四川省遂宁高级实验学校高三数学理科第五期第四学月检试卷

四川省遂宁高级实验学校2007届高三数学理科第五期第四学月检试卷本试卷满分为150分，考试时间为120分钟；考试过程中不得使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共60分）1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 （ ）A ．1B ．3C ．4D ．8 2．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{a n }中，a 1>0，a 5=3a 7, 该数列前n 项和为S n ，当S n 取得最大值时，n 等于 （ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．6或7 4. 已知向量在那么),7,4(),3,2(-==方向上的投影为（ ）A ．565B ．513 C ．65 D ．135．已知f(x)的反函数为1()f x -，g(x)的图像与1(1)f x -+图像关于直线y=x 对称，则g(x)为（ ）A ．f -1(x)-1B ．f (x+1)C ．f(x)+1D ．f(x)-1 6．设0≤x<2π,且x 2sin 1-=sinx －cosx, 则（ ）A ．0≤x ≤πB ．4π≤x ≤45πC ．4π≤x ≤47π D ．2π≤x ≤23π7．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x ∈[]3,4时，f(x)=x-2,则 （ ）A ．f(sin12)<f(cos 12) B ．f(sin3π)>f(cos 3π) C ．f(sin1)<f(cos1)D ．f(sin 14)<f(cos 14)8．10个相同的小球放入四个不同的盒中，要求一盒中有1球，一盒中有2个球，一盒中有3个球，一盒中有4个球，不同的放法有 （ ） A ．24种 B ．10种 C ．10！种 D ．12600种9. 已知α是三角形的一个内角，且1sin cos 5αα+=，则方程22sin cos 1x y αα-=表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆10．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=A 2-B 0C 1D 211．6. 已知椭圆115)(622=-+t y x 的一条准线方程为y=7, 则实数t 的值为 ( ) A. 2或12 B. 2或7 C. 7或12 D. 11或1212．已知函数f(x)在(–1，1)上有定义，f(21)= –1，且当x, y ∈(–1，1)时，恒有f(x)+f(y) =f(xy 1y x ++)，数列{a n }中a 1 =21,a n+1 =2nn a 1a 2+(n *N ∈)，则f(a n )等于 （ ）A ． 12n --B ．12n -－2C ．2n-＋1D ．2n－3第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（每题4分，共16分） 13．已知cos α=71，cos (α+β)= －1411，α,β∈(0, 2π)，则β= 14．若动点(,)x y 在曲线221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为15．若圆锥曲线 + =1的焦距与K 无关，则它的焦点坐标是16．设函数)x (f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|x |M |)x (f |≤对一切实数x 都成立，则称函数)x (f 为有界泛函，在函数2(1)()2,(2)(),f x x g x x ==，(3)()sin v x x x =(4)()2xh x =中，属于有界泛函的有_________________（写序号）22-k x 52+k y[参考答案]一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）三、解答题（本大题有6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知集合220(1)x a A x x a ⎧⎫-⎪⎪=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭，{}57B x x a =<+，若A B B =，求实数a 的取值范围。

(1)当a=1时,A=ф,B={x|x<12},A ⊆B 即A ∪B=B.(2分)(2)当a ≠1时,A={x|2a<x<a 2+1},B={x|x<5a+7}解答:∵A ∪B=B,∴A ⊆B∴⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥+11752a a a 解得:-1≤a ≤6且a ≠1 综上可知: -1≤a ≤618. 在抛物线24yx =上恒有两点关于直线:3l y kx =+对称，求k 的取值范围。

解答.设1122(,),(,)B x y C x y 关于直线:3l y kx =+对称，直线BC 的方程为x ky m =-+，代入24y x =，得2440y ky m +-=设BC 的中点M 为00(,)x y ，则212002,22y y y k x k m +==-∴=+ 点00(,)M x y 在直线l 上，22(2)3k k k m ∴-=++，2223k k m k++∴=-又直线BC 与抛物线交于不同的两点，216160km ∆∴=+>将m 代入，化简得3230k k k++<，即2(1)(3)0k k k k +-+< 解得10k -<<。

19．设函数()f x =a.b，其中向量(2cos ,1),(cos ,2)x x x ==向量a b ，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,4πx ，求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()y f x =的图象按向量c (,)m n =（m ＜2π＝平移后得到函数2sin 2y x =的图象，求实数,m n 的值．解答:（I ）f(x)=2cos 2x-3sin2x=-3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+65π)+1 令2k π+2π≤2x+65π≤2k π+23π,得k π-6π≤x ≤k π+3π,k ∈Z ∴f(x)的单调减区间为[k π-6π,k π+3π],k ∈Z. （5分）（II ）当x ∈[-4π,0]时，2x+65π∈[3π,65π],∴sin(2x+65π)∈[21,1] 因此f(x)的值域为[2，3]（5分）（III ）由题意知，平移后所得图象对应的函数是y=2sin(2x-2m+65π)+1+n, 令-2m+65π=0,1+n=0,得m=125π,n=-1.（4分）20. 设双曲线的实轴长为4，并且以抛物线y 2=x-1上一动点P 为右顶点，以y 轴为右准线.(1)求双曲线中心的轨迹方程；(1) 求离心率最小时的双曲线的方程.解答：(1)设M(x ，y)为双曲线中心轨迹上任意一点P(x 1，y 1)为抛物线y 2=x-1上的动点，且为双曲线的右顶点.又a=2. ∴x 1-x=2，即x 1=x+2，y 1=y.∴把(x 1，y 1)代入y 2=x-1，得 y 2=x+1.∵y 轴是双曲线的右准线， ∴-1≤x ＜0，∴所求轨迹方程为y 2=x+1.(-1≤x ＜0) (2)设双曲线方程为由题设条件得x 0+ =0，即x 0=- =- .又点(x 0，y 0)在y 2=x+1上∴y 20=- +1≥0， ∴c ≥4.故e= ≥2，当且仅当c=4时等号成立. ∴e 的最小值为2.此时x 0=-1，y 0=0，b 2=c 2-a 2=12.∴所求双曲线方程为 21. 如图，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，M 为椭圆上一点，2MF 垂直于x 轴，且OM 与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行，（Ⅰ）求椭圆的离心率；.1)(4)(22020=---by y x x c a 2c a 2c 4c4a c.1124)1(22=-+y x（Ⅱ）若G 为椭圆上不同于长轴端点任一点，求21GF F ∠取值范围；（Ⅲ）过2F 且与OM 垂直的直线交椭圆于P ，Q .若3201=∆Q PF S ，求椭圆的方程.解：(Ⅰ)由已知),(2a b c M AB OM K K = a bac b =∴2 c b =∴，22==a c e (Ⅱ)设m GF =1，n GF =201)2(2124242)(24cos 22222222=-+≥-=--+=-+=n m b mnb mnc mn n m mn c n m θ当且仅当n m =时，0m i n )(c o s =θ ⎥⎦⎤⎝⎛π∈θ∴2,0(Ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧===+--=c b c a b a y a x b c x y ,2)(2222222 0222522=--⇒c cy yc y y y y y y 5344)(2122121=--=-,3205342212121211=⨯⨯=-=∆cc y y F F S Q PF 50,25222===∴a b c ∴椭圆的方程为1255022=+y x 22.设函数f(x)的定义域为R ，当x ＞0时，f(x)＞1，且对任意x,y ∈R ， 都有f(x+y)=f(x)·f(y).(Ⅰ)求证：f(0)=1；(Ⅱ)求证：f(x)在R 上是增函数；(Ⅲ)设集合A=｛(x,y)｜f(x 2)·f(y 2)＜f(1)｝,B=｛(x,y)｜f(x+y+c)=1,c ∈R ｝，若A ∩B=φ，求c 的取值范围。

(Ⅰ)证明：为使f(x+y )＝f(x)·f(x)中出现f(0)，设x ＝０,y ＝1.则f(0+1)＝f(0)·f(1)，∴f(1)＝f(0)·f(1)，∵x ＞0时，f(x)＞1， ∴f(1)＞1，∴f(0)＝1(Ⅱ)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，f(x 2)＝f ［x 1+(x 2-x 1)］＝f(x 1)·f(x 2-x 1)，∵f(x 2-x 1)＞1， 若x 1＞0则f(x 1)＞1＞0；若x 1＝0则f(x 1)＝１＞0； 当x 1＜0时，有f(x 1)·f(-x 1)＝f(x 1-x 1)f ＝(0)＝1.又∵f(-x 1)＞1，∴0＜f(x 1)＜1，∴对一切x 1∈R ，有f(x 1)＞0， ∴f(x 2)＝f(x 1)·f(x 2-x 1)＞f(x 1)，故命题得证.(Ⅲ)∵f(x 2)·f(y 2)＜f(1)，∴f(x 2+y 2)＜f(1)，∴x 2+y 2＜1.B ：由单调性知f(x+y+c)＝f(0)，∴x+y+c ＝0.∵A ∩B ＝φ，∴由图形分析知：只要x 2+y 2＝1与直线x+y+c ＝0相离或相切， ∴ ≥1，∴c ≥ 或c ≤- . 2||c 22。