平面问题的有限元法

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有限元分析——平面问题

Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析整体刚度矩阵整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵；将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵；将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1

第4章平面问题的有限元法-4收敛准则

1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的面积不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元分析软件的使用要求。五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，

有限元分析第四章

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元，分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

平面问题的有限元分析

4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元

有限元分析第4章平面问题有限单元法1

1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element）节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v

N

e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j

(am
bmx

cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)ui

(a j

bj x

cj
y)u j

(am

bm x

cm
y)um ]
v x,
y

1 2A
[(ai

bi x

ci
y)vi

(a j

插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym

弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题

2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析位移模式应变列阵应力列阵
结点力列阵等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求应变、应力。
( δ 来求出单元首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由求出位移 d 。元中位移的分布形式,因此称为位移模式。在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：

第4章平面问题的有限元法-1离散化

e

T i

T j

T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm

T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。（4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um

有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)

u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
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P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式（2-4-4），经整理得：
(1,1)
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二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量，设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
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P-18/44
第2章弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
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3

1
2
(1 ,1 )
(1,1)
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如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

有限元平面问题三角形实例

有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。

其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。

在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。

而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。

三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。

下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。

假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。

首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。

每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。

在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。

然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。

具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。

而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。

通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。

有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。

例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。

除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。

例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。

有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。

通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。

这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。

弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)

其中，
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的作用力，与 Fi 数值相同,方向相反，作用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为
第六章用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章用有限单元法解平面问题
FEM
第六章用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。

第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析

严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(1) 平面应变问题：如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变，因此可以认为，沿纵向的位移分量等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图：在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化，分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分复杂。在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题；对于平面问题，是平面应变问题还是平面应力问题。 ②结构是否对称。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简化计算。 ③简化的力学模型必是静定的或超静定的。

弹性力学平面问题的有限元法

形状函数
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元，具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点单元内任意一点的位移和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的量，包括正应力和剪切应力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态，即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法

弹性力学平面问题有限元法

度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分解为一个正应力和两个切应力。解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表表示。示，切应力用 τ 表示。应力下标的含意：应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz

弹性力学-第5章有限元法

生成实体模型的两种方法: –（上－下）或（下－上）
(a）从上到下建模从生成体（或面）开始，并结合其它方
法生成最终的形状。
加
用于产生最终形状的合并称为布尔运算
提示: 当生成二维体素时，ANSYS定义一个面及其它所包含的线和关键点。当生成三维体素时，ANSYS定义一个体及其所包含的面、线及关键点。如果低阶的图元连在高阶图元上，则低阶图元不能删除.
§5-2 建模
一. 有限元模型的建立
a.建模的方法 b.坐标系统与工作平面 c.实体建模
1.建模方法
有限元模型的建立方法可分为：（1）直接法
直接根据机械结构的几何外型建立节点和单元，因此直接法只适应于简单的机械结构系统。
（2）间接法（Solid Modeling）
适用于节点及单元数目较多的复杂几何外型机械结构系统。该方法通过点、线、面、体积，先建立实体模型，再进行网格划分，以完成有限元模型的建立。
第五章有限元法解平面问题
§5-1有限元法简介一. 有限元法的基本思想
1.将连续的问题域离散为有限数目的单元； 2.单元之间通过节点相连； 3.每一个单元都有精确的方程来描述它如何对一定载荷去响应； 4.单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到； 5.模型中所有单元的响应之和给出设计的总响应。
由于单元形状简单，易于建立节点量的平衡关系和能量关系方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。
二. 有限元法的位移解法 1.有限元法的单元和节点
1.有限元法的单元和节点 2.有限元的基本未知量（DOFs） 3.单元形函数
节点自由度是随单元类型变化的。
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ

第4章平面问题的有限元法-3刚度矩阵

二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1

外力在虚位移上所做的虚功
V

F1
* 1

F2
* 2

F3
* 3

* T
F
单位体积内的虚应变能

x
* x

y

* y

z
* z

xy

* xy

yz

* yz

zx
* zx

*
T

整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz

e

ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs

1
2
cr bs
cr cs

1
2
brb s

( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)

平面问题有限元解法(公式推导讲解)

设斜面AB 的长度为ds，则PB面及A面的长度
分别为 lds及mds，而PAB的面积为 ldsmds/2，
棱柱的厚度设为1。由x轴平衡条件，得：
pxdsxldsxym dsfxlds2 m ds0
其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：
px lxmxy
由y轴平衡条件，得：
py mx\ylxy
28.12.2020
h
18
几何方程
经过弹性体内的任意一点P，沿x
轴和y轴的正方向取两个微小长度
v
的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹
性体受力后，P,A,B三点分别移动
到P’,A’,B’.
v v dy
y
线段PA的线应变是： x
u
u x
dx
dx
u
u x
u
即：三大方面
三大方程
求解方法
经典解析半解析传统数值解法现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
28.12.2020
h
3
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的点
节点力
单元上节点处的结构内力
载荷
作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）
28.12.2020
h
6
有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；选节点力作为基本未知量时，称为力法；取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
分析单元力学性质根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。

第4章平面问题的有限元法-2形函数

(h)
利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分利用形函数的这一性质可以证明，别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。
y m
例如，对图4-3所示的单元 ijm 和ijn ，具有公共边ij。由(4-23)式可知，在ij边上
o
i j n
图4-3
N i ( x , y) + N j ( x , y) + N m ( x , y) 1 ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + a m + bm x + cm y 2∆ 1 = (ai + a m + am ) + bi + b j + bm x + ci + c j + cm y 2∆ =1 =
(
)
1 b j cm − bm c j = ( x − xi ) 2∆ cm
(h)
故有
从上式计算的过程？
x − xi N j ( x, y) = x j − xi
(g)
另外，由（4-22）可以求得
x − xi N i ( x, y) = 1 − N j − N m = 1 − x j − xi
[
]
{σ } = [D]{ε }
平面应力问题
µ
1− µ
µ
1 0
0 0 1− µ 2
µ
1− µ 1
0 0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。