1.5函数图象

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常见基本函数的图形级特点

1.5 线性函数的图像直线的斜率是m. 设想一下, 此时此刻你就在这页纸中, 这条直线就像是座山, 你从左向右开始登山. 见图1-12.m 为负数, 那么你正在下山. m 的数值越小(即绝对值越大), 这段山路就越陡.如果斜率为0,这段山路就是水平的,你既不在上山,也不在下山,仅仅是在沿一条直线前行.的就是把尺子放在这两点上, 轻轻一连就行了. 其中一点很容易找, 就是y轴的截距. 设x=0, 很显然y =m￡0+b=b. 也就是说, y 轴的截距为b, 所以直线通过(0;b)这点. 我们能够通过找x轴的截距来找另一点, 设y 为0, 求x 的值. 这两种求点的方法很实用,但有两个特殊情况需要考虑.情况一：b=0,这时函数变为y = mx. 直线通过原点, x 轴和y 轴的截距都为零. 接下来再求另一点, 把x = 1 代入,可得y =m. 所以, 直线y =mx通过原点和(1; m)这两点. 例如, 直线y = ?2x 通过原点以及(1;?2),如图1-13所示.下面举一个有趣的例子, 考虑函数y =12x?1.很显然, y 轴截距为?1,斜率为1=2. 为画这条直线,我们还需要求出x 轴的截距, 通过设y = 0 能够得出0=12x?1,化简后得出x=2. 图像如图1-14所示.现在我们假设你知道平面上有一条直线,但不知道它的方程. 如果你知道这条直线通过某一固定的点以及它的斜率,就会很容易地找到它的方程. 你真的很有必要去掌握这种方法, 因为它经常出现. 这个公式叫直线方程的点--斜式,其文字表达方式如下：例如,如果已知一条直线通过(?2;5),斜率为?3,如何求它的方程？方程为y?5=?3(x?(?2)),化简后结果为y=?3x?1.有时你不知道直线的斜率, 但知道它通过哪两点. 怎样求它的方程？解决问题的技巧在于如何求它的斜率,再用刚才的方法去求出方程. 首先需要知道的是：问题：如何求通过(?3;4)和(2;?6)的直线方程. 首先,求它的斜率：我们现在知道该直线通过(?3;4)斜率为?2,所以它的方程为y?4=?2(x?(?3)),化简后为y = ?2x?2. 同样, 我们也能够使用另一点(2;?6) 斜率为?2, 方程为y?(?6)=?2(x?2),化简后为y =?2x?2. 你会发现, 无论使用哪一个点, 最后得到的结果都是相同的1.6 常见函数及其图像下面是你应该知道的最重要的方程.(1)多项式有很多函数是基于x的非负次幂建立起来的. 你能够以1、x、x2、x3等为基本项,然后用实数同这些基本项做乘法,最后把有限个这样的项加到一起. 例如,多项式f(x)=5x4?4x3+10是由x4的5倍加x3的?4倍加10而形成的. 你可能也想加中间的基本项x2和x,但是因为它们没有出现,所以我们能够说零倍的x2和零倍的x. 基本项xn的倍数叫做xn 的系数. 例如,刚才的多项式x4、x3、x2、x和常数项的系数分别为5、?4、0、0和10. (顺便问一下,为什么有x和I 的形式?这两项看上去与其他项不同, 但实际上是一样的, 因为x = x1;1 = x0.)最大的幂指数n(该项系数不能为零) 叫做多项式的度数. 例如上述多项式的系数为4, 因为不存有比4大的x的幂指数. 度数为n的多项式的通式的数学写法为：其中an为xn的系数, an?1为xn?1的系数, 以此类推, 直到最后一项a0的系数为1.因为xn是所有多项式的基本项, 你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的,同样奇次幂的图像之间也很类似. 图1-15是从x0到x7的图像.一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式,否则x轴的截距都很难找到. 但是多项式最左端和最右端的走势是很容易判断的. 这是由最大度数的项的系数决定的,该系数叫做主导系数. an就为上述多项式通式的主导系数. 例如,我们刚才提到的5x4?4x3+10多项式,5为它的主导系数. 实际上,我们只需考虑主导系数正负以及多项式度数的奇偶就能决定图像两端的走势了. 所以对于图像两端的走势共有如下4种情况,如图1-16所示.上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 图像仅仅准确地显示出了左右两端的走势. 例如多项式5x4?4x3+10同最左边的图像很类似, 因为n = 4为偶数, an=5为正数.我们讨论一下度数为2 的多项式, 又叫二次函数. 不用传统的写法p(x) =a2x2+a1x+a0,我们用一种更容易的写法来表达二次函数p(x)=ax2+bx+c.根据判别式的正负能够决定二次函数到底有二个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母￠来表示判别式￠=b2?4ac.共有三种可能性. 情况一：￠>0,有两个不同的解; 情况二：￠=0, 只有一个解, 也能够说有两个相同的解; ￠<0, 在实数范围内无解.对于前两种情况解为：注意该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方.下面我用实例说明.考虑二次函数2x2?3x+10.第一步是把二次项的系数提出来2μx2?32x+5?.这时该二次函数就变为二次项系数为1 的函数. 接下来, 我们考虑x 的系数?32,被 2 除得?34,再平方得916.我们希望系数为916而不是5, 下面我们做一些脑力练习：为什么要加一次916,又减一次916呢？因为这样的话,前三项为平方形式μx?34?2.这时,我们得到：接下来,只剩最后一小步5?916=7116.最后恢复系数2,我们有：能够发现, 这是一种更好的二次函数形式. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第18和第19章用这个技巧.(2) 有理函数这种形式的函数, 其中p 和q 为多项式, 叫做有理函数q(x)有理函数变化多样,它的图像根据p和q 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身,即q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是1=xn, 其中n为正整数. 我们看图1-17中一些有理函数的图像.奇次幂的图像之间类似,偶次幂的图像之间也很类似. 这些图像很值得一看.(3)指数函数和对数函数知道指数函数的图像是很必要的. 例如,下图是y=2x的图像.y = bx(b > 1)的图像与上图很类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数; 其次, y 轴的截距为1 并且值域为大于零的实数; 最后, 左端的水平渐近线为x 轴. 再强调一下, 该图像非常接近于x 轴, 但永远不会接触到x 轴,无论在你的图形计算器上多么接近. (在第3章的学习中,我们会再次见到渐近线.)y=2?x与y=2x关于y 轴对称,如图1-18所示.如果底小于1,情况会是怎样？例如,考虑y=μ12?x的图像.我们发现μ12?x=1=2x= 2?x,因为对于任意x;2?x与μ12?x均相等, 所以图1-18 中y = 2?x的图像也是y=μ12?x的图像.同理可得任何y=bx(0<b<1)的图像.因为y=2x的图像满足水平线检验,所以该函数有反函数. 这个反函数就是以2为底的对数y=log2(x).以直线y=x为对称轴, y=log2(x)如图1-19所示.注意,它支持了我之前所说的负数及0不能求对数的说法.该函数的定义域为(0;+1),值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. logb(x)(b > 1)的图像都是很相似的. 对数函数在微积分的学习中是很重要的,你一定要学会怎样去画上面的图像.我们将在第9章学习对数函数的特性.(4)三角函数三角函数很重要,所以整个下一章将对其作详细的介绍.(5)带有绝对值的函数我们研究由f(x)=jxj 定义的绝对值函数. 该函数的定义为：另一个研究这个绝对值函数的方法是数轴上0和x的距离. 更概括地说,你也应该知道：例如,假设你需要去找不等式jx?1j63在数轴上的覆盖区域.我们能解释该不等式为x和1之间的距离小于或等于3. 也就是说,我们要找到所有与1之间的距离不大于3的点. 所以我们画一个数轴并标记1的位置,如图1-20所示：而且我们知道jxj=px2.能够校验一下,当x>0,显然px2=x;如果x<0,px2=x这个表达式就错了,因为左边为正,右边为负.准确的表达式为px2=?x,这次右边为正了,负负得正. 如果你再重新看一次jxj的定义,会发现我们已经证明了jxj=px2.即使这样,对于jxj这个函数,最好是用分段函数去定义.最后我来说说函数的图像. 如果你知道一个函数的图像, 那么能够得到函数绝对值的图像, 即以x 轴为对称轴, 把x 轴下方的图像映射上来, x 轴上方的图像不变.例如,对于jxj 的图像,能够通过翻转y=x在x轴下方的部分得到,图y=jxj的图像如图1-22.怎样画y=jlog2(x)j的图像呢？使用图像对称的原理,则这个绝对值函数的图像如图1-23.除了三角函数要在下一章讲外, 这是我在函数部分要讲解的所有内容. 希望你在学习本章后能够获益良多. 本章中的绝大部分知识将在微积分中被反复使用,所以希望你能尽快掌握这些知识.二项式定理：。

新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象

x
x-

4
3 4
5 4

4
0
0

2

0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4

1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4

9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4

y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+

3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.

高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.1正弦函数的图像教案数学教案

1.5.1 正弦函数的图像整体设计教学分析研究函数的性质常常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.三维目标1.通过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.重点难点教学重点:正弦函数的图像.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么?是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.有了上述实验,你对正弦函数的图像是否有了一个直观的印象?画函数的图像,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢?问题②:如何得到y=sinx,x∈R 时的图像?活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R 时的图像了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细,画出的图像越精确.”),再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z 且k≠0上的图像与函数y=sinx 在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y =sinx,x∈［0,2π］的图像.②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法.你认为哪些点是关键性的点?活动:对此问题,教师可引导学生从图像的整体入手观察正弦函数的图像,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.讨论结果:略.应用示例例1 用五点法画出下列函数在区间［0,2π］上的简图:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活动:本例的目的是让学生会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图像的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.解:(1)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3).图3(2)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.例2 画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图像并思考|sinx|的意义,发现只要将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图像.让学生尝试寻找在［0,π］上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三π,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立个:(0,0),(2操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.解:按三个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.变式训练x的根的个数为1.方程sinx=10( )A.7B.8C.9D.10解析:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=10x 的图像与y=sinx 的图像的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图像.如图6,从图中可看出,两个图像有7个交点.图6答案:A2.用五点法作函数y=2sin2x 的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是( ) A.0,2π,π,23π,2π B.0,4π,2π,43π,πC .0,π,2π,3π,4π D.0,6π,3π,2π,32π答案:B知能训练课本本节练习1.课堂小结以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图像上点坐标的?2.为什么将单位圆圆周12等分?有什么好处?3.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的?这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法之外,“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业课本习题1—5 A组1、2.设计感想1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图像的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地突破难点.2.本节课所画的图像较多,能迅速准确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要准确地找到,然后迅速画出图像.3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题.备课资料一、备用习题1.用“五点法”画出下列函数的图像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;1+sinx,x∈［0,2π］.(2)y=22.如图7中的曲线对应的函数解析式是( )图7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|参考答案:1.解:按五个关键点列表如下:在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.(1)如图8.(2)如图9.图8 图92.C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数 t,t∈［0,24)来近似地描d=5+2.5sin6述这个港口这一天的水深d与时间t的关系,并画出简图(如图10).图10由此图或利用科学计算器,可以得到t取其他整数时d的近似值,从而把上表细化.(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据 5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.。

1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换

向右平移个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（变换）后平移（变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换；是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（变换）后伸缩（变换）：
向右平移个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：，后：A，b

高中数学新课标人教A版必修四《1.5函数的图像》课件

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第十二页，编辑于星期一：点十分。
“第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时，还要注意题目中给出的 φ 的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第十三页，编辑于星期一：点十分。
(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定 φ. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
规律方法由 y＝sin x 的图象通过变换可得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，其变化途径有两条；两种途径的变换顺序不同，其变换的量也不同：①先平移后伸缩变换时，平移|φ|个单位；②先伸缩后平移变换时，平移|ωφ|个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第八页，编辑于星期一：点十分。
(2)由 y＝sin x 图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，还
可以采取如下变换：先伸缩再平移：
y＝sin
x― 横―坐到――标原―伸来―长―的―或ω1―倍缩――短→y＝sin
图象上的点向左或向右 ωx 平移|ωφ|个单位长度
课前探究学习

【高中数学必修一】1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像

三角函数
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
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引言
在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数解析式（其中A，ω,φ是常数）如交流电、振动和波等.
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yA si nx ()
振幅
相位初相（x=0时的相位）
周期:T 2
频率:f T12
编辑ppt
第1步:y=si
第2步:y=sin(x+π/3)的图象横坐标(缩纵短坐到标原不来变的) 1/2倍y=sin(2x+ π/3)的图象
第3步y: =sin(2x+ π/3)的图y 象纵坐(横标坐伸标长不到变原)来的3倍y=3sin(2x+ π/3)的图象
函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
向左或向右平移编辑ppt
个单位
先平移后伸缩
先伸缩后平移
ysinx
向左平移
3
y sin(x )
3
横坐标缩短到1倍
ysin(2x) 2
3
纵坐标伸长到 2 倍
y2sin(2x ) 3
ysinx
横坐标缩短到1倍 2
ysin2x 向左平移
编辑ppt
综合训练
▪ 1.把正弦曲线上每个点的横坐标缩短到原来1/３倍
▪ （纵坐标不变），然后向右平移个单位长度
4
▪ 最后再把每个点的纵坐标缩短到原来的1/5倍（横坐 ▪ 标不变），所得到的图像的函数是： ▪ ____y__5_si_n__3_x__3_4____.
编辑ppt
小结
编辑ppt
3 y=3sin(2x+ π/3)

人教版数学必修四1.5 函数y=Asin(wx φ )的图象和性质教案

三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质高考考纲解读：三角函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

本节课的指导思想是以2015湖北高考17题为典型母题，在此基础上进行了三个变式，分散考点，逐步加深对知识的理解，帮助学生掌握解题技能。

教学目标：掌握五点作图法作出三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像理解三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像和性质。

教学重点：三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的图像伸缩变换和性质。

教学难点：解决三角函数的综合问题教学手段：合作学习，讲练结合教学过程：（一）高考考纲解读函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定ϕω,,A 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。

（二）高考母题引领三角函数)sin(ϕω+=x A y 复习母题鉴析(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．选题意义：本题叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了两问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简局表哥约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：五点作图法、三角函数的图像变换、由图表求三角函数解析式，三角函数的性质等；所涉及的数学思想有换元思想、整体代换思想和函数与方程思想等；考查的主要数学技能有数学运算和逻辑推理。

1.5正弦型函数图象(一)说课 - 副本

说学法
观察—协作—探究归纳反思
函数 y A sin(x ) 的图象
教材分析教学目标教法学法思考1：观察y=Asin(ωx+φ)的解析式与y=sinx什么关系？图象呢？思考2：你认为怎样讨论参数A、ω、φ对函数教学过程 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？教学过程思考3：研究φ对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，教学评价令A=？ω=？最为便捷。
y sin 2 x 的图象如何变换得到函数 6 的图象。图象变换： y sin( x )( 0) 的图像可由 y sin x 的图像经过如下变换得到：
方法一：
y sin x y sin( x ) y sin( x )

引路
探路
夯路
扩路

x y sin x 练习1：已知函数 y sin 6 的图象为C,为了得到函数 3 的图象,只要把C上所有的点( )

(A)向右平行移动 3 个单位长度 (B)向左平行移动 3个单位长度 (C)向左平行移动 2 个单位长度 (D)向右平行移动 2个单位长度练习2：如何由 y f ( x)的图象得到 y f ( x ) 的图象? 1 y sin x 练习3：已知函数 y sin 的图象为 C, 为了得到函数 x 2 6 6 的图象,只要把C上所有的点( ) (A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 (D)纵坐标缩短到原来的1/2倍,横坐标不变练习4：如何由 y f ( x ) 的图象得到 y f ( x ) 的图象?

1.5正弦函数y=sinx的图像与性质

y=sinx，x[0, 2]
课内练习
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y=
sin(x+ 2
)，x[

2
,
3 2
] ；y=sinx，x[0, 2]

x x
y 2 1

02
0
2
2 0 -1
3 2
3 22
sinx 1 0 sin( x+ 2 )
0 1
2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想找 “五点”有什么规律？
1.5.3 正弦函数的性质
正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1

2
2

2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k 1 当x=________________时， ymax _____ 2
2
x
y=sinx xR y=sinx x[0,2] f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
终边相同角的三角函数值相等即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1

2
o -1
2

3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y y=sinx xR
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
o
-1

2
3
4
5
6
x
想一想
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？

(课件2)1.5余弦函数的图像与性质

y
例1：比较大小
（1）cos 和 cos( )
1－
10
18
解：cos( ) cos
18
18
－1
o
－－

6 32
2 5
36
7 6
4 3
3 2
5 3
11 2
6
－1 －
x
0
18 10
且y cos x在0, 上是单调递减的；
cos > cos
f (x)是偶函数
余弦函数 y=cosx的单调性
y
1
－4 －3 －2
－
0
－1

2
3
4
5 6x
y cos x的增区间：[ 2k，2k ]（ k Z） y cos x的减区间：[2k， 2k ]（ k Z）
余弦函数 y=cosx的对称性
y
－4
1
5 2
3 2
2
－3 －2
－
0

3
5 7
2
2
2
2

2
3
4
－1
对称轴方程 x= k ( k∈Z)
对称中心为 (k , 0 ) (k Z)
2
5 x
余弦函数的性质
y
1
y cos x
－3 5 －2 3 －
2
2
2
o

2
( ,1)
余弦函数 y=cosx的图像
y 1
0

2
－1
终边相同角的三角函数值相等
3
2
x

数学必修四北师大版 1.5 正弦函数的性质与图象(共17张PPT)

§5 正弦函数的图像
前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质.
从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v
-1
y函数y=sinx
1
正弦函数y=sinx有以下性质：
（1）定义域：R
P(u,v) （2）值域：[-1，1]
7 4 3 5 11 2
6 32 36
三、五点法
y 图像的最高点( ,1)
1-
2
3 2
-1 O
( ,0)
2
-1 -
图像的最低点
x
2
与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
简图作法
(
3 2
,1)
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标). (2)描点(定出五个关键点). (3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
π 2
3π 2
2
y=sinx 0 1 0 -1 0
y=sinx
0 -1 0
1
0
y
1
.
O
-1
.2
.y= -sinx, x[0, 2 ]
.
.
3
2
x
2
y s i n x ,x [ 0 , 2 π ]
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表
x0 y=sinx 0 1 y=1+sinx
α
（3）是周期函数，
o
M 1 x 最小正周期是 2
（4）在[ 0，2 ]上的单调性是：
-1
提出问题
1、画函数的图像有哪些方法?

1.5函数y=Asin(ωx φ)的图像13

课堂练习：教材P55练习
已知函数y 3sin(x )的图象为C
（2）为了得到函数y

5 3sin(2
x

)的图象，只要把C上
5
所有的点（ B ）
(A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(B)横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变 2
(C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变 2
5
探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
2 7 5
36 3
6
3
X x
3
0

2

3
2
2
y sin(x )
3
0
1
0 -1 0
x
7 5
6 12 3 12 6

X 2x 3
0

2

3
2
2
y sin(2x )
探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x

7 5
6 12 3 12 6
X 2x
3

02

3
2
2
y sin(2x )
3
0
1
0 -1 0
x

7 5
6 12 3
12
6
X 2x
3
0

2

3
2
2
y 3sin(2x ) 3
3
0

1.5 正弦型函数的图像-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)

1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值． 2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值． 4．函数()sin y A x ωϕ=+的性质⑴ 周期性：函数()sin y A x ωϕ=+（其中A ωϕ，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2πT ω=．⑵ 值域：[]A A -，教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.用五点法画出函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像直观想象水平1 水平11.继续加深理解“五点法”的应用，特别是一些特殊点：端点和对应五点。

2.掌握正余型弦函数以及正切型函数性质的处理方法。

【考查内容】正弦型函数的伸缩变换和平移变换；利用三角函数的图像变换求解析式。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5--12分2.正弦型函数与正弦函数的图像直接的关系直观想象水平2 水平 23.正弦型函数的振幅、周期数学抽象水平1 水平14.正弦型函数的频率、相位、和初相数学抽象水平1 水平1 第五讲函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像知识通关⑶ 奇偶性：当()π k k ϕ=∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；当()ππ 2k k ϕ=+∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+>”视为一个“整体”．②0A >()0A <时，所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0ππ 2x k k ωϕ+=+∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ，，其中()0π x k k ωϕ+=∈Z ． 5、A ωϕ、、对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 ⑵ ϕ对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数()sin y x ϕ=+(0)ϕ≠的图象，可以看做是把sin y x =图像上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位而得到的．（可简记为左""+右""-）即sin y x=00ϕϕ>−−−−−−→<时向左时向右平移ϕ个单位得()sin y x ϕ=+⑵ω对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数sin y x ω=(01)ωω>≠，的图象，可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标都缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的．即sin y x =的横坐标101ωω>−−−−−−−→<<时缩短时伸长到原来的1ω倍得sin y x ω=． ⑵A (0)A >对()sin y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin y A x =（0A >且1A ≠）的图象，可以看做是sin y x =的图象上各点的纵坐标都伸长(1)A > 或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．即sin y x =的纵坐标101A A >−−−−−−−→<<时伸长时缩短到原来的A 倍得sin y A x =．题型一平移变换例1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8题型五图象变换的综合应用例5 下图是函数()sin y A x xωϕ=+∈R ，在区间π5π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x =∈R 的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：由图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=；故sin(2)y x ϕ=+π5π736π212+=，7sin 2π112ϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，从73π2ππ()62k k ϕ+=+∈Z ．故π2π3k ϕ=+()k ∈Z ．此函数的解析式为πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．答案 A变式训练5 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，答案 B题型六函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1) 求φ的值；(2) 求函数y ＝f (x )的单调区间及最值．解析： (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，(1)求函数y＝f(x)的解析式；一、选择题1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象， y ＝－cos 2x 是偶函数．答案 D4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z )D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z )解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z .答案 C5．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )解析：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．答案 A6．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( )A ．1，π3B ．2，π3 C.12，π6 D.12，π3解析：依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ，则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ. 又因为函数为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3.答案 B8．要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析：设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象，y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π6，∴2φ－π6＝0，∴φ＝π12， ∴向左平移π12个单位得到．答案 B9．已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（）A ．6π B ．3π C ．8π D ．4π 解析：将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到()cos 44y x ϕ=-的图象，由题意，得()4k k ϕπ=∈Z ，则()4k k πϕ=∈Z ，取1k =，得4πϕ=. 答案 D10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度解析：根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．答案 B二、填空题11．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为________．解析： y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －114．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．解析：函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，所以()00f =，代入可得0ϕ=，()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．则()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x 的最小正周期为2π，则2212ππω= ，解得2ω=，所以()sin g x A x =，因为4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 4A π=，解得2A =，所以()2sin 2f x x =，则2sin 33882f ππ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案三、解答题15．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解析：方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.16．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．解析： (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ.因为点(π，3)在此函数图象上，则3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．18．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图1-5-5所示．图1-5-5(1)求f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 解析： (1)由题图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1，在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，将⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3，所以在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 同理在x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x －23π，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎡⎦⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12. 因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π4，－3π4，5π12，－π12.一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度答案 C2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象．答案 B图1-5-3 A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：由图象知，14T ＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位即得所给图象，∴所求函数为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案 D5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.答案 B6.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 故选D. 答案 D8．已知函数()sin(),(0)6f x x ωω=+> 图象上相邻两条对称轴的距离为2，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()cos 4g x x =-B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =解析：依题意，22T π=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()sin(2)6f x x π=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线sin()6y x π=+，再把曲线sin()6y x π=+向右平移53π个单位长度，得到曲线5sin()36y x ππ=-+，即cos y x =，故()cos g x x =。

1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图像

课题：函数y Asin(x )ωϕ=+的图像（1）教学目标：知识与能力：正确理解并掌握函数=y sin x 的图像与函数=y Asin x 和ϕ=+y sin(x )的图像之间的变换规律。

过程与方法：督促学生动手作图，引导学生结合作图过程理解图像之间的变换规律。

情感态度和价值观：通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想；帮助学生树立运动变化的观点，学会用运动变化的观点去认识事物；通过学生的亲身实践，激发学生的学习兴趣和热情，培养学生主动探求知识的意志品质；让学生感受图形的运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：函数=y sin x 的图像与函数=y Asin x 和ϕ=+y sin(x )的图像之间的变换规律。

教学难点：函数=y sin x 的图像与函数=y Asin x 和ϕ=+y sin(x )的图像之间的变换规律。

课型：新授课教学方法：引导探究法教学工具：多媒体设备教学过程：一、课题导入在现实生活中，我们常常会遇到形如y Asin(x )ωϕ=+的函数解析式(其中A,,)ωϕ都是常数)，如物理学中的简谐运动与交流电流，下面我们讨论函数y Asin(x )ωϕ=+的简图的画法。

二、新课讲解问题一：探索A 对函数y Asin x ,x R =∈的图像的影响例题1. 在同一坐标系下，用“五点法”作图画出函数=y sin x 与=y 2sin x 的简图，并观察=y 2sin x 与=y sin x 的图像之间的关系。

解：列表：描点：连线：然后利用周期性，把它们在[0,2]π上的简图向左、右分别扩展，便可得到它们的简图.y sin x y 2sin x =−−−−−−−→=纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变思考：=1y sin x 2与=y sin x 的图像之间的关系。

（图像见上图）列表：描点：连线：y sin x y 2sin x =−−−−−−−−→=1纵坐标缩短到原来的倍2横坐标不变一般结论： A 1A y sin x y Asin x >=−−−−−−−−−−→=当时，纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变； A 1A y sin x y Asin x <<=−−−−−−−−−−−→=当0时，纵坐标缩短到原来的倍横坐标不变问题二：探索ϕ对函数y sin(x ),x R ϕ=+∈的图像的影响例题 2. 在同一坐标系下，用“五点法”作图画出函数π=+y sin(x )3与=y sin x 的简图，并观察π=+y sin(x )3与=y sin x 的图像之间的关系。

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像(一)

左平移
2
个单位得到．
便可得到函数y sin 2x的图像．
三、正弦曲线的相关术语
函数 y A sin( x )( A 0， 0 )中的常数 A、、对其图像的影响：振幅 A：使图像发生纵向伸缩变换，决定函数 y A sin( x )的值域为[ A ， A ]；角频率：使图像发生横向伸缩变换， 2 决定函数 y A sin( x )的周期 T ； 1 频率( frequency)：f 初相 ( initial phase )： T 2 初相：决定了 y A sin( x ) 在 x 0时所对应的角，也决定了该正弦曲线的左右位置．相位移：使图像发生左右平移变换，决定 y A sin( x )图像的起点( ， 0)．
探索与研究
探索 y A sin( x )( A 0， 0 )的图像 1、探索 y A sin x ( A 0， A 1)的图像； 2、探索 y sin x ( 0， 1)的图像； 3、探索 y sin( x )( 0 )的图像；
பைடு நூலகம்
所求解析式为 y 3 sin( x ) 3
1 又 3 3
7 T 2( ) 2 6 6
3
O 3
6
7 6
x
例7、已知正弦曲线 y A sin(x )图像上一个最高点是 (2, 2 )，由这个最高点到相邻的最低点时曲线与 x轴交于点 (6， 0)，求此函数解析式． (其中 A 0， 0， ) 2 解：由题意： A 2 2 T 4 ( 6 2 ) 16 T 8 y 2 sin( x ) 8 2 sin( 6 ) 0 8 4

函数及其图像(课堂PPT)

aM, aM, A {a1 , a2 , , an } 有限集（列举表示） M { x x所具有的特征} 无限集（命题式表示）
集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示
函数与极限
4
2.实数与数轴
实数R有理数Q分整数数(Z12负非, 整负86 ,数整)（数（1,自2然,数集nN,：0）,1，2， )
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故定义域是[-3, -1].
函数与极限
28
例3 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 0)的函数关系式.
解当 t [0, ]时, 2
U
E
t
2E t;
2 当 t ( , ]时,
2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方
3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零
4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域
5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域
的交集
函数与极限
20
例1 求下列函数的定义域
(1()1(y)1y)y44411x1x22x2 xxx222; ;
((22()2)y)yylglgxlxg11;x; 1 ; x x22x 2
2
U
( , E)
2
E
o
(,0) t
2
单三角脉冲信号的电压
U 0
(t )
E
0
2
即U 2E (t )
函数与极限
29
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2

数学：1.5《函数的图像》课件(2)(新人教A版必修4)

2.函数 y sin( x ) 的图象是由函数
y sin( x ) 的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 y sin( x )的图象，可以看作是把函数 y sin( x ) 的图象上所有点的横坐标缩短（当＞1时）或伸长（当0 1 ＜＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.
作业：
P56 练习：3，4. P58习题1.5A组：4，5.
y/cm 2
2p
A
E
5p y = 2 sin x , x ? [0, 2
)
0.4 O -2 C B
0.8 D
1.2 F
x/s
小结作业
图象，可以由函数 y sin x 的图象通过三次变换而得到，共有6种不同的变换次序.在实际应用中，一般按“左右平移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行. y 2.用“变换法”作函数 A sin( x ) 的图象，其作图过程较复杂，不便于操作，在一般情况下，常用“五点法” 作图.
1 f T 2
wx + j 称为相位; 称为初相,即x=0时的相位.
理论迁移
例1 的图象是由函数 y sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
p y = sin(x - ) 6 横坐标伸长到原来的3倍 y = sin( 1 x 3
1 说明函数 y 2 sin( 3 x 6 )
1.5
函数 y A sin( x )的图象
第二课时
问题提出
1.函数 y sin( x ) 图象是由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？
弦曲线 y sin x 上所有的点向左（当
y sin( x )的图象，可以看作是把正

高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的性质与图像1.5.1正弦函数的图像课件北师大版必修4

【做一做1】用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为( )
A. π B. 2π C. D.
π 2 3π 2
答案:A
【做一做2】用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,下列各点不是关键点的是( )
A.
π 1 6 2
,
B.
π 2
,1 C. (π, 0)D. (2π, 0)
1
2
3
4
5
1.用五点法画y=2sin x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是 ( )
A.0, 2 , π,
答案:A
π
3π 2
, 2π
B. 0, 4 , 2 ,
π π 3π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0, , , ,
6 3 2
4 π π π 2π 3
,π
1
2
3
4
5
2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是(
π π 3π 4
1
2
, 2��π +
5π 6
题型一
题型二
题型三
题型三
正弦曲线的应用
【例3】判断方程x+sin x=0的根的个数. 分析:转化为判断函数y=-x和y=sin x的图像的交点个数. 解:在同一平面直角坐标系中画出y=-x和y=sin x的图像,如图所示.
由图知y=-x和y=sin x的图像仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有一个根.
3π 4
,��∈Z .
题型一
题型二
题型三
同理,满足 sin α≤− 2 的角α 的集合为 �� 2��π + �� ≤ 2��π +