掌握它们的应用.
【知识链接】
1.柱体、锥体的表面积及体积公式:
(1)表面积:S表=S侧+S底 (2)体积:V柱体=S底·h V锥体= 1 S底·h
3
2.圆的面积公式:S=πR2
主题:球的体积和表面积 【自主认知】 1.从球的结构特征分析,球的大小由哪个量确定? 提示:球的大小由球的半径来确定.
高中数学第一章 1.3 1.3.2 球的体积和表面积优秀课件
(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
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跟踪探究 1.一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
A．64π
64π B. 3
C．32π
32 D. 3 π
解析：设球半径为R，则4πR2＝16π，
∴R＝2，∴V＝4π3R3＝323π. 答案：D
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方法技巧 由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时，最重要的是还原 组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据组合体的结构 特征及数据计算其表面积或体积． 计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分割与拼接，避免重 叠和交叉等．
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04课时 跟踪训练
r2－2r2＝ 23r，
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∴该圆锥的体积和此球体积的比值为3843ππrr33＝392. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时， 该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 答案：392或332
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5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点
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解析：由奖杯的三视图，我们知道，奖杯的上部是直径为4 cm的球；中部是一 个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8 cm、4 cm的矩形，四个侧面中的两 个侧面是边长分别为20 cm、8 cm的矩形，另两个侧面是边长分别为20 cm、4 cm的矩形；下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别为10 cm、8 cm的矩 形，下底面是边长分别为20 cm、16 cm的矩形，四棱台的高为2 cm，因此它的 表面积和体积分别为1 193 cm2、1 067 cm3.
人教A版高中数学必修二课件1-3-2球的体积和表面积(共43张PPT)
[解析] 设球半径为 R，则圆台高 h＝2R，设圆台母 线长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
高中数学课件
灿若寒星整理制作
1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
高中数学课件
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1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
高中数学必修二人教A版课件：1.3.2 球的体积和表面积
解析:计算得 V 甲= 1 πa3, 6
S 甲=4πa2, V 乙= 1 πa3,
6 S 乙=πa2, 所以 V 甲=V 乙,且 S 甲>S 乙.故选 C.
题型二 与球相关的“切”“接”问题 【思考】 1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、 b、c有何关系?
提示:长方体的对角线为球的直径,即 2R= a2 b2 c2 .
解析:由题意知当三棱锥的三条侧棱两两垂直时, 其体积最大.
设球的半径为 r,则 1 × 1 r2·r=36, 32
解得 r=6, 所以球 O 的表面积 S=4πr2=144π, 选 C.
【为备S甲用;一例个1】直径64为个a直的径球都,记为其a4体的积球为,V记乙,它表们面的积体为积S乙之,和则为( V甲,)表面积之和 (A)V甲>V乙且S甲>S乙 (B)V甲<V乙且S甲<S乙 (C)V甲=V乙且S甲>S乙 (D)V甲=V乙且S甲=S乙
则有
x3
V
,
3x 2R,
解得 R= 3 3 V , 2
所以 S 球=4πR2=3π 3 V 2 ,即球的表面积为 3π 3 V 2 .
点击进入 课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中, AE2+OE2=AO2, 即(2 2 )2+(6-R)2=R2,
解得 R= 11 , 3
则
S=4πR2=4π
112 3
=
484 9
π,
S 甲=4πa2, V 乙= 1 πa3,
6 S 乙=πa2, 所以 V 甲=V 乙,且 S 甲>S 乙.故选 C.
题型二 与球相关的“切”“接”问题 【思考】 1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、 b、c有何关系?
提示:长方体的对角线为球的直径,即 2R= a2 b2 c2 .
解析:由题意知当三棱锥的三条侧棱两两垂直时, 其体积最大.
设球的半径为 r,则 1 × 1 r2·r=36, 32
解得 r=6, 所以球 O 的表面积 S=4πr2=144π, 选 C.
【为备S甲用;一例个1】直径64为个a直的径球都,记为其a4体的积球为,V记乙,它表们面的积体为积S乙之,和则为( V甲,)表面积之和 (A)V甲>V乙且S甲>S乙 (B)V甲<V乙且S甲<S乙 (C)V甲=V乙且S甲>S乙 (D)V甲=V乙且S甲=S乙
则有
x3
V
,
3x 2R,
解得 R= 3 3 V , 2
所以 S 球=4πR2=3π 3 V 2 ,即球的表面积为 3π 3 V 2 .
点击进入 课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中, AE2+OE2=AO2, 即(2 2 )2+(6-R)2=R2,
解得 R= 11 , 3
则
S=4πR2=4π
112 3
=
484 9
π,
高中数学人教A版必修2第一章 1.3.2 球的表面积和体积 课件优秀课件PPT
R
o
o
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即
1 2
V球
=
R2
R
1 3
R2
R
=
2 3
R3
所以
V球 =
4 3
R3
球体的体积公式
V球 =
4
R3
3
地球可近似地看作球体，地球的半径为6370km， 怎样计算它的体积？
学科网
如果球的半径为 R，那么它的体积
V= 4 πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为6370km， 怎样计算它的表面积 ？
O
C
A
O
B
例4、一个正方体的各个顶点都在球面上,正方体棱 长为a,求这个球的体积.
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、 4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是——
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来 的几倍？
解：设气球原来的半径为R
它的体积V1=
4 πR3， 3
气球半径扩大一倍，那么
它的体积V2=
4 π(2R)3= 3
32 πR3 3
所以气球的半径扩大1倍，体积扩大8倍.
一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？
解：由图可知，半球的半径为4
半球的体积为 4 π43= 256 π
例：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的
2 3
倍
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积
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