哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学2014年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷

参考答案
二、填空题
13． 14．3
5
15．4π 16．5 三、解答题
17．解：(Ⅰ) sin sin()2sin 2B A C
C +-=
sin()sin()4sin cos sin 2sin A C A
C C C A C ⇒++-=⇒=……………………….2分
2a c ⇒=
……………
…………4分
又因为2
2
2b ac c ==
所以2223
cos 24
a c
b B a
c +-=
=……………………….6分 (Ⅱ)b a c ===
……………………….8分 又因为sin 4
B ==……………………….10分 所以1sin 2AB
C S ac B =
=V .12分 18．(Ⅰ)证明：Θ侧棱⊥SA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD CD SA ⊥∴. ……………………….1分 又Θ底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC
CD AD ⊥∴,又A SA AD =I
⊥∴CD 侧面SAD ,……………………….3分 ⊂AE 侧面SAD
∴D SD CD SD AE CD AE =⊥⊥I ,,
∴⊥AE 平面SDC ……………………….5分
(Ⅱ) 连结AC ,Θ底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ,
.1,2===DC AD SA ∴2=AC ,4
π
=∠CAB ,设t AB =，则
t t AC S ABC 2
1
42=⋅=
∆，Θ三棱锥
t V ABC S 213261⋅==
-,∴2
1
==AB t .……………………….7分 如图建系，则)0,1,1(),0,0,2
1
(),0,1,0(),2,0,0(),0,0,0(C B D S A ,由题意平面SAD 的一个法向
量为)0,0,1(=，不妨设平面SBC 的一个法向量为),,(z y x =，)2,0,21
(-=
)2,1,1(-=,则0,0=⋅=⋅,得⎩
⎨
⎧=-+=-020
4z y x z x ，不妨令1=z ，则)1,2,4(-=n ……………………….10分
21
4|
|||,cos ==
〉〈n m ,……………………….11分
设面SAD 与面SBC 所成二面角为θ，则21
105
sin =
θ……………………….12分 19．解： （Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ……1分
由600200≤<S ，得250150≤<w ，频数为39，……3分
.4分
………………………
.8分
K 2的观测值()
2
100638227 4.575 3.84185153070
k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯……………………….10分
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12分 20．解：
（Ⅰ）依题意有22,9
1
41a a b
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又因为222
a b c =+，所以得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故椭圆C 的方程为2
212
x y +=. ……3分 （Ⅱ）依题意，点,A C 满足22
11
1,
2,x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
所以,A C x x 是方程222
1111(21)4220k x k m x m +++-=的两个根.
得221111
218(21)0,4.21A C
k m k m x x k ⎧∆=⋅+->⎪⎨+=-⎪+⎩
所以线段AC 的中点为111
22112(,)2121
k m m k k -
++. 同理，所以线段BD 的中点为222
22
222(,)2121k m m k k -++.……………………….5分 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以11
222212
122212
22,2121.2121k m k m k k m m k k ⎧-=-⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩
解得，021==m m 或21k k =(舍).
即平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于原点O . ……7分
（Ⅲ）点,A C 满足22
1
1,
2,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
所以,A C x x 是方程221(21)20k x +-=的两个根，即22
2
1221
A C x x k ==+ 故1
221||||21
2
1+⋅
+==k k OC OA .
同理，1
221||||2
222+⋅
+==k k OD OB . ……………………….9分
又因为BD AC ⊥，所以1)1(22
)1(
1||||21
21
+⋅
+==k k OD OB ，其中01≠k . 从而菱形ABCD 的面积S 为
||||2OB OA S ⋅=122
122
12
1+⋅
+=k k 1)1(22)1(121
21+⋅+⋅k k ， 整理得21
1)1(1214
k k S +
+
=，其中01≠k .……………………….10分
P
故，当11=k 或1-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为3
8
. ……12分 21． 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R ，()x x
f x e
'=-
……………………….2分 ∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<。

∴()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递
减。

……………………….4分
（Ⅱ）假设存在12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则min max 2[()][()]x x ϕϕ<。

∵2(1)1
()()()x
x
x t x x xf x tf x e
e
ϕ-+-+'=++= ∴2(1)()(1)
()x x
x t x t x t x x e e
ϕ-+++--'==-………………………6分 ① 当1t ≥时，()0x ϕ'≤，()x ϕ在[0,1]上单调递减，∴2(1)(0)ϕϕ<，即
312
e
t >-
>。

……………………
….8分
②当0t ≤时，()0x ϕ'>，()x ϕ在[0,1]上单调递增，∴2(0)(1)ϕϕ<，即
320t e <-<。

……………………
….10分
③当10<<t 时，
在[)t x ,0∈，()0x ϕ'<，()x ϕ在[0,]t 上单调递减 在(]1,t x ∈，()0x ϕ'>，()x ϕ在[,1]t 上单调递增 所以2()max{(0),(1)}t ϕϕϕ<，即132max{1,}t t t
e e
+-<——(*) 由（Ⅰ）知，1
()2
t t g t e
+=在]1,0[上单调递减 故4122t t e e +≤≤，而233t e e e
-≤≤，所以不等式(*)无解 综上所述，存在(,32)(3,)2
e
t e ∈-∞--+∞U ,使得命题成
立. ………………………12分
22．证明：
（Ⅰ）连结AB .因为△PBC ∽△PDB ，所以BD PD
BC PB
=
. 同理
AD PD
AC PA
=
. 又因为PA PB =，所以
BD AD BC AC =，即BD BC
AD AC
=
. ……5分 （Ⅱ）因为BAC PBC DAQ ∠=∠=∠，ABC ADQ ∠=∠，
所以△ABC ∽△ADQ ，即
BC DQ
AC AQ
=. 故
BD DQ
AD AQ
=. 又因为DAQ PBC BDQ ∠=∠=∠，
所以△ADQ ∽△DBQ . ……10分 23．解：（Ⅰ）圆C ：2
2
(1)(2)16x y -+-=，直线l
：
132,52
x t t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数……………………….5分
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得2
(230t t ++-=，………………….8分
设12,t t 是方程的两个根，
则123t t =-，所以1212||||||||||3PA PB t t t t ===……………………….10分 24．解：
（Ⅰ）13,21()31,223,
2x x f x x x x x ⎧
-≥⎪⎪
⎪
=---≤<⎨⎪
-<-⎪⎪⎩
，
所以原不等式转化为1122223333313x x x x x x ⎧⎧
<-≥-≤<
⎧⎪⎪⎨⎨⎨
-≥⎩⎪⎪-≥--≥⎩⎩
或或 ……3分 所以原不等式的解集为[)4,6,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦
U ………………….6分
（Ⅱ）只要2
max ()3f x t t <-，……………………….8分
由（Ⅰ）知2
max ()13f x t t =-<-解得t >
t <.10分。