最新人教A版选修2-2高中数学1.7.2定积分在物理中的应用导学案
1.7.定积分在物理中的应用-人教A版选修2-2教案
1.7. 定积分在物理中的应用-人教A版选修2-2教案一、教学目标1.理解定积分的物理意义和计算方法。
2.掌握定积分用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量的计算方法。
3.了解矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法。
二、教学重点和难点1.掌握定积分在物理中的应用。
2.熟练掌握定积分的计算方法。
3.理解矩形法和梯形法的误差估计方法。
三、教学过程3.1、导入新课1.引入物理学中的几何概念——曲线下的面积。
2.提问：如何求出曲线下的面积？3.引导学生思考定积分的概念及其物理意义。
3.2、讲解定积分的物理意义和计算方法1.定积分的物理意义：用于求曲线下的面积、质量和质心等物理量。
2.定积分的计算方法：用不定积分求解，再进行积分区间的计算。
3.3、定积分在物理中的应用3.3.1、曲线下的面积1.定义曲线下的面积。
2.推导计算公式。
3.3.2、质量1.定义质量。
2.推导计算公式。
3.3.3、质心1.定义质心。
2.推导计算公式。
3.4、矩形法和梯形法的计算公式和误差估计方法1.介绍矩形法和梯形法的计算公式。
2.推导误差估计公式。
3.5、课堂练习1.做一些简单的例题，让学生熟悉定积分的计算方法和应用。
2.分组让学生自主练习，并交流答案。
四、教学反思1.本节课通过引入几何概念引导学生认识定积分的物理意义，从而引入了定积分的计算方法和应用。
2.教师在给出定积分的物理意义时应该注意符合学生所学习过的课程，从而让学生更好地理解和接受。
3.我们还需更多的时间让学生练习和思考，以便更好的理解和掌握定积分。
《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案2学习目标能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功重点定积分的几何意义难点曲线所围平面图形的面积求法知识链接1、 定积分的几何意义2、 曲线所围平面图形的面积求法自主学习知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 .例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成︒30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .合作探究1、 设物体以速度)/(3)(2s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ） m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ） m A 3160. m B 380. m C 340. m D 320. 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度t t a 2)(=，当初速度0)0(=v 时，质点出发后s 6所走的路程为（ ）12.A 54.B 72.C 96.D5、如果N 1能拉弹簧cm 1，为了将弹簧拉长cm 6，所耗费的功为（ ）J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.6、一物体在力523)(2+-=x x x F （力：N ；位移：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处作的功是（ ） J A 925. J B 850. J C 825. J D 800.7、将一弹簧压缩x 厘米，需要x 4牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程.9、把一个带q +电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力的由公式2r q k F =(其中k 为常数) 确定.在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到)(b a b r <=处，求电场力对它所做的功.10、B A ,两地相距m 5，物体a 从A 以速度132+=t v （单位：s m v /,；.,s t ）朝B 做直线运动，同时物体b 以速度t v 10=朝A 做直线运动，问两物体何时相遇？相遇地与A 地的距离是多少？11、一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数,b求抛物线拱的面积.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分在物理中的应用》示范教案
1．7.2定积分在物理中的应用教材分析本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题；2．学会将实际问题化归为定积分的问题．过程与方法目标能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观培养将数学知识应用于生活的意识．重点难点重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题．教学过程引入新课提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？活动设计：以提问的形式让学生回答．设计意图让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．探究新知提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动结果：由速度—时间曲线可知：v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是s ＝∫1003tdt ＋∫401030dt ＋∫6040(－1.5t ＋90)dt ＝32t 2|100＋30t|4010＋(－34t 2＋90t)|6040＝1 350(m)． 答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.设计意图通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法．提出问题2：此问题还可以如何解决？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302＝1 350(m)． 设计意图使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题．理解新知提出问题1：一物体在恒力F(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F·s.那么，如果物体在变力F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么如何计算变力F(x)所做的功W 呢？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题，可以得到W ＝∫b a F(x)dx.设计意图让学生通过类比求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的方法，探究得出求变力作功也可用定积分解决．提出问题2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．活动设计：学生独立思考，找一个学生板书．活动成果：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x 成正比，即F(x)＝kx ，其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到W ＝∫l 0kxdx ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)． 答：克服弹力所作的功为12kl 2 J. 设计意图通过上面变力作功的积分表示，将其应用于实际问题，加深学生的理解．运用新知例A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t) m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝∫b a v(t)dt.解：(1)设从A 到C 所用的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝∫2001.2tdt ＝0.6t 2|200＝240(m)．答：A 、C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝∫200(24－1.2t)dt ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．答：B 、D 间的距离为240 m.(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，则从C 到D 的时间为6 72024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)． 答：电车从A 站到B 站所需时间为320 s.巩固练习物体A 以速度v ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v ＝10t(米/秒)在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？分析：依题意，物体A 、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．解：A 从开始到t 秒所走的路程为s A ＝∫t 0(3t 2＋1)dt ＝t 3＋t.B 从开始到t 秒所走的路程为s B ＝∫t 010tdt ＝5t 2，由题意：s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，解得t ＝5(秒)．此时：s A＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离分别是130米和125米． 变练演编1．一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．2．弹性物体所受的压力与缩短的距离之间的关系依照胡克定理F ＝kx(k 是常数)计算，现有弹簧一个，原长有1 m ，每压缩1 cm 时需力5 N ，求自80 cm 压缩至60 cm 时需作功多少？答案：1.思路分析：功是力对位移的积累，抓住两次作功相等，列出定积分表达式，求解即可．解：因土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度s 成正比，设其比例系数为k ，则由题意知∫10ksds ＝∫x 1ksds ，解得x ＝2，故第二次打入的深度为(2－1) m.点评：本题关键是抓住两次作功相等，搞清积分上限和积分下限．2．解：由题意知比例系数k ＝50.01＝500，弹簧被压缩20 cm 到被压缩40 cm ，需作功W ＝∫0.40.2500xdx ＝30(J)．点评：此题属于常规题型，应注意单位统一用国际单位制．达标检测1．一物体沿直线以v ＝2t ＋3的速度运动，求物体在t ∈[3,5]内行进的路程为__________．2．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t ＝0时，物体所在的位置为s 0，则在t 1秒末时它所在的位置为( )A ．∫t 10v(t)dtB ．s 0＋∫t 10v(t)dtC ．∫t 10v(t)dt －s 0D ．s 0－∫t 10v(t)dt3．汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度大小2 m/s 2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车走了约( )A ．19.75 mB ．20.76 mC ．22.80 mD ．24.76 m4．一物体在力F(x)＝3x ＋4(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4处，求力F(x)所作的功为__________．答案：1.22 2.B 3.A 4.40 J课堂小结1．知识收获：用定积分求变速直线运动的路程和变力作功问题．2．方法收获：数形结合方法．3．思维收获：数形结合、化归的思想．布置作业课本习题1.7A 组第5,6题．补充练习基础练习1．某质点作直线运动，其速度v(t)＝3t 2－2t ＋3，则它在2秒内所走的路程是________________________________________________________________________．2．如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需作功( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J3．物体作变速直线运动的速度为v(t)＝1－t 2，则它前两秒走过的路程为__________． 拓展练习4．由截面积为 4 cm 2的水管往外流水，打开水管t 秒末的流速为v(t)＝6t －t 2(cm/s)(0≤t ≤6)．试求：t ＝0到t ＝6秒这段时间内流出的水量．5．物体按规律x ＝4t 2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x ＝0到x ＝2阻力所作的功．答案：1.10 2.A 3.2 4.144 cm 3 5.－25焦 设计说明通过物理学中变速直线运动的路程问题、弹簧作功问题，既可以加强学生对之前所学知识的进一步应用，又能让学生掌握如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决，突破本节课的难点，让他们体验到数学在现实生活中的灵活运用．通过相应的练习，让学生学会运用所学知识解决实际问题，将数学知识运用到生活中来．备课资料17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求物体的瞬时速度与加速度，如何求曲线的切线及曲线长度(行星路程)、矢径扫过的面积、极大、极小值(如近日点、远日点、最大射程等)、体积、重心、引力等等．尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题．当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大．牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术(微分)和反流数术(积分)，反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中．所谓“流量”就是随时间而变化的自变量，如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度，即变化率等．他说的“差率”“变率”就是微分．与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理．牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等.1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学被迅速推广．(设计者：孙娜)。
推荐-高中数学人教A版选修2-2课件1.7.2定积分在物理中的应用
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
混淆路程与位移而致误
典例做变速直线运动的物体的速度为v(t)=t2-3t,则从t=2到t=5,
该物体经过的路程为
.
错解该物体经过的路程为
s=
5 2
v(t)dt=
5 2
(t2-3t)dt=
1 3
������
3
-
3 2
������2
答案:7.5
5
2=7.5.
正解∵当 2≤t≤3 时,v(t)≤0;当 3≤t≤5 时,v(t)≥0,
4 0
-(6t2-t3)
5 4
=32-(-7)=39.
(4)依题意有 s=
������ 0
(12t-3t2)dt=0,即 6t2-t3=0,解得 t=0 或 t=6,
所以 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时 t=6.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
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课堂探究案
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探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
解:(1)由 v(t)=12t-3t2≥0 可得 0≤t≤4, 因此当 0≤t≤4 时,点 P 向 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动.所以当 t=2 时,
点
P
离开原点的路程为
s=
2 0
(12t-3t2)dt=(6t2-t3)
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做一做1 已知一个质点做直线运动
A.5 B.10 C.15 D.20
2013-2014学年高二数学人教A版选修2-2学案 1.7.2 定积分在物理中的应用
1。
7。
2 定积分在物理中的应用问题导学一、求变速直线运动的路程活动与探究1一质点在直线上从时刻t＝0(s）开始以速度v＝t2－4t＋3（m/s)运动，求点在t＝4 s时的位置及经过的路程．迁移与应用若某一物体以速度v(t）＝4－t2做直线运动，求它在t＝1到t ＝4这段时间内的路程．物体做变速直线运动的速度v，等于加速度函数a＝a（t）在时间［a，b]上的定积分；物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v＝v(t)在时间区间［a，b]上的定积分．用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决．二、求变力做功活动与探究2由胡克定律知,把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0。
4 m所做的功．迁移与应用1．已知弹簧拉长0.02 m，需要98 N的力，则把弹簧拉长到0。
1 m所做的功为( )A．24.5 J B．23.5 JC．22。
5 J D．25.0 J2．在原点O有一个带电量为＋q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距离为a处沿着射线方向移至距O点为b（a＜b)的地方,求电场力做的功．错误!由于力F 的大小随物体的位置变化而变化，因此将其记为F (x )，F (x )在[a ，b ］上所做的功W ＝错误!F (x )d x ．要解决好变力做功问题，必须熟悉相关的物理知识，正确写出被积函数．答案：课前·预习导学【预习导引】1．s ＝错误!v (t ）d t预习交流1 提示：路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程：(1）若v （t )≥0，s ＝错误!v （t )d t ；（2)若v (t )≤0，s ＝－错误!v (t )d t ；(3）若在区间［a ，c ］上v (t ）≥0,在区间［c ，b ］上v (t )＜0,则s ＝错误!v (t ）d t －错误!v (t )d t ．2．（1）W ＝Fs (2）错误!F （x )d x预习交流2 提示：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键．（2)由功的物理意义知，物体在变力F （x )的作用下，沿力F （x ）的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移动到x ＝b (a ＜b )．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3）根据变力做功公式W ＝⎠⎜⎜⎛ab F （x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是v （t ）在［0,4］上的定积分，而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0，4］上，哪些时间段的位移为负．解：在t ＝4 s 时该点的位移为错误!（t 2－4t ＋3)d t ＝错误!40＝错误!(m)．即在t ＝4 s 时该点距出发点错误! m ．又∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝（t －1)（t －3)，∴在区间［0,1]及［3，4]上的v (t ）≥0，在区间[1，3]上，v （t )≤0．∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝错误!（t 2－4t ＋3)d t ＋错误!＋错误!(t 2－4t ＋3）d t ＝错误!（t 2－4t ＋3）d t －错误!＋错误!(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)．迁移与应用 解：当1≤t ≤2时,v (t ）＝4－t 2≥0；当2≤t ≤4时，v （t ）≤0,∴物体在t ＝1到t ＝4这段时间内的路程是s ＝错误!v (t ）d t ＋错误!＝错误!（4－t 2）d t －错误!（4－t 2)d t ＝（）4t －13t 321－错误!42＝错误!． 活动与探究2 思路分析：先根据已知条件求出比例系数k ，得到变力F (x )与伸长量x 的关系式,然后再用定积分求出功W ．解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F (x )＝kx ，其中x 为伸长量．∴2＝0。
高中数学新人教版A版精品教案《1.7.2 定积分在物理中的应用》
定积分在物理中的应用教学设计石嘴山市第一中学数学组马建芳一、教学内容分析本节课是人教版高中数学选修2-2第一章第七节的内容。
本节内容是应用定积分求变速直线运动物体的路程以及变力做的功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题。
通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道在求变速直线运动物体的路程以及变力做功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用。
同时，在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
二、教法分析应用型的课题是培养学生观察，分析，发现，概括，推理和探索能力的极好素材，本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法，利用多媒体课件，微视频，几何画板优化课堂教学。
三、学法分析自主探究法、观察发现法、合作交流法等学习方法。
四、教学目标1知识与技能：了解定积分的几何意义及微积分基本定理；掌握利用定积分解决物理中的变速直线运动路程问题和变力做功问题。
2过程与方法：通过探究式的学习方法利用问题的物理意义，借助定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题。
3情感态度与价值观：体会数学在其他学科中的渗透，让学生体会数学是一门应用非常广泛的学科，激发学生的求知欲，培养其对学习的浓厚兴趣。
五、教学重难点1教学重点：利用定积分的知识解决变速运动问题及变力做功问题，进一步巩固定积分解决实际问题思路和方法。
2教学难点：理解实际问题的物理意义，建立数学模型，借助定积分解决。
六、课时安排共1课时七、教学过程（一）情境引入课程开始之前，老师有个小故事想要分享给大家。
（播放微视频）视频中的两位同学在学习中遇到了些问题，我想请大家一起帮助他们解决，同时也将他们学习中的成果与大家分享。
请同学们讨论，我们需要帮助他们解决的是什么问题？（将两位同学得到的两个函数图像课件展示，引导学生分析）图中阴影部分的面积就是物体做变速运动的路程？2变速直线运动的路程又如何计算？（二）新课讲授1首先我们解决第一个问题：为什么v-t图中阴影部分的面积就是物体做变速运动的路程？大家在物理中已经学习过匀速直线运动和匀变速直线运动的路程问题。
2019高中数学 第一章 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)xb[f(x)－g(x)]d x.即曲＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间b v(t)d t.[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ab F(x)d x.移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .( )(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xx ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝ba ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt ，在区间[c ，b ]上vt ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt－⎠⎛cb vtt ，s ′＝⎠⎛ab v tt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( ) 【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52 D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945 A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.。
2019-2020学年高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用导学案2 新人教A版选修2-2.doc
2019-2020学年高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用导学案2 新人教A 版选修2-2[学习要求]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．[学法指导]利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题，要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义，用“数形结合”思想解决问题. 变速直 线运动 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即_________变力做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为__________探究点一 变速直线运动的路程问题 变速直线运动的路程和位移相同吗？例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v(t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置；(2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程．探究点二 变力做功问题问题 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，B C ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14x ＋5 x x(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[达标检测]1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为 ( )A ．52g B ．72g C ．32g D ．2g2．一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．9453．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.。
人教版高中数学选修2-2《1.7.2定积分在物理中的应用》
类型二 变力做功问题 如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m处,求克服弹力所做的功.
l
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
解：由题可知
F ( x) kx
其中常数k 是比例系数.
由变力做功公式可得
l
l
1 2 答：克服弹力所做的功为 kl J . 2
1 2l 1 2 W kxdx kx 0 kl ( J ) 0 2 2
四、拓展练习、应用新知
1、帮扶干部在实施国家精准扶贫的路途中，他驾
3t , (0 t 10) (10 t 40)（单位：m/s） 车沿直线以v(t ) 30, 1.5t 90, ( 40 t 60)
谢 谢！
a
类型二
变力做功问题
一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如 果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功 为
b a
F(x)dx
三、巩固练习、体验新知
类型一、变速直线运动问题 某点在直线上从时刻 t 0( s) 开始，以速度运 动v t 2 4t 5(m / s),求该点前4秒行驶的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、创设情境、导入新课
1、理解应用定积分解决求变速直线运动的路程， 求变力做功等问题的实质。 2、应用定积分的思想方法，解决一些简单的变速 直线运动的路程、变力作功等实际问题。 3、在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方 法，加深对定积分的几何意义的理解。 重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的 变速直线运动的路程、变力作功等实际问题。 难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型。
2020高中数学 第一章 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝⎠⎛ab f(x)d xf(x)＜0S＝－⎠⎛ab f(x)d x(2)a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛ab v(t)d t.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛ab F(x)d x.[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝f(x)，x∈[a，b ]与x轴围成的图形的面积S＝⎠⎛ab f(x)d x.( )(2)若物体的运动速度v＝5－2t，则其在1≤t≤3内的路程S＝⎠⎛13(5－2t)d t.( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难]利用定积分求平面图形的面积问题[观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xx ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：求变速直线运动的路程有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b a ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：1若v t ≥0， 则s ＝⎠⎛ab vt d t ；s ′＝⎠⎛ab v t d t .即s ＝s ′.2若v t ≤0， 则s ＝－⎠⎛ab vt d t ；s ′＝⎠⎛ab v t d t .即s ＝－s ′.3若在区间[a ，c ]上，v t ≥0，在区间[c ，b ]上v t ＜0，则s ＝⎠⎛a c v t d t －⎠⎛cb v t d t ，s ′＝⎠⎛ab vt d t .所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.求变力做功设有一个长为25 cm 30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)． 因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．[跟踪训练]2．一物体在力F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x≤2，2x－2，x＞2，(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A．10 J B．12 JC．14 J D．16 JB[W＝⎠⎛22d x＋⎠⎛24(2x－2)d x＝2x|20＋(x2－2x) |42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当堂达标·固双基]1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )S＝⎠⎛ba[f(x)－g(x)]d x S＝⎠⎛8(22x－2x＋8)d x①②S＝⎠⎛14f x d x－⎠⎛47f x d xS＝⎠⎛a[g x－f x]d x＋⎠⎛ab[f x－g x]d x③④图175A．①③B．②③C．①④D．③④D[①错误，S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x；②错误，S＝⎠⎛422x d x＋⎠⎛48(22x－2x＋8)d x；③④正确．]2．曲线y＝cos x⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤32π与坐标轴所围图形的面积是( )【导学号：31062102】A．2 B．3C．52D．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810D ．945A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52J.。
人教A版选修2-2 1.7.2定积分在物理中的应用 学案
1.7.2 定积分在物理中的应用明目标、知重点1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间a，b]上的定积分，即ʃb a v(t)d t.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.探究点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21tt⎰v(t)d t求解；(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21tt⎰v(t)d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21tt⎰v(t)d t.例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．解由速度－时间曲线可知：v(t)＝⎩⎨⎧3t，0≤t≤10，30， 10≤t≤40，－1.5t＋90， 40≤t≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040 ＝1 350 (m)．答 汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程．解 (1)由ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝(t 33－2t 2＋3t )|40 ＝43知， 在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0， 得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4.即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m. 探究点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃb a F (x )d x .例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎨⎧14x ＋5 (0≤x ≤90)20 (90<x ≤120)(单位：N)，在AB 段运动时F与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°. 由变力做功公式得：W ＝ʃ500⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |9050＋600 ＝1 12543＋4502＋600≈1 723 (J). 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解 设x 表示弹簧伸长的厘米，F (x )表示加在弹簧上的力， 设F (x )＝kx ，依题意得x ＝5时F (x )＝100， ∴k ＝20， ∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 即x ＝0到x ＝15所做的功W ＝ʃ15020x d x ＝10x 2|150＝2 250(N ·cm)＝22.5(J)．答 使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为22.5 J.1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B.72g C.32g D ．2g答案 C解析 h ＝ʃ21gt d t ＝12gt 2|21＝32g . 2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810 D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0， 得t ＝30， ∴s ＝ʃ30v (t )d t ＝ʃ300(27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)|300＝405.3．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力， ∴k ＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4ʃ50x d x ＝4×(12x 2)|50＝50(N ·cm)＝0.5(J)．呈重点、现规律]1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础过关1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝ʃ21(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )|21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s. 所以|AB |＝ʃ251.4t d t ＝0.7t 2|250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 mB.803 mC.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.∴h ＝ʃ20(40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20 ＝1603(m)． 4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝ʃ100F (x )d x ＝ʃ100x d x ＝12x 2|100＝50 (N ·cm)＝0.5 (J)．5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ2010d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝10x |20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)． 6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1答案 B解析 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|1＝(1＋e)－1＝e. 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．答案 0.36 J解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.120＝0.36 (J)． 8．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位) 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at＝809－1.8 t ．停止时，v (t )＝0，则809－1.8 t ＝0，得t ＝40081s ， 所以汽车所走的路程s ＝40080⎰v (t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫809t －12t 2×1.8|40080≈21.95(m)．9．把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________． 答案 k q a －k q b解析 W ＝ʃb a k qr 2d r ＝－k q r|ba＝k q a －k q b.10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2J解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝ʃl 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝kv 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0； 当x ＝a 时，t ＝(a b )13.所以阻力所做的功为W 阻＝ʃa 0F 阻d x ＝13()0a b ⎰kv 2·v d t＝13()0ab ⎰9kb 2t 4·3bt 2d t ＝13()0a b ⎰27kb 3t 6d t＝277kb 3t 7|13()0a b ＝277k 23b ·73a . 故物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功为277k 23b ·73a .12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解． 设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝ʃa 0v A d t ＝ʃa 0(3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝ʃa 0v B d t ＝ʃa 010t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与拓展13．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。
2019高中数学 第一章 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)xb[f(x)－g(x)]d x.即曲＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间b v(t)d t.[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ab F(x)d x.移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .( )(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xx ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝ba ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt ，在区间[c ，b ]上vt ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt－⎠⎛cb vtt ，s ′＝⎠⎛ab v tt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( ) 【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52 D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945 A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.。
2019高中数学 第一章 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)，x＝b与曲线y＝b[f(x)－g(x)]d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，b v(t)d t.即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那b F(x)d x.么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析b f(x)d x.( )(1)函数y＝f(x)，x∈[a，b ]与x轴围成的图形的面积S＝⎠⎛a(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难][观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xx ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：有一动点P x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0.(2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b a ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt，在区间[c ，b ]上v t ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt －⎠⎛cb v tt ，s ′＝⎠⎛ab v tt 所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.设有一个长为25 cm 30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)． 因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( )【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810D ．945A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.。
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用导学案1 新人教A版选修2-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用1导学案新人教A 版选修2-2一、基础过关1． 一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为 ( )A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．4 m2． 一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为 ( )A ．120 mB ．437.5 mC ．360 mD ．480 m3． 以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 4． 如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm,在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )A ．0.5 JB ．1 JC ．50 JD ．100 J5． 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为 ( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J6． 做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是 ( )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．8． 有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．9． 把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________．10．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？。
《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.7.2 定积分在物理中的应用》导学案1【复习回顾】定积分的几何意义；曲线所围平面图形的面积求法.【学习目标】能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.【例证题】一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 .例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成︒30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .【作业】 姓名： 学号：1、 设物体以速度)/(3)(2s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ） m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ）s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ） m A 3160. m B 380. m C 340. m D 320. 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度t t a 2)(=，当初速度0)0(=v 时，质点出发后s 6所走的路程为（ ）12.A 54.B 72.C 96.D5、如果N 1能拉弹簧cm 1，为了将弹簧拉长cm 6，所耗费的功为（ ）J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.6、一物体在力523)(2+-=x x x F （力：N ；位移：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处作的功是（ ） J A 925. J B 850. J C 825. J D 800.7、将一弹簧压缩x 厘米，需要x 4牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度tt t v ++-=1555)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程.9、把一个带q +电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力的由公式2r q k F =(其中k 为常数) 确定.在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从a r =处移动到)(b a b r <=处，求电场力对它所做的功.10、B A ,两地相距m 5，物体a 从A 以速度132+=t v （单位：s m v /,；.,s t ）朝B 做直线运动，同时物体b 以速度t v 10=朝A 做直线运动，问两物体何时相遇？相遇地与A 地的距离是多少？11、一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数,b求抛物线拱的面积.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用学案(含解析)新人教A版选修2-2(
高中数学第一章导数及其应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7。
2 定积分在物理中的应用［学习目标]1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．[知识链接]下列判断正确的是________．（1）路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2）利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子错误!v（t）d t；(3）利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子错误!v（t）d t。
答案（1）（3）解析(1）显然正确．对于(2)，(3）两个判断,由于当v（t）≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用错误!v(t）d t求解;当v(t)〈0时，求某一时间段内的位移用错误!v（t）d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－错误!v(t)d t.所以(2）错(3）正确．［预习导引］1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和,从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′分别为：(1）若v(t)≥0，则s＝错误!v(t）d t，s′＝错误!v(t)d t.（2)若v(t)≤0，则s＝－错误!v(t)d t,s′＝错误!v（t)d t.（3）若在区间［a，c]上,v（t）≥0，在区间［c,b］上v(t）〈0，则s＝错误!v(t）d t－错误!v（t）d t；s′＝错误!v（t)d t。
青海师范大学附属第二中学高中数学 1.7.2 定积分在物
1 青海师范大学附属第二中学高中数学 1.7.2 定积分在物理中的应用1导学案新人教A 版选修2-2一、基础过关1． 一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为 ( )A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．4 m2． 一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为 ( )A ．120 mB ．437.5 mC ．360 mD ．480 m3． 以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 4． 如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm,在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )A ．0.5 JB ．1 JC ．50 JD ．100 J5． 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为 ( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J6． 做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是 ( )A ．1＋eB ．e C.1eD ．e －1 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．8． 有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：c m/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________．9． 把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k q r2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在2 电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________．10．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12s ～6 s 间的运动路程．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？。
人民教育A版选修2-2 1.7.2 定积分在物理中的应用导学案
1.7.2《定积分在物理中的应用》导学案制作马冰审核高二数学组 2016-03-25【学习目标】1、通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2、会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．【预习导航】从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，[问题]你能求出电视塔的高度吗？【问题整合】1、变速直线运动的路程2、变力作功【问题探究】探究活动一求变速直线运动的路程、位移例1有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t 2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程；(2)当t＝5时，P点的位置；(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．探究活动二变力作功例2如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50 cm，BC＝40 cm，CD＝30 cm，变力F＝⎩⎪⎨⎪⎧14x＋5，(0≤x≤90)，20，(90≤x≤120).在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC 段运动时F与运动方向成45°，在CD段F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．【课堂巩固练习】1．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车．试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．2．设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm所做的功．【总结概括】【课后作业】习题1.7A组4,5,6.。
2013-2014学年高二数学人教A版选修2-2学案1.7.2定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用问题导学一、求变速直线运动的路程活动与探究1一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．迁移与应用若某一物体以速度v (t )＝4－t 2做直线运动，求它在t ＝1到t ＝4这段时间内的路程．物体做变速直线运动的速度v ，等于加速度函数a ＝a (t )在时间[a ，b ]上的定积分；物体做变速直线运动经过的位移s ，等于其速度函数v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的定积分．用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决．二、求变力做功活动与探究2 由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 cm ，试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功．迁移与应用1．已知弹簧拉长0.02 m ，需要98 N 的力，则把弹簧拉长到0. 1 m 所做的功为( ) A ．24.5 J B ．23.5 J C ．22.5 J D ．25.0 J2．在原点O 有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距离为a 处沿着射线方向移至距O 点为b (a ＜b )的地方，求电场力做的功．⎝⎛⎭⎫电场力F ＝k ·qx 2(k 为常数)由于力F 的大小随物体的位置变化而变化，因此将其记为F (x )，F (x )在[a ，b ]上所做的功W ＝⎠⎛ab F (x )d x ．要解决好变力做功问题，必须熟悉相关的物理知识，正确写出被积函数．答案：课前·预习导学 【预习导引】 1．s ＝⎠⎛ab v (t )d t预习交流1 提示：路程是位移的绝对值和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程： (1)若v (t )≥0，s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；(2)若v (t )≤0，s ＝－⎠⎛ab v (t )d t ；(3)若在区间[a ，c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )＜0，则s ＝⎠⎛a c v (t )d t －⎠⎛cb v (t )d t ．2．(1)W ＝Fs (2)⎠⎛ab F (x )d x预习交流2 提示：(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键．(2)由功的物理意义知，物体在变力F (x )的作用下，沿力F (x )的方向做直线运动，使物体从x ＝a 移动到x ＝b (a ＜b )．因此，求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置．(3)根据变力做功公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 即可求出变力F (x )所做的功．课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：因为位置决定于位移，所以它是v (t )在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负．解：在t ＝4 s 时该点的位移为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 4＝43(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点43 m ．又∵v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0．∴在t ＝4 s 时的路程为s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)．迁移与应用 解：当1≤t ≤2时，v (t )＝4－t 2≥0； 当2≤t ≤4时，v (t )≤0，∴物体在t ＝1到t ＝4这段时间内的路程是s ＝⎠⎛12v (t )d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛24v (t )d t＝⎠⎛12(4－t 2)d t －⎠⎛24(4－t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫4t －13t 321－⎝⎛⎭⎫4t －13t 342＝373． 活动与探究2 思路分析：先根据已知条件求出比例系数k ，得到变力F (x )与伸长量x 的关系式，然后再用定积分求出功W ．解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F (x )＝kx ，其中x 为伸长量．∴2＝0.03k ，得k ＝2003(N/m)．于是F (x )＝2003x ．故将弹簧拉长0.4 m 所做的功为W ＝0.40⎰2003x d x ＝1003x 20.40＝163(J)．因此将弹簧拉长0. 4 m 所做的功为163J ．迁移与应用 1．A 解析：∵F (x )＝kx ，∴k ＝F (x )x ＝980.02＝4 900．∴F (x )＝4 900x ．由变力做功公式，得W ＝0.10⎰4 900x d x ＝4 9002x 20.1＝24.5(J)．2．解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力为F ＝k ·qx2(k 为常数)，这是一个变力，在[x ，x ＋Δx ]上，显然，W ＝kqx2·Δx ，∴W ＝⎠⎛ab kq x2d x ＝kq ⎝⎛⎭⎫－1x b a ＝kq ⎝⎛⎭⎫1a －1b ． 当堂检测1．物体以速度v (t )＝3t 2－2t ＋3做直线运动，它在t ＝0到t ＝3这段时间内的位移是( ) A ．9 B ．18 C ．27 D ．36 答案：C 解析：所求位移s ＝30⎰v (t )d t ＝30⎰(3t 2－2t ＋3)d t ＝(t 3－t 2＋3t )30＝27．2．物体以速度v (t )＝2－t 做直线运动，则它在t ＝1到t ＝3这段时间的路程为( ) A ．0 B ．1 C ．12 D ．32答案：B 解析：当t ∈[1,2]时v (t )≥0，t ∈[2,3]时v (t )≤0，故路程为31⎰|2－t |d t ＝21⎰|(2－t )|d t ＋32⎰(t －2)d t ＝1．3．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．1＋eB ．eC ．1eD ．e －1 答案：B 解析：所做的功W ＝10⎰F (x )d x ＝10⎰(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )10＝e ．4．如果1 N 力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为________． 答案：0.18 J 解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ， ∴k ＝10.01＝100，即F (x )＝100x ，于是拉长6 cm 所耗费的功为W ＝0.060⎰F (x )d x ＝0.060⎰100x d x ＝50x 20.060＝0.18(J)．5．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)．则它在第2秒内所走的路程为________．答案：13m 解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝21⎰v (t )d t＝21⎰(t 2－2t ＋1)d t ＝3213t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭21＝13(m)．。
2019高中数学 第一章 1.7.2 定积分在物理中的应用学案 新人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)，x＝b与曲线y＝b[f(x)－g(x)]d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，b v(t)d t.即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那b F(x)d x.么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析b f(x)d x.( )(1)函数y＝f(x)，x∈[a，b ]与x轴围成的图形的面积S＝⎠⎛a(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为 (4－x 2)d x .( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难][观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：能．可表示为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝xx ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：有一动点P x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0.(2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b a ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt，在区间[c ，b ]上v t ＜0，则s ＝⎠⎛ac vtt －⎠⎛cb v tt ，s ′＝⎠⎛abv t t 所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.设有一个长为25 cm 30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)． 因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛abF (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( )【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810D ．945A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. [解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J.。
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1. 7.2定积分在物理中的应用
课前预习学案
【预习目标】
能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.
【预习内容】
一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数
)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 .
例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,
103)(2
t t t t t t v
求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.
变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.
二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.
变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成︒30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .
课内探究学案
一、学习目标：
1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、学习重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三、学习过程
(一)变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区
间[a ，b ]上的 定积分
，即⎰=b
a dt t v s )(．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是
()dt t ⎰-5
3sin 3．
（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程
为
3
25
． 例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
（二）变力作功
1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =
F （b —a ）．
2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的
功W =⎰b
a
dx x F )(．
例2．教材例4。
课后练习与提高
1、设物体以速度)/(3)(2s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ）
m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.
2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ）
s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.
3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ）
m A 3160.
m B 380. m C 340. m D 3
20
. 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度t t a 2)(=，当初速度0)0(=v 时，质点出发后s 6所走的路程为（ ）
12.A 54.B 72.C 96.D
5、如果N 1能拉弹簧cm 1，为了将弹簧拉长cm 6，所耗费的功为（ ）
J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.
6、一物体在力523)(2+-=x x x F （力：N ；位移：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处作的功是（ ）
J A 925. J B 850. J C 825. J D 800.
7、将一弹簧压缩x 厘米，需要x 4牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是 8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度t
t t v ++
-=155
5)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求
（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；
（2）紧急刹车后火车运行的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习
1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）．
A ．38
B ．2
C ．34
D ．3
2
2．曲线y = cos x 3(0)2
x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A ．4
B ．2
C ．5
2
D ．3
3．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形
的面积．
解：如图：由2230y x
x y ⎧=⎨--=⎩
得
A （1，– 1），
B （9，3）．
选择x 作积分变量，则所求面积为
1
011
[()][(3)]2
S x x dx x x dx =--+--⎰⎰=19
9
011
121(3)2dx xdx x dx +-
-⎰⎰⎰ =33219
92201142332||()|33423
x x x x +--=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区
间[a ，b ]上的 定积分
，即⎰=b
a dt t v s )(．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是
()dt t ⎰-5
3sin 3．
（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s
所走过的路程
为
3
25 ． 例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =
F （b —a ）．
2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =⎰b
a dx x F )(．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2 2．一物体在力F (x ) =10(02)
34(2)
x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力
F (x )做功为（ B ） A ．44J
B ．46J
C ．48J
D ．50J
3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W =
G ·
()
Mmh
k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引
力f 为f = G ·
12
2
m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·
2
()Mm
k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为
0()h W f x =⎰d x =20()
h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 2
1()
h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h
k x -+ =11()()
Mnh
GMm k G k h k k h -
+=⋅
++． （三）、作业《习案》作业二十。