13年高考真题——理科数学(广东卷)

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2013年新课标2卷理科数学高考真题及答案

答案：49
【解法一】由S10= 0，S15= 25⇒a1=3，公差d=，
⇒Sn=n(n10)
将Sn是关于n的函数，其图像关于n= 5对称，n< 10时，Sn< 0，n> 10时，Sn> 0，
所以nSn的最小值应在n= 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n= 7时nSn最小，最小值为49.
【解法二】同解法一得：Sn=n(n10)
所以ET= 45000×0.1 +53000×0.2 +61000×0.3 +65000×0.4 = 59400
所以T的数学期望为59400
(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：=1(a>b>0)的右焦点的直线x+y= 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（Ι）求M的方程
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100,110),则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110)的概率，求T的数学期望.
答案：A
【解】
（8）设a= log36，b= log510，c= log714，则
（A）c>b>a（B）b>c>a（C）a>c>b（D）a>b>c
答案：D
【解】a= 1 + log32，b= 1 + log52，c= 1 + log72
log23<log25<log27⇒log32>log52>log72⇒a>b>c

【数学】2013年高考真题广东卷(理)解析版1

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4B ．3C ．2D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23 P35 310 110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3 【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4B ．143C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =+⨯=,,故选B6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥正视图俯视图侧视图第5题图D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,x y z===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-. 10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 【解析】1-；求导得1y k x '=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()571113346a a a d a d +=+++=. AE D CBO第15题图或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为(0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________. 【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC=_________. 【解析】ABC CDE ∆∆,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 7 92 0 1 53 0第17题图因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.C O BDEA CDOBE'A图2C D OBE'AH(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD 由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,3n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244nn =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PAPB ,其中,A B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--.。

13年广东高考理科数学试题及答案OK

正视图俯视图侧视图图1绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式121(3V S S h =++,其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{}R x x x x M ∈=+=,022 {}R x x x x N ∈=-=,022，则M N = （）A 、{}0B 、{}2,0C 、{}0,2-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3x y =，x y 2=，12+=x y ，x y sin 2=中，奇函数的个数是（）A 、4B 、3C 、2D 、1 3、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）A 、)4,2(B 、)4,2(-C 、)2,4(-D 、)2,4( 4、已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望=)(X E （）5 ）A 、4B 、314 C 、316D 、6D6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（） A 、若m n αβαβ⊥⊂⊂，，，则m n ⊥ B 、若m n αβαβ⊂⊂∥，，，则m n ∥ C 、若m n m n αβ⊥⊂⊂，，，则αβ⊥ D 、若m m n n αβ⊥，∥，∥，则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F 离心率等于23，则C 的方程是（） A 、15422=-y x B 、15422=-y x C 、15222=-y x D 、15222=-y x 8、设整数4≥n ，集合{}n X ,,3,2,1 =令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若),,(),,(x w z z y x 和都在S中，则下列选项正确的是（）A 、S w y x S w z y ∉∈),,(,),,(B 、 S w y x S w z y ∈∈),,(,),,(C 、S w y x S w z y ∈∉),,(,),,(D 、 w y x S w z y ∉∉),,(,),,(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20（一）必做题（9-13题）9、不等式022<-+x x 的解集为．10、若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴，则=k ．11、执行图2所示的流程框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为． 12．在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a ．13、给定区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444:x y x y x D ，令点集{}000000(,),,(,)D T x y D x y Z x y z x y =∈∈=+是在上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定条不同的直线；（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)(sin 2cos 2为参数t ty t x ，C 在点)1,1(处的切线为l ,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为． 15、（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D ，使BC =CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ，若AB =6，DE =2，则BC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()),12f x x π=-x R ∈，（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+17、（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图4BC图6O18、（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90=︒，6BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE== O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE-，其中'A O=（1）证明：'A O⊥平面BCDE；（2）求二面角'A CD B--平面角的余弦值．19、（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a=，2*1212,33nnSa n n n Nn+=---∈，（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174na a a++⋅⋅⋅+<．20、（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点；（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值21、（本小题满分14分）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈，（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5：D 、C 、C 、A 、B ； 6-8：D 、B 、B ；二、填空题9、(-2,1) 10、-1 11、7 12、20 13、6 14、2)4(sin =+πθρ 15、32三、解答题16、（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf （2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ． 17、（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ．（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18、（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6，所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1 折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ，又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19、（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n an a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n na n =．∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20、（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++，所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-=两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=-∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ．（3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21、（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='x x x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='x e x x f ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(．（2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x x x -=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g ，则xx x g 11221)(-=-=' ∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减．∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得．而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析

2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。

2013年高考真题——数学全国卷1(完整试题+答案+解析)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．155.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若题图第130=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x-+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）第14题图已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥；（III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：AB CDEF现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分）已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③ 三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分（Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥ACABCDEF G又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面B C D E ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y ……………………………………9分当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立． …………………………………………8分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222m n n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B 由2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622k kk x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kkk k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k kk∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013年高考理科数学广东卷-答案

M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。

13年全国各省(市)高考数学真题分类汇编(二)OK

2013年全国各省（市）高考真题数学（理）分类汇编与解析（二）函数与导数1、（2013安徽卷20题）（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23nnnx x xf x x x R n Nn=-+++++∈∈，证明：（Ⅰ）对每个nn N∈，存在唯一的2[,1]3nx∈，满足()0n nf x=；（Ⅱ）对任意np N∈，由（Ⅰ）中nx构成的数列{}n x满足1n n px xn+<-<。

2、（2013北京卷18题）(本小题共13分)设l为曲线C：ln xyx=在点(1，0)处的切线，(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方3、（2013福建卷17题）（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈，（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．4、（2013广东卷21题）（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R )，(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M.5、（2013广西卷22题）（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n =+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：6、（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x -ln(x+m)，(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0。

13年高考真题——理科数学(湖南卷)

201３年普通高等学校招生全国统一考试(湖南）卷数学（理科)一．选择题（本大题共8小题,每小题5分，共4０分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１．复数()1z i i =+（i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ）(Ａ)第一象限 (B ）第二象限（C ）第三象限 (D ）第四象限2.某学校有男、女学生各５00名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取10０名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) (Ａ）抽签法（B)随机数法 (C)系统抽样法（Ｄ)分层抽样法３.锐角ABC ∆中，角,A B 所对边长分别为,a b ，若2sin 3a B b =，则角A 等于( ) (A)12π （Ｂ)6π (C)4π （D)3π 4．若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是( )(A ）52- （B ）0 (C)53 (Ｄ)52５．函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（）(A ）3 （B)2 （C)1 (Ｄ)０6．已知,a b 是单位向量,0a b ⋅=。

若c 满足||1c a b --=，则||c 的取值范围是（）（A )21,2+1⎡⎤-⎣⎦ （B ）21,2+2⎡⎤-⎣⎦ （Ｃ）1,2+1⎡⎤⎣⎦ (D ）1,2+2⎡⎤⎣⎦７．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于( ） (A)1 (B)2 (C ）212- （D ）212+ 8.在等腰三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P (如图1)。

若光线QR 经过ABC ∆的中心,则AP 等( )(A ）２ (B ）1 （C)83 （Ｄ)43二．填空题(本大题共8小题,考生作答7小题,每小题５分,共3５分）（一）选做题(请考生在第9、10、１１三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中,若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数)过椭圆3cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数)的右顶点，则常数a =__＿_______。

2013年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ卷) Word版含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ）（A ）｛0，1，2｝（B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（）（A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（）（A ）-4 （B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++ （C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

高考数学(理)真题专题汇编：推理与证明

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

(完整版)高中数学高考题详解-基本不等式

考点29基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）63)a -≤≤的最大值为() A.9B.29C.3D.223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B.当6-=a 或3=a 时,0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.（2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A.0B.1C.94D.3【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz+-，进而再利用基本不等式求出212xyz+-的最值.【解析】选B.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =z xy .xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.（2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0B.98C.2D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】选C.由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D.≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题5.（2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

2013广东高考理科数学试卷及答案

2021年广东省高考数学试卷〔理科〕2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2021•广东〕设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2﹣2x=0,x∈R},那么M∪N=〔〕A．{0} B．{0,2} C．{﹣2,0} D．{﹣2,0,2}2．〔5分〕〔2021•广东〕定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A．4B．3C．2D．13．〔5分〕〔2021•广东〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A．〔2,4〕B．〔2,﹣4〕C．〔4,﹣2〕D．〔4,2〕4．〔5分〕〔2021•广东〕离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P那么X的数学期望E〔X〕=〔〕A．B．2C．D．35．〔5分〕〔2021•广东〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A．4B．C．D．66．〔5分〕〔2021•广东〕设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是〔〕A．假设α⊥β,m⊂α,n⊂β,那么m⊥n B．假设α∥β,m⊂α,n⊂β,那么m∥nC．假设m⊥n,m⊂α,n⊂β,那么α⊥βD．假设m⊥α,m∥n,n∥β,那么α⊥β7．〔5分〕〔2021•广东〕中心在原点的双曲线C的右焦点为F〔3,0〕,离心率等于,那么C的方程是〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕〔2021•广东〕设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}．令集合S={〔x,y,z〕|x,y,z∈X,且三条件x＜y＜z,y＜z＜x,z ＜x＜y恰有一个成立}．假设〔x,y,z〕和〔z,w,x〕都在S中,那么以下选项正确的选项是〔〕A．〔y,z,w〕∈S,〔x,y,w〕∉S B．〔y,z,w〕∈S,〔x,y,w〕∈S C．〔y,z,w〕∉S,〔x,y,w〕∈S D．〔y,z,w〕∉S,〔x,y,w〕∉S 二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分．9．〔5分〕〔2021•广东〕不等式x2+x﹣2＜0的解集为_________．10．〔5分〕〔2021•广东〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1,k〕处的切线平行于x轴,那么k=_________．11．〔5分〕〔2021•广东〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为_________．12．〔5分〕〔2021•广东〕在等差数列{a n}中,a3+a8=10,那么3a5+a7=_________．13．〔5分〕〔2021•广东〕给定区域D：．令点集T={〔x0,y0〕∈D|x0,y0∈Z,〔x0,y0〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},那么T中的点共确定_________条不同的直线．14．〔5分〕〔2021•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么l的极坐标方程为_________．15．〔2021•广东〕〔几何证明选讲选做题〕如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E．假设AB=6,ED=2,那么BC=_________．三、解答题：本大题共6小题,总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔12分〕〔2021•广东〕函数,x∈R．〔1〕求的值；〔2〕假设,,求．17．〔12分〕〔2021•广东〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数．〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率．18．〔14分〕〔2021•广东〕如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O 为BC的中点．将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=．〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．19．〔14分〕〔2021•广东〕设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,,n∈N*．〔1〕求a2的值；〔2〕求数列{a n}的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数n,有．20．〔14分〕〔2021•广东〕抛物线C的顶点为原点,其焦点F〔0,c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0,y0〕为直线l上的定点时,求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值．21．〔14分〕〔2021•广东〕设函数f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣kx2〔k∈R〕．〔1〕当k=1时,求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕当时,求函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M．2021年广东省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．〔5分〕〔2021•广东〕设集合M={x|x 2+2x=0,x ∈R},N={x|x 2﹣2x=0,x ∈R},那么M ∪N=〔〕 A ． {0} B ． {0,2} C ． {﹣2,0} D ． {﹣2,0,2}考点：并集与其运算．专题：计算题．分析：根据题意,分析可得,M={0,﹣2},N={0,2},进而求其并集可得答案．解答：解：分析可得, M 为方程x 2+2x=0的解集,那么M={x|x 2+2x=0}={0,﹣2},N 为方程x 2﹣2x=0的解集,那么N={x|x 2﹣2x=0}={0,2}, 故集合M ∪N={0,﹣2,2}, 应选D ．点评：此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集． 2．〔5分〕〔2021•广东〕定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是〔〕 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质与应用．分析：根据函数奇偶性的定义与图象特征逐一盘点即可．解答：解：y=x 3的定义域为R,关于原点对称,且〔﹣x 〕3=﹣x 3,所以函数y=x 3为奇函数；y=2x 的图象过点〔0,1〕,既不关于原点对称,也不关于y 轴对称,为非奇非偶函数； y=x 2+1的图象过点〔0,1〕关于y 轴对称,为偶函数；y=2sinx 的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔﹣x 〕=﹣2sinx,所以y=2sinx 为奇函数；所以奇函数的个数为2, 应选C ．点评：此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握． 3．〔5分〕〔2021•广东〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔〕 A ．〔2,4〕 B ．〔2,﹣4〕 C ．〔4,﹣2〕D ．〔4,2〕考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为 4﹣2i,从而求得z 对应的点的坐标．解答：解：复数z 满足iz=2+4i,那么有z===4﹣2i, 故在复平面内,z 对应的点的坐标是〔4,﹣2〕, 应选C ．点此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i 的幂运算性质,复数与复平面内对评：应点之间的关系,属于根底题． 4．〔5分〕〔2021•广东〕离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔〕A ．B ．2 C ．D ． 3考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由数学期望的计算公式即可得出：E 〔X 〕==．应选A ．点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键． 5．〔5分〕〔2021•广东〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕 A ． 4 B ．C ．D ． 6 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．解答：解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V==．应选B ．点评：此题考查三视图与几何体的关系,棱台体积公式的应用,考查计算能力与空间想象能力． 6．〔5分〕〔2021•广东〕设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是〔〕 A ．假设α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,那么m ⊥n B ．假设α∥β,m ⊂α,n ⊂β,那么m ∥nC ．假设m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,那么α⊥βD ．假设m ⊥α,m ∥n,n ∥β,那么α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,可推得m ⊥n,m ∥n,或m,n 异面；由α∥β,m ⊂α,n ⊂β,可得m ∥n,或m,n 异面；由m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,可得α与β可能相交或平行；由m ⊥α,m ∥n,那么n ⊥α,再由n ∥β可得α⊥β．解解：选项A,假设α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,那么可能m ⊥n,m ∥n,或m,n 异面,故A 错误；答：选项B,假设α∥β,m ⊂α,n ⊂β,那么m ∥n,或m,n 异面,故B 错误；选项C,假设m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,那么α与β可能相交,也可能平行,故C 错误；选项D,假设m ⊥α,m ∥n,那么n ⊥α,再由n ∥β可得α⊥β,故D 正确．应选D点评：此题考查命题真假的判断与应用,涉与空间中直线与平面的位置关系,属根底题． 7．〔5分〕〔2021•广东〕中心在原点的双曲线C 的右焦点为F 〔3,0〕,离心率等于,那么C 的方程是〔〕 A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的标准方程．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为F 〔3,0〕,离心率为 ,建立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程．解答：解：设双曲线方程为〔a ＞0,b ＞0〕,那么 ∵双曲线C 的右焦点为F 〔3,0〕,离心率等于 , ∴,∴c=3,a=2,∴b 2=c 2﹣a 2=5∴双曲线方程为．应选B ．点评：此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于根底题． 8．〔5分〕〔2021•广东〕设整数n ≥4,集合X={1,2,3,…,n}．令集合S={〔x,y,z 〕|x,y,z ∈X,且三条件x ＜y ＜z,y ＜z ＜x,z ＜x ＜y 恰有一个成立}．假设〔x,y,z 〕和〔z,w,x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕 A ．〔y,z,w 〕∈S,〔x,y,w 〕∉S B ．〔y,z,w 〕∈S,〔x,y,w 〕∈S C ．〔y,z,w 〕∉S,〔x,y,w 〕∈S D ．〔y,z,w 〕∉S,〔x,y,w 〕∉S 考点：进行简单的合情推理．专题：证明题；压轴题．分析：特殊值排除法,取x=1,y=2,z=4,w=3,可排除错误选项,即得答案．解答：解：特殊值排除法, 取x=1,y=2,z=4,w=3,显然满足〔x,y,z 〕和〔z,w,x 〕都在S 中,此时〔y,z,w 〕=〔2,4,3〕∈S,〔x,y,w 〕=〔1,2,3〕∈S,故A 、C 、D 均错误；只有B 成立,应选B点此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题．评：二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分．9．〔5分〕〔2021•广东〕不等式x2+x﹣2＜0的解集为〔﹣2,1〕．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法与应用．分析：先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根,根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2,1,且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上,所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为〔﹣2,1〕．故答案为：〔﹣2,1〕．点评：此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解"三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集．10．〔5分〕〔2021•广东〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1,k〕处的切线平行于x轴,那么k=﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值．解答：解：由题意得,y′=k+,∵在点〔1,k〕处的切线平行于x轴,∴k+1=0,得k=﹣1,故答案为：﹣1．点评：此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大．11．〔5分〕〔2021•广东〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由中的程序框图与中输入4,可得：进入循环的条件为i≤4,即i=1,2,3,4．模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时,S=1+1﹣1=1；当i=2时,S=1+2﹣1=2；当i=3时,S=2+3﹣1=4；当i=4时,S=4+4﹣1=7；当i=5时,退出循环,输出S=7；故答案为：7．点评：此题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行管理．12．〔5分〕〔2021•广东〕在等差数列{a n}中,a3+a8=10,那么3a5+a7=20．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列性质可得：3a5+a7=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕．解答：解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+〔a5+a7〕=2a5+〔2a6〕=2〔a5+a6〕=2〔a3+a8〕=20,故答案为：20．点评：此题考查等差数列的性质与其应用,属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本．13．〔5分〕〔2021•广东〕给定区域D：．令点集T={〔x0,y0〕∈D|x0,y0∈Z,〔x0,y0〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},那么T中的点共确定6条不同的直线．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法与应用．分析：先根据所给的可行域,利用几何意义求最值,z=x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可,从而得出点集T中元素的个数,即可得出正确答案．解答：解：画出不等式表示的平面区域,如图．作出目标函数对应的直线,因为直线z=x+y与直线x+y=4平行,故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：〔4,0〕,〔3,1〕,〔2,2〕,〔1,3〕或〔0,4〕时,直线的纵截距最大,z最大；当直线过〔0,1〕时,直线的纵截距最小,z最小,从而点集T={〔4,0〕,〔3,1〕,〔2,2〕,〔1,3〕,〔0,4〕,〔0,1〕},经过这六个点的直线一共有6条．即T中的点共确定6条不同的直线．故答案为：6．点评：此题主要考查了简单的线性规划,以与利用几何意义求最值,属于根底题．14．〔5分〕〔2021•广东〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程,最后利用x=ρcosθ,y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可．解答：解：由〔t为参数〕,两式平方后相加得x2+y2=2,…〔4分〕∴曲线C是以〔0,0〕为圆心,半径等于的圆．C在点〔1,1〕处的切线l的方程为x+y=2,令x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入x+y=2,并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0,即或,那么l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．…〔10分〕故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0〔填或也得总分值〕．点评：此题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ．15．〔2021•广东〕〔几何证明选讲选做题〕如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E．假设AB=6,ED=2,那么BC=．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；直线与圆．分析：利用AB是圆O的直径,可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又BC=CD,可得△ABD是等腰三角形,可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B,得到∠AEC=∠ACB=90°,进而得到△CED∽△ACB,利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD,∴AB=AD,∴∠D=∠ABC,∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C,∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴,又CD=BC,∴．点评：此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理能力．三、解答题：本大题共6小题,总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔12分〕〔2021•广东〕函数,x∈R．〔1〕求的值；〔2〕假设,,求．二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．考点：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．专题：分〔1〕把x=﹣直接代入函数解析式求解．析：〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sinθ的值以与sin2θ,然后将x=2θ+代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果．解解：〔1〕答：〔2〕因为,所以所以所以=点此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合,要注意角的范围．评：17．〔12分〕〔2021•广东〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数．〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率．考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型与其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设"从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率．解答：解：〔1〕样本均值为〔2〕抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人〔3〕设"从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,所以,即恰有1名优秀工人的概率为．点评：此题主要考查茎叶图的应用,古典概型与其概率计算公式,属于容易题．对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点．18．〔14分〕〔2021•广东〕如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O 为BC的中点．将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=．〔1〕证明：A′O⊥平面BCDE；〔2〕求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角与求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量与应用．分析：〔1〕连接OD,OE．在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,AD=AE=,CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中,利用余弦定理可得OD,OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°,再利用线面垂直的判定定理即可证明；〔2〕方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F．利用〔1〕可知：A′O⊥平面BCDE,根据三垂线定理得A′F⊥CD,所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH⊥OB．以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．解答：〔1〕证明：连接OD,OE．因为在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,CO=BO=3．在△COD中,,同理得．因为,．所以A′O2+OD2=A′D2,A′O2+OE2=A′E2．所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD,A′O⊥OE,OD∩OE=O．所以A′O⊥平面BCDE．〔2〕方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F因为A′O⊥平面BCDE．根据三垂线定理,有A′F⊥CD．所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在Rt△COF中,．在Rt△A′OF中,．所以．所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为．方法二：取DE中点H,那么OH⊥OB．以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．那么O〔0,0,0〕,A′〔0,0,〕,C〔0,﹣3,0〕,D〔1,﹣2,0〕=〔0,0,〕是平面BCDE的一个法向量．设平面A′CD的法向量为n=〔x,y,z〕,．所以,令x=1,那么y=﹣1,．所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ,且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为点评：此题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．19．〔14分〕〔2021•广东〕设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,,n∈N*．〔1〕求a2的值；〔2〕求数列{a n}的通项公式；〔3〕证明：对一切正整数n,有．考数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．点：等差数列与等比数列．专题：分〔1〕利用a1=1,,n∈N*．令n=1即可求出；析：〔2〕利用a n=S n﹣S n﹣1〔n≥2〕即可得到na n+1=〔n+1〕a n+n〔n+1〕,可化为,．再利用等差数列的通项公式即可得出；〔3〕利用〔2〕,通过放缩法〔n≥2〕即可证明．解解：〔1〕当n=1时,,解得a2=4答：〔2〕①当n≥2时,②①﹣②得整理得na n+1=〔n+1〕a n+n〔n+1〕,即,当n=1时,所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列所以,即所以数列{a n}的通项公式为,n∈N*〔3〕因为〔n≥2〕所以=点评：熟练掌握等差数列的定义与通项公式、通项与前n 项和的关系a n =S n ﹣S n ﹣1〔n ≥2〕、裂项求和与其放缩法等是解题的关键． 20．〔14分〕〔2021•广东〕抛物线C 的顶点为原点,其焦点F 〔0,c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离为,设P为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点．〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕当点P 〔x 0,y 0〕为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；〔3〕当点P 在直线l 上移动时,求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用焦点到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可解得c,从而得出抛物线C 的方程；〔2〕先设,,由〔1〕得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA,PB 的斜率,最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB 的方程；〔3〕根据抛物线的定义,有,,从而表示出|AF|•|BF|,再由〔2〕得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,x 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：〔1〕焦点F 〔0,c 〕〔c ＞0〕到直线l ：x ﹣y ﹣2=0的距离,解得c=1所以抛物线C 的方程为x 2=4y 〔2〕设,由〔1〕得抛物线C 的方程为,,所以切线PA,PB 的斜率分别为,所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为,即,又因为切线PA 的斜率为,整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为整理得,即因为点P 〔x 0,y 0〕为直线l ：x ﹣y ﹣2=0上的点,所以x 0﹣y 0﹣2=0,即y 0=x 0﹣2 所以直线AB 的方程为〔3〕根据抛物线的定义,有,所以=由〔2〕得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2所以=所以当时,|AF|•|BF|的最小值为此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性．点评：21．〔14分〕〔2021•广东〕设函数f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣kx2〔k∈R〕．〔1〕当k=1时,求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕当时,求函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：〔1〕利用导数的运算法那么即可得出f′〔x〕,令f′〔x〕=0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区间；〔2〕利用导数的运算法那么求出f′〔x〕,令f′〔x〕=0得出极值点,列出表格得出单调区间,比拟区间端点与极值即可得到最大值．解答：解：〔1〕当k=1时,f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣x2f'〔x〕=e x+〔x﹣1〕e x﹣2x=x〔e x﹣2〕令f'〔x〕=0,解得x1=0,x2=ln2＞0所以f'〔x〕,f〔x〕随x的变化情况如下表：x 〔﹣∞,0〕0 〔0,ln2〕ln2 〔ln2,+∞〕f'〔x〕+ 0 ﹣0 +f〔x〕↗极大值↘极小值↗所以函数f〔x〕的单调增区间为〔﹣∞,0〕和〔ln2,+∞〕,单调减区间为〔0,ln2〕〔2〕f〔x〕=〔x﹣1〕e x﹣kx2,x∈[0,k],．f'〔x〕=xe x﹣2kx=x〔e x﹣2k〕f'〔x〕=0,解得x1=0,x2=ln〔2k〕令φ〔k〕=k﹣ln〔2k〕,,所以φ〔k〕在上是减函数,∴φ〔1〕≤φ〔k〕＜φ,∴1﹣ln2≤φ〔k〕＜＜k．即0＜ln〔2k〕＜k所以f'〔x〕,f〔x〕随x的变化情况如下表：x 〔0,ln〔2k〕〕l n〔2k〕〔ln〔2k〕,k〕f'〔x〕﹣0 +f〔x〕↘极小值↗f〔0〕=﹣1,f〔k〕=〔k﹣1〕e k﹣k3f〔k〕﹣f〔0〕=〔k﹣1〕e k﹣k3+1=〔k﹣1〕e k﹣〔k3﹣1〕=〔k﹣1〕e k ﹣〔k﹣1〕〔k2+k+1〕=〔k﹣1〕[e k﹣〔k2+k+1〕]因为,所以k﹣1≤0对任意的,y=e x的图象恒在y=k2+k+1下方,所以e k﹣〔k2+k+1〕≤0所以f〔k〕﹣f〔0〕≥0,即f〔k〕≥f〔0〕所以函数f〔x〕在[0,k]上的最大值M=f〔k〕=〔k﹣1〕e k﹣k3.点评：熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2021；caoqz；qiss；lincy〔排名不分先后〕菁优网2021年5月16日。

2013年广东高考理科数学试题及答案(纯word版)

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式121(3V S S h =++,其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X = A ．32B ．2C ．52D ．3俯视图侧视图图15. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 A ．4 B ．143 C ．163D ．6 6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A．2214x -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n = . 令集合{(,,)|,,,S x y z x y zX =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉SB ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈SC ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈SD ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k = .11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定条不同的直线.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .D图6A 'BC 图5OCD EB15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =，2ED =，则BC =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()),12f x x π=-x R ∈（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数。