江苏省徐州市六校高一数学下学期期中联考试题(含解析) 苏教版

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江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题

江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为，ABC V 面积的最小值为．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。

江苏省高一数学下学期期中试题(含解析)

【答案】
【解析】
平面，那么，又平面，平面，设，在中，，在中，，，时，三棱锥P-AEF体积最大为，此时，， .
【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.
【详解】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
那么由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为2．
故答案为：2．
【点睛】此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：〔1〕圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；〔2〕圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
那么k2= =﹣4，
∴要使直线l与线段AB有公共点，
那么直线l的斜率的取值范围是〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕，
故答案为〔-∞，-4]∪[5- ，+∞〕．
【点睛】此题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道根底题．
10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸局部〔即樟卯结构〕啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内〔容器壁的厚度忽略不计〕，假设球形容器外表积的最小值为30π，那么正四棱柱的高为______．
【详解】
证明：〔1〕取PB的中点E，连接EN，AE．

徐州市高一下期中考试数学试卷及答案(苏科版)【最新】

徐州市2015～度第二学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.直线的倾斜角为. ▲ ___2.化简sin10cos50+cos10sin50=o o o o ▲ ___3. 在数列中， =1，，则的值为 ▲ ___4. 在等比数列中,已知,12nn a a -=且,求数列的通项公式为.▲ ___5. 在中，若b=2,,则a= ▲ ___6. 已知x∈（-2π，0），cosx=45，则tan2x= ▲ ___7.一个等比数列前n 项的和为48，,2n 项的和为60，则前3n 项的和为 ▲ ___8. 已知直线1l :()()3150m x m y ++--=与直线()213m 910l :m x ()y -++-=互相垂直,求m 的值为 ▲ ___9. 在△ABC 中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC= ▲ ___10. 在△ABC 中,已知,,则b= ▲ ___11. 若数列{}n a 的前n 项和S n =n 2 -10n （n=1，2，3，…），则数列{}n na 中数值最小的项是第 ▲ ___项． 12. 经过点,倾斜角是直线倾斜角一半的直线的方程是▲ ___注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．13. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123262319a a ,a a a +==设，求数列的前项和为 ▲ ___14. 将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为()ij a i,j N *∈，例如4318a ,= 若2016ij a =，则i j += ▲ ___二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）已知等差数列{}n α满足124310,2αααα+=-=（1）求数列{}n α的通项公式（2）若等比数列{}n b 满足2337,b b αα==，求数列{}n b 的通项公式16. （本题满分14分）已知直线10l :x y +-=,(1)若直线1l 过点()32,且1l l ∥,求直线1l 的方程;(2)若直线2l 过l 与直线270x y -+=的交点,且2l l ⊥,求直线2l 的方程.17. （本题满分14分）数列{}n α中，32n a ,n =前项和为63n S =，（1）若数列{}n α为公差为11的等差数列，求1α（2）若数列{}n α为以11α=为首项的等比数列，求数列{}2n α的前m 项和m T18. （本题满分16分）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足BbA a cos 3sin = (1)求.(2)若点M 为BC 中点,且AM AC =,求sin BAC ∠的值.19. （本题满分16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20. （本题满分16分）设数列}{n a 的前项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n,点()1n n a ,S +在直线220x y +-=上.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列}2{nn n S λλ++为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.徐州市2015～度第二学期期中考试答案一、填空题1、3π 2、 23 3、397 4、12-n 5、26- 6、724- 7、63 8、m =1或－39、132 10、10 11、3 12、093=+-y x 13、12+-n n14、63二、解答题15、解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则234=-=a a d ， ……2分又1021=+a a ，∴1021=+d a ，解得41=a ， ……4分所以22)1(24+=-+=n n a n ． ……6分（2）设等比数列}{n b 的公比为q ，由（1）知832==a b ，1673==a b ， ……8分∴223==b bq ， ……10分又q b b ⨯==128，有41=b ， ……12分 ∴11224+-=⨯=n n n b ． ……14分 16、解：（1）设直线1l 的方程为0=++m y x ， ……2分 ∵直线1l 过点(3,2) ，∴5-=m ……4分 ∴直线1l 的方程为05=-+y x ……6分（2）由 ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+-=-+3207201y x y x y x 解得，l 与直线072=+-y x 的交点为)3,2(- ……9分∵l l ⊥2 ∴直线2l 的斜率为1， ……11分 ∴直线2l 的方程为23+=-x y 即05=+-y x ……14分 17、解：（1）由已知：632)(1==+n n S a a n ① ……2分 3211)1(1==⨯-+n a n a ② ……4分解①②得：101=a ，3=n （11=a ，1142=n 舍去） ……7分（2）由已知：3211=⨯-n q a 且631)1(1=--⨯qq a n ……9分解得：q=2 ，n=6 ……11分∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， ……12分∴31441)41(1-=--⨯=m m m T ……14分18、解：（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， ……2分 ∴B B cos 3sin =，即3tan =B ， ……4分又0B π<<，所以3B π=． ……6分(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM = MC =2a， ……8分在ABM ∆与ABC ∆中，由余弦定理分别得：,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+=,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= ……10分又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， ……12分因为0a ≠，所以23ac =，故,b = ……14分由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． ……16分 19、解：（1）由已知，点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形，∵8AB =，6ABC π∠=，∴3BAC π∠=，4AC =， ……2分在ACE ∆中，由余弦定理：2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE = ……4分 ∴213164AE AE =+-，解得1AE =米或3AE =米 ……6分（2）∵2ACB π∠=，6ECF π∠=，∴ACE α∠=[0,]3π∈， ∴362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，在ACF ∆中，由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC ACA CFA παα===∠-∴CF =， ……8分在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+∴sin()3CE α=+ ， ……10分若产生最大经济价值，则△ECF 的面积ECF S ∆最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++ ……13分因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα+≤≤， ……14分∴当=3πα时，S △ECF取最大值为价值最大． ……16分 20、解：（1）由题意可得：0221=-++n n S a ① ∴当n ≥2时，0221=-+-n n S a ② ……2分①－②得：0221=+-+n n n a a a ，有211=+n n a a （n ≥2）又11=a ，02212=-+a a ，有212=a ，2112=a a……4分∴}{n a 是首项为1，公比为21的等比数列，从而1)21(-=n n a ……6分（2）由（1）知：1212--=n n S ，n n n n n S 2222-++=++λλλλ ……8分若数列}2{n n n S λλ++为等差数列，则有：)47825()123()2349(2+++=+λλλ ……10分解之得：2=λ ……12分当2=λ时，令n b =222+=++n n S nn λλ（*N n ∈）有2)22(2)1(21=+-++=-+n n b b n n ……14分所以存在实数2=λ，使得数列{nn n S 2λλ++}为等差数列。

2022-2023学年江苏省徐州市高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π23．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos7π4−i sin7π4）4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．85．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√586．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（） A ．π4B ．π8C ．π3D ．π67．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．如果只有一个等式不成立，则该等式为（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．(1，√3]B ．(√32，√3] C ．(√32，32) D ．(12，√32)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为210．下列等式成立的有（） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝． 14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝，sin(2α+π4)= ．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 m ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ．（1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值；（2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）．（1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小． 19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)．（1）求cos x 的值；（2）求sin(2x +π3)的值．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x）．（i）求h（x）的单调增区间；（ii）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，CD距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园成四边形ABCD，并将△BCD区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA⊥DC时，点B与出入口D的距离为多少米？（2）A设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD面积最大？并求此最大面积．2022-2023学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则i 2033＝（） A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：i 2033＝（i 4）508•i ＝i ．故选：A ．2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)．若p →∥q →，则角C 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π2解：∵p →=(a +c ，b)，q →=(b +a ，c −a)，p →∥q →， ∴（c +a ）（c ﹣a ）＝b （b +a ），即c 2﹣a 2＝b 2+ab ， ∴c 2＝a 2+b 2+ab ，∴由余弦定理可得，﹣2cos C ＝1，解得cos C =−12， ∵C ∈（0，π），∴C =2π3．故选：C ．3．复数z 满足z （1+i ）＝|1−√3i |，则复数z ＝（） A ．√2（cos π4+i sin π4）B ．√2（cos3π4+i sin3π4）C ．√2（cos π4−i sin π4）D ．√2（cos 7π4−i sin7π4）解：z （1+i ）＝|1−√3i |=√12+(−√3)2=2，则z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，即z =√2(cos π4−isin π4)．故选：C ．4．定义：|a →×b →|=|a →||b →|sinθ，其中θ为向量a →，b →的夹角，若|a →|=2，|b →|=5，(a →+b →)⋅a →=−2，则|a →×b →|=（） A ．6B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：因为(a →+b →)⋅a →=−2，所以a →2+a →⋅b →=−2，即|a →|2+|a →||b →|cosθ=−2，所以22+2×5×cos θ＝﹣2，所以cosθ=−35，因为0≤θ≤π，所以sinθ=45，所以|a →×b →|=|a →||b →|sinθ=2×5×45=8．故选：D ．5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC 中，BC AC=√5−12．根据这些信息，可求得cos144°的值为（）A ．1−√54B ．−√5−12C ．−√5+14D ．−3+√58解：由图形知，∠A ＝36°，且12∠A ＝18°， sin18°=12×BC AC =12×√5−12=√5−14； ∴cos36°＝1﹣2sin 218＝1﹣2×（√5−14）2=1+√54； ∴cos144°＝cos （180°﹣36°）＝﹣cos36°=−1+√54．故选：C ．6．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则β＝（）A ．π4B ．π8C ．π3D ．π6解：∵α，β均为锐角，sin(β−α)=−√1010，cosα=√55， ∴cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55，∴sin β＝sin[（β﹣α）+α]＝sin （β﹣α）cos α+cos （β﹣α）sin α=−√1010×√55+3√1010×2√55=√5010=√22，且β为锐角， ∴β=π4．故选：A ．7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →+PB →+PC →=0→；乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)；丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|；丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．如果只有一个等式不成立，则该等式为（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：对于甲：PA →+PB →+PC →=0→，设M 是BC 的中点，则PB →+PC →=2PM →，所以PA →=−2PM →，故P 点是PM 的靠近M 的三等分点，即该三角形的重心；对于乙：PA →⋅(PA →−PB →)=PC →⋅(PA →−PB →)，移项整理得BA →⋅(PA →−PC →)=0，即BA →⋅CA →=0，故AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形；对于丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，则P 为△ABC 的外心；对于丁：PA →•PB →=PB →•PC →=PC →•PA →．则PA →•PB →−PB →•PC →=PB →•（PA →−PC →）=PB →•CA →=0，所以PB ⊥CA ，同理可得P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心，如果只有一个等式不成立，则该等式为乙．故选：B ．8．已知锐角三角形△ABC 的内角A ．B 、C 的对边的长分别为a 、b ，c ，且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．(1，√3]B ．(√32，√3]C ．(√32，32) D ．(12，√32)解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6，由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π，解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）＝cos B +12cos B +√32sinB =√32sinB +32cosB =√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分. 9．已知复数z =12+√32i ，则下列结论正确的是（） A ．zz =1 B ．复数z 的虚部为√32i C ．z 2=zD ．若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，则|z 1|的最大值为2解：因为z =12+√32i ，所以z =12−√32i ，所以zz =(12+√32i)(12−√32i)=14+34=1，故A 正确；复数z 的虚部为√32，故B 错误；z 2=(12+√32i)2=14−34+√32i =−12+√32i ，所以z 2≠z ，故C 错误；若复数z 1满足|z 1﹣z |＝1，设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则点（a ，b ）的轨迹是以(12，√32)为圆心，半径为1的圆，所以|z 1|的最大值为√(12)2+(√32)2+1=2，故D 正确．故选：AD ．10．下列等式成立的有（） A ．sin75°cos75°=12B ．1+tan15°1−tan15°=√3C ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1D ．1tanθ−1tan2θ=1sin2θ解：对于A ，sin75°cos75°=12sin150°=14，故A 项错误；对于B ，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°tan15°=tan60°=√3，故B 项正确；对于C ，因为tan45°=tan(20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°=1，所以tan20°+tan25°＝1﹣tan20°tan25°，所以tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故C 项正确；对于D ，1tanθ−1tan2θ=cosθsinθ−cos2θsin2θ=cosθsinθ−cos2θ2sinθcosθ=2cos 2θ−cos2θ2sinθcosθ=2×1+cos2θ2−cos2θ2sinθcosθ=12sinθcosθ=1sin2θ，故D 项正确．故选：BCD ．11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（）A ．AO →=14AB →+12AC →B ．|OA →+OB →+OC →|=√32C ．BD →⋅CE →=−1D ．ED →在BC →上的投影向量为712BC →解：已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE →=EB →，AD →=2DC →，BD 与CE 交于点O ，对于A 项，因为BD 与CE 交于点O ，则BO →，BD →共线，CO →，CE →共线，设CO →=λCE →，CE →=CA →+AE →=12AB →−AC →，则BO →=CO →−CB →=λCE →+BC →=−λAC →+12λAB →+AC →−AB →=(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →，又BD →=AD →−AB →=−AB →+23AC →，因为BO →，BD →共线，设BO →=μBD →，即(12λ−1)AB →+(1−λ)AC →=−μAB →+2μ3AC →，因为AB →，AC →不共线，由平面向量基本定理可得：{12λ−1=−μ1−λ=2μ3，解得{λ=12μ=34，所以CO →=12×(−AC →+12AB →)=14AB →−12AC →，所以AO →=AC →+CO →=14AB →+12AC →，故A 项正确；对于B 项，由A 可知CO →=14AB →−12AC →，AO →=14AB →+12AC →，BO →=−34AB →+12AC →，所以AO →+BO →+CO →=−14AB →+12AC →，由向量的模的运算可得：|OA →+OB →+OC →|=|AO →+BO →+CO →|=√(−14AB →+12AC →)2=√116AB →2+14AC →2−2×14AB →⋅12AC →=√32，故B 项正确；对于C 项，由A 知BD →⋅CE →=(−AB →+23AC →)⋅(12AB →−AC →)=−12AB →2−23AC →+43AB →⋅AC →=−2−83+83=−2，故C 项错误；对于D 项，因为ED →=AD →−AE →=−12AB →+23AC →，BC →=−AB →+AC →，所以ED →⋅BC →=(−12AB →+23AC →)⋅(−AB →+AC →)=12AB →2+23AC →2−73AB →⋅AC →=2+83−73=73，又|BC →|=2，所以ED →在BC →上的投影向量为ED →⋅BC →|BC →|⋅BC →|BC →|=712BC →，故D 项正确．故选：ABD ．12．在△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．则下列结论中正确的是（） A ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2BB ．若b 2+c 2﹣a 2＞0，则△ABC 是锐角三角形 C ．若a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 是等腰三角形D ．若C ＝60°，c ＝2，则△ABC 面积的最大值为√3 解：对于选项A ，已知a ＞b ，则sin A ＞sin B ，则cos2A ﹣cos2B ＝（1﹣2sin 2A ）﹣（1﹣2sin 2B ）＝2（sin 2B ﹣sin 2A ）＜0，即cos2A ＜cos2B ，即选项A 正确；对于选项B ，已知b 2+c 2﹣a 2＞0，则cosA =b 2+c 2−a 22bc＞0，即A 为锐角，则△ABC 不一定是锐角三角形，即选项B 错误；对于选项C ，已知若a 2tan B ＝b 2tan A ，则sin 2A ×sinB cosB =sin 2B ×sinAcosA，即sin A cos A ﹣cos B sin B ＝0，即sin2A ﹣sin2B ＝0，又2cos （A +B ）sin （A ﹣B ）＝0，﹣π＜A ﹣B ＜π或A +B =π2，则A ＝B 或C =π2，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，即选项C 错误；对于选项D ，已知C ＝60°，c ＝2，则c 2=a 2+b 2−2ab ×12，即a 2+b 2＝4+ab ≥2ab ，即ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，即S △ABC =12absinC ≤√34×4=√3，则△ABC 面积的最大值为√3，即选项D 正确．故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，则|a →+2b →|＝ √7 ．解：两个单位向量a →，b →的夹角为60°， ∴a →•b →=1×1×cos60°=12，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →•b →+4b →2＝1+4×12+4×1＝7， ∴|a →+2b →|=√7．故答案为：√7．14．已知tan(α+π4)=−3，则tan α＝ 2 ，sin(2α+π4)= √210．解：由tan(α+π4)=−3，得tan(α+π4)=tanα+11−tanα=−3⇒tanα=2，sin(2α+π4)=√22(sin2α+cos2α)=√22⋅2sinαcosα+cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=√22⋅2tanα+1−tan 2α1+tan 2α=√210．故答案为：2，√210． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝35m ，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则AB 两点的距离为 35√5 m ．解：如图所示：△BCD 中，CD ＝35m ，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠ACB +∠DCA ＝120°+15°＝135°，所以∠CBD ＝30°，由正弦定理得BD sin135°=35sin30°，解得BD ＝35√2（m ），△ACD 中，CD ＝35m ，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°+15°＝150°，所以∠CAD ＝15°，所以AD ＝CD ＝35（m ），△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ＝352+（35√2）2﹣2×35×35√2×cos135° ＝352×5，所以AB ＝35√5（m ），即A 、B 两点间的距离为35√5m ．故答案为：35√5．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C ，则a 2+b 2c 2= 9 ．解：tan A tan B ＝4（tan A +tan B ）tan C 可化为：sinA cosA ⋅sinBcosB=4×(sinA cosA+sinB cosB)×sinC cosC=4×(sinAcosB+cosAsinB cosAcosB )×sinCcosC=4×sin(A+B)cosAcosB ×sinC cosC =4sin 2CcosAcosBcosC ，故原式化为sin A sin B =4sin 2CcosC，由正余弦定理得：ab =4c 2a 2+b 2−c 22ab，化简得a 2+b 2c 2=9．故答案为：9．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知复数z 1＝m +i ，z 2＝1﹣i ，m ∈R ．（1）当m ＝1时，求z 1⋅z 2的值；（2）若z 1﹣2z 2是纯虚数，求m 的值；（3）若z 1z 2在复平面上对应的点在第二象限，求m 的取值范围．解：（1）当m ＝1时，z 1⋅z 2=（1﹣i ）（1﹣i ）＝1﹣2i +i 2＝﹣2i ；（2）由题意z 1﹣2z 2＝（m ﹣2）+3i 为纯虚数，则m ﹣2＝0，得m ＝2；（3）z 1z 2=m+i 1−i=(m+i)(1+i)(1−i)(1+i)=m+mi+i+i 22=m−12+m+12i ，z 1z 2在复平面上对应点的坐标为(m−12，m+12)，由题意得{m−12＜0m+12＞0，解得﹣1＜m ＜1．故m 的范围是（﹣1，1）．18．（12分）已知向量a →、b →、c →在同一平面上，且a →=（3，2），b →=（﹣2，1）．（1）若k a →−b →与a →+2b →垂直，求k 的值；（2）若c →=a →+x b →（其中x ∈R ），当|c →|取最小值时，求向量c →与b →的夹角大小．解：（1）∵a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴k a →−b →=（3k +2，2k ﹣1），a →+2b →=(−1，4)， ∵k a →−b →与a →+2b →垂直，∴（k a →−b →）•（a →+2b →）＝﹣（3k +2）+4（2k ﹣1）＝5k ﹣6＝0，解得k =65．（2）∵c →=a →+x b →（其中x ∈R ），a →=（3，2），b →=（﹣2，1）， ∴c →=(3−2x ，2+x)，∴|c →|=√5x 2−8x +13=√5(x −45)2+495， ∴当x =45时，|c →|取得最小值7√55，此时c →=(75，145)， ∵b →=（﹣2，1），∴b →⋅c →=−2×75+1×145=0，即b →⋅c →=0，故向量c →与b →的夹角大小为π2．19．（12分）已知cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)．（1）求cos x 的值；（2）求sin(2x +π3)的值．解：（1）∵cos(x −π4)=√210，x ∈(π2，3π4)，故x −π4为锐角，∴sin （x −π4）=√1−cos 2(x −π4)=7√210，∴cos x ＝cos[π4+（x −π4）]＝cos π4cos （x −π4）﹣sin π4sin （x −π4）=√22×√210−7√210•√22=−35．（2）由（1）可得，sin x =√1−cos 2x =45，tan x =sinx cosx =−43，∴sin2x =2sinxcosx sin 2x+cos 2x =2tanx tan 2x+1=−2425，cos2x =cos 2x−sin 2x sin 2x+cos 2x=1−tan 2x tan 2x+1=−725，故 sin(2x +π3)=sin2x cos π3+cos2x sin π3=−2425×12+（−725）×√32=−24+7√350．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinA+sinB sinC=c+b a−b．（1）若a =2√3，b ＝2，求角B ；（2）设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为√3，求AD 长的最大值．解：（1）∵sinA+sinB sinC=c+b a−b ，∴正弦定理可得：a+b c=c+ba−b⇒a 2−b 2=bc +c 2，∴b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12，又A ∈（0，π），∴A =2π3， ∵a =2√3，b ＝2，∴在△ABC 中，由正弦定理得：a sinA=b sinB⇔√3√32=2sinB⇒sinB =12，∵b ＜a ⇔B ＜A ，∴B =π6；（2）∵S △ABC =12bcsin∠BAC =√34bc =√3⇒bc =4， AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ， ∴12×AB ×AD ×sinπ3+12×AC ×AD ×sinπ3=12×AB ×AC ×2π3，即（b +c ）AD ＝bc ，∴AD =bc b+c， ∵b ＞0，c ＞0，b +c ≥2√bc ，且bc ＝4， ∴AD =bc b+c ≤2bc=1，当且仅当b ＝c ＝2取等， ∴AD 最大值为1．21．（12分）已知函数为f （x ）＝a sin x +b cos x ，称向量p →=（a ，b ）为f （x ）的特征向量，f （x ）为p →的特征函数．（1）若g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)，求g （x ）的特征向量；（2）设向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）．记函数h （x ）＝p （x ）q（x ）．（i ）求h （x ）的单调增区间；（ii ）若方程ℎ(x)=23在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）．解：（1）∵g(x)=sin(x +π3)+cos(x −π6)=12sin x +√32cos x +√32cos x +12sin x ＝sin x +√3cos x ， ∴g （x ）的特征向量为p →=（1，√3）；（2）∵向量p →=(√3，−1)，q →=(1，√3)的特征函数分别为p （x ），q （x ）， ∴p （x ）=√3sin x ﹣cos x ，q （x ）＝sin x +√3cos x ，∴h （x ）＝p （x ）q （x ）=√3sin 2x +2sin x cos x −√3cos 2x ＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3），（i ）令−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，k ∈Z ，则−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z ， ∴h （x ）的单调增区间为[−π12+k π，5π12+k π]，k ∈Z ；（ii ）ℎ(x)=23⇔2sin （2x −π3）=23，∴sin （2x −π3）=13， ∵（0，π），∴2x −π3∈（−π3，5π3），∴2x 1−π3+2x 2−π3=π，∴x 1+x 2=5π6，x 1=5π6−x 2， ∴cos （x 1﹣x 2）＝cos （5π6−2x 2）＝sin （2x 2−π3）=13．22．（12分）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心D 处，C 点为一居民小区，CD 距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点A ，并以线段AC 为一边向圆外作等边三角形ABC ，使改造之后的公园成四边形ABCD ，并将△BCD 区域建成免费开放的植物园，如图所示．（1）若DA ⊥DC 时，点B 与出入口D 的距离为多少米？（2）A 设计在什么位置时，免费开放的植物园区域△BCD 面积最大？并求此最大面积．解：（1）设∠DAC ＝θ，∵DA ⊥DC ，∴sinθ=25cosθ=15，在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcos(θ+π3)=1002+(100√5)2−2⋅100⋅(100√5)⋅(12cosθ−√32sinθ)=10000(5+2√3)，∴BD=100√5+2√3米．（2）设∠ADC＝α，∠ACD＝β，AC＝BC＝x，在△ACD中，x2＝1002+2002﹣2×100×200cosα＝50000﹣40000cosα①，cosβ=40000+x2−10000400x=30000+x2400x②，在△ACD中，由正弦定理得100sinβ=xsinα③，将①②③代入下式可得S△BCD=12BC⋅CDsin(β+π3)=50xsinβ+50√3xcosβ=10000√3+10000sin(α−π3)，∴当∠ADC=56π时，S max=10000(√3+1)m2．。

高一下册期中考试数学试题及答案(苏科版)-最新

高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝． 4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝．5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝． 7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝．8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝． 9．若关于x 的不等式1＋kx －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝．10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n ＝5(n ∈N *)，则a 1＝．11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是．12．下列四个数中，正数的个数是．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R .13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a 2＋b2c2＝．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )． (1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．17．(本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12． (1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？19．(本题满分16分)如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋a n， n ∈N *.(1)证明：若a n＜5－12，则a n＋1＞5－12；(2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N，当n≥N时｜a n－5－12｜＋｜a n＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．6 －24 2．12 3．－45 4．2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．1211．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n＋2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分即(t －1)2≤0，即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分(2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数，f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分 ∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c ×4 cos π3＝52及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分△ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， ∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分当n ≤5时，b n ＞0，当n ≥6时，b n ＜0，当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3，200sin2π3＝MNsin θ＝OMsin(π3－θ)， ........................4分∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)]＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3，∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12，则a n ＋1＝1 1＋a n ＞11＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜1 1＋a n －1 1＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)，∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12，∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋11＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。

江苏省徐州市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析

江苏省徐州市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°的值为（） A. 3-B.3 C. 12-D.12【答案】B利用两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】解：sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°＝sin （45°+15°）＝sin 60°32=，故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属基础题. 2.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BD 与1B C 是（） A. 相交直线 B. 平行直线C. 异面直线D. 相交且垂直的直线【答案】C根据异面直线的概念可判断出1BD 与1B C 是异面直线.【详解】由图形可知，1BD 与1B C 不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：C.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，熟悉异面直线的概念是判断的关键，属于基础题.3.已知：α，β均为锐角，ta nα12=，tanβ13=，则α+β＝（） A.6π B. 4π C. 3πD.512π【答案】B直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果. 【详解】解：由于α，β均为锐角，tanα12=，tanβ13=，所以022ππαβπ++=＜＜.所以()112311116tan tan tan tan tan αβαβαβ+++===--. 所以4παβ+=.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.4.在△ABC 中，已知a ＝6，b ＝8，C ＝60°，则△ABC 的面积为（） A. 24D. 12【答案】B由已知利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：∵a ＝6，b ＝8，C ＝60°， ∴△ABC 的面积S 12=absinC 16822=⨯⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的应用，属于基础题. 5.若(),0,αβπ∈，12cos 213βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2αβ+=（） A.3365B. 3365-C.6365D. 6365-【答案】C先由(),0,αβπ∈，可得(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈-，结合cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈，继而得到5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转化sin sin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意(),0,αβπ∈，故,0,,222αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈- 又cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭故(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈5sin 213βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，3cos 25αβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭则sinsin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63sin cos cos sin 222265βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形【答案】A直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ，整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ，故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 7.若tanα＝2，则2cos 2α+sin 2α＝（） A.34B.53C.76D.65【答案】D利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解. 【详解】解：∵tanα＝2，∴2cos 2α+sin 2α22222cos sin cos sin cos ααααα+=+ 222222261215tan tan αα++⨯===++.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题.8.如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，若PC ∥平面BDF ，则λ的值为（）A. 1B.32C. 3D. 2【答案】A连结AC ，交BD 于O ，连结OF ，则AO ＝OC ，再由点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，PC ∥平面BDF ，能求出OF ∥PC ，【详解】解：连结AC ，交BD 于O ，连结OF∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面是平行四边形，∴AO ＝OC ， ∵点F 在棱P A 上，PF ＝λAF ，PC ∥平面BDF ， ∴OF ∥PC ，∴λ＝1. 故选：A.【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. ） A. 2sin 15°cos 15°B. ()1152115tan tan +︒-︒C. 1﹣2sin 215°D.2315115tan tan ︒-︒【答案】BCD利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案. 【详解】解：对于选项A ，2sin 15°cos 15°＝sin 3012︒=；对于选项B ，()()()1154515114515602115214515222tan tan tan tan tan tan tan tan +︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒；对于选项C ，1﹣2sin 215°＝cos 30︒=对于选项D ，223153215330115211522tan tan tan tan tan ︒︒=⋅=⋅︒=-︒-︒.∴值为2的是BCD. 故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题. 10.根据下列条件解三角形，有两解的有（）A. 已知a =b ＝2，B ＝45°B. 已知a ＝2，b =A ＝45°C. 已知b ＝3，c =C ＝60°D. 已知a ＝，c ＝4，A ＝45°【答案】BD直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：对于选项A ：由于a =b ＝2，B ＝45°，利用正弦定理a bsinA sinB=，解得sinA 12=，由于a ＜b ，所以A 6π=，所以三角形有唯一解. 对于选项B ：已知a ＝2，b =A ＝45°，利用正弦定理a b sinA sinB =，解得sin B =,又b a >,则3B π=或23π，故三角形有两解. 对于选项C ：已知b ＝3，c =C ＝60°，所以利用正弦定理c bsinC sinB=，所以sinB ＝1.5＞1，故三角形无解.对于选项D ：已知a ＝，c ＝4，A ＝45°，由于a ＞csinA ，即以顶点B 为圆心,a 为半径的圆与AC 射线有两个不同交点，故三角形有两解. 故选：BD .【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11.在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( ) A. ,,,E F G H 一定是各边的中点 B. ,G H 一定是,CD DA的中点C. ::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =D. 四边形EFGH 是平行四边形或梯形【答案】CD根据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形. 故选：CD .【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.在ABC 中，120C =︒，tan tan A B +=是( ) A. 2A B C += B. ()tan A B +=C. tan tan A B =D. cos B A =【答案】CD根据三角形内角和定理可得60A B +=︒，可得()tan A B +=∴选项A ，B 错误；再根据已知条件和两角和的正切公式可得tan tan A B ==，故选项C ，D 正确. 【详解】120C ︒=，60AB ∴+=︒，()2A B C ∴+=，()tan A B ∴+=∴选项A ，B 错误；)tan tan 1tan tan A B A B +=-⋅=1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=②， ∴联立①②解得tan tan A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确: 故选：CD.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，考查了两角和的正切公式，属于基础题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知α为第二象限的角，sinα45=，则tan 2α＝_____. 【答案】247由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解. 【详解】解：∵α为第二象限的角，且sinα45=， ∴cosα35==-，得tan 43sin cos ααα==-.∴tan 2α282243161719tan tan αα-===--. 故答案为：247. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角的正切，是基础题.14.如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为_____.【答案】60°以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与B 1D 1所成的角.【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则E （0，1，2），F （0，2，1），B 1（2，2，2），D 1（0，0，2）， EF =（0，1，﹣1），11B D =（﹣2，﹣2，0），设异面直线EF 与B 1D 1所成的角θ，则cosθ11111228EF B D EF B D ⋅===⋅， ∴θ＝60°. 故答案为：60°. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.15.ABC的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =_______________. 【答案】4π 根据余弦定理和ABC 的面积公式可求角C .【详解】由余弦定理2222cos c a bab C =+-，可得ABC 的面积2222cos 1cos 442a b c ab C ab C +-==，又ABC 的面积in 12s S ab C =， 11sin cos ,sin cos 22ab C ab C C C ，又0,,4CCππ.故答案为：4π. 【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题. 16.已知：51212ππα-＜＜，cos （α12π+）35=，则cos （α4π-）＝_____.【答案】310首先利用已知条件求出12πα+的范围，进一步求出4125sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后利用角的恒等变换的应用求出结果. 【详解】解：由已知51212ππα-＜＜，则0122ππα+＜＜，由于cos （α12+π）35=，故4125sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.则cos （α4π-）＝cos [（12πα+）3π-]314123123525cos cos sin sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角和差角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 四、解答题（共6小题，满分70分）17.△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ＝acosC. （1）求角C 的大小；（2）若b =c =，求a .【答案】（1）6C π=（2）a 32+=（1）由正弦定理a csinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，即可得出.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，代入化简即可得出. 【详解】解（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，cosC =∵0＜C ＜π，∴sinC ≠0，故cosC ≠0∴tanC =又0＜C ＜π， ∴6C π=.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，得2=a 22+-acos 6π，即a 2﹣3a ﹣8＝0，解得a = 又a ＞0，∴a =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知函数f （x ）＝cos 2x +sinxcosx 12-. （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若x ∈[24π，724π]，求函数f （x ）的取值范围.【答案】（1）π（2）42⎣⎦，（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论. （2）由题意利用正弦函数函数的定义域和值域，求得函数f （x ）的取值范围.【详解】解：（1）由题意可得，()12111122222222224cos x f x sin x sin x cos x sin x π+⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小正周期为T ＝π.（2）若x ∈[24π，724π]，则2x 4π+∈[3π，56π]， ∴12124sin x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴f （x ）的取值范围为42⎣⎦，. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域、值域，属于基础题.19.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点，M ，N 分别为A 1B 和A 1C 的中点.求证：（1）MN ∥平面ABC ；（2）EF ∥平面AA 1B 1B.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）推导出MN ∥BC ，由此能证明MN ∥平面ABC.（2）取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD.推导出四边形DEFB 是平行四边形，从而EF ∥BD ，由此能证明EF ∥平面AA 1B 1B.【详解】证明：（1）∵M 、N 分别是A 1B 和A 1C 中点.∴MN ∥BC ，又BC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，∴MN ∥平面ABC.（2）如图，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD.∵D 为A 1B 1中点，E 为A 1C 1中点，∴DE ∥B 1C 1且1112DE B C =，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是平行四边形， ∴BC ∥B 1C 1且BC ＝B 1C 1，∵F 是BC 的中点，∴BF ∥B 1C 1且1112BF B C =， ∴DE ∥BF 且DE ＝BF ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴EF ∥BD ，又BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ，∴EF ∥平面AA 1B 1B.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知α，β∈（0，π），且tanα＝2，cosβ=.（1）求tan （α+β）的值；（2）求2α﹣β的值.【答案】（1）139（2）4π- （1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果. （2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.【详解】解（1）∵()010cos ββπ=-∈，，∴sin β===，∴17sin tan cos βββ===-. ∴()1213721917tan tan tan tan tan αβαβαβ-++===-+. （2）由（1）知127tan tan αβ==-，，∴22222421123tan tan tan ααα⨯===---. ∴()41237214112137tan tan tan tan tan αβαβαβ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭-===-+⋅⎛⎫⎛⎫+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵tanα＝2，α∈（0，π）， ∴02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∵()10072tan πββπβπ⎛⎫=-∈∴∈ ⎪⎝⎭＜，且，，， ∴22παβπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∵tan （2α﹣β）＝﹣1 ∴24παβ-=-.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换同角三角函数关系式的变换，和（差）角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 21.如图，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠CAB ＝60°，∠BCD ＝120°，AC ＝2.（1）若∠ABC ＝30°，求DC ；（2）记∠ABC ＝θ，当θ为何值时，△BCD 的面积有最小值？求出最小值.【答案】（1）233CD =（2）θ＝75°时，面积取最小值633-. （1）由题意可求∠ADC ＝120°，在△ACD 中，可得∠CAD ＝90°﹣60°＝30°，∠ADC ＝120°，进而由正弦定理解得CD 的值.（2）由题意可得可得∠CAD ＝30°，可求∠ADC ＝150°﹣θ，在△ADC 中，由正弦定理解得()1150DC sin θ=︒-，在△ABC 中解得3=BC ，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S △BCD ()3413260sin θ=-︒+，结合范围0°＜θ＜150°，可得﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）在四边形ABCD 中，因为AD ⊥AB ，∠BCD ＝120°，∠ABC ＝30°，所以∠ADC ＝120°，在△ACD 中，可得∠CAD ＝90°﹣60°＝30°，∠ADC ＝120°，AC ＝2，由正弦定理得：CD AC sin CAD sin ADC∠∠=，解得：23CD =. （2）因为∠CAB ＝60°，AD ⊥AB 可得∠CAD ＝30°，四边形内角和360°得∠ADC ＝150°﹣θ，∴在△ADC 中，由正弦定理得：()230150DC sin sin θ=︒︒-，解得：()1150DC sin θ=︒-，在△ABC 中，由正弦定理得：260BC sin sin θ=︒，解得3sin θ=BC ， ∴S △BCD 11202DC BC sin =⋅⋅︒ ()314150sin sin θθ=⨯︒- 23413sin cos sin θθθ=⨯+ 3413322sin cos θθ=⨯-+ ()3413260sin θ=⨯-︒+， ∵0°＜θ＜150°，∴﹣60°＜2θ﹣60°＜240°，∴当2θ﹣60°＝90°即θ＝75°时，S 取最小值为3633413⨯=-+.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.22.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos 1A C -=；（2）14.（1）在ABD ∆和BCD ∆中分别对BD 使用余弦定理，可推出A 与C 的关系，即可得出3cos A C -是一个定值；（2）求出2212S S +的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212S S +的最大值.【详解】（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-，在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，168388cos A C -=-，则)83cos 8A C -=，3cos 1A C -=；（2）11223232S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（131cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得：2221224cos 146S S A ⎛+=--+ ⎝⎭，∴当A =时，2212S S +取到最大值14. 【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.。

江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)

离为（）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ，故选：D．
2. 下列说法正确的是（） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ，所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .

2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数()()22i 0m m m -+-=，则实数m =（）A ．2B ．3C ．0D ．1【答案】A【分析】根据复数相等可得出关于实数m 的方程组，即可解得实数m 的值.【详解】因为复数()()22i 0m m m -+-=，则有20(2)0m m m -=⎧⎨-=⎩，解得2m =，故选：A.2．已知向量()2,1a =r ，(),1b λ=- ，若a b ∥，则实数λ=（）A ．2B ．12C ．2-D ．12-【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】若a b ∥，则()211λ⨯-=⨯，解得2λ=-.故选：C.3．某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为24的样本，则应抽取的老年人人数为（）A ．6B ．10C ．8D ．4【答案】D【分析】首先确定抽样比，再用抽样比乘以样本容量即可得到应抽取的老年人人数.【详解】首先确定抽样比2718154276=++，则抽取一个容量为24的样本，应抽取的老年人人数为12446⨯=，故选：D.4．已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．12-B ．12C ．34-D ．34【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由πtan()34α+=，得πtan tanπtan 14tan()3π41tan 1tan tan 4ααααα+++===--，解得1tan 2α=.故选：B5．已知向量()1,2a =r ，()4,b k = ，若a 与b 垂直，则a 与a b + 夹角的余弦值为（）A ．33B ．34C ．55D ．45【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为a 与b垂直，则1420k ⨯+⨯=，解得2k =-，即()4,2b =- ，可得()5,0a b +=，则()222215205,125,505a a b a a b ⋅+=⨯+⨯==+=+=+= ，所以a 与a b + 夹角的余弦值()55cos ,555a a b a a b a a b⋅++===⨯⋅+.故选：C.6．已知1cos cos 2αβ-=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．5972【答案】D【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ-=-+=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=，两式相加得()()1113cos cos sin sin 22cos 249326αβαβαβ-=-+=+=-，()59cos 72αβ∴+=.故选：D.7．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，若60A =︒，1b =，3ABC S = ，则sin sin a bA B++的值为（）A ．2393B ．239C ．39D ．13【答案】A【分析】利用三角形的面积求出c ，利用余弦定理求出a ，然后求出sin aA 进而得出sin sin a b A B++的值．【详解】因为60,1,3ABC A b S ︒=== ，所以131sin602c =⨯⋅︒，所以4c =，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-，所以2116413a =+-=，13a =，所以由正弦定理得13239sin 3sin s 2i 3n a bA B a A ++===．故选：A ．8．已知正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅的取值范围是（）A ．(]0,16B ．[)0,16C ．(]0,8D ．[)0,8【答案】B【分析】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，利用平面向量数量积的运算性质可得2PE = ，求出PF 的取值范围，可得出24CP DP PC PD PF ⋅=⋅=- 的取值范围.【详解】分别取线段AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF ，则()()()()22240PA PB PE EA PE EB PE EA PE EA PE EA PE ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，所以，2PE = ，所以，点P 在以线段AB 为直径的半圆弧上，如下图所示：当点P 为线段EF 与半圆弧的交点时，PF取最小值2，结合图形可知，2241625PF BF CF BC <=+=+=，故225PF ≤<，同理可得[)240,16CP DP PC PD PF ⋅=⋅=-∈ ，故选：B.二、多选题9．对一组数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅，如果将它们改变为()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅，其中0c ≠，则下面结论中正确的是（）A ．均值变了B ．方差不变C ．均值与方差均不变D ．均值与方差均变了【答案】AB【分析】根据均值、方差的性质分析判断.【详解】设数据()1,2,3,,i x i n =⋅⋅⋅的均值为x ，方差2s ，则数据()1,2,3,,i x c i n +=⋅⋅⋅的均值为x c +，方差2s ，且0c ≠，故均值改变，方差不变，故A 、B 正确，C 、D 错误.故选：AB.10．已知复数3i1iz +=-，则下列说法正确的是（）A ．5z =B ．z 的虚部为2-C ．z 的共轭复数为12i -D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的概念、模、共轭复数定义、几何意义判断各选项．【详解】由题意知，复数3i (3i)(1i)12i 1i 2z +++===+-，所以5z =，虚部为2，z 的共轭复数为12i -，z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：ACD.11．下列各式中，值为1的是（）A ．3tan1513tan15-︒+︒B ．24tan15cos 15︒︒C ．2cos10sin 20cos 20︒-︒︒D ．()sin 5013tan10︒+︒【答案】ABD【分析】逆用差角的正切计算判断A ；切化弦并降幂扩角计算判断B ；凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C ；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D 作答.【详解】对于A ，3tan15tan 60tan15tan 4511tan 60tan1513tan15-︒︒-︒==︒=+︒︒+︒，A 是；对于B ，22sin154tan15cos 154cos 154sin15cos152sin 301cos15︒︒︒=⋅⋅︒=︒︒=︒=︒，B 是；对于C ，2cos10sin 202cos(3020)sin 202(cos 30cos 20sin 30sin 20)sin 203cos 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒===︒︒︒，C 不是；对于D ，sin 50(cos103sin10)sin 502cos50sin100sin 50(13tan10)1cos10cos10cos10︒︒+︒︒⋅︒︒︒+︒====︒︒︒，D 是.故选：ABD12．已知a ，b ，c 分别表示ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，则下列命题中正确的是（）A ．在ABC 中，sin sin AB >的充要条件是A B>B ．在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形C ．在锐角ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B >恒成立D ．在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 必是等边三角形【答案】ACD【分析】根据正余弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可由选项逐一求解.【详解】对于A ，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =⇒=,所以222π,Z,A B k k =+∈或22π2π,Z,A B k k +=+∈因此A B =或π2A B +=，故ABC 为等腰三角形或者直角三角形，故B 错误；对于C ，因为锐角三角形ABC ，故ππ2A B >+>,故cos()0A B +<，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+<，故sin sin cos cos A B A B >，故C 正确；对于D ，2221cos 22a cb B ac +-==，即222a c b ac +-=，结合2b ac =得2()0a c -=，故a c =，又60B =︒，故60A B C ===︒，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是.【答案】17【分析】利用百分位数的求法即可.【详解】因为1590%13.5⨯=，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.14．已知4a = ，a 与b 的夹角为120°，则a 在b方向上的投影向量的模为.【答案】2【分析】由投影模长公式cos a θ⋅ ，代入数据即可求得a 在b 方向上的投影向量的模.【详解】a 在b 方向上的投影向量的模1cos 4cos120422a θ⎛⎫=⋅=⨯︒=⨯-= ⎪⎝⎭，故答案为：2.15．若342ππβπα<<<<，且()2cos 10αβ+=-，4sin 25β=，则αβ-=.【答案】34π【分析】由题意求出αβ-的范围，cos 2β，()sin αβ+的值，而αβ-=()2αββ+-，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.【详解】因为4πβπ<<，所以222πβπ<<，4sin 205β=>，所以22πβπ<<，所以42ππβ<<，所以24ππβ-<-<-，32ππα<<，所以524ππαβ<-<，因为22πβπ<<，4sin 25β=，则3cos 25β=-，524παβπ<+<，()2cos 10αβ+=-，所以()72sin 10αβ+=-所以()()()()sin sin 2sin cos 2cos sin 2αβαββαββαββ⎡⎤-=+-=+-+⎣⎦7232421051052⎛⎫⎛⎫=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以αβ-=34π.故答案为：34π.16．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别表示角,,A B C 所对边的长，πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23b =，则a c +的取值范围是.【答案】(6,43⎤⎦【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得π3B =，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理π43sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数求取值范围.【详解】因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+，π312sin cos 2sin cos cos 3cos sin cos cos 622C B C C B B C B C ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πcos 2sin cos 6A C B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即cos cos sin sin 3cos sin cos cos B C B C B C B C -+=-，整理得sin sin 3cos sin B C B C =，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得sin 3cos B B =，即tan 3B =，且()0,πB ∈，可得π3B =，因为ABC 为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，由正弦定理可得234sin sin sin 32a b c A B C ====，即4sin ,4sin a A c C ==，可得()4sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2sin 23cos a c A C A A B A A A +=+=++=++π6sin 23cos 43sin 6A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得π3sin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(π43sin 6,436a c A ⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故a c +的取值范围是(6,43⎤⎦.故答案为：(6,43⎤⎦.四、解答题17．已知复数()11i z a a =+∈R ，复数234z i =-，(1)若12z z +∈R ，求实数a 的值；(2)若2a =，求12z z .【答案】(1)4(2)112i+【分析】（1）根据复数的加法结合复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的乘法运算求解.【详解】（1）由已知()1244i z z a +=+-∈R ，则40a -=，解得4a =，（2）当2a =时，()()1212i 34i 34i 6i 8112i z z =+-=-++=+.18．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率直方图.(1)求a 的值；(2)试估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；(3)试估计该地区某种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】(1)0.006(2)12(3)47.9【分析】（1）由概率之和为1即每个小长方形的面积之和为1可求得a ；（2）首先计算[)20,30的小长方形的面积即概率，即可求得年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数；（3）由平均值等于组中值乘以小长方形的面积之和即可求得平均年龄.【详解】（1）由()0.0010.0020.0120.0170.0230.0200.0170.002101a ++++++++⨯=，得0.006a =.（2）0.0121010012⨯⨯=从而估计年龄在区间[)20,30内的某种疾病患者的人数为12人（3）设平均年龄为x ，则由频率直方图可得：(50.001150.002250.012350.017450.023550.02650.017x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.006850.002)1047.9+⨯+⨯⨯=从而估计本地区某种疾病患者的平均年龄为47.9岁.19．如图，在ABC 中，25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 上的三等分点，且靠近点C ，设CA a= ，CB b = ．(1)用a ，b 表示AF ，BE；(2)如果60ACB ∠=︒，2AC =，且CD EF ⊥，求BC ．【答案】(1)13AF b a =- ；12BE a b =-；(2)3【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）先求得,EF CD ，由CD EF ⊥，可得0CD EF ⋅= ，从而可得222301510b a -= ，结合已知可得3b = 即可.【详解】（1）因为25AD AB =，点E 为AC 中点，点F 为BC 的三等分点，且靠近点C ，所以1133AF AC CF CA CB b a =+=-+=- ，1122BE BC C E B CA b C a =+=-+=- .（2）因为11112332EF EC CF CA CB b a =+=-+=-，()223223555555CD CA AD CA AB CA CB CA CB b aCA =+=+=+=+=-+又因为CD EF ⊥，所以231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以222301510b a -= ，由2a = ，可得3b = ，所以BC 的长为3.20．在ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.(1)求sin sin BC；(2)若1AD =，1DC =，求ABC 的面积.【答案】(1)12(2)3158【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理运算求解；（2）因为πADC ADB ∠+∠=，分别在ABD △和ACD 中使用余弦定理，结合（1）中的2AB AC =，可解得1cos 4ADC ∠=，进而计算出△ABC 的面积.【详解】（1）因为AD 平分BAC ∠，则BAD CAD ∠=∠，即sin sin BAD CAD ∠=∠，又因为2ABD ADC S S =△△，则11sin 2sin 22AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⨯⋅∠，所以2AB AC =，在ABC 中，由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ==.（2）因为::2:1ABD ADC S S BD DC ==△△，所以22BD DC ==，在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠，又因为πADC ADB ∠+∠=，所以cos cos ADC ADB ∠=-∠，由（1）知2AB AC =，则()22222cos 42cos AD BD AD BD ADC AD DC AD DC ADC++⋅∠=+-⋅∠，即()144cos 4112cos ADC ADC ++∠=+-∠，所以1cos 4ADC ∠=，因为()0,πADC ∠∈，所以2115sin 1cos 1164ADC ADC ∠=-∠=-=，由于2ABD ADC S S =△△，所以1153153311248ABC ADC S S ==⨯⨯⨯⨯=△△.21．已知函数()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若()2f x =，求x 的取值集合；(2)若()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)}{|ππ,4x x k k =∈+Z (2)(,22⎤-∞⎦【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简整理后，解方程即可求出结果；（2）()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，进而利用二倍角和同角的平方关系化简整理，再结合均值不等式即可求出结果.【详解】（1）因为()2π5ππ2cos sin 23cos 3666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πππππ2cos sin 23cos 3sin 23cos 266633x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1π3πππππ2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 223233333x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 2x =，若()2f x =，则π22π2x k =+，k ∈Z ，所以x 的取值集合为}{|ππ,4x x k k =∈+Z （2）因为()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以sin 2cos 23a x x -≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.由ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得sin 20x ≠，因此3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.2222223cos 23sin 3cos cos sin sin 2cos sin 22sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x+++-+==2tan 22tan tan tan x x x x+==+.因为ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan 1,3x ⎡⎤∈⎣⎦，由基本不等式得22tan 2tan 22tan tan x x x x+≥⋅=，当且仅当tan 2x =时，取到等号.所以a 的取值范围为(,22⎤-∞⎦.22．已知,,a b c 分别表示ABC 中角,,A B C 所对边的长，cos b A c =，2b =(1)求B ；(2)若O 为ABC 的外接圆，若PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，求PM PN ⋅ 的最小值.【答案】(1)π2(2)223-【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数的和差公式化简求值即可；（2）结合图形，利用数量积的定义与圆的切线的性质转化PM PN ⋅ ，结合基本不等式即可得解.【详解】（1）已知cos b A c =，由正弦定理得sin cos sin B A C =，又因为πA B C ++=，所以()sin sin C A B =+，所以()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B =+=+，即sin cos 0A B =，可得sin 0A =或cos 0B =，因为0πA <<，0πB <<，所以sin 0A ≠，则cos 0B =，即π2B =.（2）由O 为ABC 的外接圆，且π2B =，所以ABC 的外接圆的半径112r OA OC b ====，又因为PM 、PN 分别切O 于点M 、N ，所以1OM ON == ，又222221PM PN OP ON OP ==-=- ，1OP > ，所以()2cos 12sin PM PN PM PN MPN PM PN NPO ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅-∠ ()2222222212113ON PM OP OP OP OP OP ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪=-=--=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22223223OP OP≥⋅-=- ，当且仅当42OP = 时，等号成立，所以PM PN ⋅ 的最小值为223-.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于充分利用圆的切线的性质，将cos MPN ∠转化为212ON OP ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ ，从而得解.。

江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)

25
5
当 cos B 3 时， 5
因为
3 2
3 5
1 2
，且
B
2
,
，
所以 2π B 5π ，
3
6
又因为 sin A 24 ，且 3 24 1，
25
2 25
所以 π A π ，
3
2
所以 A+B>π，所以 cos B 3 ， 5
所以 cos C cos A B ，
cos Acos B sin Asin B ，
对于 B 选项，因为 a cos A b cos B ，由正弦定理可得 sin Acos A sin B cos B ，
因为 A 、 B 中至少有一个是锐角，则 sin Acos A sin B cos B 0 ，
从而可知 A 、 B 均为锐角，由 sin Acos A sin B cos B 可得 sin 2A sin 2B ，
则
AO
AC
|
OA ||
AC
|
cos
OAC
|
AC
||
OA
|Байду номын сангаас
cos
OAC
|
AC
|
1
|
AC
|
1
b2
9
，同理
2
22
AO
AB
1
c2
25
，
22
所以
OA
BC
OA
( AC
AB)
AO
( AC
AB)
AO
AC
AO
AB
9
25
8
.
22
故选：A

(苏科版)徐州市2019-2020学年度高一下期中考试数学测试卷(附答案)(已审阅)

徐州市2019-2020学年度第二学期期中测试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.直线的倾斜角为 2.化简sin10cos50+cos10sin50= ___ 在数列中， =1，，则的值为4. 在等比数列中,已知,12nn a a -=且,求数列5. 在中，若b=2,,则7.一个等比数列前n 项的和为48，,2n 项的和为60，则前3n 项的和为 ___8. 已知直线1l :()()3150m x m y ++--=与直线()213m 910l:m x ()y -++-=互相垂直,求m的值9. 在△ABC 中，∠A=60°，AB+AC=10，面积，则BC= ___10. 在△ABC 中,已知,, 11. 若数列{}n a 的前n 项和S n =n 2 -10n （n=1，2，3，…），则数列{}n na 中数值最小的项是第 ___项．12. 经过点,倾斜角是直线倾斜角一半的直线的方程是___13. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2123262319a a ,a a a +==设，求数列的前项和为___14. 将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为()ij a i,j N *∈，例如4318a ,=若2016ij a =，则i j += ___二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）已知等差数列{}n α满足124310,2αααα+=-=（1）求数列{}n α的通项公式（2）若等比数列{}n b 满足2337,b b αα==，求数列{}n b 的通项公式16. （本题满分14分）已知直线10l :x y +-=,(1)若直线1l 过点()32,且1l l ∥,求直线1l 的方程;(2)若直线2l 过l 与直线270x y -+=的交点,且2l l ⊥,求直线2l 的方程.17. （本题满分14分）数列{}n α中，32n a ,n =前项和为63n S =，（1）若数列{}n α为公差为11的等差数列，求1α（2）若数列{}n α为以11α=为首项的等比数列，求数列{}2n α的前m 项和m T(1)求.(2)若点M 为BC 中点,且AM AC =,求sin BAC ∠的值.19. （本题满分16分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是,点在直径上，且．（1）若，求的长；（2）设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20. （本题满分16分）设数列}{n a 的前项和为n S ,11=a ,且对任意正整数n,点()1n n a ,S +在直线220x y +-=上. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列}2{nn n S λλ++为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,则说明理由.徐州市2019-2020学年度第二学期期中测试答案一、填空题 1、3π 2、 23 3、397 4、12-n 5、26- 6、724- 7、63 8、m =1或－39、132 10、10 11、3 12、093=+-y x 13、12+-n n14、63 二、解答题15、解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则234=-=a a d ， ……2分又1021=+a a ，∴1021=+d a ，解得41=a ， ……4分所以22)1(24+=-+=n n a n ． ……6分（2）设等比数列}{n b 的公比为q ，由（1）知832==a b ，1673==a b ， ……8分 ∴223==b b q ， ……10分又q b b ⨯==128，有41=b ， ……12分 ∴11224+-=⨯=n n n b ． ……14分 16、解：（1）设直线1l 的方程为0=++m y x ， ……2分 ∵直线1l 过点(3,2) ，∴5-=m ……4分 ∴直线1l 的方程为05=-+y x ……6分（2）由 ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+-=-+3207201y x y x y x 解得，l 与直线072=+-y x 的交点为)3,2(- ……9分∵l l ⊥2 ∴直线2l 的斜率为1， ……11分 ∴直线2l 的方程为23+=-x y 即05=+-y x ……14分 17、解：（1）由已知：632)(1==+n n S a a n ① ……2分 3211)1(1==⨯-+n a n a ② ……4分解①②得：101=a ，3=n （11=a ，1142=n 舍去） ……7分（2）由已知：3211=⨯-n qa 且631)1(1=--⨯qq a n ……9分解得：q=2 ，n=6 ……11分 ∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， ……12分∴31441)41(1-=--⨯=m m m T ……14分18、解：（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， ……2分 ∴B B cos 3sin =，即3tan =B ， ……4分又0B π<<，所以3B π=． ……6分(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM = MC =2a， ……8分在ABM ∆与ABC ∆中，由余弦定理分别得：,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+=,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= ……10分又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， ……12分因为0a ≠，所以23ac =，故,b = ……14分由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． ……16分 19、解：（1）由已知，点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， ∵8AB =，6ABC π∠=，∴3BAC π∠=，4AC =， ……2分在ACE ∆中，由余弦定理：2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且CE = ……4分 ∴213164AE AE =+-，解得1AE =米或3AE =米 ……6分（2）∵2ACB π∠=，6ECF π∠=，∴ACE α∠=[0,]3π∈，∴362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭，在ACF ∆中，由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC ACA CFA παα===∠-∴CF =， ……8分在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+∴sin()3CE α=+ ， ……10分若产生最大经济价值，则△ECF 的面积ECF S ∆最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++， ……13分因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα+≤≤， ……14分∴当=3πα时，S △ECF取最大值为平方米时，该空地产生的经济价值最大． ……16分 20、解：（1）由题意可得：0221=-++n n S a ①∴当n ≥2时，0221=-+-n n S a ② ……2分 ①－②得：0221=+-+n n n a a a ，有211=+n n a a （n ≥2）又11=a ，02212=-+a a ，有212=a ，2112=a a ……4分 ∴}{n a 是首项为1，公比为21的等比数列，从而1)21(-=n n a ……6分（2）由（1）知：1212--=n n S ，nnn n n S 2222-++=++λλλλ ……8分若数列}2{nn n S λλ++为等差数列，则有：)47825()123()2349(2+++=+λλλ ……10分解之得：2=λ ……12分当2=λ时，令n b =222+=++n n S nn λλ（*N n ∈）有2)22(2)1(21=+-++=-+n n b b n n ……14分所以存在实数2=λ，使得数列{nn n S 2λλ++}为等差数列。

江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则（） 3i z =-z =A ．3B ．4CD ．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为，所以3i z =-z ==故选：C.2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（） ()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x π6x =ϕA ．B ．C ．D ．π12π6π32π3【答案】B【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值. ()πππZ 32ϕ+=+∈k k ϕ【详解】由题得：，故，而，所以.π16f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭()πππZ 32ϕ+=+∈k k 0πϕ<<π6ϕ=故选：B.3．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选ABC A D E F AB BC CA 项正确的是（）A ．B ．AB AC AE += AB AC BE -= C ．D ．12EF AB = 12DE DF ⋅= 【答案】D【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A 、B 、C 项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D 项.12DE AC =12DF BC =【详解】对于A 项，因为是边的中点，所以，故A 项错误；E BC ()12AE AB AC =+对于B 项，因为是边的中点，所以，E BC 22CB EB BE ==-所以，故B 项错误；2AB AC CB BE -==-对于C 项，因为，分别是边，的中点，所以，且. E F BC CA EF AB ∥12EF AB =又因为反向，所以，故C 项错误；,EF AB 12EF AB =-对于D 项，因为，，分别是边，，的中点，D E F AB BC CA 所以，且,，且， ∥D E A C 12DE AC =DF BC ∥12DF BC =所以，，.12DE AC =12DF BC=因为，，所以，2AC BC ==π3ACB ∠=12222CA CB ⋅=⨯⨯= 所以， 2AC BC CA CB ⋅=⋅=所以，故D 项正确.1142CA CB DE DF ⋅==⋅ 故选：D.4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积Rt O A B '''△OAB A O B B A ''''⊥2O A ''=OAB A 是（）A B ．1C D ．【答案】D【分析】由直观图得到原图可得答案.【详解】因为，所以，，2O A OA ''==O B ''=OB =90BOA ∠=所以的面积是OAB A 12OAB S OA OB =⨯⨯=A 故选：D.5．已知向量，，，则实数（）.()0,2a =r)b = ()()a kb ka b -⊥+k =A ． B ．0 C ．1 D ．或11-1-【答案】D【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得24a = 24b = 2a b r r ×=()()0a kb ka b -⋅+= 出答案.【详解】由已知可得，，，.222024a r =+=22214b =+= 2a b rr ×=因为， ()()a kb ka b -⊥+所以，，()()0a kb ka b -⋅+=所以有，()22210ka k a b kb +-⋅-= 所以，，解得.()242140k k k +--=1k =±故选：D.6．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的1111ABCD A B C D -M N AC 1A B 是（）A ．平面B ． //MN 11ADD A MN AB ⊥C ．与所成角为45°D ．平面MN 1CC MN ⊥1ACD 【答案】D【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A ；由平面证明BD 1A D AB ⊥11ADD A ；由，得出与所成角；由与不垂直判断D.AB MN ⊥1MN A D A 11CC D D A MN 1CC MN 1CD 【详解】对于A ：如图，连接，.BD 1A D 在正方形中，为的中点,，即也为的中点， ABCD M AC AC BD M ∴⋂=M BD 在中，分别为的中点，，1A BD A ,M N 1,BD A B 1MN A D A 又平面，平面，平面，故A 正确；MN ⊄ 11ADD A 1A D ⊂11ADD A MN ∴A 11ADD A对于B ：平面，，，故B 正确；AB ⊥Q 11ADD A 1AB A D ∴⊥AB MN ∴⊥对于C ：，，与所成角为，故C 正确； 1MN A D A 11CC D D A ∴MN 1CC 1145A DD ∠=︒对于D ：连接，，11111,,,A D B C CD B D 1111B C CD B D == 1160B CD ∴∠=︒，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D 错误；11B C A D A ∴1A D 1CD MN 1CD MN 1ACD故选：D7．（）2023i 2⎫+=⎪⎪⎭A ． B ． CDi2i 2i 2i 2【答案】B【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭【详解】，即. 231i i2i i 244⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭21i 2ii 2⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭所以. 231i 13i 13112i 22i 44i 44i i i ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=--=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭所以 26743674023i i i 1i 222i 2⎫⎫⎫⎫⎛⎫+=+=-⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎡⎤⎢⎥⨯⨯⎢⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎭⎭⎭⎣⎦. ()33723371i i i 1i 222⎫⎫⎛⎫=⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣=-+=⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎭⎦⎭故选：B8．淮阴中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在、处分别测得雕塑最高点的仰角B C 为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（）（参考数据）5cm =BC cos100.985︒=A ．4.92B ．5.076C ．6.693D ．7.177【答案】A【分析】运用正弦定理先求出BD ，再求出AD . 【详解】在中，由正弦定理得：BCD △，()sin ·2·cos10sin sin sin BD BC BCD BD BC BC BCD BDC ABD BCD ︒∠=⇒==∠∠∠-∠在中，；R t ABD A 1sin 2cos10sin 30250.985 4.922AD BD ABD BC ︒︒=∠=≈⨯⨯⨯=故选：A.二、多选题9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A ，，，其中为坐标原点，则z z i z z B C O （） A ．B ．C ．D ．OA OB = OA OB ⊥AB AC = OC AB ∥【答案】AB【分析】分别求得的值判断选项A ；利用向量垂直充要条件判断选项B ；分别求得,OA OB的值判断选项C ；利用向量平行充要条件判断选项D. ,AB AC【详解】设，则，， i(,R)z a b a b =+∈i i z b a =-+i z a b =-则.(,),(,),(,)A a b B b a C a b --选项A ：判断正确；(,),(,)OA a b OB b a ==- 选项B ：，则.判断正确；()0OA OB a b ab ⋅=-+= OA OB ⊥选项C ：，(,),(0,2)AB b a a b AC b =---=-=则不一定成立.判断错误； AB AC = 选项D ：，(,),(,)AB b a a b OC a b =---=-，()()()()22b a b a a b b b a a -----=+-则不一定成立.判断错误.OC AB ∥故选：AB10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的αl m n A B C D 命题是（）A ．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形. ABCD AB BC CD DA ===ABCD B ．若，，则.l α∉∈A l A αÏC ．若，，，，，，则. m α⊂n ⊂αA m ∈B n ∈∈A l B l ∈l ⊂αD ．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线. l m n l n m 【答案】ABD【分析】举特例即可说明A 、D 错误；根据直线与平面的位置关系可判断B ；由已知结合基本事实2，即可得出C.【详解】对于A 项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A 项错误；对于B 项，若，则或与相交，故B 项错误；l α∉l α∥l α对于C 项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内， A α∈B α∈l α根据基本事实2可知，故C 项正确；l ⊂α对于D 项，如图正方体中，和异面，，但是，故1111ABCD A B C D -11A B BC 11∥A B AB AB BC B ⋂=D 项错误. 故选：ABD.11．漫步在江苏省淮阴中学没理的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似的看作是正八边形的一半.在此图形中.在五边形中，，以下结论正确ABCDE AB BC CD DE ===的是（）A ．.OA OC +B ．2AD BC =u u u r u u u r C ．在上的投影向量为. AD AB1AB ⎫⎪⎪⎭D ．点者线段上，且，则的最大值是.P CD BP xBC yBA =+x y+2【答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可. 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，AB x AFy，， 1AB BC CD DE ====π3π,48AOB CBx OAB ∠=∠=∠=则且， ()()0,0,1,0,1,1,A B C D ⎛⎛+⎝⎝1122O ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，1111,12222OA OC ⎛⎫⎛⎫⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭11,122⎫-=-⎪⎪⎭ ， A 正确；OA OC ∴+=，所以，B 错误；1,22AD BC ⎛=== ⎝ 2AD BC ≠u u u r u u u r又，，所以，即在向量上的投影向量为1AD ⎛=+ ⎝ ()1,0AB = 2·1AD AB AB = AD AB，C 正确；1AB ⎫⎪⎪⎭若在线段（包括端点）上，设，，P DC DPDC λ=[]0,1λ∈所以，，BP BD DP BD DC λλ⎫=+=+=⎪⎪⎭ ()1,0,BA BC =-= 由，可得，BP xBC yBA =+1x y y λ=-⎪+=⎪⎩则，故，11x y λ=-+⎧⎪⎨+⎪⎩)[]21,0,1x y λλ+=-∈所以，D 正确. 1,2x y ⎡+∈⎣故选：ACD.12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（） ()sin4sin3f θθθ=+1θ2θ3θ()f θ()0,πA ．B ． {}123π,,7∈θθθ12312π7θθθ++=C ．D ．1231cos cos cos 8θθθ=1231cos cos cos 2θθθ++=-【答案】BCD【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A 、B ，将1θ2θ3θ根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可123cos cos cos θθθπ2π4π777cos cos cos -sin π7判断C ，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 123cos cos cos ++θθθsinπ7【详解】由题知，，是的三个根， 1θ2θ3θsin 4sin 30θθ+=可化为，即，sin 4sin 30θθ+=sin 4sin 3θθ=-()sin 4sin 3πθθ=+所以可得或，， 43π2πk θθ=++43ππ2πk θθ++=+Z k ∈解得或，， π2πk =+θ2π7k θ=Z k ∈因为，所以或或，()0,πθ∈2π7θ=4π76π7故可取，，，12π7θ=24π7θ=36π7θ=所以选项A 错误；因为，所以选项B 正确； 12312π7θθθ++=1237c o 2c πs 4π6π7os o cos c scos s7co θθθ=4cos cos co 2πππ77s π7⎛⎫= ⎝-⎪⎭ ππ2π4π2sin π2π4π7777π7772sin 7cos cos coscos cos cos =-=-2π2π4π2sin 777π4sin 7cos cos =-7co 4π4π2sin 77π8s sin=-， π8ππsin πsinsin1777πππ88sin 8sin 8sin777⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-=-=-=故选项C 正确；而 1237c o 2πos cos cos c sc 7os c 7os 4π6πθθθ++++= π2π4π6πsin 7777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=， π2ππ4ππ6πsin sin sin 777777πsin 7cos cos cos ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=根据积化和差公式：， ()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦所以原式可化为：1π2ππ2ππ4ππ4ππ6ππ6πsin sin sin sin sin sin 2777777777777πsin 7⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin 272727272727πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=13π1π15π13π17π15πsin sin sin sin sin sin272727272727πsin 7-+-+-=，故选项D 正确. 1πsin127π2sin 7-==-故选：BCD.【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； cos cos 2cos3cos 4ααααsin α（3）积化和差公式：，()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，，()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦. ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦三、填空题13．已知复数在复平面内对应的点都在射线的虚部为______ z ()2,0y x x =>z 【答案】2【分析】依题意可设复数得到方程，解得即可. 2i(0)z a a a =+>a 【详解】依题意可设复数，2i(0)z a a a =+>由（舍去）， 5z ==1a =1a =-所以， 12zi =+所以的虚部为. z 2故答案为：.214．已知函数的部分图像如图所示，若，则等()()(),0f x x f x ωϕω=+>，2AB BC AB ⋅=- ω于___【答案】/ 2π12π【分析】先利用条件求得，求得最小正周期为4，进而求得的值.2AB BC AB ⋅=- π3ABC ∠=ω【详解】由，，即， 2BC AB = 2AB BC AB ⋅=- 2cos ,AB BC AB BC AB ⋅=- 可得，则，1cos ,2AB BC =- 1cos ,2BA BC = 又，则， (),0,πBA BC ∈ π3ABC ∠=过点B 作于E ，则，， BE AD ⊥BE =2AD =则，则， 4T =2ππ42ω==故答案为：π215．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面1111ABCD A B C D -E F G 11B C 11C D 1B B 截正方体所截面的周长为___EFG【答案】【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.EFG 【详解】连接并延长交延长线于Q ，则EG CB 12BQ CB =过Q 作，交于H ，交于K ，则， //QH BD AB AD ,BH HA AK KD ==过K 作，交于T ，连接，1//KT AD 1DD FT 则六边形即为平面截正方体所得截面， FEGHKT EFG又均为棱的中点，则截面的周长为,,,,,F E G H K T故答案为：16．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，ABC A 1AB =4AC =60A ∠=︒AD BC E F AB AC上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______EF AD G AEF △ABC A AG EF ⋅【答案】2【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，AG AD AE mAB AF nACλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++= 则， ()22AG xAE y AF AD AB AC xmAB ynAC xm yn λλλ=+==+=+⇒== 即，122mnλλ+=又面积为面积的一半可得：， AEF △ABC A 1sin 60112122sin 602AE AFmn AB AC ⨯⋅⋅=⇒=⨯⋅⋅ 所以.221221mm m m λλλ+=⇒=+，()()23321922242m AB AC AG E nAC mAB F n m λλλ⋅+-=-=-++= 易知(][]210,1,1423,62n m m ⎡⎤∈∴∈⇒+∈⎢⎥⎣⎦ 当时，即重合时取得最小值.1m =,E B 321226-+=故答案为：2【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩()1AG x AE y AF x y =++=得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量()2AG AD AB AC λλ==+ 122m n λλ+=12mn =积为关键.AG EF ⋅四、解答题17．己知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位. z 21iz z ++-i (1)求复数；z (2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围 ()2m z -m 【答案】(1)2i 3z =-(2) 2(,)3+∞【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到i,R z b b ∈=0b ≠2223i 1i 22z b b z +-++=+-23=02b+，即可求解；（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.2i 3z =-()2244(i 93m z m m -=-+2409m ->4>03m 【详解】（1）解：由题意，设，其中且， i z b =R b ∈0b ≠可得， ()()()()i 21i 2i 2223i i i 1i 1i 1i 1i 22b z b b b z b b ++++-++=+=+=+---+因为为实数，可得，解得，即. 21i z z ++-23=02b +23b =-2i 3z =-（2）解：由，则，2i 3z =-()222244(i)()i 393m z m m m -=+=-+因为复数所表示的点在第一象限，可得且，()2m z -2409m ->4>03m 解得，所以实数的取值范围为.23m >m 2(,)3+∞18．（1）求的值域sin 2cos xy x=-（2）若，求的取值范围.33sin cos 0θθ+<sin cos θθ+【答案】（1）；（2） ⎡⎢⎣)⎡⎣【分析】（1）令，根据辅助角公式结合正弦函数的性质得出所求值域； sin 2cos xy ax==- （2）令，结合立方和公式得出，进而得出的取值范围.sin cos t θθ+=()21302t t -<sin cos θθ+【详解】（1）令，则，sin 2cos xy a x==-sin cos 2x a x a +=，其中，所以.)2x a ϕ+=tan a ϕ=sin()[1,1]x ϕ+=-，则，，解得. 22411a a ≤+231a ≤a ⎡∈⎢⎣即的值域为. sin 2cos xy x =-⎡⎢⎣（2）令，因为， sin cos t θθ+=πsin cos 4θθθ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以，因为， t ⎡∈⎣()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+所以，21sin cos 2t θθ-=所以()233221sin cos (sin cos )sin sin cos cos 12t t θθθθθθθθ⎛⎫-+=+-+=- ⎪⎝⎭，解得. ()21302t t =-<0t ≤<即的取值范围为.sin cos θθ+)⎡⎣19．《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥为一个阳马，面，是上的一点.P ABCD -PC ⊥ABCD M CD(1)求证：；BC PM ⊥(2)若，分别是，的中点，求证：平面 M N CD PB //CN AMP 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得； BC ⊥PCD BC PM ⊥（2）利用线面平行判定定理即可证得平面//CN AMP 【详解】（1）面，面，则，PC ⊥ABCD BC ⊂ABCD PC BC ⊥又，，面， CD BC ⊥CD PC C = ,CD PC ⊂PCD 则面，又面，则 BC ⊥PCD PM ⊂PCD BC PM ⊥（2）取中点T ，连接， PA ,NT MT 又，则， PN BN =1//,=2NT AB NT AB 又，则， 1//,=2CM AB CM AB //,=CM NT CM NT 则四边形为平行四边形，则，CMTN //CN MT 又平面，平面，则平面.CN ⊄AMP MT ⊂AMP //CNAMP20．在中，的对边分别为，且. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-(1)若，求的值； cos cos a C c A=cos B (2)若，点在线段上，且满足，求的取值范围. 2AB = D BC AC AB AD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD 【答案】(1) 78(2)4(0,)3【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到2sin()sin()A C A B +=+2sin sin B C =，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解. cos cos a C c A=sin 2sin 2A C =A C =（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭AD A 角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.2BD CD =1233AD AB AC =+【详解】（1）解：因为， ()2cos cos 2cos c b A a B a C -=-由正弦定理得， ()2sin sin cos sin cos 2sin cos C B A A B A C -=-即， 2sin cos 2sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=+可得，2sin()sin()A C A B +=+又因为，可得，即， πA B C ++=2sin sin B C =2b c =由，可得，可得，可得， cos cos a C c A=sin cos cos sin A CA C =sin cos sin cos A A C C =sin 2sin 2A C =又由，所以或，即或 ,(0,π)A C ∈22A C =22πA C +=A C =π2A C +=当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；π2A C +=π2B =2b c =π2B =所以时，此时，由余弦定理得，A C =2a c b ==222447cos 2228b b b B b b +-==⨯⨯综上可得，的值为 .cos B 78（2）解：由（1）知，即且，可得，， 2sin sin B C =2b c =2AB = 2c =1b =又由点在线段上，且满足， D BC AC ABAD AC AB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，,AC AB AC AB AC ABAD A 由三角形的内角平分线定理，可得，即， 2AB BDAC CD==2BD CD =在中，可得，ABD △2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+所以，22214244488221cos cos 99999999AD AB BC AB BC A A =++⨯⋅=++⨯⨯=+ 因为，可得，所以，所以，(0,π)A ∈cos (1,1)A ∈-216(0,)9AD∈ 4(0,3AD ∈ 即向量的取值范围是.AD 4(0,321．在直角中，，，，为边上一点，且. ABC A AB 90A ∠= 60B ∠= D BC 3BD DC =(1)若上一点满足，且，求的值.AD K 2DK KA =AK xAB y AC =+ 2x y +(2)若为内一点，且，求的最小值.P ABC A 1AP =()PA PB PC ⋅+ 【答案】(1) 7212x y +=(2) 0【分析】（1）由结合平面向量的减法可得出关于的表达式，由3BD DC = AD {},AB AC 2DK KA=可得出，可得出关于的表达式，进而可求得的值；13AK AD = AK{},AB AC 2x y +（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，A AC AB x y (),P x y 可得出，分析可得，其中，设，，利用平221x y +=π6PAC ACB ∠=∠=π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=面向量的数量积、平面向量的基本知识以及正弦型函数的值域可求得的最小值. ()PA PB PC ⋅+【详解】（1）解：因为，则，即，3BD DC =()3AD AB AC AD -=- 1344AD AB AC =+ 因为，则， 2DK KA =1113113344124AK AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭又因为，则，，故.AK xAB y AC =+ 112x =14y =1172212412x y +=+⨯=（2）解：在中，，，，ABC A 90BAC ∠= 60ABC ∠= AB =1tan 60ACAB ==以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， A AC AB x y则、、，设点，可得，()0,0A ()0,1B )C(),P x y 1=221x y +=设，若点在上且使得，且为的中点，此时，θ∠=CAP P BC 1AP = P BC π6PAC ACB ∠=∠=因为点在内，所以，，则，， P ABC A π06θ≤≤cos x θ=sin y θ=，，，(),PA x y =--(),1PB x y =-- ),PC x y =-所以，，)2,12PB PC x y +=-所以，())())22212222PA PB PC xx y y x y y y ⋅+=---=+-=-+，()π2sin 22sin 3θθθ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭因为，则，故当时，取最小值.π06θ≤≤πππ332θ≤+≤ππ32θ+=()PA PB PC ⋅+ 022．已知复数的三角形式为.z cos isin z θθ=+(1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，z OZ OZ1OZy求复数（用代数形式表示）. z (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无z 2211ra a-+r 21u z z =++a 最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说r u a r 明理由.【答案】(1) z =(2)存在，时1r =a =【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答1OZ 1OZ0案.（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得[]2cos 10,3u θ=+∈2t a =111rt t-≠+u 出答案.【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°，OZ所得向量， ()()1cos 15isin 15OZ θθ=+︒++︒因 ()1sin15sin 45302°=°-°， ()1cos15cos 45302︒=︒-︒==因为向量恰好在轴正半轴上，1OZy 则， ()cos 150θ+︒=()sin 151θ+︒=解得 ()cos cos 151501θθ=+︒-︒=+()sin sin 151510θθ=+︒-︒=-=故复数. z（2）存在，时 1r =a =由题知，21u z z =++()cos 2cos 1i sin2sin θθθθ=++++====，1θ==+因的实部为，则， z 2211ra a -+221cos 1ra a θ-=+令，则， ()20t a t =≥()22111111111r t r ra rt r y r a t t t+----+====-++++易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，11y t=+[)0,∞+r 11r y r t +=-+[)0,∞+因，则， 1cos θ1-££[]2cos 10,3u θ=+∈则要使得只有最小值而无最大值，2cos 1u θ=+只需要即可，即，即，cos 1θ≠2211co 111s ra a rt t θ-==-≠++2rt t ≠+当时，，，不符合只有最小值无最大值； 0=t cos 1θ=-1u =当时，， 0t ≠21r t≠+因，则，又为正整数，则， 211t+>1r ≤r 1r ≥所以，1r =此时，当取得最小时，易得，221cos 1a a θ-=+2cos 1u θ=+01cos 2θ=-即，解得221112a a -=-+a =【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角()()cos isin 0z r r θθ=+>r z θz [)0,2πz 主值，记作，显然.arg z ()arg 2πZ z k k θ=+∈。

江苏省徐州市学年高一下学期期中考试数学包括答案

2021～ 2021 学年度第二期期中考试高一数学试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共计 70 分.n 21. 135 ；2. x 2y70 ； 3.1；4. 2；5.3； 6. 49 7.24 2 938. 4 3 3； 9. ④； 10.3； 11. 3 ；12.3；13.21h 14. 6n 3n101247二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.15. 解：由 sin x3 ，5得 cos2 x 12sin 2x1 2 97⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2525又 sin x3, x, , cos x 0由 sin 2 x cos 2 x 1 可得52cos x1sin 2 x45tan x sin x3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分cos x4tan x 1 3 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分 tan(x) 434 1 tan x1 7416. 解：〔 1〕 . 因数列 { a n } 等差数列，故数列的首 a 1 ，公差 d ，a 4 a 7 2a 2 2d 5d 10 7d 24 ，解得 d2 ， a5 2 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分1故数列 { a n } 的通公式 a n a 1 (n 1)d 2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕 . 由〔 1〕知 a n2n 1 ， b n2a n122n4n ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分数列 b n 表示以 b 1 4 首，公比 q 4 的等比数列，故 b 1 b 2 b 3b 10b 1(1 q 10) 4(1 410) 4(410 1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分1 q1 4 317解：如以 A 原点， AB 所在直 x ， AD 所在直 y 建立平面直角坐系．A(0,0), B(3,0),C (3,1), D (0,1), E (1,0), F (2,0). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分由 A(0,0), C (3,1) 知直 AC 的方程： x 3y 0 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由 D (0,1), F (2,0) 知直 DF 的方程： x2 y2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分x 3y 0x 65，故点 G 的坐 6 , 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由0 解之得x 2 y 2 y 25 55又点 E 的坐 (1,0) ，故 k EG2 ，又kDF1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2所以 k EG k DF1 ．即得： EG DF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解：接 EF , BE, OB,OG,OEOF1BC , BC EF , BE EO, EGFG ,OGEF , ⋯⋯⋯⋯ 2 分2〔 1〕在 Rt BEO 中， BO1,AOB ,EO cos , BE sin , BCEF2 cos, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分S SSEGF1 ( AD BC ) BE1EF OG梯形 ABCD2 21(2 2 cos ) sin 1 2 cos 1 sin cossincos ,(0, ). ⋯⋯⋯ 8 分222〔 2〕令 t sincos ,(0,),2sincost21, 且 t2 sin() 1, 2 , ⋯⋯⋯ 10 分24S t 21 t t2 t 11(t 1)21, t 1, 2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2 22 2当 t2 ，即， S max12,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分24即多形 ABCDFGE 面 S 的最大12, 平方米 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分219.解：〔 1〕在 ABC 中，因 A 、 B 、 C 成等差数列，所以 2BA C , ABC ，所以 B, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分3〔 2〕在ABC 中，由〔 1〕知 B, 由正弦定理 ac 和 sin C 2 sin A 可 sin A sin C3得 c 2a ，由余弦定理有 b2a2c22accosBa 2 c 22ac4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分c 2a23a解之得3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4 3c3ABC 的面 S1ac sin B 1 2 3 4 3323 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分2 23 323〔 3〕由〔 1〕知 B, A C 23 3cos 2 A cos 2 C 1 cos2 A 1 cos2C 1 1 cos2A cos2C⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分22 = 2=1 1 cos2A cos42 A23=1 1 cos2 A cos 4 cos 2 A sin4sin 2A2 3 3=1 1 1cos2 A 3sin 2 A =11cos 2A⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分2 2223因 A20,2 ,2A 4,2 A, 5⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分C . 所 A30,3 3333即 cos 2 A3 1,1, 所以 11cos 2 A31 , 5222 4所以 cos 2 A cos 2 C 的取范是1 , 5 ⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分2 4 .20．〔 1〕 . 易得 a 214． ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3〔 2〕 .4S n 12a n a n 1 ①． 4S n 1 1 2a n1an 2②，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分a n 1 a n a n 2a n 1由② - ①，得 2a n 1a n 1a n 2a n a n 1 ．an 2an 1an 1an因 a n10 ，所以 2a n 2 a n．an 2an 1an 1a n所以 1a n 1a n2 ，即a n 1a n1，⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分an 2 a n 1a n 1a nan 1 an 1a nan 2即 b n 1 b n 1 ，所以数列 b n 是公差 1 的等差数列．因 b 1a 1a 13，所以数列 b n 的通公式 b nn1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分a 2 44〔 3〕 . 由〔 2〕知，a nn 1 ，所以 a n 11 1 14n 3 ,a n 1 a n 4a nn4n 14所以an 1a n 即an 1a n ，所以数列 a n 是常数列．4n 3 4n 1 4( n1) 14n 1 4n 1由a 12，所以 a n21) ．⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分4n 13(4n3由 a m , a p ,a r (m p r ) 成等比数列，4m 1,4 p1,4r 1 成等比数列，所以 (4 1) 2(4 1)(4 1) ，pm r所以 16 p 2 8 p 164(m r )0 ，即4p 22 p 4mr (mr ) 0〔〕．mr*〔 * 〕式即 m4 p22 p r．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分4r 1由 mr p 24 p 2 2 p r rp 2(4 p 2 2 p r ) (4r 1) p 2 ( p r )2 0,4r 14r 14r 1所以 p 2 mr ． ⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分。

江苏省徐州市六校高一数学下学期期中试题苏教版

徐州六校2012—2013学年度第二学期期中测试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1. 已知直线的斜率是-3，点Ｐ（１，２）在直线上，则直线方程的一般式是 . 2若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是 3.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 4.在等差数列{}n a 中，若2363,26,a a a =+=则8a =5. 在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，则cosC 的值为6.已知数列{}6,321==a a a n 中且n n n a a a -=++12，那么4a =7.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____. 8.数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和.已知11a =，3q =，364k S =，则k a = ．9.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为10 .化简=+--οο80cos 2280sin 12 11. ABC B A B A ABC ∆<∆则中，若,cos cos sin sin 的形状为_________12. 两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和n S ，n T 的比为5327n n S n T n +=+，33a b 的值是13.已知数列{}n a 中，131+=+n nn a a a ，919=a ，则a 2013 = .14.设)(x f y =是一次函数,,1)0(=f 且)13(),4(),1(f f f 成等比数列,则++)4()2(f f …=+)2(n f .二，解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数16. （本小题满分14分）已知1 tan22α=（1）求αtan的值；（2）求tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值。

2022-2023学年江苏省徐州高级中学高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省徐州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数（m ﹣2）+m （m ﹣2）i ＝0，则实数m ＝（） A ．2B ．3C ．0D ．12．已知向量a →=(2，1)，b →=(λ，−1)，若a →∥b →，则实数λ＝（） A ．2B ．12C ．﹣2D ．−123．某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为24的样本，则应抽取的老年人人数为（） A ．6B ．10C ．8D ．44．已知tan(α+π4)=3，则tan α的值为（） A ．12B ．−12C ．14D ．−145．已知向量a →=(1，2)，b →=(4，k)，若a →与b →垂直，则a →与a →+b →夹角的余弦值为（）A ．√55B ．34C ．√23D ．456．已知cos α﹣cos β=12，sin α+sin β=13，则cos （α+β）的值为（） A ．−1372B ．1372C ．−5972D ．59727．已知a ，b ，c 分别表示△ABC 中角A ，B ，C 所对边的长，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC =√3，则a+bsinA+sinB的值为（） A ．23√39B ．2√39C ．√39D ．√138．已知正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足PA →⋅PB →=0，则CP →⋅DP →的取值范围是（） A ．（0，16]B ．[0，16）C ．（0，8]D ．[0，8）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．对一组数据x i （i ＝1，2，3，⋯，n ），如果将它们改变为x i +c （i ＝1，2，3，⋯，n ），其中c ≠0，则下面结论中正确的是（）A ．均值变了B ．方差不变C ．均值与方差均不变D ．均值与方差均变了10．已知复数z =3+i1−i ，则下列说法正确的是（） A ．|z|=√5B ．z 的虚部为﹣2C ．z 的共轭复数为1﹣2iD ．z 在复平面内对应的点在第一象限11．下列各式中，值为1的是（） A ．√3−tan15°1+√3tan15°B ．4tan15°cos 215°C ．2cos10°−sin20°cos20°D ．sin50°(1+√3tan10°)12．已知a ，b ，c 为△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边，下列命题中正确的是（） A ．在△ABC 中，sin A ＞sin B 的充要条件是A ＞BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A sin B ＞cos A cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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