3.1.2比较大小

合集下载

高中数学知识点精讲精析比较大小

3.1.2 比较大小1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

设、为任意两个实数，如果是整数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么，反过来也成立，即注：①上面的“”表示“等价于”，即可以互相推出；②上面的“”左边的式子反应了实数的运算性质，右边的式子反应的是数的大小，而这结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

③这一关系是不等式的理论基础，是比较两个实数大小的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。

2. 实数比较大小的方法。

(1)作差比较：“作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.(2) 作商比较：“作商法”的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商值与1的大小关系；④得出结论.用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与1的大小关系，常采用约分、分解等变形方法。

注：利用作商法比较两个实数的大小时，作为比较大小的两个数必须同号切不为零；关键是正确变形和判断商的值与1的大小。

在数（式）的结构中含有幂、根式或绝对值时，常采用作商法。

3. 不等式的性质及证明。

性质1：（对称性）；证：∵ ∴由正数的相反数是负数性质2：（传递性），证：∵， ∴，∵两个正数的和仍是正数 ∴即 ∴由对称性、性质2可以表示为：如果且那么性质3：（加法单调性），证：∵ ∴从而可得移项法则：推论①：（相加法则） a b b a -b a >b a -b a =b a -b a <⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0;0;0b a b a b a b a b a b a ⇔⇔2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0b a >⇔a b 0>-b a 0)(<--b a 0<-a b a b c b >⇒c a >b a >c b >0>-b a 0>-c b +-)(b a 0)(>-c b 0>-c a c a >b c <a b <a c R c ∈⇔c b c a +>+0)()(>-=+-+b a c b c a c b c a +>+b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(d b c a d c b a +>+⇒>>,证：推论②：（相减法则）如果且，那么证：∵ ∴ 或证：上式>0 ……… 性质4：（乘法单调性），；，证： ∵ ∴根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：时即：时即：推论①：（相乘法则）且证：推论②：（乘方法则）推论③：（相除法则）且，那么证：∵ ∴ 性质5：（开方法则）如果，那么证：（反证法）假设则：若这都与矛盾 ∴d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>b a >d c <d b c a ->-d c <d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->->)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a b a >0>c ⇒bc ac >b a >0<c ⇒bc ac <c b a bc ac )(-=-b a >0>-b a 0>c 0)(>-c b a bc ac >0<c 0)(<-c b a bc ac <0>>b a 0>>d c ⇒bd ac >bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,0>>b a ⇒n n b a >)1(>∈n N n 且0>>b a d c <<0d b c a >0>>c d ⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >0>>b a n n b a >)1(>∈n N n 且n n b a ≤ba b a b a b a n n n n =⇒=<⇒n n b a >例1：有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)＞；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件，（2）c <0时，a b 的充分必要条件，故答案选B 。

3.1 第2课时不等关系与比较大小

2 2
<
<
练习1、.已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的
大小关系正确的是(
A.t>s B.t≥s
)
C.t<s D.t≤s
【解析】选D.因为t-s=a+2b-a-b2-1=-(b1)2≤0，所以t≤s.
2.若x≠2且y≠-1，则M=x2+y2-4x+2y的值与-5
的大小关系是(
A.M>-5
【变式练习】比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x > x－2. 作差，变形，判断
例2：(1)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)，因为x>1，所以(x-1)(x2+1)>0，所以x3>x2-x+1.
2、
比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: 因为 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 7，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0，
所以 (a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
例2.（1）当x>1时，比较x3与x2-x+1的大小.
例2：解(1)x3-(x2-x+1) =x3-x2+x-1 =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1)，因为x>1，所以(x-1)(x2+1)>0，所以x3>x2-x+1.

原创1：3.1.2 指数函数（二）（导学式）

利用换元法求值域.
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
[解析](1)令t= − = − −
又y=

为减函数，∴y= ≥，

∴值域为[ ，+∞).

+ ,则t≤1，
典例精讲：题型三：指数函数值域问题
(2)定义域为R. 令t＝2x,则t>0，
y=4x－2x+1+1=t2－2t+1=(t－1)2.
是R上的增函数
是R上的减函数
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
(2) 0.6－1.2和0.6－1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;
(4)0.60.4和0.70.4.
[解析] (1)考察函数y=1.5x,
由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,
因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察函数y=0.6x, ∵0<0.6<1,∴函数y=0.6x在R上是减函数,
∵−1.2>−1.5,∴0ຫໍສະໝຸດ 6－1.2<0.6－1.5.
典例精讲：题型一：利用指数函数图象与性质比较大小
【例1】比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2;
长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？
[思路分析]
可以从经过1年后、2年后、3年后等具体的人口数入手，归纳经过x年
后的人口数的函数关系式，再把经过20年后的人口数表示出来，进行
具体计算.
典例精讲：题型四：指数函数在实际问题中的应用

不等关系与不等式(二)

若要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差，即做差比较法.
不等式的基本性质
1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不改变. 2.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变.
3.不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
性质1 如果 a b; 那么果 b a ,那么 a b.即
b a;如
（自反性）
a b b a.
证明：
a b, a b 0;
( a b) 0
于是
即
ba 0 b a.
（传递性）
性质2 如果a b, b c, 那么a c.
即
a b, b c a c.
a b, a b 0 b c, b c 0
说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.
性质7
（正数不等式可乘方）
n n
如果a b 0, 那么a b , (n N , n 2).
证明：由于a>b>0, 根据性质6，自乘得；
aa>bb
显然 a2>b2>0, 继续用性质6，可得 a3>b3.
1 证明： a b 0, ab 0, 0. ab
于是即Leabharlann a1 1 b , ab ab 1 1 . b a
由c 0, 得
c c . a b
课本第74页练习第3题.
1、由实数性质到不等式性质的探究，理解不等式性质并能灵活运用。 2、作差比较法的步骤是：（1）作差；
（2）变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；（3）判断符号；

六年级上册数学课件3.1.2比较简单分数大小｜冀教版

其他组员的要认真倾听，及时进行评价、补充、质疑，组内达成统一意见。
其他组员的要认真倾听，及时进行评价、补充、质疑，组内达成统一意见。分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。
4 > 6 ⑵要求小组内的每一个同学针对其中的一方面内容进行交流。
分子相同的两个分数，分母大的分数反而小。
⑷组内分工，为班级展示提升做准备。
和和
和
和
和和
你们怎么分的？
课前研究合作要求课上研究挑战自我小结收获与拓展结束
返回
课前研究合作要求课上研究挑战自我小结收获与拓展结束
返回
拓展练习
1 2
一定比
1 3
大吗？
课前研究合作要求课上研究挑战自我小结收获与拓展结束
返回
课前研究合作要求课上研究挑战自我小结收获与拓展结束
⑷组内分工，为班级展示提升做准备。分⑵母要越求大小的组分内数的就每越一小个。同学针对其中的一方面内容进行交流。
课前研究合作要求课上研究挑战
3 4
和
1 4
比，哪个大？
3
1
4
4
3 4
＞
1 4
课前研究合作要求课上研究挑战自我小结收获与拓展结束
真倾听，及时进行评价、补充、质疑， ⑵请要同求学小们组比内较的下每面一各个组同分学数针的对大其小中，的一方面内容进行交流。
分母子相同的两个分数，分子母大的分数比反较而大小。其⑵他要组求员小的组要内认的真每倾一听个，同及学时针进对行其评中价的、一补方充面、内质容疑进，行组交内流达。成统一意见。
组内达成统一意见。 ⑵⑷要组求内小分组工内，的为每班一级个展同示学提针升对做其准中备的。一方面内容进行交流。

高中数学 3.1.2比较大小教案(1) 北师大版必修5

§1.2比较大小教案说明
江西省吉安一中罗飞兰
教材分析
教材地位与作用
不等式主要研究数的不等关系，它与数、式、方程、函数、三角等内容都有密切联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛应用，可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识，是掌握现代科学技术的必备知识。
作
业
布
置
1、已知，试比较P，Q的大小。
2、已知，试比较与的大小。
3、对于同样的距离，船在静水中来回行驶一次所花的时间与在流水中来回行驶一次所花的时间是否相等？请说明理由。（船在静水中的速度与在流水中的速度一致）
通过作业，使学生很好的消化所学到的知识。
学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
教学
过程
活动内容
设计意图
创设
情景
通过课本中这一章的章头引言安排的例子，应用图片与动画直观形象地引入到本节课学习的知识。
2、通过实际生活中的例子，让学生更深层次地理解“ 为正实数，且，则有 ”这个结论。
3、通过课外小知识让学生扩展知识面。
例
题
讲
解
【例1】试比较与的大小。
【练习1】已知，试比较与的大小。
【练习2】设，，则a与b的大小关系为
A、 B、 C、 D、与x有关
【归纳小结】“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目

数字之间的大小比较

数字之间的大小比较数字在生活中无处不在，我们经常需要对数字进行比较，以便做出正确的判断和决策。

本文将探讨数字之间的大小比较方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用数字比较的原理。

一、整数比较整数是最基本的数字类型，比较整数的大小可通过以下几种方式实现：1. 使用大于号（>）和小于号（<）进行比较。

当一个整数大于另一个整数时，我们称前者“比后者大”，反之则“比后者小”。

例如，3 > 2，表示数字3比数字2大。

2. 使用大于等于号（≥）和小于等于号（≤）进行比较。

当一个整数大于等于另一个整数时，我们称前者“大于或等于后者”，反之则“小于或等于后者”。

例如，4 ≥ 4，表示数字4大于或等于数字4。

3. 使用等于号（=）进行比较。

当两个整数相等时，我们称它们“相等”。

例如，5 = 5，表示数字5等于数字5。

二、小数比较小数是包含小数点的数字，比较小数的大小可采用以下方法：1. 使用大于号和小于号进行比较。

和整数比较方法相同。

2. 使用小数的整数部分和小数部分进行比较。

首先比较整数部分的大小，若相同则比较小数部分的大小。

例如，2.3 > 2.2，表示数字2.3比数字2.2大。

3. 使用小数转化为分数的方式进行比较。

将小数转化为分数形式后，再进行比较。

例如，0.5 = 1/2，表示小数0.5等于分数1/2。

三、百分数比较百分数常用于描述百分比和比例关系，比较百分数的大小需注意以下几点：1. 将百分数转化为小数进行比较。

百分数可以转化为小数形式，再进行大小比较。

例如，30% = 0.3，表示百分之三十等于小数0.3。

2. 比较百分数所代表的数值大小。

百分数表示的是一个值与整体的比例关系，较大的百分数代表的值较大。

例如，50% > 20%，表示百分之五十大于百分之二十。

四、分数比较分数由分子和分母构成，比较分数的大小可采用以下方法：1. 求通分后，比较分子的大小。

通分是指将分数的分母统一为相同的值，再比较分子的大小。

数学(人教A版)必修5课件：3.1.2_比较大小

易错分析：为了判断差式的符号，要对 a 的符号进行分类讨论，分类时容易重复或遗漏.
2 a －1 a－1a＋1 1 解：a－a＝ a ＝ . a
a－1a＋1 1 ∵a＞0，∴当 a＞1，＞0，有 a＞a； a a－1a＋1 1 当 a＝1 时，＝0，有 a＝a； a a－1a＋1 1 当 0＜a＜1 时，＜0，有 a＜a. a 1 1 综上所述，当 a＞1 时，a＞a；当 a＝1 时，a＝a； 1 当 0＜a＜1 时，a＜a.
综上所述，aabb>abba.
作商法比较两个正数 a 与 b 大小的依据.
a ①b>1⇔a>b； a ②b＝1⇔a＝b； a ③b<1⇔a<b.
【变式与拓展】 am>3m 3.已知a>3，当m>2时，am与3m的大小关系是________.
1 【例 4】已知 a＞0，试比较 a 与a的大小.
[方法· 规律· 小结] 1.运用作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时要根据式子的结构特征，选用合适的变形方法，常用的方法有配方法、因式分解法、通分、有理化等. 2.运用作商比较法比较大小时，要注意结合不等式的性质
进行综合运用，如“变式与拓展 3”.
练习 1：若 P＝x2ห้องสมุดไป่ตู้＋2 ，Q ＝2x ，则 P 与 Q 的大小关系是
P>Q __________.
2.作差比较法的基本步骤变形；(3)________ 定正负；(4)得结论. (1)作差；(2)________ > 练习 2：当 x>1 时，x2________ x.
【问题探究】
1.常见的非负数有哪几个？答案：常见的非负数有 a2，|a|， a. 2.在作差法作差变形中，有哪些常用方法？答案：作差变形中常用方法有配方、因式分解、通分、有理化等.

数字的顺序比较

数字的顺序比较数字在我们的生活和工作中起着重要的作用。

无论是做数学运算、记录数据还是衡量大小，数字的顺序比较是十分常见且必要的操作。

本文将探讨数字的顺序比较，并介绍几种常见的比较方法。

一、数字的顺序比较方法数字的顺序比较方法有多种，下面将介绍几种常见的方法：1. 升序比较：按照数字从小到大的顺序进行比较。

例如，比较数字1、2、3时，升序比较的结果是1 < 2 < 3。

2. 降序比较：按照数字从大到小的顺序进行比较。

例如，比较数字3、2、1时，降序比较的结果是3 > 2 > 1。

3. 绝对值比较：将数字的绝对值作为比较的依据。

绝对值比较忽略数字的正负号，只比较数字的大小。

例如，比较-2和3的绝对值时，绝对值比较的结果是|-2| < |3|。

4. 负数比较：对于负数，可以先比较其绝对值，再根据负号确定大小关系。

例如，比较-5和-3时，先比较它们的绝对值5和3，再根据负号确定大小关系，结果是-5 < -3。

5. 百分比比较：将数字转换为百分数后进行比较。

百分比比较可以用于比较两个数字的增长或减少程度。

例如，比较80和100的百分比时，结果是80% < 100%。

二、数字的顺序比较在实际应用中的意义数字的顺序比较在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些实际应用中常见的情况：1. 距离比较：在地理测量或导航系统中，我们经常需要比较两个地点之间的距离。

通过比较数字的大小，我们可以确定哪个地点距离目标更近或更远。

2. 时间比较：在日常生活中，我们需要比较不同时间点之间的先后顺序。

例如，我们可以通过比较数字的大小来确定某个事件是在另一个事件之前还是之后发生。

3. 数据排序：在数据处理和统计学中，我们需要对大量的数据进行排序。

通过数字的顺序比较，我们可以将数据按照一定的规则进行排序，以便更好地分析和使用这些数据。

4. 财务比较：在财务管理和投资领域，我们需要比较不同投资产品的收益率、风险等指标。

六年级上册数学课件3.1.2分数的大小比较｜冀教版2

2 越先小通;分分，母再越比小较,分下数面值各越组大分。和先的通两分个，分再数比，较分下子面大各的组分分数就大。
比只3、较要把下看这列分两分母个数,分分的母数大越与小大，,分比并数较说值出你的理由：
3 答同先：分通蛋子分白分，质数再的比含大较量小下高比面一较各些组: 。分
5 9
3和 4 45
越小;分母越小,分数值越大。
同的比分两较子个下分列数分的，数大分的小子大比大小较的，分并: 数说就出大你。的理由：的先分两通母个分相分，同数再的，比两分较个子下分大面数的各，分组数分子就大大的。分数就大。先比分通较子分下相，列同再分的比数两较的个下大分面小数各，组并分分说母出小你的的分理数由就：大。
所以
3 5
>
4 9
小芳看的页数多。
先比越通较小分下 ;分，列母再分越比数小较的,分下大数面小值各，越组并大分说。出你的理由：
先通分，再比较下面各组分分答 3、母：把相蛋这同白两的质个两的分个含数分量与数高，一比分些较子。大的分数就大。
的分先两母通个相分分同，数的再，两比分个较子分下大数面的，各分组数子分就大大的。分数就大。分越母小相 ;分同母的越两小个,分分数数值，越分大子。大的分数就大。
分的越子两小相个 ;分同分母的数越两，小个分,分分子数数大值，的越分大母数。小就的大分。数就大。
数的大小。的答两：个蛋分白数质，的分含子量大高的一分些数。就大。
只3分、要子把看相这分同两母的个,两分分个母数分越与数大，,分比分数较母值小的分数就大。同分先分子通子相分分同，数的再的两比大个较小分下比数面较，各分组: 母分小的分数就大。
分数的大小比较
复习

人教版数学必修四：3.1.2两角和与差的正弦(二)学案(学生版)

4．已知 sin(

3 4 ) ,sin( ) , 求 sin ,cos 和 tan 的值. 4 5 4 5
5．已知 sin cos = - ,cos +sin =
2 3
1 ,求sin( - )的值. 3
五、回顾反思
课堂心得：
sin( A B) tan A tan B cos A cos B
（2）
sin( ) sin( ) tan cos( ) cos( )
3．已知 sinα + sinβ = ，cosα– cosβ = ，求 cos(α + β)的值.
课题：§3.1.2 两角和与差的正弦（二）
总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式，通过逆用公式研究三角函数图象和性质. 【重点难点】学习重点：两角和与差的正（余）弦公式的应用. 学习难点：灵活应用公式进行化简、求值. 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题 1：写出下列各式的最大值及最小值：（1）y = cosx + sinx，ymax = ________，ymin = _________；（2）y = sinx – cosx，ymax = ________，ymin = _________；（3）y = sinx + cosx，ymax = ________，ymin = _________；（4）y = sin2x - cos2x，ymax = ________，ymin = _________. 问题 2：设 α、β 都是锐角，试比较大小：（1）sin(α+β)_____sinα+sinβ；（2）cos(α+β)_____cosα+cosβ 二、知识建构与应用：问题 2：已知 α 是第一象限角且 cos(α + 30° ) = ，求 sinα 的值.

§3.1.2不等关系与不等式(二)

b0
推论1:(乘法法则)
2013-1-21
a b 0, 且c d 0 ac bd.
4
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
推广: a1 b1 0, a2 b2 0,an bn 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 3
§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
求证：如果a b 0, c d 0, 那么ac bd 证明：ac bd ac bc bc bd ca b bc d
证明：假设n a不大于n b ,即n a n b
n 这有两种情况：a n b，或者n a n b
由推论2和定理，当n a n b时，有a b 1 当n a n b时，有a b 这些都与已知条件 b 0矛盾。 a
所以n a n b
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 6
a1a2 an b1b2 bn
若a1 a2 an 0，b1 b2 bn 0
推论2:(乘方法则) a b 0, an bn (n N , 且N 1)
a b a2n1 b2n1 (n N , 且N 1)
问题：不等式具有开方原则吗？ n 即由a b 0能否得到 a n b n N , n 1？
2013-1-21
a>b b<a a>b , b>c a>c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b , c>d a+c>b+d a>b , c>0 ac>bc a>b , c<0 ac<bc a>b>0 , c>d>0 ac>bd a>b>0 an > bn (n∈N , n＞1）

(学案)3.1.2不等式的性质含答案

第2课时不等式的性质学习目标1.掌握不等式的性质及其成立的条件.(数学抽象、数学建模)2.能利用不等式的性质比较大小、证明不等式.(逻辑推理、数学运算)【必备知识·自主学习】导思不等式有哪些性质?不等式的性质名称式子表示性质1 对称性a>b⇔b<a性质2 传递性a>b,b>c⇒a>c性质3 可加性a>b⇔a+c>b+c性质4 可乘性a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bc性质5 同向不等式可加a>b,c>d⇒a+c>b+d性质6同向同正不等式可乘⇒ac>bd 性质7 正数不等式乘方a>b>0⇒a n>b n(n∈N,n≥1)性质8 正数不等式开方a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)若a,b∈R,a>b,那么a3>b3一定成立吗?提示:一定成立,因为函数f(x)=x3在R上是增函数,所以a>b时,a3>b3.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若a>b,则ac2>bc2. ( )(2)若a>b,c>d,则ac>bd. ( )(3)若a>b,则a n>b n(n∈N,n≥1).( )提示:(1)×.当c=0时不成立.(2)×.同向同正不等式可乘.(3)×.当a>b>0时成立.2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则( )A.ad>bcB.ac>bcC.a-c>b-dD.a+c>b+d【解析】选D.a,b,c,d的符号未确定,排除A,B两项;同向不等式相减,结果未必是同向不等式,排除C项,故选D项.3.(教材二次开发:习题改编) 若|a|<|b|,则(n∈N且n>1).【解析】因为|b|>|a|≥0,所以由不等式的性质可得<.答案:<【关键能力·合作学习】类型一利用不等式的性质判断不等式(逻辑推理、数学建模)1.下列命题中,正确的是( )A.若a>b,c>d,则a>cB.若ac>bc,则a>bC.若<,则a<bD.若a>b,则|a|>|b|2.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )A.<B.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|3.若<<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b中,正确的不等式有个.【解析】1.选C.因为<,又c2>0,所以a<b.2.选C.若a>b,且ab>0,则<,A中少条件ab>0,故A不成立.若a>b>0,则a2>b2,B中少条件b>0,故B不成立.因为a>b,且>0,所以>,故C成立.D中少条件c≠0,故D不成立.3.由<<0,得a<0,b<0,故a+b<0且ab>0,所以a+b<ab,即①正确;由<<0,得>,两边同乘|ab|,得|b|>|a|,故②错误;由①②知|b|>|a|,a<0,b<0,那么a>b,故③错误.答案:1运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.【补偿训练】1.若a<b<0,则下列结论正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.<D.ac>bc【解析】选C.当a<b<0时,a2>b2,故A错误,当a<b<0时,ab>b2,故B错误,当a<b<0时,0<<1,>1,则<成立,当c=0时,ac>bc不成立,故D错误.2.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式中恒成立的是( )A.<B.>C.a>b2D.a2>2b【解析】选C.当a=2,b=-时,满足条件.但<不成立,故A错误;当a>1>b>0时,<,故B错误;因为1>b>-1,b≠0,所以0<b2<1,则a>b2,故C正确;当a=1.1,b=0.9时,满足条件,但a2>2b不成立,故D错误.类型二利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)【典例】已知c>a>b>0,求证:>.四步内容理解题意条件:c>a>b>0;结论:>.思路探求思路1:①如何证明<?②由<怎样得到<?思路2:要证>可先证明哪一个不等式.书写方法一:因为c>a>b>0,表达所以c-a>0,c-b>0.由⇒<,⇒⇒>;方法二:由c>a>b>0得c-b>c-a>0,又a>b>0,所以a(c-b)>b(c-a)>0,又>0,得>.题后证明本题关键是分母怎样变换出来,第一步先证明什么.反思利用不等式的性质证明不等式的两注意(1)记准、记熟:利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上, 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)注意条件:应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.1.a>b>0,c<0求证:>.【证明】因为a>b>0,所以ab>0,>0.于是a·>b·,即>.由c<0,得>.2.已知a>b>0,c<d<0,e<0.求证:>.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<<,又因为e<0,所以>.【拓展延伸】利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题(1)恰当设计解题步骤,合理利用不等式的性质.(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件,如由a>b 及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.【拓展训练】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>.【解题指南】结合不等式的性质化简证明.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,即<,又e<0,所以>.【补偿训练】若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.【证明】⇒≥⇒+1≥+1⇒≥⇒≤.类型三利用不等式的性质求范围(逻辑推理、数学运算)角度1 利用性质直接求范围【典例】已知-1<a<b<1,则a-b的取值范围是.【思路导引】利用不等式的性质构造a-b求范围.【解析】因为-1<a<1,-1<b<1,所以-1<-b<1,所以-1-1<a-b<1+1,所以-2<a-b<2,又a<b,所以a-b<0.答案:(-2,0)将本例的条件改为“-≤a<b≤”,试求的取值范围.【解析】因为-≤a<b≤,所以-≤<,-<≤,所以-≤-<,所以-≤<.又a<b,所以<0,所以-≤<0.角度2 整体构造求范围【典例】已知π<α+β<,-π<α-β<-,则2α-β的取值范围是.【思路导引】利用α+β,α-β表示出2α-β后求范围.【解析】令2α-β=x(α+β)+y(α-β),即2α-β=(x+y)α+(x-y)β,所以解得因为<<,-<<-,所以-π<2α-β<.答案:利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.1.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-<2α-β<D.0<2α-β<π【解析】选C.因为-<α<,所以-π<2α<π,又-<β<,所以-<-β<,所以-<2α-β<.又α-β<0,α<,所以2α-β<.故-<2α-β<.2.若-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,则z=4x+2y的范围是.【解析】设4x+2y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,则,解得a=3,b=1,即4x+2y=3(x+y)+(x-y),因为-2≤x+y≤2且-1≤x-y≤1,所以-6≤3(x+y)≤6且-1≤x-y≤1,则-7≤3(x+y)+(x-y)≤7.答案:[-7,7]【课堂检测·素养达标】1.若a>b且c∈R,则下列不等式中一定成立的是( )A.ac>bcB.a2>b2C.a+c>b+cD.ac2>bc2【解析】选C.对于A,当c<0时不成立;对于B,当0>a>b时不成立;对于D,当c=0时不成立;C正确.2.已知-<A<,-π<B<,则2A-B的取值范围是.【解析】因为-<A<,所以-π<2A<π.因为-π<B<,所以-<-B<.所以-<2A-B<.答案:3.(教材二次开发:练习改编)若a>b>0,c>d>0,则.【解析】因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bd,所以-=>0,则>.答案:>4.已知1≤a≤3,-4<b<2,则a+|b|的取值范围是.【解析】因为-4<b<2,故0≤|b|<4,又1≤a≤3,所以1≤a+|b|<7.答案:[1,7)【新情境·新思维】已知实数a,b满足等式2 017a=2 018b,下列关系式不可能成立的是( ) A.0<ab>0,a<b<0,a=b=0.而0<a<b不可能成立.。

2021人教版数学必修第一册B版课件：3.1.2 第2课时函数的最大(小)值

解析：法一：设 x1，x2 是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x21＋x11－x22＋x21 ＝2x1xx2＋1＋11－x22x＋21x1＋1 ＝x12＋x11－xx2＋2 1.
由于－3≤x1＜x2≤－2，则 x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0. 所以 f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．所以函数 y＝x2＋x1，x∈[－3，－2]是增函数．又因为 f(－2)＝4，f(－3)＝3，所以函数的最大值是 4，最小值是 3.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在[－4,0]上是减函数． ∴f(x)min＝f(0)＝3，f(x)max＝f(－4)＝9.
利用单调性求最值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性写出最值．
已知函数 f(x)＝x2＋x1，x∈[－3，－2]，求 f(x)的最大值和最小值．
法二：f(x)＝x2＋x1＝2x＋ x＋11－2＝2＋x－＋21，所以 f(x)图像的对称中心是(－1,2)，在(－ ∞，－1)，(－1，＋∞)是增函数，图像如图：
由图像可知 f(x)在[－3，－2]的值域为[3,4]，最小值为 f(－3)＝3，最大值为 f(－2)＝ 4.
探究三二次函数的最值问题 [例 3] (1)已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3. ①当 x∈[－2,0]时，求 f(x)的最值； ②当 x∈[－2,3]时，求 f(x)的最值； ③当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t)．
第 2 课时函数的最大(小)值
内容标准
学科素养
1.理解函数的最大(最小)值及几何意义．
直观想象
2.利用单调性求最值、比较大小、解不等式. 逻辑推理、数学运算

数学3.1.2比较大小教案北师大必修5

3.1.2比较大小【教学目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】1.课题导入在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若a b a c b c >⇒±>±（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0a b c ac bc >>⇒>（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ac bc ><⇒<2.讲授新课1、不等式的基本性质：师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？证明：1） ∵(a＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0， ∴a＋c ＞b ＋c2） ()()0a c b c a b ---=->， ∴a c b c +>+．实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，证明：∵a＞b ，b ＞c ，∴a－b ＞0，b －c ＞0．根据两个正数的和仍是正数，得：(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，∴a＞c ．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）,a b b c a c >>⇒>（2）a b a c b c >⇒+>+（3）,0a b c ac bc >>⇒>（4）,0a b c ac bc ><⇒<2、探索研究思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；（3）0,,1n n a b n N n a b >>∈>⇒>>证明：（1）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b ＋c ． ①∵c＞d ，∴b＋c ＞b ＋d ． ②；由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．（2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, （3）（反证法）假设n n b a ≤，则：若a b a b <⇒<=⇒= 这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．[范例讲解]：【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a b >。