LU分解法
数值计算方法LU分解法实验
数值计算方法LU分解法实验LU分解法是一种常见的数值计算方法，用于解线性方程组或求解矩阵的逆。
该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在本篇文章中，我们将进行关于LU分解法的实验，并探讨其性能和应用。
首先，我们需要明确LU分解法的数学原理。
假设我们有一个n阶方阵A，LU分解法的目标是找到两个矩阵L和U，使得A=LU。
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
然后，我们可以将原始的线性方程组Ax=b转化为两个新的方程组Ly=b和Ux=y。
通过求解这两个方程组，我们可以得到原始方程组的解。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明LU分解法的步骤和计算过程。
假设我们有以下方程组：2x+y+z=8-3x-y+2z=-11-2x+y+2z=-3首先，我们将系数矩阵A进行LU分解。
在这个例子中，我们可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：L=100-1.510-1-11U=21101.52.5001然后，我们将方程组转化为Ly=b和Ux=y的形式。
解这两个方程组，可以得到y和x的值。
最终，我们可以得到方程组的解为x=2，y=3，z=-1通过以上的实例，我们可以看到LU分解法的步骤较为繁琐，但是它的结果是准确的。
那么，接下来我们将进行一系列实验，来评估LU分解法的性能和应用。
首先，我们将进行LU分解法的准确性测试。
我们将随机生成一组方程组，并使用LU分解法求解出它们的解。
然后，我们将使用该解验证原方程组，并计算出其误差。
我们重复这个过程多次，并计算平均误差。
通过这次实验，我们可以判断LU分解法的准确性。
其次，我们将评估LU分解法的计算效率。
我们将随机生成不同规模的方程组，并使用LU分解法求解它们。
然后，我们记录下求解所需的时间，并绘制出问题规模和求解时间的关系图。
通过这个实验，我们可以了解LU分解法在不同规模问题上的计算效率，从而评估其可行性和应用范围。
此外，我们还可以将LU分解法与其他数值计算方法进行比较。
lu分解条件 主子式不为零
lu分解条件主子式不为零1.引言1.1 概述在数学和线性代数中，LU分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵(Lower triangular matrix)和一个上三角矩阵(Upper triangular matrix)的乘积。
LU分解条件指的是在进行LU分解时，矩阵的主子式不为零的要求。
主子式是指从一个矩阵中选择若干行和若干列所形成的子矩阵的行列式。
矩阵的主对角线上的行列式称为一阶主子式，主对角线两侧排列的两行两列行列式称为二阶主子式，依此类推。
主子式的值可以用来确定矩阵的性质和特征。
主子式不为零的意义在于确保LU分解的可行性和唯一性。
当矩阵的主子式都不为零时，LU分解存在且唯一。
这是因为当主子式不为零时，矩阵中的行和列之间存在一定的关系和约束，使得LU分解可以被准确地进行。
LU分解的重要性在于它可以简化矩阵计算和求解线性方程组的过程。
通过LU分解，我们可以将复杂的线性方程组转化为两个简单的三角形方程组，从而更方便地求解未知数。
此外，LU分解还具有数值稳定性强、计算效率高等优点，在科学计算、工程领域和数据处理中被广泛应用。
因此，深入理解和掌握LU分解条件和主子式不为零的意义对于学习和应用线性代数及相关领域的人来说是至关重要的。
本文将从讲解LU分解条件的概念和重要性入手，详细阐述主子式不为零的定义与意义，并总结它们在实际应用中的价值和需要注意的事项。
通过对这两个概念的全面理解，读者将能够更好地应用LU分解方法解决实际问题，并在相关领域中取得更好的成果。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照如下编写：文章结构部分旨在介绍本文的整体架构和内容安排。
通过清晰明了的结构安排，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和思路。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对整篇文章进行了概述，概括了文章的主题和目的，引起读者的兴趣。
接着介绍了文章的具体结构，包括引言、正文和结论部分，并简要描述了每个部分的内容。
lu分解法求逆矩阵
lu分解法求逆矩阵
一、LU分解法求逆矩阵
LU分解法求逆矩阵是利用多项式根的原理，把一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的积，这样可以求解矩阵的逆矩阵，本文将介绍如何用LU分解法求逆矩阵。
1、首先，我们需要将矩阵进行LU分解，具体步骤如下：
a.首先，令U=A，将矩阵A分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L 的积；
b.用高斯消元法，把U变成上三角矩阵，把L变成下三角矩阵；
c.完成LU分解，得到U和L；
2、接着，我们可以用LU分解法求逆矩阵，具体步骤如下：
a.首先，建立增广矩阵，即将单位矩阵乘以矩阵A的转置，得到增广矩阵B；
b.接着，用LU分解法把增广矩阵B分解为上三角矩阵U和下三角矩阵L的积；
c.再用高斯消元法，把U变成上三角矩阵，把L变成下三角矩阵；
d.最后，求解增广矩阵B，即可得到矩阵A的逆矩阵；
3、总结：
Lu分解法求逆矩阵，是把一个矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的积，再用高斯消元法，将它们变成上三角矩阵和下三角矩阵，求解增广矩阵，最终即可得到矩阵的逆矩阵。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解在数学中，线性方程组是求解多元一次方程组的一种重要方法。
它在各种科学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU分解法和Jacobi迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵的基本变换，通过不断变形将线性方程组转化成行最简形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 先将系数矩阵化为上三角矩阵。
从第一行开始，每一行都使用该行的第一个元素除以它下面的元素，将其所在列下面的所有元素消为0。
这个过程称为消元。
3. 接着，再将上三角矩阵转化为行最简形式。
从最后一行开始，每一行都使用该行的第一个非零元素除以它上面的元素，将其所在列上面的所有元素都消为0。
4. 通过以上变换，线性方程组的解就可以直接读出。
具体来说，最后一行所对应的方程是一个单变量方程，规定该变量的解为该方程的解，再逐步回代到前面的方程中求解其他变量即可。
高斯消元法的优点是计算量比较小，而且对于系数矩阵满秩的情况，它的解决效率极高。
但是，当系数矩阵有多个零行或行向量是另一行向量的倍数时，高斯消元法就会出现退化的情况，此时需要通过其他方法进行求解。
二、LU分解法LU分解法是一种比高斯消元法更加高效的求解线性方程组的方法。
它基于矩阵的分解，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 通过高斯消元法将系数矩阵化为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积形式，即A=LU。
3. 将线性方程组转化为LY=B和UX=Y的两个方程组，其中L 和U是A的三角分解矩阵。
4. 先解LY=B，得到向量Y。
再解UX=Y，便得到线性方程组的解。
相对于高斯消元法，LU分解法的计算量更小，尤其是当多次求解同一个系数矩阵时，LU分解法可以提高计算效率。
lu分解基本内容
lu分解基本内容LU分解是一种常用的自然语言处理技术，可以将自然语言句子转化为一组结构化的信息，以便计算机能够理解和处理。
LU分解主要包括词法分析、句法分析和语义分析三个过程。
一、词法分析词法分析是将句子分解为一个个基本的单词或词组的过程。
在这个过程中，句子被切分成一个个独立的词语，并且为每个词语标注上相应的词性。
词法分析的目的是将句子中的单词进行标准化和归类，为后续的处理提供基础。
词法分析使用的技术主要包括分词和词性标注。
分词是将句子切分成一个个独立的词语的过程，常用的方法有基于规则的分词和基于统计的分词。
词性标注是为每个词语标注上相应的词性，常用的方法有基于规则的词性标注和基于统计的词性标注。
二、句法分析句法分析是将句子中的词语按照一定的语法规则进行组织和分析的过程。
在这个过程中，句子的语法结构和句子成分之间的关系被确定下来。
句法分析的目的是识别句子中的主语、谓语、宾语等成分，并且确定它们之间的依存关系。
句法分析使用的技术主要包括短语结构分析和依存句法分析。
短语结构分析是将句子按照一定的语法规则进行分解和组织，形成短语结构树。
依存句法分析是识别句子中的主要成分，并且确定它们之间的依存关系，形成依存关系树。
三、语义分析语义分析是对句子的意义进行解析和理解的过程。
在这个过程中，句子中的词语和短语被赋予相应的语义信息，以便计算机能够理解句子的真实含义。
语义分析的目的是将句子转化为计算机可以处理的结构化的语义表示形式。
语义分析使用的技术主要包括词义消歧和语义角色标注。
词义消歧是为句子中的多义词确定其具体的词义，常用的方法有基于知识库的词义消歧和基于上下文的词义消歧。
语义角色标注是为句子中的谓词和宾语等成分标注上相应的语义角色，以描述它们在句子中的语义作用。
LU分解是将自然语言句子转化为一组结构化的信息的过程，包括词法分析、句法分析和语义分析三个过程。
通过LU分解，计算机可以理解和处理自然语言句子，实现自然语言处理的各种任务，如机器翻译、问答系统等。
lu分解方法求矩阵特征值
lu分解方法求矩阵特征值
矩阵特征值可以通过LU分解方法来求解。
首先，我们需要将矩阵A进行LU分解，得到一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得LU=A。
接下来，我们可以利用LU分解的结果来求解特征值。
假设我们已经得到了LU分解后的矩阵L和U，那么我们可以进行如下步骤来求解矩阵A的特征值：
1. 首先，求解U矩阵的特征值。
U矩阵是一个上三角矩阵，其特征值就是它的对角线元素。
2. 接下来，求解L矩阵的特征值。
L矩阵是一个下三角矩阵，其特征值也是它的对角线元素。
3. 最后，将U矩阵和L矩阵的特征值组合起来，就得到了矩阵A的特征值。
需要注意的是，LU分解方法求解特征值的过程相对比较复杂，尤其是对于大型矩阵而言。
在实际应用中，可以借助计算机软件来进行LU分解和特征值求解，以提高计算的准确性和效率。
总之，通过LU分解方法可以求解矩阵的特征值，但需要注意计算的复杂性和精度的要求。
希望这个回答能够帮助到你理解如何利用LU分解方法来求解矩阵的特征值。
lu分解迭代求精法
lu分解迭代求精法
LU分解是一种常用的矩阵分解方法，用于求解线性方程组或矩阵的逆。
LU分解迭代求精法是指在已经进行了LU分解的基础上，通过迭代逐步求取精确解的方法。
下面以迭代求解线性方程组为例来说明LU分解迭代求精法的步骤：
1. 对系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 将线性方程组Ax=b转化为LUx=b。
3. 设定初始解向量x^(0)的初始值。
4. 迭代计算x^(k+1) = U^(-1)(b - Lx^(k))，其中k为迭代次数。
5. 判断精度是否满足要求，如果满足则停止迭代，否则返回第4步。
迭代求解的精度取决于迭代次数和初始解向量的选择，一般可以使用收敛准则来判断是否满足要求。
常用的收敛准则包括残差准则和误差准则。
需要注意的是，LU分解迭代求精法虽然可以提高解的精度，但在某些情况下可能会导致迭代过程发散或慢速收敛。
因此，在实际应用中需要根据具体问题选择合适的迭代方法和初始解向量，并进行收敛性分析以保证求解结果的可靠性和精度。
逆矩阵的算法
计算矩阵的逆矩阵的常见算法有多种，其中最常用的是高斯-约旦消元法和LU分解法。
以下是这两种算法的概述：
高斯-约旦消元法：
首先，将待求逆的矩阵A扩展成一个n×2n的矩阵，其中前n列是矩阵A，后n列是单位矩阵I。
通过一系列的行变换操作，将A的左半部分变为单位矩阵I，同时记录对应的操作，得到扩展矩阵。
若A的左半部分变为I，则A的右半部分即为逆矩阵A^-1。
LU分解法：
对于矩阵A，使用LU分解将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即A = LU。
求解下三角矩阵L和上三角矩阵U的过程可以使用高斯消元法。
对于方程AX = I，可以将其分解为LUX = I，然后通过前代和回代的方式求解X，即可得到逆矩阵A^-1。
这些算法可以通过计算机编程语言（如MATLAB、Python等）来实现。
请注意，计算逆矩阵时需要考虑矩阵是否可逆，即矩阵的行列式是否为非零。
当行列式为零时，矩阵是奇异的，没有逆矩阵。
另外，对于大型矩阵或稀疏矩阵，可能会采用其他更高效的算法或数值方法来计算逆矩阵，例如特征值分解、奇异值分解等。
lu分解算法
lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。
具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。
2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。
3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。
4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。
- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。
- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。
5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。
通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。
此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。
数值分析5LU分解法
数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。
本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。
一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。
二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。
L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。
2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。
3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。
三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。
对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。
2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。
此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。
四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。
例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。
另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。
总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。
通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。
然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。
LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。
一基本的三角分解法LU分解
ann
ln
1
lrr
lnr
lnn
lrr
llnnnr
a11 l11 l11 a21 l21 l11 ai1 li1 l11 i 1,2, , n
L的第一列元素 li1可以求出
-------------(1)
假设L的第1 ~ r 1列已求出, 考察A的第r列元素air
r
r 1
arr lrk lrk lr2k lr2r
k 1
k 1
-------------(2)
r
r 1
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1
k 1
-------------(3) i r, r 1, , n
由(6) ~ (8)式可得L的元素的计算公式
l11 a11
称由(2) ~ (6)式为解Ax d的追赶法
pn
dn
得
y1 d1 / p1 yi (di bi yi1) / pi
--------(5)
i 2,3, , n
(2) 解Ux y
1 q1
1 q2
(U , y)
1
y1
y2
qn1 yn1
1
yn
得
xn yn xi yi qi xi1
--------(6)
i 2,3, , n
y3 l33
2
y1 lk1 xk
x2
y2
l32 x3 l22
1
x1
k 2
l11
1
所以原方程组的解为 x (x1 , x2 , x3 )T (1,1,2)T
三 追赶法
对角占优矩阵: 若矩阵A (aij )nn 满足
lu分解matlab代码
LU分解（LU Decomposition）及其在Matlab中的实现1. 介绍LU分解是一种矩阵分解的方法，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这种分解可以帮助我们更容易地求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等操作。
在Matlab中，LU分解可以通过调用内置函数lu来实现。
本文将详细介绍LU分解的原理、应用以及如何使用Matlab进行LU分解。
2. LU分解原理给定一个n×n的方阵A，我们想要将其分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
LU分解的原理是通过高斯消元法来实现。
具体步骤如下： 1. 初始化L为单位下三角矩阵，U为A。
2. 对U应用高斯消元法，将U转换为上三角形式。
在每一步消元过程中，我们需要更新L和U的元素。
3. 最终得到L和U两个矩阵，它们满足A = LU。
3. LU分解应用3.1 求解线性方程组LU分解可以帮助我们更快速地求解线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
假设我们已经得到了LU分解后的L和U矩阵，那么我们可以通过以下步骤求解线性方程组： 1. 解Ly = b得到中间变量y。
2. 解Ux = y得到最终结果x。
这种方法比直接使用高斯消元法求解线性方程组更高效，尤其对于需要多次求解不同的常数向量b的情况下。
3.2 计算行列式和逆矩阵LU分解也可以用于计算矩阵的行列式和逆矩阵。
对于一个n×n的方阵A，其行列式可以通过L和U的对角元素相乘得到。
即det(A) = det(L) × det(U) = ∏(U(i,i))，其中i从1到n。
而逆矩阵可以通过以下步骤得到： 1. 对单位下三角矩阵L应用前代法（forward substitution），得到中间结果y。
2. 对上三角矩阵U应用回代法（backward substitution），得到最终结果x。
3. 最终结果x即为A的逆矩阵。
LU分解法
具体的计算结果比较，取一正定对称矩阵,比较不 同算法 的结果，以及考虑稀疏和不考虑稀疏计算 时间的差别。
lu分解法是直接分解法中的一种算法将方程组axb中的稀疏矩阵a分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵其中alu令yux那么在方程租的运算中可以先解lyb再解uxy在编程过程中分两步进行先对矩阵a进行lu分解然后再解方程组由lua及对l和u的要求可以得到分解的计算公式
LU分解法
线性方程组的解法通常分为两大类：直接接法和 迭代解法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步 四则运算可以求得方程组。但是，在实际计算时， 由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算 过程中所产生的舍入误差等都对解的精确度产生 影响，因此直接法实际上也只能算出方程组真解 的近似值。
目前较实用的直接法是高斯消去法和一些变形，例 如选主元的高斯消去法和矩阵的三角分解法，它们 都是目前计算机上常用的有效方法。直接法的优点 是计算量小，可事先估计，缺点是所需存贮单元较 多，编写程序较复杂，计算程序所需时间较长。
n2 11 12 13 21 31 22 23 32 33
u u U
(n-1)n nn
1n 2n
3n
…
n1
…
n3
…
a a
…
n2
a … a
nn
LU分解的函数程序为
• • • • • • • • • • • • • • function [L,U]=LU(A) r=length(A(1,:)) x=zeros(r,1) m=zeros(r,r) for i=1:r-1 for j=i+1:r m(j,i)=A(j,i)/A(i,i) for k=i:r A(j,k)=A(j,k)-m(j,i)*A(i,k) end end end L=m+eye(r) U=A
一基本的三角分解法LU分解
0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T
5.LU分解ppt课件
2
内容:LU分解. 关键词: 1.LU分解 :将系数矩阵A转变成等价两个矩 阵L和U的乘积 ,其中L和U分别是下三角和 上三角矩阵 ,而且要求U的对角元素都是1. 2.紧凑格式:由于可以把L和U两个矩阵压缩 到一个数组中,而且还可以存储在原来的系 数矩阵A的数组中.这种LU分解常被称为紧 凑格式.
a1 b1 , 1 c1 a1
ai bi ai i1
(i 2,3, , n)
i ci (bi i i1 )
(i 2, , n)
15
实现A的Crout分解后
求解
Ax d
当A LU时，可由 Ly d及Ux y解出
从而得之对角方程组的 计算公式
1
c1 a1
i
bi
ci
a i i 1
9
特殊方程组的解法
1.追赶法 2.LDLT分解法
10
1.追赶法
追赶法与稀疏线性方程组
追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得 到对三对角线性方程组的快速解法。
因三对角矩阵的非零元素呈“带状”， 我们也因此将它叫做带状矩阵。
11
三对角线性方程组：
i
( B )即根据矩阵乘法及相等
定义，有：
b1 a1 , c1 a11 ; ai i , bi i i1 ai (i 2, , n)
ci ai i (i 2, , n 1)
由比较系数所得关系式 推得计算ai ,i , i 的计算公式
14
追赶法计算公式
i ai
(i 1,2, , n 1)
li1=ai1 / u11
i=2,3,…,n
lii 1
lu分解的条件
lu分解的条件
LU分解是一种线性代数算法，用来解决方程组。
它将矩阵A分解为两个下三
角矩阵L与U。
其中L是一个单位对角矩阵，它的对角线上的元素为1，其余元素
均为0；而U是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素除1外均为0。
LU分解的执
行过程如下：首先，根据原矩阵的选主元或停止条件，将矩阵A分为两个矩阵L与U；然后，根据L和U的特性，迭代求解系数矩阵。
LU分解一般有两个应用：一是
分解大矩阵，从而减少计算时间；二是完成线性系统的求解，用有效的方法实现快速求解。
LU分解的条件是它要求被分解的矩阵A必须是一个非奇异的方阵，并且通过置换
方法，被置换后的矩阵是一个简化的下三角矩阵。
这意味着，A的任意子矩阵必须
有可逆元素，并且A中的每个主元必须大于0。
只有满足上述条件，LU分解才能有效地执行。
LU分解是数学建模、统计分析以及数值积分中常用的数值求解方法。
它更加
适合那些不能采用其他更简单更快捷的解法求解的复杂方程组，从而节省计算时间、提高求解效率。
LU分解的另一个应用是它可以分解多元函数的偏导数矩阵，从而
简化一阶及二阶雅克比矩阵的积分过程，避免积分出错，提高计算精度。
总之，LU分解是一种线性代数处理方法，具有广泛的应用前景。
通过它，可
以减少计算量，有效提高求解效率，为科学研究奠定基础。
求矩阵初等因子的三种方法
求矩阵初等因子的三种方法矩阵初等因子是矩阵分析中的重要概念，它能够帮助我们理解矩阵的结构和性质。
本文将介绍三种求解矩阵初等因子的方法，分别是高斯消元法、LU分解法和奇异值分解法。
我们来介绍高斯消元法。
高斯消元法是一种常用的求解矩阵初等因子的方法，它通过一系列的行变换将矩阵转化为上三角矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵的第一行标准化，即将第一行的首个非零元素变为1。
2. 将第一行的倍数加到后面的行上，使得每一行的首个非零元素都为0。
3. 重复上述步骤，将第二行、第三行等标准化，并将其倍数加到后面的行上，直到矩阵变为上三角矩阵。
4. 上三角矩阵的对角线上的元素即为矩阵的初等因子。
我们介绍LU分解法。
LU分解法是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法，通过LU分解可以方便地求解矩阵的初等因子。
具体步骤如下：1. 对原始矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 将L和U相乘，得到原始矩阵A。
3. 上三角矩阵U的对角线上的元素即为矩阵A的初等因子。
我们介绍奇异值分解法。
奇异值分解法是一种将矩阵分解为三个矩阵相乘的方法，通过奇异值分解可以求解矩阵的初等因子。
具体步骤如下：1. 对原始矩阵进行奇异值分解，得到左奇异矩阵U、奇异值矩阵Σ和右奇异矩阵V。
2. 将左奇异矩阵U和奇异值矩阵Σ相乘，再与右奇异矩阵V相乘，得到原始矩阵A。
3. 奇异值矩阵Σ的对角线上的元素即为矩阵A的初等因子。
矩阵初等因子是矩阵分析中的重要概念，通过求解矩阵的初等因子，我们能够深入理解矩阵的结构和性质。
本文介绍了三种求解矩阵初等因子的方法，分别是高斯消元法、LU分解法和奇异值分解法。
这些方法在实际问题中具有广泛的应用价值，希望读者能够通过本文对矩阵初等因子有更深入的了解。
第七章LU分解
ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。 它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不 必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再 记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元 素 而上三角存储U的元素。 再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i） 和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全 可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中 的相应元素，即：
a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理 如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带 宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义 ，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1
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i, j 1,2,, n
u1 j j lik ukj u k 1 jj aij li1 , , li ,i 1 ,1,0, 0 i 1 0 l u u ik kj ij k 1 0
a11 a12 a1n a21 a21 a2 n a a a n 1 n 2 nn
1 l21 l n1
1 ln 2
1
u11
u12 u 22
that is
we can obtain y 9,5,3,1。
T
1 2 1 3
0 1 2 3
0 0 1 2
4 y1 9 0 y 2 23 0 y3 22 1 y 4 47
u11 u12 u1n 1 u 22 u 2n l21 1 and U L l u nn n1 ln 2 1
LU decomposition is calculated We can use matrix properties calculated directly，set
Using backward substitution we obtain
1 x ,2,3,1 2
T
Application of Lu decomposition method
function LU(A,b) %A为系数矩阵，b为右端项矩阵 [m,n]=size(A); %初始化矩阵A，b，L和U n=length(b); L=eye(n,n); U=zeros(n,n); U(1,1:n)=A(1,1:n); %开始进行LU分解 L(2:n,1)=A(2:n,1)/U(1,1); for k=2:n U(k,k:n)=A(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k:n); L(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k); end L %输出L矩阵 U %输出U矩阵 y=zeros(n,1); %开始解方程组Ux=y y(1)=b(1); for k=2:n y(k)=b(k)-L(k,1:k-1)*y(1:k-1); end x=zeros(n,1); x(n)=y(n)/U(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(y(k)-U(k,k+1:n)*x(k+1:n))/U(k,k); end for k=1:n fprintf('x[%d]=%f\n',k,x(k)); end
we then solve Ux y for x ，the solution of the original sysmtem;
2 0 0 0 4 1 0 0 2 2 3 0 6 x1 9 3 x2 8 6 x3 3 1 x4 1
LU decomposition of the matrix
孙军霞
Theorem6.17 If Gaussian elimination can be performed on the linear system Ax=b without row inter-changes, then the matrix A can be factor into the product of a lower-triangular matrix L and an upper-triangular matrix U;
u1n u 2n u nn
The equation on both ends of the corresponding element will be equal.
当 i 1 时，得 u1j a1 j j 1,2,n ，从而计算出U 的第一行元素。 n ，从而计算出 L 当 j 1 时，得 ai1 li1u11 i 2,3， 的第一列元素。
ji
ji
i 1， 2， ，n
Computation formula is as follows：
j 1,2,, n u1 j a1 j i 2， 3， n l a u i 1 i 1 1 1 i 1 u a j i , i 2 , 3 , , n l u ij ij ik kj k 1 j 1 1 aij lik u kj i j, j 2,3,, n lij u k 1 ij
The application of LU decomposition Example 1: To solve the linear system
2 4 2 6 x1 9 4 9 6 15 x2 23 2 6 9 18 x 22 3 6 15 18 40 x 47 4
We can by the formula:
1 2 L 1 3 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1
2 0 U 0 0
4 1 0 0
2 2 3 0
6 3 6 1
we first introduce substitutionUx y