2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是．
2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =．
3．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ∆面积的最大值为．
4．设集合111111{,,,,,}2711131532
A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =．
5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．
6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，
则M m -=．
7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ∆∆+的取值范围是．
8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =．
二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）
9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =∅ ．
（1）求证：1()2
A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立．
10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
11．设,,,
abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的
最小值．
12．设n为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy中的点集
==≤∈对T中的两点,P Q，当且仅当PQ=PQ与两条坐T x y x y n x y Z
{(,),,}
标轴之一平行时，称,P Q是“相邻的”，将T中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．
试卷答案
一、填空题
1.317
2.1
3. 4.
7965
5.(2，
6.32
7.17(]44，
8.22019
二、解答题
9.解：（1）∵A B C =∅ ∴()()A B A C =∅
∴集合A 可以拆分成三部分：A B ，A C ，A A B A C A '--=
（如图） 则A A A B A C '=++
B ，
C 集合同理. ∵A B C A B C =++ A B B C C A A B C ---+
∴命题⇔证1()2
A B C ++A B B C C A ≥++ 而A B C ++A B C '''++222A B B C C A +++ ∴1()2A B C A B B C C A ++--- 1()02
A B C '''=++≥ （2）当A B C '''===∅时取等号，如{}12A =，
，{}23B =，，{}31C =， 10.令Y X α-=，*N α∈
则225x z w α+++=
当x 取遍1~11时，252z w x α++=-的正整数解组数为2242x C -
∴总共222224622946C C C C ++++=
22(21)n C n n =-，∴2222n C n n =-∑∑∑(1)(21)(1)(1)(41)326
n n n n n n n n ++++-=-= 11.210210210210
F a b c d a F
b a
c
d b F
c a b
d c F d a b c d ∂⎧=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=⎪∂⎨∂⎪=++++=⎪∂⎪∂⎪=++++=∂⎩
∴当15a b c d ====-时，min 2()5
F a b c d =-，，， 12.从(00)，
点向外一共有n 层正方形，染色要求：正方形相邻顶点颜色不同与上一层相邻点，也不同
记(00)，点染了③号色，第1个正方形四个顶点①②
②①染色
A 类：①②
②①（一共用了2色）上层A 类，之后一层的染色情况：
A B ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②①③①②③三种①②①③③②②①②①②①②③四种①③①②③②①②
B 类：①②
③①（一共用了3色）上层为B 类，则下层的染色情况：
A B ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②①③①两种①②①③②③②①③①③①四种①②①③①②②③
构建数列，n O 表示第n 层为A 类染色方法，n b 表示第n 层为B 类染色方法
11
3244n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩11a =，10b =
∴1111))n n n n n n n n a a a a ++++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
构造λ：11(34)(24)n n n n a J b a d b λ+++⋅=+++ 满足22442034d d
λλλ+=⇒--=
+λ=又11a =，10b =
，∴11n n n n n n a a --⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
解得1111n n n n n n a b ----⎧=+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
∴11n n n n a b --+= 最后，①、②、③色号与红绿蓝之间有336P =种排法
∴染色方式有6()
n n n n a b ⎡⎤+-⎥⎦
种.
2018年上海市高三数学竞赛试题
时间：2小时，满分：120分姓名
一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是．
2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =．
3．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ∆面积的最大值为．
4．设集合111111{,,,,,}2711131532
A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =．
5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．
6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，
则M m -=．
7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ∆∆+的取值范围是．
8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018
a a a >>>= ，且
⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =．
二、解答题（本大题满分60分，每小题15分）
9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =∅ ．
（1）求证：1()2
A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立．
10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
11．设,,,
abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的最小值．
12．设n 为给定的正整数，考虑平面直角坐标系xoy 中的点集
{(,),,}T x y x
y n x y Z ==≤∈对T 中的两点,P Q ，当且仅当PQ =PQ 与两条坐标轴之一平行时，称,P Q 是“相邻的”，将T 中的每个点染上红、蓝、绿三种颜色之一，要求任意两个相邻点被染不同的颜色，求染色方式的数目．。