2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十一章 第三节 变量间的相关关系
2022届高考数学一轮配套练习 10.3 变量间的相关关系 文 苏教版
第三节 变量间的相关关系强化训练当堂巩固1下列变量之间的关系是函数关系的是2y ax bx c =++,,c 是已知常数,取b 为自变量,自变量和这个函数的判别式24b ac ∆=- B 光照时间和果树亩产量C 降雪量和交通事故发生率D 每亩施用肥料量和粮食亩产量答案:A解析:由函数关系和相关关系的定义可知A 中24b ac ∆=-,因为a 、c 是已知常数,b 为自变量,所以给定一个b 的值,就有唯一确定的∆与之对应,所以∆与b 之间是一种确定的关系,中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的,所以不是函数关系2工人工资元依劳动生产率千元变化的线性回归方程为ˆ5080yx =+,则下列判断正确的是（ ）A 劳动生产率为1 000元时,工资为130元B 劳动生产率提高1 000元时,工资提高80元C 劳动生产率提高1 000元时,工资提高130元D 当月工资250元时,劳动生产率为2 000元答案:B解析:变量增加1 000元,工资提高80元,故选B3已知回归直线方程ˆ0508125yx x y =.-.=,则时的估计值为 答案:解析:把=25代入得ˆ0y=.250⨯-= 4现有一个由身高预测体重的回归方程:体重预测值=4磅/英寸)⨯身高-130磅其中体重与身高分别以磅和英寸为单位如果换算为公制1英寸2≈ 5 cm,1磅0≈45 g,则回归方程应该 为答案:体重预测值=g/cm )⨯身高 g解析:由换算公式得:4磅/英寸)40=⨯452÷5=g/cm,130磅0⨯45= g,所以体重预测值=g/cm )⨯身高 g吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对照数据1请画出上表数据所对应的散点图;2请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； 3已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据2求出的线性回归方程,预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤参考数值:3⨯43⨯5+⨯464⨯5=解:1题中数据的对应散点图如下图2345644x +++==5, 25344534y .+++.==5, 4132i i i x y==⨯∑5435464+⨯+⨯+⨯5=, 4222221345686i i x==+++=,∑266.54453566563ˆ0.7868186445b -⨯.⨯..-===--⨯.， ˆˆ3507 4.50.35ay bx =-=.-.⨯= 故线性回归方程为ˆ07035yx =.+.. 3根据2中的回归方程可得,现在生产100吨甲产品的生产能耗的数量约为071000⨯+35=,故生产能耗比技改前减少了=吨标准煤课后作业巩固提升见课后作业B题组一 相关关系的判断1下列两个变量之间的关系不是函数关系的是A 角度和它的余弦值B 正方形的边长和面积边形的边数和顶点角度之和D 人的年龄和身高答案:D解析:A 、B 、C 中的两个变量都是函数关系,它们可以用函数关系式来表示,D 中的两个变量之间的关系是相关关系2下列关系属于线性相关关系的是①父母的身高与子女身高的关系②圆柱的体积与底面半径之间的关系③汽车的重量与汽车每消耗1 L 汽油所行驶的平均路程④一个家庭的收入与支出A ①②③B ②③④C ①③④D ①②③④答案:C解析:根据相关关系的定义可得,①③④是相关关系,②是函数关系3下列说法正确的是221y x =+,是具有相关关系的两个变量B 正四面体的体积与其棱长具有相关关系C 电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D 传染病医院感染非典的医务人员数与该院收治的非典病人人数是具有相关关系的两个变量 答案:D解析:A 、B 中的两个变量都是函数关系,它们可以用函数关系式来表示;C 中的两个变量具有相关关系而不是函数关系感染非典的医务人员数不仅受收治病人数的影响,还受防护措施等其他因素的影响,所以选D4下表是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是否具有线性相关关系 填“是”或“否”答案:否解析:由于散点图中各点并不在一条直线的附近,所以它们不具有线性相关关系 题组二 线性回归直线方程5有关线性回归的说法,不正确的是A 相关关系的两个变量可能不是因果关系B 散点图能直观地反映数据的相关程度C 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D 任一组数据都有回归方程答案:D解析:并不是任一组数据都有回归方程,例如当一组数据的线性相关系数很小时,这组数据就不会有回归方程6下列有关回归直线方程ˆˆˆybx a =+叙述正确的是（ ） ①反映ˆy与之间的函数关系；②反映y 与之间的函数关系；③表示ˆy 与之间的不确定关系；④反映最接近y 与真实关系的一条直线A ①②B ②③C ③④D ①④答案:D解析: ˆˆˆybx a =+表示ˆy 与之间的函数关系，不是y 与之间的函数关系，它反映的关系是最接近y 与之间的真实关系，所以选D℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:由表中数据得回归方程ˆˆˆˆˆ2y bx a b a =+=-,=中则答案:60解析:1813101104x ++-==, 24343864404y +++==, 又回归方程必定过点x y （，）,∴40210a =-⨯+,∴a=60题组三 利用回归方程对总体进行估计g 与水稻产量g 的回归直线方程为ˆ525080kg yx =+,,当施化肥量为时预计水稻产量为 kg答案:650解析:将=80代入ˆ5250yx =+,中 即可得水稻的产量为650kg . 9一位母亲记录了她的儿子从3到9岁的身高数据如下表:则关于预测她儿子10岁时身高的说法正确的是A 身高一定是 cmB 身高一定在 cm 以上C 身高在 cm 左右D 身高一定在 cm 以下答案:C解析:根据条件求出线性回归方程,将10代入即可求得身高约为 cm,即身高在 cm 左右、进行线性回归分析时一般有下列步骤:①对所求出的回归方程作出解释;②收集数据()12i i x y i ,,=,,…,n;③求线性回归方程;④求相关系数;⑤、具有线性相关性,则在下列操作顺序中正确的是A ①②⑤③④B ③②④⑤①C ②④③①⑤D ②⑤④③①答案:D解析:根据线性回归分析的思想,可知对两个变量,进行线性回归分析时,应先收集数据()i i x y ,,然后绘制散点图,再求相关系数和线性回归方程,最后对所求的回归方程作出解释,因此选D11比较两个模型的拟合效果,可用两种方法: 和 答案:比较两个模型的残差 比较两个模型的相关系数2R 的大小解析:由回归分析的思想可知以残差和相关系数2R 的大小比较两个模型的拟合效果 试验数据的关系,画出散点图,并指明相关性解:散点图为:通过图象可知施肥量与水稻产量是正相关。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十一章 第一节
一、填空题1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10, 15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．解析：因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．答案：系统抽样2．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本；③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．下列说法：(1)无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；(2)①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等，③并非如此；(3)①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等，②并非如此；(4)采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的．其中正确的结论是________．解析：上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100＝15.答案：(1)3．某大学共有学生5 600人，其中专科生1 300人、本科生3 000人、研究生1 300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取________．解析：由分层抽样按比例抽取的特点得5 600280＝1 300x＝3 000y＝1 300z，∴x＝z＝65，y＝150，即应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人．答案：65人，150人，65人4．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．解析：四类食品的每一种被抽到的概率为2040＋10＋30＋20＝1 5，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×15＝6.答案：65．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．解析：抽取间隔为564＝14.已抽取学号为6,34,48，故还有一个同学的学号应为20.答案：206．某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为________．解析：由题意，高一年级抽了45－20－10＝15(人)，设总人数为n，则15600＝45n，解得n＝1 800.答案：1 8007．(2013·高考湖南卷改编)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余受好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．解析：由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．答案：分层抽样法8．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取．红星中学共有学生1 600名，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生有________人．解析：设女生有x人，则男生有(1 600－x)人．由题意知2001 600×(1 600－x)＝2001 600×x＋10，解得x＝760.答案：760二、解答题9.为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年20个20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？（3）试写出上面的第三种方式抽取样本的步骤.解析：（1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.3）第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个体数之比为：100∶1000=1∶10,所以在每个层次中抽取的个体数依次为即第三步，按层次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.10．某煤矿有采煤工人400人，运输工人302人，管理和服务人员250人，要从中抽取190人组成职工代表参加讨论奖金分配方案，试确定用何种方法抽取，三种类型的职工各抽多少？解析：由于奖金分配涉及到各种人的利益不同，所以应采用分层抽样方法． 因为总体人数400＋302＋250＝952(人)．952190＝5余2，应剔除2人．而4005＝80(人)，302－25＝60(人)，2505＝50(人)，所以，采煤工人、运输工人、管理和服务人员分别抽取80人、60人、50人．。
2019版一轮优化探究文数第十一章 第三节 变量间的相关关系练习
【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号】 １ ２ ７ ６ ９０～ ８ — ２ ０ — ３ （ ） Ｏ ２ ０ ０ ８ ￣３ ７ ２
吴春玲 毛 天 杰 尹洪 宁 袁雅 冬
【 摘要 】 目的 分析 心电图变化在 临床肺栓塞 （Ｅ 诊 断治疗 中的作用。方法 选择 经肺 Ｃ 、 Ｐ） Ｔ 灌注通
气扫描或肺动脉 造影明确诊 断的 Ｐ Ｅ患者 ６ 例 ， ５ 分析 心 电图特征 及溶栓 治疗前后 心 电图改变。结果
一
Ｐ Ｅ
炎是 银 屑病 的一 种 并 发 症 。
（ 收稿 日期 ：０８ ５ ３ ２０ —０ —１）
均较轻。类 风湿性关 节炎 ｘ线 特点 ： 大部 分病例 侵犯手 、 指 足
（ ） 趾 间的近端关节和腕关节 ， 节骨 质破坏 比关 节病型银 屑病 关 骨质破坏严 重。骨 质缺损 及囊性 改变 范 围较 广 ， 边界不 清 ， 模 糊， 并早期表现关 节间 隙变窄 ， 围骨骼 出现不 同程度 的骨 质 周
表 １ 关节病型银屑病与类风湿性关节炎的鉴别要点
主要表现
皮 肤 损 害
（ ） 趾 间关节 ， 国内对 本病 报道较 少。在 临床工 作 中， 但 由于对 本病缺乏认识 ， 至今仍 有不少 人将其混 淆 为类风 湿性关 节炎 。
为减少误诊 ， 我们从临床 、 Ｘ线片 和实验室检查 等方 面， 总结 阐
述 关 节 病 型 银 屑 病 的特 点 ， 及 和 类 风 湿 性 关 节 炎 的 鉴 别 要 以
关节病型银屑病
皮 肤 有 银 屑 病 损 害
类 风温性关节炎
无
皮下结节
无
有
点， 以加深对本病 的认识 。 关节病型银 屑病 与类 风湿性关节 炎无论从临床表 现特点 、 ｘ线征象 、 实验室检查 结果 均不相 同 ， 节病 型银 屑病 所累 及 关
优化探究高考数学一轮复习94变量间的相关关系及统计案例课时作业文
【优化探究】2016高考数学一轮复习 9-4 变量间的相关关系及统计案例课时作业 文一、选择题1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi ，yi)(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1 解析：样本点都在直线上，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi ＝y ^i ，代入相关系数公式r＝1－∑i ＝1n－y^∑i ＝1n －y＝1.答案：D2．(2014年高考重庆卷)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^＝0.4x ＋2.3 .y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 .y ^＝－0.3x ＋4.4解析：由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A. 答案：A3．(2014年高考湖北卷)根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<0解析：把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b<0，a>0.故选B. 答案：B4．(2014年石家庄一模)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4由表中数据，得到线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^(a ^∈R)，由此估计出山高为72 km 处的气温为( )A ．－10 ℃B ．－8 ℃C ．－6 ℃D ．－4 ℃解析：由题意，x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，代入到线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，可得a ^＝60，∴y ^＝－2x ＋60，由y ^＝－2x ＋60＝72，可得x ＝－6 ℃. 答案：C5．(2014年高考江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据K2＝－＋＋＋＋，代入题中数据计算得D 选项K2最大．故选D. 答案：D 二、填空题6．高三某学生高考成绩y(分)与高三期间有效复习时间x(天)正相关，且回归方程是y ＝3x ＋50，若期望他高考达到500分，那么他的有效复习时间应不低于________天． 解析：本题主要考查运用线性回归方程来预测变量取值． 当y ^＝500时，易得x ＝500－503＝150.答案：1507．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K2≥3.841)≈0.05，根据表中数据，得到K2＝－23×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析：∵K2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%. 答案：5%8．某中学生物研究性学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究，记录了实验室4月10日至4月14日的每天昼夜温差与每天每50颗稻籽浸泡后的发芽数，得根据表中的数据可知发芽数y(颗)与温差x(℃)呈线性相关关系，则发芽数y 关于温差x 的线性回归方程为________．(参考公式：回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑n i ＝1xiyi －n x y∑n i ＝1x2i －x ，a ^＝y －b ^x )解析：因为x ＝12，y ＝13.2， 所以b ^＝10×11＋12×13＋13×14＋14×16＋11×12－5×12×13.2102＋122＋132＋142＋112－5×122＝1.2，于是，a ^＝13.2－1.2×12＝－1.2，故所求线性回归方程为y ^＝1.2x －1.2. 答案：y ^＝1.2x －1.2三、解答题9．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害．下表给出了不同类型的某种食品的数据，第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分(1)根据上表数据，制成散点图，你能从散点图中发现食品所含热量的百分比与食品口味之间的近似关系吗？(2)如果近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解析：(1)画出散点图．从散点图上可以看出，食品所含热量的百分比与口味值之间总体趋势近似地成一条直线，也就是说它们之间是线性相关的．(2)如图，我们用一条直线近似地表示这种线性相关．10．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．解析：(1)2×2列联表如下：(2)因为K2＝－12×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．B 组 高考题型专练1．(2013年高考湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：由正负相关性的定义知①④一定不正确． 答案：D2．(2013年高考福建卷)假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b′x ＋a′，则以下结论正确的是( ) A.b ^>b′，a ^>a′ B.b ^>b′，a ^<a′ C.b ^<b′，a ^>a′D.b ^<b′，a ^<a′解析：根据所给数据求出直线方程y ＝b ′x ＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小． 由(1,0)，(2,2)求b′，a′. b′＝2－02－1＝2，a′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，∑6i ＝1xiyi ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58， x ＝3.5，y ＝136， ∑6i ＝1x2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b′，a ^>a′.答案：C3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由已知可计算求出x ＝30，而回归直线方程必过点(x ，y )，则y ＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a ＝68.答案：684．高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如根据上表可得回归方程的斜率为3.53，则回归直线在y 轴上的截距为________．(答案保留到0.1)解析：由已知可得x ＝24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋1310＝17.4y ＝92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋5910＝74.9.设回归直线方程为y ^＝3.53x ＋a ^， 则74.9＝3.53×17.4＋a ^，解得a ^≈13.5.答案：13.5 5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝a ＋bx ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析：(1)由题设所给数据，可得散点图如图．(2)由散点图知x 与y 具有线性相关关系，则根据对应数据，计算得：x21＋x22＋x23＋x24＝86， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝66.5，所以，由最小二乘法确定的线性回归方程的系数为 b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.35＋0.7x.(3)由(2)的线性回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为： 90－(0.35＋0.7×100)＝19.65(吨标准煤)．。
2019苏教版高考一轮优化探究理数练习：第十一章 第八节 排列与组合 Word版含解析
一、填空题1．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：由间接法得C36－C22·C14＝20－4＝16.答案：162．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C24，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，所以种数是C24A33－A33＝30.答案：303．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．解析：由条件可分为两类；一类是甲乙两人只去一个的选法种数为C12·C27＝42，另一类是甲乙都去的选法种数为C22·C17＝7，所以共有42＋7＝49种．答案：494．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有________．解析：5人中选4人则有C45种，周五一人有C14种，周六两人则有C23，周日则有C11种，故共有C45×C14×C23×C11＝60种．答案：60种5．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有________．解析：直接法：一男两女，有C15C24＝5×6＝30种，两男一女，有C25C14＝10×4＝40种，共计70种．间接法：任意选取C39＝84种，其中都是男医生有C35＝10种，都是女医生有C14＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．答案：70种6．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：选出两人看成整体，再排列，共有C24A33＝36.答案：367．(2015年无锡调研)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和程序C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有________种．解析：当A出现在第一步时，再排A、B、C以外的三个程序，有A33种，A与A、B、C以外的三个程序生成4个可以排列B、C的空档，此时有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．答案：968．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．解析：由于教师A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A上，则第四节课必由教师C上，此时有A24＝12种，如果第一节由教师B上，则第四节应由教师A、C中一人上，此时有A12A24＝24，故共有36种不同的排法．答案：369．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．解析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24(种)排法；第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18(种)排法，所以共有编排方案24＋18＝42(种)．答案：42二、解答题10．(1)从0、1、2、3、4、5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为多少？(2)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是多少？解析：(1)分两类：选0，有C 12C 23C 13A 33＝108种；不选0，有C 2 3A 44＝72(种)．∴共有108＋72＝180(种)．(2)先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有A 22·C 23·A 33·A 24种排法，再从中排除甲站两端，则不同排法种数为：A 22·C 23(A 33A 24－2A 22·A 23)＝6×(6×12－24)＝288. 11．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A 3 4＝24种．(2)∵总的排法数为A 5 5＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为12A 55＝60(种)．(3)解法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C 27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C 37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84种方法．解法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．∴名额分配的方法共有84种．12．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内有2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．∴所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．。
2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第十一章 第二节 用样本估计总体含解析
一、填空题1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a 、b 、c 之间的大小关系为________．解析：平均数a ＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，110中位数b ＝15，众数c ＝17.∴c >b >a .答案：c >b >a2．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别频数(0,10]12(10,20]13(20,30]24(30,40]15(40,50]16(50,60]13(60,70]7则样本数据落在(10,40]上的频率为________．解析：由列表知样本数据落在(10,40]上的频数为52，∴频率为0.52.答案：0.523.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人．则n 的值为________．解析：支出在[50,60)元的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3，因此＝0.3，故n ＝100.30n答案：1004．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．解析：甲＝乙＝9，s ＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，x x 2甲1525s ＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s ，故甲更稳定，故填甲．2乙15652甲答案：甲5．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为________．解析：由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为×200＝60.620620答案：606．若样本a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差是3，则样本2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3,2a 4＋3,2a 5＋3的方差是________．解析：若表示样本a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的均值，则样本2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3,2a 4＋3,2a 5＋3a 的均值为2＋3.又 (a i －)2＝3，∴[(2a i ＋3)－(2＋3)]2＝ (2a i －2)2＝12.a ∑5 i ＝1a ∑5 i ＝1a ∑5 i ＝1a 答案：127．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为________万只.月份养鸡场(个数)920105011100解析：由题意得：×(20×1＋50×2＋100×1.5)＝90(万只/月)．13答案：908．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为________．解析：据题意设第3小组的频率为a ，则由前3小组频率成等比数列得前三小组的频率分别为0.16，，a ，后四组是以a 为首项，以0.07为最后一项的等差数列．故此6组频率之0.16a 和为0.16＋＋.由于整个频率之和为1，故0.16＋＋＝1⇒a ＝0.16a 4(a ＋0.07)20.16a 4(a ＋0.07)2.由其相应的频数为100可得高三年级的男生总数为＝400(人)．1410014答案：4009．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由题意可得：x ＋y ＝20，①(x －10)2＋(y －10)2＝8，②即x ＋y ＝20，x 2＋y 2＝208，③将①式平方得x 2＋y 2＋2xy ＝400，将③式代入得2xy ＝192，故|x －y |＝＝x 2＋y 2－2xy ＝4.故填4.208－192答案：4二、解答题10．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)解析：(1)各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.∵第二小组的频率为0.40，∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝＝＝0.04.由此可补全直方图，补全的频率组距0.4010直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x .∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴＝0.40，解得x ＝100.40x ∴九年级两个班参赛的学生人数为100.(3)九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．11．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩记录如下：甲8282799587乙9575809085(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．解析：(1)作出茎叶图如下：(2)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到的成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件：(82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85)(82,95) (82,75) (82,80) (82,90) (82,85)(79,95) (79,75) (79,80) (79,90) (79,85)(95,95) (95,75) (95,80) (95,90) (95,85)(87,95) (87,75) (87,80) (87,90) (87,85)基本事件总数n ＝25.记“甲的成绩比乙高”为事件A ，事件A 包含的基本事件：(82,75) (82,80) (82,75) (82,80) (79,75)(95,75) (95,80) (95,90) (95,85) (87,75)(87,80) (87,85)事件A 包含的基本事件数是m ＝12.∴P (A )＝＝.mn 1225(3)派甲参赛比较合适．理由如下：甲＝85，乙＝85，s ＝31.6，s ＝50.x x 2甲2乙∴甲＝乙，s <s ，x x 2甲2乙∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．12．如图所示是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500)．(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．解析：(1)∵月收入在[1 000, 1 500)的频率为0．000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝＝10 000；4 0000.4月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15；月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴月收入在[2 500,3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0．2×10 000＝2 000.(2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为0．2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×＝20(人)．2 00010 000(3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为0．4＋0.2＝0.6>0.5，∴样本数据的中位数为1 500＋＝1 500＋250＝1 750(元)．0.5－0.40.000 4。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章 第七节 分类计数原理与分步
一、填空题1．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________．解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：362．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．34解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.12a34bc d9答案：63.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.答案：844．直线方程Ax ＋By ＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A 、B 的值，则可表示________条不同的直线．解析：分成三类：A ＝0，B ≠0；A ≠0，B ＝0和A ≠0，B ≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A 有5种取法，再取B 有4种取法，故有5×4＝20(种)．所以可以表示22条不同的直线．答案：225.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A 、B 、C 、D ，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析：解法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．解法二 恰有i 个焊点脱落的可能情况为C (i ＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，i 4当电路不通时焊点脱落的可能情况共C ＋C ＋C ＋C ＝15(种)．1424344答案：156．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．答案：45 547．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．解析：由于lg a －lg b ＝lg (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A ＝20a b a b 25种，又与相同，与相同，∴lga －lgb 的不同值的个数有13393193A －2＝20－2＝18.25答案：188．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.答案：7 2009．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．答案：6二、解答题10．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C 2412·C＝12(种)方法；242第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C1413·C＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31 (个)．11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析：分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②若位置一与三相同，则信息为0011；③若位置一与四相同，则信息为0000；④若位置二与三相同，则信息为1111；⑤若位置二与四相同，则信息为1100；⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十章 第三节 合情推理与演绎推理
一、填空题1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“＝”类比得到“＝”．acbc ab a ·cb ·c ab 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：只有①②正确，其余错误．答案：22．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a ＋a ＝1，那么a 1＋a 2≤.2122证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤.2根据上述证明方法，若n 个正实数满足a ＋a ＋…＋a ＝1时，你能得到的结2122n 论为________．(不必证明)解析：设g (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，∵g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∴a 1＋a 2＋…＋a n .n 答案：a 1＋a 2＋…＋a n n3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ，则a 6＝________；＋＋＋…＋＝________.1a 31a 41a 51a 99解析：a n ＝n (n ＋1)，∴a 6＝6×7＝42.＋＋…＋＝＋＋…＋1a 31a 41a 9913×414×5199×100＝－＋－＋…＋－＝－＝.13141415199110013110097300答案：42 973004．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“________________________________________________________________________________________________________________________________________________.”答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b ＝b s －1t t －1s 5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为(n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如1n ＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为1112121213161314112________．解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由1n 17“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝1617，同理易知，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝14213014211051601105.1140答案：11406．观察下列等式：32＋42＝52，102＋112＋122＝132＋142，212＋222＋232＋242＝252＋262＋272，362＋372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442，……由此得到第n (n ∈N *)个等式为________．解析：由归纳推理直接写出即可．答案：(2n 2＋n )2＋(2n 2＋n ＋1)2＋…＋(2n 2＋n ＋n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2＋(2n 2＋2n ＋2)2＋…＋(2n 2＋2n ＋n )27．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋)＋s in(α＋)＝0.由此可以推知：四2π34π3点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如π23π2图．答案：sin α＋sin(α＋)＋sin(α＋π)＋sin(α＋)＝0π23π28．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四AGGD 面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则＝________.AOOM 解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为h ，外接球半径为h ，所以＝3.1434AOOM 答案：39.正方形ABCD 的边长是a ，依次连结正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a ＝(a )2＝a 2，第二段211214长度的平方为a ＝(a )2＝a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可22418以构成以a ＝a 2为首项，为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝211412＝a 2.14a 2[1－(12)10]1－121 0232 048答案：a 21 0232 048二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝；32sin 260°＋sin 2120°＋sin 2180°＝；32sin 245°＋sin 2105°＋sin 2165°＝；32sin 215°＋sin 275°＋sin 2135°＝.32解析：猜想：sin 2(α－)＋sin 2α＋sin 2(α＋)＝.π3π332证明：∵左＝(sin αcos －cos αsin )2＋sin 2α＋(sin αcos ＋cos αsin )2π3π3π3π3＝(sin 2α＋cos 2α)＝＝右，∴待证式成立．323211．圆x 2＋y 2＝R 2(R >0)上任一点P (不在x 轴上)，与圆上两点A (－R,0)，B (R,0)的连线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 有下面的等式成立：k PA k PB ＝－1，类比这个命题，写出椭圆＋＝1(a >b >0)中对应的命题，并加以证明．x 2a 2y 2b 2解析：命题：对椭圆＋＝1(a >b >0)上任一点P (不在x 轴上)，与椭圆上两点x 2a 2y 2b 2A (－a,0)，B (a,0)的连线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 有下面的等式成立：k PA k PB ＝－.b 2a 2证明：设P (x ，y )，则有＋＝1，k PA ＝，k PB ＝，∴k PA k PB ＝＝(1－)＝－.x 2a 2y 2b 2yx ＋a yx －a y 2x 2－a 2b 2x 2－a 2x 2a 2b 2a 212．小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f (n )个“福娃迎迎”．(1)试写出f (5)、f (6)的值；(2)归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并求出f (n )的表达式；(3)求证：＋＋＋…＋<.1f (1)1f (2)1f (3)1f (n )32解析：(1)f (5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41，f (6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61.(2)因为f (2)－f (1)＝3＋1＝4，f (3)－f (2)＝5＋3＝8，f (4)－f (3)＝7＋5＝12，…，归纳得f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，则f (n ＋1)－f (n )＝4n .f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝2n 2－2n ＋1.(3)证明：当k ≥2时，＝<＝(－)．则＋＋1f (k )12k 2－2k ＋112k 2－2k 121k －11k 1f (1)1f (2)＋…＋<1＋·[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(1－)<1＋＝.1f (3)1f (n )121212131n －11n 121n 1232。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十一章 统计11.2课时作业
1．(2015·江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 答案 6解析 这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.2．下面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为________．答案 5,8解析 由题意根据甲组数据的中位数为15，可得x ＝5； 乙组数据的平均数为16.8，则9＋15＋18＋24＋10＋y 5＝16.8，求得y ＝8.3．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________.答案 0.4解析 10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为________．答案22.5解析产品的中位数出现在频率是0.5的地方．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5.5．某学校从高三年级800名男生中随机抽取50名测量身高．被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为________．答案144解析由题图得，身高在180 cm以上(含180 cm)的频率为1－5×(0.008＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.18，则相应人数为800×0.18＝144.6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．答案16解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.7．(2017·苏州暑期测试)已知等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，则d 的值为________． 答案 ±2解析 因为{a n }为等差数列，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数为a 3，所以方差为15[(－2d )2＋(－d )2＋0＋d 2＋(2d )2]＝2d 2＝8，解得d ＝±2.8．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案 24解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.9．某电子商务公司对10 000名网络购物者2016年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示：(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 答案 (1)3 (2)6 000解析 由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.10．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________．答案 2解析 170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2.11．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则(1)图中的x ＝________；(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿． 答案 (1)0.012 5 (2)72解析 (1)由频率分布直方图，知20x ＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x ＝0.012 5.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72(人)可以申请住宿．12．(2017·南京模拟)如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．答案 6.8解析 因为x 甲＝9＋7＋7＋14＋185＝11，x 乙＝8＋9＋10＋13＋155＝11，所以s 2甲＝16＋16＋4＋9＋495＝945＞s 2乙＝9＋4＋1＋4＋165＝345＝6.8，故得分稳定的运动员的方差为6.8.13．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则n ，m的大小关系为________． 答案 n <m解析 由题意，得z ＝n x ＋m y n ＋m＝n n ＋m x ＋m n ＋my ， 则有α＝n m ＋n ，又0<α<12，则0<n m ＋n <12，得n <m .14．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．A 地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在图②中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解(1)作出频率分布直方图如图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学有300名员工参加环保知识测试，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．现在要从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取16人，则在第4组中抽取的人数为________．答案 6解析根据频率分布直方图得，第1,3,4组的频率之比为1∶4∶3，所以用分层抽样的方法抽取16人时，在第4组中应抽取的人数为16×31＋4＋3＝6.16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表：(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)样本数据的分布直方图如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十一章 第四节 随机事
一、填空题 1．给出关于满足AB 的非空集合A 、B 的四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素， 而B 中至少有一个元素不在A 中． 因此①正确，②错误，③正确，④正确． 答案：①③④2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝46＝23. 答案：233．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.744．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．解析：P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03. 答案：0.97 0.035．三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE 1E 2E 2E 1，E 1BE 2E 2B ，E 2BE 1E 1B ，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13. 答案：136．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为________． (2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为________． 解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1， A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25. 答案：35 257．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．解析：1－0.03－0.01＝0.96. 答案：0.968．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包括9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. 答案：349．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735. 答案：1735 二、解答题10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得 0．1＋0.16＋x ＝0.56， ∴x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得 0．96＋z ＝1，∴z ＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得 y ＋0.2＋z ＝0.44， ∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.11．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不只参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解析：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35. (2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率P (B )＝1－220＝910.12．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从所有试卷中随机抽取1 000份，其中该题的得分组成容量为1 000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况 得分 0 3 人数198802第二空得分情况 得分 0 2 人数698302 (1) (2)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，对于该填空题，以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学第一空得分不低于第二空得分的概率． 解析：(1)设样本试卷中该题的平均得分为x ，则由表中数据可得： x ＝0×198＋3×802＋0×698＋2×3021 000＝3.01，据此可估计整个地区中该题的平均得分为3.01分．(2)依题意，第一空答对的概率为8021 000≈0.8，第二空答对的概率为3021 000≈0.3，记“第一空答对”为事件A，“第二空答对”为事件B，则“第一空答错”为事件A，“第二空答错”为事件B.若要使第一空得分不低于第二空得分，则A发生或A与B同时发生，故有：P(A)＋P(A·B)＝0.8＋(1－0.8)×(1－0.3)＝0.94.故该同学第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.。
2019届高考数学一轮复习 第十一章 课时跟踪训练58 变量间的相关关系、统计案例 文
学习资料专题课时跟踪训练(五十八) 变量间的相关关系、统计案例[基础巩固]一、选择题1．如图是一容量为100的样本质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为( )A．10 B．20C．30 D．40[解析]由题意得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20，故选B.[答案] B2．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23[解析] 由茎叶图知，该组数据的中位数为20＋202＝20，故选B.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个[解析] 由图可知平均最高气温高于20℃的月份为六月、七月和八月，有3个，所以选项D 不正确．故选D.[答案] D4．(2015·安徽卷)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32[解析] 令y i ＝2x i －1(i ＝1,2,3，…，10)，则σ(y )＝2σ(x )＝16. [答案] C5．(2017·温州八校联考)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为( )A ．12.5B ．13C ．13.5D ．14[解析] 中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3∶2即可，∴中位数是13.[答案] B6．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677[解析] 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.[答案] B 二、填空题7．根据某市环境保护局公布2010～2015这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年每年的空气质量优良天数的中位数是________．[解析] 由折线图可知空气质量优良天数从小到大排列为290,300,310,320,320,340，故其中位数为310＋3202＝315.[答案] 3158．2017年端午节期间，为确保交通安全，某市交警大队调取市区某路口监控设备记录的18：00～20：00该路口220辆汽车通过的速度，其频率分布直方图如图所示，其中a ，c 的等差中项为b ，且a ，b 的等差中项为0.010.已知该路口限速90 km/h ，则这些车辆中超速行驶的约有__________辆．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＝2×0.010，a ＋2b ＋c ＝0.1－＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.015，c ＝0.025.所以汽车行驶速度超过90 km/h 的频率为10a ＝0.05，故汽车行驶速度超过90 km/h 的大约有220×0.05＝11(辆)．[答案] 119．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7，a ，b,17,20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a ＝________.[解析] 总体的中位数为a ＋b2＝12，即a ＋b ＝24，数据是从小到大排列的，7≤a ≤b ≤17，又总体的标准差最小，∴a ＝b ＝12.[答案] 12 三、解答题10．(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解] (1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得x ＝0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别为15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．[能力提升]11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[解析] 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错误；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． [答案] C12．某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1、x 2，则下列结论正确的是( )A.x 1>x 2，选甲参加更合适 B ．x 1>x 2，选乙参加更合适 C ．x 1＝x 2，选甲参加更合适 D ．x 1＝x 2，选乙参加更合适[解析] 根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x 1≈31.67，x 2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适，故选A.[答案] A13．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解](1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15，所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．14．2017年8月22日金乡县首届“诚信文艺奖”评选暨2017“百姓大舞台”第一季大型才艺大赛决赛在红星美凯龙举行．在比赛现场，12名专业人士和12名观众代表分别组成评判小组A，B，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：(1)求A 组数据的众数和极差，B 组数据的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．[解] (1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47，极差为55－42＝13；B 组数据的中位数为55＋582＝56.5. (2)小组A 更像是由专业人士组成的．理由如下： 小组A ，B 数据的平均数分别为x A ＝112×(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝56412＝47， x B ＝112×(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝67212＝56， 所以小组A ，B 数据的方差分别为s 2A ＝112×[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝112×(25＋25＋9＋4＋1＋4＋9＋9＋64)＝12.5，s 2B ＝112×[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112×(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s 2A <s 2B ，所以小组A 的成员的相似程度高．由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该更高，因此小组A 更像是由专业人士组成的．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章 第八节 排列与组合
一、填空题1．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：由间接法得C36－C22·C14＝20－4＝16.答案：162．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C24，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，所以种数是C24A33－A33＝30.答案：303．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为________．解析：由条件可分为两类；一类是甲乙两人只去一个的选法种数为C12·C27＝42，另一类是甲乙都去的选法种数为C22·C17＝7，所以共有42＋7＝49种．答案：494．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有________．解析：5人中选4人则有C45种，周五一人有C14种，周六两人则有C23，周日则有C11种，故共有C45×C14×C23×C11＝60种．答案：60种5．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有________．解析：直接法：一男两女，有C15C24＝5×6＝30种，两男一女，有C25C14＝10×4＝40种，共计70种．间接法：任意选取C39＝84种，其中都是男医生有C35＝10种，都是女医生有C14＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．答案：70种6．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：选出两人看成整体，再排列，共有C24A33＝36.答案：367．(2015年无锡调研)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和程序C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有________种．解析：当A出现在第一步时，再排A、B、C以外的三个程序，有A33种，A与A、B、C以外的三个程序生成4个可以排列B、C的空档，此时有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．答案：968．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．解析：由于教师A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A上，则第四节课必由教师C上，此时有A24＝12种，如果第一节由教师B上，则第四节应由教师A、C中一人上，此时有A12A24＝24，故共有36种不同的排法．答案：369．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．解析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24(种)排法；第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18(种)排法，所以共有编排方案24＋18＝42(种)．答案：42二、解答题10．(1)从0、1、2、3、4、5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为多少？(2)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是多少？解析：(1)分两类：选0，有C12C23C13A33＝108种；不选0，有C23A44＝72(种)．∴共有108＋72＝180(种)．(2)先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有A22·C23·A33·A24种排法，再从中排除甲站两端，则不同排法种数为：A22·C23(A33A24－2A22·A23)＝6×(6×12－24)＝288. 11．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24种．(2)∵总的排法数为A55＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为12A55＝60(种)．(3)解法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84种方法．解法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．∴名额分配的方法共有84种．12．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内有2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．∴所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．。
2019届一轮复习苏教版(文) 第11章 第3节 变量间的相关关系 课件 (1)
主干知识 自主排查
C
目 录
ONTENTS
核心考点 互动探究 真题演练 高考预测 课时作业 知能提升
主干知识 自主排查
一、变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性函数关系，另 一类是 相关关系 ；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性 关系． 二、回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分 析．
解析：以 x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应的散点图 如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
【例 2】
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过
程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对 照数据. x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；
解析：由线性回归方程^ y ＝0.84x＋1.32 可知，当变量 x 增加一 个单位时 y 平均增加 0.84 个单位．
核心考点 互动探究
规律方法
判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是 绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相 关关系，是不是线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关 系强还是弱.
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般 规律吗？ (2)求回归方程； (3)预测当钢水含碳量为 160 时，应冶炼多少分钟？
2 2 解析：i∑ x y ＝ 392 ， x ＝ 10 ， y ＝ 8 ， ∑ x － 5 x ＝2.5，代入公 ＝1 i i i＝ 1 i
5
5
式，得^ b ＝－3.2，所以，^ a ＝ y －^ b x ＝40，故回归直线方程为^ y ＝－3.2x＋40. 答案：^ y ＝－3.2x＋40
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十一章 第三节 变量间的相关关系 Word版含解析
一、填空题1．下列关系中，是相关关系的为________．(填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 解析：由相关关系的概念知①②是相关关系． 答案：①②2．下面是一个2×2列联表则表中a 、b 解析：∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又∵a ＋2＝b ，∴b ＝54. 答案：52、543．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是________．①身高一定是145.83 cm ②身高在145.83 cm 以上 ③身高在145.83 cm 左右 ④身高在145.83 cm 以下解析：用回归模型y ^＝7.19x ＋73.93，只能作预测，其结果不一定是个确定值． 答案：③4．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程为________． 解析：设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x 2x 21＋x 22＋x 23－3x 2＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49＝1.75，a ^＝y －b ^x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^＝1.75x ＋5.75. 答案：y ^＝1.75x ＋5.755．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________度．解析：x ＝10，y ＝40，把(10,40)代入方程y ^＝－2x ＋a ^，得a ^＝60，当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：686．关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料．若由资料知y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为y ^＝65x ＋________.解析：线性回归直线方程y ＝65x ＋a 通过样本中心点(x ，y )，即(4,5)，所以5＝65×4＋a ^，解得a ^＝15. 答案：157．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为________．解析：回归直线必过点(4,5)，∴y －5＝1.23(x －4)， ∴y ＝1.23x ＋0.08. 答案：y ＝1.23x ＋0.088．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过点________． 解析：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )． 答案：(1.5,4)9．已知回归直线方程为y ^＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 增长速度之比约为________．解析：x 与y 增长速度之比为14.4＝522. 答案：522二、解答题10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？注：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . 解析：(1)散点图如图：(2)由表中数据得：∑4i ＝1x i y i＝52.5， x ＝3.5， y ＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝54， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝0.7， ∴a ^＝y －b ^x ＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．解析：(1)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴s 2数学＝9947＝142，s 2物理＝2507，从而s 2数学>s 2物理，所以物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系， ∴b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，∴线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50.当y ^＝115时，x ＝130.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．12．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x 1，x 2，…，xn 的样本方差s 2＝1n [ (x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(xn－x －)2]，其中x －为样本平均数．解析：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲＝18(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，s 2甲＝18[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x乙＝18(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，s2乙＝18[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章 第九节 二
一、填空题1．(－)6的展开式中，x 3的系数等于________．xy yx 解析：设含x 3项为第(k ＋1)项，则T k ＋1＝C ·()6－k ·()k ＝C ·x 6－k ··(－y )k ·k 6xy －yx k 6＝C ···(－y )k ，k 6∴6－k －＝3，即k ＝2，k2∴T 3＝C ·x 3··y 2＝C ·x 3，其系数为C ＝＝15.261y 226266×52答案：15(只写C 或C 也可)26462．已知n 为正偶数，且(x 2－)n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第412x 项的系数是________．(用数字作答)解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C (－)3＝－.361252答案：－523．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字作答)解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32，令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31.答案：314．(1＋x ＋x 2)(x －)6的展开式中的常数项为________．1x 解析：(1＋x ＋x 2)(x －)6＝(1＋x ＋x 2)·(C 06x 6(－)0＋C x 5(－)1＋C 26x 4(－)2＋C 1x 1x 161x 1xx 3·(－)3＋C 46x 2(－)4＋C 56x (－)5＋C x 0(－)6)361x 1x 1x 61x ＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋－＋)．15x 26x 41x 6所以常数项为1×(－20)＋x 2·＝－5.15x 2答案：－55．在(1＋x )3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________．(用数字x 3x 作答)解析：由条件易知(1＋x )3，(1＋)3，(1＋)3展开式中x 项的系数分别是x 3x C ，C ，C ，即所求系数是3＋3＋1＝713233答案：76．若(1＋)5＝a ＋b (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.22解析：(1＋)5＝C 05()0＋C ()1＋C ()2＋C ()3＋C ()4＋C ()52215225235245252＝1＋＋20＋20＋20＋4＝41＋29，2222由已知，得41＋29＝a ＋b ，22∴a ＋b ＝41＋29＝70.答案：707．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________．解析：－C ＋(－C )＝－2C ＝－240.310710310答案：－2408．(x －y )4的展开式中x 3y 3的系数为________．y x 解析：(x －y )4＝x 2y 2(－)4，只需求(－)4的展开式中含xy 项的系数：y x x y x y C ＝6.24答案：69．若(1－2x )2 009＝a0＋a 1x ＋…＋a 2 009x2 009(x ∈R)，则＋＋…＋的值a 12a 222a 2 00922 009为________．解析：a r ＝(－1)r C ·12 009－r ·2r ，则a 1，a 2，…，a r 都能表示出来，则2 009－r 2 009＋＋…＋＝(－1)r C ＝(1－2)2 009＝－1.a 12a 222a 2 00922 009 2 009－r 2 009答案：－1二、解答题10．设(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5；(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2.解析：设f (x )＝(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(－3)5＝－243.(1)∵a 5＝25＝32，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝f (1)－32＝－31.(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－f (－1)＝243.(3)∵f (1)－f (－1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，∴a 1＋a 3＋a 5＝＝122.2442(4)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3＋a 5)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5)＝f (1)×f (－1)＝－243.11．已知(a 2＋1)n 的展开式中各项系数之和等于(x 2＋)5的展开式的常数项，1651x 而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解析：由(x 2＋)5得，T k ＋1＝C (x 2)5－k ()k ＝1651x k 51651x 令T k ＋1为常数项，则20－5k ＝0，∴k ＝4，∴常数项T 5＝C ×＝16.45165又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C a 4＝54，∴a ＝±.24312．已知(－)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．x 124x (1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，C ()，C ()2，且2C ·＝1＋C ()1n 122n 121n 122n 122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴展开式的第k ＋1项为C ()8－k (－)kk 8x 124x (1)证明：若第k ＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3k ＝16，16－3k4∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当为整数，16－3k4∵0≤k ≤8，k ∈Z ，∴k ＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T 1＝x 4，T 5＝x ，T 9＝x －2.3581256。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十章第三节合情推理与演绎推理含解析
一、填空题1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析：只有①②正确，其余错误．答案：22．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)解析：设g(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，∵g(x)≥0对x∈R恒成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，∴a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n3．如图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展”而来，第(2)个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a n，则a6＝________；1a3＋1a4＋1a5＋…＋1a99＝________.解析：a n ＝n (n ＋1)，∴a 6＝6×7＝42. 1a 3＋1a 4＋…＋1a 99＝13×4＋14×5＋…＋199×100 ＝13－14＋14－15＋…＋199－1100＝13－1100＝97300. 答案：42 973004．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.” 答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s 5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为________．解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142，同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140 6．观察下列等式： 32＋42＝52，102＋112＋122＝132＋142，212＋222＋232＋242＝252＋262＋272，362＋372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442， ……由此得到第n (n ∈N *)个等式为________． 解析：由归纳推理直接写出即可．答案：(2n 2＋n )2＋(2n 2＋n ＋1)2＋…＋(2n 2＋n ＋n )2＝(2n 2＋2n ＋1)2＋(2n 2＋2n ＋2)2＋…＋(2n 2＋2n ＋n )27．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(α＋2π3)＋s in(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________．解析：类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图． 答案：sin α＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝08．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM ＝________.解析：由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AOOM ＝3. 答案：39.正方形ABCD 的边长是a ，依次连结正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．解析：由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a21＝(12a)2＝14a2，第二段长度的平方为a22＝(24a)2＝18a2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a21＝14a2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S10＝14a2[1－(12)10]1－12＝1 0232 048a2.答案：1 0232 048a2二、解答题10．通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3 2；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝3 2；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝3 2；sin215°＋sin275°＋sin2135°＝3 2.解析：猜想：sin2(α－π3)＋sin2α＋sin2(α＋π3)＝32.证明：∵左＝(sin αcos π3－cos αsinπ3)2＋sin2α＋(sin αcosπ3＋cos αsinπ3)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右，∴待证式成立．11．圆x2＋y2＝R2(R>0)上任一点P(不在x轴上)，与圆上两点A (－R,0)，B(R,0)的连线P A，PB的斜率k P A，k PB有下面的等式成立：k P A k PB＝－1，类比这个命题，写出椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中对应的命题，并加以证明．解析：命题：对椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任一点P(不在x轴上)，与椭圆上两点A(－a,0)，B(a,0)的连线P A，PB的斜率k P A，k PB有下面的等式成立：k P A k PB＝－b2a2.证明：设P(x，y)，则有x2a2＋y2b2＝1，k P A＝yx＋a，k PB＝yx－a，∴k P A k PB＝y2x2－a2＝b2x2－a2(1－x2a2)＝－b2 a2.12．小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案，现按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”．(1)试写出f(5)、f(6)的值；(2)归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并求出f(n)的表达式；(3)求证：1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<32.解析：(1)f(5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41，f(6)＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝61.(2)因为f(2)－f(1)＝3＋1＝4，f(3)－f(2)＝5＋3＝8，f(4)－f(3)＝7＋5＝12，…，归纳得f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，则f(n＋1)－f(n)＝4n. f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝2n2－2n＋1.(3)证明：当k≥2时，1f(k)＝12k2－2k＋1<12k2－2k＝12(1k－1－1k)．则1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<1＋1 2·[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)]＝1＋12(1－1n)<1＋12＝32.。
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一、填空题
1．下列关系中，是相关关系的为________．(填序号) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． 解析：由相关关系的概念知①②是相关关系． 答案：①②
2．下面是一个2×2列联表
则表中a 、b 解析：∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又∵a ＋2＝b ，∴b ＝54. 答案：52、54
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^
＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是________．
①身高一定是145.83 cm ②身高在145.83 cm 以上 ③身高在145.83 cm 左右 ④身高在145.83 cm 以下
解析：用回归模型y ^
＝7.19x ＋73.93，只能作预测，其结果不一定是个确定值． 答案：③
4．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的回归方程为________． 解析：设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，则
b ^＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x 2
x 21＋x 22＋x 23
－3x 2
＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×189＋49＋121－3×49
＝1.75，
a ^＝y －
b ^
x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^
＝1.75x ＋5.75. 答案：y ^
＝1.75x ＋5.75
5．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________度．
解析：x ＝10，y ＝40，把(10,40)代入方程y ^＝－2x ＋a ^，得a ^
＝60，当x ＝－4时，y ^
＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：68
6．关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料．若由资料知y 对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为y ^＝6
5x ＋________.
解析：线性回归直线方程y ＝65x ＋a 通过样本中心点(x ，y )，即(4,5)，所以5＝6
5×4＋a ^，解得a ^＝15. 答案：15
7．已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为________．
解析：回归直线必过点(4,5)，∴y －5＝1.23(x －4)， ∴y ＝1.23x ＋0.08. 答案：y ＝1.23x ＋0.08
8．已知x 与y 之间的一组数据：
则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过点________． 解析：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过(x ，y )． 答案：(1.5,4)
9．已知回归直线方程为y ^
＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 增长速度之比约为________．
解析：x 与y 增长速度之比为14.4＝5
22. 答案：5
22
二、解答题
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
注：b ^＝∑n
i ＝1
x i y i －n x y ∑n
i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x . 解析：(1)散点图如图：
(2)由表中数据得：∑4
i ＝1x i y i
＝52.5， x ＝3.5， y ＝3.5，∑4
i ＝1
x 2
i ＝54， ∴b ^＝∑4
i ＝1x i y i －4x y ∑4
i ＝1x 2i －4x 2＝0.7， ∴a ^＝y －b ^
x ＝1.05， ∴y ^
＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．
(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．
11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.
(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
解析：(1)x ＝100＋
－12－17＋17－8＋8＋12
7
＝100；
y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋6
7＝100；
∴s 2数学＝9947＝142，s 2
物理
＝2507，
从而s 2数学>s 2
物理，所以物理成绩更稳定．
(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系， ∴b ^＝497994＝0.5，a ^
＝100－0.5×100＝50，
∴线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50.当y ^
＝115时，x ＝130.
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．
12．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x 1，x 2，…，xn 的样本方差s 2＝1
n [ (x 1－x －
)2＋(x 2－x －
)2＋…＋(xn
－x －
)2]，其中x －
为样本平均数．
解析：品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲＝1
8(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，
s 2甲＝1
8[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25. 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x乙＝1
8(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s2乙＝1
8[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．。