高二数学排列例题解析 人教版
高二数学排列、排列数公式例题解析 人教版
高二数学排列、排列数公式例题解析一. 本周教学内容：排列、排列数公式二. 重点、难点：重点：1. 排列的概念、排列数公式2. 排列的应用难点：有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。
【典型例题】例1. 一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？分析：转化为3个人插5个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子（一种排法），它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A 43＝24种。
例2. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。
（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和。
解：（1）本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。
答：43251是此数列的第88项。
（2）用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有120－96＝24项，即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A 44＝24（个），所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.答：这个数列的第96项是45321.（2）实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、4、5各在万位上时都有44P 个五位数，所以在万位上的和为10000)54321(44⋅++++P 。
同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有44P 个五位数，所以其和为 )1000100101()54321(44+++⋅++++P 。
∴综上可知，这个数列的和为：答：这个数列的各项和为3999960。
说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。
例3. 一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单？（1）前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3个舞蹈节目的先后顺序一定。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合常见错解剖析
排列组合常见错解剖析山东枣庄二中（277400）张夫娥排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文结合实例介绍同学们中存在的普遍错误，以飨读者.1.没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.剖析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.剖析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=34种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2．判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.剖析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3．重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
6.2.2 排列数 -高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第三册)(解析版)
6.2.2排列数课程标准课标解读1.理解与掌握排列数公式，熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解.2.能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题.通过本节课的学习，要求能准确判断排列问题，准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题.考点一排列数公式的应用（一）利用排列数公式求值（二）利用排列数公式化简（三）利用排列数解不等式（四）利用排列数公式证明考点二无限制条件的排列问题考点三有限制条件的排列问题（一）“相邻”问题（二）“不相邻”问题（三）定序问题（四）间接法（五）元素的“在”与“不在”问题考点四数字排列问题考点五排列的综合应用知识点1排列数的定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同．【即学即练1】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（）A ．3种B ．4种C ．6种D ．12种【解析】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有336A =种故选：C知识点2排列数公式及全排列1．排列数公式的两种形式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，其中m ，n ∈N *，并且m ≤n .(2)A m n ＝n ！(n －m )！.2．全排列：把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，全排列数为A n n ＝n ！(叫做n 的阶乘)．规定：0！＝1.【即学即练2】39A 等于（）A ．9×3B ．93C ．9×8×7D ．9×8×7×6×5×4×3【解析】根据排列数的计算公式可得39987A =⨯⨯，故选：C.【即学即练3】A 67－A 56A 45＝________.【解析】A 67－A 56A 45＝7×6A 45－6A 45A 45＝36.【即学即练4】89×90×91×92×…×100可表示为()A ．A 10100B ．A 11100C ．A 12100D ．A 13100【解析】89×90×91×92×…×100＝1×2×…×1001×2×…×88＝100！88！＝A 12100.故选C【即学即练5】【多选】下列各式中与排列数A m n 相等的是()A.n ！(n －m )！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C.n A m n－1n－m＋1D．A1n·A m－1n－1【解析】∵A m n＝n！(n－m)！A1n·A m－1n－1＝n·(n－1)！[(n－1)－(m－1)]！＝n！(n－m)！，∴A m n＝A1n·A m－1n－1.故选AD.【即学即练6】在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A=种，故选：D.知识点3求解排列应用问题的六种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法【即学即练7】三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？【解析】(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A66种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A33种不同的排法．因此共有A66·A33＝4320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A55种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A36种排法，因此共有A55·A36＝14400(种)不同的排法．(3)方法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A25种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A66种不同的排法，所以共有A25·A66＝14400(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A13·A77种排法和女生排在末位的A13·A77种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A23·A66种不同的排法，所以共有A88－2A13·A77＋A23·A66＝14400(种)不同的排法．方法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A55种不同的排法，所以共有A36·A55＝14400(种)不同的排法．(4)方法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A15·A77种不同的排法；如果首位排女生，有A13种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A13·A15·A66种不同的排法，因此共有A15·A77＋A13·A15·A66＝36000(种)不同的排法．方法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A88种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A23·A66种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A88－A23·A66＝36000(种)不同的排法．考点一排列数公式的应用解题方略：排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．（一）利用排列数公式求值【例1-1】计算：A315和A66.【解析】A315＝15×14×13＝2730，A66＝6×5×4×3×2×1＝720.变式1：10871087A 89A 8A --=_________．【解析】根据排列数的计算公式，可得1087108810810871088108A 89A 8A A 89A A A 90A --=--=-9999A 1100A 0-==.故答案为：0.变式2：下列各式中，不等于!n 的是（）A ．A nnB ．111A 1n n n +++C ．1A nn +D ．11A n n n --【解析】A ，()()A 1221!nn n n n n =⨯-⨯-⨯⨯= ，B ，()()()1111A 1121121!11n n n n n n n n n n ++⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯==++ ，C ，()()()1A 11321!nn n n n n +=+⨯⨯-⨯⨯⨯=+ ，D ，()()11A 1221!n n n n n n n --=⨯-⨯-⨯⨯= ，故选：C变式3：已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】由A 2n ＋1－A 2n ＝10，得(n ＋1)n －n (n －1)＝10，解得n ＝5.故选B变式4：（1）已知10A 1095m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯，那么m =______；（2）已知2A 56n =，那么n =______；（3）已知224A 7A n n -=，那么n =______．【解析】（1）由10A 1095m=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，则()10981011095m ⨯⨯⨯⨯-+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ ，即115m -=，解得6m =.（2）由2A 56n =，则()156n n -=，解得8n =.（3）由224A 7A n n -=，则()()()1745n n n n -=--且42n -≥，，解得7n =或103n =（舍）.故答案为：6；8；7（二）利用排列数公式化简【例1-2】(1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)化简：n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．【解析】(1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .变式1：用排列数符号A mn 表示下列各式：（1）109876⨯⨯⨯⨯=______；（2）242322321⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=______；（3）()()()123k k k k ---=______（k ∈N 且4k ≥）．【解析】（1）510109876A ⨯⨯⨯⨯=；（2）2424242322321A ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=，（3）()()()4123kk k k k A ---=（三）利用排列数解不等式【例1-3】不等式A x 8<6A x －28的解集为()A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8}【解析】由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①。
人教版高中数学选修2-3《排列组合问题的常用方法》
A2 A3
（相邻不相邻）综合练习：7名学生站并排成一 排，在下列情况下各有多少种不同的排法？ 3 4 （1）A、B、C三人互不相邻； A5 A4 （2）A、B、C三人相邻； A33 A55 2 4 2 A （3）A、B相邻，但C不与A、B相邻。 2 A4 A5
题型三：定序问题
解题策略： 第一步：元素全排 第二步：除去特殊元素的相对顺序
排列组合问题的常用方法
复习回顾
解排列组合题要求我们合理运用加 法原理和乘法原理，准确的区分排 列与组合，仔细推敲题中的关键字， 词，正确分清施加条件。本节将排 列组合问题中的有“特殊要求”的 问题加以归纳总结。用好这些原则 会使许多复杂的问题变得简单明了。
（排列）题型一：相邻问题
解决策略：捆绑法
5 9
2 4 2 2
2 2
C C C 3 A3 2268 A
5 9
2 4 2 2
2 2
题型二：相同元素有序分组
解决策略：隔板法
例5：十个相同的小球分给七人，每人至少分的一个球，不同 的分法有多少种？ 6 9
C
练习：现从高二理科7个班中挑选12人组成校代表 队,参加全疆数学竞赛每班至少选一人,问有多少 种选法? 6 11
例3：某车队有A,B,C,D,E,F六辆车，现在调出4辆且按一定的顺序 去执行任务，要求A,B两辆车必须参加且A车排在B车之前出发，则 不同的调度方法有多少种？ 2 4 C4 A4 2
变式：若要求六辆车全部去执行任务,A车在B车前 面出发且B车在C车前面出发，则不同的派车方案 6 有多少种？ A6
7 7
3 4 A3 A4 (插空法)
（8）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站 7 法 A (分步计数)
【高中数学】排列 排列数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
解：根据排列数公式可得
（1） =7 x 6 x 5 = 210
（2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840
!
（3） =!=7 x 6 x 5 = 210
（4） × =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720
A66
A77 7!
x2 y2
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程 2＋ 2＝1 表示焦点在
a b
x2 y2
x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系一定；在双曲线 2－ 2＝1 中，不管
a b
x2 y2
a>b 还是 a<b，方程 2－ 2＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，
a b
有 种取法；
第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
十位和百位，有 种取法；
第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在
个位和百位，有 种取法；
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：
+ + = × × + × + × =
5 4 3 60 .
m
*
A
n
(
n
1)(
n
2)
(
n
m
1).
(
m
,
n
N
且m n )
排列数公式： n
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．【答案】16【解析】试题分析:此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154．四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16．【考点】排列组合的综合应用．2.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）【答案】96【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96.【考点】排列组合的应用.3.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有A．5种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的方式有种【考点】分类乘法的计数原理4. 3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A．5040种B．840种C．720种D．432种【答案】D【解析】第一类：3位数学家相邻在前排有；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位物理学家中选3为排在前排有，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有，3位数学家再排有，此类共有，综上共有种，故选择D.【考点】排列中的相邻问题.5. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．6.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【答案】B.【解析】由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.【考点】排列与组合7.设m∈N*，且m＜15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵m∈N*，且m＜15，∴（15﹣m）（16﹣m）…（20﹣m）=（15﹣m）（16﹣m）（17﹣m）（18﹣m）（19﹣m）（20﹣m）=．故选：C．【考点】排列及排列数公式．8.三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为（）A．36B．40C．44D．48【答案】B【解析】分两类：第一类写有数字０与２的卡片在百位：有个三位数；第二类写有数字０与２的卡片不在百位：有个三位数；由分类记数原理可知符合题目的三位数共有：8+32=40个,故选B.【考点】排列组合.9.沈阳市的造化街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（）A．8种B．10种C．12种D．32种【答案】B【解析】由图可知为使路程最短，从A到B都必须向上走两格向左走3格.先考虑横着走，然后竖着走两格共有4种；若先考虑横着走，然后竖着走1个再横着走，共有3+2+1=6种.即共有4+6=10种.【考点】列举法解决实际问题.10.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】先在1,2,3中选一个数作为重复用的数有3种不同选法，再将其与两个数排成一排有，因要求重复使用的数不相邻，故用插空法，在排成一排的两个数形成的三个空挡中任取两个空挡将重复使用的两个数放进去有种不同的的方法，根据分步计数原理，共有不同排法为3=18，一种排法对应一个满足条件的四位数，故这样的四位数由18个，故选C.【考点】计数原理；排列组合知识11.将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有种（用数字作答）；【答案】12【解析】首先对第一列进行全排列有种，然后对第二列进行排列仅有2种，根据分步计数原理知，其不同的排列方法共有种.【考点】排列与组合；分步计数原理.12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B．126C．90D．54【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种；由分类原理可得18+36+72＝126．【考点】排列，组合的综合应用．13.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用X表示取出的球的最大号码，则{X＝6}表示的试验结果是________．【答案】从6个球中取出3个，其中一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意两个．【解析】X＝6表示取出的3个球的最大号码是6，其余的是1,2,3,4,5号球中的任意两个．14.从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．【答案】2 400【解析】“从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有种；“分别到四个不同的工厂调查”，再在选出的代表中进行排列，则有(C52·C42＋C53·C41)A44＝2400(种)．15.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【答案】（1）816 （2）8568 （3）6936 （4）14656【解析】解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C183＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C185＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C21C184＋C183＝6936(种)；(4)法一(直接法)至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C121C84＋C122C83＋C123C82＋C124C81＝14656(种)．法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C205－(C125＋C85)＝14656(种)．16.求20Cn+55＝4(n＋4)Cn+3n-1＋15An+32中n的值．【答案】n＝2【解析】解：20×＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)即：＝＋15(n＋3)(n＋2)∴(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)·n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90，∴n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7，∵n≥1且n∈Z，∴n＝2.17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．【答案】（1）60 （2）120 （3）99【解析】解：(1)C52·C42＝60.(2)C51·C43＋C52·C42＋C53·C41＝120.(3)120－＝99.18. 2位男生和3位女生站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．【答案】48【解析】依题意，先排3位女生，有A33种．再把男生甲插到3位女生中间有A21种．把相邻的两位女生捆绑，剩下一个男生插空，有A41种，所以不同排法种数为A33·A21·A41＝48.19.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．【答案】24【解析】甲、乙排在一起，用“捆绑”排列，丙丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A22·A32＝24(种)．20.用4种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，要求相邻的区域涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．【答案】72【解析】D有4种可能，C有3种可能，A有3种可能，B有2种可能，所以共有4×3×3×2＝72(种)可能．21.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为________．【答案】1359【解析】千位数字是1，百位数字是2的“渐升数”有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，千位数字是1，百位数字是3的“渐升数”有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)，进而确定千位数字是1，百位数字是3，十位数字是4的“渐升数”有5个．千位数字是1，百位数字是3，十位数字是5的“渐升数”有4个，故第30个“渐升数”是1359.22.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？【答案】72(种)【解析】解：给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．23.年第届全国运动会将在沈阳举行,某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务比赛项目,则不同的安排方案共有A．种B．种C．种D．种【答案】B【解析】根据题意，由于某校名大学生申请当三个比赛项目的志愿者, 每个比赛项目至少分配一人，则可知所有的情况4=1+1+2，说明有个项目需要两个人，其余的为一个项目一个人，由于甲要求不去服务比赛项目，那么可以考虑两个项目中有没有甲来分为两种情况来说明，,故可知为B【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。
高二数学学科中的排列组合问题解析
高二数学学科中的排列组合问题解析在数学学科中，排列组合是一个广泛而重要的概念，它涉及到对象的选择、排序和组合的不同方式。
在高二阶段，学生开始接触更复杂的排列组合问题，需要掌握基本的概念和解题技巧。
本文将对高二数学学科中的排列组合问题进行详细解析。
一、排列问题的解析排列是指从给定的一组对象中选取若干个对象按一定的顺序排列。
在高二数学学科中，我们会遇到多种排列问题，例如字母的排列、数字的排列等。
例子1：从字母A、B、C、D、E中，任选3个字母排成一列，有多少种不同的排列方式？解析：这是一个典型的排列问题。
根据排列的定义，首先我们需要确定选择的对象个数和排列的长度。
在本例中，选择的对象个数是3，排列的长度也是3。
接下来，我们可以使用数学的思想进行解题。
假设排列的第一个字母是A，那么第二个字母有4种选择（B、C、D、E），第三个字母有3种选择；同理，如果第一个字母是B，那么第二个字母有3种选择，第三个字母有2种选择，依次类推。
因此，根据乘法原理，总的排列方式等于3×4×3=36种。
例子2：由字母A、B、C、D再加上一个字母E，从中任选3个字母排成一列，有多少种不同的排列方式？解析：这个例子与例子1相似，但是多了一个选项。
在这种情况下，我们需要考虑两种情况，即选择的3个字母中是否包含字母E。
如果包含字母E，那么排列的方式与例子1相同，有36种。
如果不含字母E，那么字母E只能排在第四个位置上，前三个位置的选择方式与例子1相同，有18种。
因此，总的排列方式等于36 + 18 = 54种。
二、组合问题的解析组合是指从给定的一组对象中选取若干个对象，不考虑其排列顺序。
在高二数学学科中，我们经常会遇到选择某些对象的组合方式的问题。
例子3：从字母A、B、C、D、E中，任选3个字母，有多少种不同的组合方式？解析：这是一个典型的组合问题。
根据组合的定义，我们需要确定选择的对象个数和组合的长度。
在本例中，选择的对象个数是3，组合的长度也是3。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列应用问题的几种常见解法
排列应用问题的几种常见解法杨新兰河北省乐亭二中063600由于有些排列应用题比较抽象、题型繁多、解法独特，再加上限定条件，往往容易发生重复和遗漏现象，历来是考生失分较多的一部分内容．解决这一问题的有效方法是对常见题型及求解方法加以归类，反复训练，这样，在考试中便能得心应手，水到渠成．下面就五类排列应用题的常见解法综述如下．一、分类法解含有特殊元素(位置)的排列问题对于含有限制条件的较复杂的排列应用题，可以优先考虑安排特殊元素(位置)，然后再考虑其它元素(位置)的安排，而每一类的排列数可以容易地求出来，然后根据加法原理求出总数．例1 今有卡片9张，分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8九个数字，现从中任取3张，并排组成三位整数，其中，写6的卡片也可以作为9使用，总共能组成多少个不同的三位偶数．解：先按特殊元素6来分类．第一类，6当6使用，然后再按0划分类别．⑴0在个位有A28(个)；⑵0不在个位有A14A17A17(个)；第二类，6当9使用且含有9的三位偶数，还先按0划分类别．⑴0在个位有A17A22(个)；⑵0在中间有A13(个)；⑶不含0有A13A16A22(个)．∴满足条件的三位偶数为：A28+ A14A17A17+ A17A22+ A13+ A13A16A22=305 (个)．二、比例法解元素成比例的排列问题有些排列问题，可以根据每个元素出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解．例2 从6个运动员中选出4个参加4×100米接力赛，如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？若不受条件限制，其参赛方案有A 46种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即第一棒只能是除甲、乙以外的其余4人．因而，这4人在第一棒中出现的可能性为64，故所求的参赛方案有64A 46种． 三、相间插空法解不相邻组合问题对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素位置之间及两端的空隙中插入即可．例3 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排成一排，要求各类书互不相邻，一共有多少种排法？解：要求各类书互不相邻，应先排3本化学书，有A 33种排法，再在其间4个空中插入4本数学书，有A 44种排法，这样，化学书、数学书均不相邻了．最后在已排好的7本书的8个空处选5个空插入物理数，各类书就都不相邻了，此时共有A 58种插法，于是一共有A 33A 44A 58= 7015080种排法．四、捆绑法解部分元素相邻问题对于一些元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来合并为一个元素，再与其余元素一起作排列，同时注意合并元素内部之间进行排列．例4 8种不同的商品排成一行，其中甲、乙、丙、丁四种商品一定要排在一起，有多少种不 同的排法？解：把甲、乙、丙、丁四种商品“捆绑”起来相当于一个元素，再与其它4个元素参加排列，有A 55种，甲、乙、丙、丁四种商品之间有A 44种排法，由乘法原理，所以不同的排法数共有A55A44= 2880种．五、排除法从反面考虑问题对于特殊限制的排列问题，可以从反面入手，从总体数目中排除不合乎条件的方法数，通过排除的间接方法求解，可以减少失误．例5 若{a，b，c}≠⊂{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，求符合条件的二次函数y = ax2＋bx＋c的解析式有多少种？解：从8个数字种任取3个数字，有A38种，但a = 0时的A27不满组题意要求，故应排除掉，所以符合条件的二次函数解析式共有A38－A27= 294种．例10 由0，1，2，3，4，5六个数字组成自然数，问有多少个数字不重复且大于102345的自然数？解：由于102345是由0，1，2，3，4，5组成的数字不重复的六位数中最小的一位．所以由0，1，2，3，4，5组成的数字不重复的比102345大的自然数有A15A55=599个．。
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合题的常见题型归类分析
排列、组合题的常见题型归类分析山东省利津县第一中学 胡彬 257400排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的归类分析解答．1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 [ ]A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列,共有2444=A 种,故选D.2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]A ．1440B ．3600C ．4820D ．4800分析 除甲、乙外,其余5个的排列数为55A 种,再用甲、乙去插6个空位有26A 种不同的排法种数是36002655=A A 种,故选B. 3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即602155=A 种, 故选B. 4．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 [ ]A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有:25201718110=C C C 种, 故选C.6．多元素问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 [ ]A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个、331314A A A 个、331313A A A 个、331312A A A 个、3313A A 个,合并总计得300个, 故选B.【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除的数的集合{}100,99,2,1⋅⋅⋅=A 共有86个元素.由此可知,从集合A 中任取两个数的取法,共有214C 种; 从集合A 中任取一个数又从集合A 中任取一个数的取法,共有186114C C 种,两种情形共得符合要求的取法有1295186114214=+C C C 种. 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此可得符合要求的取法共有225125125225C C C C ++(种).7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()25224353546=+--=⋂+--A A A A B A n B n A n I n (种)8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．分析 老师在中间三个位置上任选一个位置,有13P 种;然后4名同学在其余4个位置上有44A 种,共有724413=A A 种. 9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]A ．36B ．120C ．720D ．1440．分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排,共72066=A 种,故选C.【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析 看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种;某1个元素在后半段四个位置中任选一个,有14A 种;其余5个元素任排在剩余的5个位置上有55A 种,故共有5760552414=A A A 种排法. 10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 [ ]A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机,故不同取法共有70353439=--C C C 种,故选C.11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析 先取男、女运动员各两名,有2425C C 种;这四名运动员混双练习有22A 种排法,故共有222425A C C 种分组法.12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例15】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 [ ]A ．70个B ．64个C ．58个D ．52个分析 正方体8个顶点,从中每次取四个点,理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有581248=-C 个,故选C.。
2018学年高二数学人教A版选修2-3第1.2.1 排列 含解析
绝密★启用前1.2.1排列一、选择题1．【题文】某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（）A．10种B．20种C．25种D．30种2．【题文】甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A．2种B．10种C．12种D．14种3．【题文】3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．3 B．12 C．34D．434．【题文】6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．725．【题文】甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A．10 B．16 C．20 D．246．【题文】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种7．【题文】如图，电路中共有个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A.12B.28C.54D.638．【题文】如图，一环形花坛分成,,,A B C D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题9．【题文】由1,2,3,4可以组成个没有重复数字的正整数．10．【题文】某校举办优质课比赛，决赛阶段共有6名教师参加．如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场，且最后一个出场的只能是甲或乙，则不同的出场方案共有种．11．【题文】8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有_______种．三、解答题12．【题文】求证：11A A Am m mn n nm-+-=.13．【题文】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.14．【题文】7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同的站法多少种．（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．1.2.1排列 参考答案及解析1. 【答案】B【解析】由枚举法得选择的3天中恰好有2天连续的情况有4+3+3+3+3+4=20种，故选B.考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】D【解析】甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有1624=种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有14216=-种. 考点：计数原理． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】每位学生都有4种报名方法，因此有4×4×4＝43种. 考点：分步计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】C【解析】先把乙和丙，丁和戊看作两个整体进行排列有332A 种，再考虑乙和丙，丁和戊排法得共有3223222A A A 48=种，故选C ．考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法. 考点：排列与计数原理. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】B【解析】可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有25A 20=种排法；第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有44A 24=种排法；第三步，2名老人之间的排列，有22A 2=种排法，最后三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法. 考点：排列及简单计数问题. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有2213-=种；支线c 中至少有一个电阻断路的情况有3217-=种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.故选D. 考点：分步计算原理. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】B【解析】按A B C D ---顺序种花，可分,A C 同色与不同色，有()431322=84⨯⨯⨯+⨯种.故选B.考点：排列与计数原理.【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】64【解析】组成的正整数可以是一位数、两位数、三位数和四位数，共分类，所有共有12344444A A A A 64+++=个不同的无重复数字的正整数.考点：分类计数原理与排列. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】96【解析】若甲或乙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，有2424A A 48=种，若丙第一个出场，则最后一个出场的为乙或甲，故1424A A 48=种，根据分类计数原理，不同的安排方案共有48+48=96种. 考点：排列与计数原理的应用. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】30【解析】先将5次没命中的排列好共一种方法，将3次命中的分为2组，一组2次，一组一次共一种分法，将这两组插到5次没命中的6个空隙中共26A 6530=⨯=种，所以所求情形共2611A 30⨯⨯=种．考点：排列与计数原理． 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】见解析【解析】证明：∵A n +1m －A n m ＝()()1!1!n n m ++-－()!!n n m -＝()!!n n m -·111n n m +⎛⎫- ⎪+-⎝⎭＝()!!n n m -·1mn m +-＝m1A m n m -，∴11A A A m m m n n n m -+-=.考点：利用排列数公式证明恒等式. 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】（1）144（2）156（3）162【解析】（1）先排个位，再排首位，共有112344A A A 144⋅⋅=个．（2）以结尾的四位偶数有35A 个，以或结尾的四位偶数有112244A A A ⋅⋅个，则共有31125244A A A A 156+⋅⋅=个．（3）45、作千位时有352A 个；作千位，245、、作百位时有243A 个；作千位，作百位时有132A 个，所以共有3215432A 3A 2A 162++=个．考点：排列数公式的应用． 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）1440 （2）144 （3）420 （4）2112【解析】（1）2名女生站在一起有22A 种站法，视为一个元素与其余5人全排，有66A 种排法，∴有不同站法2626A A ＝1440种．（2）先站老师和女生，有33A 种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插男生，每空一人，有插入方法44A 种，∴共有不同站法3434A A ＝144种．（3）7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有44A 种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法420种．（4）中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有115245A A A 种站法．②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外4个位置之一，有214444A A A 种站法．∴共有不同站法115245A A A ＋214444A A A ＝960＋1 152＝2 112种．考点：排列、简单计数问题. 【题型】解答题 【难度】较难。
人教版数学高二A版选修2-3例题与探究1.2排列与组合
典题精讲【例1】 用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？思路分析:组成符合条件的五位数可分两步，首先确定个位数字，然后再确定其他各位数字；或按是否含有5这个特殊的数字，分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数，去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.解法一：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有15A 种方法；再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有45A 种方法.由乘法原理，所求五位数有15A 45A =600(个). 解法二：不含有数字5的五位数有55A 个；含有数字5的五位数，末位不选5有14A 种方法，其余数位有45A 种选法，含有5的五位数有14A 45A 个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有55A +14A 45A =600(个). 解法三：由1—6组成的无重复数字的五位数有56A 个，其中能被5整除的有45A 个.因此，所求的五位数共有56A -45A =720-120=600(个).绿色通道：若从最高位数字开始考虑，则问题就无法解决.被5整除的数，个位数字必须是0或5，因此，被5整除的问题，一般从个位数字开始考虑.变式训练1 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法，然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有34A 种方法，此时有434A 种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有45A +434A =216(个).答案:216.变式训练2 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为2或4，由于0不能放在首位，所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法，然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有34A ，此时有2×4×34A 种方法.故由加法原理可得五位偶数有45A +2×4×34A =312(个).答案:312.【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类原理和分步原理来解决，另外也可以用间接法解决.方法一：从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有14C ·25C 种取法.所以共有24C ·15C +14C ·25C =70(种)，故应选C.方法二：从所有的9台电视机中取3台有39C 种取法，其中全部为甲型的有34C 种取法，全部为乙型的有35C 种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法共有39C -34C -35C =70(种)，故应选C.答案:C黑色陷阱：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台，有14C ·15C 种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有17C 种取法，所以不同的取法共有14C ·15C ·17C =140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.变式训练1 假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )A.319723C C 种B.（4197135200C C C -）种C.319823C C 种D.（319723C C +219733C C ）种思路解析:已知200件产品中有3件次品，197件合格品，则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有219733319723C C C C +. 答案:D变式训练2 某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )A.1 050种B.700种C.350种D.200种思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有36C 25C +26C 35C =350(种).答案:C【例3】（1）写出从5个元素a,b,c,d,e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数. 思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.C=10（个）. 解：根据树形图，所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.组合数为35（2）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.思路分析:由于A不排在第一，所以第一只能排B，C，D中的一个.据此可分为三类，作树图可得解:所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 绿色通道：写符合条件的组合或排列要运用树图,利用它可以具体列出各种情况,从而避免重复或遗漏,能把抽象问题具体化,使解题思路明朗.其中排列的树形图与组合的树形图是有区别的,排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列,而组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的次序一般按照从左到右的顺序来考虑,否则容易出现重复或遗漏.变式训练1 a,b,c,d四人排成一列，a不在排头，d不在排尾，写出所有的排列.思路分析:作出树图.图中，有4层分枝的树叶，对应一个合要求的排列，共有14个.解:badc,bcda,bdac,bdca,cadb,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba.变式训练2 利用树图，写出用数字1、2组成的所有四位数.（数字可以重复）思路分析:因为每个数位上的数字只可能是1或2，所以在树图中，每个分枝都只有两个分叉，左边写1右边写2，经过四次分叉即可写出全部的四位数.图中，共有16片“树叶”，对应着16个四位数.解:1 111，1 112，1 121，1 122，1 211，1 212，1 221，1 222，2 111，2 112，2 121，2 122，2 211，2 212，2 221，2 222.【例4】 三个女生和五个男生排成一排,（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？思路分析:（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320（种）不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空当.这样共有4个空当，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有55A ·36A =14 400（种）不同的排法.（3）方法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400(种)不同的排法.方法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的13A ·77A 种排法和女生排在末位的13A ·77A 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有23A ·66A 种不同的排法，所以共有88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400种不同的排法. 方法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有36A ·55A =14 400种不同的排法. （4）方法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有15A ·77A 种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有13A ·15A ·66A 种不同排法.因此共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法.方法二：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生排法23A ·66A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有88A -23A ·66A =36 000种不同的排法. 解:(1)66A ·33A =4 320(种).(2)55A ·36A =14 400(种).(3)25A ·66A =14 400(种)或88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400(种)或55A ·36A =14 400(种).(4)15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000(种)或88A -23A ·66A =36 000(种).绿色通道：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法. 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其他的元素.间接法也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用. 变式训练1 某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?解:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3—6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.故有66A =720种.先确定甲的排法,有12A 种;再确定乙的排法,有14A 种;最后确定其他人的排法,有44A 种,因为这是分步的问题,所以用乘法原理,有12A ·14A ·44A =2×4×24=192种不同排法.采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一人,这样有55A 种不同排法,然后甲、乙两人之间再排队,有22A 种排法,因为是分步问题,应当用分步计数原理,所以有55A ·22A =120×2=240种排法.(4)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如___________女___________女___________女___________,再将3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样,男生有34A 种排法,女生有33A 种排法,因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有34A ·33A =24×6=144种排法.变式训练2 5名男生、2名女生站成一排照相.（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （4）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？解:（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排:22A ·55A =240（种）.（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生:25A ·55A =2 400（种）.（3）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生:26A ·55A =3 600（种）.（4）七个位置中任选五个排男生,问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的:57A =2 520（种）.【例5】 解方程:(1)3A x 8=4·19-x A ;(2)x x C C 751071=. 思路分析:利用排列数公式和组合数公式,消掉m n m n C A ,,转化为x 的代数方程再求解；同时注意排列数或组合数的方程或不等式中未知数的取值范围;对于排列数或组合数公式的两种形式能合理运用:一般连乘形式用于求值,而阶乘形式常用于化简和证明.解:(1)由排列数公式,原方程可化为)!10(!94)!8(!83x x -⨯=-⨯, 化简得x 2-19x+78=0,解得x 1=6,x 2=13.因为x≤8且x-1≤9,x ∈N *,所以原方程的解是x=6.(2)由组合数公式,原方程可化为!710)!7(!7!6)!6(!!5)!5(!•-=---x x x x x x . 化简得6-(6-x)=10)6)(7(x x --,解得x 1=2,x 2=21. 因为x≤5且x≤6,x≤7,x ∈N *,所以原方程的解是x=2.变式训练1 解方程:2213623x x x A A A +=+.解：由排列数公式,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).因为x≥3,所以3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),3x 2-17x+10=0.解之,得x=5,x=32,所以x=5. 变式训练2 解不等式:64n n C C >.解：由组合数公式,原方程可化为)!6(!6!)!4(!4!->-n n n n . 化简得n 2-9n-10＜0,解得-1＜n ＜10.因为n≥6,n ∈N *,所以不等式的解集为{6,7,8,9}.问题探究问题1:在解决排列和组合问题中都用到“树图”,它起到什么作用?导思:树图法虽然在解决排列和组合问题中不是用的很多或许有时根本不去理会它,但是它在教材中还是占有一定的比例去介绍,对教材前后内容的联系起着铺垫的作用,是解决排列和组合问题的基础方法.虽然解决排列和组合问题的方法很多,但都是一些技巧性较强、适用性很窄的方法,从而会让学生感到做题无从选择、举棋不定.树图法虽操作啰嗦,但适应性很广泛,思路明确清晰,有利于我们打开困惑,找出规律,为解题开拓新的局面.对此我们应不能低估其作用,而片面追求各种各样的技巧性方法.探究: “树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树图”就是“数”的图形,好象一颗树一样,从树干上长出几个主枝,主枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……最后一次分枝出的小分枝我们称为“树叶”.利用树图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形”的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一般适用于数字不太大的情况.若对于数字较大的排列组合问题,先缩减数字,用树图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方法.问题2：计数原理中学过两种方法：加法与乘法原理，但是在解决排列组合过程中发现有些计数问题中会出现除法，这是何故呢？导思:由此启发我们想到：对于某些比较生疏或困难的问题，可以采用这种补充一个步骤，使它变为已学过的熟悉的问题，反过来再用除法求原问题的解,即原问题+补充一个步骤=熟悉的问题，若原问题方法数为x ，补充步骤的方法数为y,熟悉的问题方法数为z,根据乘法原理：x·y=z,所以x=yz ,即原问题的方法数=补充步骤的方法数熟悉问题的方法数. 探究: 其实在组合数mn C 的计算中就出现了除法：m n m mm n C A A =.这是因为把组合问题补充上一个排序步骤后，就变成了排列问题.根据分步乘法计数法m n A =m n C ·m mA ,所以m n m m m n C A A =.。
高二数学(选修2-3人教B版)-排列(2)
非0
0
典型例题
第二类 末位为2. 要保证首位非0，分两步完成：
非0
2
第一步 从除2外的4个非0数字中任选一个，填到首位，排列数为 A41 ；
第二步 从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间
三个不同的位置，相应的排列数为 A43；
因此，大于20000的无重复数字的五位偶数共 312 72 240 个. 间接法:“正难则反”
典型例题
反思： 用间接法计算（1）中“用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 五位偶数”的个数：
法一：先算由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数的个数，再算其
中奇数的个数，相减即可得.
4
0,2
第一步 从0,2中任选一个，放到末位上，相应的排列数为 A21 ；
第二步 从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间
三个不同的位置，相应的排列数为 A43 . 由分步乘法计数原理，共 A21 A43 48个.
第二类 首位为5.末位为0,2或4，注意到第二、三、四个位置对数字无要 求，选定末位数字后，“用0,1,2,3,4,5组成以5为首位，0,2或4为末位的无 重复数字的五位数”这件事，均可抽象为“从除首位和末位2个数字外剩 下的4个元素中任取3个，排成一列”，因此可以分两步：
注意：排列数 Anm 是数，不指向具体的排列
二、排列数：
（2）排列数公式： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
其中，m, n N, m n .
右边第一个因数是 n ，后面每一个因数比它前面的因数少1， 最后一个因数是 n m 1 ，共有 m 个正整数相乘.
人教A版选修2-3排列问题常见方法例析.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作排列问题常见方法例析河南省郑州市第四中学 冀红波排列问题是两个计数原理的延伸,在现实生活中较为常见,但是对于不同的问题又有不同的处理方法,下面结合具体例子加以剖析.一、分类计数原理和分步计数原理是排列的基础例1.在所有无重复数字的四位数中,千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_______个. 解析:满足条件的四位数有以下几种形式:2××0,3××1,4××2,5××3,6××4,7××5,8××6,9××7,每种情况都有28A 个四位数,故共有8A 28=448个.故答案填:448. 点评:两个计数原理是解决排列问题的基础,在进行分类或分步时一般要先考虑一些特殊元素,例如本题中的个位数与千位数,这是解这类题的基本策略.二、间接法可以使复杂问题得以简化例 2.安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的总数是 .(用数字作答).解析:不妨把不一个出场的歌手记为A,把不最后一个出场的歌手记为 B.若不考虑条件限制,则有55A 种出场方法;A 第一个出场有44A 种排法,同样B 最后一个出场也有44A 排法,而A 第一个出场且B 最后一个出场有33A 种排法.故满足条件的排法有5443544378A A A A --+=种. 点评:从正面直接计算不复杂就直接进行计算,若直接计算情况较为复杂,可以先不考虑题设条件的限制求出方法数,再减去不符合条件的方法数即可求解,这就是间接法,它有点类似于反证法的思想.这种思维方法在解题中有着广泛的应用.三、利用相除法可避免固定顺序问题的复杂分类例3.若把组成下列单词中的每个字母作各种排列,恰好有420种排法的单词是( )A.trousersB.successC.streetD.friend解析:可以逐个进行验证.A 中的排法为:882222A A A 10080=种;B 中排法为:772323420A A A =种;C 中排法为662222180AA A=种;D中排法为:775040A=种.故答案选B.点评:解决某些元素位置固定的情况.一般思路是:先不考虑元素的限制,求出结果除以受限制元素的全排列数.本题中排列时相同字母之间是没有顺序的,可以看成固定顺序问题,利用这种相除法避免了分类带来的麻烦.四、捆绑法是解决相邻问题的基本方法例4.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的种数为( )A.A88B.A55A44C.A44A44D.A58解析:按分步计数原理,第一步:将女生看成一个整体,则有A55种方法;第二步:将女生排列,有A44种排法.再把4个女生看成一个“大元素”和4名男生放在一起进行排列,共有A55A44种排法.故答案选B.点评:相邻问题一般先把要求相邻的运算进行排列,再把它们看成一个元素,和剩余元素进行全排列,这种方法就是捆绑法.它是解决元素相邻问题的基本方法.五、插空法是解决不相邻问题的基本方法例 5.5名成人带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同的排法种数有( )A.A55·A24种 B.A55·A25种 C.A55·A26种 D.A77－4A66种解析:先排大人,有A55种排法,再排小孩,有A24种排法(插空法).故有A24·A55种不同的排法.故答案选A.点评:先排不受限制的元素,再把要求不相邻的元素插入这些元素的空间中,从而实现排列目标,这种方法就是插空法.它是解决元素不相邻问题的基本方法.以上是解决[排列问题的基本方法,在实际问题中有时候需要把这些方法综合使用,因此,在使用这些方法时必须灵活.。
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析
高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可用插空法，先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为_________（用数字作答）．【答案】1440．【解析】由题意知，可分三步完成本件事情，第一步，选1男生为体育课代表，第二步，选1女生为英语课代表，剩下的5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为．【考点】计数原理的应用．5.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个．【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…，当十位数字为8时有1个，当十位数字为9时有0个，所以共个数为8+7+…+2+1+0=36，答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；然后A与戊形成三个“空”，有种方法；再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题；捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．9.已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种，1件是正品种，所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。
人教版数学高二选修2-3 1.2关注排列组合中两类典型问题
关注排列组合中两类典型问题河南省滑县第六高级中学（456400）王红敢在排列组合问题中，对于映射问题的解决方法就是从定义入手，若是从A 到B 的映射，要求A 中的每一个元素在B 中有唯一的象，而涂色问题则是从总共用了多少颜色及不相邻区域是否同色入手解决。
一、映射问题例1、设{}1,2,3,4,5A =，{}6,7,8B =⑴从A 到B 可建立多少中不同的映射？⑵若要求B 中每个元素都有原象，则共有多少种映射？解析：⑴依映射的定义知，要建立从A 到B 的映射，只要对A 中的每一个元素，保证在B中有唯一确定的象即可，所以共有111115333333C C C C C =种。
⑵因为B 为象的集合，所以将A 中5个元素分成3部分，共有2种情况：一种是2个、2个、1个，有22532C C 种，另一种是1个、1个、3个，有11542C C 种，所以满足条件的映射的个数共有2211535415022C C C C +=种。
评注：本题中的⑵可以看成是熟悉的5个不同的小球装入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少1个；而⑴则可看成5个不同小球装入3个不同盒子，有多少种装法。
二、涂色问题例2、要用四种颜色给四川、青海、西藏、云南四省的地图染色（如图），每一省一种颜色，只要求相邻的省不同色，则不同染色的方法有多少种？解析：先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2中方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有432248⨯⨯⨯=种。
评注：本题主要是依据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本方法。
跟踪训练：1.{}1,2,3,4,5A =，{}6,7,8B =，从A 到B 的映射中，满足()()()123f f f ≤≤ ()()45f f ≤≤的映射有多少个？2.如图，一个地区分为5有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？思维展示：1．因为B 中有3个元素，所以()()()()()12345f f f f f ≤≤≤≤中至多有2个取不等号，没有不等号的映射（即A 中5个元素只与B 中一个元素对应）有13C 个；有1个不等号的映射（即A 中5个元素只与B 中两个元素对应）有124312C C =种，即在()()()()()1,2,3,4,5f f f f f 中的4个不等号中取1个，其余取等号；有2个不等号的映射有246C =个，所以共有312621++=个。
两个计数原理及排列组合(考点串讲)高二数学下学期期中考点大串讲(人教A版2019选择性必修第三册)
A
4 4
48
种排法.
由间接法可知，不同的排法种数为4812 36种.
故选：B.
典例剖析 【考点题型六】组合数的计算及性质的应用
【例
12】（23-24
高二上·福建宁德·期末）若 C2m2
Cm2 22
，则 C22
C32
C42
C
2 m
的值为（
）
A． 45
B． 55
C ．120
D．165
【答案】D
【详解】因为C2m2
绑插空，且 1，2 都在 5 的左边的概率，
若
1，2
间隔插空或者捆绑插空，共有
C
2 4
C14
10
种排列，
其中满足 1，2 都在 5 的左边的排列，共有C32 C13 6 ，
所以只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为 6 10
3 5
.
故答案为：
3 5
.
典例剖析 【考点题型四】特殊元素法
【例 8】（23-24 高三下·江西·开学考试）某班级举办元旦晚会，一共有8 个节目，其中有2
C．252 种
D．268 种 【答案】C
【详解】从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有
A
4 6
360
种方法；
甲在第一天值班有 A35 60 种方法；乙在第四天值班有A35 60 种方法；
甲在第一天值班且乙在第四天值班有
A
2 4
12
种方法；
因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天
【答案】276
【详解】分为下列三类情况：
第一类：两人分别坐前后两排，共有2810 160种；
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高二数学排列例题解析
一. 本周教学内容：
排列
二. 重点、难点：
1. 加法原理、乘法原理
解决复杂问题时，若采用分步完成，则用乘法原则，若采用分类完成，则用加法原则。
2. 将n 个不同元素排成一列，为!n A n n =
3. 从n 个不同元素中选出m 个排成一列为)!
(!m n n A m n -=
4. 捆绑法，插空法 【典型例题】
[例1] 有一分硬币3枚，五分硬币1枚，一角硬币6枚，从中至少取一枚，可组成多少种不同的币值。
解析：
同一种硬币k 枚可以取0，1，2……k ，共1+k 种选择
∴ 551)16)(11)(13(=-+++
[例2] 有一元纸币3张，伍元纸币2张，拾元纸币4张。
解析：
伍拾元纸币1张，从中至少抽取一张可组成多少种不同的币值。
两张伍元与拾元可互换 ∴ 将4张拾元看成8张伍元
2张伍元，4张拾元，可看成伍拾元 ∴ 伍拾元看成10张伍元
∴ 831)120)(13(=-++
[例3] 一次职业保龄球大赛的最后阶段。
预赛前五名按如下规则比赛，先由第四、五名比赛，输者为第五名，胜者与第三名比赛，输者为第四名，胜者与第二名比赛，依次类推，求有多种不同的获奖顺序。
解析：
共进行四场比赛，每场比赛无关，有两种不同结果
∴ 1624
= ∴ 有16种不同顺序
[例4] 五个学生同时争夺三项比赛的冠军，若除并列冠军情况，获得冠军的可能性有多少种。
解析：
每个冠军均有五种可能，互不影响
∴ 12553=种
[例5] 七名学生站成一排照相（高矮不同）
（1）站成一排有多少种不同的站法
（2）站成两排（前三后四）有多少种不同站法
（3）站成一排，甲乙必须相邻
（4）站成一排，甲乙不相邻
（5）甲在乙左边
（6）甲乙之间间隔两人
（7）甲不在左边第一个且乙不在右边第一个
（8）从中选出四人站一成一排，左边比右边高
答案：
（1）504077=A
（2）5040774437==⋅A A A
（3）14406622=⋅A A
（4）3600662277222655=⋅-=⋅⋅A A A A C A
（5）25202/77=A
（6）960442225=A A A
（7）37205515151655666677=⋅+=+--A C C A A A A A
（8）3547=C
[例6] 由0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的
（1）自然数
（2）能被3整除的三位数
（3）能被9整除的四位数
（4）能被4整除的四位数
（5）能被5整除的四位数
（6）能被25整除的四位数
答案：
（1）)()()(35462536152616A A A A A A A -+-+-+1631)()(55664556=-+-+A A A A
（2）各个位数字之和可被3整除
4022121212331212=⋅⋅+⋅⋅A C C C A C C
（3）各个位数字之和可被9整除
① 由1，3，5，0组成
② 由2，3，4，0组成
3633133313=⋅+⋅A C A C
（4）表面值为20，40，12，32，52，04，24
7243131324=⋅+⋅C C A
（5）末一位为0或5，108241435=+A C A
（6）末两位为25，50
21131324=⋅+C C A
[例7] 由1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，由小到大构成一个数列。
（1）这个数列共有多少项
（2）43251是第几项
（3）求各项和
解：
（1）12055=A 个
（2）1，2，3开头的有72个，41，42开头的12个
431开头的2个，然后43215，然后43251
∴ 为第88项
（3）1，2，3，4，5组现在各个位上的可能是相同的
∴ 120项的个位数字和为360)54321(44=++++A
∴ 3999960
)110101010(3602346=++++=S
（答题时间：30分钟）
1. 三个不同的盒子分别装有带标号的红色小球20个，白色小球15个，黄色小球8个。
（1）从中任取一球，有多少种不同的取法
（2）从每个盒中各取一个颜色不同的小球，有多少种不同的取法。
2. 某电子器件有一个由三个电阻组成的电路，共有六个焊点，若焊点脱落则电路不通，今发现电路不通，问焊点脱落的可能性有多少种。
3. 某校高中二年级共有6个班，开学初从外校转来3名高中二年级学生，要把他们分配到各班里去，每班至多1人，一共有多少种不同的分配方案。
4. 甲买了15本不同的新书，要包上书皮，甲有不同花色的包书纸16张，问有多少种不同的包法。
5. 有10个城市每市组一队参加足球友谊赛，要求任何两队都要进行主客场两场比赛，问一共赛多少场。
[参考答案]
1.（1）加法原则4381520=++ （2）乘法原则240081520=⋅⋅
2. 每一个焊点相互独立，均有两种可能，脱落或正常
共有62种可能 ∴ 电路不通的可能为63126
=-种
3. 解：12036=A
4. 解：1516A
5. 解：90210=A。