人造卫星变轨速度分析
第八讲：卫星变轨问题和双星问题解析版
第八讲：卫星变轨问题和双星问题
一、卫星相遇问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb .
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示．
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近．
二、卫星变轨问题
1．变轨分析
(1)卫星在圆轨道上稳定运行时， G Mm
r 2＝m v 2r
＝mω2r ＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . (2)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v 2
r ，即万有引力不
足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．
(3)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2
r ，即万有引力大
于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，
例题、如图所示，北斗导航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速周运动，且轨道半径为r ，某时刻工作卫星1、2分别位于轨道上的A 、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。下列判断正确的是（ ）
例题、如图所示，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M ，（M ＞＞m 1，M ＞＞m 2）．a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ：T b ＝1：k ．（k ＞1，为正整数）从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则（ ）
卫星变轨时速度加速度变化分析与应用
卫星变轨时速度加速度变化分析与应用作者：***
来源：《中学教学参考·理科版》2020年第10期
[摘要]学生在学习天体运动知识及应用相关知识解决实际问题时，往往会感到比较困难，因为这部分知识的学习与运用需要较强的空间想象能力和抽象思维能力，比如比较椭圆轨道上远地点与圆周轨道上速度、加速度问题，就有不少学生觉得较难。为提升学生解决相关问题的
能力，文章从一道习题出发，通过理论分析推导卫星变轨时速度加速度的变化，为学生准确分析判别交点处速度、加速度的变化提供帮助。
[关键词]卫星变轨;速度;加速度;万有引力
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2020）29-0053-02
卫星变轨问题是高中物理的重难点问题，该类问题往往涉及周期、速度以及加速度。下面通过实例进行分析探讨。
【例题】（2019年福建泉州市第一次质量检查题）如图1所示，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道。a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则（）。
A.卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B.卫星经过a点的速率为经过b点的[2]倍
C.卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
解析：对B选项，由公式[v=GMr] 可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点处的速率为经过b点的[2]倍。而卫星在Ⅰ轨道上运动时，需要经过加速才能变轨到轨道Ⅱ上做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的[2]倍，故B错误。
人造卫星的轨道转换分析
人造卫星的轨道转换分析
摘要：人造卫星的轨道转换问题，是指是卫星研究中的重要工作，也是一类比
较困难的研究问题，人造卫星轨道转换时，受到射程、转轨、速率、能量等因素
的影响，增加了轨道转换控制的难度。本文主要探讨人造卫星轨道转换的相关内容。
关键词：人造卫星；轨道；转换
人造卫星的轨道转换问题，属于科学研究的关键技术，卫星发射期间，速率变化明显，导致轨道转换存有不稳定的情况，必须规划好人造卫星的轨道，才能保
障转换的稳定性与准确性，完善人造卫星的轨道转换，提高卫星运行的效率。
一、人造卫星发射与轨道转换的关系
人造卫星与地球表面的距离比较远，高度达到了36000km，现阶段，人造卫星
发射时，经常采取变轨发射的方法，掌握人造卫星发射与轨道转换的关系，才能
保障后期轨道转换的合理性与稳定性，以免出现偏离轨道的问题[1]。人造卫星从
地球表面发射时，卫星的运行轨道，最先要进入200km~300km的高度区域内，
沿着运行轨道，进入平稳的运行状态，在此基础上，卫星运行到赤道的平面时，
点燃末级的火箭，向人造卫星提供运行动力，推动卫星，进入大椭圆轨道，轨道
转换点，必须在距离赤道上空36000km的位置。人造卫星在轨道上运行时，如果要达到远地点，就要启动人造卫星上自带的发动机，利用发动机，提供变轨动力，完成同步轨道运行的过程。人造卫星发射与轨道转换关系的研究过程中，一定要
注意，人造卫星并不是始终处于匀速圆周的状态，其需要发射的速度，完成轨道
转换，经过轨道转换后，在运行轨道上，达到运行平衡的状态。
二、人造卫星轨道转换中能量、速率分析
卫星变轨问题分析
卫星变轨问题分析
近年来，我国载人航天工程取得了骄人的成绩，随着我国神州系列载人火箭的研发成功，我国已经能过完成各种高度的卫星发射与回收。在这样的大背景下， 这几年的物理高考，卫星的发射与回收，卫星变轨问题，就成为了考试的热点内容。然而由于变轨问题涉及的相关知识较多,综合性较强,而在物理教材中只是一带而过,使许多学生在面对卫星变轨问题时感到困惑不解，存在一些模糊和错误认识。为此，本文将对卫星发射，变轨等问题进行详细讲解。以期对广大同学在卫星变轨问题上有所帮助。
首先我们来说一说卫星绕地球做圆周运动的基本理论：万事万物做圆周运动，都会需要一个指向圆心的向心力，卫星绕地球运动，也一样，也需要向心力，这个向心力由地球与卫星之间的万有引力充当。即2r GMm =r mv
2或者222()Mm G
m r r T π=。轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度
r GM v =、周期GM r T 32π=、向心加速度2r GM a =等等也都是相应确定下来。一旦卫星轨道半径r 发生变化，也就是卫星变轨。那么对应的物理量V 、T 、a 都会发生相应的变化，这样也成为了考试的一个考点。
在高中考试中，主要涉及到两种变轨问题，一种是轨道渐变，一种为轨道突变。 轨道渐变
所谓渐变，是指卫星轨道半径，受各种原因影响，或者慢慢变大，或者慢慢变小。由于是缓慢变化，所以对于每一周运动，我们都可以认为是在做匀速圆周运动。因此，这类问题，只要我们判断出卫星轨道半径是变大还是变小，就可以很快利用基本公式，判断出各个物理量的变化关系。
卫星变轨过程中几个速度的比较
卫星变轨过程中几个速度的比较作者：周枫
来源：《启迪与智慧·中旬刊》2019年第04期
随着我国“神舟”号宇宙飞船的多次发射和回收成功，宇宙飞船和人造地球卫星问题再度成为中学物理教学的一个亮点，更是高考物理命题的热点。笔者在教学过程中发现，很多学生对卫星的變轨问题认识比较模糊，特别是对变轨时涉及到的几个速度大小的比较理解困难，卫星变轨问题又成为物理教学中的一个重点和难点。本文以嫦娥一号在撞击月球前进行的多次变轨为背景，就变轨过程中这几个速度大小比较的问题作深入分析。
情景是这样的：为了最大限度地利用嫦娥一号卫星在轨的宝贵资源，为后续任务开展有关验证试验积累数据和经验，嫦娥一号在撞击月球之前，进行了多次变轨，如图1所示，先由200km圆轨道降到100km圆轨道，继而降到远月点100km、近月点15km的椭圆轨道。设卫星在200km圆轨道上运行的速度大小为V1，在100km 圆轨道上运行的速度大小为V2，在椭圆轨道远月点处速度大小为V3，在椭圆轨道近月点处速度大小为V4。则V1、V2、V3、V4各个速度大小的关系如何？
只要掌握了以上嫦娥一号变轨过程中几个速度比较的分析方法，并进行举一反三，那么所有关于卫星变轨的问题不外乎是换一种情景，对不同考察点进行重新组合而已，用上述分析方法去分析，所有关于速度比较的问题都可以迎刃而解。
高一物理必修二第六章 专题强化4 卫星变轨问题和双星问题---学生版
专题强化4 卫星变轨问题和双星问题--学生版
[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.
一、人造卫星的变轨问题
1.变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G Mm r 2＝m v 2r
. (2)变轨运行
卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.
①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2
r
减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.
②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2
r
增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.
2.实例分析
(1)飞船对接问题
飞船与在轨空间站对接
先使飞船位于较低轨道上，然后让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道飞船完成对接(如图1甲所示).
注意：若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.
通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙.
图1
(2)同步卫星的发射、变轨问题
如图2所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心
运动进入椭圆轨道2，在P 点点火加速，使其满足GMm r 2＝m v 2r
，进入同步圆轨道3做圆周运动.
图2
例1 (2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )
5-3万有引力定律应用二--卫星的变轨和和双星模型-(解析版)
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速， >m ，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
百度文库【答案】D
【解析】天问一号探测器在轨道Ⅱ上运行，曲线运动，一定有加速度，不是处于受力平衡状态，选项A错误；由开普勒第三定律可知在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，选项B错误；从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要减速，选项C错误；天问一号探测器在轨道I上运行，动能与引力势能之和保持不变，所以沿轨道Ⅰ向P飞近时引力势能减小，动能最大，速度增大 ，选项D错误。
【典例4】(多选)假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在一颗同步卫星的正下方．已知地球半径为R，同步卫星的离地高度h1＝5.6R，侦察卫星的离地高度h2＝0.65R，则有()
A．同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2∶1
B．同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1
C．再经过 h两颗卫星距离最远
A. B.
C. D.
【答案】C
人造卫星的椭圆轨道和变轨问题探析
教学研究
新课程
NEW CURRICULUM
天体的运行问题是高考的热点问题，在椭圆轨道和变轨问题上，中学阶段基本上都是做定性解释，很少做定量计算，且在教学实践中，一些学习优秀、善于思考的学生往往会在此类问题上提出更深层次的问题，如卫星在椭圆轨道的近、远地点的向心加速度大小和不同轨道的向心加速度、
速度大小怎么比较？在用F n =m v 2
r
、a n =v 2
r
求解时，
在近、远地点的“r ”到底是哪个量？怎么求？虽然学生提出的问题有的已经超出中学生应当掌握的范围，
但是从激励学生的探究需求出发，对一些优秀的学生在这些问题上可适当做些拓展，况且作为授业解惑的教师，也需要对这些问题有个清楚的认识。可是在教学实践中发现一些教师由于在这些问题上认识不清甚至根本不知道，经常被学生问得手足无措而避而不谈或者作出错误解释，一些材料在这些问题上的解释往往也是模棱两可。若想对椭圆轨道的有关问题进行定量计算，首先必须对椭圆的曲率和曲率半径等有关知识有清晰的认识。
一、椭圆的曲率半径1.曲线的曲率和曲率半径
曲率是描述曲线弯曲的程度，曲线y =f （x ）（设x =Φ（t ），
y =φ（t ））的曲率的计算公式为k =x ′y ″-x ″y ′x ′2+y ′2[]
32
。如图1所示，设k （k ≠0）为曲线y=f （x ）在点M 处的曲率，圆C 与曲线相切于M 点，若CM=
R =1k ，圆C 称为曲线在点M 的曲
率圆，圆C 的半径R 则称为曲线在点M 的曲率半径。故曲率半径的计算公式为：
R =1k =x ′2
+y ′2[]3
2021学年高中物理微专题五卫星的变轨问题及宇宙航行的几个问题辨析课件人教版必修2.ppt
B．卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度 C．卫星在轨道 1 上运动一周的时间大于它在轨道 2 上运动一周 的时间
D．卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度
解析：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设 卫星的质量为 m、轨道半径为 r、地球质量为 M，有 GMr2m＝mvr2，解得 v＝
【答案】 C
【点拨】 (1)明白第三宇宙速度是指被发射物体能够脱离 太阳系的最小发射速度，而“嫦娥三号”没有脱离太阳的引力范 围．(2)要熟记万有引力的表达式并清楚是万有引力提供卫星做 圆周运动的向心力．
练 1 (多选)如图所示，发射同步卫星
的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆
轨道，然后在 P 点变轨，进入椭圆形转移轨
A．在 P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速 B．在 P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速 C．T1<T2< T3 D．v2>v1>v4>v3
答案：CD
练 2 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至 近地圆轨道 1，然后经点火使其沿椭圆轨道 2 运行， 最后再次点火将卫星送入同步圆轨道 3，轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，如图所示， 卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法 正确的是( )
卫星变轨问题中几个速度大小的比较
！０ 互 ４
一 ＋ ｌ 十 ｉ ａ ｒ
—
一 ｌ — ｉ ａ ｒ
二
一
一
。
一
＋…
硎
＋ Ａｖ
＜
．
式 中 的“
，是 与车 相 系 的绳 端 相 对 滑 ，
轮转 动 的瞬 时法 向加 速度 的大 小 。 结合式 中三 个 加速 度 的实 际 方 向 ， 们 就 可 以看 出 ， 式 也 表 我 上
所 以， 由加 速 度 的定 义
“ 一 ｉ ） ｍ Ａ２
，
可 得
由于重 物和 车 实际都 做 直线 运 动 ， 们 只需 我 确定 它 们速 率变 化 的大小 。 注意 到绳 是不 可 伸 长
的， 与车 相 系的绳 端 的实 际速 度沿 绳 方 向的分 量
车在 经过 Ｂ点 时 ， 重物 上升 的加 速度 大小
有很 多学生 对 卫星 的变轨 问题 认识 比较 模 糊 ， 特 别 是对 变轨 涉及 到 的几个 速度 大小 区分 不 清 ， 本 文 就 如 何 区 分 这 几 个 速 度 的 大 小 问 题 作 深 入 分析 。
问题 如 图 １ 示 ， 所 发射 地球 同步 卫 星 时 ， 先将 卫 星 发射 到 近 地 圆轨 道 １ 然 后 经 点火 使 其 ，
明 了前 面所说 的 与 车相 系 绳 端 的实 际加 速 度 沿
2019-2020年高考物理拉分题专项训练 专题13 卫星变轨问题分析(含解析)
2019-2020年高考物理拉分题专项训练专题13 卫星变轨问题分析（含解析）
一、人造卫星基本原理
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径r确定后，与之对应的卫星线速度、周期、向心加速度也都是确定的。如果卫星的质量也确定，那么与轨道半径r对应的卫星的动能E k （由线速度大小决定）、重力势能E p（由卫星高度决定）和总机械能E机（由能量转换情况决定）也是确定的。一旦卫星发生变轨，即轨道半径r发生变化，上述物理量都将随之变化。同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。
在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。
二、渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r将减小。
由㈠中结论可知：卫星线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能E k将增大，势能E p将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热），因此卫星机械能E机将减小。
(完整版)卫星变轨问题
_____________________________________________
卫星变轨与双星问题
卫星变轨问题
三、变轨问题
思考：人造卫星在低轨道上运行，要想让其
在高轨道上运行，应采取什么措施？
在低轨道上加速，使其
沿椭圆轨道运行，当行
·
至椭圆轨道的远点处时 再次加速，即可使其沿
高轨道运行。………..
卫星变轨原理
V
mA
F引
F引
G
Mm r2
F引＜F向 F引＞F向
F引 F向
F向
m
v2 r
M
在A点万有引力相同
A点速度—内小外大（在A点看轨迹）
卫星变轨原理
使卫星加速到v2
,
使
mv2 r
2
G
Mm r2
卫星在圆轨 道运行速度
V1
R
1
2
V2
mv12 G Mm
r
r2
F引
θ＞900
v 减小
卫星变轨原理
r
v3
F引
椭圆 mv32 G Mm
r
r2
使
卫
星
进
v4
入
更
v3
高
轨
道
做
圆
周
运 动
使卫星加速到v
专题讲解：卫星的变轨问题
卫星的变轨问题
1.圆轨道上的稳定运行
G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr (2πT
)2 2．变轨运行分析
(1)当v 增大时，所需向心力m v 2r
增大，即万有引力缺乏以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ GM r
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加。 (2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv 2
r
减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GM r
知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少。 典题分析
12012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号〞载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号〞实现屡次交会对接、别离，于6月29日10时许成功返回地面，以下关于“神舟九号〞与“天宫一号〞的说确的是( )
A ．假设知道“天宫一号〞的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量
B ．在对接前，“神舟九号〞轨道应稍低于“天宫一号〞的轨道，然后让“神舟九号〞加速追上“天宫一号〞并与之对接
C ．在对接前，应让“神舟九号〞和“天宫一号〞在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号〞加速追上“天宫一号〞并与之对接
D ．“神舟九号〞返回地面时应在绕行轨道上先减速
2．(2021·高考)如图4－4－3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。假设飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
卫星变轨问题中几个速度大小的比较
卫星变轨问题中几个速度大小的比较
作者：甄学霞李兴
来源：《物理教学探讨》2011年第07期
自1999年我国“神舟一号”的成功发射，到2010年“嫦娥二号”的顺利奔月，我国航天技术的发展速度, 堪令世界惊奇，足让国人骄傲。同时有关宇宙飞船和人造卫星问题也便成了中学物理教学的一个亮点，而且也成为了近几年我省高考选择题的热点。但高考过后，笔者调查发现，有很多学生对卫星的变轨问题认识比较模糊，特别是对变轨涉及到的几个速度大小区分不清，本文就如何区分这几个速度的大小问题作深入分析。
问题如图1所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3。其中，轨道1、2相切于A点，轨道2、3相切于B点，质量为m的人造卫星在轨道1上运行时，轨道半径为r1，速度为v1；在轨道3上运行时，速度为v3，轨道半径为r3。卫星若要从轨道1到轨道3运行，必须经过两次变轨：第一次是从圆轨道1变到椭圆轨道2上；第二次是从椭圆轨道2变到圆轨道3上。设卫星在椭圆轨道2上运行到AB两点时的速度分别为vA、vB。试比较v1、v3、vA、vB的大小关系。
1 v1和v3的大小比较
解析设地球质量为M，卫星在1,3轨道上运行时，根据万有引力提供向心引力分别列方程：G=Mmr12=mv12r1
(1)
GMmr32=mv32r3
(2)
由(1)(2)两式分别解得：
v1=GMr1,v3=GMr3
由于r1＜r3，可以比较得v1＞v3。
2 vA和vB的大小比较
卫星在椭圆轨道2上稳定运行时，仍然是万有引力或万有引力的分力提供向心力，不过向心力F向=mv2r中的半径r，不再等于卫星到地心O间的距离，而是等于轨迹上各点的曲率半径，卫星的运行速率也是不断变化的。如图1所示，此时地球位于椭圆的一个焦点上，AB为
人造卫星变轨时速度分析
一、地球同步卫星
1、什么是地球同步卫星
指在轨道上跟地球自转同步，相对地面静止的 卫星，因此也叫静止轨道卫星，这一类卫星通 常用作传递通讯信号，所以也叫通讯卫星。
2、地球同步卫星的特点
（1）绕行方向与地球自转方向相同 （2）绕行周期与地球自转周期相同T=24h ,角速度也相同 （3）卫星轨道必须定点在赤道的正上方，轨道平面与赤 道平面重合，距地面高度h＝36000km （4）所有同步卫星的运动参数都相同，有唯一确定的值
• 两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所 以它们的运动周期是相等的，角速度也是 相等的。
（三）要明确两子星圆周运动的动力学关系。
• 设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相 距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角
• 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛 顿第二定律得：
M :1
G
M1M 2 L2
如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨， 即轨道半径r发生变化，上述物理量都将随之变 化。同理，只要上述物理量之一发生变化，另外 几个也必将随之变化。 在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问 题。
（二）、渐变
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道 多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及 时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将 化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度）， 卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而 引起各个物理量的变化。
如何比较卫星变轨问题中的几个速度大小
如何比较卫星变轨问题中的几个速度大小
作者：周凌峰李兴
来源：《物理教学探讨》2007年第10期
随着我国“神舟”号宇宙飞船的五次发射和回收成功，宇宙飞船和人造地球卫星问题再度成为中学物理教学的一个亮点，相信它也将成为“3+X”高考的一个热点。笔者在教学过程中发现，很多学生对卫星的变轨问题认识比较模糊，特别是对变轨时涉及到的几个速度大小区分不清。本文就如何区分这几个速度大小问题作深入分析。
如图1所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3。其中，轨道1、2相切于A点，轨道2、3相切于B点。质量为m的人造卫星在轨道1上运行时，轨道半径的r1，速率为V1；在轨道3上运行时，速率为V3，轨道半径为r3。卫星若要从轨道1到轨道3上运行，必须经过两次变轨，第一次从圆轨道1变到椭圆轨道2上；第二次是从椭圆轨道2变到圆轨道3上。设卫星在椭圆轨道2上运行到A、B两点时的速率分别为V A、V B。试比较V1、V3、V A、V B的大小关系。
1V1和V3的大小比较
设地球质量为M，卫星在1、3轨道上运行时，根据万有引力提供向心力分别列方程：
由①②两式分别解得：
2V A和V B的大小比较
卫星在椭圆轨道2上运行到A、B两个特殊位置时，速度方向都与万有引力垂直，且F向=F万，取卫星为研究对象分别列方程得：
综上所述，卫星在变轨问题中所涉及到的四个速度的大小关系为V A>V1>V3>V B。需要特别一提的是，卫星在椭圆轨道2上稳定运行时，不须开动发动机进行加速或减速而是遵守机械能守恒定律。
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3、同步卫星的处理方法： F向＝F引
例如：计算同步卫星的轨道高度h (周期T已知)
代入数据可得：h＝36000km 确定了轨道高度后，便可由F向＝F引列式 确定线速度、角速度了
二、人造卫星变轨时的速度变化分析
Q
1
P
3
2
（一）、人造卫星基本原理
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由 万有引力提供。轨道半径r确定后，与之对应的 卫星线速度、角速度、周期、向心加速度也都是 确定的。
如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨， 即轨道半径r发生变化，上述物理量都将随之变 化。同理，只要上述物理量之一发生变化，另外 几个也必将随之变化。 在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问 题。
（二）、渐变
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道 多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及 时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将 化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度）， 卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而 引起各个物理量的变化。
• 两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所 以它们的运动周期是相等的，角速度也是 相等的。
（三）要明确两子星圆周运动的动力学关系。
• 设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相 距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角
• 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛 顿第二定律得：
M :1
G
M1M 2 L2
同步卫星及变轨问题
一、地球同步卫星
1、什么是地球同步卫星
指在轨道上跟地球自转同步，相对地面静止的 卫星，因此也叫静止轨道卫星，这一类卫星通 常用作传递通讯信号，所以也叫通讯卫星。
2、地球同步卫星的特点
（1）绕行方向与地球自转方向相同 （2）绕行周期与地球自转周期相同T=24h ,角速度也相同 （3）卫星轨道必须定点在赤道的正上方，轨道平面与赤 道平面重合，距地面高度h＝36000km （4）所有同步卫星的运动参数都相同，有唯一确定的值
v2 v1 v4 v3
v1 v4 v2 v1 v4 v3
v3 Q v1
P v2
结论
要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道， 即增大轨道半径（增大轨道高度h），一定要 给卫星增加能量。
三、双星问题
ω
m1
O r1
r2
m2
宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比 的两颗星球，它们离其它星球都较远，因 此其它星球对它们的万有引力可以忽略不 计。在这种情况下，它们将各自围绕它们 连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周 运动。这种结构叫做双星。
ω
m1
O r1
r2
m2
（一）、要明确双星中两颗子星做匀速 圆周运动的向心力来源
• 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速 圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引 力提供。由于力的作用是相互的，所以两 子星做圆周运动的向心力大小是相等的， 利用万有引力定律可以求得其大小。
（二）、要明确双星中两颗子星匀速圆 周运动的运动参量的关系
同步卫星的发射过
程是一个典型的变
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轨运动过程
v4
近地轨道 椭圆轨道 同步圆轨道
v3 v1
v2
卫星在圆轨道上运动时的速度比较
G Mm m v 2
r2
r
v GM r
vB vC
vB vA
卫星在椭圆轨道上速度比较
P
由开普勒第二定律可知
vQ vP Q
v GM r
G Mm m v 2
M1
v12 r1
M1r112
M :2
G M1M2 L2
M2
v22 r2
M 2r222
ω1 M1 r1
M2 r2
Lω2
结论
1.周期相同： T1=T2 •2.角速度相同：ω1 =ω2 •3.向心力相同：Fn1=Fn2 •4.轨道半径与质量成反比：r1：r2=m2：m1 •5.线速度与质量成相反：V1:V2=m2:m1
【例题1】两颗靠得很近的天体称为双星，它们 都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至 于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确 的是：
• A、它们做圆周运动的角速度之比与其质量 成反比。
• B、它们做圆周运动的线速度之比与其质量 成反比。
• C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。
• D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。
r2
r
圆周运动
G Mm m v 2
r2
r
向心运动
G Mm m v 2 离心运动
r2
r
设卫星在近地圆轨道上运 行的速率为v1，在P点短 时间加速后的速率为v2， 沿转移轨道刚到达远地点
Q时的速率为v3，在Q点 v4
短时间加速后进入同步轨 道后的速率为v4。试比较 v1、v2、v3、v4的大小， 并用小于号将它们排列起 来______。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功， 使卫星速度减小，所需要的向心力减小，但卫星 跟地球间的万有引力没有变，因此卫星将做向心 运动，即半径r将减小。
结论
• 变轨后：由于r减小，卫星线速度v将增大， 周期T将减小，向心加速度a将增大。
（三）、突变
• 由于技术上的需要，有时要在适当的位置 短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器 轨道发生突变，使其到达预定的目标。