2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题

一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是．

2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =．

3．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ∆面积的最大值为．

4．设集合111111{,,,,,}2711131532

A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =．

5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．

6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，

则M m -=．

7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ∆∆+的取值范围是．

8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =．

二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）

9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =∅ ．

（1）求证：1()2

A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立．

10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．

11．设,,,

abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的

最小值．

12．设n为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy中的点集

==≤∈对T中的两点,P Q，当且仅当PQ=PQ与两条坐T x y x y n x y Z

{(,),,}

标轴之一平行时，称,P Q是“相邻的”，将T中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．

试卷答案

一、填空题

1.317

2.1

3. 4.

7965

5.(2，

6.32

7.17(]44，

8.22019

二、解答题

9.解：（1）∵A B C =∅ ∴()()A B A C =∅

∴集合A 可以拆分成三部分：A B ，A C ，A A B A C A '--=

（如图） 则A A A B A C '=++

B ，

C 集合同理. ∵A B C A B C =++ A B B C C A A B C ---+

∴命题⇔证1()2

A B C ++A B B C C A ≥++ 而A B C ++A B C '''++222A B B C C A +++ ∴1()2A B C A B B C C A ++--- 1()02

A B C '''=++≥ （2）当A B C '''===∅时取等号，如{}12A =，

，{}23B =，，{}31C =， 10.令Y X α-=，*N α∈

则225x z w α+++=

当x 取遍1~11时，252z w x α++=-的正整数解组数为2242x C -

∴总共222224622946C C C C ++++=

22(21)n C n n =-，∴2222n C n n =-∑∑∑(1)(21)(1)(1)(41)326

n n n n n n n n ++++-=-= 11.210210210210

F a b c d a F

b a

c

d b F

c a b

d c F d a b c d ∂⎧=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=⎪∂⎨∂⎪=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=∂⎩

∴当15a b c d ====-时，min 2()5

F a b c d =-，，， 12.从(00)，

点向外一共有n 层正方形，染色要求：正方形相邻顶点颜色不同与上一层相邻点，也不同

记(00)，点染了③号色，第1个正方形四个顶点①②

②①染色

A 类：①②

②①（一共用了2色）上层A 类，之后一层的染色情况：

A B ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②①③①②③三种①②①③③②②①②①②①②③四种①③①②③②①②

B 类：①②

③①（一共用了3色）上层为B 类，则下层的染色情况：

A B ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②①③①两种①②①③②③②①③①③①四种①②①③①②②③

构建数列，n O 表示第n 层为A 类染色方法，n b 表示第n 层为B 类染色方法

11

3244n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩11a =，10b =

∴1111))n n n n n n n n a a a a ++++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

构造λ：11(34)(24)n n n n a J b a d b λ+++⋅=+++ 满足22442034d d

λλλ+=⇒--=

+λ=又11a =，10b =

，∴11n n n n n n a a --⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

解得1111n n n n n n a b ----⎧=+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩