水分蒸发的速度

水分蒸发的速度

一些事实说明了液体蒸发的快慢跟哪些因素有关

1.夏天晾衣服比冬天干得快

2.把衣服撑开晾比堆放在一起晾干得快

3.衣服在有风时晾比在无风时晾干得快

液体蒸发的快慢跟液体温度、液体表面积、液体表面空气流动有关假设一：可能液体温度或表面温度越高，液体蒸发速度越快

假设二：可能液体表面积越大，液体蒸发速度越快

假设三：可能液体表面空气流动越快，液体蒸发速度越快

设计方案：

题目如下：影响水分蒸发速度的因素主要有面积、风速、温度、相对湿度，暂时忽略其它的次要因素。希望得到单位面积的液面在单位时间内的蒸发量与风速、温度、相对湿度的量化关系式或数据表。

我的出发点是从相对湿度100%时的情形出发来推导蒸发速度的公式。在这个模型中有几个假设分别是（1）空气分子是除了彼此之间发生的完全弹性碰撞之外不存任何其他作用力的刚性的小球。（2）液面附近的水层与液体内部的温度始终保持一致，即不考虑液体蒸发导致的液面附近液体温度下降，或者等效的说是不考虑液体内部与液面层之间的热交换速度造成的温度梯度。（3）在液面保持温度不变时，液体分子从液体内蒸发的速率保持恒定，而与外界空气的温度和相对湿度无关，关于这点假设可以与光电子的逃逸相类比，我在此不再赘述。

我们知道在空气相对湿度100%时，空气中的水蒸气达到饱和状态，此时液面上单位时间内的蒸发量和凝结量相等，宏观上的表现是液体不再继续蒸发。根据模型的假设单位面积的液面在单位时间内蒸发的水分子的数量是不变的，由于我们还没有足够好的模型来精确描述液体的状态，从液体的状态方程出发是很难求出液体的蒸发速率的。从平衡态物理中我们知道饱和状态下水的蒸发速率和凝结速率相等，因此我着手从平衡态下的数量关系出发来进行推导。

在给定的温度压强下水的饱和蒸汽压是可以通过实验测出来的。测得水的饱和蒸汽压后，由理想气体方程出发可以得到该温度压强下水的饱和蒸汽的浓度（指的是单位体积内的水分子的物质的量）。假设水的饱和蒸汽产生的分压为P0 ，根据公式P0V=nRT 得浓度a = n/V =P0/RT 。

从气体的热统计学角度求出单位时间内的凝结速率，我们也就得到了水在该温度压强下的蒸发速率。为了计算这个具体数值，我们将空气分子视为以各自的速度运动的刚性小球，在该的假设条件下，单位时间内能够与液面相撞的小球的数量可以认为是水的凝结速率，该速率等于水的蒸发速率。利用麦克斯韦速度分布率我们可以知道气体分子的速率分布公式为dN/N=4π(m/2πkT)^(3/2)exp(-mv^2/2kT)v^2dv 。为了计算方便将麦克斯韦速率分布改写为速度分布公式dN/N=(m/2πkT)^(3/2)exp[-m(vx^2+vy^2+vz^2)/2kT]dvxdvydvz 。选取以液面为底面积为S的无限长空气柱为研究对象，以垂直液面的方向为X轴建立坐标系，则在X和X+ΔX的一段柱体内只有速度满足vx>=X/t 的水汽分子才能液化为水，利用麦克斯韦速度分布率公式对整个气体柱进行积分就计算出来在t 时间内水汽的凝结量，也就是该温度压强下的液体的蒸发量。设液体单位面积的液面的蒸发速率为λ，则面积S的液面在时间t内的蒸发量为λSt 。利用速度分布律求得的面积S的液面在时间t内的凝结量为

∫a*S*(m/2πkT)^(3/2)exp[-m(vx^2+vy^2+vz^2)/2kT]dxdvxdvydvz 这个四重定积分的积分限分别为x取0到无穷大，vx取x/t到无穷大，vy取0到无穷大，vz取0到无穷大。将这个四重定积先分对vy和vz进行定积分可将这个四重定积分化为二重定积分

∫a*S*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*vx^2 /2kT]dxdvx 根据已知条件知道

λSt=∫a*S*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*vx^2/2kT]dxdvx 于是可得

λ=∫a*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*vx^2/2kT]/t dxdvx = ∫[（∫a*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*vx^2/2kT]dvx）/t]dx

时间t是任意的，且蒸发速率与时间t无关，因此可以对时间t取极限为0，这样可以求得lim(t→0) [（∫a*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*vx^2/2kT]dvx）/t] = lim(t→0)

{a*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*x^2/2kTt^2]x/t^2} 将这个结果带会原积分式得λ = lim(t→0)

∫{a*(m/2πkT)^(1/2)exp[-m*x^2/2kTt^2]x/t^2}dx = a*（kT/2πm）^(1/2) 这个表示液体蒸发速率的式子λ = a*（kT/2πm）^(1/2) 中a表示空气中水汽的物质的量浓度，k表示波尔兹曼常数，m表示分子的质量。为了应用方便我们将公式λ = a*（kT/2πm）^(1/2) 中的波尔兹

曼常数k 和分子的质量m 同乘以阿伏伽德罗常数NA ，由关系式R=NA*k 和

M=NA*m 就可将式子化简为λ = a*（RT/2πM）^(1/2) 式中的R表示理想气体常数，M表示分子的摩尔质量。

得到该温度压强下的液体蒸发能力的公式之后，我们就可以讨论在不同相对湿度下液体的蒸发速度了。从微观的角度来看，相对湿度减小后空气中单位体积内的水分子减少了，相应的从气体液化为水的分子数减少，但是水蒸发为蒸汽的速度保持不变，于是蒸发速率就大于凝结速率，宏观上的表现就是液态的水不断蒸发。如果简单的认为空气中的水分子浓度处处保持一致的话，那么我们就可以得到一个相当简单的关于蒸发量与相对湿度的公式，假设我们已经求得该温度下水的蒸发速率为λ0 ，那么不同相对湿度下地蒸发量公式就是λ = λ0（1-c）（此处c表示空气的相对湿度）。

实际的情况是无风的环境下气液交界处可以认为相对湿度为100% ，然后垂直于交界面的气体方向上空气相对湿度呈梯度状分布，湿度梯度的存在必然导致蒸发速度不可能是λ = λ0（1-c）的简单形式，如此我们必须考虑水分子的扩散速度。如果知道水分子的浓度梯度分布状况再利用扩散方程即可解出单位时间内沿浓度梯度负方向输运的气态水分子数，水分子输运导致的水分子损失全部由液态水的蒸发来补充，因此只要求出这个输运速率就可以求出实际情况下的蒸发速率方程。水汽分子的浓度梯度是da/dX ，水汽分子的输运速率为

-β*da/dX （公式中的负号表示输运的方向和梯度方向相反，β是表示水汽扩散能力的常数）。

根据日常生活中的常识我们知道夏天的衣服总是比冬天的衣服干的要快，也就是说温度的高低对水分子的输运速率有着较大的影响。有关此点的解释从微观的角度看是很显然的，在浓度梯度不变的情况下，温度升高必然导致水分子运动的平均速度增加，因此单位时间内通过某个界面扩散的分子数量也必然增加。

推导气体分子在三维空间中某个特定方向上的平均速度：建立空间直角坐标系，计算在x

轴正方向上的分子平均速度Vx+ =∫∫∫

(m/2πkT)^(3/2)exp[-m(vx^2+vy^2+vz^2)/2kT]vxdvxdvydvz 三重定积分的积分限分别为vx

取0到正无穷，vy取负无穷到正无穷，vz取负无穷到正无穷。积分后的结果为Vx+ = （kT/2πm）^(1/2) 。为了方便计算我们将这个式子变形为Vx+ = （RT/2πM）^(1/2) R是理想气体常数，M是分子的摩尔质量。